UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 1
UNIDAD ACADÉMICA
ASIGNATURA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO MULTIVARIABLE
SUCESIONES Y SERIES
COMPETENCIA
Deducir modelos matemáticos recurrentes que se asemejen a una sucesión o serie.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
XIdentifica los criterios de convergencia para determinar si una serie es
convergente o no.
XRepresenta una función mediante una serie de potencias estableciendo el
intervalo de convergencia.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos estudiados en clase.
ACTIVIDAD No 1
Determine el término n-ésimo de las siguientes sucesiones:
1. 1 + 12 , 1 + 34 , 1 + 78 , 1 +
2.
15
16 , 1
+
31
3
1
1
3. 1, 21 , 16 , 24
, 120
,···
+ ···
1
2
3
4
2·3 , 3·4 , 4·5 , 5·6 , · · ·
1
1
1
4. 1, 1·3
, 1·3·5
, 1·3·5·7
,···
ACTIVIDAD No 2
Resuelva los siguientes problemas:
r n
1. Consideremos la sucesión de término general An = P (1 + 12
) donde P es el capital invertido, An el balance
tras n meses de interés compuesto y r la tasa anual de interés.
a) La sucesión An ¿es convergente? Explicar la respuesta.
b) Hallar los primeros diez términos de esa sucesión para P = 9000 y r = 0,115.
2. Se depositan $100 al comienzo de cada mes a una tasa anual de interés del 12 % mensualmente. El balance
después de n meses es An = 100(101)[(1,01)n − 1].
a) Calcular los seis primeros términos de la sucesión.
b) Hallar el balance tras 5 años, calculando para ello el término A60 .
3. Un programa del gobierno que ha costado a los contribuyentes 2.500 millones de dólares este año se va a recortar
un 20 % anual en los años venideros.
a) Escribir una expresión para el montante de ese programa tras n años.
b) Calcular los presupuestos de los 4 primeros años.
c) Determinar la convergencia o divergencia de la sucesión de esos presupuestos recortados. Si la sucesión de
presupuestos converge, hallar su lı́mite.
4. Calcular los seis primeros términos de la sucesión {an }={(1 + n1 )n }. Si la sucesión converge, hallar su lı́mite.
√
5. Calcular los seis primeros términos de la sucesión {an }={ n n} Si la sucesión converge, hallar su lı́mite.
1
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 1
ACTIVIDAD No 3
Resuelva los siguientes problemas:
1. Una empresa fabrica un nuevo producto y estima que las ventas anuales serán de 8000 unidades. Cada año, el
10 % de las unidades vendidas dejaran de funcionar. Ası́ pues, habrá 8000 unidades operativas al final del primer
año, [8000 + 0,9(8000)] al final del segundo, ası́ sucesivamente. ¿Cuántas unidades estarán funcionando al cabo
de n años?
2. Los ingresos por turismo en una ciudad son 100 millones de dólares. El 75 % de esos ingresos se gastan por ciudad
y el 75 % de esta nueva cantidad de nuevo se gasta en ella, y ası́ sucesivamente. Escribir la serie geométrica que
calcula la cantidad total de gasto originada por esos 100 millones, y calcular la suma de la serie.
3. Se deja caer una bola desde 16 pies de altura. Cada vez que cae desde h pies, sube hasta 0,81h pies. Calcular la
distancia vertical total recorrida por esa bola. (Importante: La caı́da inicial de la bola es especial porque la bola
sólo baja, a diferencia de cada rebote en que sube y después baja.)
4. Un trabajador entra en una empresa que paga $0.01 el primer dı́a, $0.02 el segundo dı́a, $0.04 el tercer dı́a, etc.
Si el salario se mantiene ası́, doblándose cada dı́a, ¿Cuánto habrá cobrado en total si trabaja a) 29 dı́as? b) 30
dı́as? c) 31 dı́as?
5. En una cuenta de ahorros, depositamos $100 al final del primer año. El banco agrega 5 % compuestos cada año.
¿Cuánto dinero habrı́a al finalizar 13 años? (Nótese que en este problema no nos interesa la suma, sino únicamente
el término 13.)
6. Un auto recorre 20m en un minuto, 10m al siguiente minuto, 5m al siguiente y ası́ sucesivamente. ¿Cuánta
distancia habrá recorrido al finalizar 11 minutos?
7. Una persona tiene 2 padres (1a. generación atrás), 4 abuelos (2a. generación atrás), 8 bisabuelos y ası́ sucesivamente. ¿Cuántos ancestros tendrı́a 13 generaciones atrás?
8. Los lados de un cuadrado miden 16 pulgadas. Se forma un nuevo cuadrado uniendo los puntos medios de sus lados
y se sombrean dos de esos triángulos laterales, como muestra la figura. Calcular el área de la región sombreada si
el proceso se continúa a) cinco veces más, b) ad infinitum.
ACTIVIDAD No 4
Determine si convergen o no las siguientes series:
1.
∞
X
k=1
2.
3.
(
−2n 3n
)
3n + 1
∞
X
2n
n2
4.
∞ X
k=1
5.
1
1
−
n+1 n+2
∞
X
(−1)n 24n
(2n + 1)!
7.
∞ X
1
1
−
n2
n3
k=1
8.
∞
X
k=1
k=0
k=1
∞
X
∞
X
∞
X
k=1
4
2n
6.
k=1
n
(n2 + 1)2
9.
k=1
2
10.
sen
(2n − 1)π
2
3n − 1
2n + 1
√
∞
X
(−1)n+1 n
√
3
n
k=1
11.
∞
X
k=1
12.
∞
X
k=1
1
3n2 + 1
ne−n
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GUÍA DE ESTUDIO No 1
ACTIVIDAD No 5
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series:
1.
∞
X
xn
n · 3n
3.
∞
X
2n xn
n!
4.
k=1
2.
∞
X
(−1)n x2n
(2n)!
5.
k=0
k=0
∞
X
∞
X
n! · xn
7.
k=1
nn · xn
6.
k=1
∞
X
(−1)n−1 (x + 1)n
n · 3n
k=1
∞
X
(−1)n · (x − 2)n
√
4n · n
8.
∞
X
(−1)n (x + 1)n
nn
k=1
k=0
ACTIVIDAD No 6
Desarrolle en series de potencias alrededor del punto x = 0 las siguientes funciones:
1
1+x
x2
2. f (x) = 2
1. f (x) = ln
3. f (x) = √
x − 3x + 2
1−x
2+x
4. f (x) = x2 tan−1 (x)
ACTIVIDAD No 7
Use series para obtener un valor aproximado de la integral definida con la exactitud indicada:
Z
1.
1
xcos(x3 ) dx
Z
(T res decimales)
0
Z
2.
0,4
p
(1 + x4 ) dx
3.
(| error |< 5 · 10−6 )
0
0,2
(tan
−1
3
3
(x )+sen(x )) dx
Z
(Cinco decimales)
4.
0,5
2
x2 e−x dx
(| error |< 0,001)
0
0
EVALUACIÓN
1. El número de bacterias que hay en cierto cultivo se
duplica cada dı́a. Si el número inicial de bacterias es
500, ¿cuántas hay al cabo de un dı́a? ¿de dos dı́as?
¿de tres dı́as? Obtenga una fórmula para el número
de bacterias después de t dı́as. ¿Cuántas bacterias
hay en la semana número 26?
2. Demuestre si converge o no la serie
∞
X
n
2n
k=1
3. Calcule el intervalo de convergencia para
∞
X
(3x)n
n!
k=0
3π
2
Z
4. Calcule
xesen(x) dx
(| error |< 5 · 10−6 )
π
2
BIBLIOGRAFÍA
Básica:
XSTEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Thomson editores. 1999. México.
XLARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Cálculo y geometrı́a analı́tica. Sexta edición. McGraw-Hill. 1998. México.
Sugerida:
XPURCELL VARBERG, Riggdon: Cálculo. Octava ed. Prentice-Hall. 2001. México.
XLEITHOLD, Louis. EL Cálculo. Séptima edición. Editorial Harla. 1997. México.
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 2
UNIDAD ACADÉMICA
ASIGNATURA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO MULTIVARIABLE
DEFINICIÓN, LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
COMPETENCIA
XAplicar los conceptos y propiedades de
derivación a funciones de varias variables,
en la solución de problemas del campo de
ingenierı́a o contexto profesional.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
XDetermina los elementos básicos de una función de varias variables: Dominio, rango y gráfica.
XDetermina el conjunto en donde una función es continua utilizando el
concepto de lı́mites de funciones varias variables.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos estudiados en clase.
ACTIVIDAD No 1
1. Sea f (x, y) = ln(x + y − 1). Evalue la función en
a) (1, 1)
2. Sea f (x, y) =
b) (e, 1)
p
c) (3, 1)
d) (4, 0)
4 − x2 − 4y 2 . Determine:
a) Dominio y Rango de f
b) Las curvas de nivel y mapa de
contorno si k = 0, 12 , 1, 2
c) Gráfica en 3D de f
3. Grafique el dominio y el rango de las siguientes funciones:
a) f (x, y) =
b) f (x, y) =
p
10 − x2 − y 2
c) f (x, y) = ln(4 − x2 − 4y 2 )
x+y
x−y
d) f (x, y) =
√1
x+y
e) f (x, y) =
√
x+
√
y
√
f ) f (x, y) =
y
x
4. Describa las curvas o superficies de las siguientes funciones, según corresponda:
p
a) f (x, y) = cos( x2 + y 2 )
b) f (x, y, z) = 9x2 − 4y 2 − z 2
c) f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 )
ACTIVIDAD No 2
Halle el limite indicado:
1.
2.
3.
3x2 − y 2 + 5
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 2
lı́m
lı́m
x+y
− 2xy
(x,y)→(2,−1) x2
sen(xy)
(x,y)→(π,1) y 2 + 1
lı́m
4.
ey cos(x)
x
(x,y)→(0,0)
lı́m
x2 − 2xy + y 2
x−y
(x,y)→(1,1)
√
√
x−y+2 x−2 y
√
6.
lı́m
√
x− y
(x,y)→(0,0)
5.
lı́m
1
7.
8.
9.
xy − y − 2x − 2
x−y
(x,y)→(1,1)
lı́m
lı́m
(x,y)→(2,4) x2
lı́m
y+4
− xy + 4x2 − 4x
xy 2
+ y4
(x,y)→(0,0) x2
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 2
ACTIVIDAD No 3
Determine el mayor conjunto en donde la función es continua:
1. f (x, y) = tan−1 (x +
4. f (x, y) =
1
x2 −y
√
y)
5. f (x, y) =
2. f (x, y) = ln(2x + 3y)


x2 y 3
2x2 +y 2
si

1
si
(x, y) 6= (0, 0)
6. f (x, y) =
3. f (x, y) =

xy
 x2 +xy+y2
(x, y) = (0, 0)

0
xyz
x2 +y 2 −z
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
EVALUACIÓN
1. Halle gráfica del dominio y de la imagen para f (x, y) =
2. Halle
x−y
x+y
3x3 − 2x2 y + 3y 2 x − 2
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lı́m
3. ¿A qué debe ser igual g(x) para que la función sea continua en R3 ?

1
 x2 +y2 +z2 si (x, y, z) 6= (0, 0, 0)
f (x, y) =

g(x) si (x, y, z) = (0, 0, 0)
BIBLIOGRAFÍA
Básica:
XSTEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Thomson editores. 1999. México.
XLARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Cálculo y geometrı́a analı́tica. Sexta edición. McGraw-Hill. 1998. México.
Sugerida:
XPURCELL VARBERG, Riggdon: Cálculo. Octava ed. Prentice-Hall. 2001. México.
XLEITHOLD, Louis. EL Cálculo. Séptima edición. Editorial Harla. 1997. México.
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
UNIDAD ACADÉMICA
ASIGNATURA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
MATEMÁTICAS
DERIVADAS PARCIALES
COMPETENCIA
XAplicar los conceptos y propiedades de derivación a funciones de varias variables en la solución de
problemas del campo de ingenierı́a o contexto profesional.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
XCalcula las derivadas parciales de una función de varias variables.
XDetermina derivadas parciales mediante derivación implı́cita.
XDetermina la derivada direccional de una función de varias variables.
XEncuentra los extremos relativos de una función de varias variables.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos vistos en clase.
ACTIVIDAD No 1: Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.
1. f (x, y) = x sen−1 (x − y)
3. f (x, y) =
xyz
+ y2 + z2
4. f (t, u) =
2. f (x, y, z) =
x2
Z
√
xy
2
e−t dt;
(x > 0, y > 0)
0
cos(2tu)
t2 + u2
ACTIVIDAD No 2: Resolver los siguientes ejercicios teniendo en cuenta la definición de derivada parcial.
1. Siendo f (x, y) = ln
hp
i
∂f
∂f
x2 y + tan−1 (x2 y) , compruebe que se cumple la igualdad x
− 2y
= 0.
∂x
∂y
∂u
si:
∂t
√
x
a) u = ln sen √
; x = 3t2 , y = t2 + 1.
y
x
1
.
b) u = ln
+ xy; x = tan(t), y =
y
sen(t)
2. Calcular
c) u = xyz; x = t2 + 1, y = ln(t), z = tan(t).
y x
; x = e2t + 1, y = e−2t + 1.
d) u = ln
− sen−1
y
x
3. Calcule
∂z ∂z
,
si z = f (u, v), u = exy , v = x2 − y 2 .
∂x ∂y
4. Sea w = f (u, v) con u(x, y, z) =
x
y
∂w ∂w ∂w
, v(x, y, z) = . Calcular
,
,
.
y
z
∂x ∂y ∂z
5. Demostrar que la función z = f (x2 + y 2 ) satisface la ecuación y
6. Si u(x, y, z) = xn f
∂z
∂z
−x
= 0.
∂x
∂y
y z ,
, donde f es una función diferenciable. Compruebe que:
xα xβ
x
∂u
∂u
∂u
+ αy
+ βz
= nu.
∂x
∂y
∂z
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
7. Si z =
f (x − y)
∂z
∂z
, probar que z + y
+y
= 0.
y
∂x
∂y
8. Dada la función u = u(r, s), si x = 2r − s, y = r + 2s, encuentre el valor de
las derivadas con respecto a r y s.
∂2u
en función de
∂y∂x
9. Sea f (x, y) = ex sen(xy), donde x = g(s, t), y = h(s, t). Si llamamos k a la función compuesta
∂2k
.
k(s, t) = f (g(s, t), h(s, t)), calcule
∂s∂t
10. Calcule las derivadas parciales de la función z = f (x, y) definida implı́citamente por la ecuación
y 2 + xz + z 2 − ez − c = 0, con c ∈ R.
11. Si x2 y 2 +sen(xyz)+z 2 = 4 define a z como función implı́cita de x e y, compruebe que x
∂z
∂z
−y
= 0.
∂x
∂y
12. Calcule zx y zy si F (x, y, z) = x2 − 2y 2 + 3z 2 − yz + y = 0, cuando Fz 6= 0.
dy
por derivación implı́cita, si:
dx
p
1. x2 − 3xy + y 2 − 2x + y − 5 = 0
3. ln
x2 + y 2 + xy = 4
ACTIVIDAD No 3: Calcular
2. sen(x) + sec(xy) − 3 = 0
4.
x2
x
− y2 = 6
+ y2
ACTIVIDAD No 4: Resuelva las siguientes problemas.
1. En cierto instante la altura h de un cono circular recto es de 30 cm y está creciendo a razón de 2 cm/seg.
En ese mismo instante el radio r de la base es de 20 cm y está creciendo a razón de 1 cm/seg. ¿A
qué velocidad crece el área lateral del cono?
2. En cierto instante r de la base de un cilindro circular recto es de 10 cm y la altura h es de 15 cm.
En ese instante el radio decrece a razón de 5 cm/seg y la altura crece a razón de 4 cm/seg. ¿Con
qué rapidez cambia el Volumen?
3. Halle las ecuaciones de la recta tangente a la intersección de las dos superficies dadas en el punto dado.
Verifique antes que el punto dado realmente pertenece a la intersección de las dos superficies.
4. La temperatura en un punto (x, y) en una placa metálica plana está dada por T (x, y) = (1+x60
2 +2y 2 ) ,
◦
donde T se mide en C y x, y en metros. Encuentre la razón de cambio de la temperatura con respecto
a la distancia del punto (2, 1) en: a) la dirección de X. b)la dirección de Y .
5. Una abeja volaba hacia arriba a lo largo de la curva dada como la intersección de z = x4 + xy 3 + 12
con el plano x = 1. En el punto (81, −2, 5) salió por la recta tangente. ¿En dónde tocó la abeja al
plano XZ?
6. El elipsoide 4x2 +2y 2 +z 2 = 16 interseca al plano y = 2 en una elipse. Encuentre ecuaciones paramétricas
para la recta tangente a esta elipse en el punto (1, 2, 2).
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
ACTIVIDAD No 5: Ejercicios sobre Plano Tangente, Recta Normal Y Aproximación Lineal.
1. Grafique la superficie z = ln(x2 + y 2 ) y el plano tangente asociado en el punto (−2, 0, ln4).
2. Grafique los planos tangentes a la superficie x2 +2y 2 +3z 2 = 21 que son paralelos al plano x+4y +6z =
0.
3. Halle los puntos de la superficie x2 + 2xy − y 2 + 3z 2 − 2x + 2y − 6z = 0 donde el plano tangente es
paralelo al plano Y Z.
4. Probar que todo plano tangente al cono z 2 = x2 + y 2 pasa por el origen.
5. Halle la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado:
p
a) z = x2 + 2y 2 en (2, −1, 6)
d) z = ln
x2 + y 2 en (−3, 4, ln 5)
x
b) f (x, y) = x2e+y2 en 1, 1, 2e
e) z = x2 y 2 en (−2, 2, 16)
c) z = e2x cos 3y en (1, π3 , −e2 )
f ) f (x, y) = xy tan−1 (xy) en (1, 2, 2 tan−1 (2))
6. Use la diferencial total dz para aproximar el cambio en z cuando (x, y) se mueve de P a Q.
a) z = 2x2 y 3 , P (1, 1), Q(0,99, 1,02)
c) z = ln(x2 y), P (−2, 4), Q(−1,98, 3,96)
b) z = x2 − 5xy + y, P (2, 3), Q(2,03, 2,98)
d) z = xy+ln(yz), P (4, 1, 5), Q(3,98, 0,96, 5,03)
ACTIVIDAD No 6: Resuelva los siguientes problemas:
1. Al determinar la gravedad especifica de un objeto se ve que su peso en el aire es de A = 36 libras,
mientras que su peso en el aguas es W = 20 libras, con un posible error de 0.02 libras en cada
medición. Determine, aproximadamente, el error máximo posible al calcular su gravedad especifica S,
A
.
donde S= A−W
2. Determine la cantidad aproximada de cobre en los cuatro lados y el fondo de un tanque de cobre
rectangular que mide 6 pies de largo, 4 pies de ancho y 3 pies de profundidad en el interior, si la hoja
de cobre tiene 14 de pulgada de espesor.
3. Determine aproximadamente, utilizando la diferencial total, el mayor error al calcular la hipotenusa y
el área, respectivamente, de de un triangulo rectángulo a partir de las longitudes de los catetos si ellos
miden 6 cm y 8 cm, respectivamente, con un error posible de 0,1 cm para cada medición. También
obtenga aproximadamente por separado el error relativo de la hipotenusa y el área.
2
4. La potencia eléctrica está dada por P = ER , donde E es el voltaje y R la resistencia. Aproxime el
máximo porcentaje de error posible al calcular la potencia para un voltaje de 200 volts y una resistencia
de 4000 Ohms, si los posibles errores en las medidas de E y R son de 2 % y 3 %, respectivamente.
5. Si R es la resistencia total de tres resistores, conectados en paralelo, con resistencias R1 , R2 y R3 ,
entonces R1 = R11 + R12 + R13 . Si la resistencia se mide en ohms como R1 = 25Ω, R2 = 40Ω y
R3 = 50Ω, con un error posible de 0.5 % en cada caso, estime el error máximo en el valor calculado de
R.
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
ACTIVIDAD No 7: Resuelva los siguientes situaciones sobre derivadas direccionales.
1. Halle el vector gradiente de la función f en el punto dado:
a) f (x, y) = ln(x + y − 1) + e2xy , P (0, 2)
b) f (x, y, z) = xzexy + yzexz + xyeyz , P (−1, 2, 1)
−
2. encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector →
u:
√ −
→ −
→
→
3i − j
a) f (x, y) = sen(2x + 3y), P (−6, 4), −
u = 12
−
2
→
→ √ −
→
b) f (x, y) = yx , P (1, 2), −
u = 31 2 i + 5 j
→
c) f (x, y, z) = xe2yz , P (3, 0, 2), −
u = h 32 , − 32 , 13 i
√
→
u = h 27 , − 37 , 67 i
d) f (x, y, z) = x + yz, P (1, 3, 1), −
3. Halle los valores de las constantes a, b, c tales que la derivada direccional de f (x, y, z) = axy 2 + byz +
cx3 z 2 en el punto (1, 2, −1) tenga el valor máximo 64 en la dirección paralela al eje Z.

 0 si xy 6= 0
4. Calcule las derivadas direccionales de la función f (x, y) =
en el origen.

1 si xy = 0

xy 2

 x2 +y2 si x 6= 0
¿Existe la derivada parcial en el origen?
5. Para la función f (x, y) =


0 si x = 0
6. Sabiendo que la derivada
direccional de la función z = f (x, y) en el punto (1, 2) en la dirección hacia
√
el punto (2, 3) es 2 2 y en la dirección hacia (1, 0) es de −3, ¿Cuánto vale en dirección al origen?
7. Halle la derivada direccional de la función que se indica en el punto dado y según la dirección del vector
hcos θ, sen θi. Halle también el valor de θ para que la derivada sea máxima en ese punto:
a) f (x, y) = arctg( xy ), P (3, 4) b) f (x, y) = ex sen(y), P (0, π6 ) c) f (x, y) = sen(xy), P (2, π4 )
8. Halle la dirección en la que la derivada direccional de la función f (x, y) = e−y sen(x) + 31 e−3y sen(3x)
en el origen alcanza el valor máximo.
9. ¿En qué dirección se debe mover un punto que parte de (1, 1, 16) para que la función f (x, y) =
(x + y − 2)2 + (3x − y − 6)2 disminuya del modo más rápido posible?
10. Halle la derivada direccional de la función f (x, y, z) = x cos y +y cos z+z cos x en el punto P = (2, 1, 0)
−−→
según la dirección del vector P Q, donde Q = (1, 4, 2). Además halle el valor de dicha derivada en P
→
→
→
según la dirección del vector −
u , donde −
u es el vector unitario tal que D−
u f es un máximo.
11. La temperatura T de una placa de metal en un punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia
al origen. Si suponemos que en el punto P (3, 4) la temperatura es de 100◦ C, calcule la razón de cambio
−
→ −
→
de T en P en la dirección del vector i + j . ¿En qué dirección aumenta más rápidamente T en P ?¿En
qué dirección se anula la tasa de variación?
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
ACTIVIDAD No 8: Resuelva las siguientes situaciones sobre Máximos y Mı́nimos.
1. Estudie los extremos relativos para cada una de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
f ) f (x, y) = xy 2 + x2
b) f (x, y) = (x + 1)(y − 2)
g ) f (x, y) = 3x2 + 12xy + 9y 2 + y 3
d) f (x, y) = ln(x2 + y 2 + 1)
i ) f (x, y) = ex cos y
c) f (x, y) = 4x2 + 4xy 2 + 4y 4
e) f (x, y) = x sen(y)
h) f (x, y) = 6x2 y 3 − x3 y 3 − x2 y 4
j) f (x, y) = (x2 + y 2 )ex
2 −y 2
2. Calcule el punto más lejano y más cercano del conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y 2 +z 2 = a, x+z ≥
a} al punto (0, a, 0).
3. Halle los extremos absolutos de la función f (x, y, z) = x + y + z, en el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 :
x2 + y 2 ≤ z ≤ 1}
4. Halle la distancia mı́nima entre la elipse x2 + 2y 2 = 6 y la recta x + y = 5.
5. Halle los extremos absolutos de la función f (x, y) = xy 2 en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤
1, x ≥ 0, y ≥ 0}
R x 2t
6. Halle los extremos absolutos de f (x, y) = ln 1 + x2 + y 2 − 0 1+t
4 dt, en el conjunto D = {(x, y) ∈
2
2
2
R : x + y ≤ 4}
7. Sea T (x, y, z) = 100 + x2 + y 2 la temperatura en cada punto de la superficie esférica x2 + y 2 + z 2 = 50.
Halle las temperaturas máxima y mı́nima en la curva formada por la intersección de la superficie esférica
y el plano x − z = 0.
8. Una caja rectangular se coloca en el primer octante con vértice en el origen y las tres caras adyacentes en
los planos coordenados. Además, el vértice P (x, y, z) con coordenadas x > 0, y > 0 y z > 0, pertenece
al paraboloide de ecuación 2x2 + y 2 + z = 1. Hallar el punto P que maximiza el volumen de la caja.
9. Sea f (x, y) =
f.
8y
.
1+x2 +y 2
Obtenga sus puntos crı́ticos, clasifı́quelos y determine los valores extremos de
10. Sea f (x, y) = y(x2 − (y − 1)2 ). Obtenga sus puntos crı́ticos, clasifı́quelos y determine los valores
extremos de f .
11. Calcule las distancias mı́nima y máxima del plano x + y + 2z = 0 a los puntos de la elipse
3x2 + y 2 = 12
x+y+z =2
12. La base de un acuario de volumen V está hecho de pizarra y los lados son de vidrio. Si la pizarra cuesta
cinco veces más por unidad de área que el vidrio, determine las dimensiones del acuario que minimizan
el costo de los materiales.
13. Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área superficial total es de
64 cm2 .
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
EVALUACIÓN
1. Calcular las derivadas parciales de primer orden para las siguientes funciones.
h
y i
p
a) f (x, y) = x2 + y 2
c) f (x, y) = ln sen
x
2
b) f (x, y) = xy
d) f (x, y) = exyz sen(xy) cos(2xz)
x+y
∂u
∂u
2. Dada la función u(x, y) = (xy)f
= (x−y)u.
, siendo f arbitraria, demuestre que x2 −y 2
xy
∂x
∂y
∂f
1 ∂
∂f
2 4y
n
−f
racx
2
3. Dada f (x, y) = y e
, halle n para que se verifique
= 2
x
.
∂y
x ∂x
∂x
4. Sea Ω = f (u, v, w) una función diferenciable, con u3 = x3 + y 3 + z 3 , v 2 = x2 + y 2 + z 2 , w = x + y + z.
Demuestre que:
x
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
+y
+z
=u
+v
+w
∂x
∂y
∂z
∂u
∂v
∂w
5. Si f y g son funciones reales de una variable real que tienen derivadas de orden 2 continuas, se define
∂2y
∂2y
y(x, t) = f (x+at)+g(x−at). Pruebe que y verifica la “ecuación de la cuerda vibrante” 2 = a2 2 .
∂t
∂x
6. Calcular
∂2z
si z = z(x, y) viene definida implı́citamente por la ecuación x + 2y + z + ex+y+z = 0.
∂y∂x
7. Determine los máximos y los mı́nimos de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = e
1
x2 +2+cos2 (y)−2 cos(y)
b) f (x, y) = (x − y + 1)2
8. Halle el punto de la superficie z = xy − 1 que esté más próximo al origen de coordenadas.
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA:
XSTEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Thomson editores. 1999. México.
XLARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Cálculo y geometrı́a analı́tica. Sexta edición. McGraw-Hill. 1998.
México.
SUGERIDA:
XPURCELL VARBERG, Riggdon: Cálculo. Octava ed. Prentice-Hall. 2001. México.
XLEITHOLD, Louis. EL Cálculo. Séptima edición. Editorial Harla. 1997. México.
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GUÍA DE ESTUDIO No 4
UNIDAD ACADÉMICA
ASIGNATURA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
MATEMÁTICAS
INTEGRALES DOBLES
COMPETENCIA
XAplicar el cálculo de integrales en la solución
de problemas de ingenierı́a, utilizando diferentes sistemas coordenados.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
XCalcula integrales dobles sobre regiones rectangulares.
XCalcula integrales dobles cambiando el orden de integración.
XDetermina el área de una región plana mediante integrales dobles.
XCalcula el volumen de un sólido acotado por un conjunto de superficies.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos vistos en clase.
ZZ
o
ACTIVIDAD N 1: Calcular
f en los siguientes casos.
R
1. f (x, y) =
1
; R = [3, 4] × [1, 2]
(x + y)2
2. f (x, y) = yexy ; R = [0, 1] × [0, 1]
3. f (x, y) =
x2
; R = [0, 1] × [0, 1]
1 + y2
4. f (x, y) = | cos(x + y)|; R = [0, π] × [0, π]
ACTIVIDAD No 2:
1. Encontrar una función z = f (x, y) tal que verifique la identidad
x
∂z
= 2
.
∂x
x + y2
2. Hallar una función u = (x, y, z) tal que (fx0 , fy0 , fz0 ) = F .
Donde F~ (x, y, z) = yz(2x + y + z)~i + xz(x + 2y + z)~j + xy(x + y + 2z)~k.
ZZ
o
ACTIVIDAD N 3: Calcular
f (x, y) dx dy en los siguientes casos.
D
p
1. f (x, y) = xy 2 ; donde D es el recinto limitado por y 2 = 2px y x = , (p > 0).
2
2. f (x, y) = x2 + y 2 ; donde D es el paralelogramo limitado por y = x, y = x + a, y = a, y = 3a.
3. f (x, y) = x + y; donde D está limitado por y 2 = 2x, x + y = 4, x + y = 12.
ACTIVIDAD No 4: Cambie el orden de integración de las siguientes integrales.
Z
Z
3
dx
1.
Z
6
2.
dx
Z
Z
2
1
f (x, y) dy
f (x, y) dy; (a > 0)
2ax−x2
ln(x)
dx
1
Z
f (x, y) dy
2−x
√
Z
e
5.
√
2x−x2
dx
3.
dx
0
Z
√
2ax
Z
2a
4.
2−x
x2
−1
4
2
Z
f (x, y) dy
4x
3
0
Z
√
25−x2
f (x, y) dy
0
Z
2
1
Z
x3
x
Z
8
2
8
f (x, y) dy
dx
f (x, y) dy +
dx
6.
x
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GUÍA DE ESTUDIO No 4
ACTIVIDAD No 5: Calcular el volumen de los sólidos limitados por:
1. La función z = cos(x − y) y el plano z = 0, encerrada en el cuadrado [0, π] × [0, π].
2. Los planos z = x + y, z = 6, x = 0, y = 0 y z = 0.
3. El paraboloide x2 + 4y 2 = z, el plano z = 0 y los cilindros y 2 = x y x2 = y.
ACTIVIDAD No 6: Calcular las siguientes integrales.
ZZ
p
sen( x2 + y 2 ) dx dy
1.
π 2 ≤x2 +y 2 ≤4π 2
ZZ
2.
D
x3
p
dx dy sobre la región D del primer cuadrante limitada por x2 + y 2 = 9.
2
2
x +y
ZZ
3.
|xy| dx dy, donde D es un cı́rculo de radio a con centro en el origen de coordenadas.
D
4. Halle el área de la región exterior a la circunferencia r = 2a e interior a la circunferencia r = 4a cos(θ).
EVALUACIÓN
1. Use una integral doble para calcular el área de la región plana acotada por las siguientes ecuaciones.
a) y 2 = 4x − x2 , y 2 = 2x; (dentro de la circunferencia y fuera de la parábola).
b) y = cos(x), y = cos(2x), y = 0; (el área más cercana al origen).
bx
b2 x
, y= .
a
a
d) r = 2 sen(3θ) (dentro), r = 1 (afuera), en el primer cuadrante.
c) y 2 =
e) r = 2(1 + cos(θ)), r = 2 cos(θ).
2. Halle el volumen del sólido acotado por las siguientes ecuaciones.
a) y 2 + x2 = 8, x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4.
x
x2 y 2
+ 2 = 1, y = 0, z = , z = x.
2
a
b³
2
y ´
c) z = sen
π , y = x, y = 0, x = π, z = 0.
2x
π
π
d) z = cos(x) cos(y), z = 0, |x + y| ≤ , |x − y| ≤ .
2
2
e) z = x + y, xy = 1, xy = 2, x = y, y = 2x, z = 0; (x > 0, y > 0).
b)
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GUÍA DE ESTUDIO No 4
f) Las superficies x2 + y 2 − 4z 2 = 0, x2 + y 2 − 8x = 0 y el plano XY .
√
√
g) Los cilindros y = x, y = 2 x y los planos x = 0, x + z = 6.
h) Los cilindros z = 4 − y 2 , y =
x2
y el plano z = 0.
2
3. Aplicaciones
a) Considere los dos cı́rculos x2 + y 2 = ax, x2 + y 2 = bx, donde (a > 0, b < 0, |b| < a). Calcule
el área del triángulo limitado por estos dos cı́rculos y la recta tangente común a ellos.
b) La función de producción de Cobb-Douglas para una compañı́a es f (x, y) = 100x0,6 y 0,4 , donde
“x” denota el número de unidades de trabajo e “y” el número de unidades de capital. Estime el
nivel de producción medio si el valor de “x” varı́a entre 200 y 250, y el valor de “y” varı́a entre
300 y 350.
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA:
XSTEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Thomson editores. 1999. México.
XLARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Cálculo y geometrı́a analı́tica. Sexta edición. McGraw-Hill. 1998.
México.
SUGERIDA:
XPURCELL VARBERG, Riggdon: Cálculo. Octava ed. Prentice-Hall. 2001. México.
XLEITHOLD, Louis. EL Cálculo. Séptima edición. Editorial Harla. 1997. México.
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GUÍA DE ESTUDIO No 5
UNIDAD ACADÉMICA
ASIGNATURA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO MULTIVARIABLE
INTEGRACIÓN TRIPLE
COMPETENCIA
XAplicar los conceptos y propiedades de
derivación a funciones de varias variables,
en la solución de problemas del campo de
ingenierı́a o contexto profesional.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
XResuelve las integrales múltiples mediante cambio de coordenadas.
XResuelve problemas relacionados con momentos de inercia, masa y centro
de masa, utilizando la integración múltiple.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos estudiados en clase.
ACTIVIDAD No 1
Calcule las siguientes integrales triples:
2
Z
x
Z
x+y
Z
ex (2x+y)dzdydx
1.
0
0
π
Z
Z
1
Z
2
y
1
Z
a
h
2
Z
Z
3
r senϕcosϕ dzdrdϕ
0
2xe sen(z) dxdydz
0
2π
3.
0
2.
0
Z
Z
2π
Z
5.
−h
2
0
π
4
Z
4.
2
2
Z
4−x2
4
Z
π
2
0
0
x2
x dzdydx
0
3
Z
r sen(ϕ) drdϕdθ 6.
0
Z
√
− 4−x2
0
4cos(ϕ)
√
Z
rcos θ drdθdz
0
0
0
ACTIVIDAD No 2
Evalúe las siguientes integrales como se indica:
ZZZ
dxdydz
, donde V es el volumen de integración limitado por los planos coordenados y por el plano
1.
(x + y + z + 1)3
V
x + y + z = 1.
ZZZ p
2.
x2 + y 2 dxdydz, donde V está acotado por las superficies x2 + y 2 = z 2 y z = 1.
V
3. Calcule el volumen del cuerpo limitado por el plano XY , la superficie x2 + (y − a2 )2 =
a2
4
y x2 + y 2 + z 2 = a2 .
ACTIVIDAD No 3
Use coordenadas cilı́ndricas o esféricas para calcular el volumen de los siguientes sólidos:
1. El acotado por la esfera r2 + y 2 = a2 y el cilindro r = acosθ.
p
2. El limitado por las superficies z = x2 + y 2 y z = x2 + y 2 .
3. El limitado por el plano z = 0, la superficie cilı́ndrica x =
cilindro).
1
x2 +y 2
2
y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 (dentro del
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GUÍA DE ESTUDIO No 5
ACTIVIDAD No 4
Resuelva los siguientes problemas:
1. Halle la masa total de la esfera E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}, si su densidad en el punto P es
directamente proporcional a la distancia de P al origen.
2. Encuentre el centro de masa del sólido con densidad constante, acotado por el cilindro parabólico x = y 2 y los
planos x = z, z = 0 y x = 1 .
3. La temperatura en los puntos del cubo W = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] es proporcional al cuadrado de la distancia
al origen, con constante de proporcionalidad c. Calcule la temperatura promedio y halle en qué puntos del cubo
la temperatura es igual a la temperatura promedio.
4. Halle el momento de inercia de un elipsoide homogéneo de densidad ρ, de semiejes a, b, c cuya masa total es M ,
respecto a cada uno de sus ejes.
EVALUACIÓN
Z
1
Z
z
Z
1. Evalué la integral triple
0
0
y
2
zey dxdydz
0
2. Utilice una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro elı́ptico 4x2 + z 2 = 4 y los
planos y = 0 y y = z + 2.
ZZZ
3.
x dv, donde E esta limitado por el paraboloide x = 4y 2 + 4z 2 y el plano x = 4.
E
4. ¿En qué caso es conveniente utilizar integrales triples?
BIBLIOGRAFÍA
Básica:
XSTEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Thomson editores. 1999. México.
XLARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Cálculo y geometrı́a analı́tica. Sexta edición. McGraw-Hill. 1998. México.
Sugerida:
XPURCELL VARBERG, Riggdon: Cálculo. Octava ed. Prentice-Hall. 2001. México.
XLEITHOLD, Louis. EL Cálculo. Séptima edición. Editorial Harla. 1997. México.
2