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Solución Tarea 3
Problema 1
Las variables físicas que describen el movimiento de un uido son:
, la densidad del uido, la masa contenida en el uido por unidad de volumen (kg/m3);
u, la velocidad del uido (m/s), la cual describe el movimiento macroscópico de las parcelas
de uido;
P , la presión del uido, la fuerza por unidad de área (N/m2) que el uido ejerce sobre sus
alrededores; otra forma de interpretarla es como la energía interna por unidad de volumen
(N/m2 es equivalente a J/m3) almacenada en el movimiento microscópico de las partículas
del uido.
Con estas variables se dene la densidad de energía total del uido como E = u2 /2 + P /( ¡ 1),
donde u2 / 2 es la (densidad de) energía cinética, mientras que P / ( ¡ 1) es la (densidad de)
energía interna (i.e. térmica).
Aquí CP / CV es la razón de capacidades calorícas (o índice adiabático) del gas, la cual depende
del número de grados de libertad internos del gas f según = 1 + 2 / f. Cada grado de libertad
representa una forma en que las partículas microscópicas de un gas pueden almacenar energía
interna.
Para un gas monoatómico, las partículas almacenan energía solamente a través de su energía
cinética molecular. Como hay tres direcciones independientes de movimiento, esto nos da f = 3
grados de libertad traslacionales, por lo que = 1 + 2/3 = 5/3 1.67.
Un gas de moléculas diatómicas tiene dos grados de libertad adicionales a los traslacionales debido
a que la molécula puede rotar (no son tres puesto que la rotación en torno al eje de simetría de la
molécula no contribuye energía). Se entonces que f = 5 y entonces = 1 + 2 /5 = 7 /5 1.4. Este
es el valor para el aire, el cual está compuesto principalmente de N2 y O2.
Problema 2
Para un choque isotérmico, las condiciones de salto obtenidas de integrar las ecuaciones de Euler
a un lado y otro del choque son:
0u0
2
0u0 + P0
= 1u1;
= 1u21 + P1;
donde el subíndice 0 indica las condiciones pre-choque
y el 1 las post-choque, y la ecuación de
p
energía queda sustituida por P = c20, donde c0 = P / es la velocidad del sonido isotérmica y es
una constante (ya que la temperatura del gas es constante).
De la primera condición de salto tenemos la razón de compresión en términos de las velocidades:
1
u
= 0:
0
u1
Usando ahora P = c20 para eliminar las presiones en la segunda relación de salto,
0u20 + 0c20 = 1u21 + 1c20;
0(u20 + c20) = 1(u21 + c20);
y empleando la primera para eliminar las densidades,
u0 2
(u + c20);
u1 1
u1u20 + u1c20 = u0u21 + u0c20;
u0u1(u0 ¡ u1) = (u0 ¡ u1)c20:
u20 + c20 =
1
Suponiendo que u1 =
/ u0 (si fueran iguales todas las variables de ujo serían iguales a través del
choque, lo cual es una condición trivialmente satisfecha por las condiciones de salto), esto da:
u0u1 = c20:
Sustituyendo esto en el factor de compresión obtenido arriba para eliminar u1 se llega a lo buscado:
1
u2
= 20 = M02;
0
c0
(1)
donde M0 u0 / c0 es el número de Mach pre-choque. Se ve que un choque isotérmico es mucho más
intenso que uno adiabático: el factor de compresión crece como el cuadrado del número de Mach
pre-choque en vez de estar limitado a ( + 1)/( ¡ 1) (4 para = 5/3).
Problema 3
Habiendo obtenido la razón de compresión, obtenemos directamente la velocidad post-choque de
la primera condición de salto:
u1
1
= 0 =
:
u0
1
M02
Para obtener la presión podemos usar el hecho que P = c20 para los dos estados, por lo que:
P1
c2
= 1 02 = 1 = M02:
P0
0
0c0
(2)
Problema 4
El gas que incide inicialmente contra la pared queda en reposo, y el ujo supersónico que continúa
llegando (no hay información aguas arriba de lo que ha ocurrido) con velocidad vw en el marco de
referencia del laboratorio impacta este gas en reposo, produciendo un choque que se mueve aguas
arriba con velocidad vs en este marco (ver Figura 1a).
vs
v=0
vs
vw
(a) Marco del laboratorio
v w + vs
(b) Marco del choque
Figure 1.
En el marco de referencia del choque, el gas ujo abajo del choque se mueve con velocidad vs hacia
la pared (y la pared se aleja con la misma velocidad), y el ujo incidente tiene velocidad vw + vs
(ver Figura 1b).
De las condiciones de salto para un ujo isotérmico, tenemos:
u1
1
=
;
u0
M02
2
y en este caso u1 = vw + vs y u0 = vs, por lo que:
vs
1
c20
=
=
:
2
vs + vw
(vw + vs)2
M0
De aquí se obtiene la cuadrática en vs:
vs(vw + vs) = c20;
vs2 + vsvw ¡ c20 = 0:
Descartando la solución negativa (puesto que todas las velocidades aquí son magnitudes positivas),
obtenemos:
p
2
vw
+ 4c20 ¡ vw
vs =
;
2
o bien
vs
p
1 + 4/Mw2 ¡ 1
= vw
;
2
(3)
donde Mw vw /c0 es el número de Mach del viento incidente.
En el límite en que el ujo incidente es altamente supersónico se tiene Mw 1 (i.e. vw c0), y en
ese caso la raíz cuadrada puede aproximarse como
p
x
1+x 1+ ;
2
donde x = 4/M 2, así que para ese caso obtenemos
vs vw
1 + 2/Mw2 ¡ 1
;
2
c20
;
vw
1
c0 :
Mw
Problema 5
En la gura se muestra la conguración del ujo, el cual incide sobre una supercie rígida con un
ángulo . El choque oblicuo que forma un ángulo con la supercicie redirige el ujo hacia una
dirección paralela a la supercie.
u0 ; ρ0 ; P0
u1 ; ρ1 ; P1
φ
α
Figure 2.
3
De la gura es claro que el ángulo que forma el ujo incidente con el choque es + . Podemos
descomponer la velocidad u0 del ujo pre-choque en sus componentes normal u0;n y tangencial u0;t
al choque:
u0;n = u0 sin( + )
u0;t = u0 cos( + )
Para un choque oblicuo tenemos que la componte tangencial de la velocidad no cambia,
u1;t = u0;t
y que la componente normal de la velocidad obedece las relaciones de salto para un choque normal,
que con los resultados isotérmicos obtenidos arriba son:
u
1
P
2
= 1 = 0;n = M0;n
0
P0
u1;n
donde M0;n u0;n /c0 es el número de mach asociado a la componente normal de la velocidad prechoque (y c20 P / es la velocidad del sonido isotérmica).
Como el ujo post-choque es paralelo a la supercie, la componente vertical u1;y debe ser cero, y
ésta puede escribirse en términos de las componentes normal y tangencial al choque:
u1;y = u1;t sin ¡ u1;n cos = 0
de donde
u1;n
= tan u1;t
En términos de los valores pre-choque, esto es:
u0;n
2
= M0;n
tan u0;t
y de las expresiones originales de estas componentes de u0 se obtiene:
u0 sin( + )
2
= M0;n
tan u0 cos( + )
o bien
2
tan ( + ) = M0;n
tan Aquí hay que hacer notar que M0;n depende de , el cual desconocemos:
M0;n u0;n
u
= 0 sin( + ) = M0 sin( + )
c0
c0
donde M0 u0 /c0 es el número de Mach del ujo oblicuo incidente. Se llega entonces a la siguiente
relación implícita para :
tan ( + ) = M02 sin2( + ) tan 4
o bien
M02 sin( + )cos( + ) tan = 1
(4)
La solución numérica de esta ecuación (ver Figura 3) revela que decrece conforme M0 aumenta.
Para ujos altamente supersonicos, i.e. M0 1, el ángulo será pequeño así que se pueden
aproximar sin( + ) sin , cos( + ) cos y tan , lo que permite despejar :
sec csc
M02
(5)
En la Figura 3 se comparan la solución numérica de la expresión exacta y su aproximación para
ujos altamente supersónicos, para el caso = 10°.
φ = 10◦
102
α [◦ ]
101
100
10−1
0
10
20
30
40
Número de Mach del flujo incidente
50
Figure 3. Solución numérica de la ecuación (4) para = 10° (línea azul continua) y aproximación para
M0 1, ec. (5) (línea roja punteada).
Nótese que muchos de los resultados para ujo isotérmico en esta tarea se pueden obtener haciendo
= 1 en los resultados para ujo adiabático.
5