Repaso de matemáticas 1 Valor presente (o valor presente

Universidad Autónoma de Madrid
Teoría Macroeconómica II
Prof. Beatriz de Blas
2o. Semestre 06/07
Repaso de matemáticas
1
Valor presente (o valor presente descontado)
Cómo valorar renta futura ahora. Podemos usa el tipo de interés real:
Un bien en período t
Entonces,
1
bienes en período t
1 + rt
!
1 + rt bienes en período t + 1
!
1 bien en período t + 1
Si ahorramos durante 2 períodos, lo que conseguimos es
Un bien en t
Entonces,
1
bienes en t
(1 + rt )(1 + rt+1 )
1.1
!
1 + rt bienes en t + 1
!
(1 + rt )(1 + rt+1 ) bienes en t + 2
!
1
bienes en t + 1
(1 + rt+1 )
!
1 bien en t + 2
In…nito número de períodos
En general, si recibimos renta wt en el período t; wt+1 en t + 1; y así sucesivamente, entonces el
valor presente (desde el punto de vista del momento t) de toda esta renta es:
V P D = wt +
wt+1
wt+2
wt+3
+
+
+ :::
1 + rt (1 + rt )(1 + rt+1 ) (1 + rt )(1 + rt+1 )(1 + rt+2 )
(1)
donde rt es el tipo de interés real entre t y t + 1:
Pero si tanto la renta como el tipo de interés son constantes, podemos simpli…car la fórmula.
Para ello, hacemos como sigue:
(1
x)(1 + x + x2 + x3 + :::) = 1 + x + x2 + x3 + :::
(x + x2 + x3 + x4 :::) = 1
(2)
y entonces, tenemos una de las fórmulas clave
1 + x + x2 + x3 + ::: =
1
1
x
:
(3)
Si tanto el tipo de interés real r como la renta w son constantes para todos los períodos,
entonces el valor presente descontado de todo el ‡ujo de renta es
V PD = w +
w
w
1
1
+
+ ::: = w 1 +
+
+ :::
1 + r (1 + r)2
1 + r (1 + r)2
w
=
1
1
1+r
;
(4)
es decir,
V PD =
1+r
w:
r
(5)
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1.2
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Número …nito de períodos
Si el tipo de interés real r es constante, y recibimos un ‡ujo de renta constante w desde el período
0 hasta el período T; entonces el valor presente descontado de ese ‡ujo de renta, en términos del
período 0; es
V PD = w +
w
w
1+r
w
+ ::: +
=
+
w
2
T
1 + r (1 + r)
(1 + r)
r
w
(1 + r)T +1
w
(1 + r)T +2
:::; (6)
es decir,
V PD =
2
1
1+r
w:
r
1
(1 + r)T +1
(7)
Resumen de las principales ecuaciones
Consideremos la siguiente progresión geométrica:
1 + x + x2 + x3 + ::: + xn ;
(8)
de razón x:
Si la progresión geométrica es …nita
1 + x + x2 + x3 + ::: + xn ;
la suma de todos sus términos es
1 + x + x2 + x3 + ::: + xn =
1
xn+1
:
1 x
(9)
Si la progresión geométrica es in…nita y se cumple que x < 1; entonces la suma es
1 + x + x2 + x3 + ::: =
1
1
x
:
(10)