FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMULARIO ECUACIONES DIFERENCIALES
APLICACIONES
FACTORES DE INTEGRACION
Término
Factor
Fórmula
(2da ley de Newton)
Movimiento Rectilíneo
xdy  ydx
1
x2

xdy  ydx y

x
x2
xdy  ydx
1
y2

xdy  ydx
x

2
y
y
xdy  ydx
1
xy

dy dx
y

 ln
y
x
x
dh  Ae

2 gh
dt
As
xdy  ydx
1
x  y2

xdy  ydx
y
 arctan
2
2
x
x y
Mezclas
xdy  ydx
1
( xy) n
xdx  ydy
1
(x  y 2 )n
m
dv
 bv  F
dt
Crecimiento Proporcional
dP
 KP
dt
Ley de Torriceli
Q
dQ
 ve  e
dt
 Ve

Q
  v s 
 VT

2



(Geometría)
Pendiente de
la recta
dy
m
dx
2
Circ. Serie RL
L
di
 Ri  E
dt
aydx  bxdy
Circuito Serie RC
R
dq q
 E
dt C
i
1
x ( a 1) y (b1)
dq
dt
Si n  1
xdy  ydx
1
 ( xy ) n  (n  1)( xy ) (n1)
xdy  ydx
Si n  1 
 ln(xy )
xy
Si n  1
xdx  ydy
1
 ( x 2  y 2 ) n  2(n  1)( x 2  y 2 ) (n1)
Si n  1
xdx  ydy 1
2
2
 x 2  y 2  2 ln( x  y )
x
( a 1)
y (b1) [aydx  bxdy ]  x a y b
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ED HOMOGÉNEAS
ED EXACTAS
FOR. GRAL FACT. INT.
Para M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 , si
M (x, y)  n M ( x, y) y
N (x, y)  n N ( x, y) , haciendo u 
Entonces:
dx
N (1, u )
 x   M (1, u)  u  N (1, u) du  C
ED LINEAL
Si
ye 
Pdx
Pdx
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
dN
dM
Nx 
My 
dx
dy
 M ( x, y)dx   N ( x, y)dy  C P( x)  My  Nx F  e  P( x)dx
x
y
N
Nx  My
P( y ) 
M
BERNOULLI
dy
 Py  Q
dx
  Q  e
y
x
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
dM dN
Si

dy
dx
F  e
Sustitución de Var.
2
dy
 Py  y n Q Multiplicar por y  n , Si d y  P dy  Q  0
dx
dx
dx
dv
es factorizable
sustituir v  y (  n1) y dy 
n
dy
(n  1) y
sustituir v 
dx
Si
dx  C
Nota: P y Q son funciones exclusivamente de x
Elaboró: M. en C. Beatriz Vargas Rosales
P ( y ) dy
FORMULARIO ECUACIONES DIFERENCIALES
2
RICATTI
CAUCHY-EULER
dy
1
Si
 P( x)  Q( x) y  R( x) y 2 , sustituir y  y1 
dx
v
e x
z  ln x
x D y  DD  1D  2...D  r  1y
z
r
r
HOMOGÉNEAS N-ÉSIMO ORDEN
FACTORES LINEALES
RAÍCES IMAGINARIAS
( D  a)( D  b)...( D  z) y  0
y  c1e
 ax
 c2 e
bx
 ...  cn e
RAÍCES MÚLTIPLES
(FACTOR REPETIDO)
Para ( AD  BD  C ) y  0 Si
2
 zx
n>1
( D  a) n y  0
 ax
y  e (c1  c2 x  c3 x 2  ...  cn x ( n1) )
D  a   b 2 entonces D  a  bi
y  e ax (c1 cos bx  c2 senbx)
ED NO HOMOGENEAS (COEFICIENTES CONSTANTES)
SUST. VARIABLE
PARÀMETROS
( D  a)( D  b)...( D  z) y  Q
Sustituir:
v  ( D  b)...( D  z) y
Resolver
( D  a)v  Q
Como ED Lineal
Despejar v, volver a la variable
original y resolver la ED.
SUPERPOSICION
Q
Yc  C1 y1  C2 y 2
W
y1 y 2
W2 
y1 0
W1 
y1 ' y 2 '
0 y2
Q y2 '
C
Polinomio
A
Axn+Bx(n-1)+…+Z
eu
Aeu
Nota: si eu está n
W1
W
u 1   u1 ' dx
u1 '
APLICACIONES:
Yp
y1 'Q
veces en Yc, entonces
Yp = xneu
W2
W
u 2   u 2 ' dx
u 2 '
xneu
(Axn+Bx(n-1)+ …+Z)eu
senu ó cosu Asenu+Bcosu
Y p  u1 y1  u 2 y 2
CIRC. SERIE RLC
RESORTES
2
d q
dq q
L
R
 E
dt
dt C
dq
i
dt
CIRC. MIXTO POR TL
VR  R  T [i]
Fe  kx
d 2x
dx
m
 b  kx  F
dt
dt
SERIE DE POTENCIAS
VL  L  ST [i]  L  i(0)
VC 
Y  Yc  Y p
dy
  iC i x (i 1)  C1  2C 2 x  3C3 x 2  ...
dx i 1
y   Ci x i  C0  C1 x  C2 x 2  ...
i 0
1
1
 T [i]   V (0)
SC
S
2
d y
  i(i  1)Ci x (i 2)  2C 2  3  2C3 x  4  3C 4 x 2  ...
dx
i 2
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (TL)
BÁSICAS:
T [C ] 
COMPUESTAS:
C
S
T [t n ] 
T [t n  e at ] 
PROPIEDADES DE TL
T [ f (t )  g (t )]  T [ f (t )]  T [ g (t )]
T [C  f (t )]  C  T [ f (t )]
Elaboró: M. en C. Beatriz Vargas Rosales
n!
S
( n 1)
T [e at ] 
n!
( S  a) n 1
1
S a
T [e at senwt ] 
T [ senwt ] 
w
( S  a) 2  w 2
w
S  w2
2
S
S  w2
S a
T [e at cos wt ] 
( S  a) 2  w 2
T [cos wt ] 
2
d2y
]  S 2T [ y]  S  y(0)  y' (0)
dx
T[
dy
]  ST [ y]  y(0)
dx
T[
dny
]  S nT [ y]  S ( n1)  y(0)  S ( n2)  y' (0)  S ( n3)  y' ' (0)  ...  y ( n1) (0)
dx
T[