Soluciones Examen de Estad´ıstica

Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA (PLAN 2000)
CONVOCATORIA: FEBRERO 2005/2006
FECHA: 2 de Febrero de 2006
Soluciones Examen de Estadı́stica
Ingenierı́a de Telecomunicación
Duración del examen: 3 horas
12 de Septiembre, 2007
Fecha publicación notas: 8 de Febrero de 2006
Fecha revisión
examen: 13 de Febrero de 2006
Cuestiones
1h 45m
TODOS LOS PROBLEMAS TIENEN LA MISMA PUNTUACIÓN
(SOLUCIONES)
1. Consideremos
sistema siguiente
C1. el
Consideremos
el siguiente circuito
- A1
- A2
-
-
- A3
-
- A4
-
- A5
-
- A6
-
-
Las probabilidades de funcionamiento de cada componente son:
Las probabilidades de funcionamiento de cada componente son:
P (A1 ) = P (A
)=
0,95,
P (A3 ) =P0,8
P8(A4y) =P P
) = P (A6 )P=(A0,7
P 2(A
(A3 ) =y 0,
(A(A
1 ) = P (A2 ) = 0, 95,
4 ) 5= P (A5 ) =
6 ) = 0, 7
Supondremos que el funcionamiento de cada componente es independiente del de las demás.
Supondremos que el funcionamiento de cada componente es independiente del de las demás.
a) Calcula la probabilidad de que el sistema funcione.
a) Calcula la probabilidad de que el sistema funcione.
Denominando Ai al suceso “el componente etiquetado Ai funciona”, con i = 1, ..., 6,
b) Sabiendo que el
sistema funciona, calcula la probabilidad de que ninguna de las componentes
y por A al suceso “el sistema funciona”, este suceso podemos expresarle en términos de
A1 y A2 haya Afallado.
1 , ..., A6 como:
A = [(A1 ∩ A2 ) ∪ A3 ] ∩ [A4 ∪ A5 ∪ A6 ].
Solución.
Aplicando propiedades de las probabilidades sobre la unión y la intersección de sucesos,
y teniendo en cuenta que el funcionamiento de los componentes es independiente, por lo
a) Denominandoque
Ai P
al(A
suceso
“el
= componente
P (Ai ) × P (Ajetiquetado
), ∀i 6= j, seAtiene
i funciona”, con i = 1, . . . , 6, y por
i ∩ Aj )
P (A) = P
([(A1 ∩ A2 )este
∪ A3suceso
] ∩ [A4 ∪podemos
A5 ∪ A6 ]) expresarle
= P ([(A1 ∩ A
∪ A3 ]) · P (A
∪ 1A,5. ∪
F al suceso “el sistema
funciona”,
en2 )términos
de4 A
. .A, 6A) 6=
(A1] ∩
∩A
3 ) − P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )]·
como: F = [(A1 ∩ A2=
) ∪[PA
[A2 )4 +∪PA(A
3
5 ∪ A6 ]. Aplicando propiedades de las probabilidades
· [P (A4 ) + P (A5 ) + P (A6 ) − P (A4 ∩ A5 ) − P (A4 ∩ A6 ) − P (A5 ∩ A6 )+
sobre la unión y la intersección de sucesos, y teniendo en cuenta que el funcionamiento de
+ P (A4 ∩ A5 ∩ A6 )] = [P (A1 )P (A2 ) + P (A3 ) − P (A1 )P (A2 )P (A3 )]·
los componentes es independiente,
lo(A
que
P (A ∩3 A ) = P (Ai ) · P (Aj ), ∀i 6= j, se tiene
· [3P (A4 ) − 3Ppor
(A4 )P
4 ) + P (Ai4 ) ] =j
2
2
+ [A
0, 84 −
0,68]
[3 ·P0,([(A
7−3
722 )+∪0,A
733]])=· 0,
P (F ) = P ([(A1 ∩ A2 )=∪[0,A95
∪ 0,A95
])· =
P9805
(A4 ×
∪ 0,
A973
A60,)95402.
=
3] ∩
5 ∪·A
1 ·∩0,A
5 ∪=
= [P (A1 ∩ A2 ) + P (A3 ) − P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )] ·
Otra forma de hacerlo serı́a:
· [P (A4 ) + P (A5 ) + P (A6 ) − P (A4 ∩ A5 ) − P (A4 ∩ A6 ) − P (A5 ∩ A6 ) + P (A4 ∩ A5 ∩ A6 )] =
3
123456 ) = P (A123 ∩ A456 ) = P (A123 ) · P (A456 )
= [P (A1 )P (A2 ) +PP(A
(A
3 ) − P (A1 )P (A2 )P (A3 )] · [3P (A4 ) − 3P (A4 )P (A4 ) + P (A4 ) ] =
=
1 − P (A123 ) = 1 − P (A12 ) · P (A3 ) = 1 − [1 − P (A12 )] · P (A3 )
=
1 − [1 − P (A1 ) · P (A2 )] · P (A3 ) = 1 − [1 − 0,95 ] · 0,2 = 0,9805
P (A456 )
=
3
1 − P (A
1 456 ) = 1 − P (A4 ) · P (A5 ) · P (A6 ) = 1 − 0,3 = 0,973
P (A123456 )
=
0,9805 · 0,973 = 0,95402
P (A123 )
= [0, 952 + 0, 8 − 0, 952 · 0, 8] · [3 · 0, 7 − 3 · 0, 72 + 0, 73 ] = 0, 9805 · 0, 973 = 0,295402.
1
b) Sabiendo que el sistema funciona, calcula la probabilidad de que ninguna de las componentes A1 y A2 haya fallado.
La probabilidad de que no ha fallado ni la componente etiquetada con A1 ni la etiquetada
con A2 , sabiendo que el sistema funciona, se expresa como la probabilidad condicionada
P (A1 ∩ A2 |A). Aplicando el teorema de Bayes y como los sucesos A1 y A2 son independientes:
P (A1 ∩ A2 |A) =
P (A1 ∩ A2 )P (A|A1 ∩ A2 )
P (A1 )P (A2 )P (A|A1 ∩ A2 )
=
.
P (A)
P (A)
A|A1 ∩ A2 es el suceso “el sistema funciona sabiendo que A1 y A2 funcionan”, pero si
funcionan A1 y A2 , el sistema funciona si y sólo si funcionan A4 ó A5 ó A6 . Por tanto,
P (A|A1 ∩ A2 ) = P (A4 ∪ A5 ∪ A6 ). Y finalmente, tenemos que
P (A1 ∩ A2 |A) =
0, 952 × 0, 973
P (A1 )P (A2 )P (A4 ∪ A5 ∪ A6 )
=
= 0, 92045
P (A)
0, 95402
C2. Sean X(t) e Y (t) dos procesos independientes con media 0 y débilmente estacionarios. Determinar si los siguientes procesos lo son:
a) Z1 (t) = aX(t) + bY (t)
E[Z1 (t)]
RZ (τ )
= aE[X(t)] + bE[Y (t)] = 0
(no depende de t)
= E[Z1 (t)Z1 (t + τ )] = a2 E[X(t)X(t + τ )] + b2 E[Y (t)Y (t + τ )]
+ ab [E[X(t)Y (t + τ )] + E[X(t + τ )Y (t)]]
= a2 RX (τ ) + b2 RY (τ ) + ab(0 × 0 + 0 × 0)
(depende sólo de τ )
Por lo tanto Z1 (t) es débilmente estacionario
b) Z2 (t) = X(t)cos(wt) + Y (t)sen(wt)
E[Z2 (t)]
RZ (τ )
= E[X(t)]cos(wt) + E[Y (t)]sen(wt) = 0
(no depende de t)
= E[Z2 (t)Z2 (t + τ )] = cos(wt)cos(w(t + τ ))E[X(t)X(t + τ )] + sen(wt)sen(w(t + τ ))E[Y (t)Y (t + τ )]
+cos(wt)sen(w(t + τ )) E[X(t)Y (t + τ )] +cos(w(t + τ ))sen(wt) E[X(t + τ )Y (t)]
|
{z
}
|
{z
}
0
= cos(wt)cos(w(t + τ ))RX (τ ) + sen(wt)sen(w(t + τ ))RY (τ )
cos(wτ ) − cos(2wt + wτ )
cos(2wt + wτ ) + cos(wτ )
RX (τ ) +
RY (τ )
=
2
2
0
(depende de t)
Por lo tanto Z2 (t) no es débilmente estacionario
C3. Sea λ el número medio de partı́culas por unidad de área de un compuesto. Puede demostrarse
que la distancia X de una partı́cula a su vecina más próxima es una variable aleatoria Rayleigh
con función de densidad:
(
2
2πλxe−λπx x > 0
f (x) =
0
en otro caso
El área de la zona (centrada en la partı́cula) libre de vecinas viene dada por A = πX 2 . Calcular P r(A > 1).
2
Para calcular la probabilidad, primero calculamos la función de densidad de A:
dx −1
fA (a) = fX (g (a)) da
A = g(X) = πX 2
r
A
X =
π
dx
1
√
=
da
2 aπ
r
a −λπ a 1
π
√
fA (a) = 2πλ
e
π
2 aπ
= λe−λa
a>0
Por lo tanto, es una variable aleatoria exponencial.
P r(A > 1) = 1 − FA (1) = 1 − (1 − e−λ ) = e−λ
C4. Se ha establecido un sistema de comunicación digital binario, en el que se ha optado por
asigmar al bit 00 100 un nivel de tensión positivo de m voltios, y al bit 00 000 un nivel de tensión
nehativa de −m voltios. El ruido del canal de transmisión se supone aditivo a la señal y con
una función de densidad Laplaciana. De esta forma, en recepción la amplitud es modelada de
forma condicionada al bit transmitido:
a
f (x/00 100 ) = e−a|x−m|
−∞ < x < ∞ a > 0
2
a
f (x/00 000 ) = e−a|x+m|
−∞ < x < ∞ a > 0
2
El sistema receptor decide cuál de los dos bits ha sido transmitido comparando la amplitud con
un umbral µ, determinando que si la amplitud sumera el umbral se ha transmitido un 00 100 , y
si no se supera que ha sido transmitido un 00 000
a) Establecer la posición del umbral que hace que las probabilidades de detección errónea
sean iguales para ambos bits (supón que −m < µ < m).
Las probabilidades de error para cada bit son:
Z µ
P r(X < µ/00 100 ) =
−∞
Z ∞
00 00
P r(X > µ/ 0 ) =
µ
a −a|x−m|
e
dx
2
a −a|x+m|
e
dx
2
Como nos dicen que ambas probabilidades son iguales, y utilizando que −m < µ < m,
tenemos:
Z µ
Z ∞
a a(x−m)
a −a(x+m)
e
dx =
e
dx
2
2
−∞
µ
Z
Z ∞
ae−am µ ax
ae−am
e dx =
=
e−ax dx
2
2
−∞
µ
eaµ = e−aµ ⇒
µ=0
3
e2aµ = 1
b) Si µ = 0, ¿qué relación deben cumplir a y m para que la probabilidad de equivocarse, si
−2
se ha enviado un 00 100 , sea e 2 ?
Ahora nos dicen que la probabilidad de error (que es la misma para ambos bits) es
e−2
2 , por lo tanto:
e−2
2
Z 0
−2
a a(x−m)
e
e
dx =
2
2
−∞
Z 0
−2
a −am
e
eax dx =
e
2
2
−∞
P r(X < 0/00 100 ) =
a −am 1
e−2
e
× =
2
a
2
e−am = e−2 ⇒ am = 2
4
Problemas
1h 30m
P1. Sea X v.a. con función de densidad Erlang, Erl (λ, n), con f (x) dada por
(
ke−λx xn−1
0
f (x) =
n
λ
siendo λ ∈ R, n ∈ N con E [X] =
y V [X] =
x>0
resto
n
λ2 .
a) Determinar k para que f (x) sea efectivamente función de densidad, utilizando la función
Z +∞
e−x xp−1 dx
Γ (p) =
0
1
con p > 0 que verifica que Γ
2
=π
1
2
y que Γ (p) = (p − 1) Γ (p − 1) .
Para que f sea función de densidad debe verificar que f (x) ≥ 0, que es cierto si k ≥ 0,
y que
Z
+∞
f (x) dx = 1.
−∞
Para que esto último sea cierto:
Z
+∞
1=
Z
+∞
ke−λx xn−1 dx
f (x) dx =
−∞
0
Si se hace el cambio
y = λx; dy = λdx
para buscar la función Γ (p), se tiene que
Z +∞
Z
1=
ke−λx xn−1 dx = k
0
+∞
e−y
y=0
=
k
λn
Z
+∞
y=0
Con lo que
k=
1
λn−1
1
y n−1 dy
λ
k
1
e−y y n−1 dy = n Γ (n) .
λ
λ
λn
λn
=
Γ (n)
(n − 1)!
b) Sean Z1 , Z2 v.a.i.i.d.∼exp(λ) ≡ Erl (λ, 1) .¿Qué variable aleaoria es Z1 + Z2 ?
Para calcular la función de densidad de la suma de dos variables aleatorias se plantea la
transformación bidimensional dada por
Y1 = Z1 + Z2 ⇒ Z1 = Y1 − Y2
Y2 = Z2 ⇒ Z2 = Y2
que tiene por función de densidad conjunta, si y1 > y2 > 0,
dz1
dy1
fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = fZ1 ,Z2 (y1 − y2 , y2 ) det
dz2
dy
1
5
dz1
dy2
dz2
dy2
!
= fZ1 ,Z2 (y1 − y2 , y2 ) det
1 −1
0 1
!
ind.
= fZ1 (y1 − y2 ) fZ2 (y2 ) = (λ exp (−λ (y1 − y2 ))) (λ exp (−λy2 )) = λ2 exp (−λy1 ) .
Para calcular la función de densidad de Y1 se necesita calcular la marginal que viene
dada, si y1 > 0, por
Z y1
λ2 e−λy1 dy2 = λ2 y1 e−λy1
fY1 (y1 ) =
y2 =0
Y esta función de densidad no corresponde a una exponencial, sino a una Erlang Erl (λ, 2),
que es lo mismo que una Gamma Gam (λ, b = 2) .
c) Qué variable aleatoria aproximada resulta de sumar m v.a.i.i.d. exp(λ) con m grande?
Por el TCL se tiene, al ser m grande, que
m
X
Zi ∼ N
i=1
m
,
λ
r
m
λ2
ya que
"
E
m
X
#
Zi =
i=1
"
V
m
X
m
X
E [Zi ] = m
1
λ
V [Zi ] = m
1
λ2
i=1
#
Zi
ind.
=
i=1
m
X
i=1
d ) El funcionamiento de un canal de comunicación viene dado por un dispositivo electrónico
cuya vida sigue una exponencial de media un mes. Cada vez que se estropea un dispositivo,
se reemplaza inmediatamente por otro y ası́ sucesivamente. ¿Cuál es el mı́nimo número
de dispositivos electrónicos que se deberı́an tener para que exista una probabilidad de al
menos el 95 % de que siempre esté funcionando el canal de comunicación durante tres
años?
Se define la v.a. W como tiempo en meses que está funcionando el canal de comunicación, con lo que se está interesado en que W > 36. Aplicando el apartado anterior, y
estandarizando, se tiene que
!
W−m
36 − m
λ
λ
pm > pm
P (W > 36) = P
λ2
=P
N (0, 1) >
36 − m
√
m
λ2
Consultando las tablas de la N (0, 1) se tiene que
36 − m
√
≤ −1, 64
m
y resolviendo la ecuación cuadrática que m ≥ 48.
6
≥ 0, 95
e) Basándose en el apartado c) dar en pseudocódigo MATLAB un algoritmo para generar
Erl (λ = 3, n = 5) .
Se tendrı́an que generar U1 , U2 , ..., U5 ∼ U (0, 1).y a continuación:
1
Zi = − LnUi ∼ exp (λ)
λ
con lo que
5
X
1
− LnUi ∼ Erl (λ, 5)
λ
i=1
El código MATLAB serı́a:
lambda=3 ;
u=rand(100,5);
erlang=sum(-1/lambda*log(u’));
P2. Sea X una variable aleatoria Gumbel con función de distribución
FX (x) = e−e
−x
−∞<x<∞
a) Comprobar que FX (x) es función de distribución y calcular la función de densidad
F (−∞) = 0
F (+∞) = 1
Ser continua por la derecha y monótona no decreciente
En este caso:
F (−∞) = e−e
∞
F (+∞) = e−e
−∞
= e−∞ = 0
= e0 = 1
Es continua y la función e−x es decreciente, por lo tanto e−e
−x
es creciente
La función de densidad es la derivada de la función de distribución, por lo tanto:
f (x) = e−e
−x
e−x
−∞<x<∞
b) Calcular P r(−1 ≤ X ≤ 2) y P r(0 ≤ X ≤ 1| − 1 ≤ X ≤ 1)
−2
−1
= F (2) − F (−1) = e−e − e−e = 0,807
P r(0 ≤ X ≤ 1)
P r(0 ≤ X ≤ 1 ∩ −1 ≤ X ≤ 1)
=
P r(0 ≤ X ≤ 1| − 1 ≤ X ≤ 1) =
P r(−1 ≤ X ≤ 1)
P r(−1 ≤ X ≤ 1)
F (1) − F (0)
=
= 0,518
F (1) − F (−1)
P r(−1 ≤ X ≤ 2)
c) Hallar la mediana de X.
La mediana es el valor que verfica que F (mediana) = 1/2
x
F (x) = e−e = 1/2 ⇒ e−x = ln(2) ⇒ x = − ln(ln(2)) = 0,367
d ) Calcular la función de densidad de Y = e−X La función de densidad de Y = e−X : Para
calcular la función de densidad de Y :
dx −1
fY (y) = fX (g (y)) dy
7
Y
X
dx
dy
fY (y)
= g(X) = e−X
= − ln(Y )
1
= −
y
= e−e
ln(y)
= e−y
8
eln(y)
y>0
1
y