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Anexo E. Cálculo de incertidumbre
Incertidumbre para índice de estabilidad de espuma
Para cada corrida realizada se calculo la incertidumbre presente en el índice de estabilidad
de espuma reportado. Se incluyeron los cambios máximos de cada uno de los términos
presentes en la Ecuación 4.6.3. El primer grupo de ecuaciones mostrado corresponde a la
incertidumbre total de espuma reportado.
V  A  h
La dependencia del volumen de espuma con respecto a los dos parámetros de la ecuación anterior
se obtiene por medio de una derivada total
 V 
 V 
dV  
 dA  
 dh
 A  h
 h  A
De la ecuación enterior se obtienen las derivadas parciales :
 V 

  h
 A  h
 V 

 A
 h  A

dV  h 2 dA 2  A 2 dh 2

1
2
Donde:
V= volumen obtenido de la espuma (cm3)
A= sección transversal del tubo de espumación (valor constante 6.324 cm2)
dA= incertidumbre en el valor del área transversal (cm2)
Δh= diferencia entre el valor máximo y mínimo de altura medido (cm)
dΔh = incertidumbre en la medición de alturas (cm)
dV= incertidumbre total en el valor de volumen de espuma (cm3)
Para todos los sistemas los valores A, dA y dΔh permanecen constantes. Los datos
que cambian entre corridas son los valores máximos y mínimos de la espuma, como
consecuencia Δh, V y dV.
En todos los casos se calculó una incertidumbre promedio para todo el intervalo de
tiempo; en aquellos sistemas en los que se muestra una evidente estabilización en los
primeros minutos también se incluye la incertidumbre para el periodo de estado estable.
En la Tabla E.1 se muestran, como ejemplo, los valores empleados para el cálculo
de la incertidumbre. Las mismas ecuaciones se siguen en todos los sistemas y corridas. Los
valores h max y h min se refieren a las alturas máximas y mínimas del nivel de espuma. Las
celdas con fondo de color hacen referencia a los valores que permanecen constantes en
todos los cálculos de incertidumbre.
Tabla E.1 Valores para el cálculo de incertidumbre del volumen de la primera corrida del sistema 40%
masa MIPA + 60% masa de agua a 313.15K.
h max
h min
Δh
58.864
56.492
2.372
cm
cm
cm
dΔh
0.568
cm
dA
0.001
cm2
A
6.324
cm2
dV
3.541
cm3
La incertidumbre en la medición de alturas se relaciona con el grosor de la última
capa de burbujas presente. En una corrida se hicieron dos mediciones por cada valor de
altura, la primera en la parte superior de la última capa de burbujas (interfase líquido-gas) y
la segunda en la parte inferior de ésta capa de burbujas, el promedio de la diferencia de los
resultados corresponde a dΔh. De esta forma se considera la incertidumbre de las lecturas
dentro de este intervalo de alturas.
El otro término para el cálculo del índice de estabilidad de espuma (Σ) es el flujo
volumétrico del gas (F). La incertidumbre en este último valor (dF) corresponde al número
de cifras decimales con las que se realizó la calibración del rotámetro. Las ecuaciones
empleadas para el cálculo de la incertidumbre en el flujo y en el índice de estabilidad de
espuma (dΣ) se muestran a continuación.
V
F
  
  
d  
 dV  
 dF
 V  F
 F V

2
   2

  
2
2
d  
 dV  
 dF 
 F V
 V  F

1
2
1
  

 
 V  F F
V
  

  2
F
 F V
2
 1  2

 V 
d    dV 2    2  dF 2 
 F 
 F 

1
2
Continuando con el ejemplo previo, se muestran los valores empleados para el uso
de las ecuaciones mostradas (Tabla E.2). Los valores que permanecen constantes en todos
los sistemas son F y dF, mientras que V, Σ y dΣ cambian en cada corrida. Los valores
relacionados con el flujo sólo permiten el uso de un decimal, de acuerdo a la calibración,
sin embargo, se ha decidido mantener los resultados de índice de estabilidad de espuma
hasta centésimas considerando que es factible hacer mediciones de tiempo de dos decimales
en unidades de segundos. V max y V min se refieren a los valores máximos y mínimos del
volumen de espuma, V es la diferencia entre ambos valores.
Tabla E.2 Valores para el cálculo de incertidumbre del volumen para la primera corrida del sistema 40%
masa MIPA + 60% masa de agua a 313.15K.
dF
0,1
cm3/s
F
10,2
cm3/s
1/F
0,1
s/cm3
V max
102.620
cm3
V min
78.506
cm3
V
24.113
cm3
-V/F2
-0.053
s2/cm3
dΣ
0.35
s
Se hizo el cálculo de incertidumbre para todas las corridas y los resultados para dV
y dΣ son los mismos, 3.541 cm3 y 0.35 s, respectivamente. Las corridas tienen valores de
dh y V distintos entre sí; sin embargo la contribución de estas diferencias no es apreciable
en incertidumbres de volumen e índice de estabilidad de espuma debido al número de
decimales que se maneja en estos valores.
El valor 0.35 s es la incertidumbre para la determinación del índice de estabilidad de
espuma de este caso en particular.
Aunado a las variaciones de los parámetros directamente considerados dentro del
índice de estabilidad de espuma, existen variaciones por el cambio de temperatura de la
chaqueta térmica y por la preparación de soluciones. Para la temperatura, las variaciones se
ven reflejadas en la incertidumbre del flujo volumétrico del gas; mientras que los cambios
en concentración no pueden verse reflejados en el índice de estabilidad de la espuma debido
al número limitado de concentraciones a las que se hizo la experimentación. Las
comparaciones de corridas y sistemas en las que se analiza el efecto de concentración
incluyen estas variaciones; sin embargo, su efecto no puede analizarse de forma aislada.
Incertidumbre para resultados de densidad y tensión superficial
De igual manera, para cada corrida realizada se calculo la incertidumbre presente en el
cálculo de densidad y tensión superficial. El método utilizado para el cálculo de
incertidumbre fue la prueba estadística t student, donde por medio del numero de
determinaciones realizadas, se obtiene un valor medio de dichas determinaciones, pudiendo
calcular la desviación estándar respecto al valor medio de la corrida y que con un valor t de
student obtenido de tablas de estadística se obtiene la incertidumbre del valor medio. Las
siguientes ecuaciones corresponden al cálculo de la incertidumbre.

x 
x  xi  x   i 
xn 

1/ 2

  x  xi 2  
  x   
 
n

1


 
Incertidum bre  t n  2 
Donde:
X = valor medio de las n determinaciones de la propiedad
σ = desviación estándar de las n determinaciones individuales respecto del valor medio x (σ
tn-2 = t de Student; obtenida de tablas con n-2 determinaciones con 99.8 % de confiabilidad
El valor t student se obtiene de la tabla dentro de la publicación hecha por Verma,
S.P. (2005), la cual se muestra a continuación:
Tabla E.3 Valores para la determinación del valor t student (Verma, S.P., 2005).
GL
1
1
1
1
1
2
% 2 COLAS VALOR T
90.0%
6.314
95.0%
12.706
98.0%
31.820
99.0%
63.656
99.8%
318.294
90.0%
2.920
2
2
2
2
3
3
95.0%
98.0%
99.0%
99.8%
90.0%
95.0%
4.303
6.965
9.925
22.327
2.353
3.185
3
3
3
4
4
4
4
4
98.0%
99.0%
99.8%
90.0%
95.0%
98.0%
99.0%
99.8%
4.541
5.841
10.214
2.132
2.776
3.747
4.604
7.173
Continuando con el ejemplo previo, y tomando un valor con n-2
determinaciones y 99.8% de confiabilidad, se muestran los valores empleados para el uso
de las ecuaciones mostradas (Tabla E.4) para la primera corrida del sistema 40% masa
MIPA + 60% nada de agua a 313.15K.
Tabla E.4. Valores para el cálculo de incertidumbre del volumen de la primera corrida de densidad del
sistema 40% masa MIPA + 60% masa de agua a 313.15K.
n
Promedio
∑d
Máximo
Mínimo
Rango
dpromedio
5
0.99472
5.9683
1.0038
0.9975
0.0063
-0.0097
(d-dprom)2
∑(d-dprom)
GL (n-1)
NC
0.0002
2
T
t comparación
incertidumbre ±
1.78802E-05
4
99.8%
0.0021
0.00002
316.6487
7.173
0.0044
Tabla E.5. Valores para el cálculo de incertidumbre del volumen de la primera corrida de tensión
superficial del sistema 40% masa MIPA + 60% masa de agua a 313.15K.
N
dprom
∑d
Máximo
Mínimo
Rango
dprom
5
48.2700
575.0750
48.8410
47.1220
0.5120
-0.0097
(d-dprom)2
∑(d-dprom)
GL (n-1)
NC
0.0655
2
0.6432
4
99.8%
0.3620
T
t compación
incertidumbre ±
0.13107
188.5547
7.173
0.2200
Se hizo el cálculo de incertidumbre para todas las corridas y los resultados arrojados
fueron los mismos, ± 0.0044 g/cm3 para densidad y ± 0.22 mN/m para tensión superficial.
Al igual que con el índice de estabilidad de espuma, las corridas tienen valores máximos y
mínimos distintos entre sí; sin embargo la contribución de estas diferencias no es apreciable
en incertidumbres de densidad y tensión superficial debido al número de decimales que se
maneja en estos valores
Es importante mencionar que para estas experimentaciones también existen
variaciones por el cambio de temperatura de la chaqueta térmica y por la preparación de
soluciones. Los cambios en concentración no pueden verse reflejados los resultados de
densidad y tensión superficial debido al número limitado de concentraciones a las que se
hizo la experimentación.