Transparencias Distribuciones, de Probabilidad y Estadística (B)

Modelado de la aleatoriedad: Distribuciones
Begoña Vitoriano Villanueva
[email protected]
Facultad de CC. Matemáticas
Universidad Complutense de Madrid
I. Distribuciones Discretas
‰ Bernoulli (p)
9 Aplicaciones: experimentos con 2 posibles resultados; generar
otras distribuciones (binomial, geométrica,...)
9 Función de masa y Función de distribución:
⎧1 − p
p( x) = ⎨
⎩ p
9
9
9
x<0
⎧0
⎪
F ( x) = ⎨1 − p 0 ≤ x < 1
⎪1
x ≥1
⎩
x=0
x =1
Rango: {0,1}
Media: p
Varianza: p(1-p)
⎧1
p ≥ 1/ 2
9 Moda: ⎨
⎩0 p ≤ 1/ 2
p(x)
p
1-p
0
1
Distribuciones de probabilidad- 1
I. Distribuciones discretas
‰ Uniforme Discreta (i,j)
9 Aplicaciones: experimento con varios resultados posibles y
equiprobables; no informativa
9 Función de masa y Función de distribución:
⎧ 1
x ∈ {i, i + 1,..., j}
⎪
p( x) = ⎨ j − i + 1
⎪ 0
otro caso
⎩
9 Rango: {i, i + 1,..., j}
i+ j
9 Media:
2 ( j − i + 1) 2 − 1
9 Varianza:
12
x<i
⎧0
⎪
⎪ ⎢ x⎥ − i + 1
F ( x) = ⎨ ⎣ ⎦
i≤x≤ j
−
+
j
i
1
⎪
⎪⎩1
x> j
p(x)
9 Moda: No hay única
1/(j-i+1)
i
i+1
j-1
j
Distribuciones de probabilidad- 2
I. Distribuciones discretas
‰ Binomial (n,p)
9 Aplicaciones: número “éxitos” al repetir n veces independientes
un experimento Bernoulli; número elementos defectuosos en un
lote de tamaño n; demanda de producto en inventario
9 Función de masa y Función de distribución:
⎧⎛ n ⎞ x
n− x
⎪⎜ ⎟ p (1 − p )
p( x) = ⎨⎝ x ⎠
⎪
0
⎩
x ∈ {0,1,..., n}
otro caso
{0,1,..., n}
9 Rango:
9 Comentarios:
np
Media:
⎧0
⎪ x
⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎛ n ⎞ i
F ( x) = ⎨∑ ⎜ ⎟ p (1 − p ) n−i
⎪ i =0 ⎝ i ⎠
⎪⎩1
np(1 − p)
x<0
0≤ x≤n
x>n
Varianza:
• Binomial(n,p): Suma de n variables indeptes. Bernoulli(p)
• Reproductiva respecto a n (suma binomiales parámetro p, es
binomial con n suma de los parámetros, y p el mismo)
• X Bin(n,p) si y sólo si n-X Bin(n,1-p)
Distribuciones de probabilidad- 3
I. Distribuciones discretas
‰ Binomial (n,p) (cont.)
Distribuciones de probabilidad- 4
I. Distribuciones discretas
‰ Geométrica(p)
9 Aplicaciones: número de ensayo de primer éxito al repetir
experimentos Bernoulli(p); número de productos inspeccionados
hasta encontrar el primero defectuoso; número de productos en
un lote de tamaño variable; demanda producto en inventario
9 Función de masa y Función de distribución:
0
x <1
⎧⎪
⎧ p (1 − p ) x−1 x ∈ {1, 2,...}
p( x) =
F ( x) =
⎨
⎩
0
⎨
⎢ x⎥
⎪⎩1 − (1 − p) ⎣ ⎦
otro caso
x ≥1
9 Rango: {1,2,...}
Media: 1/p Varianza: q / p 2
9 Comentarios: Análoga a la exponencial, no tiene memoria
p(x)
0.6-
p(x)
0.5-
p=0.25
0.4-
0.60.50.4-
0.3-
0.3-
0.2-
0.2-
0.1-
0.11
2
3
p=0.5
4 5
6
7
8
1
2
3
4 5
6
7
8
Distribuciones de probabilidad- 5
I. Distribuciones discretas
‰ Poisson(L)
9 Aplicaciones: número de eventos que ocurren en un intervalo de
tiempo cuando ocurren con tasa constante; número de artículos
en un lote de tamaño aleatorio; demanda de un inventario
9 Función de masa:
⎧ e − L Lx
x ∈ {0,1,...}
⎪
p( x) =
⎨ x!
⎪ 0
⎩
9 Rango: {0,1, 2,...}
9 Comentarios:
Media: L
otro caso
Varianza: L
• Tiempo entre dos eventos independientes Exponencial media L si y
sólo si número de eventos en intervalo de tamaño t es Poisson(Lt)
• Reproductiva respecto a L
• Distribución de los sucesos raros: en una binomial si n es grande, p
pequeño, y np pequeño (<5), aproxima a la binomial
Distribuciones de probabilidad- 6
I. Distribuciones discretas
‰ Poisson (L) (cont.):
Distribuciones de probabilidad- 7
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Uniforme(a,b):
9 Aplicaciones: magnitud con valor igualmente distribuido en un
intervalo; no informativa (no hay razones para suponer más
probable una zona que otra); generar valores aleatorios
9 Función de densidad y Función de distribución:
⎧1/(b − a) a < x < b
f ( x) = ⎨
resto
⎩ 0
9 Rango: (a,b)
Media:
x<a
⎧0
⎪x−a
⎪
F ( x) = ⎨
a≤ x≤b
b
−
a
⎪
x>b
⎪⎩1
2
a+b
Varianza: (b − a)
2
12
f(x)
1/(b-a)
a
b
Distribuciones de probabilidad- 8
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Exponencial(λ):
9 Aplicaciones: tiempos entre sucesos independientes; tiempos
hasta fallo componentes con tasa constante; tiempos entre
llegadas a un sistema; tiempos para completar una tarea
9 Función de densidad y Función de distribución:
⎧ 0
f ( x) = ⎨ − λ x
⎩λ e
9 Rango: [0,∞)
9 Comentarios:
•
•
•
λ
x<0
x≥0
⎧ 0
F ( x) = ⎨
−λ x
⎩1 − e
x<0
x≥0
Media: 1/ λ Varianza: 1/ λ2
Única continua sin memoria,como geométrica discreta
Caso particular de Gamma y Weibull
La suma exponenciales independientes mismo parámetro es Erlang
1
f(x)
F(x)
Distribuciones de probabilidad- 9
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Weibull(α,β):
9 Aplicaciones: tiempo para completar una tarea; tiempo hasta el fallo
de un equipo (forma similar a la gamma)
9 Función de densidad y Función de distribución:
0
x<0
⎧⎪
F ( x) = ⎨
α
−( β x )
x≥0
x≥0
⎪⎩1 − e
2
1 ⎧⎪ ⎛ 2 ⎞ 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎫⎪
1 ⎛1⎞
Media: Γ ⎜ ⎟ Varianza: 2 ⎨2Γ ⎜ ⎟ − ⎢Γ ⎜ ⎟ ⎥ ⎬
αβ ⎪⎩ ⎝ α ⎠ α ⎣ ⎝ α ⎠ ⎦ ⎭⎪
αβ ⎝ α ⎠
0
⎧⎪
f ( x) = ⎨
α
α α −1 −( β x )
⎪⎩αβ x e
x<0
9 Rango: [0,∞)
9 Comentarios: Weibull(1,β) es Exponencial(β)
9 Logaritmo neperiano de Weibull es Gumbel o valor-extremo
9 Weibull(2,β) es Rayleigh(β)
Distribuciones de probabilidad- 10
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Normal(μ,σ):
9 Aplicaciones: Errores de varios tipos (punto impacto artefacto,...);
cantidades que son suma de gran número de otras cantidades
9 Función de densidad (de distribución no tiene explícita):
f ( x) =
1
e
2π σ
1 ⎛ x−μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
9 Rango: (- ∞,∞)
Media: μ
Varianza: σ2
9 Comentarios: Combinación lineal de normales es normal
•
•
•
•
Si dos normales son incorreladas, entonces son independientes
Suma de normales independientes al cuadrado es Chi2
Exponencial de una normal es lognormal
La normal usada para cantidades no negativas ha de truncarse en 0
Distribuciones de probabilidad- 11
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Lognormal(μ,σ):
9 Aplicaciones: tiempo para desarrollar una tarea; forma similar a
Weibull y Gamma, pero puede tener “pico” más alto cerca de 0;
cantidades que son producto de gran número de otras
0
x≤0
⎧
9 Función de densidad:
⎪
2
1 ⎛ ln x − μ ⎞
f ( x) = ⎨ 1
− ⎜
⎟
e 2⎝ σ ⎠ x > 0
⎪
⎩ x 2π σ
2
2 μ +σ 2
σ2
μ +σ / 2
e
(
e
− 1)
Varianza:
e
9 Rango: [0,∞) Media:
9 Comentarios: Su logaritmo neperiano es normal (μ,σ)
Distribuciones de probabilidad- 12
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Gamma(p,a):
9 Aplicaciones: tiempo para completar una tarea; tiempo de
servicio de atención a un cliente; tiempo hasta fallo de un equipo
9 Función de densidad:
0
x≤0
0
⎧
⎪
f ( x) = ⎨ 1
p p −1 − ax
a
⎪ Γ( p ) x e
⎩
x≤0
x>0
⎧
⎪
p −1
F ( x)(si p entero) = ⎨
(ax) j
− ax
⎪1 − e ∑ j !
j =0
⎩
x<0
9 Rango: [0,∞)
Media:p/a
Varianza: p/a2
9 Comentarios: Gamma(1,a) es Exponencial(a)
• Si p es entero Gamma(p,a)=Erlang(p,a)
• Chi-2 k grados de libertad es Gamma(k/2,1/2)
• Reproductiva respecto a p
Distribuciones de probabilidad- 13
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Beta(α,β):
9 Aplicaciones: modelo en ausencia de datos (muchas formas);
distribución de proporciones (como número defectuosos en un
lote); tiempo para completar una tarea (redes PERT)
0
x ∉ (0,1)
9 Función densidad (distribución no cerrada): ⎧⎪
f ( x) = ⎨ 1
α −1
β −1
0 < x <1
⎪ B(α , β ) x (1 − x)
⎩
9 Rango: (0,1)
Media: α/(α+β) Varianza: αβ/[(α+β)2(α+β+1)]
9 Comentarios: Beta(1,1) es Uniforme (0,1); Se puede trasladar: a+(b-a)X;
X Beta(α,β) 1-X Beta(β,α)
Distribuciones de probabilidad- 14
II. Distribuciones absolutamente continuas
‰ Triangular(a,b,c):
9 Aplicaciones: modelo en ausencia de datos (muchas formas);
9 Función de densidad (de distribución no cerrada):
⎧ 2( x − a)
⎪ (b − a )(c − a )
⎪
⎪ 2(b − x)
f ( x) = ⎨
⎪ (b − a )(b − c)
⎪0
⎪
⎩
a≤x≤c
c≤ x≤b
resto
⎧0
⎪
2
⎪ ( x − a)
⎪⎪ (b − a )(c − a)
F ( x) = ⎨
2
⎪1 − (b − x)
⎪ (b − a )(b − c)
⎪
⎪⎩1
x<a
a≤x≤c
c< x≤b
x>b
9 Rango: (a,b) Media: (a+b+c)/3 Varianza: (a2+ b2+c2-ab-ac-bc)/18
9 Comentarios: Moda: c
f(x)
2/(b-a)
a
c
b
Distribuciones de probabilidad- 15
III. Distribuciones multidimensionales
‰ Multinomial(n;p1,p2,…,pk):
9 Aplicaciones: generalización de la binomial a k+1 resultados
posibles de cada experimento
9 Función de masa:
k
n−∑ x
k
P ( x1 ,...., xk ) =
n!
k
x1 !...xk !(n − ∑ xi )!
p ... p (1 − ∑ pi )
x1
1
xk
k
i
i =1
i =1
i =1
k
9 Rango:
xi ≤ n xi ∈ {0,..., n} ∀i
∑
i =1
9 Media: (np1,…, npk)
9 Matriz Varianzas-covarianzas: V(Xj)= npj (1-pj) Cov(Xi,Xj)=-npi pj
9 Comentarios:
• Cada marginal individual es una B(n,p1) y el resto multinomiales
Distribuciones de probabilidad- 16
III. Distribuciones multidimensionales
G
‰ Normal multivariante ( μ , Σ)
9 Aplicaciones: distribución conjunta de múltiples variables que
individualmente son normales…
9 Σ matriz real dimensión nxn simétrica y semidefinida positiva
9 Función de densidad:
1
−1
T
f ( x1 ,..., xn ) =
1
Σ 2π
n
e
− ( x1 − μ1 ,..., xn − μn ) Σ ( x1 − μ1 ,..., xn − μn )
2
9 Rango: Rn
9 Media: (μ1,…, μn)
9 Matriz Varianzas-covarianzas: Σ
9 Comentarios:
• Cada marginal individual es una normal univariante, y las otras
multivariantes
• Cada condicionada es normal
• Cada combinación lineal de ellas es normal
Distribuciones de probabilidad- 17