MATEM´ATICA B´ASICA Libro de trabajo para estudiantes

MATEMÁTICA BÁSICA Libro de trabajo para estudiantes Vivian Libeth Uzuriaga López Profesora titular Alejandro Martı́nez Acosta Profesor asociado Universidad Tecnológica de Pereira Facultad de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas Pereira, agosto de 2013 Contenido 1. CONJUNTOS 1 2. EXPONENTES Y SUS PROPIEDADES 8 3. SISTEMA DE NÚMEROS REALES 13 4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONARIAS 31 5. ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS 42 6. COORDENADAS Y GRÁFICAS EN EL PLANO 45 7. RELACIONES Y FUNCIONES 57 8. TRIGONOMETRÍA 69 APÉNDICES 74 A. PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES 75 B. AUTOEVALUACIÓN B.1. Autoevaluación I . . B.2. Autoevaluación II . B.3. Autoevaluación III . B.4. Autoevaluación IV . 78 78 79 80 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 i “El olvido de las matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo”. Roger Bacon 1. CONJUNTOS Conceptos básicos En el contexto de la matemática existen términos no definidos, estos se consideran como un concepto primitivo. Sin embargo, se puede dar una idea intuitiva de ellos. Por ejemplo, un punto, conjunto, elemento, entre otros. Ejercicio 1. Escriba lo que entiende de cada término y dé dos ejemplos de cada uno. Término Conjunto Elemento Definición intuitiva Ejemplo Los conjuntos se denotan y gráficamente se representa Los elementos de un conjunto se representan Definir un conjunto es describir de manera precisa, sin ambigüedades, cuáles son los elementos de este. Existen varias maneras para definirlo, las más usuales son: por extensión y por comprensión. Un conjunto se define por extensión Un conjunto se define por comprensión Ejercicio 2. Escriba 3 ejemplos de conjuntos y descrı́balos por comprensión y por extensión Ejercicio 3. Determine si los siguientes conjuntos están bien descritos. Conjunto a. A = {3, 5, 7, . . .} b. B = {2, 4, . . . , 25 } Respuesta Justificación Ejercicio 4. Defina y complete las siguientes tablas Conjunto Vacı́o Universal Relación Pertenencia Contenencia Igualdad A.M.A. Notación Definición Definición Ejemplo Sı́mbolo 1 Ejemplo V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Ejercicio 5. Determine si los siguientes conjuntos son iguales A = {1, −3} , B = {n/ n2 − 4n + 3 = 0} Ejercicio 6. Determine cómo son los siguientes conjuntos A = {1, 2, 3} B = {3, 2, 1} C = {2, 1, 3} D = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 1} Escriba dos conclusiones del ejercicio anterior: 1. 2. PROPIEDADES 1. ∅ ⊆ A y ∅ ⊂ A, si A 6= ∅ 2. A ⊆ A Cardinalidad de un conjunto Se denota por Ejemplo 1. Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, n(A) = #(A) = 5 Conjunto de partes o conjunto potencia Ejemplo 2. Si A = {1, 2} , P(A) = {∅, {1} , {2} , {1, 2} = A} Ejercicio 7. Sea A = {∅, {1, 2} , {1} , 2}. Determine si es verdadera ó falsa cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta a. 1 ∈ A f. {1} ∈ A b. 1 ∈ /A g. ∅ ∈ A c. 2 ∈ A h. ∅ ⊂ A d. 2 ⊂ A i. {{2}} ⊆ A e. {1, 2} ∈ A Ejercicio 8. Sea A = {a, b, c}. Determine el conjunto de partes de A, P(A). A.M.A. 2 V.L.U.L. Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos. Se definen las siguientes operaciones: UNIÓN Representación gráfica 1) Si A y B son disjuntos La unión de A y B, denotada A ∪ B, es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A o pertenecen a B. 2) Si A ⊆ B A∪B = Ejemplo. 3) Si A y B son arbitrarios INTERSECCIÓN Representación gráfica 1) Si A y B son disjuntos La intersección de A y B, denotada A ∩ B, es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A y pertenecen a B. 2) Si A ⊆ B A∩B = Ejemplo. A.M.A. 3) Si A y B son arbitrarios 3 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica DIFERENCIA La diferencia de A y B, A − B , es el con- Representación gráfica junto cuyos elementos pertenecen a A y no pertenecen a B. A−B = ¿A qué es igual A − B si A ⊆ B? Ejemplo. Sea U un conjunto universal y A ⊆ U . COMPLEMENTO El complemento de A con respecto a U , es el conjunto cuyos elementos son los que pertenecen a U y no están en A. Se denota AC o A′ . Representación gráfica AC = Ejemplo. 1. AC = U − A Observaciones 2. A − B = A ∩ B C Propiedades. Sea U un conjunto universal y sean A, B y C subconjuntos de U . Nombre Idempotencia Conmutativa Asociativa Propiedad A∩A= A∩B = (A ∩ B) ∩ C = A∩∅= A∩U = A ∩ AC = A∪A= A∪B = (A ∪ B) ∪ C = A∪∅= A∪U = A ∪ AC = Identidad Complementación Distributiva Leyes de De Morgan (AC )C = A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)C = UC = , ∅C = A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)C = Otras propiedades. Si A ⊆ B, entonces 1. A ∪ B = A.M.A. 2. A ∩ B = 3. A ∩ B ⊆ 4 4. A ⊆ A ∪ B V.L.U.L. Taller 1Nota 1 1. Usando propiedades y diagramas de Venn, demuestre que (AC ∪ B C )C = A ∩ B. 2. Utilice las propiedades para demostrar las siguientes igualdades a. (AC ∩ B)C = A ∪ B C d. (A ∪ B) ∩ (A ∪ B C ) = A b. A ∩ (A ∪ B)C = ∅ c. (A ∩ B) ∪ (A ∩ B C ) = A e. (A − B) − C = (A − C) − (B − C) 3. Simplifique la expresión de modo que A, B y C aparezcan a lo sumo una vez. a. ((AC ∪ C C ) ∩ B)C b. ((A ∪ (B ∪ C)C )C Rta. (A ∩ C) ∪ B C Rta. ∅ 4. En cada diagrama sombree la operación indicada A B C U A B C U (a) (A ∪ B) ∩ C (b) (A ∩ B C ) ∪ C A U B C (c) (A ∪ B) − (A ∪ C) Taller 2. Teorı́a de conjuntosNota 2 1. Defina por extensión los siguientes conjuntos. Use la notación “. . .” cuando sea necesario. a. {x | x es entero y − 3 < x < 4} b. {x | (3x − 1)(x + 2) = 0} c. {x | es entero positivo y x es múltiplo de 3} 2. Enumere cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos a. {n | n es natural y es divisible por 5} b. n1 | n es primo c. {2n | n es natural} d. {r | r es racional y 0 < r < 1} 3. Describa por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escriba ∅ si es vacı́o. Nota 1 Tomado del libro: Matemáticas Universitarias. Allendoerfer, Carl B. & Oakley, Cletus. Cuarta Edición. Mc Graw Hill. 1997. Nota 2 Tomado del texto: Elementos de Lógica y Teorı́a de Conjuntos de Kisbye, Patricia & Tiraboschi, Alejandro L. Disponible en http://www.famaf.unc.edu.co.ar/ingresantes/material/elementos.pdf A.M.A. 5 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica a. {n | n ∈ N y n2 = 9} b. {x | x ∈ Z y x2 = 9} c. {x | x ∈ Z y x2 = 5} d. {n | n ∈ Z y 3 < |n| < 7} 4. Sea X = {0, 1, 2}. Liste cada uno de los elemenots de los siguientes conjuntos a. {z | z = 2x y x ∈ X} b. {z | z = x + y donde x y y son elementos de X} 5. Para cada uno de los siguientes pares de conjuntos A y B defina por extensión A y B y decir si A ⊆ B, B ⊆ A o ninguna de las anteriores a. A = {x ∈ N | x es par y x2 < 149} , b. A = {x ∈ N | x es impar y x2 < 130} , B = {x ∈ N | x + 1 es impar y x ≤ 10} B = {x ∈ N | x + 1 es par y x ≤ 12} 6. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5} , C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos a. A ∪ B b. A − B c. AC d. U C e. B ∩ U f. B ∩ C g. A ∪ ∅ h. A ∩ (B ∪ C) i. (A ∩ B) ∪ C j. (A ∪ B) − C 7. En diagramas de Venn como el de la figura sombree los siguientes conjuntos A U B C a. A ∪ B e. (A − B) ∪ C b. A ∩ B f. (A ∩ C) ∪ C C c. (A ∪ C) ∩ B g. (A ∩ B ∩ C)C d. A ∩ B ∩ C h. (A − B) − C 8. De un grupo de 100 investigadores, 40 son biólogos,50 son administradores ambientales y 10 son biólogos y admnistradores ambientales. Halle el número de investigadores que: a. sean biólogos o administradores ambientales b. sean únicamente administradores ambientales c. no sean administradores ambientales d. no sean ninguno de los dos 9. De un total de 60 alumnos de un colegio, 15 estudian francés solamente, 11 estudian francés e inglés, 12 estudian alemán solamente, 8 estudian francés y alemán, 10 estudian inglés solamente, 5 estudian inglés y alemán y 3 los tres idiomas. Determine a. ¿Cuántos no estudian ningún idioma? A.M.A. 6 V.L.U.L. b. ¿Cuántos estudian alemán? c. ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente? d. ¿Cuántos estudian francés? 10. Los siguientes datos muestran la preferencia de algunos alumnos de primer semestre del programa Administración Ambiental de la UTP, por las asignaturas matemáticas, administración y biologı́a. A 36 les gusta matemáticas, 32 prefieren administración y a 31 les gusta biologı́a. A 16 les gusta administración y biologı́a. A 15 matemáticas y administración, a 14 les gusta matemáticas y biologı́a y 6 tienen preferencia por las tres. a. Represente en un diagrama de Venn la información del ejercicio. b. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? c. ¿Cuántos alumnos prefieren solamente matemáticas? d. ¿Cuántos estudiantes no prefieren biologı́a? e. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que les gusta matemáticas y administración, pero no biologı́a? 11. Un grupo de estudiantes de Administración Ambiental estuvieron en salida de campo visitando el Parque del café, Panaca y el Mariposario. 150 alumnos visitaron el Parque del Café, 60 visitaron Panaca y 120 el Mariposario. 45 estudiantes visitaron el Parque del Café y Panaca, 40 Panaca y el Mariposario y 100 visitaron el Parque del Café y el Mariposario. 35 visitaron los tres lugares. a. Represente en un diagrama de Venn la información del ejercicio. b. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? c. ¿Cuántos alumnos estuvieron solamente en un lugar? d. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que les visitaron Panaca y el Mariposario, pero no el Parque del Café? 12. Considere los conjuntos que se definen a continuación y realice lo que se indica: A es el conjunto formado por todos los números naturales impares menores que 28. B es el conjunto formado por todos los números naturales primos menores que 28. a. Escriba por extensión el conjunto A y el conjunto B b. A ∩ B A.M.A. c. A ∪ B d. B − A 7 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica 2. EXPONENTES Y SUS PROPIEDADES I. EXPONENTES ENTEROS Definición 1. Si x ∈ R, n ∈ Z+ , entonces xn = Ejercicio 1. Calcule el valor de cada una de las siguientes expresiones: a. 32 = b. 23 = c. (−5)2 = d. (−5)3 = e. 3 × 22 = f. (3 × 2)2 = Definición 2. Si x 6= 0, n ∈ Z+ , entonces x−n = = Ejercicio 2. Calcule el valor de cada una de las siguientes expresiones: a. d. g. 2−3 = −2 5 = 3 b. e. , x 6= 0 x−2 = h. 3−2 = −4 3 − = 2 c. f. , x 6= 0 (−x)−2 = i. (−4)−3 = −5 2 − = 3 −x−2 = , x 6= 0 x0 = Definición 3. Si x 6= 0, n = 0 entonces Advertencia. 00 es indeterminado. PROPIEDADES. Sean x, y ∈ R y m, n ∈ Z. No. Propiedad 1. xn · xm = a. 33 32 = 2. (xn )m = a. (23 ) = 3. (xy)n = a. (2 × 5)3 = 4. n x = y 5. A.M.A. xm = xn Ejemplos b. (−3)2 (−3)3 = " #2 3 2 b. = 5 2 , si y 6= 0 , si x 6= 0 a. a. −3 2 35 = 32 5 8 = b. (−5 × 8)2 = b. b. 3 − 4 34 = 36 4 = V.L.U.L. Ejercicio 3. Simplificar las siguientes expresiones, eliminando los exponentes negativos a. 2x6 x−2 = b. 210 212 = 10−7 e. = 104 d (−5x2 y 3 ) (3xy −2 ) = g. (3abc)3 = (2a−1 b−2 c)2 j. (2x2 y −5 ) (6x−3 y) 1 −1 3 x y 3 = c. (7x4 ) (−3x2 ) = h. −xy 2 z 3 = (xy 2 z 3 )−1 k. 8y 3 x5 = −22y −1 x5 f. (−4x)3 = 3 3 2 ab = i. b−2 3 l. (−6xy 2 ) = x2 y 5 II. RADICALES Definición 4. Sean x, r ∈ R, n ∈ Z+ : √ n x = r si y solo si rn = x. Notación. • √ n x se llama la raı́z n−ésima principal de x. Ejemplo 3. Se tiene a. n = 2, √ 2 x= b. n = 3, √ 3 x es la raı́z cúbica de x. c. n = 4, √ 4 x es la raı́z cuarta de x. √ x es la raı́z cuadrada de x. √ 8 x es la raı́z octava de x. √ e. n = 15, 15 x es la raı́z quinceava de x. d. n = 8, Ejercicio 4. Complete la siguiente tabla a. c. e. g. i. A.M.A. √ 2 25 = 5 porque 5 = 25 r 1 3 − = porque 125 √ 7 128 = porque √ 3 −27 = porque p 4 (−2)4 = porque b. 9 r 5 d. √ 4 f. √ 3 h. √ 4 j. √ 4 1 1 = porque 32 2 5 1 1 = 2 32 16 = porque −8 = porque 24 = −16 = porque porque V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica PROPIEDADES. Sean x, y ∈ R y m, n ∈ Z. No. 1. 2. 3. 4. 5. Propiedad √ n √ ( n x) = x, si n x es real    x, si n es impar √ n n x = x, si n es par y x ≥ 0   −x, si n es par y x < 0 √ n xy = r x n = , si y 6= 0 y p √ m n x= Ejemplos √ 3 a. −27 3 = 2b. p 5 (−3)5 = b. −135 = r 27 a. 3 = 125 p√ 3 a. 729 = b. a. a. √ 3 √ 5 5 6 = p 4 (−3)4 = p (36)(25) = r 16 b. 4 = 256 p √ 3 b. 64 = Ejercicio 5. Simplifique cada una de las siguientes expresiones. a. √ 3 64x3 b. d. √ 5 32a5 b7 c10 e. r x2 49 √ √ 7 7 x7y c. f. p √ 7 3 x21 √ √ 3a2 b3 6a5 b Todas las letras denotan números reales positivos. Ejercicio 6. Calcule los valores de las siguientes raı́ces y compare. a. b. √ √ 25 + 9 = 22 + 72 = , √ √ 25 + 9 = √ √ , 22 + 72 √ 2+7 x+y p x2 + y 2 √ x+ √ y x+y III. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Algunos factores de racionalización Factor del denominador √ x, x > 0 √ 3 x √ 7 x3 √ √ x+ y A.M.A. Multiplicar numerador y denominador por √ x √ 3 x2 √ 7 x4 √ √ x− y 10 Factor resultante V.L.U.L. Ejercicio 7. Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones a. 1 √ = 11 b. √ 5 √ = 12 e. 2 √ = 4 2x f. √ 1 √ = x+ y r x = y2 √ x √ = 1+ x c. 5 g. d 2 √ = 3 4 h. 2 √ = 1− x IV. EXPONENTES RACIONALES √ • n x = x1/n m √ m √ • Si m/n ∈ Q, 1 < n ∈ Z+ , entonces xm/n = ( n x) = n xm , xm/n = x1/n = (xm )1/n NOTA. Las leyes de los exponentes enteros se cumplen para exponentes racionales. Ejercicio 8. Simplifique las siguientes expresiones a. 3x1/2 c. (a2 b−8 ) e. g. 2x1/5 1/4 4x1/2 (8x)1/3 2/3 2 −5/6 2x 3x y 1/2 y 1/3 b. 25x1/3 y 3/2 d. (−27)2/3 (4)−5/2 f. h. 6 2x1/2 z −1/6 y 2/3 1/2 2 −1/2 2x 1 x−3/2 4x TALLER SOBRE EXPONENTES Tomado de Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, E. W. Swokowski & J. W. Cole, pág. 25. Ejercicios 1–10. Exprese el número en la forma a/b, donde a y b son enteros. 4 2. (−3)3 1. − 23 2−3 3. −2 3 5. −24 + 3−1 7. 16−3/4 9. (−0.0008)2/3 A.M.A. 20 + 02 4. 2+0 4 6. − 32 − 2−4 8. 95/2 10. (0.0008)−2/3 Ejercicios 11–46. Simplifique: 11. 1 4 2x 16x5 (2x3 )(3x2 ) (x2 )3 15. 61 a5 − 3a2 4a7 13. 17. 19. 11 (6x3 )2 (2x2 )3 3u7 v 3 4u4 v −5 12. − 3x−2 4x4 14. (2x2 )3 4x4 16. − 4b3 1 2 6 3b − 9b4 (3y 3 )(2y 2 )2 (y 4 )3 20. x2 yz 3 −2xz 2 x3 y −2 18. V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica 1 −5 2 y 2x 21. 8x4 y −3 23. 1 4 −3 −2 3x y 25. 3y 3 27. − 2r4s−3 29. 5x2 y −3 4x−5 y 4 31. 33. 35. 37. 39. 4 4y 2 −3 −2 2 3x5 y 4 x0 y −3 4ax3/2 2a1/2 3x5/6 8x2/3 27a 6 −2/3 8x−2/3 x1/6 2/3 −8x3 41. y −6 6 −1/2 x 43. 9y −4 45. (x6 y 3 )−1/3 (x4 y 2 )−1/2 22. 24. 26. 28. 30. 32. 34. 36. 38. 40. 5a2 b 2b4 7 5 x − 2xy 2 8y 3 3 − 3a2 b−5 4a2 b a 3 b2 2x2 y −5 6x−3 y − r2 s 5 3r−1 s3 1 −1 3 y 3x 2 − 2x5/2 3 −y 3/2 42. y −1/3 −4 3/4 c 44. 16d8 √ 4 x3 A.M.A. √ 3 (b) (4 + x)3/2 55. (a) 8 − y 1/3 (b) (8 − y)1/3 57. √ 59. √ 3 65. 67. 46. a4/3 a−3/2 a1/6 48. 54. (a) 4 + x3/2 81 −64 1 61. √ 3 3 p 9x−4 y 6 63. 69. Ejercicios 47–52. Reescriba la expresión usando exponentes racionales. 47. (b) (4x)3/2 52. √ 3 a+ √ b r 3 − s3 (b) (8y)1/3 Ejercicios 57–74. Simplifique la expresión y racionalice el denomnador, cuando sea el caso. 8r1/3 2r1/2 3x1/2 53. (a) 4x3/2 56. (a) 8y 1/3 2 −a3 2 2b − 6x7/5 2x8/5 25z 50. Ejercicios 53–56. Reescriba la expresión usando un radical. 4a4 b 4 −3/2 p p 3 (a + b)2 p x2 + y 2 51. 49. 71. x5 73. 12 √ 3 8a6 b−3 r r 3 r 4 r 5 3x 2y 3 2x4 y 4 9x 5x8 y 3 27x2 5x7 y 2 8x3 58. √ 3 60. √ 4 62. r −125 256 1 7 64. √ 16a8 b−2 66. √ 4 68. 70. 72. 74. 81r5 s8 r r 3 r 4 r 5 1 3x3 y 3x2 y 5 4x x7 y 12 125x 3x11 y 3 9x2 V.L.U.L. 3. SISTEMA DE NÚMEROS REALES PORCENTAJES Objetivo. Reconocer y aplicar porcentajes en diferentes situaciones y utilizarlos para resolver problemas. Situación 1. La familia Sánchez compró un electrodoméstico cuyo precio es $600.000. Por pagar en efectivo le rebajaron $72.000. ¿Cuánto rebajan en este almacén por cada $100? Ejercicio 1. ¿Qué significa doce por ciento? ¿Cómo se representa? Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Tanto por ciento significa porcentaje y se representa por %. Ejemplo 1. “treinta y dos por ciento” se representa mediante 32 % y significa treinta y dos de cada cien. Situación 2. La población de un pequeño pueblo disminuyó de 1750 a 1700 habitantes. ¿Cuál es el porcentaje de decrecimiento? Para resolver situaciones como estas o similares, se requiere usar expresiones como: Porcentaje de incremento = cantidad de aumento × 100 %. cantidad original TALLER 1. ¿Qué porcentaje es 24 de 40? 2. ¿Cuál es el 70 % de 48? 3. ¿En cuánto se venderá un celular si el precio marcado es de $760.000 y la tienda ofrece un 12 % de descuento? 4. El salario por hora de trabajo de estudiante se elevó de $3250 a $3750. ¿Cuál es el porcentaje de incremento? 5. El Supermecado Inter otorgan un descuento todos los jueves del 20 % en el precio de las carnes. Si las carnes que doña Marı́a lleva cuestan $180.000, ¿Cuánto será el descuento? y ¿cuánto debe pagar? 6. Don Carlos paga de arriendo $450.000 mensualmente; si éste valor es el 30 % de su salario, ¿cuál es el sueldo mensual? 7. El salario por hora de trabajo de estudiante se elevó de $3250 a $3750. ¿Cuál es el porcentaje de incremento? 8. En un hospital de maternidad el número de nacimientos disminuyó un 4 % en el año 2004 respecto al 2003. Si en el 2004 nacieron 432 bebés, ¿cuántos nacieron en el 2003? A.M.A. 13 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica 9. Un rectángulo tiene 6 m de largo y 4 m de ancho. Al aumentar en 20 % tanto el ancho como el largo, ¿en qué porcentaje aumenta su perı́metro?, ¿y su área? 10. En un encuentro de 40 profesionales dedicados a la protección del medio ambiente, se hizo una encuesta con el propósito de determinar el número de biólogos y de administradores ambientales. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 60 % son biólogos, el 20 % son administradores ambientales y 5 % poseen ambas profesiones. a. ¿Cuántos profesionales no son biólogos ni administradores ambientales? b. ¿Cuántos profesionales son biólogos únicamente? c. ¿Cuántos profesionales no son biólogos? 11. En Marsella se venden 3 clases abonos para los cultivos de café: A, B y C. Si el 55 % de los agricultores del pueblo compran el abono A, el 45 % el abono B y el 40 % el abono C, el 25 % de los agricultores compran el abono A y B, el 15 % el abono A y C, el 20 % el abono B y C, y el 10 % el abono A, B y C. a. ¿Qué porcentaje de los agricultores del pueblo comprar al menos uno de los 3 abonos. b. ¿Qué porcentaje compra el abono A pero no el C? c. ¿Qué porcentaje compra el abono B pero no el A? d. ¿Qué porcentaje compra únicamente el abono B? e. ¿Qué porcentaje no compra ninguno de los tres abonos? 12. El precio de venta de un paquete turı́stico en la zona cafetera es de $350.000, después de aplicar un descuento del 30 %. a. ¿Cuánto vale el paquete sin el descuento? b. Si una persona compra dos paquetes turı́sticos recibe un 10 % adicional por cada uno. ¿Cuál es el costo final de los dos paquetes? 13. Doña Marı́a fue al mercado. El 30 % del dinero que llevaba lo invirtió en carne, otro 20 % en pescado, la mitad de lo que le quedaba lo gastó comprando hortalizas y los $12.000 sobrantes los invirtió en frutas. ¿Cuánto dinero llevó doña Marı́a al mercado? Ejercicio 2. Responda verdadero ó falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique claramente su respuesta No. 1. 2. 3. A.M.A. Proposición La cuarta parte de 100 cm es equivalente al 25 % de 100 El 100 % de 50 gramos es igual a la mitad de 50 gramos V oF Justificación El 200 % de una cantidad es igual al doble de ella 14 V.L.U.L. APLICACIONES 1. Una embarcación que naufragó en el siglo XVI, se encuentra a 60 metros bajo la superficie del agua. Un buzo descendió hasta la nave en 15 minutos. En promedio, ¿a cuántos metros por minuto bajó? 2. En enero de 1975, en Alaska, la temperatura bajó de −4◦ C a −39◦ C, en 7 horas. En promedio, ¿cuántos grados por hora bajó la temperatura? Ejercicio 3. Investigue en revistas, periódicos y boletines de almacenes, cinco expresiones en las que se empleen porcentajes. Selecciones las frases relacionadas con el tema y explica el significado de cada una de ellas. Ejercicio 4. Investigue cuatro campos diferentes de la vida en los que se empleen los porcentajes y escriba un ejemplo para cada uno. NÚMEROS REALES Situación 1. El veterinario le informó a Daniel que el peso de su mascota está tres cuartos de libra por debajo del peso normal. Después de varios dı́as de cuidados, la lleva nuevamente. Esta vez el peso está media libra por encima del peso normal. ¿Cuánto aumentó de peso? CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto Representación Una razón por la cual surgió Naturales N = {0, 1, 2, 3, . . .} Enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} n o Q = pq | p, q ∈ Z ∧ q 6= 0 Contar. Representar las deudas. Resolver x + 5 = 0. Racionales / Q} Irracionales I = {x | x ∈ R=Q∪I Reales Resolver 2x + 5 = 0. Hallar el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1. Números reales R Números racionales Enteros negativos Z− = {. . . , −2, −1} Cero 0 Números irracionales Enteros positivos Z+ = {1, 2, 3, . . .} Números enteros Z A.M.A. 15 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Definición 1 (Divisibilidad). Sean a y b dos enteros con a 6= 0. Se dice que a divide a b, lo escribimos a|b, si existe un c ∈ Z tal que b = ac. También se dice que a es un factor o divisor de b, y que b es un múltiplo de a. Definición 2. 1. Un número entero es par si es múltipo de 2. Es decir, es del forma 2n, n ∈ Z. 2. Un número entero es impar si es del forma 2n + 1, n ∈ Z. Definición 3. Un número primo es un número natural que solo tiene dos factores (distintos) que son el número mismo y el uno. Un número compuesto tiene otros factores además de si mismo y el uno. Ejemplo 2. −38 es par porque −38 = 2×(−19), mientras que 71 es impar pues 71 = 2×35+1 Operaciones con fracciones Sean a/b, c/d ∈ Q. Suma Producto Equivalencia a c + = b d a c × = b d a c = si y solo si b d Resta División Amplificación a c − = b d a c ÷ = b d a a×k = , k 6= 0 b b×k Ejercicio 5. Realice las operaciones indicadas 2 4 − 3 5 5 3− 7 d. 1 5 + 3 7 a. b. 9 2 × 3 11 d. c. 2 10 − 7 ÷ 5 4 × 3 1 3 2 + × 2 5 7 2   e.  5  × −3 + 2 2 3− 5 5 1 g. 1+ 1 1+x 1+ 1−x Definición 4 (Sistema de números reales). EL sistema de números reales consiste en un conjunto de elementos denominados números reales, denotado por R y dos operaciones conocidas como suma (adición), representada por el sı́mbolo (+) y multiplicación,denotada por · o ×, que satisfacen las siguientes propiedades: Propiedad Clausurativa Asociativa Conmutativa Modulativa Invertiva Distributiva A.M.A. Suma Multiplicación 16 V.L.U.L. Observaciones. 1. La diferencia a − b se define como a + (−b). 1 a 2. Si b 6= 0 el cociente a ÷ b se define a ÷ b = a/b = a × = . A a se llama b b yab . 3. −a a a = = − , si b 6= 0. b −b b Curiosidad. Coloque los tres signos (+, −, × ó ÷) que correspondan entre los cuatro ochos y use paréntesis cuando sea necesario, para que se cumpla la igualdad. 8 8 8 8 = 120 Teorema 0.1. Si x ∈ R, entonces x · 0 = 0. Demostración. Pasos x · (0 + 0) = x · 0 x·0+x·0=x·0 −x · 0 + (x · 0 + x · 0) = −x · 0 + x · 0 (−x · 0 + x · 0) + x · 0 = 0 0+x·0=0 x·0=0 Justificación Teorema 0.2. Si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0. Demostración. Si a 6= 0, entonces Pasos ab = 0 −1 a (ab) = a−1 · 0 (a−1 a)b = 0 1·b=0 b=0 Justificación De manera análoga se prueba que si b 6= 0, entonces a = 0. Ejercicio 6. Formule una propiedad algebraica básica del sistema de números reales para justificar cada uno de los siguientes enunciados, donde x, y y z representan números reales. A.M.A. 17 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. (6 + 8) + 2 = 6 + (8 + 2) (x + 8)z = xz + 8z z(x + 8) = xz + 8z (x + y)z + 5 = xz + yz + 5 (x + 8)1 = x + 8 (x + 8)0 = 0 x + (−x) = 0 (x + y) + (−(x + y)) = 0 1 (x + y) · = 1, si x + y 6= 0 x+y (x + 5y)(z − x) = (z − x)(x + 5y) Si (x + 5)(y − 8) = 0 entonces x = −5 o y = 8 Si 2x + 5 = −3x + 8 entonces x = 35 a + b = a + c si, y solo si b = c a 6= 0 ∧ ab = ac si, y solo si b = c Suma Multiplicación Ley cancelativa, a, b, c ∈ R Leyes de los signos −(−a) = (−a)b = (−a)(−b) = (−1)a = Ejercicio 7. Determine la respuesta correcta. a. b. c. 1 −4= 2 a+b = b 1 x+ =5 3 − 3+ 1 2 −2 a x = 14 4) −2x = 5 x=− 5) 2 + 3 − 11 = 2 5 2 −8 a +1 b 14 x= 3 x=7 −3 1 a+1 x= 4 3 x = −10 −7 Ejercicio 8. Responda verdadero ó falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique claramente su respuesta No. F ó V Proposición a. El opuesto de todo número real es negativo b. Todo número real tiene inverso multiplicativo c. x + (yz) = (x + y)(x + z) para todo x, y, z ∈ R p x2 + y 2 = x + y para todo x, y ∈ R d. e. A.M.A. a+b =1+b a 18 V.L.U.L. ECUACIONES LINEALES Ejemplo introductorio. Si al producto de un entero x con -7 se le adiciona 48, el resultado es −2458, ¿cuál es el número x? Definición 1. Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cuales contienen números o variables. El resultado de una ecuación se conoce como solución o raı́z. Si se quiere comprobar que el valor de la raı́z esta correcto, simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la raı́z. Ejemplo Comprobación 5x − 8 = 2 5x = 2 + 8 x=2 5x − 8 = 2 5·2−8=2 2=2 Definición 2. Una ecuación de la forma ax + b = 0, 0 6= a, b ∈ R es una ecuación lineal en la variable x. La solución de la ecuación es: x = − ab . Definición 3. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Las ecuaciones siguientes son equivalentes, porque su única solución es 12. 1) x − 2 = 10 x = 10 + 2. Luego, x = 12 2) x − 6 = 6 x = 6 + 6. De donde, x = 12 Para resolver una ecuación, usualmente se trata de cambiar o transformar ésta en una ecuación equivalente. Esta transformación se puede hacer de la siguiente forma: • sumando o restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada. • multiplicando o dividiendo a ambos lados de la ecuación por una cantidad no igual a cero. Ejercicio 1. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones No. a. c. e. g. A.M.A. Ecuación −3x − 11x + x = −14 35 7 − x= 8 36 9 4x 7x − = 5 8 20 3 2 5 (6x − 7) − (3x − 2) = (5x − 6) 6 8 3 19 No. Ecuación b. 31x = 62 d. f. h. 1 5x + =8 4 12 3x + 5 2x − 1 − =2 4 3 2x − 1 3x − 5 x− = 3 5 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Aplicaciones de las ecuaciones lineales En la vida diaria es común encontrar situaciones que se modelan o representan por medio de una ecuación lineal, para su solución no existen normas o algoritmos establecidos, no obstante las siguientes reglas pueden servir para resolver esta clase de problemas: • Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se está buscando. • Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan las variables x y n. • Utilizar los datos dados para establecer una ecuación incluyendo las variables de los valores desconocidos. • Resolver la ecuación y comprobar la respuesta. Para resolver una ecuación se llevan a cabo operaciones que permitan transformar o llevar la ecuación a una equivalente que sea más fácil de resolver. Las dos operaciones siguientes generan nuevas ecuaciones y cumplen la condición de ser equivalentes, es decir tener las mismas soluciones. Estas son: ∗ (Principio de adición). Sumar o restar cualquier constante o cualquier expresión racional que incluya a la variable en ambos lados de la ecuación. ∗ (Principio de multiplicación). Se puede multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por una constante diferente de cero. A continuación se agrupan por modelos algunas situaciones que permiten ejemplificar aplicaciones de ecuaciones lineales. 1. EDADES. Ejemplo 1. Carlos es el papá de Andrés. La edad actual de Andrés es 11 años y la de Carlos 39. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir, en años, para que la edad de Carlos triplique la de Andrés? Solución. x : representa el tiempo en años que debe transcurrir para que la edad de Carlos triplique la de Andrés. 39 + x : es la edad de Carlos dentro de x años 11 + x : es la edad de Andrés dentro de x años 39 + x = 3(11 + x) 39 + x = 33 + 3x 6 = 2x 3=x En consecuencia deben pasar 3 años para que la edad del papá triplique la del hijo. Ejemplo 2. Encuentre la edad actual de Laura. Se sabe que hace 5 años Laura tenı́a 5 veces la edad de Marı́a y actualmente es 8 años mayor que Marı́a. A.M.A. 20 V.L.U.L. Solución. x : representa la edad actual de Laura. Se puede representar la información del problema en términos de x. Laura Marı́a Edad actual x x−8 Edad hace 5 años x−5 (x − 8) − 5 = x − 13 La siguiente ecuación representa la relación entre las edades hace 5 años. x − 5 = 5(x − 13) x − 5 = 5x − 65 65 − 5 = 5x − x 60 = 4x 15 = x Por tanto, la edad actual de Laura es de 15 años. 2. MEZCLAS Esta clase de problemas generalmente se plantean a partir de una concentración inicial de dos o más elementos, la cual se pretende variar aumentando o disminuyendo una cantidad, con la misma o diferente concentración especı́fica de uno o varios de ellosNota 1 Es necesario tener presente la ecuación de balanceo para solucionar esta clase de problemas. V0 C 0 ± V1 C ǫ = Vf C f Donde V0 : C0 : V1 : Vǫ : Vf : Cf : Volumen inicial o peso inicial Concentración inicial Volumen o peso que se agraga o elimina Concentración especı́fica Volumen o peso ideal deseado Concentración final requerida Ejemplo 3. En un recipiente que contiene 500 centı́metros cúbicos de miel con una concentración inicial de azúcar del 60 %, se desea disminuir la cantidad de azúcar de la mezcla a un 40 % agregando agua pura. ¿Qué volumen de agua debe mezclarse? Solución. x : representa el volumen de agua que debe ser agregado. V0 = 500 cm3 Nota 1 Tomado del texto: Matemáticas previas al cálculo. Francisco G. Mejı́a Duque, Rafael A. Álvarez Jiménez & Horacio Fernández Castaño. Sello editorial Universidad de Medellı́n, 2005, pp. 43 y 44. A.M.A. 21 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica C0 = 60 % = 60 100 V1 = x Vǫ = 0 % porque es agua pura Vf = 500 + x 40 Cf = 40 % = 100 Usando la ecuación de balanceo y sustituyendo los valores obtenidos del problema: 500 V C − V C ǫ = Vf C f 0 0 1 0 40 60 −x = (500 + x) 100 100 100 Observe: se considera el signo negativo en la ecuación porque el agua disminuye la concentración de azúcar. Al resolver la ecuación se obtiene x = 250 cm3 representa que para disminuir la de azúcar del 60 % al 40 % se debe agregar 250 centı́metros de agua pura a la mezcla. Ejemplo 4. ¿Cuántos litros de una solución de ácido nı́trico al 60 % deben añadirse a 10 litros de una solución al 30 % para obtener una solución al 50 %?Nota 2 Solución. x : representa el número de litros litros de la solución al 60 % que se deben añadir 10 V C + V C ǫ = Vf C f 0 0 1 30 60 50 +x = (10 + x) 100 100 100 Después de solucionar la ecuación se obtiene que x = 20 litros. Por lo tanto, se deben añadir 20 litros de la solución al 60 %. TEORÍA DE NÚMEROS Ejemplo 5. 18 es sustraı́do de 6 veces un número y el resultado es 96. ¿Cuál es el número? Solución. x : número 6x − 18 = 96 6x = 96 + 18 6x = 114 x = 19 Nota 2 Tomado del libro Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica. Fleming, Walter & Varberg, Dale, p. 113. A.M.A. 22 V.L.U.L. Ejemplo 6. Tres canastas contienen 574 mangos. La primera canasta tiene 10 mangos más que la segunda y la tercera canasta contiene el doble de mangos que tiene la primera. ¿Cuántos mango hay en cada canasta? Solución. x: No. de mangos que hay en la primera canasta y: No. de mangos que hay en la segunda canasta z: No. de mangos que hay en la tercera canasta De la información del problema, se tiene: x + y + z = 574, y = x − 10, z = 2x Al reemplazar las dos últimas ecuaciones en la primera se obtiene x + x − 10 + 2x = 574. De donde x = 146. Por lo tanto, en la primera canasta hay 146 mangos, en la segunda 136 y en la tercera 292. TALLER ECUACIONES LINEALES Resuelva cada una de las siguientes situaciones. 1. Un número es el quı́ntuplo de otro. La suma de ambos es 90. Determinar los números. 2. La suma de tres números es 63. El segundo es el doble del primero y el tercero supera en 3 al segundo. Determinar los números. 3. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él. Encuentre el número. 4. El precio de venta de una cosedora es de $350 luego de aplicar un 30 % de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la cosedora? 5. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, y el tercero es 4 menos que el primero. Determine los números. 6. Determine un número de 3 cifras donde la unidad es 2, la cifra de las decenas es dos unidades más que las unidades y sumadas las tres cifras da como resultado 11. 7. Determine un número de 4 cifras donde la cifra de las decenas es el doble de las unidades, la de las centenas es el de doble de las decena y las unidades de mil es igual al doble de las centenas y sumando todos los dı́gitos da 15. 8. Catalina tiene actualmente la mitad de la edad de Dora, y dentro de 12 años tendrá 5/6 de la que Dora tenga en entonces. ¿Cuáles son sus edades actuales? 9. La base de un rectángulo es 3 metros menor que el doble de la altura y el perı́metro es de 42 metros. Obtener las dimensiones del rectángulo. 10. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 metros. Encontrar el área del triángulo si su base es de 8 metros menos que el doble de su altura. A.M.A. 23 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica 11. Una agencia de viajes vende un paquete turı́stico. Los costos que tiene que asumir son: 10 % del valor de las ventas en pago a los guı́as, el 50 % en pagos de hospedaje, 12 % en transporte y 8 % en alimentación. Si la empresa desea ganarse $5.000.000 en el mes ¿Cuánto tiene que vender? Determine el valor en pesos a pagar por: guı́as, hospedaje, transporte y alimentación. Rta. $ 25.000.000. 12. Un restaurante ha determinado que un plato tı́pico requiere la siguiente inversión: $200 de arroz, $4.000 en carne y $500 en ensalada. Si el restaurante desea ganarse el 60 % en cada plato ¿en cuánto lo tiene que vender y cuál serı́a la ganancia en pesos por cada plato? Rta. $11.750, $7.050 utilidad = ingreso total − costo total 13. Juan planea llevar a cenar a su esposa Elena. Preocupada por la situación financiera Elena le pregunta, “¿cuánto dinero tienes?” Incapaz de dar una respuesta sencilla teniendo una complicada a la mano, Juan le responde: “si tuviera $12 más de lo que tengo y después duplicara esa cantidad, tendrı́a $60 más de lo que tengo”. ¿Cuánto dinero tiene Juan? Rta. Juan tiene $36Nota 3 . 14. A las 2:00 PM Don Lento salió de la ciudad La Tortuga y viajó hacia el este a 45 Km/h. Una hora más tarde Don Veloz salió detrás de él a 60 Km/h. ¿Cuánto alcanzará Don Veloz a Don Lento? Recuerde d = vt. Rta. Don Veloz alcanza a Don Lento a las 6 PMNota 4 . 15. La edad de Carlos es la mitad de la de Pedro; la de Juan es el triple de la de Carlos y la de Santiago el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? EJERCICIOS DE REPASONota 5 Resuelva las siguientes ecuaciones 1. 5x − 9 + 2x = 7 + 3x 2. 6x + 4 + 3x = 4 − 7x 3. 4x − 20 − 2x = 5 − 3x 4. x − 8 − 7x = 4 − 2x 5. 2x − 12 − 9x = 3 − 6x 6. x + 10 − 8x = 4x − 12 7. 1 x x 1 − = − 6 4 2 3 8. 2x 1 x 2 − = + 3 2 6 3 9. 10. x 1 1 x − = − 8 3 6 4 11. 2x 1 x 1 − = + 9 2 4 6 12. x 1 3x 1 − = + 2 6 8 3 7x 5 4x 3 + = + 12 2 3 4 13. 7(2x − 3) + 2(3x − 1) = 17 14. 3(2x + 7) − 4(2 − x) = 3 15. 11 − 13(2 − x) = 5(3x − 7) 16. 9 − 8(13 − 6) = 11(2 − 9x) Nota 3 Tomado del libro Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica. Fleming, Walter & Varberg, Dale. pp. 110–112. Nota 4 Idem Nota 4. Nota 5 Tomado de Zill, página 161 A.M.A. 24 V.L.U.L. 17. 5(3 − x) − 6(3 − 2x) = 18 18. 11(2x − 1) + 8(3 − 5x) = 25 19. 6(5x − 2) + 7(2 − 3x) = 5 20. 6 + 4(3x − 10) = 7(3x − 1) 21. 8(x + 3) − 7(2x + 1) = 4(x − 2) 22. 9(2x − 1) − 3(3x − 2) = 4(3x + 1) 23. 5(4 − 7x) = 11 − 16(2x − 3) 24. 4(6x − 17) − 20 − 19(7 − x) 25. 2(5 − 4x) + 5(1 + x) = 3(3x − 7) 26. 4(3 − 8x) + 7(2x − 9) = 6(1 − 2x) 27. 6(x − 3) − 4(5 + 3x) = 7(x − 6) 28. 3(x − 1) − 2(2x − 3) = 5(x − 3) 29. (4x − 7)(x − 5) + (3 − 2x)(1 + 2x) = −8 30. (3x + 1)(x − 2) − 3(x − 4)(x + 6) = 4 EL ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES Ejercicio 1. Describa un procedimiento para construir la recta real. Relaciones de orden Sı́mbolo < Nombre Sı́mbolo Nombre Ley de tricotomı́a. Si a, b ∈ R, entonces se da una y solo una de las siguientes expresiones: Relación a<b Definición a es menor que b si b − a es positivo Representación geométrica b b a Propiedad. Sean a, b, c y d números reales positivos. b c a < si y solo si ad < bc. b d Ejercicio 2. Escriba en el cuadro, el sı́mbolo <, > ó = que corresponda a. −8 A.M.A. −4 b. 8 4 c. 3 9 1 3 25 d. 3 25 3 22 45 e. − 10 − 92 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica INTERVALOS Intervalo {x ∈ R | a < x < b} {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} {x ∈ R | a < x ≤ b} {x ∈ R | a ≤ x < b} {x ∈ R | a < x} {x ∈ R | a ≤ x} {x ∈ R | x < b} {x ∈ R | x ≤ b} Notación Representación Nombre Ejercicio 3. Grafique el conjunto sobre la recta numérica y expréselo usando intervalos. a. b. c. d. Conjunto {x ∈ R | x < −2} {w ∈ R | w ≥ 4} {x ∈ R | −5 < x ≤ b} {t ∈ R | −3 ≤ t < 3} Representación Intervalo Ejercicio 4. Represente en la recta numérica los siguientes conjuntos Conjunto a. {−3, 8} b. (−3, 8) c. [−3, 8] d. (−3, 8] e. [−3, 8) Representación Conjunto f. (−3, 8] ∩ [5, 10] g. (−3, 8] ∪ [5, 10] h. (−3, 8] ∩ (5, 10) i. (−∞, 3] ∩ [−5, ∞) j. [0, 14] ∩ [5, 10] Representación INECUACIONES LINEALES Situación. El vivero de la UTP cultiva cactus para la venta, el costo combinado de mano de obra y material es de $2100 por cactus. Los costos fijos (costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $70.000. Si el precio de venta de cada cactus es $3500, ¿cuántos cactus se deben vender para que el vivero genere utilidades? Definición 1. Una inecuación lineal en la variable x es una expresión que tiene la forma ax + b < 0, donde 0 6= a, b ∈ R. El sı́mbolo < se puede reemplazar por >, ≥ o ≤ . x < −b/a A.M.A. Intervalo Conjunto 26 V.L.U.L. Resolver una inecuación lineal es determinar el conjunto de valores que toma la variable que satisfacen la desiguladad. Para resolverla, se utilizan las siguientes propiedades. Propiedades. Sean a, b y c números reales. La siguientes propiedades se satisfacen para las desigualdades. Complete los espacios en blanco. 1. a > 0 y b > 0, entonces a + b 2. Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab , a b , b a 3. Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab , a b , b a 4. Si a < b y b < c, entonces a < c. Ejemplo: Transitiva 5. a) Si a < b y c ∈ R, entonces a + c < b + c. Ejemplo: b) Si a < b y c < d, entonces Monotonı́a de la suma 6. a) Si a < b y c > 0, entonces ac b) Si a < b y c < 0, entonces ac Monotonı́a producto bc. Ejemplo: bc. Ejemplo: Ejemplo 1. Resolver a. 2x − 3 ≤ 1 b. Solución. Se tiene 2 5 del − 5x > 2 El conjunto solución es el intervalo (−∞, 2] ] a. 2x − 3 ≤ 1, 2x ≤ 4, x ≤ 2 2 8 ) El conjunto solución es el intervalo (−∞, − 25 − 5x > 2, −5x > 2 − 52 , ) 8/5 8 8 , x < − 25 −5x > 85 , x < − 25 −5 Observe que cambia el sentido de la desigualdad ¿por qué? b. 2 5 Ejercicio 1. Resuelva las siguientes inecuaciones y exprese las soluciones usando intervalos. a. 3x + 7 ≤ 0 b. −(2 − 3x) ≥ 0 c. −5x + 2 > 0 d. −3 < 7 − 21 x ≤ 7 Ejercicio 2. Encuentre los errores que tienen las soluciones de la siguiente inecuación. Solución 1 4 − 3x < −5 3 4 − x < −5 −x < −9 x < 9, (−∞, 9) Solución 2 4 − 3x < −5 3 4 − 3x < −15 −3x < −19, x < −19 −3 19 x < 19 , −∞, 3 3 Solución correcta Ejemplo 2. Resolver la situación planteada al inicio de la guı́a. A.M.A. 27 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Solución. Si q el número de cactus que deben venderse, su costo es 2100q. Luego, el costo total para el vivero es C = 2100q+70.000. El ingreso total de las ventas de q cactus será 3500q. Utilidad = Ingreso total − Costo total. Como la utilidad debe ser mayor que 0, Ingreso total − Costo total > 0 3500q − (2100q + 70.000) > 0 1400q > 70.000, q > 50 Luego, deben venderse al menos 51 cactus para que el vivero genere utilidades. Ejercicio 3. Resuelva las inecuaciones, grafique la solución y exprésela usando intervalos. No. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. Inecuación x+3≥0 −x + 2 < 0 −(2 − x) ≤ 0 7x + 4 < 16 − 5x 1 − 4x ≤ 8x 2 5 − 74 x ≥ 5 −(1 − x) ≥ 2x + 1 −3 ≤ 4−x <7 4 1 2 < 6 − 2x ≤ 8 4x − 21 > −4 + 2(x − 1) Solución Representación gráfica Ejercicio 4. Encuentre la solución de las siguientes inecuaciones No. a. b. c. Inecuación Solución 6x + 3 ≥ 2x − 3 y 3x − 7 < 5x − 9 4(3 − x) < 7 + 3(2 − x) y 3(x − 1) < 4 − (1 − x) 5(2x − 1) − 3(x − 3) ≥ 18 y 2(7x + 1) − 5(4x + 1) ≥ −15 APLICACIONES DE DESIGUALDADES 1. Lorena es una estudiante de la Facultad de Ciencias Ambientales de la UTP y vende bombones de chocolate, que ella misma hace. Cada bombón tiene un precio de venta de $200 y un costo unitario de producción de $150. Además, tiene costos fijos por $6.000, determine el número mı́nimo de bombones que Lorena debe vender para generar utilidades. Rta. Más de 120 bombones. A.M.A. 28 V.L.U.L. 2. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañı́a determina que el costo del material es de $250 y el de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $740 por unidad, determine el número mı́nimo de unidades que debe ser vendido para que la compañı́a obtenga utilidades. Rta. Más de 11 unidades. 3. En Pereira llegó una nueva compañı́a que vende servicios telefónicamente, denominada Telepereira y ofrece empleo a estudiantes de la UTP con dos modalidades de salario. Un método para pagar el salario es $120.600 más una comisión del 3 % sobre sus ventas anuales. El otro método paga un sola comisión del 15 % sobre sus ventas. a. ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor seleccionar el primer método? b. ¿Cuál debe ser la cantidad mı́nima que debe vender para que la compañı́a obtenga una utilidad? Rtas. a. x < $1.005.000. b. Más de 2400. 4. Una compañı́a elabora bolsos de materiales reciclados con un precio unitario de venta de $40.000 y un costo unitario de $25.000. Si los costos fijos son de $12.000.000 ¿Cuál debe ser la cantidad mı́nima que debe vender para que la compañı́a obtenga una utilidad? Rta. Más de 800. VALOR ABSOLUTO Definición 1 (Aritmética). “El valor absoluto de un número, es ese mismo número sin signo y se representa entre dos barras verticales, por ejemplo: |−3| = 3, |5| = 5”. Definición 2 (Funcional). Para cualquier número real x, el valor absoluto de x, se denota |x| y se define |x| = ( −x x 0 R Ejercicio 1. Complete la siguiente tabla a. |−7| = b. |7| = c. |−12 + 7| = d. |12 − 7| = Ejercicio 2. Halle |w − 3| si a. w < 3 b. w = 3 c. w > 3 Ejercicio 3. Encuentre los valores de w que satisfagan cada caso a. |w| = 6 A.M.A. b. |w| < 6 29 c |w| > 6 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Propiedades Sean x, y números reales ya un número real positivo. entonces 1. |x| 0 2. |x| = 0 si y solo si x = 5. 3. |−x| 6. 7. |x| < a si y solo si −a < x < a 8. 9. |xy| = 4. |x| |x + y| x = y (−a, a) −a |x| > a si y solo si |x| + |y| , y 6= 0 a 0 |x| = a si y solo si DISTANCIA SOBRE LA RECTA NUMÉRICA Sean a y b números reales, la distancia entre a y b, denotada por d = d(a, b), se define como d = d(a, b) = a b R Ejercicio 4. Calcule la distancia entre los siguientes puntos en la recta a. b. de −5 a 8 de −4 a −12 c. de 2 a 11 d. de 0 a 8 Ejercicio 5. Resolver No. a. |30 − 6w| = 0 b. |w − 31| = −18 c. |2 − 5w| = 17 w − 1 2 =4 d. e. Solución Representación gráfica |3x − 5| < 7 f. |−7w + 2| ≤ 9 g. |5 − 3x| > 17 2 − 5x 3 ≥5 h. A.M.A. Expresión 30 V.L.U.L. 4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONARIAS Definición 1. Una variable es un sı́mbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o dominio de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Definición 2. Una expresión algebraica es el resultado de llevar a cabo un número finito de operaciones como suma, resta, multiplicación, división o radicación en un grupo de variables y números. Ejemplo 1. Las siguientes expresiones representan expresiones algebraicas 8w3 + 10 x5 − y 2 + 5 a. √ x3 + 2 y − x b. 3xy + d. r e. x5 + 4x2 + 7 8z − 7 x5 y 2 + w √ x+9 c. √ 3 f. 7x + 14 4x5 y 2 + 9 3r + 5z 2 − w + π Definición 3. Un término es cada parte de una expresión algebraica separada por + ó −. La parte numérica de un término se denomina coeficiente. Ejercicio 1. Identifique en las siguientes expresiones algebraicas cada uno de los términos y en cada uno de ellos el signo, coeficiente y la parte variable. Expresión a. b. c. Términos Signo Coeficientes Variables x5 + 5x2 − 8 √ 3 3r + 5z 2 − w + π √ x3 + x + y Definición 4. Valor de una expresión es cuando las variables se sustituyen por números en el dominio de estas. √ √ Ejemplo 2. En la expresión x3 + x + y, cuando x = 3 y y = 1 tiene el valor 33 + 3 + 1 = 29. Ejercicio 2. Use los sı́mbolos x, y para expresar las siguientes frases en notación algebraica. a. Un número dividido entre la suma de dos veces ese número con otro número. b. Un número menos un tercio de otro número. c. Tres veces un número dividido entre cinco veces otro número d. El producto del triple de z y la suma de x con y e. El promedio de dos números es 45. ¿Cuáles son los números? Ejercicio 3. Use las fórmulas de las áreas y los volúmenes para expresar de manera algebraica las cantidades de los siguientes problemas. A.M.A. 31 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica a. El área del cuadrado de lado x + 1 b. El área de un triángulo cuya altura es 1/3 de la longitud de su base c. El área de un cubo de lado x d. El volumen de una caja de base cuadrada de longitud x y altura 10. Ejercicio 4. Exprese cada una de las siguientes frases como una ecuación que utiliza el sı́mbolo x. a. La suma de un número y la mitad de ese número es 45. ¿Cuál es el número? b. La suma de un número con su cuadrado es 6. ¿Cuál es el número? c. La suma de un número y tres cuartos de ese número es 21. Halle el número d. Determine el ancho y el largo de un campo rectangular. Se sabe que el largo es 125m más que su ancho y tiene un perı́metro de 650m. e. El 15 % de un número sumado a ese número es 10.35. f. La suma de dos números impares consecutivos es 108. ¿Cuáles son los números? POLINOMIOS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN I. POLINOMIOS Monomio. Un monomio en la variable x es una expresión de la forma axn , 0 6= a ∈ R, n entero no negativo. En el monomio axn , a es el coeficiente y n el grado. MONOMIO COEFICIENTE VARIABLE GRADO −4 t 7 z 3 15x8 √ 17 w3 9 3 y 4 3 7 Binomio. Ejercicio 1. Escriba tres ejemplos de binomios Polinomio. Ejercicio 2. Clasifique los polinomios según el grado A.M.A. 32 V.L.U.L. POLINOMIO GRADO FORMA ESTÁNDAR EJEMPLO 0 a0 ∈ R, a0 6= 0 2, −4, 7, . . . Constante Lineal Cuadrático Cúbico n−ésimo Nota. El polinomio cero, 0, no tiene grado. Ejercicio 3. Determine cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios, en caso de serlo, indique el grado y el coeficiente principal. a. d. g. 5x−3 − 3x + 8 b. x2 − x4 + 7x8 h. x6 + 21/2 x2 + x − 1 e. 5x3 − 3x + 8 √ 8−1 x5 − 4x − 6 √ 5 − x + 3x2 + 47x14 c. f. i. x6 + 2x1/2 + x − 1 0.5x3 + 61/3 x √ 3−1 7 + x Términos semejantes. Son términos que se diferencian sólo por el coeficiente. Por ejemplo, 5x2 y y 8x2 y son semejantes, mientras que que 5x2 y y 8xy 2 no lo son. Operaciones con polinomios Suma de polinomios. Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado Ejemplo 1. Sumar los polinomios p(x) = 3x3 − 3x + 5 y q(x) = −4x3 + 3x2 + 6x − 4 Solución. Se tiene p(x) + q(x) = (3x3 − 3x + 5) + (−4x3 + 3x2 + 6x − 4) = (3 − 4)x3 + (0 + 3)x2 + (−3 + 6)x + (5 − 4) = −x3 + 3x2 − 3x + 1 Multiplicación de polinomios. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo y se agrupan los términos semejantes. Ejemplo 2. Realizar la multplicacon de p(x) = 3x2 − 3x + 2 y q(x) = 2x3 + 3x − 4x Solución. Al efectuar el producto, se obtiene p(x) · q(x) = (3x2 − 3x + 2)(2x3 + 3x2 − 4x) = 6x5 + 9x4 − 12x3 − 6x4 − 9x3 + 12x2 + 4x3 + 6x2 − 8x = 6x5 + 3x4 − 17x3 + 18x2 − 8x. También se pueden multiplicar los polinomios del siguiente modo: A.M.A. 33 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica 3x2 − 3x + 2 2x3 + 3x2 − 4x −12x3 + 12x2 − 8x 9x4 − 9x3 + 6x2 6x5 − 6x4 + 4x3 6x5 + 3x4 − 17x3 + 18x2 − 8x × División de polinomios. El siguiente teorema permite realzar la división de polinomios. Teorema 0.3 (Algoritmo de la división). Dados dos polinomios p(x) y q(x) con grado(p(x)) ≥ grado(q(x)), existen dos polinomios c(x) y r(x), denominados cociente y residuo o resto repectivamente, tales que p(x) = c(x)q(x) + r(x), donde grado(r(x)) < grado(q(x)) o r(x) = 0. Asi, se tiene la división de polinomios p(x) ÷ q(x) = p(x) r(x) = c(x) + . q(x) q(x) Para realizar la divisón del polinomio p(x) entre q(x), se procede de la siguiente manera: 1. A la izquierda se sitúa el dividendo. Si el polinomio no es completo se dejan espacios en los lugares que correspondan. A la derecha se coloca el divisor dentro de una caja. q(x) p(x) 2. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Se multiplica cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y se le resta del polinomio dividendo. Se vuelve a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor y el resultado se multiplica por el divisor y se resta al dividendo. Este procedimiento se repite hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor. Este último dividendo es el resto o residuo r(x) y el resultado de la divisón es el cociente c(x). p(x) q(x) .. . c(x) r(x) Ejemplo 3. Efectúe la divisón de p(x) = 4x5 − 3x3 + 5x − 6 entre q(x) = 2x2 − x + 2 Solución. Aplicando el procedimiento anterior paso a paso, se tiene A.M.A. 34 V.L.U.L. 4x5 ÷ 2x2 = 2x3 4x5 −4x5 + 2x4 − 3x3 − 7x3 5x 4x3 − 2x4 + + 5x − 6 − 6 2x2 − x + 2 2x3 2x4 ÷ 2x2 = x2 4x5 −4x5 2x4 + 2x4 −2x 4 3x3 − − 4x3 + 3 + 5x 7x3 − x − 6x 3 − 2x 6 2x2 − x + 2 2x3 + x2 + 5x − 6 + 5x − 6 − 6 2 2x2 − − −6x3 ÷ 2x2 = −3x 4x5 −4x5 2x4 + 2x4 −2x 4 − 3x3 − 4x3 + x 3 − 6x3 − + 5x 7x3 6x3 − 2x − + 5x − 6 − 6 − 6 2 − 2x2 + 5x 3x2 + 6x − 2 + 11x 5x 2x2 − x + 2 2x3 + x2 − 3x −5x2 ÷ 2x2 = −5/2 4x5 −4x5 + 2x4 2x4 −2x4 A.M.A. − 3x3 − 4x3 + x3 − 6x3 − + 5x 7x3 6x 3 − 2x2 − 6 + 5x − 6 − 6 − 6 − 2x2 + 5x 2 + 6x − 5x2 + 11x 5x2 − 5 x 2 17 x 2 3x − 35 + 5 − 1 2x2 − x + 2 2x3 + x2 − 3x − 5/2 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica El residuo es r(x) = 17 x − 1, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se 2 puede continuar dividiendo. Luego, el cocientes es c(x) = 2x3 + x2 − 3x − 5/2. Ejemplo 4. Realice la división de p(x) = x3 − 3x2 − 4x + 6 entre q(x) = x − 2. Solución. Se tiene x3 −x3 − + 3x2 2x2 −x2 x2 − 4x − 4x − − + x−2 6 + 6 6x + 6 6x − 12 x2 − x − 6 2x −10 El cociente es c(x) = x2 − x − 6 y el residuo es r = −10. Regla de Ruffini o división sintética Si el divisor es un binomio de la forma x − c, entonces se utiliza un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini. 1. Si el polinomio no es completo, se completa añadiendo los términos que faltan con ceros. 2. Se colocan los coeficientes del dividendo en una lı́nea. A la derecha se coloca el opuesto del término independendiente del divisor en una caja. an an−1 ··· a1 a0 c 3. Dejando una lı́nea, se traza una raya y se baja el coeficiente an . an an−1 ··· a1 a0 c an 4. Se multiplica ese coeficiente por el divisor y se coloca debajo del siguiente término. an an A.M.A. an−1 c · an ··· 36 a1 a0 c V.L.U.L. 5. Se suman los dos coeficientes: an−1 + can = bn−1 . an an−1 c · an bn−1 an ··· a1 a0 c 6. Este proceso se repite hasta llegar al término independiente an an−1 c · an bn−1 an ··· a1 a0 ··· b1 b0 c 7. El último número obtenido es el residuo o resto, r = b0 . 8. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son: bn = an , bn−1 , . . . , b1 Ejemplo 5. Halle el cociente y el residuo al dividir p(x) = x3 − 3x2 − 4 entre q(x) = x − 2. Solución. Mediante división sintética se tiene 1 1 −3 2 −1 0 −2 −2 −4 −4 −8 2 El cociente es c(x) = x2 − x − 2 y el residuo es r = −8. Ejercicio 4. Realice las operaciones indicadas en cada caso a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. ñ. o. A.M.A. p(x) = x3 − 2x2 + 17x − 5, q(x) = −x2 − 3x − 4 p(x) = x4 − 3x3 + 7x2 − 8, q(x) = −x4 + x2 + 3x 3 2 2 2 3 2 p(x) = 2x − 3x − 4, q(x) = x − 3x − 7 3 2 p(x) = 2x + 3x − 4, q(x) = 2x + 14x + x − 7 2 3 p(x) = 5x , q(x) = 4x + 8x + 7 5 2 p(x) + q(x) = p(x) + q(x) = p(x) − q(x) = p(x) − q(x) = p(x)q(x) = p(x) = 4x − 5, q(x) = −3x + 7x + 4x − 2 p(x)q(x) = p(x) = x + 7, q(x) = x − 7 p(x)q(x) = 4 2 p(x) = x + 2x − 1, q(x) = x − 4x + 8 p(x)q(x) = p(x) = x + 7, q(x) = x + 7 p(x)q(x) = p(x) = x − 7, q(x) = x − 7 p(x)q(x) = 2 p(x) = x − 2, q(x) = x + 2x + 4 p(x)q(x) = 2 p(x) = x + 2, q(x) = x − 2x + 4 p(x)q(x) = p(x) = 9x2 − 3x − 6, q(x) = x − 1 p(x) ÷ q(x) = p(x) = x + 2, q(x) = (x + 2) 2 p(x)q(x) = p(x) = 3x3 − 2x2 − 3x + 2, q(x) = x + 1 p(x) ÷ q(x) 3 p(x) = 2x − 3x + 2, q(x) = x − 2 p(x) ÷ q(x) = 37 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica II. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PRODUCTO RESULTADO Expresión polinómica EJEMPLO Exprese como un producto NOMBRE 7x3 y 5 − 21x2 y 7 = 1. a(b + c) 2. (a + b)(a − b) 3. (a + b)(a + b) x2 + 6xy 2 + 9y 4 = 4. (a − b)(a − b) 5. (a+b)(a+b)(a+b) 6. (a−b)(a−b)(a−b) 49 − 14x + x2 = 1 12 64x3 + 48 + 3 + 6 = x x 1 12 64x3 − 48 + 3 − 6 = x x 7. (a+b)(a2 −ab+b2 ) 8. (a−b)(a2 +ab+b2 ) 1) 36x4 − 25y 6 = 2) 64x4 − (y 4 + z)2 = 27x3 + 81 y 6 = 1) 27x3 − 64 = 2) x4 − 125x = FORMAS GENERALES I. (x + a)(x + b) = Ejemplo 6. Escriba las siguientes expresiones como productos a. x2 + 5x + 6 = b. x2 + x − 6 = c. x2 − 5x − 6 = II. (ax + b)(cx + d) = Ejemplo 7. Escriba las siguientes expresiones como productos a. 2x2 + 11x − 6 = b. 15x2 + 17x + 4 = Ejercicio 5. Escriba las siguientes expresiones como productos. (Factorice completamente) a. x6 − y 6 b. 9x2 − 48xy + 64y 2 c. 3xy − 2y + 15x − 10 d. 16x2 + 40x + 25 e. x2 − 4xy + 4y 2 − 9 f. x3 − x2 − 4x + 4 g. x4 + y 4 h. x2 − 16y 2 + 10x + 25 i. 2x3 − 3x2 − 6x + 9 j. x3 − 36x k. 9x2 + 24x + 16 l. x4 − 9x2 m. 15x3 y 5 − 25x4 y 2 + 10x6 y 4 A.M.A. n. a6 + b6 38 V.L.U.L. Taller de repasoNota 1 Factorice completamente 1. 24x + 18 2. 2x2 + 10x 3. 6x3 − 3x2 4. 9x2 y − 3xy 5. 28xy 2 + 21x2 y 6. ax2 + 4a3 7. 10ax − 40a2 8. 18x2 y 2 − 27xy 2 9. x2 − 4 10. x2 − 25 11. x2 − 81 12. x2 − 121 13. 1 − x2 14. 9 − x2 15. 16 − x2 16. 36 − x2 17. 49 − x2 18. 64 − x2 19. 100 − x2 20. 144 − x2 21. 4x2 − 25 22. 4x2 − 121 23. 9x2 − 49 24. 16x2 − 25 25. 4 − 9x2 26. 4 − 81x2 27. 9 − 16x2 28. 16 − 81x2 29. 4x2 − 25y 2 30. x4 − 4y 2 31. x2 − 9y 4 32. x6 − 16y 2 33. x4 − 25y 6 34. 2x2 − 32 35. 12x2 − 27 36. 4x2 − 36 37. 9x2 − 144 38. x4 − x2 39. 4x2 y − y 40. x2 + 15x + 54 41. x2 + 16x + 64 42. x2 + 17x + 72 43. x2 + 16x + 48 44. x2 + 14x + 24 45. x2 + 14x + 40 46. x2 − 13x + 22 47. x2 − 11x + 24 48. x2 − 15x + 50 49. x2 − 14x + 48 50. x2 − 14x + 48 51. x2 − 16x + 63 52. x2 + 8x − 9 53. x2 + x − 20 54. x2 + 6x − 55 55. x2 + x − 72 56. x2 + 3x − 40 57. x2 + 5x − 84 58. x2 − 32 − 4x 59. x2 − 56 − x 60. x2 − 30 − 13x 61. x2 − 27 − 6x 62. x2 − 60 − 7x 63. x2 − 15 − 2x 64. x2 + 18xy + 72y 2 65. x2 + 17xy + 30y 2 66. x2 − 16xy + 60y 2 67. x2 − 6xy + 8y 2 68. x2 + 10xy − 24y 2 69. x2 + 16xy − 36y 2 70. x2 − 11xy − 42y 2 71. x2 − 6xy − 40y 2 72. x2 y 2 + 18xy + 81 Nota 1 Tomado del libro Álgebra Elemental de Alfonse Gobran, capı́tulo 6 página 223. A.M.A. 39 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica EXPRESIONES FRACCIONARIAS Definición 1 (Mı́nimo común múltiplo). El Mı́nimo común múltiplo (m.c.m. o mcm) de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mı́nimo común múltiplo de dos o más números se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200, 6936 = 23 · 3 · 172 y 1200 = 24 · 3 · 52 , se encuentra que el mcm es 24 · 3 · 52 · 172 = 346800. Definición 2 (Mı́nimo común denominador). El mı́nimo común denominador (mcd) de dos ó más fracciones es el número que resulta al calcular el mı́nimo común múltiplo de los denominadores de esas mismas fracciones. Ejercicio 1. Realice las operaciones indicadas y simplifique. Use el mcd. a. 3 11 + = 70 30 c. 2 5 4 − + = 63 42 15 b. 7 3 − = 24 20 d. 11 7 5 − − = 54 72 18 Ejercicio 2. Encuentre el mcm de las siguientes expresiones algebraicas. Expresiones a. mcm x(3x − 2), 3x − 2, x2 Expresiones mcm x2 − 6x + 9, x2 − 9, x − 3 b. c. x, x2 , x3 d. x + 2, x2 + 2x, x e. t + 2, t − 2, t2 − 4 f. a4 − 16, a2 − 2a Ejercicio 3. Realice las operaciones indicadas y simplifique a su mı́nima expresión. a. c. e. g. i. A.M.A. 3x2 − 5x − 2 = x2 − 4 5 2 6 + − 2 = x(3x − 2) 3x − 2 x 2 3x + 1 x − 2 + − = x x2 x3 3t 5t 40 + − = t + 2 t − 2 t2 − 4 2x + 1 5x 7 + 2 + = 2 x + 6x + 9 x − 9 x − 3 b. d f. h. j. 40 x2 − 6x + 9 2x − 2 · = x2 − 1 x−3 x 1 2x + 5 + 2 + = 2 x − 6x + 9 x − 9 x − 3 8 3 2x − 2 + = x + 2 x − 2x x 5 2u 3+ + u 3u + 1 5x − 10 3x − 2 + = x−4 4−x V.L.U.L. k. m. ñ. 1 −3 x−2 = 4 −x x 2 1− x−1 = 1 x− x y2 − 9 = y 3 + 27 l. 2x 5 + x+1 x+3 = x 7 + x+1 x+3 n. 12 + r − r2 = r3 + 3r2 o. 5a2 + 12a + 4 25a2 + 20a + 4 ÷ = a2 − 16 a2 − 2a TALLER EXPRESIONES FRACCIONARIAS Ejercicio 1. Resolver las siguientes situaciones a. Una cita en Pereira. Martha va a Pereira cada 18 dı́as, Lorena va cada 15 y Carlos lo hace cada 8 dı́as. Hoy 29 de septiembre han coincidido los tres en Pereira. ¿Dentro de cuántos dı́as como mı́nimo volverán a coincidir? Solución: 360 dı́as b. Un automóvil necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y las bujı́as cada 30.000 km. ¿A qué número mı́nimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez?. Solución: 90.000 km c. Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja. Solución: 124 unidades de naranjas o de manzanas Ejercicio 2. Realice las operaciones indicadas y simplifique a su mı́nima expresión. a. c. A.M.A. 30x2 y 3 − 18xy 2 12x2 y 2 5x − 4 3x + 4 3x + 2 − 2 2 2x − 11x − 6 2x + 7x + 3 x − 3x − 18 41 b. d. x2 − 5x + 6 2 − 3x + x2 4x − 4 3 4 − − 2 x −4 x+2 x−2 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica 5. ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES ECUACIONES CUADRÁTICAS Recuerde: Si a, b ∈ R y ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. Definición 1 (Ecuación cuadrática). Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b ∈ R y a 6= 0. Por ejemplo, son ecuaciones cuadráticas: 2x2 − 11x − 6 = 0, x2 = 0 Soluciones de ecuaciones cuadráticas 1. Mediante Factorización Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada como una multiplicación de factores lineales, entonces puede decirse que es una ecuación factorizable. Por ejemplo, 2x2 − 11x − 6 = 0 es una ecuación factorizable porque el lado izquierdo puede ser factorizado por los factores lineales x − 6 y 2x + 1. O sea, 2x2 − 11x − 6 = (x − 6)(2x + 1). Para resolver una ecuación mediante este método, primero se escribe la ecuación en la forma ax2 +bx+c = 0. Luego se factoriza la expresión en factores lineales. Y por último se determina el valor de x. Ejemplo 1. Resolver la ecuación 2x2 − 11x − 6 = 0 Solución. 2x2 − 11x − 6 = 0 ⇒ (x − 6)(2x + 1) = 0 x − 6 = 0 ó 2x + 1 = 0 ⇒x = 6 ó x = −1/2 Ejercicio 1. Resuelva las siguientes ecuaciones mediante factorización a. 2x2 − 7x + 3 = 0 2. b. x2 + 10x + 16 = 0 c. x2 − 3x = 18 d. 3x2 + 2x = 8 Completando cuadrados Ejercicio 2. Resuelva las siguientes ecuaciones completando cuadrados a. x2 + 8x − 5 = 0 b. 4x2 + 6x + 3 = 0 c. x2 + 5x + 3 = 0 d. x2 + x = 1 3. Mediante la fórmula cuadrática Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar ax2 + bx + c = 0, y se hace difı́cil encontrar sus raı́ces mediante factorización, se puede utilizar el método de la fórmula cuadrática: x= A.M.A. −b ± √ b2 − 4ac . 2a 42 V.L.U.L. Pasos para resolver una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática: Paso 1. Verificar que la ecuación esté en su forma estándar y determinar los valores de los coeficientes a, b y c. Paso 2. Utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de las constantes a, b y c. Ejemplo 2. Resolver la ecuación 3x2 + 4x − 4 = 0. Solución. a = 3, b = 4, c = −4. Luego, p √ √ √ −4 ± 42 − 4(3)(−4) −4 ± 16 + 48 −4 ± 64 −b ± b2 − 4ac = = = x= 2a 2×3 6 6 −4 + 8 2 −4 − 8 −12 −4 ± 8 , x= = ó x = = = −2 x= 6 6 3 6 6 Ejercicio 3. Resuelva las siguientes ecuaciones a. x2 + 5x + 3 = 0 4. b. x2 + x = 1 c. x2 − 2x − 48 = 0 d. 3x2 + 4x + 4 = 0 Ecuaciones que conducen a ecuaciones cuadráticas Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolverse por los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se utiliza una sustitución apropiada. Ejemplo 3. Resolver las siguientes ecuaciones a. x4 + x2 − 12 = 0 Solución. La ecuación x4 + x2 − 12 = 0 se puede llevar a una ecuación cuadrática al hacer la sustitución z = x2 , quedando la ecuación de la siguiente manera: x4 + x2 − 12 = 0 z 2 + z − 12 = 0 (z + 4)(z − 3) = 0 b. 1 4 + =1 x x+6 Solución. Se tiene 4 1 + =1 x x+6 x + 6 + 4x =1 x(x + 6) z + 4 = 0 ó z − 3 = 0 2 x + 4 = 0 ó x2 − 3 = 0. ⇒ ⇒ 5x + 6 = x(x + 6) 5x + 6 = x2 + 6x x2 + x − 6 = 0 ⇒ ⇒ x= √ √ 3 ó x = − 3. (x + 3)(x − 2) = 0 x = −3 ó x = 2 Ejercicio 4. Resuelva a. d. A.M.A. 1 6 + 2 =5 x−1 x −1 √ 2 x+4−x=1 b. e. x 4 −2 − = x+2 x+1 x+2 √ √ x + 13 − 7 − x = 2 43 c. f. 4x2 x − =0 2 4x + 3x + 2 x + 1 √ √ x − 10 + x + 11 = 0 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Problemas de cuadráticas 1. Un rectángulo tiene un perı́metro de 26 cm y un área de 30 cm2 . Encuentre sus dimensiones. Rta. 10 cm × 3 cm. 2. La suma de un número y su recı́proco es 13/6. Determine los números. 3. La suma de los cuadrados de tres números impares positivos consecutivos es 683. ¿Cuáles son los números? Rta. 13, 15 y 17. 4. Una piscina cuadrada de 21 pies por 21 pies está rodeada por un camino ancho uniforme. Si el área del camino es de 184 pies cuadrados, determine el ancho del camino. 5. Un jardı́n circular está rodeado por un camino de ancho uniforme. Si el camino tiene un área de 57π pies cuadrados y el radio del jardı́n es de 8 pies, determine el ancho del camino. INECUACIONES CUADRÁTICAS Recuerde ab > 0 ⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) ab < 0 ⇒ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) y Definición 2 (Inecuación cuadrática). Una inecuación cuadrática es una expresión de la forma ax2 + bx + c < 0, donde a, b, c ∈ R y a 6= 0. El sı́mbolo < se puede reemplazar por >, ≤, ≥ Ejercicio 5. Resuelva las siguientes inecuaciones a. 2x2 − 7x + 3 ≥ 0 b. x2 +10x+16 < 0 c. x2 − 3x ≥ 18 d. 3x2 + 2x + 8 ≤ 0 e. x2 + 5x + 3 ≤ 0 f. x2 + x > 1 g. x2 − 2x − 48 ≤ 0 h. 3x2 + 4x + 4 ≥ 0 INECUACIONES RACIONALES Ejercicio 6. Realice las operaciones indicadas y encuentre la solución en cada caso. a. x−3 +2 < 0 x+3 b. e. y2 − 9 ≤0 y 3 + 27 f. A.M.A. 3x + 1 −4≤0 2x − 1 2 1− x−1 ≤0 1 x− x c. 2x − 4 >2 5x + 2 d. x+1 ≤ −1 x+3 g. 5x − 10 3x − 2 + >0 x−4 4−x h. 2u 5 >0 3+ + u 3u + 1 44 V.L.U.L. 6. COORDENADAS Y GRÁFICAS EN EL PLANO I. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 1. Un sistema cartesiano es Notación El punto de intersección de los ejes se llama y Las rectas numéricas se llaman , generalmente se denotan y respectivamente. x Los ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas Los se enumeran en el orden 2. Plano cartesiano Ejercicio 1. Ubicar en el plano cartesiano los siguientes puntos, indicando el cuadrante. b. P2 (5, −8) a. P1 (−5, 8) f. P6 (0, 1) c. P3 (−5, −8) h. P8 (0, −1) g. P7 (−1, 0) d. P4 (5, 8) e. P5 (1, 0) i. P9 (0, 0) Ejercicio 2. Determine las coordenadas de los puntos mostrados en la figura y Q b 5 4 P b 3 P( , ) Q( , ) R( , ) S( , ) 2 1 x −4 −3 −2 1 −1 2 3 −1 −2 b R −3 −4 b S −5 A.M.A. 45 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica II. RELACIONES Y GRÁFICAS Relación. Gráfica de una relación Ejercicio 3. Grafique las siguientes relaciones a. R1 = (−2, 1), (0, 5), (1, − 41 ), (−5, −1) d. R4 = {(x, y) | y = 4} b. R2 = {(x, y) | xy = 0} e. R5 = {(x, y) | x = −3} c. R3 = {(x, y) | xy < 0} f. R1 = {(x, y) | |y| > 20} III. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dos puntos distintos del plano. Demostrar que la distancia entre los puntos está dada por: p d(P1 , P2 ) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Ejercicio 4. Halle la distancia entre los siguientes pares de puntos: a. P1 (5, −8) y P2 (−7, −3) b. P1 ( 25 , 2) y P2 (− 32 , −1) Ejercicio 5. Determine si los puntos A(2, 8), B(0, −3) y C(6, 5) son los vértices de un triángulo rectángulo. Ejercicio 6. Determine el conjunto de todos los puntos P (x, y) que están a 3 unidades del origen. Ejercicio 7. Determine el conjunto de todos los puntos P (x, y) que están a 7 unidades de C(1, −3). √ Ejercicio 8. Halle la ecuación de la circunferencia con centro C(−2, 12 ) y radio r = 11. Ejercicio 9. Halle el centro y el radio de la circunferencia con ecuación: a. x2 + y 2 + 10x − 2y + 17 = 0. IV. b. x2 + y 2 − 8x − 6y − 10 = 0. PUNTO MEDIO Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y−2 ) dos puntos distintos del plano, las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntos P1 y P2 y son: x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 Ejercicio 10. Halle una ecuación de la circunferencia con los puntos A(−2, 3) y B(−6, −1) en los extremos de uno de sus diámetros. A.M.A. 46 V.L.U.L. TALLER 1. Determine la longitud y el punto medio del segmento de recta que une los dos puntos dados: a. P1 (2, 5) y P2 (−2, 4) b. P1 (0, 0) y P2 (a, a) 2. Determine el área del rectángulo con vértices A(5, 0), B(5, 4), C(−3, 4) y D(−3, 0). 3. Halle el centro y el radio del cı́rculo dado: a. x2 + y 2 − 4x + 6y + 4 = 0 b. x2 + y 2 + 6x = 0 4. Determine una ecuación del cı́rculo con un diámetro cuyos extremos son A(−2, 8) y B(4, −5). 5. Determine una ecuación del cı́rculo que pasa por el punto (2, 6) con centro C(3, −5). V. LA LÍNEA RECTANota 2 La pendiente de una recta Ejercicio 11. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados: a. P (2, 20), Q(−3, 5) b. P (8, 1), Q(6, 2) c. P (9, 6), Q(9, 6) d. P (−5, 3), Q(−5, 10) Ejercicio 12. Determine la ecuación de la recta en cada caso y haga su gráfica. a. La recta contiene los puntos del ejercicio anterior. b. La recta pasa por el punto dado y tiene la pendiente indicada (−1, −2), m = −5 (7, 0), m = − 32 (0, −7), m = 1 5 (−5, 1), m = 0 (−5, 1), m indefinida Ejercicio 13. Considere la ecuación de la recta 6x − 4y = −12. Responda los siguientes puntos: a. La recta tiene como pendiente b. Los intersectos con los ejes coordenados son: Nota 2 y . Tomado del libro álgebra y trigonometrı́a con geometrı́a analı́tica de Arthur Goodman/ Lewis Hirsch A.M.A. 47 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica c. Su gráfica es: y 5 4 3 2 1 x −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 d. Determine cuáles de los siguientes puntos satisfacen la ecuación de la recta: i. P1 (2, 6) ii. P2 (1, 92 ) iii. P3 (−4, −3) iv. P4 (0, 0) Rectas paralelas y perpendiculares. 1. Dos rectas son paralelas (coincidentes) si tienen iguales sus pendientes. 2. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1. Ejercicio 14. Resuelva los siguiente a. Escriba la ecuación de la recta que tiene pendiente − 32 y ordenada al origen 4. b. Escriba la ecuación de la recta que tiene pendiente 1 4 e intersección con el eje x en −2. c. Halle el valor de λ de modo que la recta que pasa (2, −5) y (−4, λ) tenga pendiente − 12 . d. Determine el valor de t para que la recta que pasa por P (2, t) y Q(5, −2) sea paralela a la recta que pasa por los puntos A(−6, 3) y B(0, −4). e. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2, −1) y es perpendicular a la recta 2x − y = 2. f. Aplicación. Suponga que un fabricante determina que existe una relación lineal entre P , la ganancia obtenida y, el número de artı́culos producidos. La ganancia es de $600 por 50 artı́culos y $750 por 65 artı́culos. i. Determine una ecuación que relacione x y P . ii. ¿Cuál serı́a la ganancia esperada, si se producen 90 artı́culos? A.M.A. 48 V.L.U.L. VI. SIMETRÍAS Y CÓNICAS La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto: Al eje y si al reemplazar x por −x se obtiene una ecuación equivalente Al eje x si al reemplazar y por −y se obtiene una ecuación equivalente Al eje origen si al reemplazar x por −x y y por −y se obtiene una ecuación equivalente y y y (x, y) (x, y) (−x, y) b (x, y) b x x x (x, −y) b (−x, −y) Ejercicio 15. Utilice las simetrı́as para completar las siguientes gráficasNota 3 a. La gráfica es simé trica con respecto al eje y b. La gráfica es simé trica con respecto al eje x y c. La gráfica es simé trica con respecto al origen y x y x d La gráfica es simé trica con respecto al eje y y x x SECCIONES CÓNICAS Cuando se corta un cono circular recto con un plano que no pase por el vértice se obtiene una curva, denominada sección cónica. Si el plano es perpendicular al eje del cono, se obtiene una circunferenca. Al disminuir el ángulo del plano hasta que sea menor que 90◦ pero mayor que el formado por el eje y la generatriz, obtendremos una elipse. Cuando el ángulo es igual al formado por el eje y la generatriz la curva es una parábola y cuando el plano es vertical, es decir es paralelo al eje del cono o forma un ángulo menor que el formado con la generatriz, la curva obtenida es una hipérbola, como se ilustra en la figura 1. Si el punto de intersección entre el plano de corte y el cono es el vértice entonces las secciones formadas serán un tipo especial de cónicas, estas se conocen como cónicas degeneradas y son: recta (cuando los puntos de intersección del plano y el cono lo componen la generatriz), punto cuando el plano corta el eje en un ángulo comprendido entre 90◦ y el formado por el eje y la generatriz) y dos rectas que se cortan en cualquier otro caso. Nota 3 Basado en el libro Álgebra y Trigonometrı́a. Zill Dennis G. Dewar Jacqueline M., Segunda edición. A.M.A. 49 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica b b (a) Elipse (b) Parábola Figura 1 (c) Hipérbola (rama inferior) Secciones cónicas DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE LA PARÁBOLA. Definición 1. Una parábola es el conjunto de puntos P que equidistan de una recta fija L llamada directriz y de un punto fijo F llamado foco. Directriz L P b b Eje de b d(P, L) = d(P, F ) b F simetrı́a Vértice ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE V (0, 0) Y FOCO F (p, 0) Sean F (p, 0), L(−p, y) y P (x, y). Como d(P, L) = d(P, F ), y L(−p, y) b b b P (x, y) b F (p, 0) x entonces p p (x − p)2 + (y − 0)2 = (x + p)2 + (y − y)2 . De donde x2 − 2px + p2 + y 2 = x2 + 2px + p2 . x = −p (Directriz) Por lo tanto y 2 = 4px. Ecuación canónica (o estándar) de la parábola Ejemplo 1. Determine la ecuación de la parábola que tiene foco en F (2, 0) y directriz x = −2. A.M.A. 50 V.L.U.L. y Solución. En este caso se tiene que p = 2 y el vértices es V (0, 0). Por lo tanto y 2 = 4(2)x = 8x. x b F (2, 0) x = −2 Ejercicio 16. Encuentre la ecuación de la parábola en cada caso a. V (0, 0) y foco en el punto (3, 0) b. V (0, 0) y foco en el punto (0, −3) c. Vértice en el origen, abre hacia la derecha y pasa por el punto (2, 6) De la definción geométrica de la parábola se puede deducir que si V (0, 0) y F (p, 0) con p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. De manera análoga se deducen las ecuaciones cuando la parábola abre hacia abajo o hacia arriba. Ejercicio 17. Complete el cuadro que resume las formas estándar de las parábolas. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA Ecuación canónica y 2 = 4px Vértice Eje de simetrı́a Foco Directriz (0, 0) y=0 (p, 0) x = −p (0, p) y= x2 = 4py La parábola se abre hacia • la derecha si p > 0 • la izquierda si p 0 • arriba si p 0 • si p < 0 ECUACIÓN CANÓNICA GENERAL DE LA PARÁBOLA Ecuación Vértice (x−h)2 = 4p(y −k) (h, k) (y −k)2 = 4p(x−h) (h, k) y Eje de simetrı́a Foco Directriz y=k (h + p, 0) x=h−p x=h (0, k + p) y =k−p y y La parábola se abre hacia • • • • la derecha si p > 0 la izquierda si p < 0 arriba si p > 0 abajo si p < 0 y V (h, k) b V (h, k) b b V (h, k) O x O x O b x O x V (h, k) (a) p > 0 A.M.A. (b) p < 0 (c) p > 0 51 (d) p < 0 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Ejercicio 18. Graficar las siguientes parábolas o semiparábolas a. T = {(x, y) / y = x2 } b. T = {(x, y) / y = −x2 } g. T = {(x, y) / x = y 2 } h. T = {(x, y) / x = −y 2 } d. T = {(x, y) / y = x2 − 1} e. T = {(x, y) / y = (x + 1)2 } c. T = {(x, y) / y = x2 + 1} f. T = {(x, y) / y = (x − 1)2 } √ i. T = {(x, y) / y = x } Ejemplo 2. Encuentre el vértice, el foco y el eje de simetrı́a de la parábola 3x2 −6x+y−2 = 0. Haga su gráfica. Solución. Completando cuadrados se tiene y b 2 3(x − 2x + 1 − 1) + y − 2 = 0 3(x − 1)2 − 3 = −y − 2 3(x − 1)2 = −y + 1 (x − 1)2 = − 31 (y − 1) x 1 De ahı́, 4p = − 13 , de donde p = − 12 . 11 1 ) = F (1, 12 ). Vértice V (1, 1). Foco F (1, 1 − 12 Eje de simetrı́a x = 1. 1 1 Directriz y = 1 − (− 12 ) = 1 + 12 = 13 , 12 Ejemplo 3. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice V (4, 5), eje paralelo al eje x y que pasa por el punto P (5, 1) Solución. Como el eje de la parábola es paralelo al eje x, este es horizontal. Asi, la ecuación es de la forma (y − k)2 = 4p(x − h). Se tiene que h = 4 y k = −6. Entonces (y − 5)2 = 4p(x − 4). Como el punto P (5, 1) está en la parábola, entonces (1 − 5)2 = 4p(5 − 4) (−4)2 = 4p(1) 16 = 4p, p = 4. Por lo tanto, la ecuación de la parábola es (y − 5)2 = 16(x − 4). Ejercicio 19. Escriba en la forma estándar y trace la gráfica de las parábolas, indicando vértice, eje de simetrı́a y focos en cada caso. a. y = x2 + 4x + 7 d. 4y 2 + 16y − 6x − 2 = 0 A.M.A. b. y = −x2 + 2x + 8 e. x2 − 2x + y − 14 = 0 52 c. y = 2x2 + 8x − 5 f. 2x2 + 6x − 3y = 0 V.L.U.L. DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE LA ELIPSE Definición 2. Una elipse es el conjunto de puntos P para los cuales la suma de las distancias de dos puntos fijos F1 y F2 es constante. Eje menor P b d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a b V2 b b F2 F1 b V1 F1 y F2 se llaman El centro de la elipse es Eje mayor El eje mayor es El eje menor es Los vértices son ECUACIÓN DE LA ELIPSE Sean F1 (c, 0), F2 (−c, 0) y P (x, y). Como d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a, y P (x, y) b V2 (−a, 0) b V1 (a, 0) b b F2 (−c, 0) b x entonces p p (x − c)2 + (y − 0)2 + (x + c)2 + (y − 0)2 = 2a. De donde F1 (c, 0) (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ). Por lo tanto Centro en el origen Eje mayor sobre el eje x c = distancia del centro al foco 2a = distancia entre los vértices x2 y 2 + 2 = 1, donde b2 = a2 − c2 . a2 b Ecuación canónica (o estándar) de la elipse ECUACIONES CANÓNICAS DE LA ELIPSE Ecuación x2 y 2 + 2 =1 a2 b 2 x y2 + =1 b2 a2 A.M.A. Centro Vértices Focos (0, 0) (±a, 0) F (±c, 0) 53 Eje mayor Eje menor V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica ECUACIONES CANÓNICAS GENERALES DE LA ELIPSE Ecuación 2 Centro Vértices Focos Eje mayor Eje menor (h, k) (h ± a, k) F (h ± c, k) Horizontal Vertical (h, k) (h, k ± a) (h, k ± c) Vertical Horizontal 2 (x − h) (y − k) + =1 2 a b2 (x − h)2 (y − k)2 + =1 b2 a2 y y V1 V2 z b }| a a }| {V b b z }| { z b z }| { { b 1 x x b V2 Ejercicio 20. Escriba en la forma estándar y trace la gráfica de las elipses, indicando centro, vértices, eje mayor y eje menor en cada caso. a. 4x2 + 9y 2 = 36 b. x2 + 5y 2 = 25 c. 9x2 + 16y 2 − 18x + 32y = 0 DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE LA HIPÉRBOLA Definición 3. Una hipérbola es el conjunto de puntos P para los cuales la diferencia de las distancias de dos puntos fijos F1 y F2 es constante. P Eje menor P b b F2 b b V2 V1 b F1 Eje mayor A.M.A. |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2 F1 y F2 se llaman El centro es Los vértices son El eje mayor (transversal) es El eje menor (conjugado) es Las ası́ntotas son 54 V.L.U.L. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Sean F1 (c, 0), F2 (−c, 0) y P (x, y). Como |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2a, y b b b F2 (−c, 0) V2 b P (x, y) b V1 F (c, 0) 1 x entonces p p (x − c)2 + (y − 0)2 − (x + c)2 + (y − 0)2 = 2a. De donde (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ). Por lo tanto x2 y 2 − 2 = 1, donde b2 = c2 − a2 . a2 b Centro en el origen Eje mayor sobre el eje x c = distancia del centro al foco 2a = distancia entre los vértices Ecuación canónica (o estándar) de la hipérbola ECUACIONES CANÓNICAS DE LA HIPÉRBOLA Ecuación 2 Centro Vértices Focos (0, 0) (±a, 0) (±c, 0) (0, 0) (0, ±b) (0, ±c) Eje mayor Eje menor 2 x y − 2 =1 2 a b 2 y x2 − =1 b2 a2 Ası́ntotas b y=± x a √ Ejemplo 4. Encuentre la ecuación de la hipérbola con vértices (±2, 0) que pasa por (2 2, 4) Solución. Se tiene que a = 2, la hipérbola abre sobre el eje x. La ecuación es y x2 y 2 − 2 = 1. 4 b √ Como pasa por el punto (2 2, 4), entonces √ (2 2)2 42 − 2 = 1. 4 b b √ F2 (−2 5, 0) y = 2x b b V2 (−2, 0) V1 (2, 0) x √ F1 (2 5, 0) b Luego, b = 4. Por lo tanto, la ecuación es √ √ √ x2 y 2 − = 1 y c = 22 + 42 = 20 = 2 5. 4 16 A.M.A. y = −2x 55 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica ECUACIONES CANÓNICAS GENERALES DE LA HIPÉRBOLA Ecuación (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2 (y − k)2 (x − h)2 − =1 b2 a2 Centro Vértices Focos (h, k) (h ± c, k) (h ± a, k) (h, k) (h, k ± b) (h, k ± c) Eje mayor Ası́ntotas b y − k = ± (x − h) a b y − k = ± (x − h) a b a z }| { b x z}|{ y z}|{ y Eje menor a z }| { x TALLER: GRÁFICAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Identifique la cónica, escribiéndola en su ecuación estándar y trace la gráfica indicando según sea el caso: vértice, centro, eje mayor, eje menor y ası́ntotas. a. 0 = x2 + 2x − y + 4 b. x2 + y 2 − 4x + 6y − 36 = 0 c. 0 = x2 − 4x − y g. x2 − 2y 2 = 8 h. 4x2 + 9y 2 − 32x − 36y + 64 = 0 i. −x2 + 4y 2 − 4x + 40y + 60 = 0 d. x2 + y 2 − 10x + 18 = 0 A.M.A. e. y 2 + 9x2 = 9 56 f. x2 + 2y 2 + 2x − 20y + 43 = 0 V.L.U.L. 7. RELACIONES Y FUNCIONES I. FUNCIÓN f A Definición 1. Una función de un conjunto A en un conjunto B es una regla de correspondencia que le asigna a cada elemento x en A uno y sólo un elemento y en B. El conjunto A se llama dominio de la función. B y x • Las funciones se denotan generalmente con letras minúsculas, tales como f, g, h. • f (x) simboliza la imagen de x mediante f . • En y = f (x), se dice que x es la variable independiente y y la variable dependiente. y y b b b x x (a) Es función (b) No es función Criterio de la recta vertical Ejercicio 1. Determine si la gráfica dada es la gráfica de una función, de acuerdo al criterio de la recta vertical. y y y x y x (a) x (b) (c) y y x x x (d) A.M.A. (e) 57 (f) V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Ejercicio 2. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones a. y = f (x) = 8x − 14 d. y = 7 2 x + 2x − 15 b. y = x5 + 8x2 − 3 e. y = √ 8 x−5 √ x2 + 2x − 15 f. y = x−5 c. y = x2 + 2x − 15 Ejercicio 3. Si f (x) = x2 + 3x − 1, halle b. f (2) = a. f (−1) = Ejercicio 4. Si f (x) = √ c. f (0) = x2 + 2x − 15, halle b. f (3) = a. f (−6) = c. f (0) = Ejercicio 5. Determine el dominio y el rango de las siguientes funciones. y y π 2 y x 1 −1 x 1 −1 1 − π2 x 1 (a) y y y b b 1 1 −1 x (d) A.M.A. (c) (b) (e) 58 1 x 1 x −1 (f) V.L.U.L. II. CLASES DE FUNCIONES Función Constante Lineal Cuadrática Cúbica Polinomial Valor absoluto Definición Función a trozos Función parte entera Función signo Ejemplo f (x) = [[x]] = n si y solo si    1 sign x = 0   −1 n≤x<n+1 si x > 0 si x = 0 si x < 0 ( x −x2 si x > 0 si x ≤ 0 sign(−2.5) = −1 Operaciones con funciones Sean f (x) y g(x) dos funciones. Se definen 1. Suma: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x), Df +g = Df ∩ Dg . √ Ejemplo 1. Si f (x) = x2 − x y g(x) = x + 2, entonces √ h(x) = (f + g)(x) = x2 − x + x + 2. 2. Multiplicación por un escalar: h(x) = (λf )(x) = λf (x), Dλf = Df . Ejemplo 2. Si f (x) = x2 − x y λ ∈ R, entonces h(x) = (λg)(x) = λ(x2 − x). 3. Producto: h(x) = (f g)(x) = f (x)g(x), Df g = Df ∩ Dg √ Ejemplo 3. Si f (x) = x2 − x y g(x) = x + 2, entonces √ h(x) = (f g)(x) = (x2 − x) x + 2. 4. División: h(x) = (f /g)(x) = f (x)/g(x), Df /g = Df ∩ Dg − {x/g(x) 6= 0} √ Ejemplo 4. Si f (x) = x2 − x y g(x) = x + 2, entonces x2 − x . h(x) = (f /g)(x) = √ x+2 A.M.A. 59 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Ejercicio 6. Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones √ √ x+1− x−4 √ x2 − 13x + 36 d. f (x) = x−9 a. h(x) = b. h(x) = (x + 2) e. f (x) = − r √ x2 −1 x−8 −2 1−x c. h(x) = f. f (x) = √ x2 √ 3 x2 − 1 + 2x − 1 x3 − 27 Ejemplo 5. Halle el dominio, la imagen y trace la gráfica de la siguiente función a trozos ( x si x > 0 y = f (x) = −x2 si x ≤ 0 Solución. Como Dg = (0, ∞) y Dh = (−∞, 0], Df = (−∞, 0) ∪ [0, ∞) = R. y y=x 1 1 x y = −x2 Ejercicio 7. Determine dominio, rango y haga la gráfica de cada función   si − 8 ≤ x ≤ −4  −5   si x < −4  x −4 si − 3 ≤ x ≤ −1 a. f (x) = b. f (x) = |x| si − 4 ≤ x ≤ 4 2   x si 2 ≤ x ≤ 3    4 si x > 4  7 si x ≥ 4 Taller de funciones 1. Considere la función y = f (x). f (−3)  2  si x < −2  x y = f (x) = |x| si − 2 ≤ x < 2   −7 si x > 3 b. Calcule c. f (0) f (2) f (5) Determine el dominio Determine el rango Trace la gráfica de y = f (x) a. A.M.A. 60 f (−2) V.L.U.L. 2. Considere la función y = f (x).  2  3 − x y = f (x) = |x|   −10 f (−3) si − 4 ≤ x < 2 si 2 ≤ x < 5 si x ≥ 5 b. Calcule c. f (2) f (5) f (7) Determine el dominio Determine el rango e. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f (x) = 2? Trace la gráfica de y = f (x) a. d. Encuentre los ceros de la función f (0) 3. Utilice la gráfica de la función y = f (x) para determinar b. f (2) a. f (6) c. f (−1) d. f (−3) e. ¿Cuántos ceros tiene la función f (x)? f. ¿Cuántas soluciones existen para la ecuación f (x) = 3? g. Dominio h. Rango y 6 (4, 5) 5 b 4 3 (−5, 2) b 2 (6, 2) 1 −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 b 3 4 5 6 x b −1 (−3, −2) 2 (2, −1) −2 −3 −4 A.M.A. 61 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica 4. Utilice la gráfica de la función y = f (x) para determinar y a. f (−7) 4 b. f (−1) 3 c. f (1) d. f (5) e. f (1 + 5) f. Dominio g. Rango 5 b 2 b 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 6 x −2 −3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Definición 1 (Función compuesta). Sean f y g funciones. La función compuesta f ◦ g se define mediante mediante (f ◦ g)(x) = f (g(x)) Notación. (f ◦ g)(x) = f (g(x)) se lee f compuesto g de x. El dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los valores de x en el dominio de g, tales que g(x) están en el dominio de f . A g f B x g(x) Dominio de g Dominio de f f (g(x)) Df ◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df } f Ejemplo 1. Sean f (x) = x2 − 16 y g(x) = √ o g x dos funciones. a. (f ◦ g)(x) y Df ◦g b. (g ◦ f )(x) y Dg◦f Solución. Se tiene a. A.M.A. (f ◦ g)(x) = f (g(x)) √ = f ( x) √ 2 = x − 16 = x − 16 62 Definición de f ◦ g Definición de g Definición de f Simplificación V.L.U.L. Df ◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df } = {x ∈ [0, ∞) : g(x) ∈ R} = [0, ∞) Observación. b. • (g ◦ f )(x) = √ x2 − 16 • Dg◦f = {x ∈ D : f (x) ∈ D } = {x ∈ = (−∞, −4] ∪ [4, ∞) : f (x) ∈ } Ejercicio 1. Halle (f ◦ g)(x), (g ◦ f )(x) y el dominio de f ◦ g y de g ◦ f . a. f (x) =√x2 − 3x, g(x) = x + 2 √ b. f (x) = 3 − x, √ g(x) = x2 − 16 3x − 5 , 2 2x − 5 g(x) = 3 x−1 , d. f (x) = x+1 2 g(x) = x c. √ (f ◦ g)(x) = x + 2 + 3 x + 2, Df ◦g = [−2, ∞) p √ (f ◦ g)(x) = 3 − x2 − 16, Df ◦g = [−5, −4] ∪ [4, 5] √ (g◦f )(x) = x2 − 3x + 2, Dg◦f = (−∞, 1] ∪ [2, ∞) √ (g◦f )(x) = −x − 13, Dg◦f = (−∞, −13] f (x) = Ejemplo 2. Sea f la función definida por f (h) = 60h que convierte horas en minutos y la función g(m) = 60m que convierte minutos en segundos. Encuentre una función que convierta horas en segundos. Solución. El diagrama siguiente representa la función buscada A f g B horas minutos segundos b b h f (h) g(f (h)) b g o f Los siguientes son ejemplos de composición de funciones, determine dicha función Nota 4 1. El costo de producción de huevos por un granjero es función del número de gallinas que tiene; el número de gallinas depende a su vez del costo del alimento. El costo de producción de huevos es una función del costo del alimento de las gallinas. 2. La producción anual de naranjas de una huerta es función del número de árboles plantados en la huerta; el número de árboles plantados es función de la fertilidad del terreno. La fertilidad anual es función de la fertilidad del terreno. Nota 4 Tomado el material: Operaciones con funciones. Autor: Dr. José Luis Dı́az Gómez. Universidad de Sonora A.M.A. 63 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica III. INVERSA DE UNA FUNCIÓN Definición 2. Una función f es inyectiva o 1–1 si Definición 3. Una función f es sobreyectiva o sobre si Definición 4. Una función f es biyectiva si y y=x (a, b) Definición 5. Si f (x) es una función inyectiva en su dominio, la inversa de f (x) es la función y = f −1 (x) si y solo si x = f (y). 2 y = f (x) −2 b 1 −1 −1 (b, a) 1 2 x y = f −1 (x) −2 Pasos para determinar la inversa de una función inyectiva Paso 1. A partir de y = f (x), despejar x en términos de y para obtener x = g(y). Paso 2. Intercambiar las variables para obtener y = g(x) = f −1 (x). Ejercicio 2. Determine la inversa de las siguientes funciones dadas. Haga las gráficas de la función y su inversa. a. f (x) = 2x − 1 b. f (x) = 1 ,x>0 x c. f (x) = √ 4 − x2 , −2 ≤ x ≤ 0 d. f (x) = √ x − 2, x ≥ 2 Taller sobre función inversa 1. Determine la función inversa de f y trace la gráfica de f y f −1 . √ f (x) = − 4 − x2 , si 0 ≤ x ≤ 2 a. y = f −1 = A.M.A. b. Gráfica de f y f −1 . 64 V.L.U.L. 2. Calcule la función inversa de f , su dominio, rango y trace la gráfica de f y f −1 . −3x + 7 5 √ c. f (x) = − 9 − x2 , si −3 ≤ x ≤ 0 b. f (x) = x2 − 2, si x ≥ 0 √ d. f (x) = x − 2, si x ≥ 2 a. f (x) = IV. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA EXPONENCIALES Definición 1 (Función exponencial). La función exponencial con base b, (b > 0 y b 6= 1), es de la forma f (x) = bx . −2 y y 4 4 3 3 2 2 11 1 1 −1 2 x −2 −1 1 1 −1 2 x −1 (a) f (x) = bx , 0 < b < 1 (b) f (x) = bx , b > 1 PROPIEDADES 1. Si x1 6= x2 , entonces bx1 6= bx2 2. Si bx1 = bx2 , entonces x1 = x2 Ejercicio 1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones a. 7x+6 = 73x−4 b. 22x+3 = 2x 2 2 c. 9x = 3x+2 d. 4x−3 = 84−x Nota. Se habla de función exponencial, sin especificar la base. Cuando b = e, f (x) = ex . Ejercicio 2. Determine el dominio y rango de la función f (x) = ex . Calcule la imagen de 0, 1, −1, 2, −2, 3 y haga su gráfica. Ejercicio 3. Realice la gráfica de las siguientes funciones y determine su dominio y rango. a. f (x) = ex + 1 A.M.A. b. f (x) = ex − 1 c. f (x) = ex+1 65 d. f (x) = ex−1 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Aplicaciones Ejemplo 1. El peso W (en kg) de una población de elefantes africanos está relacionado con la edad t (t en años) mediante W = 2600(1 − 0.5e−0.075t )3 . a. ¿Cuánto pesa un elefante recién nacido? b. ¿Cuánto pesa el elefante cuanto tenga 10 años de edad? Solución. Sustituyendo los valores t = 0 y t = 10 se obtiene a. W (t = 0) = 2600(1 − 0.5e0 )3 = 325 b. W (t = 10) = 2600(1 − 0.5e−0.75 )3 = 1986 EEJERCICIOS DE APLICACIONESjercicios de aplicaciones Ejercicio 1. En 2005 la población de Colombia era aproximadamente 42.889 millones y ha ido creciendo a una razón de 1.15 % por año. La población N (t), t años más tarde, se puede aproximar mediante N (t) = 42.889e0.0115t . Si continuara este patrón de crecimiento, a. ¿cuál será la población de Colombia para el año 2010? b. ¿y para el 2020? Rta. 45.427 millones Rta. 50.964 millones Ejercicio 2. Una centena de ciervos, cada uno de 1 año de edad, se introducen en un terreno de caza. El número N (t) de los que aún quedan vivos después de t años se predice que es N (t) = 100 · 0.9t . Estime el número de animales vivos después de a. 1 año. Rta. 90 b. 5 años. Rta. 59 c. 10 años. Rta. 35 LOGARITMOS la palabra logaritmo viene de la raı́z griega logos, que significa “proporción” y arithmos, que significa “número”. Muchas escalas logarı́tmicas están basadas en proporciones numéricas. Definición 2 (Función logarı́tmica). La función logarı́tmica con base b, (b > 0, b 6= 1), es de la forma y = f (x) = logb x si y solo si x = by . La función logarı́tmica base b es la inversa de la exponencial con base b. Ejercicio 3. Complete el espacio en blanco y encuentre el valor de la variable FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL a. log5 x = 2 b. x= 3 b =8 b= c. log3 w = 4 A.M.A. VALOR DE LA VARIABLE w= 66 V.L.U.L. Notas: 1. Cuando b = e, se llama logaritmo natural o neperiano y se escribe ln x 2. Cuando b = 10, se llama logaritmo vulgar o decimal y se escribe log x y y −2 4 3 2 2 1 11 1 −1 y=x y = bx 3 1 −3 y=x y = bx 4 2 3 4 x −2 1 −1 −1 2 3 4 x −1 −2 −2 (a) y = logb x, b > 1 (b) y = logb x, 0 < b < 1 PROPIEDADES 2. logb b = 1 1. logb 1 = 0 5. Si x1 6= x2 , entonces logb x1 6= logb x2 7. logb (uw) = logb u + logb w 9. logb xr = r logb x Cambio de base 3. logb bx = x 4. blogb x = x 6. Si logb x1 = logb x2 , entonces x1 = x2 8. logb (u/w) = logb u − logb w logb x ln x 10. loga x = 11. logb x = logb a ln b Ejercicio 4. Resuelva las siguientes ecuaciones a. log3 (4x − 5) = log3 (2x + 1) b. log x2 = log(−3x − 2) e. log9 x = 3/2 f. log9 x = 3/2 g. log5 (2x + 3) = log5 11 + log5 3 h. log2 x + log2 (x + 2) = 3 i. log7 x − log7 2 = 5 d. log4 x = −3/2 c. ln x2 = −2 AplicacionesNota 5 Geologı́a Los logaritmos se utilizan para medir los movimientos sı́smicos, para ello se usan escalas. La escala de Richter es una de ellas y mide la energı́a liberada por el movimiento de rotura de las rocas. La relación entre la magnitud, M , del sismo y la energı́a liberada, E, es log E = 1.5M − 1.74. Nota 5 Tomado de: http://skywarrior96.blogspot.com/2012/06/aplicaciones-de-los-logaritmos.html A.M.A. 67 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Los grados de intensidad se calcula mediante la expresión R = log(A/p), donde A es la amplitud en micrómetros, µ (1 µ = 10−4 cm) y p es el perı́odo en segundos. Arqueologı́a Los logaritmos también se usan para datar la antigüedad de los restos orgánicos por el método del carbono 14 (C-14). La velocidad de desintegración del C-14 en la materia, y, se relaciona con su edad a través de la siguiente ecuación ln y = 2.52 − 0.00012t. Economı́a y Finanzas El cálculo del número de perı́odos se puede realizar despejando n en la fórmula de interés compuesto Cf = Ci (1 + r)n , de la cual se obtiene: n= log Cf − log Ci . log(1 + r) Quı́mica El pH (potencial de hidrógeno) es una medida de acidez o alcalinidad de una disolución. Este término fue acuñado por el quı́mico danés Sorensen, quien lo definió como el logaritmo negativo en base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es: pH = − log(aH3 O+ ) Astrologı́a La magnitud aparente m de una estrella, planeta o de otro cuerpo celeste es una medida de su brillo aparente; es decir, la cantidad de luz que se recibe del objeto. La magnitud aparente en la banda x se puede definir como: mx = −2.5 log Fx + C. Sonido La intensidad del sonido es medida en la escala de decibelio (dB). La clasificación en decibelios para un sonido está dada por I , dB = 10 log IR donde I es la intensidad del sonido en vatios/cm2 e IR es la intensidad más baja de un sonido que puede ser escuchado por los humanos. El valor de IR es IR = 10−16 vatios/cm2 . A.M.A. 68 V.L.U.L. 8. TRIGONOMÉTRÍA La palabra trigonometrı́a viene de trigonos que significa triángulo y metrón que significa medidas. Por tanto, la trigonometrı́a estudia los ángulos y los lados de un triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos. Trigonometrı́a en triángulos rectángulos θ Lado opuesto a θ B Lado adyacente a θ A a us en ot p Hi O sen θ = csc θ = cos θ = sec θ = tan θ = cot θ = Identidades fundamentales tan θ = sec θ = cot θ = csc θ = Ejercicio 1. Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ en cada uno de los triángulos rectángulos a. c. b. 5 4 2 5 θ 2 θ 6 θ 3 e. d. 0.4 f. 3 θ 1.2 3 y θ x θ Ejercicio 2. Utilice las identidades fundamentales para encontrar los valores de las funciones trigonométricas que faltan para θ. √ 3 2 5 3 2 a. sen θ = √ , cos θ = √ c. sen θ = √ , cos θ = 13 13 7 7 1 3 b. sen θ = √ , cos θ = √ 10 10 A.M.A. 5 1 d. sen θ = √ , cos θ = √ 26 26 69 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica Ejercicio 3. Determine en los siguientes triángulos, el valor de cada una de las variables a. β β y h 34◦ O b. B 10.5 12.3 h α pA O B pA 31.6 Identidades pitagóricas sen2 θ + cos2 θ = 1 tan2 θ + 1 = sec2 θ 1 + cot2 θ = csc2 θ Ejercicio 4. Compruebe las siguiente identidades a. sen θ csc θ = 1 c. cos2 θ − sen2 θ = 2 cos2 θ − 1 sen θ cos θ + =1 e. csc θ sec θ b. (1 + sen θ)(1 − sen θ) = cos2 θ d. (tan θ + cot θ) tan θ = sec2 θ sen θ + cos θ = 1 + tan θ f. cos θ Funciones trigonométricas y y Pt b { b z } | 1 O t b Pt (x, y) = (cos t, sen t) t (1, 0) x b O (1, 0) x (b) (a) Ejercicio 5. Completar la siguiente tabla con los signos de las funciones trigonométricas, dependiendo del cuadrante. Cuadrante I II III IV A.M.A. Función sen θ cos θ 70 tan θ cot θ sec θ csc θ V.L.U.L. Ejercicio 6. Complete la siguiente tabla θ grad 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 210◦ 225◦ 240◦ 270◦ 300◦ 315◦ 330◦ 360◦ θ rad 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ Ejercicio 7. Trace las gráficas de y = f (t) = sen t y y = g(t) = cos t en el intervalo [0, 2π]. y y 1 1 π π 2 2π t 3π 2 π π 2 −1 3π 2 2π t −1 (a) y = sen t (b) y = cos t Ejercicio 8. Considere las gráficas de las siguientes funciones trigonométricas. En cada caso complete las tablas. y 1 –2π – 3π 2 –π – π2 π 2 π 3π 2 2π t −1 y = tan t A.M.A. 71 V.L.U.L. Libro de trabajo de Matemática Básica y = tan t Dominio Rango Ası́ntotas Interceptos en t Intercepto en y Simetrı́a y 1 – π2 –π – 3π 2 –2π π 2 π 3π 2 2π t −1 y = cot t y = cot t Dominio Rango Ası́ntotas Interceptos en t Intercepto en y Simetrı́a y 1 –2π – 3π 2 –π – π2 π 2 π 3π 2 2π t −1 y = csc t y = csc t A.M.A. Dominio Rango Ası́ntotas Interceptos en t 72 Intercepto en y Simetrı́a V.L.U.L. y 1 –2π – 3π 2 –π – π2 π 2 π 3π 2 2π t −1 y = sec t y = sec t A.M.A. Dominio Rango Ası́ntotas Interceptos en t 73 Intercepto en y Simetrı́a V.L.U.L. APÉNDICES A. PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES Perı́metros y áreas Figura Nombre a Triángulo Términos c h b Paralelogramo a h Fórmula h = altura b = base p = perı́metro A = área p=a+b+c bh A= 2 h = altura b = base p = 2(a + b) A = bh l = lado d = diagonal p = 4l b d Cuadrado l A = l2 , A = l a Rombo d′ d a d2 2 d = diagonal mayor d′ = diagonal menor p = 4a dd′ A= 2 b = base mayor b′ = base menor h = altura p = 2a + b + b′ (b + b′ )h A= 2 a = apotema l = lado n =número de lados p = nl pa A= 2 r = radio p = 2πr A = πr2 b′ Trapecio a h b l Polı́gono regular Cı́rculo A.M.A. a r 75 V.L.U.L. Apéndices Áreas laterales y volúmenes Figura Términos Nombre Fórmula l a Caja rectangular h Cubo a = ancho h = altura l = largo S = 2(ah + al + lh) V = lah l = lado o arista S = 6l2 V = l3 A = área base h = altura p = perı́metro S = 2A + ph V = Ah A = área base h = altura p = perı́metro Al = área lateral S = A + Al V = 13 Ah r = radio h = altura S = 2πrh (sin tapas) S = 2πr(h + r). V = πr2 h r = radio S = 4πr2 V = 43 πr3 l l Prisma recto l h A Pirámide recta h A r Cilindro circular recto Esfera A.M.A. h b r 76 V.L.U.L. Nombre Tetraedro Figura Términos h A Cuña esférica b r θ A = área base h = altura p = perı́metro Al = área lateral S = A + Al V = 13 Ah r = radio θ = ángulo de la cuña θ S = 4πr2 360 θ V = 34 πr3 360 r = radio h = altura g = lado g Cono circular recto h Fórmula S = πg (sin base) S = πr(r + g) V = 31 πr2 h r r Cono truncado h R r b R b a b b h Zona esférica A.M.A. R = radio mayor r = radio menor h = altura g = lado π(r + R)g (sin tapas) S = π[g(r +R)+r2 +R2 ] V = 13 πh(R2 + r2 + rR) R = radio de esfera r = radio casquete h = altura casquete S S V V R = radio de esfera a = radio menor b = radio mayor h = altura zona S = 2πRh (sin tapas) S = 2π(Rh + a2 + b2 ) V = 61 πh(h2 + 3a2 + 3b2 ) b h Casquete esférico g b R 77 = 2πRh (sin tapa) = π(r2 + h2 ) = 13 πh2 (3R − h) = 61 πh(3r2 + h2 ) V.L.U.L. Apéndices B. AUTOEVALUACIÓN B.1. Autoevaluacion I 1. CONJUNTOS. En la celebración de los 20 años de la Facultad de Ciencias Ambientales, participaron 550 estudiantes en diferentes actividades. El 40 % participó asistiendo a la conferencia “El rol del Administrador Ambiental en el siglo XXI”, dictada por Carlos Ignacio Jiménez. El 30 % asistió a la ponencia ofrecida por el profesor Diego Paredes, titulada “Retos y oportunidades de la gestión del agua” y el 20 % estuvo en la charla “Caracterización del mercado laboral del Administrador Ambiental”, orientada por AMBIEGRESADOS. Un 20 % de estudiantes asistió a la conferencia dada por Carlos Ignacio y también a la ponencia del profesor Diego Paredes. Un 14 % asistió a la ponencia y la charla. Un 10 % de estudiantes asistieron a las tres actividades. a. Represente en un diagrama de Venn la información del ejercicio b. ¿Cuántos estudiantes asistieron solo a la conferencia dictada por Carlos Ignacio? c. ¿Cuántos alumnos participaron en al menos una de las tres actividades? d. ¿Cuántos alumnos fueron en la ponencia ofrecida por el profesor Diego Paredes? e. ¿Cuántos estudiantes estuvieron en otras actividades? 2. EXPONENTES Simplifique cada una de las siguientes expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos, ni radicales en el denominador. No. a. c. e. g. 9. A.M.A. Expresión 2/3 −5/2 − 27 ·4 − 125 2/3 − 2x−1 y Respuesta No. b. · 49−3/2 d. 5 x3 2 4y f. (2a−1 b2 c3 )3 (3a2 b−2 c−2 ) (12a−2 c−1 )(−5ab3 c−3 ) p √ 3 32xy 2 3 xy √ 3 x2 z 3 h. 10. 78 Expresión −2/3 1/6 − 27x x Respuesta 1 √ 9 x4 r 18 24 y 4 16x 27x2 2/3 6 −1 2 2x x 2/3 y y √ 1 √ x− 3 V.L.U.L. B.2. Autoevaluación II. I. NÚMEROS REALES 1. Realice las operaciones indicadas y simplifique Expresión Resultado 4 − 23 a. 2 −6 5 Expresión 2 − 13 b. 1 3 5 −5 2 + 2 3 Resultado 2. Escriba la propiedad (o propiedades) del sistema de los números reales que justifique cada uno de los siguientes enunciados, donde x, y, z ∈ R. a. b. c. (x − y)/(x − y) = 1, si x 6= y (x + y)z = zx + zy x+y y = 1 + , si x 6= 0 x x II. ECUACIONES E INECUACIONES 1 Resuelva las siguientes ecuaciones. Simplifique la respuesta. a. b. c. 3 6 − x= 2 21 7x 5 4x 3 + = + 12 2 3 4 (3 − x) − 6(3 − 2x) = 18 2 Determine la solución de las siguientes expresiones. Represente la solución sobre la recta numérica y exprésela mediante la notación de intervalo, o de conjunto según sea el caso. No. a. c. e. Expresión x −2 − > 7 2 x − 1 3 =3 Respuesta 2. b. d. Expresión 4−x −3 ≤ ≤7 4 Respuesta |3x − 8| ≥ 12 2(3x − 1) − 4(1 − x) < 14 y −3(2x + 3) ≥ 9 3 Tres canastos contienen 574 manzanas. El primer canasto tiene 10 manzanas más que el segundo y el tercero contiene el doble de manzanas del primero. ¿Cuántas manzanas hay en cada canasto? 4 Del salario de don Carlos se descuenta el 13 % por concepto de salud y el 2 % para la pensión.¿Cuánto es el salario de don Carlos si él recibió $586.000? A.M.A. 79 V.L.U.L. Apéndices III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. Encuentre el valor de cada una de las siguientes expresiones No, a. b. Expresión 3ab − 2cd 4ac 4 1 2− ÷ x− x+1 2 Valores de las variables Valor expresión a = −2, b = 3, c = −1, d = 2 x=2 2. Exprese la frase como una ecuación en la variable x y resuélvala: “La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él.” II. POLINOMIOS Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir p(x) entre d(x). p(x) = 2x4 − 10x2 + 14x + 7 d(x) = x2 − 2x + 1 Cociente c(x) = Residuo r(x) = B.3. Autoevaluación III. I. FACTORIZACIÓN Factorice completamente los siguientes polinomios. a. 2x3 − 32x b. 8x3 − 125 c. 4x2 − 12x + 9 d. x3 − x2 − 2x + 4 e. 3x2 − 14x + 8 II. EXPRESIONES RACIONALES 1. Realice las operaciones indicadas y simplifique a su mı́nima expresión para llegar a la respuesta dada. Expresión 3 a. c. x − 9x + 6x − 27 2 1 − x−1 x2 x− 1 x 5 3 1 − + e. 2 3 2 4 24a x 36a y 40x2 y 5 g. A.M.A. x3 − 25x 2x3 + 8x2 − 10x Respuesta Expresión x(x + 3) (x + 9) b. x(x − 3) (x − 1)(x − 1)2 d. 15y 5 − 50x3 y + 27a2 x 360a2 x3 y 5 x−5 2(x − 1) 80 1 1 − 2 2 mn − n m − mn Respuesta 1 mn x3 − x2 − 4x − 4 x2 − 1 (x + 2)(x − 2) x+1 x−5+ (3x − 5)(x − 4) (3x − 1)(3x − 1) 13 3x + 1 f. 12 3x + 2 + 3x − 5 a2 a−2 ÷ 2 h. 4 a − 16 a − 2a 1 + 4) a(a2 V.L.U.L. III. ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES Realice las operaciones indicadas y simplifique a su mı́nima expresión. Seleccione la respuesta correcta. Expresión a. b. c. Respuesta x−7 +3≥0 x+5 (2 − x)(1 + x) ≤0 x−5 √ x + 7 = x − 13 (−∞, −5) ∪ [−2, ∞) (−∞, −5] ∪ [−2, ∞) [−1, 2] ∪ (5, ∞) (−∞, −1] ∪ [2, 5) {9, 18} {18} IV. APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS La altura h en pies, sobre el piso, que alcanza un cohete de juguete a los t segundos después de haber sido disparado, es h(t) = −16t2 + 120t. ¿Cuándo llegará el cohete a 180 pies sobre el piso? V. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, PUNTO MEDIO Y LA RECTA 1. Encuentre una ecuación de la recta L2 que tiene intercepto con el eje x en 5 y es perpendicular a la recta L1 : 4x + 2y = −3. 2. Uno de los extremos de un segmento de la recta es (7, 4) y el punto medio es (−2, 3). Halle el otro extremo del segmento y su longitud. 3. Halle la ecuación de la recta L que se muestra en la figura y 5 4 3 L y = x2 + 1 2 1 −3 −2 1 −1 2 x −1 B.4. Autoevaluación IV. I. APLICACIONES DESIGULADADES Una compañı́a elabora bolsos de materiales reciclados con un precio unitario de venta de $40.000 y un costo unitario de $25.000. Si los costos fijos son de $1.200.000. ¿Cuál debe ser la cantidad mı́nima que debe vender para que la compañı́a obtenga utilidades? A.M.A. 81 V.L.U.L. Apéndices III. CÓNICAS Determine en las siguientes ecuaciones si es parábola, elipse, circunferencia o hipérbola. Según la cónica, halle: centro, vértices, radio, eje mayor, eje menor, eje de simetrı́a. Grafique. a. 2x2 + 8x + 2y + 1 = 0 b. 9x2 + 4y 2 18x + 16y = 11 c x2 + y 2 + 2x − 4y = 4 d. 9x − 16y 2 − 36x − 32y = 124 IV. FUNCIONES 1. Encuentre el dominio de las siguientes funciones √ 5−x 1 b. y = f (x) = x+2 √ c. y = f (x) = x2 − 13x + 26 r x+8 d. y = f (x) = +2 x−1 a. y = f (x) = Dominio Dominio 2. Considere la función y = f (x)   si − 3 ≤ x < 3 |x| y = f (x) = 5 si 3 ≤ x ≤ 7   2 + x si x > 10 f (−3) b. Calcule c. f (3) f (7) f (10) Determine el dominio Determine el rango Trace la gráfica de y = f (x) a. f (0)   2x + 3 si x < 0 3. Considere la función y = f (x) = x2 si 0 ≤ x < 2 .   1 si x ≥ 2 a. Trace la gráfica de y = f (x) A.M.A. 82 V.L.U.L. y 4 3 2 1 −4 −3 −2 1 −1 2 3 x −1 −2 b. Calcule f (−1) = f (0) = f (1) = f (2) = f (5) = c. Determine el rango √ 4. Determine la inversa de f y trace las gráficas de f y f −1 para f (x) = − 4 − x2 , 0 ≤ x ≤ 2. y y=x 2 1 −3 −2 1 −1 2 x −1 −2 −3 A.M.A. 83 V.L.U.L. Referencias [1] Álgebra y Trigonometrı́a. Dennis G. Zill - Jacqueline M. Dewar. Editorial Mc Graw-Hill. Segunda edición, 1992. [2] Álgebra Elemental. Alfonse Gobran. Grupo Editorial Iberoamérica. 1992 [3] CELP, Curso en lı́nea de precálculo: en http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html [4] http://soko.com.ar/matem/matematica/func trig.htm [5] http://www.iesmarquesdesantillana.org/departamentos/matem/funciones/seno7.htm [6] http://www.geoka.net/geometria/angulos.html [7] http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/clasifi.htm [8] http://www.vitutor.net/1/clasificacion angulos.html [9] http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7 Triangulos.htm [10] http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.htm [11] http://www.salonhogar.net/Trigonometria/P8.htm 84

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