Ejercicios para el curso MA–1003: Cálculo III

Ejercicios para el curso MA–1003: Cálculo III
Tomados de los exámenes de la Cátedra∗
1
Superficies en el espacio R3
1.1. Hallar la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva de intersección de las superficies
x2 + y2 = 1 y z = x y cuyas generatrices son paralelas al vector (9, 1, −15).
1.2. Obtener la ecuación de un cilindro cuya directriz está dada por la curva
x2 + y2 + 2z2 = 8,
x − y + 2z = 0,
y cuyas generatrices son paralelas a la recta (x, y, z) = (−3, 1, 5) + t(2, 1, −4), t ∈ R.
1.3. Calcular la ecuación del cilindro elı́ptico que tiene por directriz la elipse
x2 y2
+ = 1,
9
4
z=0
y por generatrices rectas paralelas a la recta de intersección de los planos 9x + y + 4z = 14 y
x + y + z = 3.
1.4. Encontrar la ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta
2x + y + z − 6 = 0,
x + y = 0,
y cuya directriz es la intersección de la esfera de radio 1 centrada en el punto (1, 0, 1) con el
plano x − y = 2.
1.5. Hallar la ecuación del cilindro cuya directriz es la elipse de ecuaciones paramétricas
x = cos θ ,
y = sen θ ,
z = cos θ + sen θ
y cuyas generatrices son perpendiculares al plano que contiene dicha elipse.
1.6. Calcular la ecuación de la superficie cónica que tiene por vértice el punto (0, 2, 3) y cuya
directriz es la elipse x2 + y2 = 16, x + y + z = 0.
1.7. Calcular la ecuación del cono que tiene por vértice el punto (−4, 2, 3) y cuya directriz es
la curva de intersección de las superficies
x2 y2
+
= 1,
9 16
∗ Recopilado
3x + 2y − z = 0.
por el Prof. Marco Alfaro C. y reeditado por Joseph C. Várilly en el II Ciclo del 2009
1
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1.8. Calcular la ecuación de la superficie cónica que tiene por vértice el punto (0, 2, 3) y cuya
directriz es la curva de intersección del hiperboloide de una hoja x2 + y2 − 4z2 = 16 con el
plano x − y + z = 0.
1.9. Encontrar la ecuación del cono cuyo vértice se encuentra en el centro del elipsoide
x2 y2 z2
+ + =1
9
3
4
y cuya directriz es la elipse
x2 y2 z2
+ + = 1,
9
3
4
x + y + z = 1.
1.10. Hallar la ecuación del cono cuyo vértice es el centro de la superficie 2x2 + y2 + z2 = 12
y que tiene por directriz la curva de intersección de esta superficie con el plano x + y + z = 3.
1.11. Encontrar la ecuación del cono que cuyo vértice es el centro de la superficie cuadrática
x2 − y2 + 4x + 6y + z2 = 10 y cuya directriz es el cı́rculo x2 + y2 + z2 = 9, x + y + z = 0.
1.12. Calcular la ecuación de la superficie cónica que tiene por vértice el punto (0, 0, 0) y
cuya directriz es la curva alabeada
π
π
~r(t) = 3 cost i + 4 sent j + tgt k
.
− <t <
2
2
1.13.
(a) Identificar la cuádrica x2 + 4z2 − 2x − 4y + 25 = 0 como elipsoide, hiperboloide,
paraboloide o cono.
(b) Especificar las intersecciones de esa cuádrica con los planos y = 2, y = 7 y x = 5.
(c) Dibujar un gráfico aproximado de esta superficie.
1.14. Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la recta
x − z = 1,
x−y+z = 0
alrededor del eje x = y = z.
1.15. Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la recta
2x − 3y + z = 0,
3x − 2y − 4z = 1
alrededor del eje
x−1 y−3 z−6
=
=
.
1
2
3
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1.16. Encontrar la ecuación de la superficie de revolución formada por la rotación de la recta
2x = 3y, z = 3 alrededor del eje
x−1 y−3 z−6
=
=
.
2
5
3
1.17. Calcular la ecuación de la superficie de revolución que resulta al girar la recta
x + y + z = 0,
y−z = 0
alrededor del eje que es la intersección de los planos x + y = 1, z = 0.
1.18. Determinar la ecuación de la superficie de revolución que se obtiene al rodar la recta
x − y + z = 1,
x + y + 2z = 0
alrededor del eje x + y + z = 1, x − y = 0.
1.19. La recta
x+1 y−1 z−2
=
=
4
3
2
gira alrededor del eje
x−2 y−4
=
= z + 3.
5
6
Encontrar la ecuación de la superficie que engendra.
1.20. Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la curva plana
xy = 10, z = 0 alrededor del eje y = x, z = 0. Hacer un gráfico de esta superficie.
1.21. Hallar la ecuación de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva
x = cos θ ,
y = sen θ ,
z = sen θ
(0 ≤ θ ≤ 2π)
alrededor de la recta y = z, x = 0.
1.22. La hipérbola x2 − z2 = 1, y = 0 gira alrededor de su ası́ntota z = x, y = 0. Hallar la
ecuación de la superficie que engendra.
1.23. La curva de intersección de la esfera x2 + y2 + z2 + x = 0 con el plano x − y + z = 0
gira alrededor de la recta x = y, z = 0. Calcular la ecuación de la superficie de revolución que
engendra.
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Curvas en el espacio R3
2.1. Un punto se mueve en el espacio según la ecuación vectorial
~r(t) = 4 cost i + 4 sent j + 4 cost k.
(a) Probar que la trayectoria es una elipse y encontrar la ecuación del plano que la incluye.
(b) Calcular el radio de curvatura en el punto~r(π/2) = (0, 4, 0).
2.2. Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas:
(a) x = 3 sen 2t, y = 3 cos 2t, z = 8t; desde (0, 3, 0) hasta (0, 3, 8π).
√
(b) x = t, y = t 2 / 2, z = t 3 /3; para 0 ≤ t ≤ 1.
[[ R/: 10π. ]]
(c) x = 6et cost, y = 6et sent, z = 17et ; para 0 ≤ t ≤ 1.
[[ R/: 19(e − 1). ]]
√
√
√
(d) x = t 2 /2, y = logt, z = 2t; desde ( 21 , 0, 2) hasta (2, log 2, 2 2).∗
(e) x = 3t sent, y = 3t cost, z = 2t 2 ; para 0 ≤ t ≤ 54 .
9
[[ R/: 2 + 10
log 3. ]]
(f) x = 2et , y = e−t , z = 2t; para 0 ≤ t ≤ 1.
2.3. Determinar la parametrización por longitud de arco de la hélice~r(t) = (3 cost, 3 sent, 4t)
en términos de la longitud de arco s medida desde el punto inicial (3, 0, 0).
s
4s
s
[[ R/: x(s) = 3 cos , y(s) = 3 sen , z(s) = . ]]
5
5
5
2.4. Determinar la curvatura κ de estas curvas planas en los puntos indicados del plano R2 :
(a) y = cos x; en (0, 1).
[[ R/: 1. ]]
(b) x = t − 1, y = t 2 + 3t + 2; en (1, 12).
√
40 2
[[ R/: √ . ]]
41 41
√ √
(c) x = 5 cost, y = 4 sent; en ( 52 2, 2 2).
(d) x = 5 cosht, y = 3 senht; en (5, 0).
2.5. Determinar los puntos de estas curvas planas en los cuales la curvatura κ alcanza su
mayor valor:
(a) y = log x; con 0 < x < ∞.
(b) x = 5 cost, y = 3 sent; con −∞ < t < ∞.
∗ Aquı́
[[ R/: κ =
5
9
en (±5, 0). ]]
‘log’ denota el logaritmo natural; en los libros de cálculo se ve todavı́a la notación obsoleta ‘ln’.
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2.6. Determinar la curvatura κ(t) de las curvas siguientes:
(a) ~r(t) = t i + (2t − 1) j + (3t + 5) k.
[[ R/: κ(t) = 12 . ]]
(b) ~r(t) = t i + sent j + cost k.
(c) ~r(t) = (t,t 2 ,t 3 ).
(d) ~r(t) = (et cost, et sent, et ).
[[ R/: κ(t) =
√
2 −t
3 e . ]]
2.7. Determinar el vector tangente unitario ~T y el vector normal unitario ~N para estas curvas
planas en los puntos indicados:
(a) x = t 3 , y = t 2 ; en (−1, 1).
(b) x = 3 sen 2t, y = 4 cos 2t; para t = π/6.
[[ R/: ~T =
√
√
√
√
57
~N = 57 (4 3, 3). ]]
3),
(3,
−4
57
57
(c) x = t − sent, y = 1 − cost; para t = π/2.
2.8. Una curva plana se parametriza por x(t) = 4 cos3 t, y(t) = 4 sen3 t.
(a) Calcular su longitud de arco, para 0 ≤ t ≤ π/2.
(b) Hallar los vectores unitarios tangente ~T(t) y normal ~N(t) en el punto (x(t), y(t)), si
0 < t < π/2.
√ √
(c) Calcular los componentes tangencial y normal de la acelaración en el punto ( 2, 2).
2.9. Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración, aT y aN , para las
curvas planas siguientes:
(a) ~r(t) = 3 sen πt i + 3 cos πt j.
(b) ~r(t) = (2t + 1) i + (3t 2 − 1) j.
√
√
[[ R/: aT = 18t/ 9t 2 + 1, aN = 6/ 9t 2 + 1. ]]
(c) ~r(t) = cosh 3t i + senh 3t j.
(d) ~r(t) = (t cost,t sent).
√
√
[[ R/: aT = t/ 1 + t 2 , aN = (2 + t 2 )/ 1 + t 2 . ]]
2.10. La trayectoria de una partı́cula, que se mueve en el plano R2 , se describe por las ecuaciones paramétricas x = t 2 , y = t 4 .
(a) Calcular la velocidad y la aceleración en el instante t = 1.
(b) Calcular los vectores unitarios ~T y ~N y la ecuación del cı́rculo osculador.
(c) Calcular la aceleración en términos de los vectores unitarios ~T y ~N.
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2.11. Determinar los vectores unitarios ~T, ~N y ~B (el triedro móvil) para cada una de estas
curvas, en los puntos indicados:
(a) ~r(t) = (t,t 2 ,t 3 ); en (1, 1, 1).
(b) ~r(t) = t i + sent j + cost k; en (0, 0, 1).
[[ R/: ~T =
√
2
2 (1, cost, − sent),
~N = (0, − sent, − cost). ]]
(c) ~r(t) = (6et cost, 6et sent, 17et ); en (6, 0, 17).
[[ R/: ~T =
(d) ~r(t) = (et cost, et sent, et ); en (1, 0, 1).
√
√
3
~N = 2 (−1, 1, 0). ]]
(1,
1,
1),
3
2
2.12. Para la curva alabeada ~r(t) = (2 cosh 3t, −2 senh 3t, 6t), determinar el triedro móvil
~T(t), ~N(t) y ~B(t). Mediante las fórmulas de Frenet y Serret:
d~T
= κ ~T,
ds
d~B
= −τ ~N,
ds
hallar la curvatura κ y la torsión τ en cualquier punto de esta curva.
[[ R/: κ(t) = 14 sech2 3t, τ(t) = − 14 sech2 3t. ]]
3
Lı́mites y continuidad
3.1. Considérese la función
f (x, y) :=

x2 y3



 x4 + y6 , si (x, y) 6= (0, 0),



0,
(a) Mostrar que
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0 a lo largo de cualquier recta y = mx. Encontrar la
ecuación de una curva para la cual
(b) Mostrar que
si (x, y) = (0, 0).
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) 6= 0 a lo largo de esta curva.
∂f
∂f
(0, 0) y
(0, 0) existen y calcular sus valores.
∂x
∂y
3.2. Mostrar que la función definida por
 xy


 x2 + y2 , si (x, y) 6= (0, 0),
f (x, y) :=



0,
si (x, y) = (0, 0),
es discontinua en (0, 0).
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3.3. Demostrar que los siguientes lı́mites existen y valen 0, usando las coordenadas polares
x = r cos θ , y = r sen θ . Es decir, si g(r, θ ) := f (r cos θ , r sen θ ), reescribir los lı́mites y concluir que lim g(r, θ ) = 0.
r→0
(a)
y3
,
(x,y)→(0,0) x2 + y2
(c)
3x3 y2
,
(x,y)→(0,0) x2 + y2
(b)
7x2 y2
,
(x,y)→(0,0) 2x2 + 2y2
(d)
x3 y4
.
(x,y)→(0,0) x4 + y4
lim
lim
lim
lim
3.4. Demostrar que los siguientes lı́mites no existen:
(a)
x2 − y2
,
(x,y)→(0,0) x2 + y2
(c)
8x3 y2
,
(x,y)→(0,0) x9 + y3
(e)
2xy4
,
(x,y)→(0,0) x5 + 6y5
(b)
xy2
,
(x,y)→(0,0) x2 + y4
(d)
x2 y
,
(x,y)→(0,0) x3 + y3
(f)
y3 x
.
(x,y)→(0,0) y6 + x2
lim
lim
lim
lim
3.5. Dada la función f tal que f (x, y) =
lim
lim
x3 y
si (x, y) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0,
x6 + y2
(a) calcular lim f (x, mx) para cada m ∈ R;
x→0
(b) calcular lim f (x, x3 ).
x→0
(c) ¿Qué puede concluirse acerca de
(d) Mostrar que
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) ? Justificar su respuesta.
∂f
∂f
(0, 0) y
(0, 0) existen y calcular sus valores.
∂x
∂y
3.6. Considérese la función
f (x, y, z) :=
¿Dónde está definida? Demostrar que
x+y+z
.
x+y−z
lim
(x,y,z)→(0,0,0)
f (x, y, z) no existe.
[[ Indicación: Hacer que (x, y, z) → (0, 0, 0) por los ejes coordenados. ]]
3.7. Considérese la función
f (x, y, z) :=
xyz
.
x3 + y3 + z3
¿Dónde está definida esta función? Demostrar que
lim
(x,y,z)→(0,0,0)
f (x, y, z) no existe.
[[ Indicación: Dejar (x, y, z) → (0, 0, 0) por los ejes coordenados y por la recta x = y = z. ]]
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Derivadas direccionales y planos tangentes
4.1. Considérese la superficie representada por la ecuación z = xy + x3 − y.
(a) Calcular la derivada direccional de z en el punto (0, 1) en la dirección paralela al vector
~r = − i + 2 j.
(b) Calcular los planos tangentes a esta superficie en los puntos (1, 1, 1) y (0, 2, −4).
(c) Encontrar el ángulo que forman dichos planos tangentes.
4.2. Encontrar la ecuación de la recta tangente y la ecuación del plano normal a la curva
x2 − y2 + 2z2 = 2, x + y + z = 3, en el punto (1, 1, 1).
4.3. Demostrar que la ecuación del plano tangente a la superficie cuadrática
Ax2 + By2 +Cz2 = D,
con A2 + B2 +C2 > 0,
en el punto P = (x0 , y0 , z0 ) de la superficie, es: A(x0 )x + B(y0 )y +C(z0 )z = D.
4.4. La altura h de un monte se describe aproximadamente mediante la función
√
√
√
h(x, y) = 2 2 − 0,0002 2 y2 − 0,0004 2 x2 ,
donde h es la altura en kilómetros sobre el nivel del mar mientras x e y miden las coordenadas
este-oeste y norte-sur respectivamente. Para el punto (x, y) = (−2, −4), encontrar:
(a) ¿Con qué rapidez se incrementa la altura en la dirección noreste?
(b) ¿En qué dirección va la trayectoria más empinada hacia arriba?
√
√
√ 2
(c) Si T (x, y, z) = 2 2 − 0,0002 2 y2 − 0,0004 √
2 x − z representa la temperatura en la
montaña, calcular en el punto (−2, −4, 1,9952 2) el cambio máximo de temperatura.
¿En qué dirección ocurre?
4.5. Hallar la derivada direccional de la función z = x3 − 2x2 y + xy2 + 1 en el punto (1, 2, 2)
y en la dirección del vector 3 i + 4 j. Calcular también el vector tangente a la curva de intersección de esa superficie con el plano 3y − 4x = 0.
4.6.
(a) Calcular la derivada direccional de la función f (x, y) = x2 + xy + y2 en el punto
(1, 1) y en la dirección de la recta x − y = 0, z = 0, avanzando en el sentido positivo del
eje x.
(b) Calcular las ecuaciones de la recta tangente a la curva z = x2 + xy + y2 , x − y = 0 en el
punto (1, 1, 3).
(c) Si w = x2 + xy + y2 − z, calcular en el punto (1, 1, 3) la derivada direccional máxima
de w y el vector a lo largo del cual ocurre.
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4.7. El punto P = (2, 1, 5) pertenece al paraboloide z = x2 + y2 y al plano z = 3x + y − 2.
(a) Calcular la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto P.
(b) Hallar un vector tangente en P a la curva de intersección de estas dos superficies.
(c) En el mismo punto P, encontrar la derivada direccional de la función w = x3 + y3 + z3
a lo largo de ese vector tangente.
4.8. Sea f (x, y, z) := x2 + y2 − z2 . Calcular en el punto (3, 4, 5) la derivada direccional de esta
función f , a lo largo de la curva de intersección de las superficies
2x2 + 2y2 − z2 = 25,
x2 + y2 = z2 .
4.9. Calcular la derivada direccional de la función f (x, y, z) = x3 +y3 −z3 , en el punto (1, 1, 1),
a lo largo de la curva de intersección de las superficies: 2x2 + 2y2 − z2 = 3, x2 + y2 = 2z2 .
4.10. Una superficie tiene por ecuación z = x2 y2 + xy + x2 + y2 .
(a) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva z = x2 y2 + xy + x2 + y2 , y = 2x en
el punto P = (1, 2, 11).
(b) Si en cada punto (x, y, z) de la superficie la temperatura es w = x2 y2 + xy + x2 + y2 − z,
encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel w = 30 en el punto P.
(c) Calcular la derivada direccional de w en el punto P, a lo largo del vector~v = (1, 1, 1).
(d) Calcular la derivada direccional máxima y el vector unitario a lo largo del cual ocurre.
4.11. Encontrar la ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta de intersección de los planos x + 2y − z = 2, 3x + 2y + 2z = 7, y cuya directriz
√ es la intersección del
2
2
2
plano x = z con la superficie S : x + y − z = 5. En el punto (2, 2, 3), calcular también la
pendiente vertical de la curva de intersección de S con el plano x = y y la ecuación del plano
tangente a la superficie S en ese punto.
4.12. Denótese por D~u f (x0 , y0 ) la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario
~u evaluada en el punto (x0 , y0 ). Si D~u f (3, 2) = 4 y D~v f (3, 2) = 5, calcular D~w f (3, 2), donde
1
1
~u = √ i + √ j,
2
2
2
1
~v = − √ i + √ j,
5
5
2
3
~w = √ i − √ j.
13
13
4.13. Las tres ecuaciones
F(u, v) = 0,
u = xy,
v=
p
x2 + y2 ,
donde F es diferenciable, definen una superficie en R3 . Determinar un vector normal a esta
√
∂F
∂F
superficie en el punto (1, 1, 3), si se sabe que
(1, 2) = 1 y
(1, 2) = 2.
∂u
∂v
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10
Regla de la cadena y derivación implı́cita
∂ 2z
5.1. La función z = f (x, y) es dos veces derivable. Si x = u2 + v2 , y = u/v, calcular
∂u∂v
en términos de u y v y de las derivadas parciales fx , fy , fxx , fxy , fyy .
5.2. Sea z := F(u, v) = f (x, y) donde x = y, y = uv, para u > 0. Calcular la segunda derivada
parcial Fuu en términos de las derivadas parciales fx , fy , fxx , fxy , fyy .
5.3. Si z = f (u, v) donde f es una función dos veces derivable y si u = x3 y2 , v = x2 y3 ;
∂ 2z
calcular 2 en términos de x, y y las derivadas parciales fu , fv , fuu , fuv , fvv .
∂x
5.4. Dada la ecuación exz + log(y + z) = 0 que define implı́citamente z = f (x, y), calcular
∂2 f
en términos de x, y, z.
∂x∂y
5.5. Si w = f (x, y), donde x = er cos θ , y = er sen θ , demostrar que se verifica la identidad
2
∂ 2w ∂ 2w
∂ 2w
−2r ∂ w
+ 2 =e
+
.
∂ x2
∂y
∂ r2 ∂ θ 2
5.6. Sean r = r(t), θ = θ (t) una parametrización en coordenadas polares de una curva trazada
por una partı́cula que se mueve en el plano R2 . Si el vector posición de la partı́cula es~r = r~ur ,
donde ~ur = i cos θ + j sen θ , calcular ~uθ := d~ur /dθ . Enseguida verificar:
(a) que ~ur y ~uθ son vectores unitarios ortogonales entre sı́;
d~uθ
= −~ur ; y
dθ
2
dθ 2 d 2~r
d r
1 d 2 dθ ~ur +
~uθ .
(c) que 2 =
−r
r
dt
dt 2
dt
r dt
dt
(b) que
[[ Indicación: Recordar que d~ur /dt = (d~ur /dθ )(dθ /dt). ]]
5.7. Hallar la nueva forma que toma la ecuación diferencial
y2
2
∂ 2z
∂z
∂ 2z
∂z
2∂ z
−
2xy
−
x
−
x
−
y
=0
∂ x2
∂x∂y
∂ y2
∂x
∂y
después del cambio de variable z = f (φ ) —al ser f una función dos veces diferenciable—
donde φ := arctg(y/x).
5.8. Si z = f (r) con r =
p
∂ 2z
∂ 2z
x2 + y2 , expresar 2 y
en términos de x, y, f 0 (r) y f 00 (r).
∂x
∂x∂y
5.9. Si z = F(u, v, w) y w = g(u, v) donde F y g son dos veces derivables, obtener una fórmula
∂ 2z
para 2 en términos de las derivadas parciales de F y g.
∂u
Edición del 2009
Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
11
5.10. Al suponer que zuv = zvu , transformar la ecuación diferencial
2
2 ∂z ∂z
∂ 2z
2∂ z
2∂ z
(x − y) x
+y
−
− 2xy
= 2xy
,
∂ x2
∂x∂y
∂ y2
∂x ∂y
si se hacen los cambios de variable u = x + y, v = xy.
√
5.11. Si u = f (xy) + xy g(y/x), donde xy > 0, al ser f y g funciones dos veces diferenciables, probar que se cumple la ecuación diferencial
x2
2
∂ 2u
2∂ u
−
y
= 0.
∂ x2
∂ y2
5.12. Si z = f (x, y), donde x = r cos θ , y = r sen θ , mostrar que
∂z
∂r
2
2 2
1 ∂z 2
∂z
∂z
+ 2
=
+
.
r ∂θ
∂x
∂y
p
f (t − r)
5.13. Sea W =
, donde f es dos veces diferenciable, r = x2 + y2 + z2 y la variable t
r
no depende de las variables x, y, z. Mostrar que
∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W
∂ 2W
=
+
+
.
∂t 2
∂ x2
∂ y2
∂ z2
5.14. La función y = f (x) está determinada por la ecuación
p
y
log x2 + y2 = a arctg ,
x
donde a 6= 0 es constante. Hallar
dy d 2 y
y
.
dx dx2
5.15. La función z = h(x, y) queda determinada por la ecuación
x3 + 2y3 + z3 − 3xyz − 2y + 3 = 0.
Hallar
∂z ∂z
y
.
∂x ∂y
5.16. Sea z una función determinada por la ecuación
x2 + y2 + z2 = F(ax + by + cz),
donde F es una función diferenciable y a, b, c son constantes. Demostrar que
(cy − bz)
∂z
∂z
+ (az − cx)
= bx − ay.
∂x
∂y
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Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
12
5.17. La relación F(x −y, x −z) = 0 define implı́citamente una función f dada por z = f (x, y).
Comprobar que z satisface la ecuación diferencial
∂z ∂z
+
= 1.
∂x ∂y
5.18. Si h(x/z, y/z) = 0 para alguna función diferenciable h, demostrar que
∂z
∂z
+y
= z.
∂x
∂y
x
5.19. En cada uno de los casos siguientes, resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales, mediante los cambios de variable indicados:
(a) Resolver
∂z ∂z
= ,
∂x ∂y
si u = x + y, v = x − y.
(b) Resolver y
∂z
∂z
−x
= 0,
∂x
∂y
si u = x, v = x2 + y2 .
(c) Resolver x
∂z
∂z
+y
= z,
∂x
∂y
si u = x, v = y/x.
5.20. En cada caso que sigue, transformar la ecuación diferencial dada en otra ecuación
diferencial en términos de las derivadas parciales de z con respecto a las variables u, v:†
(a)
2
∂ 2z
2 ∂ z (c constante, c 6= 0);
=
c
∂t 2
∂ x2
(b) x2
2
∂ 2z
∂ 2z
2 ∂ z = 0;
+
2xy
+
y
∂ x2
∂x∂y
∂ y2
(c) x2
2
∂ 2z
2 ∂ z = 0;
−
y
∂ x2
∂ y2
si u = x − ct, v = x + ct.
si x = u, y = uv.
si u = xy, v = x/y.
5.21. Determinar la solución de la ecuación diferencial
4
∂f
∂f
(x, y) + 3
(x, y) = 0,
∂x
∂y
que satisfaga la condición f (x, 0) = sen x para todo x.
5.22. Si f es una función diferenciable de una variable, verificar que la función u definida
por h(x, y) := f (xy) satisface la ecuación en derivadas parciales
x
∂h
∂h
−y
= 0.
∂x
∂y
2
Hallar una solución tal que h(x, x) = x4 ex para todo x.
† Se
puede asumir la igualdad de derivadas parciales mixtas; por ejemplo, zuv = zvu .
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Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
6
13
Máximos y mı́nimos relativos, puntos crı́ticos
6.1. Obtener y clasificar los puntos crı́ticos de las siguientes funciones de dos variables e
identificar los extremos de cada función.
(a) f (x, y) = x2 + (y − 1)2 .
[[ R/: Mı́nimo en (0, 1). ]]
(b) f (x, y) = 1 + x2 − y2 .
[[ R/: Punto de ensilladura (0, 0). ]]
(c) f (x, y) = (x − 1)2 − 2y2 .
[[ R/: Punto de ensilladura (1, 0). ]]
(d) f (x, y) = (x − y + 1)2 .
[[ R/: Mı́nimo sobre la recta y = x + 1. ]]
(e) f (x, y) = x2 + xy + y2 − 2x − y.
[[ R/: Mı́nimo en (1, 0). ]]
(f) f (x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y.
[[ R/: Punto de ensilladura (1, 1). ]]
(g) f (x, y) = x2 − xy + y2 − 2x + y.
[[ R/: Mı́nimo en (1, 0). ]]
(h) f (x, y) = x3 + y3 − 3xy.
[[ R/: Puntos crı́ticos: (0, 0), (1, 1). ]]
(i) f (x, y) = x3 y2 (6 − x − y) para x > 0, y > 0.
[[ R/: Máximo en (3, 2). ]]
(j) f (x, y) = e2x+3y (8x2 − 6xy + 3y2 ).
[[ R/: Puntos crı́ticos: (0, 0), (− 14 , − 12 ). ]]
r
x2 y2
(k) f (x, y) = xy 1 − − .
[[ R/: Puntos crı́ticos: (0, 0), (±1, ±1), (±1, ∓1). ]]
3
3
(l) f (x, y) = ex−y (x2 − 2y2 ).
(m) f (x, y) = (x2 + y2 ) e−(x
2 +y2 )
[[ R/: Puntos crı́ticos: (0, 0), (−4, −2). ]]
.
[[ R/: Mı́nimo en (0, 0), máximo sobre x2 + y2 = 1. ]]
1+x−y
.
(n) f (x, y) = p
1 + x2 + y2
[[ R/: Máximo en (1, −1). ]]
(o) f (x, y) = x3 − 3xy2 + y3 .
[[ R/: Punto de ensilladura (0, 0). ]]
√
√
[[ R/: Puntos crı́ticos: (0, 0), (± 2, ∓ 2). ]]
(p) f (x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2 .
(q) f (x, y) = 1 − (x2 + y2 )2/3 .
[[ R/: Máximo en (0, 0). ]]
6.2. Determinar y clasificar los extremos de la función f (x, y) = x2 − xy + y2 + 3x − 2y + 1,
definida en el rectángulo −2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1.
6.3. Considérese la función
2
f (x, y) = (x − y) +
p
2 − x2 −
9
y
2
= 2 + y2 − 2xy +
81 18 p
−
2 − x2 .
y2
y
(a) Identificar los cuatro puntos crı́ticos de la función f .
(b) Clasificar los puntos crı́ticos (1, 3) y (1, −3).
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Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
7
14
Multiplicadores de Lagrange, extremos con ligaduras
7.1. Usando multiplicadores de Lagrange, encontrar los extremos de la función f (x, y) =
6 − 4x − 3y con la condición de que las variables x, y satisfagan la ecuación x2 + y2 = 1.
Clasificar los extremos obtenidos.
7.2. Encontrar el valor mı́nimo de la función f (x, y) = x4 + 3y4/3 a lo largo de la hipérbola
xy = c, donde c > 0. Enseguida, demostrar que la desigualdad
4ab ≤ a4 + 3b4/3
es válida para a > 0, b > 0 cualesquiera.
7.3. Dada la función f (x, y, z) = x2 − y2 + z2 sujeta a la restricción x + 2y + 3z = 1:
(a) utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para obtener los puntos crı́ticos;
(b) si ( 16 , − 13 , 12 ) es un punto crı́tico para el multiplicador λ = 31 , determinar, usando hessianos o mediante el desarrollo de Taylor, si se trata de un máximo, un mı́nimo, o un
punto de ensilladura.
7.4. La suma de tres números positivos es 120.
(a) ¿Cual es el mayor valor posible de su producto?
(b) Verificar por el método de la segunda derivada que este producto es efectivamente un
máximo.
7.5. Usted debe construir una caja rectangular sin tapa con materiales que cuestan c/ 50000
el metro cuadrado para el fondo y c/ 75000 el metro cuadrado para los otros cuatro lados. La
caja debe tener un volumen de 1500 metros cúbicos. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la
caja para que su costo sea mı́nimo?
7.6. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos crı́ticos
de la función f (x, y, z) = 2x+3y+z, sujeta a la restricción 4x2 +3y2 +z2 −20 = 0; e identificar
su naturaleza.
7.7. Para la función f (x, y, z) = xyz restringida al plano x + y + z = 9, encontrar sus puntos
crı́ticos y clasificarlos en máximos y mı́nimos relativos o puntos de ensilladura.
7.8. Usando el método de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos crı́ticos
de f (x, y, z) = −x4 − y4 − z4 sujeta a la restricción x − y + z − 6 = 0. Clasificar estos puntos
crı́ticos ligados como máximos relativos, mı́nimos relativos o puntos de ensilladura.
7.9. Si la función u = (x + y)z se restringe a la superficie
1
1
1
+ 2+ 2 =4
2
x
y
z
en el octante x > 0, y > 0, z > 0,
encontrar y clasificar todos los valores extremos de u, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.
Edición del 2009
Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
15
7.10. Calcular, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos crı́ticos de
f (x, y, z) = xyz en la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Escoger dos de estos puntos y
describir su naturaleza.
7.11. Usando multiplicadores de Lagrange, calcular y clasificar los extremos de la función
f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeta a la condición 14 x2 + 19 y2 + z2 − 1 = 0.
7.12. Determinar los puntos crı́ticos de la función f (x, y, z) = xy + xz + yz bajo la restricción
x2 + y2 − z2 − 1 = 0; e identificar su naturaleza (máximos, mı́nimos o puntos de ensilladura).
7.13. Encontrar los puntos crı́ticos de la función f (x, y, z) = xy + 3xz + 3yz, restringida a la
superficie 2x2 + 2y2 − 3z2 − 4 = 0. Indicar la naturaleza de esos puntos crı́ticos.
7.14. La función f (x, y, z) = 4xy + 4xz + 4yz, con la restricción 4x2 + 4y2 − z2 = 1, posee
exactamente dos puntos crı́ticos ligados. Encontrar y clasificar esos puntos.
7.15. La intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 81 con el plano x + y + z = 15 es un cı́rculo.
Encontrar el máximo y el mı́nimo valor de la función f (x, y, z) = xyz en este cı́rculo, identificando todos los puntos en donde xyz alcanza uno de esos extremos.
7.16. Demostrar, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, que f (1, 1, −1) y
f (−1, −1, 1) son valores extremos de la función f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeta a las condiciones z(x + y) = −2, xy = 1. Determinar la naturaleza de estos extremos.
7.17. Encontrar los valores máximo y mı́nimo absolutos de la función f (x, y, z) = x + y + z
sujeta a las restricciones x2 + y2 = 2, x + z = 1.
7.18. La intersección del cono z2 = x2 + y2 y el plano 3x + 4y + 6z = 11 es una elipse. Usar el
método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos de esta elipse más cercanos
y más lejanos al origen.
8
Integrales dobles
ZZ
8.1. Calcular la integral
x + y = 4, x + y = 12.
(x + y) dy dx donde R es la región limitada por las curvas y2 = 2x,
R
8.2. Expresar como integral doble y luego calcular el volumen del sólido T limitado por los
paraboloides z = x2 + y2 , z = 4x2 + 4y2 , el cilindro y = x2 , y el plano y = 3x.
Z π/2 Z π/2
8.3. Calcular I :=
sen |x + y| dy dx.
−π/2 −π/2
Z πZ π
8.4. Calcular el valor de I :=
0
| cos(x + y)| dy dx.
0
Z √π Z √π
8.5. Evaluar la integral doble I =
0
sen(y2 ) dy dx.
x
Edición del 2009
Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
16
8.6. Con x > 0, evaluar la integral doble
Z 2 Z log x
I=
1
p
(x − 1) 1 + e2y dy dx.
0
8.7. Dada la expresión integral
I=
ZZ p
1 + e2y dy dx
=
Z 1Z 4p
1 + e2y dy dx +
0
R
0
Z e4 Z 4 p
1 + e2y dy dx,
1
log x
(a) dibujar la región R de integración;
(b) cambiar el orden
de integración a dx√dy, luego calcular el valor de I. [[ Indicación:
R√
1 + u2 du = log(u + 1 + u2 ) +C. ]]
recordar que
Z aZ b
8.8. Dada la integral doble I :=
c
b
a
√
a2 −x2
f (x, y) dy dx donde c < a, dibujar la región de
integración y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de integración.
Z 2a Z √4ax
8.9. Para la integral doble
√
2ax−x2
0
f (x, y) dy dx, donde a > 0,
(a) dibujar la región de integración;
(b) expresar el resultado obtenido al cambiar el orden de integración.
8.10. Dada la suma de integrales dobles:
√
5
Z Z
3
0
5+ 3
5− 35
9−y2
√
9−y2
f (x, y) dx dy +
Z 0 Z 5+ √25 (y+6)
6
25
(y+6)
−6 5− √
f (x, y) dx dy,
6
dibujar la región de integración y luego escribir la nueva expresión que resulta de cambiar el
orden de integración dx dy en el orden dy dx.
8.11. Dada la siguiente suma de integrales dobles:
Z 0Z π
Z 0 Z 2π−arccos y
f (x, y) dx dy +
−1 arccos y
Z π Z 3π/2
f (x, y) dx dy +
−1 π
f (x, y) dx dy,
0
y+π/2
dibujar la región de integración y mostrar la expresión que resulta de cambiar el orden de
integración.
8.12. Dada la integral doble
Z π Z 4+sen x
I=
0
3− 122 (x− π2 )2
f (x, y) dy dx,
π
(a) dibujar la región de integración;
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Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
17
(b) escribir la suma de integrales que resulta al cambiar el orden de integración.
8.13. Para la integral doble
Z π/2 Z sen 2x
I :=
x2 − π2 x+π−4
0
f (x, y) dy dx,
dibujar la región de integración y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de
integración.
8.14. En la integral doble
Z 2π Z 3+cos 2x
f (x, y) dy dx,
I :=
0
cos x
dibujar el área de integración y luego expresar el resultado de las integrales que resultan al
cambiar el orden de integración.
8.15. Evaluar la integral doble
Z a Z √ax−x2
0
0
a dy dx
p
,
2
a − x2 − y2
donde a > 0, con un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.
8.16. Calcular el área encerrada por la curva (que se llama cardioide) cuya ecuación en coordenadas polares es r = 1 + cos θ .
8.17. Usando coordenadas polares e integrales dobles, calcular el volumen del “cono de
helado” limitado superiormente por la semiesfera x2 + y2 + z2 = 96, z ≥ 0 e inferiormente
por el semicono 5x2 + 5y2 − z2 = 0, z ≥ 0.
8.18. Con el uso de coordenadas elı́pticas x = a r cos θ , y = b r sen θ , calcular la integral
I=
R
donde R es el interior de la elipse
ZZ
8.19. Calcular I =
y2
+
a2 b2
ZZ 2
x
3/2
dx dy,
x2 y2
+ = 1.
a2 b2
(x+y)ex−y dx dy, donde R es el rectángulo acotada por las cuatro rectas
R
x + y = 1, x + y = 4, x − y = −1, x − y = 1.
ZZ
8.20. Calcular la integral doble
2y dx dy, si R es la región del primer cuadrante limitada
R
por las rectas y = 21 x, y = 2x, y por las hipérbolas xy = 2, xy = 8, mediante el cambio de
variable u = xy, v = y/x.
Edición del 2009
Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
18
8.21. Determinar el área de la región en el primer cuadrante acotada por las curvas
y = x2 ,
y = 2x2 ,
x = y2 ,
x = 4y2 ,
mediante el cambio de variables u = y/x2 , v = x/y2 .
8.22. Sea R la región limitada por las cuatro hipérbolas xy = 2, xy = 5, 4x2 − y2 = 2,
4x2 − y2 = 6. Mediante la transformación de coordenadas u = xy, v = 4x2 − y2 , calcular
ZZ
(4x2 + y2 )3 dx dy.
I=
R
8.23. Usar el cambio de variables
u = x2 + y2 ,
ZZ
I :=
v = x2 − y2 para calcular la integral doble
(x5 y − xy5 ) dx dy,
S
donde S es la región determinada por 25 ≤ x2 + y2 ≤ 36, 4 ≤ x2 − y2 ≤ 9 en el primer
cuadrante x ≥ 0, y ≥ 0.
8.24. Mediante una transformación conveniente de coordenadas, encontrar el área de la
región limitada por las curvas
xy = 4,
xy = 8,
xy3 = 5,
xy3 = 15,
en el primer cuadrante del plano xy.
8.25. Calcular
el área de la región en el primer cuadrante del plano xy, limitada por las dos
√
√
3
rectas y = 3 x, y = 3 x y por las dos hipérbolas xy = 1, xy = 2.
8.26. Utilizando un cambio de variables adecuado, calcular la integral
ZZ
xy(y + 2x2 ) dx dy
R
donde R es la región encerrada por las curvas y = x2 + 1, y = x2 + 3, xy = 1, xy = 3.
8.27. Sea R la región dentro del cı́rculo x2 + y2 = 1, pero fuera del cı́rculo x2 + y2 = 2y, con
x ≥ 0, y ≥ 0.
(a) Dibujar esa región.
(b) Sean u := x2 + y2 , v := x2 + y2 − 2y. Dibujar la región S en el plano uv que corresponde
a R bajo ese cambio de coordenadas.
ZZ
(c) Calcular
xey dx dy usando ese cambio de coordenadas.
R
8.28. Sea R la región en el primer cuadrante acotada por los cı́rculos
x2 + y2 = 2x,
x2 + y2 = 6x,
x2 + y2 = 2y,
x2 + y2 = 8y.
2y
2x
Usar la transformación u = 2
,v= 2
para evaluar la integral
2
x +y
x + y2
dx dy
ZZ
R
(x2 + y2 )2
.
Edición del 2009
Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
9
19
Integrales triples
9.1. Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen del sólido
limitado por las superficies x2 + y2 + z2 = 20, z = 0, x − y2 = 0; con z ≥ 0, x ≥ y2 .
ZZZ
9.2. Calcular la integral
dz dy dx, donde T es el sólido limitado por los paraboloides
T
z = x2 + y2 , z = −5x2 − 5y2 , los cilindros y = 3x2 , y = −3x2 y el plano y = x.
ZZZ
9.3. Calcular el volumen
dx dy dz del sólido T limitado por el par de paraboloides
T
z = x2 + y2 , z = 4x2 + 4y2 , el cilindro y = x2 y el plano y = 3x.
9.4. Calcular la masa del sólido T cuya densidad es ρ(x, y, z) = x2 y2 z2 , si T es limitado por
el cilindro parabólico x = y2 y los planos x = z, z = 0, x = 1.
9.5. Plantear
ZZZcomo suma de integrales iteradas, en cualquier orden de integración, la integral
x2 dV , donde T es la pirámide limitada por la superficie |x| + |y| + z = 4 y por
triple I =
T
el plano z = 0.
9.6. Obtener una integral triple, en el orden dz dx dy, que representa el volumen del poliedro
en el primer octante limitado por los planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0 y por los planos
x + y + z = 11, 2x + 4y + 3z = 36, 2x + 3z = 24. (No es necesario evaluar la integral.)
9.7. Calcular, usando coordenadas cilı́ndricas, el volumen del cuerpo limitado por la parte
superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y el paraboloide x2 + y2 = z.
9.8. Encontrar el volumen del sólido de revolución z2 ≥ x2 + y2 encerrado por la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1. [[ Indicación: Usar coordenadas esféricas. ]]
9.9. Usando coordenadas esféricas, calcular
Z √
Z Z √
9−x2
3
9−x2 −y2
I :=
0
0
0
dz dy dx
p
.
9 − x2 − y2 − z2
9.10. Calcular la integral triple
I :=
Z 3 Z √9−x2 Z √9−x2 −y2 p
√
−3 − 9−x2 0
z x2 + y2 + z2 dz dy dx,
mediante un cambio de variables a coordenadas cilı́ndricas o esféricas.
9.11. La integral
Z π Z 4 Z √16−r2
I=
0
2
(16 − r2 − z2 ) r dz dr dθ
0
está dada en coordenadas cilı́ndricas. Expresarla en coordenadas esféricas.
Edición del 2009
Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
20
9.12. Usando coordenadas esféricas, calcular la integral
ZZZ p
x2 + y2 dx dy dz, donde T es
T
la bola sólida x2 + y2 + z2 ≤ 16.
9.13. Usar coordenadas esféricas para evaluar
ZZZ
I :=
T
dx dy dz
,
(x2 + y2 + z2 )3/2
donde T es el sólido acotado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 + z2 = 9 y el
semicono x2 + y2 − z2 = 0, z ≥ 0.
9.14. Si el sólido T limitado por el paraboloide z = x2 + y2 , el cilindro x2 + y2 = 25 y los
planos z = 0 y z = 25 tiene densidad constante ρ, encontrar el momento de inercia de T
alrededor del eje z.
9.15. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido limitado por las superficies
x2 + y2 = 4, z = 0, z = x − y, con z ≥ 0.
9.16. Usar coordenadas cilı́ndricas o esféricas para evaluar la integral
ZZZ
I :=
(x2 + y2 + z2 ) dx dy dz,
T
donde T es la región determinada por las condiciones
ZZZ
9.17. Considérese la integral triple I :=
1
2
≤ z ≤ 1, x2 + y2 + z2 ≤ 1.
(x2 + y2 + z2 ) dz dy dx, donde T es la región
T
determinada por las condiciones 1 ≤ z ≤ 2, x2 + y2 + z2 ≤ 4.
(a) Expresar la integral I en coordenadas cilı́ndricas.
(b) Expresar la integral I en coordenadas esféricas.
(c) Evaluar I por cualquiera de las expresiones (a) o (b).
9.18. Hallar el volumen del sólido limitado inferiormente por el paraboloide 2az = x2 + y2 ,
con a > 0; y limitado superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 3a2 .
9.19. Encontrar el volumen de la porción de la bola x2 + y2 + z2 ≤ a2 que queda dentro del
cilindro r = a sen θ , usando coordenadas cilı́ndricas.
9.20. Calcular el volumen del sólido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y envuelto por
el cilindro x2 + y2 = 2x.
2 + y2 = 2x y por el semicono
9.21. Calcular la masa del sólido acotado por el cilindro xp
z2 = x2 + y2 , z ≥ 0, cuya densidad es dada por ρ(x, y, z) = x2 + y2 . Obtener también las
coordenadas de su centro de masa. [[ Indicación: Usar coordenadas cilı́ndricas. ]]
Edición del 2009
Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
21
9.22. Encontrar el volumen del sólido formado por la intersección de los tubos cilı́ndricos
x2 + y2 ≤ 36, x2 + z2 ≤ 36.
9.23. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido limitado por las superficies
x2 + 2y2 = 2, z = 0, x + y + 2z = 0.
√
2
9.24. Usar el cambio
ZZZde variables x = v cos w, y = v sen w, z = u − v para calcular la
integral triple I =
z dx dy dz, donde el sólido T es la intersección del casco esférico
T
9 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 16 con el casco cilı́ndrico 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, con z ≥ 0.
9.25. En la integral triple
Z aZ yZ z
I=
0
0
3
e(a−x) dx dz dy,
0
con a > 0, cambiar el orden de integración dx dz dy al orden dz dy dx. Luego evaluar I,
usando este último orden.
9.26. Calcular la integral triple
ZZZ
I :=
T
dx dy dz
,
x2 + y2 + (z − 21 )2
donde el sólido T es la bola unitaria x2 + y2 + z2 ≤ 1.
10
Integrales de lı́nea y de superficie
10.1. Un alambre tiene la forma de un segmento de recta que une los puntos A = (0, 1) con
B = (1, 1), seguido de otro segmento que une B con C = (1, 2) y finalmente el segmento de
parábola y = x2 + 1 que va del punto C al punto A. Si la densidad del alambre está dada por
ρ(x, y) = x, calcular su masa.
Z
10.2. Calcular
xy ds, donde s es la longitud de arco y C es el contorno del rectángulo
C
|3x| + |2y| = 12, recorrido una vez en el sentido contrario al reloj.
10.3. Encontrar la masa de un alambre que tiene la forma de la hélice x = t, y = cost, z =
sent, para 0 ≤ t ≤ 2π, si la densidad en cualquier punto del alambre está dada por ρ(x, y, z) =
|z|.
10.4. Un alambre tiene la forma de la curva x2 + y2 p
= 1, z = x + y + 6. Calcular la masa de
este alambre, si su densidad está dada por ρ(x, y) = 2(1 − xy).
10.5. Un alambre tiene la forma de la curva x2 +p
y2 + z2 = 16, x = y. Calcular la masa del
alambre, si su densidad está dada por ρ(x, y, z) = 2y2 + z2 .
10.6. Hallar la masa de un alambre que sigue la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y
el plano x + y + z = 0, si su densidad está dada por ρ(x, y, z) = x2 .
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22
Z
yz dx + zx dy + xy dz, donde C es la porción de la curva dada por las ecua-
10.7. Calcular
C
ciones
x2 + y2 + z2 − 2(x + y + z) = 26,
xy + xz − x + y − 3z = 13,
que une el punto A = (−1, −2, −3) con el punto B = (3, 4, 5).
10.8. Calcular la integral de lı́nea del campo vectorial ~F(x, y, z) = 2xyz i + x2 z j + x2 y k a lo
√
largo de la curva
5 3
2
2
2
(x − 4) + y + z = 16, x + y −
z = 0,
3
√
desde el punto O = (0, 0, 0) al punto A = (2, 3, 3).
Z
10.9. Calcular
curva
~F · d~r, donde ~F(x, y, z) = (3y2 z + yex ) i + (6xyz + ex ) j + 3xy2 k, si C es la
C
~r(t) = (sen 2t + cos 2t − 1) i + t cost j + t 2 sent k
que une los puntos A = (0, 0, 0) y B = (1, −π, 0).
10.10. Calcular la integral
y
x
xy
dx +
dy +
dz,
3−z
(3 − z)2
C 3−z
I
donde C es la curva cerrada 4x2 + 5y2 = 7, 3x + 2y − 9z = 5.
10.11. Calcular la integral de lı́nea del campo vectorial
~F(x, y, z) = (2x cos y + z sen y) i + (xz cos y − x2 sen y) j + x sen y k
a lo largo de la lı́nea poligonal que une los cuatro puntos A = (−1 − 3, 5), B = (−1, 4, 5),
C = (−1, 4, 8) y D = (2, 6, −3), en ese orden.
10.12. Calcular el trabajo ejercido por un campo vectorial de fuerzas
~F := 2xy3 z4 i + 3x2 y2 z4 j + 4x2 y3 z3 k,
al mover una partı́cula del punto A = (0, 0, 0) al punto B = (1, 1, 1), a lo largo de la curva de
intersección de las superficies
2z3 = x3 + y3 ,
z=
x4 x2 y2
+ + .
2
4
4
10.13. Calcular el trabajo ejercido por el campo vectorial de fuerzas
~F(x, y, z) = 2xyz i + x2 z j + x2 y k
sobre una partı́cula que se mueve desde A = (1, −2, 3) al punto B = (2, 4, −5), a lo largo de
la intersección de la superficie xy + 2x − 2y = 4 con la superficie 9x2 + 4z2 − x2 z2 = 36.
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10.14. Un campo de fuerzas ~F viene dado por la fórmula
~F(x, y, z) := (x − y) i + (y − z) j + (x − z) k.
Calcular el trabajo realizado al recorrer una vez, en sentido contrario al reloj, el contorno
|x| + |y| = 1, z = y.
10.15. Calcular el área de la elipse recortada del plano 2x + 3y + z = 6 por el cilindro
x2 + y2 = 2, z ≥ 0.
10.16. Calcular el área de la superficie dada por la ecuación z = xy que se encuentra dentro
del cilindro x2 + y2 = 8.
10.17. Calcular el área de la porción del cono z2 = x2 + y2 que se encuentra encima del
plano xy y dentro de la esfera x2 + y2 + z2 − 4y = 0.
10.18. (a) Calcular el área de la porción del cilindro x2 + y2 = 4y que queda entre los dos
embudos del cono x2 + y2 = z2 .
(b) Calcular el área de la parte de la superficie cónica anterior encerrada por ese cilindro.
10.19. Expresar mediante una integral doble (sin evaluarla), el área superficial de la intersección de un tubo sólido de 4 cm de radio que se introduce en ángulo recto en otro de 10 cm
de radio. Considérese que x2 +z2 = 100 y y2 +z2 = 16 son las ecuaciones de los respectivos
tubos.
10.20. Obtener la integral doble (con su integrando y sus cotas de integración, pero sin evaluarla) que representa el área de la superficie del cilindro y2 + z2 = 4 que queda dentro del
cilindro x2 + y2 = 4, con z ≥ 0.
10.21. Si la superficie simple S queda parametrizada por~r(u, v) ∈ R3 , con (u, v) ∈ R ⊂ R2 ,
comprobar que el área superficial de S puede calcularse por la fórmula
ZZ p
EG − F 2 du dv,
Area(S) =
R
en donde E = k~ru k2 , F =~ru ·~rv , G = k~rv k2 .
11
Los teoremas de Green, Gauss y Stokes
I
(x + y) dx + (y − x) dy, donde C es el cı́rculo
11.1. Usar el teorema de Green para calcular
x2 + y2 − 6x = 0.
C
I
11.2. Usar el teorema de Green para calcular
(x2 + y2 ) dx + xy dy, donde C consiste del
C
arco de la parábola y = x2 desde O = (0, 0) a A = (2, 4), el segmentos rectilı́neo desde A a
B = (0, 4) y el segmento rectilı́neo desde B a O.
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24
11.3. Por medio del teorema de Green, calcular
y
dx + log(1 + x2 ) dy
2
C 1+x
I
en donde C es el borde del cuadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1), recorrido en el
sentido antihorario.
11.4. Usando el teorema de la divergencia (teorema de Gauss), evaluar
ZZ
~F ·~n dS,
I=
donde ~F(x, y, z) := x3 i + y3 j + z k
S
y S es la esfera unitaria x2 +y2 +z2 = 1 con sus vectores normales apuntando hacia el exterior.
ZZ
11.5. Evaluar la integral de superficie
~F ·~n dS, si ~F es el campo vectorial
S
~F := xz2 i + (x2 y − z3 ) j + (2xy + y2 z) k,
donde S es la superficie total del sólido hemisférico acotado por z =
el plano z = 0.
p
25 − x2 − y2 junto con
11.6. Usar el teorema de la divergencia para calcular
ZZ
~F ·~n dS,
I=
donde ~F(x, y, z) := x3 i + y3 j + z3 k
S
y ~n es un vector normal unitario exterior a la esfera S : x2 + y2 + z2 = 1.
11.7. Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial
~F(x, y, z) = 2x2 y i − y2 j + 4xz2 k
definido en el sólido del primer octante limitado por y2 + z2 = 9 y x = 2.
11.8. Aplicando el teorema de la divergencia, calcular
ZZ
~F ·~n dS,
I=
donde ~F(x, y, z) := x3 i + y3 j + z3 k
S
y S es la superficie total del sólido cónico x2 + y2 ≤ z2 , 0 ≤ z ≤ H, con H > 0.
11.9. Usar el teorema de la divergencia para calcular
ZZ
I=
~F ·~n dS,
donde ~F(x, y, z) := xz i + yz j + z2 k
S
y ~n es el vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre el
hemisferio superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 2z y la superficie cónica x2 + y2 = z2 .
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25
11.10. Usar el teorema de la divergencia para evaluar la integral
ZZ
I=
~F ·~n dS,
donde ~F = x3 i + x2 y j + x2 z k,
S
si S es la superficie cerrada que se obtiene al unir la porción del cono x2 + y2 = z2 que queda
2 + z2 = 2z, con la porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 2z que queda
dentro de la esfera x2 + yp
dentro del semicono z = x2 + y2 .
11.11. Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial
~F(x, y, z) := xy2 i + y3 j + x2 z k,
p
definido en el sólido T determinado por las condiciones 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ≤ 1.
[[ Indicación: Calcular las integrales de superficie con coordenadas cilı́ndricas y la integral de
volumen con coordenadas esféricas. ]]
11.12. Usar el teorema de la divergencia para calcular
ZZ
I=
~F ·~n dS,
donde ~F(x, y, z) := xz2 i + yz2 j + z3 k
S
y ~n es un vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre el
hemisferio x2 + y2 + z2 = 2x, z ≥ 0 y la superficie cónica x2 + y2 = z2 .
11.13. Aplicando el teorema de Stokes (únicamente), calcular
ZZ
I=
rot~F ·~n dS,
donde ~F(x, y, z) := y i + x j + (y + z) k,
S
S es la porción de la superficie 2x + y + z = 2 situada en el primer octante y ~n es el vector
normal unitaria a la superficie, con componente z no negativa.
11.14. Considérese el campo vectorial ~F(x, y, z) = x2 i + xy j + z2 k. La curva de intersección
del cilindro x2 + y2 = 1 con el plano x + y + z = 1 es el borde de una superficie S. Verificar el
teorema de Stokes para el campo vectorial ~F sobre esta superficie S.
11.15. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ~F(x, y, z) = −y3 i + x3 j − z3 k y
la curva C formada por la intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano x + y + z = 1. La
orientación de C corresponde al movimiento antihorario, visto por un observador colocado
en el punto (5, 0, 0).
11.16. Calcular, por medio del teorema de Stokes, la integral de superficie
ZZ
I=
rot~F ·~n dS,
donde ~F(x, y, z) := 2yz i − (x + 3y − 2) j + (x2 + z) k,
S
la superficie S es la porción del cilindro x2 + z2 = 9 dentro del tubo cilı́ndrico x2 + y2 ≤ 9
e incluida en el primer octante x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; y~n es el vector unitario normal a S tal que
~n · k ≥ 0.
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Ejercicios para MA–1003: Cálculo III
26
11.17. Usar el teorema de Stokes para calcular
I
x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz,
C
donde C es la curva:
x = 4 sent,
y = 4 cost,
z = 4(sent + cost),
con
0 ≤ t < 2π.
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