Premio Investigación Aeroespacial Militar 2016

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Tesis Doctoral
Diseño de un Sistema Avanzado de
Guiado y Control para Misiles con
Doble Mando Aerodinámico
INVESTIGACIÓN AEROESPACIAL UNIVERSITARIA
PREMIOS EJÉRCITO DEL AIRE 2016
Este trabajo es una versión redactada de la tesis doctoral: Optimization of the Integrated Guidance and Control for a Dual Aerodynamic
Control Missile, defendida ante tribunal académico en la ETS Ingenieros Aeronáuticos de la Universidad Politécnica de Madrid en el año
2015. El original de la tesis se presentó en inglés obteniendo la calificación Sobresaliente Cum Laude. La presente versión es una traducción
al castellano de dicho trabajo, adaptada ligeramente en su formato y
extensión, para poder presentarla al premio del Ejército del Aire 2016
en su modalidad de Investigación Aeroespacial Universitaria. Es, en
todo lo demás, una reproducción fiel del original. Se entrega junto a
este documento una versión impresa del original de la tesis doctoral
tal y como fue presentada en inglés, como referencia.
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Resumen
La presente investigación pertenece al campo de la aeronáutica y mas concretamente
al guiado y control aerodinámico de los misiles aire-aire con aplicación militar.
La Tesis desarrolla un nuevo sistema de interacción del guiado y control tal que
proporcione a un misil con doble mando aerodinámico (con aletas delanteras y en cola)
de una extraordinaria maniobrabilidad, que le permita la defensa o ataque contra blancos aéreos situados en todo el volumen esférico alrededor del avión lanzador, incluido
el hemisferio posterior.
Los misiles aire-aire, dadas las altas caracterı́sticas dinámicas del lanzador y del
blanco (dos vehı́culos aéreos de combate), requieren poseer una elevada maniobrabilidad
para efectuar su misión.
Dado el medio en que se desplazan, la atmósfera, la forma mas lógica para efectuar
las maniobras es el generar y utilizar fuerzas y momentos de control aerodinámicos. Ası́
se ha realizado desde la década de los 50 hasta la del 2000, utilizando un único conjunto
de aletas móviles situadas bien en la parte delantera (canards) o en la central o en la
cola. El movimiento de estas aletas producı́a los pares aerodinámicos que hacı́an girar el
vehı́culo para dotarle de un ángulo de ataque que, a su vez, generaba la fuerza normal
y la consiguiente aceleración normal (maniobra) del misil. Pero ya en los años 2000
las exigencias dinámicas del combate aéreo aumentaron en grado extremo al aumentar
la maniobrabilidad de los aviones y, sobre todo, al aparecer los UAV (Unmaned Air
Vehicles) que, al no estar pilotados, podı́an realizar maniobras muy altas no limitadas
por la supervivencia del hombre.
La respuesta en el diseño del misil para esas nuevas demandas ha sido de dos tipos.
Uno de ellos, al que se refiere esta Tesis, es dotar al misil de un doble mando aerodinámico, canards y cola. Otro es dotar al misil, además de un mando convencional
aerodinámico de aletas en cola, de un importante momento de control adicional conseguido a partir del chorro de gases del motor cohete, bien por movimientos de la tobera,
bien introduciendo aletas móviles en el chorro, o por otros métodos. El primer tipo de
misil, el de doble mando aerodinámico, está aún en estado experimental y no ha sido
introducido en ningún misil aire-aire operativo. El estudio de su guiado y control no
es fácil dado el complejo comportamiento de esa configuración. Empleando los método
clásicos para ese estudio, como es el utilizar un lazo dinámico para el guiado y otro
ii
para el control , que se superarán drásticamente con esta invención, la maniobrabilidad
que se alcanza con este misil, aunque es superior a la de sus predecesores con mando
aerodinámico simple (canard o aletas centrales o aletas de cola), no llega a satisfacer
las necesidades mencionadas para el moderno combate aire-aire, lo que si consiguen los
misiles con control hı́brido aerodinámico y chorro de gases.
Ahora bien, estos misiles hı́bridos tienen dos desventajas principales frente al de
doble mando aerodinámico. La primera es su inherente complicación de diseño y manufactura pues los mecanismos y materiales a utilizar para el control por chorro son de
complicada producción, ya que deben trabajar con precisión en un ambiente de muy
altas temperaturas y extremadamente erosivo, como es el chorro de un motor cohete.
La segunda, y operativamente muy importante, es que si en su trayectoria hacia el
blanco se termina la combustión del motor cohete, como no es anormal que ocurra, el
misil pierde toda la capacidad de control proveniente del chorro de gases, quedando
únicamente con el mando aerodinámico simple en cola que puede resultar insuficiente
para mantener el control con éxito durante el resto de la trayectoria.
En esta Tesis se desarrolla un sistema de interacción entre los subsistemas de guiado
y control de un misil con doble mando aerodinámico, que le permita alcanzar la maniobrabilidad exigida en el combate aéreo moderno, tal como lo consiguen los hı́bridos
pero sin las desventajas descritas para estos.
iii
Índice general
1. Introducción
1.1. Motivos para esta Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Misiles actuales con control aerodinámico . . . . .
1.1.2. Caracterı́sticas de la respuesta dinámica del misil
1.1.3. Propuesta de doble mando aerodinámico . . . . .
1.2. El bucle de guiado y control . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Revisión de la Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Autopiloto y Guiado con control doble . . . . . .
1.4.3. Integración del Autopiloto y Guiado . . . . . . .
1.5. Esquema de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Aerodinámica del Misil con Doble Control y su Maniobrabilidad
2.1. Configuración y fenómenos aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Acoplamiento Aerodinámico Canard-Cola . . . . . . . . . . .
2.1.3. Incidencia de los Controles y Saturación Supersónica . . . . .
2.2. Modelo Aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Fuerza Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Fuerza en Guiñada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Momento de Cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Momento de Guiñada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5. Momento de Balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6. Fuerza Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7. Variaciones con el número de Mach . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Maniobrabilidad Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Diagrama de maniobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Eficiencia Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
3. Guiado y Control en Doble-Lazo
3.1. Guiado Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Dinámica de Corto Periodo . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Formulación en el Espacio de los Estados . . . . . . . . . .
3.4. Solución Óptima del Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Condiciones de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Solución Sub-óptima . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Ejemplos Guiado-Autopiloto en Doble-Lazo . . . . . . . .
3.5.1. Lanzamiento con error de apuntamiento moderado
3.5.2. Cálculos de dominio de tiro en curso de colisión . .
3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Guiado y Control Integrados
4.1. Planteamiento matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Resolución del problema IGA-DAC . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Ecuación diferencial y condiciones de contorno . . . . .
4.2.2. Resolución mediante la ecuación de Lyapunov . . . . .
4.2.3. Controlador de pre-alimentación . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Procedimiento Práctico de Resolución . . . . . . . . . .
4.3. Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Errores de apuntamiento moderados . . . . . . . . . .
4.3.2. Trayectorias alejadas del curso de colisión . . . . . . .
4.4. Efectos de Ruido, Estimación y Radomo . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Errores de Radomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Efecto de los ruidos radar y su frecuencia de muestreo .
4.4.3. Filtro Variable tipo Kalman . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4. Evaluación de la distancia de paso con ruidos radar . .
4.4.5. Experimentos con la frecuencia de muestreo de datos .
4.5. Defensa contra ataque por la cola . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Soluciones previas y retos tecnológicos . . . . . . . . .
4.5.2. Blanco de oportunidad en el hemisferio trasero . . . . .
4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Conclusiones
5.1. Resumen de resultados obtenidos . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Soluciones a las Preguntas de Investigación . . .
5.1.2. Implicaciones en el diseño del misil . . . . . . .
5.1.3. Implicaciones teóricas . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Limitaciones al Estudio y Áreas de Desarrollo Futuras .
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ÍNDICE GENERAL
5.2.1. Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.2. Guiado y control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A. Derivación de Matrices y Producto de Kronecker
A.1. Estructuras de Derivación . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Producto de Kronecker y sus Propiedades . . . . .
A.3. Álgebra del Cálculo de Matrices . . . . . . . . . . .
A.3.1. Derivada de Matrices Compuestas . . . . . .
A.3.2. Derivada de la Forma Escalar . . . . . . . .
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B. Teorı́a de Control Óptimo
B1
B.1. Principio del Mı́nimo de Pontryagin para Misiles . . . . . . . . . . . . . B1
B.2. Ecuación de Riccati Dependiente de los Estados . . . . . . . . . . . . . B3
C. Misil NASA NTCM Geometrı́a y Modelo Aerodinámico
C1
C.1. Geometrı́a del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1
C.2. Parámetros básicos y definición de la misión . . . . . . . . . . . . . . . C3
D. Datos Aerodinámicos
D1
D.1. Tablas de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D2
E. Coeficientes Aerodinámicos
E1
F. Dinámica del Misil y Cinemática Terminal
F1
F.1. Velocidad en ejes cuerpo y viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1
F.2. Ángulos de Euler y Cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1
F.3. Ecuaciones cinemáticas y dinámicas con cuaterniones . . . . . . . . . . F2
G. Elementos de Matrices en el Espacio-Estado
G.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.2. Elementos de la Matriz de Estado Aerodinámica
G.3. Elementos de la Matriz de Entrada del Control
G.4. Elementos de la Matriz de Control Cruzado . .
G.5. Elementos de la Matriz de Aceleraciones . . . .
G.6. Elementos de la Matriz de Actuaciones . . . . .
G.7. Elementos de la Matriz del Guiado-Autopiloto .
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H. Tratamiento Analı́tico del Error de Radomo y Ruidos Radar.
H.1. Buscador radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.2. Modelos Ruido Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.2.1. Destello (Glint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.2.2. Ruidos Independientes del Alcance . . . . . . . . . . . . .
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H1
H1
H3
H3
H4
ÍNDICE GENERAL
H.2.3. Ruidos en Distancia y Velocidad de Colisión . . . . . . . . . . .
Bibliograf´ıa
vii
H5
Índice de figuras
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
INTA Misil Banderilla . . . . . . . . . . . . . . . .
Cohete Guiado Superficie-Aire Stunner , con control
Diagrama de guiado y control del misil . . . . . . .
Evolución de los dominios de tiro del misil. . . . . .
Lı́neas principales de investigación . . . . . . . . . .
Interacción entre control delantero y trasero . . . .
Resultados experimentales para el misil NASA . . .
Modos de operación del misil . . . . . . . . . . . .
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doble aerodinámico
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Ejes y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contornos de presión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo de interferencia entre controles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sustentación del control aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coeficiente de interferencia Kt−vc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pérdida de fuerza normal en la cola debido a la interferencia aerodinámica entre canard y cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Saturación supersónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Coeficiente de fuerza normal, dos controles. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Momento de cabeceo, un control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Momento de cabeceo, dos controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Balanceo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Balanceo inducido debido a α y δrc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13. Momento de Control en Balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14. Contornos a Mach constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15. Fuerza Axial, un control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16. Fuerza Axial, dos controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17. Respuesta dinámica en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18. Eficiencia aerodinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19. Diagrama de maniobra a 6,000m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.20. Diagrama de maniobra a 12,000m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
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ÍNDICE DE FIGURAS
3.1. Esquema del guiado y control en dos bucles . . . . . .
3.2. Encuentro aire-aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Constante de navegación óptima . . . . . . . . . . . .
3.4. Diagrama de fuerzas en el misil de doble mando . . . .
3.5. Guiado y Control en doble bucle . . . . . . . . . . . . .
3.6. Condiciones de lanzamiento . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Trayectoria del misil DAC, canard, cola y del blanco . .
3.8. Acceleración del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Ángulos de los controles . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10. Mach Misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11. Ángulo de preservación del guiado θg . . . . . . . . . .
3.12. Dominio tiro misil cola con navegación proporcional . .
3.13. Dominio tiro misil canard con navegación proporcional
3.14. Dominio tiro misil cola con guiado óptimo . . . . . . .
3.15. Dominio tiro misil canard con guiado óptimo . . . . . .
3.16. Dominio tiro misil control doble con guiado óptimo . .
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73
4.1. Esquema del auto piloto y guiado integrados . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2. Escenario para el Guiado y control Integrado . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3. Algoritmo de cálculo del sistema integrado . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4. Trayectoria, error de apuntamiento moderado . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5. Ratio de Aceleración del misil vs Blanco , error de apuntamiento moderado 86
4.6. Parámetros , error de apuntamiento moderado . . . . . . . . . . . . . . 87
4.7. Trayectorias alejadas del curso de colisión. . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.8. Ratio de aceleraciones misil a blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.9. Parámetros, trayectorias alejadas del curso de colisión . . . . . . . . . . 90
4.10. Esquema del guiado y control integrado con efectos reales . . . . . . . . 91
4.11. Definición de los ángulos del buscador radar . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.12. Sensibilidad a pendiente de radomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.13. Trayectoria del blanco medida por el radar. . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.14. Aceleración del misil en presencia de ruido radar. . . . . . . . . . . . . 99
4.15. Error con esquema integrado y ruido radar. . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.16. Error con esquema no-integrado y ruido radar. . . . . . . . . . . . . . . 100
4.17. Variación de la distancia de paso con la frecuencia de muestreo . . . . . 100
4.18. Trayectoria contra un blanco el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . . 104
4.19. Maniobra del misil, blanco en el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . 105
4.20. Ángulo de cabeceo, blanco en el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . 105
4.21. Parámetros, blanco en el hemisferio trasero . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.22. Defensa contra un ataque por la cola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
4.23. Defensa contra un ataque por la cola, maniobra del misil. . . . . . . . . 110
4.24. Defensa contra un ataque por la cola, ángulo de cabeceo. . . . . . . . . 110
4.25. Defensa contra un ataque por la cola, otros parámetros . . . . . . . . . 111
5.1. Subsistemas en un misil de control doble . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
C.1. Geometrı́a del misil base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2. Experimentos en Túnel Aerodinámico en NASA y Onera. . . . . . . . .
C1
C2
F.1. Definición de ángulos de Euler para misiles . . . . . . . . . . . . . . . .
F2
H.1. Dinámica del Buscador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H4
x
Índice de cuadros
1.1. Comparación de control canard y cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Referencias JCR para autopilotos de doble control . . . . . . . . . . . .
1.3. Referencias JCR para el guiado de misil DAC . . . . . . . . . . . . . .
5
16
17
2.1. Variables de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Limites para la envolvente de vuelo del misil . . . . . . . . . . . . . . .
25
47
3.1. Lı́mites mecánicos y aerodinámicos del misil . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Parámetros: Simulaciones de Guiado y Control Doble Bucle . . . . . .
3.3. Doble-Bucle G & C Resultados Simulación . . . . . . . . . . . . . . . .
61
66
67
4.1. Resultados de la simulación, G & C Integrado vs Doble Bucle para misil
doble mando aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2. Parámetros de ruido seleccionados para el radar activo . . . . . . . . . 97
4.3. Parámetros de la simulación. Blanco o de oportunidad en el hemisferio
trasero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4. Parámetros de la simulación defensa contra ataque desde cola . . . . . 107
C.1. Model Geometry Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2. Guidance and Control Model Mission Specifications . . . . . . . . . . .
C2
C4
D.1. CN Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2. DATCOM Semiexperimental Method Results for CN .
D.3. Numerical CFD experiments results for CN . . . . . . .
D.4. Cm Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . .
D.5. Numerical CFD experiments results for Cm . . . . . . .
D.6. CA Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . .
D.7. Numerical CFD experiments results for CA . . . . . .
D.8. Numerical CFD experiments results for δrc = 5 deg . . .
D.9. Numerical CFD experiments results for δrc = 10 deg . .
D.10.CFD Numerical Experiments, Induced Rolling Moment
D.11.CFD Numerical Experiments, Sideslip . . . . . . . . .
D2
D2
D3
D3
D4
D4
D4
D5
D5
D6
D7
xi
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ÍNDICE DE CUADROS
D.12.CFD Numerical Experiments, Roll Driving Moment . . . . . . . . . . .
D8
E.1.
E.2.
E.3.
E.4.
E.5.
E.6.
E1
E1
E2
E4
E6
E7
Fin Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normal and Side Force Aero Coefficients . . . . . . . . .
NASA Missile Pitch and Yaw Moment Aero Coefficients
NASA Missile Aero Roll Moment Coefficients . . . . . .
NASA Missile Axial Force Coefficients . . . . . . . . . .
Mach Dependence Coefficients . . . . . . . . . . . . . . .
xii
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Nomenclatura
En esta sección se da una lista de la notación empleada a lo largo del cuerpo
principal de la tesis ası́ como su definición. Para otras definiciones por favor consultese
la sección del apéndice. El resumen se divide en nomenclatura matemática general,
su ı́ndices y superı́ndice es, letras griegas y latinas, coeficientes aerodinámicos y sus
derivadas, y abreviaciones y acrónimos. A lo largo de la tesis las unidades están en el
sistema internacional a no ser que especı́ficamente se indique lo contrario.
NOTACIÓN MATEMÁTICA GENERAL
A⊗B
a∧b
A
AT
kAkp
a
aL
a
ā
ȧ
â
a∗
aij
E
c
In
s
sinc
t
vect
[0]
Kronecker product
Vector cross product
Matriz
Matriz transpuesta
Norma-P de una matriz
Vector columna
Los componentes del vector se expresan en ejes L
Escalar
Variable adimensional
Derivada en el tiempo
Variable estimada
Variable medida, con ruido
Elemento de A, Fila i, Columna j
Operador valor medio
Coseno
Madrid identidad de orden n
Seno
Función sinc
Tangente
Vectorización de una matriz
Matriz cero de dimensión apropiada
xiii
NOMENCLATURA
SUBINDICE Y SUPERINDICE
a
B
c
d
g
L
M
OG
p
q
r
s
T
t
trim
W
(Subı́ndice)
(Sub/Super)
(Superı́ndice)
(Subı́ndice)
(Subı́ndice)
(Superı́ndice)
(Subı́ndice)
(Superı́ndice)
(Subı́ndice)
(Subı́ndice)
(Subı́ndice)
(Subı́ndice)
(Subı́ndice)
(Superı́ndice)
(Subı́ndice)
(Superı́ndice)
Referido a auto piloto misil
Referido a cuerpo misil axes
Referido a control delantero, canard
Variable demandada
Referido a guiado
Ejes Inerciales
Misil
Ley de guiado óptimo
Eje de balanceo del misil, (M X B )
Plano de cabeceo del misil, (M X B Z B )
Plano de guiñada del misil, (M X B Y B )
Servos
Blanco
Control trasero, cola
Condición de equilibrio, trimado
Referido a ejes viento
LETRAS LATINAS
Sı́mbolo
AR
A
B
be
cˆq
cˆr
d
dcm
Ef f
e
∆eδ
∆en
∆ek
FA
FN
Definición
Alargamiento
Matriz de los estados dinámicos
Matriz de entradas de control
Envergadura expuesta
Relación de trimado en cabeceo
Relación de trimado en guiñada
Diámetro misil
Posición del centro de masas desde la ojiva
Eficiencia aerodinámica
Vector de error
Esfuerzo de control
Esfuerzo de maniobra
Pérdida de energı́a por unidad de masa
Fuerza axial aerodinámica
Fuerza normal aerodinámica
xiv
NOMENCLATURA
FS
fs
G
H
H
h
I
i
icq
icr
itq
itr
J
K
kg
L
M
Ma
M
M∞
N
Nt−vc
N0
m
n
p
p
Ph
Q
qM
q
q∞
R
R
r
rT M
r
S
Se
Fuerza lateral aerodinámica
Frecuencia de muestreo radar
Matriz de entrada Kalman
Hamiltoniano
Matriz de actuaciones
Altitud de vuelo del misil
Momento de inercia
Ángulo de incidencia local
Ángulo de incidencia en canard-cabeceo
Ángulo de incidencia en canard-guiñada
Ángulo de incidencia en cola-cabeceo
Ángulo de incidencia en cola-guiñada
Índice de control óptimo
Matriz de ganancias de control óptimo
Vector de ganancias
Momento aerodinámico de balanceo
Riccati, matriz solución de la ecuación de
Matriz de acoplamiento cruzado aerodinámico
Momento aerodinámico de cabeceo
Número de Mach
Momento aerodinámico de guiñada
Fuerza normal en la cola debido a los vórtices del cuerpo misil
Constante de navegación proporcional
Masa del misil
Aceleración
Vector de parámetros
Velocidad angular de balanceo, ejes cuerpo
Perı́odo del radomo
Matriz de peso de los estados
Vector de quaterniones
Velocidad angular de cabeceo, ejes cuerpo
Presión dinámica
Pendiente máxima de radomo
Matriz de peso de los controles
Vector de distancias
Distancia misil-blanco
Velocidad angular de guiñada, ejes cuerpo
Matriz de transformación
Superficie alar expuesta
xv
NOMENCLATURA
Sref
s
T
Ts
Ts
tb
tf
tgo
u
u
v
w
x
xa
xm
xs
dcm
VM
Vc
Vp
Vq
Vr
V
W
y
z
za
Superficie de referencia aerodinámica
Distancia del centro de masas al de referencia
Empuje del motor cohete
Intervalo de muestreo de datos
Matriz de servo frecuencias
Tiempo de combustión motor cohete
Tiempo de vuelo total, s
Tiempo hasta impacto, s
Vector de entradas de control
Velocidad de misil en eje OXb
Velocidad de misil en eje OYb
Velocidad de misil en eje OZb
Vector de estado
Vector de estados del auto piloto
Estados extendidos del auto piloto
Vector de posiciones de los servos
Posición de centro de masas, desde ojiva
Velocidad del misil
Velocidad de colisión
Matriz de balanceo
Matriz de cabeceo
Matriz de guiñada
Matriz de ruidos de medida
Matriz de ruidos de proceso
Distancia perpendicular a la lı́nea de mira
Vector de salida
Vector de salida del auto piloto
LETRAS GRIEGAS
Sı́mbolo
α
αT
β
δ
δ1c
δ2c
δ3c
Definición
Ángulo de ataque en cabeceo
Ángulo de ataque total
Ángulo de guiñada
Ángulo del control aerodinámico
Canard Fin 1
Canard Fin 2
Canard Fin 3
xvi
NOMENCLATURA
δ4c
δ1t
δ2t
δ3t
δ4t
δd
δp
δqc
δqt
δrc
δrt
εq
εr
εk
εq
Γb
Γc
λ
Λg
λ
φa
φh
Ψ
Ψ
Σ
σ
θ
θg
θh
θr
τc
τt
τu
τg
Υ, Υ
$T
ωLOS
Canard Fin 4
Cola Fin 1
Cola Fin 2
Cola Fin 3
Cola Fin 4
Demanda de posición a los controles
Posición del control en balanceo
Canard Posición del control en cabeceo
Tail Posición del control en cabeceo
Canard Posición del control en guiñada
Tail Posición del control en guiñada
Ángulo de estela en la cola, cabeceo
Ángulo de estela en la cola, guiñada
Parámetro auxiliar
Parámetro auxiliar
Intensidad del vórtice del fuselaje
Intensidad del vórtice del canard
Vector de coestados
Constante de navegación efectiva
Parámetro de retardo
Ángulo de balanceo aerodinámico
Fase de radomo
Matriz de transición
Coste terminal
Desviación estándar
Ángulo de lı́nea de mira
Ángulo de cabeceó
Ángulo de guiado
Angulo del cardan
Ángulo de refracción
Retardo del servo-canard
Retardo del servo-cola
Retardo del servo-altas frecuencias
Retardo sistema guiado
Parámetros de reparto
Frecuencia del blanco en cabeceo, rad/s
Velocidad angular de la lı́nea de mira
xvii
NOMENCLATURA
COEFICIENTES DE INTERFERENCIA AERODINÁMICA
Sı́mbolo
CA
Cm
Cmα
Cmα̇
Cmα|α|
Cmα3
Cmβ2 α
Definición
Axial Force, entire missile
Pitch Moment at moment reference center, entire missile
Pitch moment first derivative
Pitching-moment with rate of change in angle of attack
Pitch moment second derivative
Pitch moment third derivative
Incremental pitch moment due to sideslip
Cmβ2 δc
Variation of canard pitch effectiveness with sideslip
Cmβ2 δt
Variation of tail pitch effectiveness with sideslip
Cmδc δt
Incremental pitch moment,canard and tail combined action
Cmq
Cnδrt
Cnδrc
Cmδqt
Cmδqc
CN
CNα
CNα̇
CNα|α|
CNαδqc
Rotary derivative
Tail effectiveness in yaw
Canard effectiveness in yaw
Tail effectiveness in pitch
Canard effectiveness in pitch
Normal Force coefficient, entire missile
Normal-force first derivative
Change of normal force with rate of change in angle of attack
Normal-force second derivative
Variation of canard lift effectiveness with angle of attack
CNαδt
Variation of tail lift effectiveness with angle of attack
CNα3
CNβ2 α
Normal-force third derivative
Incremental normal force due to sideslip
CNβ2 δc
Variation of canard lift effectiveness with sideslip
CNβ2 δt
Variation of tail lift effectiveness with sideslip
CNB
CNBc
CNBt
CNcB
∆CNc−vB
∆CNt−vB
∆CNt−vc
CNδqc
Normal Force due to Missile Body only, Ojive and Afterbody sections
Incremental normal force at missile body due to presence of canard fins
Incremental normal force at missile body due to presence of tail fins
Incremental normal force at the canard fins due to missile body
Incremental normal force at the canard fins to body shed vortices
Incremental normal force at the tail fins to body shed vortices
Incremental normal force at the tail fins to canard shed vortices
Canard lift effectiveness in pitch at constant angle of attack
CNδc δt
Loss of normal force due to canard and tail combined control action
CNδt
Tail lift effectiveness in pitch at constant angle of attack
q
q
q q
q
q
q
q q
q
xviii
NOMENCLATURA
cN
cNi
CNq
CNs
CNtB
Cn
Cl
CS
CSα2 β
Normal force at control fin alone
Change of control alone normal force with incidence angle
Normal force pitching derivative
Incremental normal force due to the sideslip angle
Incremental normal force at tail fins due to missile body
Yaw Moment at moment reference center, entire missile
Roll Moment, entire missile
Side Force, entire missile
Incremental side force due to angle of attack
CSβ
CSβ|β|
CSβ3
Side force first derivative
Side force second derivative
Side force third derivative
CSδrc
CT
KBc
KBt
KcB
KtB
Kc−vB
Kt−vB
Kt−vc
Kφa
Canard effectiveness in side force
Thrust coefficient
Ratio of body lift with canard to canard lift alone
Ratio of body lift with tail to tail lift alone
Ratio of canard lift with body to canard lift alone
Ratio of tail lift with body to tail lift alone
Interference factor for effect of body vortex on canard
Interference factor for effect of body vortex on tail
Interference factor for effect of canard vortex on tail
Interference factor for sideslip
DERIVADAS PARCIALES
Symbol
∂εq
∂α
∂εr
∂β
∂εq
∂δqc
∂εr
∂δrc
∂ ε̄q
∂δqc
∂ ε̄r
∂δrc
Definition
Gradiente de estela por ángulo de ataque actuando en la cola
Gradiente de estela por ángulo de guiñada actuando en la cola
Gradiente de estela por control de canard-cabeceo actuando en la cola
Gradiente de estela por control de canard-guiñada actuando en la cola
Valor medio del gradiente de estela por grado de control canard-cabeceo en la
sección de cola
Valor medio del gradiente de estela por grado de control canard-guiñada en la
sección de cola
xix
NOMENCLATURA
ABREVIATURAS Y ACRÓNIMOS
Symbol
APN
cm
CAS
CDLE
CDM
CFD
DAC
DCM
G&C
GS
HJB
IGA
IGC
IMU
INTA
IR
ISA
JCR
JNDA
LOS
LPV
LTI
LQD
LQR
LQT
MIMO
MFSC
mrc
ND
NTCM
OGL
PID
PSD
PD
PN
RCS
Definition
Augmented Proportional Navigation
center of mass
Control Actuation System
Continuous-time Differential Lyapunov Equation
Coefficient Diagram Method
Computer Fluid Dynamics
Dual Aerodynamic Control
Direction Cosine Matrix
Guidance and Control
Gain Schedulling
Hamilton-Jacobi-Bellman
Integrated Guidance and Autopilot
Integrated Guidance and Control
Inertial Measurement Unit
Instituto Nacional de Tecnica Aeroespacial
Infrared
International Standard Atmosphere
Journal of Citation Reports
Japan National Defense Academy
Line of Sight
Linear Parameter Variation
Linear Time Invariant
Linear Quadratic Differential (game theory)
Linear Quadratic Regulator
Linear Quadratic Tracking
Multi Input Multi Output
Model Following Servo Controller
Moment Reference Center
Non-dimensional
NASA Tandem Control Missile
Optimal Guidance Law
Proportional-Integral-Derivative
Power Spectral Density
Pulse Doppler
Proportional Navigation
Radar Cross Section
xx
NOMENCLATURA
SBT
SDC
SDDRE
SDRE
SMC
SNR
ST
STT
TPBVP
TVC
UCAV
VCL
Slender Body Theory
State Dependent Coefficient
State Dependent Differential Riccati Equation
State Dependent Riccati Equation
Sliding Mode Control
Signal to Noise Ratio
Side Thruster
Skit To Turn
Two Point Boundary Value Problem
Trust Vector Control
Unmanned Combat Air Vehicle
Vector Control Law
xxi
Capı́tulo 1
Introducción
Tradicionalmente, el diseño del misil táctico se ha basado en una superior velocidad
y maniobrabilidad sobre el blanco para conseguir la intercepción. Las nuevas misiones
para misiles aire-aire que operen dentro de la atmósfera incluyen la intercepción de
blancos de combate no tripulados supersónicos y la defensa del avión lanzador frente a
ataques laterales o por su cola.Para conseguir pequeñas distancias de paso, se requerirán
avances radicales en la aerodinámica del misil, las tecnologı́as de guiado y control ası́
como el aprovechamiento de la sinergias entre los distintos subsistemas. Esta tesis
está dedicada al estudio del misil con doble mando aerodinámico, Dual Aerodynamic
Control (DAC), como una nueva configuración para misiles de corto y medio alcance
aire-aire. Este primer capı́tulo introductorio está organizado como sigue. En primer
lugar se presentan los motivos para esta tesis, seguida por una descripción general del
bucle de guiado y control. A continuación se especifican los objetivos de la investigación,
y se hace una revisión del estado del arte en la literatura cientı́fica a dı́a de hoy.
Finalmente se presenta un esquema de desarrollo del trabajo.
1.1.
1.1.1.
Motivos para esta Tesis
Misiles actuales con control aerodinámico
Para un misil de alcance medio o corto en misión aire-aire , la configuración más
común actualmente es axil-simétrica, con un motor cohete de combustible sólido, y con
cuatro superficies fijas y cuatro superficies de control alineadas , que permiten la maniobra en cabeceo guiñada y control en balanceo. Las arquitecturas modernas con control
aerodinámico son tipo canard o control en cola 1 . Un misil con control canard maniobra
1
A pesar de su popularidad inicial, el control por ala tipo Sparrow no se considera como una
opción viable en el diseño moderno de misiles debido a sus desventajas. Otras aproximaciones menos
convencionales, como control por deflexión de la ojiva, aéro frenos etc. no han entrado en servicio en
misiles debido a su perdida de actuaciones, pero actualmente están en desarrollo para el control de
1
1.1. MOTIVOS
mediante la deflexión de sus superficies de control delanteras, mientras un misil con
control en cola deflecta sus superficies de control en la parte trasera. Tı́picamente la
superficies de control del misil son totalmente movibles y con bajo alargamiento. La
ojiva del misil es de baja resistencia aerodinámica o de tipo semiesférico y aloja el
buscador que es de tipo electromagnético u electro óptico, que va a dotar al misil de
su posición relativa al blanco durante el vuelo.
Esta configuración está estabilizada en balanceo o tiene limitaciones en su velocidad
de giro en balanceo, y emplea maniobra con resbalamiento a lo largo de la lı́nea de
mira del buscador (Skid To Turn, STT) para interceptar al blanco. Las principales
ventajas de esta configuración son su alta velocidad de respuesta sin alabeo previo y el
acoplamiento aerodinámico reducido entre los canales de cabeceo y guiñada.
Esta disposición clásica sufre de ciertos efectos aerodinámicos no lineales que complican su control durante el vuelo. Estos efectos pueden ser divididos en dos categorı́as:
1. Efectos en un plano, donde a bajos ángulos de ataque, los torbellinos desprendidos
de las superficies delanteras cambian el ángulo de incidencia local en la cola,
provocando que el momento aerodinámico del misil cambie abruptamente para
pequeñas variaciones en el ángulo de ataque. Al aumentar el ángulo de ataque,
la ojiva del misil y el pequeño alargamiento de las aletas comienzan a crear no
linealidades en fuerza y momento de cabeceo. Este mismo efecto se repite en el
plano de guiñada debido a la simetrı́a del misil.
2. Los efectos fuera de plano son a su vez de dos tipos. El momento de balanceo inducido aparece por ejemplo cuando el ángulo de ataque y el ángulo de guiñada son
distintos durante una maniobra con resbalamiento. El segundo tipo es la guiñada
fantasma, phantom yaw, donde a ángulos de ataque moderados, los torbellinos
desprendidos del fuselaje del misil se vuelven asimétricos, creando de modo simultáneo perturbaciones en balanceo y en guiñada. Estos efectos fuera de plano
son muy problemáticos y causan dificultades para mantener un ángulo de balanceo razonablemente estable o con una variación suave. En el caso de un misil
canard las superficies de control delanteras tienen una capacidad de control muy
limitada en balanceo a través de deflexiones diferenciales, debido al efecto opuesto
creado en la cola por la estela. Diversas soluciones se han ensayado en la práctica
para el misil canard: rolerones como en el Sidewinder, como un mecanismo pasivo que limita la velocidad de rotación en balanceo; aletas fijas estabilizadoras
por delante del canard como en el Phyton-5; o desacoplar la cola dejándola que
gire libre, como en el cohete guiado MLRS, que permite a la sección delantera
mantenerse estabilizada en balanceo, ya que el momento de reacción creado en
la cola no se transmite al resto del fuselaje. El prototipo de misil Banderilla (ver
vuelo de municiones inteligentes y cohetes guiados.
2
1.1. MOTIVOS
Figura 1.1), incorporó de modo novedoso controles adicionales en la cola para
estabilizar el misil en balanceo, aunque estos servos adicionales no fueron usados
para el control en cabeceo o en guiñada (Sanz-Aranguez and Simon, 2012).
Figura 1.1: INTA misil experimental Banderilla. Desarrollado en el Instituto como un
proyecto de investigación, era un misil con control delantero y controles adicionales
en la cola. Nótese los flaps móviles en las superficies de cola, que se empleaban para
mantener el balanceo estable durante el vuelo.
1.1.2.
Caracterı́sticas de la respuesta dinámica del misil
El misil interceptor maniobra constantemente respondiendo a las sucesivas maniobras evasivas del blanco. Tı́picamente el motor de combustible sólido no puede modificar su ley de empuje una vez que comienza su misión. Aunque hay algunos misiles con
motores de empuje variable,la gran mayorı́a de los misiles tácticos no lo tienen y son
capaces de maniobrar únicamente mediante la generación de maniobra lateral, normal
a su eje de simetrı́a. Al deflectar una de las superficies de control, se genera una fuerza
normal de pequeña magnitud de modo casi instantáneo, que da lugar a un momento
aerodinámico alrededor del centro de gravedad del misil, que resulta en una rotación
del mismo modificando su ángulo de ataque. Es este ángulo de ataque el responsable de
generar la aceleración lateral del misil. Esta cadena de acontecimientos ocurre durante
cierto tiempo, y por lo tanto hay un retardo en la respuesta dinámica del misil desde
que se deflecta una superficie de control hasta que se alcanzan condiciones estacionarias
(trimado).
En condiciones estacionarias las superficies del canard generan una pequeña fuerza
aerodinámica normal que están, para un misil estáticamente estable, en la misma dirección que la fuerza normal del misil. El misil canard en su respuesta dinámica tiende a
sobrepasar el nivel de aceleración requerido por el sistema de guiado y el tiempo hasta
estabilizarse suele ser relativamente grande, siempre dependiendo de las condiciones de
vuelo. La respuesta en fase depende de la estabilidad del misil y de la influencia de
los efectos de estela en las superficies de control traseras. Por otro lado, para un misil
estaticamente estable con control en cola, la cola genera una fuerza normal inicialmente opuesta a la dirección principal de maniobra, creándose lo que se conoce como
3
1.1. MOTIVOS
respuesta inversa, que retrasa la respuesta total del misil. Debido a este efecto, la cola
se conoce como un control de fase no mı́nima, que se caracteriza por la presencia de un
cero a bajas frecuencias en la parte derecha del plano s si consideramos su función de
transferencia lineal. De modo opuesto, un misil con control delantero tiene un control
de fase mı́nimo.
Desde el punto de vista de control del misil, las caracterı́sticas de fase no mı́nima del
control en cola representan un reto muy significativo, ya que retarda la respuesta general
del misil. El autor en (Gutman, 2003) demostró la superioridad del misil canard sobre el
de control cola, siendo capaz de conseguir menores distancias de paso contra un blanco
maniobrero. Sin embargo Gutman consideró un modelo simplificado, con un retardo
de primer orden del misil, en su demostración. Como se ha discutido brevemente, la
aerodinámica del misil está en realidad dominada por efectos altamente no lineales y
estos efectos no fueron considerados en el análisis citado.
1.1.3.
Propuesta de doble mando aerodinámico
Además del efecto de fase considerado en la sección anterior, hay otros elementos a
valorar en la arquitectura tradicional de misiles. Comparado con cola, el control canard
tiende a saturarse a ángulos de ataque del misil más bajos, ya que su incidencia local es
la suma del ángulo de ataque del misil más el ángulo de deflexión del control delantero.
De este modo un control en cola suele ser preferido para realizar giros muy cerrados,
especialmente cuando la presión dinámica es baja. El control canard también requiere
mayores momentos de control en los servo mecanismos para mantener mayores pares
de charnela. A bajos ángulos de ataque, y debido al efecto de estela en la cola, el
misil canard suele generar un mayor momento, ya que en este caso el brazo de palanca
correspondiente será la distancia entre los centros de presiones del canard y de la cola.
A altos ángulos de ataque, cuando la estela no afecta a la cola, el control trasero en cola
puede ofrecer un mayor brazo de palanca, una vez que el motor cohete se ha consumido
y por tanto el centro de gravedad está en su posición más adelantada. En este último
caso se requieren menores ángulos de deflexión en el control de cola que en el caso
del canard para mantener mantener los mismos ángulos de ataque del misil, con los
beneficios añadidos de una reducción de la resistencia aerodinámica.
La tabla 1.1 resume las ventajas y desventajas relativas de cada tipo de control
aerodinámico para un mismo misil. La tabla sugiere que el control canard y cola son
complementarios y que la óptima combinación de un tipo y otro como función de las
condiciones de vuelo (ángulo de ataque, aceleración ángulos del control, ley de guiado
etc.) podrı́a resultar en mejores actuaciones del misil. Una combinación de este tipo
deberı́a incluir los efectos aerodinámicos de alto orden de ambos tipos de control, pero
podrı́a resultar en un diseño mucho más efectivo del misil sin modificar su estructura.
4
1.1. MOTIVOS
Cola
Canard
Ventajas
· Bajo momento de charnela y
bajo par de control debido a los
ángulos de incidencia reducidos.
· Momento de balanceo inducido
reducido..
· Para un misil estáticamente estable, mayor efectividad del control a altos ángulos de ataque.
· Baja resistencia aerodinámica
inducida.
· Control en balanceo sencillo mediante de reflexiones diferenciales.
· Empaquetamiento efectivo del
sistema de en control, guiado y
buscador en la ojiva del misil.
· Fabricación simplificada y facilidad para introducir cambios de
diseño.
· Alta maniobrabilidad a bajos
ángulos de ataque para un misil
estable.
· Mayor brazo de par de control
aerodinámico a bajos y moderados ángulos de ataque.
Desventajas
· Para un misil estáticamente estable Menor maniobra en trimado.
· Efecto de fase no mı́nima, respuesta inicial más lenta.
· El control se empaqueta alrededor del tubo de salida de gases del
motor.
· Requiere un compromiso entre
estabilidad y maniobrabilidad.
· Altos ángulos de incidencia en el
control, tendencia a saturarse.
· Problemas con picos de maniobra y tiempos de estabilización.
· Alto balanceo inducido y pérdida de control en cola debido a los
vórtices delanteros.
· Control de balanceo complicado.
· Momentos de flexión altos en la
estructura.
· Pérdida de estabilidad altas velocidades.
Cuadro 1.1: Comparación de control canard y cola
La idea para esta tesis surge entonces para investigar cómo integrar ambos tipos de
control en un misil aire-aire de control doble, donde tanto las superficies delanteras
como las superficies traseras sean móviles y que se actúen de modo simultáneo para
maniobra del misil en cabeceo y en guiñada, y con la adecuada combinación de estos
dos tipos de control dentro de un piloto automático de tipo avanzado puede aumentar
significativamente las actuaciones de un misil ya existente.
Este control doble atmosférico (DAC) no debe confundirse con otros tipos de control avanzados ya existentes tipo hı́brido, en los que un misil con control en cola se
combina con control vectorial de empuje -Thrust Vector Control (TVC) - o empuje
lateral - Side Thrusters (ST)-, que puede generar momentos de control adicionales
independientemente de la presión dinámica exterior del misil:
La aplicación de control hı́brido más popular actualmente en servicio consiste en
control en cola combinado con control vectorial de empuje a través de álabes deflectores (misiles IRIS y Sidewinder 9-X). Aqui el mismo actuador por se usa para
mover la cola y el álabe deflector dentro de la tobera, aumentando la velocidad
de respuesta del misil pero aumentando el efecto de fase no mı́nima. Como todos
5
1.1. MOTIVOS
los sistemas de tipo hı́brido una vez que la combustión del motor se termina, el
misil tiene únicamente control en cola disponible para interceptar al blanco.
El control por empuje lateral es un método en el cual una masa de flujo pulsado se
expulsa durante un corto periodo de tiempo en dirección normal a la superficie del
cuerpo del misil, por delante del centro de gravedad. Este flujo cruzado causa una
separación local del flujo aerodinámico sobre la superficie del misil, que cambia la
distribución de presión sobre la misma y como resultado modifica su trayectoria.
Este tipo de control ocurre en impulsos, con un modo de operación conocido como
bang-bang. El control por empuje lateral tiene un ancho de banda elevado pero
es extremadamente complejo de modelizar en detalle y tiene limitaciones, tanto
en magnitud como en tiempo de operación, esto último limitado por la cantidad
de gas a presión que el misil puede llevar a bordo.
Estos dos tipos de control hı́brido tienen tres misiones caracterı́sticas:
1. En misiles exo-atmosféricos, en aplicaciones superficie aire, operando en las capas
altas de la atmósfera para interceptar misiles de tipo balı́stico en las cercanı́as
del apogeo.
2. En aplicaciones aire-aire de misiles endo-atmosféricos, para la defensa del avión
lanzador contra ataques desde su cola. Aquı́ el mando simple aerodinámico no es
suficiente para girar el misil 180 grados inmediatamente después del lanzamiento
con la suficiente rapidez.
3. En aplicaciones dentro de la atmósfera tipo SAM superficie-aire para la defensa
de área, donde el control vectorial del empuje provee al misil de capacidad de
maniobra ya desde el lanzamiento, cuando la presión dinámica es baja y el control
aerodinámico todavı́a no es eficiente.
En esta tesis se demostrara mediante simulaciones que el misil con control doble
aerodinámico será capaz de ejecutar la misión de defensa contra ataques desde cola
únicamente con control aerodinámico y sin modificar el empuje del misil, como será
revisado en la sección 4.5.
A dı́a de hoy solamente hay una aplicación desclasificada del control doble aerodinámico, y sólo está en fase de desarrollo. Se trata del cohete guiado superficie-aire
Stunner, que formará parte del sistema de defensa aérea de Israel David’s Sling, (ver
Figura 1.2). Se espera que entre en servicio en 2017. Esta aplicación se ha concebido
contra blancos no maniobrables, cohetes no guiados o derivados del Scud descendiendo
contra zonas urbanas. Por su configuración estructural, pensamos que este cohete guiado no es capaz de soportar grandes esfuerzos estructurales y que por tanto el ángulo
de ataque en vuelo estará limitado a pequeños valores. El control doble se emplea para
6
1.1. MOTIVOS
pequeñas correcciones de trayectorias en los últimos segundos antes de la interceptación, y con ambos controles delanteros y traseros actuando en la misma dirección, en
lo que se conoce como modo de desviación 2 -(Fleeman, 2012) y Figura 1.8-, pero no
para generar una aceleración de decenas de veces la aceleración de la gravedad como
se esperarı́a en una aplicación aire-aire.
Figura 1.2: Cohete Guiado Superficie-Aire Stunner , con control doble aerodinámico.
Este cohete guiado se utiliza para defensa de área y se espera que entre en servicio en
2017. Se diseña para interceptar cohetes no guiados en su fase de descenso a tierra.
Nótese las pequeñas superficies fijas situadas justo enfrente de las aletas móviles de
cola, que se emplean para estabilizar la célula y reducir el balanceo inducido creado
por la superficies móviles delanteras.
La configuración DAC tiene la ventaja frente a la hı́brida de un menor coste y
mayor simplicidad, y no estar restringido por el tiempo de combustión del motor cohete
o por la cantidad de reservas de gas presurizado a bordo para generar maniobras
adicionales. Comparado con un misil con control en cola, el control doble sólo requiere
dos servomecanismos adicionales para actuar las superficies delanteras en picado y
guiñada, para lograr un incremento sustancial en las actuaciones del misil como será
demostrado.
Con las mejoras en la fiabilidad tamaño peso y par de salida de los servomecanismos,
junto a su coste cada vez más reducido, la complicación adicional de la instalación de
los servomecanismos adicionales que se requieren para el control doble se compensa
más que sobradamente con la mejora que se obtiene en las actuaciones. Sin embargo
los grados de control adicionales requieren de un tratamiento matemático complejo que
contemple todas las implicaciones resultantes en la aerodinámica del misil ası́ como en
el lazo de guiado y control.
2
ambos controles deflectados en la misma dirección generando un incremento en sustentación y
provocando la traslación del misil pero con una pequeña, si no nula, rotación del misil
7
1.2. EL BUCLE DE GUIADO Y CONTROL
1.2.
El bucle de guiado y control
La trayectoria del misil interceptor se divide tı́picamente en tres segmentos: lanzamiento, curso medio y fase terminal. Durante la fase terminal los algoritmos de guiado
y control son responsables de corregir los errores de apuntamiento residuales de las
fases previas y considerar las maniobras del blanco para conseguir la mı́nima distancia
de paso final. La figura 1.3 representa el bucle de guı́ado y control (G&C) para un misil
interceptor tipo avanzado. Este bucle se usará a lo largo de la tesis como una referencia
en la investigación, en la que progresivamente se irá definiendo la estructura y cada
uno de los componentes para un misil de control doble. A continuación se realiza una
breve descripción de cada uno de los bloques:
El Buscador de a bordo se encarga de detectar las variables necesarias del
blanco durante el vuelo para alimentar a la ley de guiado del misil. El buscador
está enganchado al blanco durante esta fase terminal, permitiendo el guiado del
misil durante todo el vuelo. Sin embargo a través del buscador se introduce ruido
no deseado dentro del bucle de guiado y control. El buscador es un sistema
electromecánico con su propio bucle de realimentación que además introduce
retardos de tiempo en el bucle de guiado y control del misil. La gran mayorı́a de
los misiles aire-aire en servicio hoy emplean un buscador tipo radar (activo, pasivo
o semiactivo) o un buscador de infrarrojos IIR de tipo pasivo. Una ventaja de
que el buscador esté a bordo del propio misil, activo o pasivo, es que la precisión
de sus medidas aumenta en general a medida que la distancia relativa entre el
blanco y el misil se reduce, aunque algunos tipos de ruidos como el destello (glint)
aumentan.
El Filtro de Navegación es el responsable de separar el ruido de la señal de
entrada y de proveer estimaciones de las variables del blanco entre los instantes de
toma de datos del buscador, ası́ como calcular y estimar otras variables del blanco
no directamente medidas pero que son requeridas por la ley de guiado del misil.
Como ejemplo de estas últimas tı́picamente se necesita la aceleración vectorial del
blanco o su derivada con el tiempo. El filtro de navegación contiene un modelo
dinámico del encuentro aire-aire, ası́ como de los ruidos de medida esperados. El
retardo de tiempo introducido por el filtro de navegación es despreciable ya que
se trata de un subsistema puramente electrónico.
El bloque de Guiado contiene la ley de guiado, que calcula, basado en la cinemática relativa y la aceleración del blanco, el vector de aceleración demandada
nL
d al misil, necesario para conseguir un curso de colisión hacia el blanco. Esta
demanda se calcula en tiempo real a bordo del misil. La mayorı́a de los misiles
8
1.2. BUCLE G&C
Dinámica
Blanco
+
xM , ẋM
xT , ẋT
−
rT M , Vc
Ruidos radar y radomo
Radar
∗
t∗s , ωLOS
B
n
Dinámica
Traslación
Misil
nB
Guiado
ẋg = f (xg , nL
d)
u̇, v̇, ẇ
p, q, r
Dinámica
Rotación
Misil
Strapdown
IMU
Sensores
Actitud
Filtro/
Estimador
nB
+
Modelo
Aceleración
Blanco
time-to-go
Estimador
r̂T M , V̂c
Noise
nL
T
Sistema
de
Navegación
tgo
nL
d
−
xa
Autopiloto
ẋa = f (xa , xsd )
xsd
xs
Servos
ẋs = f (xs , xsd )
dinámica alto orden τu
Figura 1.3: Diagrama de guı́a de control para un misil aire aire moderno. Se representan únicamente las principales variables. El time-to-go y el modelo de aceleración del
blanco sólo se emplean en un misil con guiado óptimo, que la práctica no está todavı́a
ampliamente extendido. Nótese que hay cuatro entradas exógenas, la maniobra del
blanco xT , ẋT , el sistema de detección (buscador y radomo), la IMU con sus ruidos
asociados y la dinámica de alto orden de los servos.
actualmente en servicio emplean una de las variantes de la conocida ley de navegación proporcional, que requiere que el misil tenga una ventaja de velocidad
9
1.2. BUCLE G&C
significativa sobre el blanco y que sea capaz de maniobrar al menos tres veces
más que el blanco. La ley de navegación proporcional demanda una aceleración
al misil sin considerar su capacidad remanente de maniobra, los lı́mites de su
envuelta de vuelo o el tiempo de respuesta del piloto automático. Por otro lado
la ley de guiado óptimo incorpora la aceleración actual del misil nB en su cálculo
de nL
d (consúltese la sección 3.1).
El Piloto automático, control de vuelo o autopiloto y el sistema de control de actuadores (CAS ) son los responsables de transformar la demanda de
aceleración de la ley de guiado nL
d en la respuesta adecuada de la célula del misil.
El piloto automático es él mismo un bucle de control con realimentación dentro del bucle general de guiado y control del misil. Constantemente monitoriza
la aceleración obtenida nB y genera ordenes al CAS, codificadas generalmente
como ángulos de posición demandados para cada uno de los controles xsd , ver
Figura 1.3 .
Una unidad de medida inercial (IMU ) mide en tiempo real las aceleraciones y
velocidades angulares del misil, y un filtro digital estima a partir de estas medidas
el ángulo de ataque α y de guiñada β con la suficiente precisión. Se hace notar que
los ángulos aerodinámicos no pueden medirse directamente sin cometer errores
importantes (Stevens and Lewis, 2003).
Las señales de salida de la IMU se combinan con las órdenes de guiado en el
piloto automático para calcular la demanda a cada uno de los actuadores de las
superficies de control. Estos son de tipo electromecánico o neumático y fuerzan
el ángulo de las aletas xs a seguir a la demanda xsd . La respuesta dinámica de
la célula a la señal del control depende de las condiciones de vuelo del misil en
ese instante (altitud, número de Mach, ángulo de ataque, etcétera). El objetivo
básico del sistema de control es conseguir que la dinámica resultante siga los
comandos de guiado de una forma efectiva.
El piloto automático debe incluir un modelo dinámico de rotación y traslación, que lleva aparejado tener programada una representación completa aerodinámica del misil con sus correspondientes limitaciones. El piloto automático
completo representa el mayor retardo de tiempo dentro del bucle de G&C loop.
Todo este bucle se cierra cuando el buscador vuelve a detectar la posición relativa entre
el blanco y el misil, generándose nuevas órdenes de guiado, que a su vez inician una
nueva respuesta del auto piloto y movimiento de las superficies de control del misil. El
objetivo último del bucle de guiado y control es obtener la mı́nima distancia de paso
al blanco dentro de las limitaciones y capacidades del misil interceptor aéreo.
10
1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS
En la Figura 1.3 nótese que los cálculos del guiado y del auto piloto se realizan en
bloques separados y consecutivos. Esta aproximación corresponde al tradicional método de dos lazos, que considera que hay una separación espectral entre el guiado y el
auto piloto (Yanushevsky, 2008). Esto se debe a que tı́picamente el tiempo caracterı́stico del encuentro aire-aire contra blancos poco maniobreros ha sido siempre mayor que
el tiempo caracterı́stico de respuesta del auto piloto del misil. Dentro de esta aproximación, el auto piloto siempre se ha diseñado como un regulador que trabaja con un
horizonte de tiempo infinito. En esta tesis se modificará el esquema clásico descrito en
la Figura 1.3 al combinar el control de vuelo y el guiado en un único bucle.
1.3.
Objetivos de la Tesis
El objetivo esta tesis es investigar las actuaciones del misil de control doble aerodinámico como una nueva alternativa al control convencional, canard o cola, e hı́brido,
para misiles aire-aire en aplicaciones contra blancos modernos no pilotados y para la
defensa en cola. Este misil será empleado contra blancos altamente maniobreros. En
este escenario la hipótesis de separación espectral entre el control de vuelo y el guiado
puede que no sea válida. Se plantea entonces una solución integrada, optimizando el
auto piloto y el guiado en un único bucle de control aprovechando su sinergias.
Este objetivo general se transforma en tres lı́neas de investigación y para cada una
de ellas se plantean cuestiones especı́ficas a resolver, ninguna de las cuales ha sido
resuelta a dı́a de hoy en la literatura cientı́fica. Éstas son:
1. Modelo aerodinámico avanzado para misil con control doble.
1.1. Analizar y caracterizar los fenómenos aerodinámicos esperados, en particular
el acoplamiento cruzado entre los controles. La influencia de los controles
delantero sobre los traseros a distintos ángulos de ataque del misil, necesita
ser caracterizada en detalle.
1.2. Desarrollar una nomenclatura especı́fica, no existente a dı́a de hoy, para
tratar el problema matemático de este tipo de misil.
1.3. Desarrollar un modelo teórico aerodinámico con la suficiente precisión para
estudios de guiado y control avanzados. El nivel de detalle requerido no ha
sido encontrado en ninguna publicación existente. Este modelo necesita ser
definido con la ayuda de coeficientes invariantes que podrán ser ajustados a
un misil particular mediante métodos de identificación de parámetros.
1.4. Obtener datos fiables experimentales para validar el modelo teórico aerodinámico, bien de ensayos en túnel de viento o bien calculándolos a través
de métodos CFD.
11
1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS
1.5. Investigar la estabilidad el control en balanceo del misil con control doble
aerodinámico.
2. Desarrollo de un auto piloto para el misil con control doble y el estudio de su
conexión con una ley de guiado óptimo para formar un sistema de dos lazos para
el misil DAC.
2.1. Definir las limitaciones especı́ficas y los indicadores de actuaciones para el
auto piloto de control doble.
2.2. Optimizar y resolver el auto piloto del misil, con entradas de control múltiples, aerodinámica no lineal e incluyendo el acoplamiento cruzado entre controles. Establecer la estrategia para la distribución del esfuerzo del control
entre los canales delanteros y traseros.
2.3. Comparar los resultados obtenidos con el método estándar en la industria
moderna de ajuste de ganancias.
2.4. Evaluar el doble bucle de G&C de la figura 1.3, aplicado a un misil DAC
atacando a un blanco que maniobra y compararlo con las actuaciones de
misiles convencionales.
3. Investigar el guiado auto piloto integrado (IGA) y compararlo con la aproximación de dos bucles. Puede potencialmente optimizar el esfuerzo de control durante
el vuelo al considerar los estados de guiado como parte del algoritmo de control
de vuelo.
3.1. Definir el modelo matemático adecuado para el problema integrado.
3.2. Manejar adecuadamente las variables de guiado y del auto piloto ya que
trabajan en diferentes órdenes de magnitud y podrı́an saturar el control del
misil.
3.3. Definir los objetivos de actuaciones para el sistema integrado.
3.4. Resolver el nuevo problema matemático de optimización de una planta no
lineal en un tiempo finito.
3.5. Comparar las actuaciones del misil con control integrado frente al mismo
misil empleando un esquema en doble lazo.
3.6. Evaluar cómo el ruido, la frecuencia discreta de datos del blanco y los errores
de radomo afectan a las actuaciones del misil DAC.
3.7. Evaluar las capacidades del misil con doble mando aerodinámico y control
integrado en la defensa contra ataque por la cola, como un requisito para
misiles modernos y sin emplear deflexión de empuje. (véase Figura 1.4).
12
1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA
1960’s
1970’s
MT = 1,2,
1980’s
M = 1,5,
1990’s
2000’s+
nT = 3, h = 12, 000m
Figura 1.4: Evolución de los dominios de tiro del misil (Sanz-Aranguez, 2000). El ejemplo muestra un misil lanzado a M = 1,5, atacando un caza pilotado volando a MT = 1,2
con maniobra nT = 3 g. En la década de los años 60 y 70, las limitaciones en el buscador de infrarrojos y de la capacidad de maniobra del misil restringı́an el dominio de
tiro a la parte trasera del blanco. En los 80 y 90 del avión lanzador se equipa con un
radar y es capaz de lanzar el misil cerca del curso de colisión, extendiendo el dominio
de tiro a casi todos los sectores alrededor de un blanco poco maniobreros. Estas figuras
se reproducirán en la tesis para la intercepción de blancos altamente maniobrables, en
la sección 3.5.2. Los últimos desarrollos en la maniobrabilidad de los misiles desde los
años 2000 han extendido el dominio de tiro aún más, pero no son aún suficientes para
la defensa contra un ataque por la cola sólo empleando control aerodinámico. En esta
tesis se desarrollarán de modo analı́tico y se demostrarán de modo numérico, que la
defensa contra un ataque por la cola es posible realizarla de modo óptimo con un misil
con control doble aerodinámico e integración de su guiado y control.
Estas tres lı́neas de investigación y las cuestiones principales asociadas se representan de modo gráfico en la figura 1.5. El tema de la tesis implica una variedad
de disciplinas como la aerodinámica, el control, la optimización matemática pura o
la mecánica de vuelo. En efecto la investigación enfocada en el área de misiles tiene
siempre un carácter multi-disciplinar ya que todos sus subsistemas están fuertemente
interconectados.
Debido a que esto es una tesis doctoral en ingenierı́a aeroespacial, es apropiado complementar los resultados teóricos con simulaciones numéricas, para evaluar los logros
obtenidos y ponderar su dificultad de implantación práctica. No se trata sin embargo, de realizar un diseño de ingenierı́a de detalle sino de ilustra los conceptos y los
resultados de investigación obtenidos.
1.4.
1.4.1.
Revisión de la Literatura
Aerodinámica
La referencia(Beresh et al., 2009) describe experimentos llevados a cabo en un túnel
de viento subsónico con dos controles, con la intención de investigar la interacción en13
1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA
Datos
Aerod.
Control
Balanceo
Modelo
Aerod.
Diseño
Misil
Acoplamiento
Controles
Autopiloto
Nolineal
Objetivos
Investigación
Tesis
Lı́mites
Guiado
DobleBucle
Reparto
Control
Defensa
Cola
Optimización
GyC
Integrado
Ruidos
Optimización
Saturación
Figura 1.5: Lı́neas principales de investigación
tre ellos sin la presencia de un fuselaje (ver 1.6). La conclusión del estudio es que los
vórtices generados por el control delantero cambian el ángulo de incidencia efectivo del
control trasero. Debido a que la estructura de torbellinos se mantiene en supersónico,
(Spahr and Dickey, 1953), es de esperar que esta conclusión se mantenga en este régimen, aunque los valores de sustentación varı́en al depender del Mach. La presencia del
fuselaje del misil creará interacciones más complejas que habrá que tener en cuenta.
La literatura cientı́fica publicada ha sido examinada buscando estudios sobre aerodinámica de misiles con dos controles. La única referencia válida encontrada ha sido
acerca de una serie de experimentos en túnel llevados a cabo en el centro Langley
Unitary Plan Wind por A.B. Blair en 1993, como parte del NASA Langley Research
Center. Sin embargo, los datos aún están sujetos a US Export Control Regulations, y
la NASA no ha podido desclasificarlos para este estudio. El prototipo ensayado NASA
Tandem Control Missile (NTCM) es un misil tı́pico de configuración cruciforme y ojiva
14
1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA
(a) Diseño del experimento
(b) Fuerza normal en control trasero. α1 = 10,
M∞ = 0,8
Figura 1.6: Interacción entre control delantero y trasero, tomado de la referencia (Beresh et al., 2009).
tangente (vease Figure C.1 en los Apéndices), y se ensayó en supersónico a distintos
ángulos de ataque entre 0 y 28 deg, y a distintas combinaciones de posiciones de los
control delantero y trasero, limitadas a 20 como máximo.
Sin embargo, un extracto limitado de los datos experimentales se ha publicado
en tres artı́culos distintos (Lesieutre et al., 2002a,b) y (Cross et al., 2010). Los datos
muestran grandes variaciones de la aerodinámica con el ángulo de ataque a distintas
posiciones de los controles, y pueden encontrarse en los apéndices (ver Figure 1.7). Las
no-linealidades son especialmente acusadas en las cercanı́as de α = 0, debido al efecto
de la estela.
Figura 1.7: Resultados experimentales para el misil NASA. Reproducidos aquı́ de la
referencia (Lesieutre et al., 2002a)
Otros autores han llevado a cabo estudios numéricos con el misil NTCM (Blair,
1978; Khalid et al., 2005b,a; Al-Garni et al., 2008; Akgul et al., 2012) 3 . Sin embar3
El informe del NATO Research and Technology Organization (RTO) - (Khalid et al., 2005b) - fue
15
1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA
go estos estudios no incorporan deflexiones simultáneas de los controles delanteros y
traseros, pero pueden servir como referencia para separar los efectos aerodinámicos
generales del misil de las acciones del control doble.
En resumen se han encontrado algunos artı́culos cientı́ficos indicando el potencial
de este tipo de misil, sin embargo debido a la escasez de datos disponibles, se hace
necesario extenderlos mediante un estudio aerodinámico adecuado.
1.4.2.
Autopiloto y Guiado con control doble
Se han encontrado sólo seis artı́culos en la literatura cientı́fica sobre este tema, véase
la tabla 1.2. Se han diseñado auto pilotos para misiles con control doble empleando el
método no lineal de State Dependent Riccati Equation en (Mracek, 2007) y Apendice
B.2, ası́ como con técnicas de control lineal: LQT linear quadratic tracking en (Mracek
and Ridgely, 2006), regulador óptimo proporcional-integral en (Ochi, 2003; Ochi and
Kanai, 1997; Ochi et al., 1994) y control clásico general en (Manabe, 2001).
Los trabajos en (Mracek, 2007; Mracek and Ridgely, 2006) consideraban sólo correcciones por desviación positiva, donde ambos controles se deflectan en la misma
dirección, generando un incremento de sustentación inmediata y la traslación del misil.
Con este método los misiles de control doble pueden tener dificultades en conseguir
ángulos de ataque grandes y por tanto altos niveles de aceleración lateral. Los métodos
lineales en (Ochi, 2003; Ochi and Kanai, 1997) se combinaron con un generador de
órdenes de ángulo de ataque que puede conseguir que el misil opere de modo opuesto,
que gira el misil aumentando el ángulo de ataque final. En contraste la referencia (Ochi
et al., 1994) sólo consideraba el modo opuesto pero no el de desviación.
Cuadro 1.2: Referencias JCR para autopilotos de doble control
Referencia
Modelo aerodinámico
Control
Mracek (2007)
Mracek and Ridgely (2006)
Ochi (2003)
Manabe (2001)
Ochi and Kanai (1997)
Ochi et al. (1994)
Ajuste polinomio
Coeficientes constantes
Coeficientes constantes
Coeficientes constantes
Coeficientes constantes
Coeficientes constantes
SDRE
LQT
LQT
PID
PID
PID
Ninguno de estos artı́culos incorpora el efecto de acoplamiento cruzado entre los
controles ( términos δqc δqt y de orden superior) en el diseño del auto piloto. Aunque
el efecto neto en fuerza puede ser pequeño, se dan fluctuaciones importantes en el
momento de cabeceo debido al efecto de la estela sobre la cola.
proporcionado amablemente por la oficina española Spanish NATO RTO Office
16
1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA
n
δqc
δqc
q
δqt
α
α
−δqt
VM
VM
(a) Opuesto
(b) Desviación
Figura 1.8: Modos de operación del misil con control doble.
En la aproximación de dos lazos el auto piloto se coloca en un bucle interior y
se diseña separadamente del lazo exterior de guiado, asumiendo que existe separación
espectral entre el auto piloto y el guiado. Cuando se asume que la dinámica del misil
es de primer orden, que el blanco está efectuando una maniobra constante, se deriva la
ley de guiado óptimo, (Sanz-Aranguez, 2011; Zarchan, 2012). Distintos investigadores
en la literatura cientı́fica han estudiado la ley de guiado óptima para el misil de control
doble, véase la tabla 1.3.
Cuadro 1.3: Referencias JCR para el guiado de misil DAC.
Referencia
Modelo aerodinámico
G& C
Control
Levy et al. (2015)
Yan and Ji (2012)
M. Idan and Golan (2007)
Shima and Golan (2007)
Shima and Golan (2006)
Shima and Golan (2005)
Coeficientes constantes IGA
LQR
Coeficientes constantes IGA
Small-gain
Coeficientes constantes IGA
SMC
Transferencia lineal
Two-Loop LQD
Transferencia lineal
Two-Loop LQD
Transferencia lineal
Two-Loop LQD
Estos autores del Israel Institute of Technology han conseguido soluciones al problema de la interceptación final, lı́nearizada alrededor del curso de colisión, empleando
un regulador lineal cuadratico diferencial LQG con y sin limitaciones en los ángulos de
control del misil. El bloque de guiado imparte los comandos directamente a los canales
de control delantero y trasero, cada uno de los cuales se representan por funciones de
transferencia lineales, asumiendo que los ángulos de actitud del misil son pequeños, la
velocidad es constante y no existe acoplamiento entre las acciones del canard y de la
cola. Con estas hipótesis, los autores sugieren que debe darse preponderancia al control
canard, ya que incrementando el esfuerzo de control en la cola tiene un efecto negativo
al aumentar el efecto de fase no mı́nima. Estos resultados son consistentes con el estudio anteriormente citado de Gutman, acerca de la superioridad del misil con control
canard bajo hipótesis similares.
17
1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA
1.4.3.
Integración del Autopiloto y Guiado
La integración de guiado y del auto piloto es una de las áreas de investigación más
activas a dı́a de hoy en el área de misiles. En esta aproximación de guiado y auto piloto
integrados (IGA), las instrucciones de control se generan directamente a los servos,
calculadas a partir de los estados de guiado y control de vuelo de modo conjunto,
sin un lazo separado de auto pilotado. En artı́culos cientı́ficos sobre el esquema IGA
para misil con control doble aerodinámico, ver tabla 1.3 se han empleado control con
resbalamiento M. Idan and Golan (2007), el teorema de pequeñas ganancias Yan and
Ji (2012) y reguladores lineales cuadraticos Levy et al. (2015). Todos estos autores
consideraron un misil de dinámica lineal operando en modo de desviación. Levy Levy
et al. (2015) recientemente ha concluido que, asumiendo dinámica linearizada de la
trayectoria del misil en torno al curso de colisión, la aproximación integrada y la de
dos lazos dan resultados equivalentes, sin ninguna ventaja para la solución integrada.
Como se ha visto, al resolver el problema integrado es tı́pico recurrir a linealizar el
problema alrededor del curso de colisión (Levy et al., 2013; Park et al., 2011; Zhurbal
and Idan, 2011a) o plantearlo en ejes cuerpo (Balakrishnan et al., 2013; Dancer et al.,
2008; Xin et al., 2006; Menon and Ohlmeyer, 2001). Esto se hace porque, debido a
que la aproximación integrada combina los estados de guiado y del misil, que tienen
diferentes escalas, con cualquiera de estas dos aproximaciones mencionadas reduce la
magnitud de los estados de guiado al omitir la distancia entre el misil y el blanco a
lo largo de la lı́nea de mira, o a lo largo del eje de simetrı́a del misil respectivamente.
El control proporcional tiende a compensar por errores en proporción a su magnitud.
Si los errores de guiado dominan sobre los estados del misil, los comandos de control
resultar en una aceleración del misil muy alta y causan la saturación de los controles,
con la pérdida de control del misil. Este es un factor que se eliminará en la tesis.
Como alternativa a las distancias al blanco, es conveniente hacer notar que otros
autores que han integrado guiado y auto piloto-aunque no para misil con control doblehan empleado la velocidad angular de la lı́nea de mira (Vaddi et al., 2009; Menon et al.,
2002b), los errores de apuntamiento a un punto previsto de impacto (Harl et al., 2010)
o el ángulo entre la lı́nea de mira y la velocidad del misil (Yamasaki et al., 2012), ya que
las escalas de cualquiera de estas magnitudes es comparable a la escala de los estados
del misil. Las estrategias de guiado que resultan en estos escenarios son similares a
seguir una ley de navegación proporcional en los dos primeros y una ley de persecución
pura en el último. Sin embargo es bien conocido que una ley de navegación proporcional
o una ley de desviación pura resultan en demandas de aceleración al misil superiores
que las que se obtienen con una ley de guiado óptimo (Zarchan, 2012).
En esta tesis además se empleará el desarrollo matemático en ejes inerciales, ya que
la formulación en ejes cuerpo tiene varios inconvenientes: la eliminación de la distancia
18
1.5. ESQUEMA DE LA TESIS
a lo largo del eje de simetrı́a puede resultar en que el misil se deslice alrededor del blanco
sin conseguir el impacto (Balakrishnan et al., 2013) y es muy sensible a la selección de
los factores de ponderación (Xin et al., 2006), ası́ como un comportamiento oscilatorio
del misil debido al bajo amortiguamiento de la célula en cabeceo.
1.5.
Esquema de la Tesis
Las conclusiones sobre la efectividad del concepto de misil DAC frente a arquitecturas más tradicionales en servicio actualmente sólo puede establecerse una vez que
todos los aspectos relevantes del problema se han investigado. El cuerpo de la tesis
refleja los principales resultados obtenidos, mientras que resultados secundarios se han
trasladado a los apéndices para facilitar la exposición. La estructura de capı́tulos es
como sigue:
Capı́tulo 2, se centra en el estudio del aerodinámica del misil con control doble
y en el desarrollo de un modelo aerodinámico analı́tico completo. Se presentan
los diagramas de maniobra para este tipo de control.
Capı́tulo 3, está dedicado al guiado y control empleando una aproximación
clásica en doble bucle, donde el auto piloto y el guiado son independientes. El
auto piloto aquı́ se ha desarrollado de modo que tenga en consideración las caracterı́sticas no lineales del control doble, y se desarrolla una solución completa
tridimensional desarrollando la teorı́a matemática del control óptimo. En combinación con la ley de guiado óptimo, el esquema de doble bucle se compara favorablemente con las actuaciones de misiles con control clásico en cola o canard,
obteniéndose menores distancias de paso y requiriéndose menos maniobra en el
misil. Se obtienen los dominios de tiro desde distintas posiciones de lanzamiento.
Capı́tulo 4 esta dedicado al desarrollo y a la solución de la lógica integrada IGA
para el misil de doble mando aerodinámico DAC. Este es el principal capı́tulo de
la tesis e incorpora resultados obtenidos en los capı́tulos anteriores. Para resolver el problema matemático que resulta, se ha desarrollado dentro de la teorı́a
de control óptimo, una nueva solución empleando la ecuación de Lyapunov. Se
evalúa los resultados de este tipo de control frente a la aproximación desacoplada del capı́tulo anterior, con resultados muy positivos, superiores para el control
integrado. Se incorporan además en este capı́tulo efectos reales como ruidos en
el radar, efectos de radomo y el efecto de considerar datos del radar en forma
digital. Finalmente se demuestra que este misil IGA-DAC puede, realizar manteniendo siempre el control aerodinámico, una defensa contra un blanco que le
ataque por la cola.
19
1.5. ESQUEMA DE LA TESIS
Capı́tulo 5, contiene las conclusiones de la Tesis, implicaciones para el diseño
del misil y las recomendaciones para futuros trabajo.
Apéndice A trata el cálculo diferencial de matrices y su relación con el producto
de Kronecker.
Apéndice B contiene los resultados principales de la teorı́a de control óptimo
que son necesarios para el desarrollo.
Apéndice C contiene la geometrı́a y los parámetros de misión del misil base
NASA que se emplea para ilustrar los resultados teóricos de la tesis.
Apéndice D Contiene los datos aerodinámicos en bruto para el misil de control
doble, obtenidos a través de experimentos en túnel de viento de la literatura ası́
como resultados numéricos obtenidos con métodos de aerodinámica computacional (CFD) y métodos semi-experimentales (software US Air Foce DATCOM).
Appendix E contiene los coeficientes aerodinámicos para el misil base.
Appendix F ecuaciones cinemáticas y dinámicas del movimiento del misil.
Appendix G ecuaciones analı́ticas obtenidas para cada componente de las matrices en el espacio de los estados obtenidas en los capı́tulos 3 y 4.
Appendix H aquı́ se describe el modelo de ruido para un radar aire-aire activo
ası́ como la dinámica del servomecanismo de la cabeza buscadora.
Se incluye una sección con la Bibliografı́a al final.
20
Capı́tulo 2
Aerodinámica del Misil con Doble
Control y su Maniobrabilidad
Este capı́tulo propone un modelo aerodinámico para estudiar los efectos no lineales
asociados con altos ángulos de ataque y acoplamiento entre controles que se dan en
nuestro misil. La sección 2.1 define la geometrı́a y las caracterı́sticas operativas del
misil, introduce la nomenclatura especı́fica para el control doble y estudia los fenómenos aerodinámicos que tienen que ser incluidos en el modelo analı́tico con la ayuda de
la teorı́a de cuerpos esbeltos. La sección 2.2 desarrollar y presentar el modelo aerodinámico analı́tico para todos los coeficientes CN , Cm , CA , Cl , CS and Cn . Los datos
aerodinámicos procedentes de experimentos en túnel y cálculos numéricos del aerodinámica se han empleado para validar el modelo. En la sección 2.3 se describe la
respuesta en lazo abierto, sin control -para el misil de doble mando aerodinámico y el
diagrama de maniobra. Finalmente la sección 2.4 contiene las conclusiones para este
capı́tulo. Los resultados aquı́ obtenidos serán empleados en los estudios de guiado y
control del capı́tulo siguiente.
2.1.
Configuración y fenómenos aerodinámicos
Se describe a continuación la configuración del misil seleccionada en este trabajo:
El misil de control doble aerodinámico es un misil de corto a medio alcance en
misiones aire-aire, con un motor cohete de propulsante sólido, equipado con un
radar activo 1
Radomo de tipo ojiva tangente para reducir la resistencia aerodinámica (ver figura
1
Los requisitos de información impuestos por la ley de guiado incluyen distancias y velocidades
relativas al blanco, ası́ como una estimación de la maniobra del blanco, que sólo pueden ser obtenidos
a través de un radar. Un buscador de infrarrojos sólo mide directamente la velocidad angular de la
lı́nea de mira y además instala un irdome semiesférico con una alta resistencia aerodinámica.
21
2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS
2.1), seguido por un cuerpo cilı́ndrico de alta relación de aspecto y dos sets de
aletas cruciformes colocados en la sección delantera (canard) y trasera (cola).
Todas las aletas son de pequeña envergadura y bajo alargamiento, con una relación entre la semienvergadura y el radio del misil próxima a, o menor que uno.
Esto último se debe a los requisitos más restrictivos que se imponen en los misiles modernos con respecto al tamaño de las aletas para el transporte en el avión
lanzador.
Toda la aleta de control se mueve alrededor de un eje de charnela perpendicular
al cuerpo del misil.
Se asume que todas las aletas tienen la misma forma en planta.
Finalmente se asume que el misil es un cuerpo rı́gido con tetra-simetrı́a, tanto en
geometrı́a como propiedades másicas.
Con respecto a la operación del misil:
Se considera sólo la fase de vuelo supersónico, de acuerdo con la misión de ataque
terminal aire-aire definida en el apéndice C.2, o con la misión de defensa contra
ataque en cola definida en 4.5.
El misil emplea control cartesiano (skid-to-turn) y estará estabilizado en balanceo
en cruz +. Esta configuración es inestable en balanceo, y por tanto requiere que el
auto piloto compense por cualquier perturbación en balanceo para mantener esta
orientación. Aunque la configuración en ”x”puede resultar en una mayor capacidad de maniobra, se selecciona la configuración en cruz ya que reduce el número
de torbellinos que se desprenden de las aletas delanteras y que interaccionan con
las superficies en cola, lo que se traduce en una mayor controlabiliad del misil
DAC.
El control en balanceo se consigue mediante deflexiones diferenciales de los controles en la cola. En este misil sólo seis servomecanismos son necesarios, ya que la
superficies 1c y 3c, ası́ como las 2c y 4c, están ligadas mecánicamente (ver figura
2.1). Cada una de las aletas de cola 1t, 2t, 3t, 4t, está accionada por su propio
servomecanismo.
2.1.1.
Definiciones
Los ejes cuerpo (B) M X B Y B Z B (ver figura 2.1) están centrados en el centro de
gravedad del misil, y alineados con las superficies de control y los ejes principales de
inercia del misil. El eje M X B apunta hacia la ojiva del misil, el eje M Y B hacia la
22
2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS
Figura 2.1: Ejes y definiciones
derecha visto desde atrás y el eje M Z B havia las aletas inferiores. El plano M X B Y B
es el plano de guiñada y el plano M X B Z B es el plano de cabeceo.
La velocidad del misil con respecto a una referencia inercial LX L Y L Z L , expresada
en ejes cuerpo es:
h
iT
B
VM
= u v w
(2.1)
h
iT
B
ωM
= p q r
(2.2)
y su velocidad angular:
Las velocidades angulares del misil en ejes cuerpo, cabeceo q, balanceo p y guiñada
r, siguen la regla de la mano derecha, ver Figura 2.1. Los ejes viento se definen de
modo que OX W está alineado con la velocidad del misil:
h
iT
W
VM
= VM 0 0
(2.3)
√
con VM = u2 + v 2 + w2 .
Los ángulos de ataque y de guiñada se definen como:
α = t−1
23
w
u
(2.4)
2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS
β=s
−1
v
VM
(2.5)
El ángulo de guiñada es positivo cuando la velocidad aerodinámica esta en el lado
derecho del plano de simetrı́a. Nótese que con esta definición de guiñada no se mantiene
la simetrı́a de los ángulos de incidencia con respecto a los dos planos de control del
misil, pero se acepta ya que se restringe el análisis a valores moderados de β.
El ángulo de ataque total y el ángulo de balanceo aerodinámico se definen como:
αT = c
−1
−1
φa = t
u
VM
v
w
= c−1 (cαcβ)
−1
=t
tβ
sα
(2.6)
(2.7)
donde los coeficientes aerodinámicos son funciones periódicas de φa .
Con respecto al criterio de signos para los ángulos del control, mirando desde la
trasera del misil, un ángulo positivo para las superficies verticales mueve el borde de
ataque a la derecha, y para las superficies horizontales mueve el borde de ataque hacia
arriba. Nótese que para aeronaves se suele adoptar un criterio distinto (Klein and
Morelli, 2010). Un balanceo positivo es en el sentido de las agujas del reloj visto desde
la trasera del misil.
Debido a que en misiles el centro de gravedad se desplaza con la combustión del
motor, se definen los coeficientes de momento aerodinámico alrededor de un punto fijo,
conocido como centro de referencia de momentos, o moment reference center (mrc):



L
Cl




 M  = q∞ Sref d  Cm 
Cn
N

(2.8)
Las fuerzas y momentos aerodinámicos en el centro de gravedad del misil se calculan
a través de:




FA
CA




(2.9)
 FS  = q∞ Sref  CS 

FN

CN


Cl
Lcm




 Mcm  = q∞ Sref d  Cm + s̄(t) · CN 
Ncm
Cn − s̄(t) · CS
(2.10)
s̄(t) = d¯cm (t) − d¯mrc
(2.11)
con:
donde d¯ es una distancia adimensional medida en calibres d. Nótese que en la ecuación
24
2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS
2.10 cuando s̄(t) 6= 0 existe acoplamiento entre las fuerzas y momentos aerodinámicos..
Cuadro 2.1: Variables de movimiento
Balanceo X B
p
u
FA
Lcm
IxB
δp
φ
T
Ejes Cuerpo
Velocidad angular
Velocidad
Fuerzas aerodinámicas
Momentos aerodinámicos
Momentos de Inercia
Deflexiones del Control
Ángulos de Euler
Empuje del Misil
Cabeceo Y B
q
v
FS
Mcm
IyB
δq
θ
Guiñada Z B
r
w
FN
Ncm
IzB
δr
ψ
Se verifica que
β > 0 ⇒ FS > 0
(2.12a)
α > 0 ⇒ FN > 0
(2.12b)
ángulo de control en cabeceo:
δqc =
1
(δ1c + δ3c )
2
(2.13)
δqt =
1
(δ1t + δ3t )
2
(2.14)
δqc > 0 ⇒ (FN > 0, M > 0)
(2.15a)
δqt > 0 ⇒ (FN > 0, M < 0)
(2.15b)
ángulo de control en guiñada:
δrc =
1
(δ2c + δ4c )
2
(2.16)
δrt =
1
(δ2t + δ4t )
2
(2.17)
δrc > 0 ⇒ (FS < 0, N > 0)
(2.18a)
δrt > 0 ⇒ (FS < 0, N < 0)
(2.18b)
25
2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA
ángulo de control en balanceo:
δp =
















2.1.2.
δ1c
δ2c
δ3c
δ4c
δ1t
δ2t
δ3t
δ4t
1
(δ3t + δ4t − δ1t − δ2t )
4
(2.19)
δp > 0 ⇒ L > 0
(2.20)

1
 
 0
 
 1
 
 
 0
=
 0
 
 
 0
 
 0
 
0


0 0 0 0


1 0 0 0


0 0 0 0 
 

1 0 0 0
·

0 −1 1 0
 
 
0 −1 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1
δqc
δrc
δp
δqt
δrt








(2.21)
Acoplamiento Aerodinámico Canard-Cola
La fuerza normal de la configuración completa se define como:
CN = CNB + CNBc + CNcB + CNBt + CNtB
(2.22)
+ CNβ + CNβ + ∆CNt−vc + ∆CNt−vB + ∆CNc−vB
La complejidad adicional en nuestro misil viene dada por la interferencia que resulta
cuando los vórtices desprendidos por el canard cambian las caracterı́sticas de control
de la cola. Este efecto en la ecuación 2.22 está incluido en el término ∆CNt−vc .
Las investigaciones de los autores (Spahr and Dickey, 1953; Wood et al., 2003) describen las caracterı́sticas esperadas en la estela del canard. Para el misil con control
doble con ángulo nulo de balanceo y sin guiñada, las superficies delanteras superior
e inferior no producen ningún torbellino porque no tienen ángulo de incidencia con
respecto al flujo incidente. Las superficies delanteras horizontales desprenden un torbellino al aumentar el ángulo de incidencia. Experimentos numéricos llevados a cabo
en esta tesis, demuestran que para las aletas de pequeño alargamiento, éste torbellino
está completamente desarrollado antes de llegar a la cola (ver figura 2.2).
Esta situación se puede aproximar por un modelo teórico representado en la figura
2.3.
Con la aplicación de la teorı́a de torbellinos bidimensional y la teorı́a de cuerpos
esbeltos (Rogers, 1954; Pitts et al., 1957), se obtiene que:
26
2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA
Figura 2.2: Contornos de presión total. Para el misil a 2,5 Mach y ángulos de ataque
de α = 5 deg (superior) y α = 30 deg (inferior). El canard del misil está deflectado
δcq = 20 grados.
Γc =
2VM ccN Sref
πbe
(2.23)
Se ha definido:
cN = cNi (i) · i
n
X
=
c2k+1 i2k+1
(2.24)
k=0
como la sustentación del control aislado, que es una función de su incidencia local i.
27
2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA
Tra
y
or
ect
ia V
ic
ort
e
Γc
−Γc
hφ=0
δrt
α
δqc
Xb
d
be
2
VM
δqt
fc
Zb
Yb
Zb
Figura 2.3: Modelo de interferencia entre controles
La pendiente de esta curva es cNi (i) =
Pn
2k
k=0 c2k+1 i .
2,4
2,2
Ajuste polinomico, ec.( 2.24)
Missile Datcom
2
1,8
1,6
cN
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
Angulo de incidencia, i, deg
20
22
24
Figura 2.4: Sustentación del control aislado, 2.5 Mach. Calculado con el programa
Missile DATCOM de la US Air Force (Auman et al., 2011).
Definiendo el centro de vorticidad como (Moore, 2000) fc :
d π be
+
2 42
La pérdida de sustentación en la cola puede expresarse como:
fc =
∆Nt−vc = q∞ Sref ∆CNt−vc
28
(2.25)
(2.26)
2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA
donde:
∆CNt−vc = Kt−vc
Γc
t
πiq VM be
ctN
(2.27)
y Kt−vc < 0 está representado en la figura 2.5 para distintos ángulos de canard y de
ataque.
De aquı́:
∆CNt−vc (α, δqc , δqt )
Kt−vc
=
2π
2
d
ccNi ctNi icq
be
(2.28)
donde ccNi y ctNi están calculadas a icq y itq respectivamente.
0
δqc
δqc
δqc
δqc
δqc
−0,2
−0,4
= −5
=0
=5
= 10
= 20
Kt−vc
−0,6
−0,8
−1
−1,2
−1,4
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
Ángulo de ataque, deg
Figura 2.5: Coeficiente de interferencia Kt−vc .
De la ecuación 2.28 se desprende que ∆CNt−vc es una función no lineal que depende
del ángulo de ataque α del ángulo del canard δqc , y tiene una dependencia de segundo
orden del ángulo de control de cola δqt a través del término ctNi , véase ecuación 2.24.
Ası́ este término en su desarrollo contiene términos del tipo δqc δqt .
La figura 2.6 representa la ecuación 2.28, donde se hacen las siguientes observaciones. El efecto significativo se da en la zona de bajos ángulos de ataque y se disipa
rápidamente a medida que los vórtice del canard se alejan de la cola a mayores ángu29
2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA
los de ataque. El efecto del ángulo de control en la cola es de importancia secundaria
comparado con el ángulo de control del canard y el ángulo de ataque, aunque aumenta
con el primero.
De aquı́ se obtiene que:
∆CNt t−vc (α, 0, δqt )
Kt
= t−vc
2π
∆CNc t−vc (α, δqc , 0)
2.1.3.
2
d
cNi (KcB α) ctNi KcB α
be
(2.29)
2
d
ccNi cNi (KtB α) icq
be
(2.30)
Kt−vc
=
2π
Incidencia de los Controles y Saturación Supersónica
Puede definirse un ángulo de estela medio en la sección de cola como:
εq (α, δqc ) =
∂εq
∂εq
· α + c · δqc
∂α
∂δq
(2.31)
siendo
∆CNt−vc (α, 0, 0)
∂εq
=
∂α
α · cNi (KcB α)
(2.32)
∆CNt−vc (0, δqc , 0)
∂εq
=
∂δqc
δqc cNi kcB δqc
(2.33)
Los ángulos de incidencia se definen como:
icq = KcB · α + kcB · δqc
itq
∂εq
∂εq c
t
= KcB · α · 1 +
+ ktB · δq + c · δq + δp
∂α
∂δq
icr = KcB · β − kcB · δrc
itr
∂εr
∂εr c
t
= KcB · β · 1 +
− ktB · δr + c · δr − δp
∂β
∂δr
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
donde de la simetrı́a del misil se desprende que:
∂εr
∂εq
=
∂β
∂α
(2.38)
∂εr
∂εq
= c
c
∂δr
∂δq
(2.39)
30
2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA
0,1
5 · 10−2
∆CNt−vc
δqc = 0
0
−5 · 10−2
−0,1
−0,15
δqc = 10
∆CNt−vc
−0,2
−0,25
−0,3
−0,35
δqc = 20
−0,4
δqt = −10o
δqt = 0o
δqt = 10o
−0,45
−0,5
−0,55
−0,6
−4
−2
0
2
4
6
8
Angulo de ataque, deg
10
12
14
Figura 2.6: Pérdida de fuerza normal en la cola debido a la interferencia aerodinámica
entre canard y cola.El efecto es más significativo a bajos ángulos de ataque cuando los
vórtices impactan directamente en la cola.
31
2.2. MODELO AERODINÁMICO
Como consecuencia, la incidencia en cada uno de los ocho controles del misil será
distinta. La saturación supersónica ocurre cuando el coeficiente de fuerza normal del
control cN no sigue aumentando con incrementos en el ángulo de incidencia local. El
dominio controlable para nuestro misil se define como el conjunto de ángulos de incidencia 2.34, 2.35, 2.36 y 2.37, que están por debajo del ángulo de saturación supersónica
iss . El valor de iss se obtiene de una función experimental del tipo:
cN ss = f (AR, M∞ )
(2.40)
cN ss = cNi (iss ) · iss
(2.41)
2,7
2,65
AR = 2,0
AR = 1,8
AR = 1,6
AR = 1,4
AR = 1,2
2,6
cN ss
2,55
2,5
2,45
2,4
2,35
2,3
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
M∞
Figura 2.7: Saturación supersónica
Cuando el control se satura
∂Cm
= 0 parai > iss
∂δ
2.2.
Modelo Aerodinámico
Para un cierto número de Mach M∞ se ha desarrollado un modelo matemático
original para la aerodinámica de un misil genérico de control doble, incorporando este
modelo el efecto visto de acoplamiento cruzado entre controles. Este modelo se define
32
2.2. MODELO AERODINÁMICO
en términos de coeficientes invariantes que pueden ser ajustados mediante métodos de
identificación de parámetros.
2.2.1.
Fuerza Normal
Static Control Fixed Terms
CN = CNα α + CNα|α| α|α| + CNα3 α3 + CNβ2 α β 2 α
Canard Control Effects
+ CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2 δqc
q
Tail Control Effects
+ CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β
q
q
q
2
δqt
(2.42)
Dual Control Interference Effects
+ CNδc δt + CNαδc δt α δqc δqt
q q
q q
Dynamic Terms
d
+(CNq q + CNα̇ α̇)
2VM
El coeficiente de fuerza normal se presenta en la ecuación 2.42 y contiene términos
estáticos y dinámicos. Los términos estáticos se deben al ángulo de ataque, ángulo
de guiñada, deflexiones de los controles y acoplamiento cruzado entre los mismos.La
respuesta del misil DAC al ángulo de ataque cuando no hay control se aproxima por
un modelo de orden tres, CNα α + CNα|α| α|α| + CNα3 α3 . El efecto de β por el término
CNβ2 α β 2 α.
La respuesta en los controles individuales, canard o cola, es lineal más un término
que considera la variación de la efectividad del control con el ángulo de ataque. La
efectividad del control en cola o canard es distinta con el ángulo de ataque.
33
2.2. MODELO AERODINÁMICO
14
Aero Model (all lines)
EXP δqc = 10 δqt = 10
EXP δqc = 0 δqt = 0
CFD δqc = 10 δqt = −10
EXP δqc = 20 δqt = −20
CFD δqc = −10 δqt = −10
13
12
11
10
9
8
7
CN
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−5
0
5
10
15
Angle of attack, deg
20
25
30
Figura 2.8: Coeficiente de fuerza normal, dos controles. EXP indica datos experimentales de tunel de viento, CFD datos calculados numéricamente, mientra que las lı́neas
contı́nuas representan el modelo aerodinámico analı́tico.
34
2.2. MODELO AERODINÁMICO
2.2.2.
Fuerza en Guiñada
Sin control
CS = CSβ β + CSβ|β| β|β| + CSβ3 β 3 + CSα2 β α2 β
Control Canard
+ CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 δrc
r
Control Cola
+ CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α
r
r
2
r
δrt
(2.43)
Control Doble
+ CSδc δt + CSβδc δt β δrc δrt
r r
r r
Amortiguamiento
d
+(CSr r + CSβ̇ β̇)
2VM
2.2.3.
Momento de Cabeceo
Sin Control
Cm = Cmα α + Cmα|α| α|α| + Cmα3 α3 + Cmβ2 α β 2 α
Control Canard
+ C
mδqc
(α) + Cmβ2 δc β
2
q
δqc
Control Cola
+ Cmδqt (α) + Cmβ2 δt β 2 δqt
q
Control Doble
+ Cmδc δt + Cmαδc δt α δqc δqt
q q
q q
Amortiguamiento
d
+(Cmq q + Cmα̇ α̇)
2VM
Donde las efectividades de los controles vienen definidas por:
35
(2.44)
2.2. MODELO AERODINÁMICO
Cmδqc (α) =




n1

P

k

 Cm
k=1

−
c
αδq
e
2
α−αkc
δq
∆αkc
δq

α≥0
2

(2.45)
2

α−αkc
|α|−αkc

δq
δq



−
−

n
k
1

P
∆α c
∆αkc

δq
δq
k
k

− Cmαδc e
 2Cmαδqc e
q
α<0
k=1
Cmδqt (α) =
2.2.4.


0

C m
+
t
αδq
n2
P
k
Cm
(α)k
αδ t
k=1
n2
P

0

2Cmαδqt −
k=1
α≥0
q
(2.46)
k
Cm
(|α|)k
αδ t
α<0
q
Momento de Guiñada
Sin control
Cn = Cnβ β + Cnβ|β| β|β| + Cnβ3 β 3 + Cnα2 β α2 β
Control Canard
+ Cnδrc (β) + Cnα2 δc α2 δrc
r
Control Cola
(2.47)
+ Cnδrt (β) + Cnα2 δt α2 δrt
r
Control Doble
+ Cnδc δt + Cnβδc δt β δrc δrt
r r
r r
Amortiguamiento
d
+(Cnr r + Cnβ̇ β̇)
2VM
Cnδrc (β) =




n1
P


 2Cnk


n1

P


 Ck
k=1
|β|−β kc
δr
∆β kc
δr
!2
e
−
nβδc e
Cnδrt (β) =
!2
−
c
βδr
k=1
β−β kc
δr
∆β kc
δr

−
−
Cnkβδc e
r
β−β kc
δr
∆αkc
δq
2

β≥0
(2.48)
β<0
r

n2
P


Cnkβδt (β)k
2Cn0βδt −
β≥0

0

Cnβδt +
β<0
r
r
r
k=1
n2
P
k=1
36
Cnkβδt (|β|)k
r
(2.49)
2.2. MODELO AERODINÁMICO
11
10
9
8
7
6
5
4
Cm
3
2
1
0
−1
−2
Aero Model (all lines)
EXP δqc = 0 δqt = −20
CFD δqc = 20 δqt = 0
EXP δqc = 20 δqt = 0
CFD δqc = 0 δqt = −10
CFD δqc = 10 δqt = 0
EXP δqc = 0 δqt = 0
Missile Datcom δqc = 0 δqt = 0
−3
−4
−5
−6
−7
−5
0
5
10
15
20
Angle of attack, α (deg)
Figura 2.9: Momento de cabeceo, un control.
37
25
30
2.2. MODELO AERODINÁMICO
20
18
16
14
12
10
8
Cm
6
4
2
0
−2
−4
Aero Model (all lines)
EXP δqc = 20 δqt = −20
CFD δqc = 10 δqt = −10
CFD δqc = 10 δqt = −10
EXP δqc = 0 δqt = 0
EXP δqc = 10 δqt = 10
−6
−8
−10
−5
0
5
10
15
Angle of attack, deg
20
Figura 2.10: Momento de cabeceo, dos controles
38
25
30
2.2. MODELO AERODINÁMICO
2.2.5.
Momento de Balanceo
Balanceo Inducido
Cl = Cli (α, β) + Clαδrc (α)δrc + Clβδqc (β)δqc
Control de Balanceo
(2.50)
+Clδp (α, β)δp
Amortiguamiento
d
+Clp g6 (α, β)p
2VM
Cada uno de los distintos términos se detalla en los siguientes párrafos.
Momento de Balanceo Inducido
Se distinguen dos casos, balanceo inducido debido a una combinación de α y β, Cli ,
y debido a deflexiones del control. En el primer caso:
Cli (α, β) = s (4φa ) Cli01 β 2 + Cli21 α2 + Cli41 α4 + Cli61 α6
+s (8φa ) Cli02 β 2 + Cli22 α2 + Cli42 α4 + Cli62 α6
(2.51)
Debido a la simetrı́a, este momento inducido es nulo cuando:
β = t−1 (s(α))
(2.52)
El balanceo inducido asociado con una deflexión del control se define con una serie
truncada de Fourier (ver Figura 2.12):
Clαδrc (α) =
n4
X
k
k
Clkαδc s(ωαδ
c α + φαδ c )
r
r
(2.53a)
k
k
Clkβδc s(ωβδ
c β + φβδ c )
q
q
(2.53b)
r
k=1
Clβδqc (β) =
n5
X
q
k=1
39
2.2. MODELO AERODINÁMICO
0,14
0,12
0,1
8 · 10−2
6 · 10−2
4 · 10−2
Cli (α, β)
2 · 10−2
0
−2 · 10−2
−4 · 10−2
−6 · 10−2
−8 · 10−2
aero model β = 5 deg
CFD, β = 5 deg
aero model β = 10 deg
CFD, β = 10 deg
aero model β = 15 deg
CFD, β = 15 deg
−0,1
−0,12
−0,14
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Angle of attack, deg
Figura 2.11: Balanceo inducido
Momento de Control en Balanceo
Clδp (αT ) =
n6
X
αT −αk
Tδ
Clkα
k=1
40
T δp
e
∆αk
T δp
!2
p
(2.54)
2.2. MODELO AERODINÁMICO
0
−5 · 10−2
−0,1
−0,15
Clαδrc (α)
−0,2
−0,25
−0,3
Aero Model
δrc = 5
δrc = 10
−0,35
−0,4
−0,45
−0,5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Ángulo de ataque, α (deg)
Figura 2.12: Balanceo inducido debido a α y δrc .
0,134
0,132
Aero Model
CFD data
0,13
Clδp (αT )
0,128
0,126
0,124
0,122
0,12
0,118
0
5
10
15
20
25
30
Ángulo de ataque total, αT (deg)
Figura 2.13: Momento de Control en Balanceo.
41
35
40
2.2. MODELO AERODINÁMICO
2.2.6.
Fuerza Axial
Figura 2.14: Contornos a Mach constante. α = 15, δqc = 10 , δqt = −10. La figura ilustra
la complejidad de la interacción axial.
El modelo para la fuerza axial, ecuación 2.55, contiene numerosos factores de interferencia, debido a la fı́sica tan compleja que aparece con el doble mando en esta
dirección. Cuando no actúa ningún control la respuesta en fuerza axial se representa
por un modelo de tercer orden en ángulo de ataque. En este modelo la respuesta axial
con la guiñada es lineal debido a las restricciones en guiñada que se mencionaron al
discutir las hipótesis del modelo. Nótese que la fuerza axial es lineal con el ángulo de
ataque en el caso del canard, pero cuadrática en ángulo de ataque con la deflexión de
la cola, para considerar el hecho de que la cola opera dentro de la estela del fuselaje y
el canard. Cuando ambos controles están deflectados, la ecuación introduce términos
de mayor orden, para considerar la mayor complejidad de la interacción en dirección
axial.
42
2.2. MODELO AERODINÁMICO
Sin control
CA = CA0 + CAα |α| + CAβ |β| + CAα2 α2 + CAα3 |α|3
Resistencia de base
+∆CAb
Control canard cabeceo
+ CAδqc sgn δqc + CAαδqc α + CAβδqc β δqc
Control canard guiñada
+ CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β δrc
Control balanceo
(2.55)
+CAδp |δp |
Control cola cabeceo
t
2
+ CAδt sgn δq + CAαδt α + CAα2 δt α + CAβδt β δqt
q
q
q
q
Control cola guiñada
+ CAδt sgn δrt + CAαδt α + CAα2 δt α2 + CAβδt β δrt
r
r
r
r
Control doble en cabeceo
+ CAδc δt + CAαδc δt α + CAδc 2 δt δqc + CA
q q
q q
q
q
t
2 δq
δc δt
q q
δqc δqt
Control doble en guiñada
+ CAδc δt + CAβδc δt β + CAδc 2 δt δrc + CA
r r
r r
con:
sgn δ =
r
r

 |δ|
δ
δ 6= 0
0
δ=0
t
δ
δrc δrt
t2 r
cδ
δr
r
(2.56)
La resistencia de base es:

−C Ae
Ab Sref
∆CAb (t) =
0
donde Ae es el área de salida de la tobera.
43
t ≤ tb
t > tb
(2.57)
2.2. MODELO AERODINÁMICO
1,8
Aero model
EXP δqc = 20
CFD δqc = 10
EXP δqc = 0
CFD δqc = 0
EXP δqc = 0
1,7
1,6
1,5
δqt = 0
δqt = 0
δqt = 0
δqt = −10
δqt = −20
1,4
1,3
1,2
CA
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Angle of attack, α deg
Figura 2.15: Fuerza Axial, un control.
44
2.2. MODELO AERODINÁMICO
Aero Model
EXP δqc = 20
EXP δqc = 10
CFD δqc = 10
EXP δqc = 0
1,6
1,5
δqt = −20
δqt = 10
δqt = −10
δqt = 0
1,4
1,3
1,2
CA
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Angle of attack, deg
Figura 2.16: Fuerza Axial, dos controles.
45
2.3. MANIOBRABILIDAD ESTÁTICA
2.2.7.
Variaciones con el número de Mach
Se asume que en la fase terminal de la maniobra las variaciones 4M∞ alrededor de
M∞ , siendo M∞ > 2,0, son pequeñas, y por tanto se tiene que:
∂CA 4M∞
CA (M∞ + 4M∞ ) = CA (M∞ ) +
∂M∞ M∞ M∞
∂CN 4M∞
CN (M∞ + 4M∞ ) = CN (M∞ ) +
∂M∞ M∞ M∞
∂CS 4M∞
CS (M∞ + 4M∞ ) = CS (M∞ ) +
∂M∞ M∞ M∞
∂Cm 4M∞
Cm (M∞ + 4M∞ ) = Cm (M∞ ) +
∂M∞ M∞ M∞
∂Cn 4M∞
Cn (M∞ + 4M∞ ) = Cn (M∞ ) +
∂M∞ M∞ M∞
2.3.
(2.58a)
(2.58b)
(2.58c)
(2.58d)
(2.58e)
Maniobrabilidad Estática
2.3.1.
Diagrama de maniobra
Esta sección evalúa la maniobra lateral que puede dar el misil con control doble en
condiciones de equilibrio, empleando las ecuaciones 2.42 y 2.44. La maniobra se define
como:
ntrim =
q∞ Sref
CNtrim
mg
(2.59)
donde CNtrim se define en condiciones de equilibrio:
Cm α, δqc , δqt
c
αtrim ,δq
trim
t
,δq
trim
= 0 ===========⇒ CNtrim = CN
αtrim , δqc trim , δqt trim
(2.60)
Se buscan soluciones a la ecuación Cm α, δqc , δqt = 0 que sean compatibles con las
limitaciones aerodinámicas del misil, definidas en la tabla 2.2.
Los diagramas de maniobra del misil en equilibrio y compatibles con los lı́mites ası́
definidos para αtrim > 0 y φa = 0, se representan el las figuras 2.19 y 2.20, para dos
altitudes distintas. Se obtienen los valores de la maniobra estática en condiciones de
equilibrio ntrim vs. δqc trim con αtrim y δqt trim como parámetros. Los resultados se dan
para Mach constante y cierta posición del centro de gravedad.
46
2.3. MANIOBRABILIDAD ESTÁTICA
Cuadro 2.2: Limites para la envolvente de vuelo del misil
Parámetro
Sı́mbolo
Valor
Unidades
αmax
iss
δmech
nstruc
30
25,2
±30
40
deg
deg
deg
g
Máximo ángulo de ataque
Saturación supersónica
Lı́mite mecánico del control
Lı́mite estructural
Los resultados de las figuras 2.19 y 2.20 permiten ilustrar la comparación entre el
control canard y el control en cola para un mismo misil, como se vió en la sección 1.1.1.
Debido a que la cola produce un incremento de momento de cabeceo mucho mayor,
que además es constante en un rango amplio de ángulo de ataque, da lugar a ángulos
de ataque de equilibrio mayores. Sin embargo el control en cola produce un incremento
negativo de fuerza normal, con lo que el control en cola necesita un ángulo de ataque
mayor para producir la misma fuerza normal CN que el misil canard para el mismo
ángulo de control. También se aprecia como el control delantero se satura mucho antes,
con lo que el misil con control en cola es capaz de generar una maniobra máxima mayor.
Cuando se accionan los dos controles, delantero y trasero de modo simultáneo, se
observan tres regiones diferenciadas:
1. Desviación positiva , δqc trim > 0 y δqt trim > 0. La maniobra máxima es menor
que la del misil canard.
2. Control opuesto,δqc trim > 0 y δqt trim < 0, localizado entre el misil canard δqt = 0
y el cola δqc = 0.
3. Desviación negativa, δqc trim < 0 y δqt trim < 0. Corresponde a la región a la
izquierda del misil cola, y limitado por el ángulo mecánico máximo del control.
Potencialmente obtiene la maniobra más elevada.
Sin embargo es interesante observar las caracterı́sticas de respuesta dinámica para
cada uno de estos modos. La figura 2.17 representa la respuesta no lineal en lazo abierto
para la misma maniobra final nB
trim = 10 g. Obsérvese cómo la respuesta en lazo abierto
está muy poco amortiguada y tendrá que ser corregidas por el auto piloto. En el caso
de la desviación negativa se observa como la respuesta dinámica comienza con valores
de maniobra negativos muy importantes y que su tiempo de estabilización es elevado,
lo que previene su utilización práctica.
2.3.2.
Eficiencia Aerodinámica
La eficiencia aerodinámica del misil es:
47
2.4. CONCLUSIONES
Desviación-positiva δqc trim > 0 δqt trim > 0
Modo Opuesto δqc trim > 0 δqt trim < 0
Desviación - Negativa δqc trim < 0 δqt trim < 0
20
Aceleración n (g)
15
10
5
0
−5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
tiempo, segundos
Figura 2.17: Respuesta dinámica en lazo abierto, 12,000 m
Ef f =
CN cα − CA sα
CN sα + CA cα
(2.61)
Este factor es indicativo de las actuaciones del misil en crucero, ası́ como de el uso
eficiente de la propulsión para perseguir al blanco. En general el misil debe mantener
una ventaja en velocidad sobre el blanco si se va a conseguir la interceptación. Los
resultados para el misil de control doble se representan en la figura 2.18. El empuje
requerido para mantener el vuelo sostenido es aproximadamente igual al peso del misil
dividido entre su eficiencia aerodinámica (Chin, 1961; Fleeman, 2012). Se requiere
menos empuje para un misil DAC, lo que se traduce en menos peso estructural y un
factor de maniobra mayor. O de modo alternativo, para el mismo empuje el control
doble tendrá más capacidad de aceleración o más alcance para interceptar al blanco.
Además una vez que el motor se apaga la eficiencia aerodinámica superior se traduce
en un mayor alcance efectivo.
2.4.
Conclusiones
En este capı́tulo se ha caracterizado de modo teórico la interferencia entre los controles delantero y trasero, y se han definido los ángulos de incidencia para cada uno de
48
2.4. CONCLUSIONES
δqt trim =-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
3
Relación Sustentación/Resistencia, L/D
DAC
2,8
Cola
2,6
Canard
2,4
2,2
2
1,8
−30 −25 −20 −15 −10
−5
0
5
10
15
20
25
Angulo Canard, trimado, δqc trim , (deg)
Figura 2.18: Eficiencia aerodinámica.
los controles.
Igualmente se ha desarrollado un modelo analı́tico continuo que captura todos los
efectos no lineales e incluye términos estáticos y dinámicos. Este modelo ajusta adecuadamente todos los datos experimentales disponibles ası́ como los datos aerodinámicos
numéricos calculados.Como aplicación directa del modelo se ha obtenido la maniobrabilidad estática del misil y su eficiencia en crucero.
49
ntrim (g)
50
α tri
20
=
m
-20
α tri
α tr
15
=
m
i
10
=
m
-15
4
6
Figura 2.19: Diagrama de maniobra a 6,000m .
2
-10
Misil Cola
0
−30−28−26−24−22−20−18−16−14−12−10 −8 −6 −4 −2 0
δ cq
5
10
15
20
25
30
35
40
δ tq =-25
αt
10
5
15
8 10 12 14 16 18 20 22 24
=5
rim
-5
M
an
a
rd
C
isi
l
45
2.4. CONCLUSIONES
ntrim (g)
51
αt
α trim
=20
rim
α trim
=25
α trim
=15
=10
-25
δ tq =-30
2
4
-15
6
Misil Cola
δqc
=5
10
is i
M
5
lC
15
d
ar
n
a
−δqt
B
nB
trim = −nztrim
8 10 12 14 16 18 20 22 24
α trim
-5
αtrim
VM
-10
Figura 2.20: Diagrama de maniobra a 12,000m
0
−30−28−26−24−22−20−18−16−14−12−10 −8 −6 −4 −2 0
δ cq
5
10
15
20
25
30
35
2.4. CONCLUSIONES
Capı́tulo 3
Guiado y Control en Doble-Lazo
Este capı́tulo trata sobre el guiado y control en dos bucles para el misil de doble mando aerodinámico y el método propuesto de resolución. Asumiendo que existe
separación espectral entre el auto piloto y el guiado, ambos bucles son diseñados independientemente en una arquitectura de G&C desacoplada. El bucle de guiado externo
puede ser tratado como solución de un problema de control óptimo lineal en horizonte
temporal finito. El modelo completo de auto piloto se plantea como una solución no lineal de un problema de control en tiempo infinito, que sigue la demanda de aceleración
del guiado. El modelo aerodinámico desarrollado en el capı́tulo anterior se empleará en
la formulación del problema en tres dimensiones.
3.1.
Guiado Óptimo
En el esquema de doble lazo se asume que el misil tiene una respuesta de primer
orden en la forma:
τg ṅL + nL = nL
d
(3.1)
donde nL
d es la maniobra óptima que tiene que calcularse y τg es el retardo de guiado.
La cinemática en su formulación en el espacio de los estados y para una maniobra
constante del blanco resulta ser:
ẋg =
Ag xg + Bg ug
(3.2)
h
iT
T
L T
LT
LT
xg = rTLM
VT M
nT
n
(3.3)
ug = nL
d
(3.4)
52
3.1. GUIADO ÓPTIMO
Target
Dynamics
xT , ẋT
+
xM , ẋM
−
time-to-go
Estimate
rTLM , Vc
Guidance
ẋg = f (xg , nd )
n
Missile
Translational
Dynamic
tgo
nL
T
+ nd
n
−
VM
p, q, r, α, β
Autopilot
ẋa = f (xa , xsd )
ẋsd
Missile
Rotational
Dynamic
xs
F inServos
ẋs = f (xsd )
Unmodeled dynamics τu
Figura 3.1: Esquema del guiado y control en dos bucles. Se señalan los bloques que se
tratan en este Capı́tulo.

[0]

[0]
Ag = 
[0]

[0]

[0]
[0]

I3
−I3 

[0]
[0] 

1
[0] − τg I3
 
[0]
 
1 [0]

Bg = 

τg 
[0]
I3
I3
[0]
[0]
[0]
tgo = −
krTLM k
kṙTLM k
El ı́ndice de coste a minimizar, con estado final del misil libre, es::
53
(3.5)
(3.6)
(3.7)
3.1. GUIADO ÓPTIMO
P IC
L
VM
nB
XB
M
VTL
ts
L ≡ M0
rTLM
ωLOS
nL
T
YB
ZB
YL
T
T0
ZL
XL
Figura 3.2: Encuentro aire-aire. Se señalan las posiciones del Misil M , del blanco, T , y
el punto previsto de Impacto (PIP). Los puntos M0 y T0 señalan las posiciones iniciales
de misil y blanco respectivamente.
mı́nJg =
nL
d
1 L T
(tf )Sg rTLM (tf ) +
r
2 TM
tf
Z
T
L
n
R
nL
g d dt
d
0
(3.8)
s.t. ẋg = Ag xg + Bg ug
donde tf se calcula por el valor de la ecuación 3.7 en t = 0, y Sg = cI3 , R = bI3 con
b yd c constantes.
El problema definido por el sistema de ecuaciones 3.2 y 3.8 tiene solución analı́tica,
(Ben-Asher and Yaesh, 1998; Zarchan, 2012; Lin, 1991; Sanz-Aranguez, 2011) que puede
representarse por:
T
nL
d = kg ⊗ I 3 · xg
(3.9)
donde ⊗ representa el producto de Kronecker (ver Apéndice A) y kg es:
kg =
Λg =
Λg h
1 tgo
t2go
t2go
2
−τg2
e
−ξg
iT
+ ξg − 1
6ξg2 e−ξg + ξg − 1
2ξg3
+ 3 + 6ξg −
6ξg2
− 12ξg
54
e−ξg
−
3e−2ξg
+
6b
cτg3
(3.10)
ξg =
tgo
τg
(3.11)
3.2. DINÁMICA DE CORTO PERIODO
3
2
τg = 2, c = 1, b = 1
τg = 0,1, c = 1, b = 1
τg = 0,5, c = 1, b = 1
Λg
1
0
−1
−2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tgo
Figura 3.3: Constante de navegación óptima
Esta ley de guiado genera un vector de demanda de aceleración en ejes inerciales nL
d,
sin considerar como el misil va a efectuar la maniobra (Palumbo et al., 2010). El misil
no tiene control directo sobre su aceleración longitudinal y va a intentar maniobrar
produciendo aceleración normal al eje de simetrı́a del misil en el plano M Y B Z B , nB
d.
La relación entre ambos vectores viene dada por:
B
L
nB
d = Cg SBL nd
CgB
3.2.
(3.12)


0 0 0


= 0 1 0
0 0 1
Dinámica de Corto Periodo
El control de vuelo del misil durante la fase terminal es un auto piloto que controla
su aceleración. En el desarrollo del modelo de auto piloto, es costumbre considerar sólo
la dinámica de corto perı́odo del misil asumiendo que su velocidad es constante.
Las ecuaciones de traslación del misil se obtienen al transformar la velocidad de
ejes viento a ejes cuerpo:
55
3.2. DINÁMICA DE CORTO PERIODO
u =VM cαcβ
(3.13a)
v =VM sβ
(3.13b)
w =VM sαcβ
(3.13c)
Diferenciando la ecuación 3.13 e invirtiendo la matriz resultante se obtiene:




−cαc2 β −sβcβ −sαc2 β
u̇
V̇M



 −1 
0
−cα   v̇ 
 sα
 VM α̇  =
cβ
sβcβcα −c2 β sαsβcβ
ẇ
VM β̇

(3.14)
Sustituyendo las ecuaciones F.14:
V̇M = −cαcβ
FA − T
FS
− 2g (q1 q3 − q0 q2 ) − sβ
− 2g (q2 q3 + q0 q1 )
m(t)
m(t)
FN
2
2
2
2
− sαcβ
− g q0 − q 1 − q2 + q3
(3.15)
m(t)
FN
FA − T
1
2
2
2
2
− 2g (q1 q3 − q0 q2 ) − cα
− g q0 − q1 − q 2 + q3
sα
α̇ =
VM cβ
m(t)
m(t)
+ q − tβ (pcα + rsα) (3.16)
1
FA − T
FS
cαsβ
− 2g (q1 q3 − q0 q2 ) − cβ
− 2g (q2 q3 + q0 q1 )
β̇ =
VM
m(t)
m(t)
1
FN
2
2
2
2
+
sαcβ
− g q0 − q1 − q2 + q3
+ psα − rcα (3.17)
VM
m(t)
Estas ecuaciones se simplifican con las siguientes hipótesis
Se desprecian la variaciones de V̇M y por tanto la ecuación 3.15 no se considera,
aunque los coeficientes aerodinámicos se actualizarán con la velocidad real de
vuelo en cada punto. En la aproximación integrada del siguiente Capı́tulo no
hará falta considerar esta hipótesis.
Se desprecia las fuerzas de Coriolis debidas al chorro de gases.
Para los estudios preliminares de guiado y control se desprecia los términos gravitatorios.
56
3.3. FORMULACIÓN EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS
Con estas simplificaciones e introduciendo las ecuaciones 2.9:
q∞ Sref
α̇ =
mVM
β̇ =
sα
cα
CA − CN
cβ
cβ
+ q − pcαtβ − rsαtβ −
sα q∞ Sref CT
cβ mVM
q∞ Sref
q∞ Sref CT
(cαsβCA − cβCS + sαsβCN ) + psα − rcα − cαsβ
mVM
mVM
(3.18)
(3.19)
donde CT se define como el coeficiente de empuje (ver ecuación G.1).
La dinámica rotatoria del misil se obtiene de las ecuaciones F.18 y 2.10:
ṗ =
(3.20)
Iyb − Ixb
q∞ Sref d
q̇ =
pr +
(Cm + s̄ · CN )
b
Iy
Iyb
(3.21)
Ixb − Iyb
q∞ Sref d
pq +
(Cn − s̄ · CS )
b
Iy
Iyb
(3.22)
ṙ =
3.3.
q∞ Sref d
Cl
Ixb
Formulación en el Espacio de los Estados
A partir de los resultados de la sección anterior, la formulación en el espacio de los
estados es:
ẋm = Am (xm , Υ) xm + Bm u
h
R iT
xm = xTa xTs ẋTs xTsd
p

u = ẋsd
Aa (Ba + Ma )
[0]

 [0]
[0]

I5

1
Am (xm , Υ) =  [0]
− τu T s
− τ1u I5 + Ts

 [0]
[0]
[0]

T
up
[0]
[0]
57
(3.23)
[0]
[0]
1
T
τu s
[0]
[0]
(3.24)

[0]

[0]


[0]

[0]

[0]
(3.25)
3.3. FORMULACIÓN EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS
Bm
 
[0]
 
[0]
 

=
[0]
 
 I5 
[0]
(3.26)
h
i
uTp = 0 0 1 0 0
(3.27)
h
iT
xa = α β p q r
(3.28)
iT
h
xs = δqc δrc δp δqt δrt
(3.29)
donde las matrices son función de los vectores xa y xs . La matriz de estados aerodinámicos Aa contiene la aerodinámica no lineal del misil cuando no hay acción de
control, mientras que la matriz Ba expresa la variación en efectividad del control aerodinámico con el ángulo de ataque, e incluye el efecto de estela del canard sobre la cola
sin deflectar. Finalmente cuando ambos controles delantero y trasero están de fletados,
las matrices Maq y Mar tienen en cuenta los efectos de interferencia aerodinámica o
acoplamiento cruzado descritos en la sección 2.1.2. Los coeficientes de estas matrices
se encuentran en los Apéndices, secciones G.2, G.3 y G.4.
El modelo de servo considerado es un sistema de segundo orden de la forma:
ẍs = −
xsd
1
1
I5 + Ts ẋs + Ts (xsd − xs )
τu
τu
(3.30)
iT
h
t
t
c
c
= δq d δrd δp d δq d δrd
(3.31)
1
τc

0

Ts = 
0

0
0
0
1
τc
0
0
0
0
0
1
τt
0
0
1
τt

0

0

0


0
0
1
τt
0
0
0
(3.32)
El objetivo para el misil es conseguir las aceleraciones demandadas en ejes cuerpo
y nB
z d , que resultan de la ecuación de guiado 3.12:
nB
yd
nB
d
h
iT
B
B
= ny d nz d
58
(3.33)
3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO
1
q∞ Sref CS
m
1
nB
q∞ Sref CN
z = −
m
nB
y = −
(3.34a)
(3.34b)
que en forma matricial se expresa como:
nB = Ha (xa ) xa + La (xa , xs , Υn ) xs
(3.35)
Los coeficientes de las matrices Ha y La se encuentran en la sección G.5.
3.4.
3.4.1.
Solución Óptima del Autopiloto
Condiciones de Equilibrio
Las condiciones de equilibrio en las que xatrim y xstrim van a generar la aceleración
demandada nB se obtienen de las ecuaciones 3.35 y 3.23:
nB
d = Ha (xatrim ) xatrim + La (xatrim , xstrim ) xstrim
(3.36a)
[0] = Aa (xatrim ) xatrim + [Ba (xatrim , xstrim ) + Ma (xatrim , xstrim )] xstrim (3.36b)
El sistema 3.36 tiene 7 ecuaciones con 10 variables. Para resolverlo de modo unı́voco
se definen las condiciones:
1. Se definen los factores de reparto del esfuerzo de control en equilibrio como:
δqt trim
cˆq = c
δq trim
cˆr =
t
δrtrim
c
δrtrim
(3.37)
2. ptrim = 0.
Los dos parámetros cˆq y cˆr definen el peso relativo para el uso de los controles
delanteros y traseros en estado estacionario. Su signo define la elección del modo de
control para el misil DAC, modo desviación o opuesto en estado estacionario, pero no
previene utilizar cualquiera de estos modos en la transición para alcanzar las condiciones estacionarias. Estos parámetros pueden seleccionarse para minimizar el esfuerzo de
control, definido como
59
3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO
s
∆eδ =
1
tf
Z
tf
δqc (t)2 + δrc (t)2 + δp (t)2 + δqt (t)2 + δrc (t)2 dt
(3.38)
0
para obtener la aceleración máxima esperada. Véase los Apéndices para un ejemplo de
selección de estos parámetros.
Nótese que cˆq , cˆr → 0 corresponde a un misil con control cola y cˆq , cˆr → ∞ a un
canard.
A partir de aquı́ pueden obtenerse las condiciones de equilibrio:
1. Se resuleven con el método de Newton (Kelley, 2003) las ecuaciones:
 

  
β
0
0
 

  
 r −Vr  0  = 0
δrc
nB
0
yd
−1
aa22 aa25 ba22 + ma22 + cˆr (ba25 + ma25 )


, con Vr = aa52 aa55 ba52 + ma52 + cˆr (ba55 + ma55 )
a
a
ha12 ha15
l12
+ cˆr l15
(3.39)

  
 
0
0
α

  
 
 q −Vq  0  = 0
nB
0
δqc
z d
−1
aa11 aa14 ba11 + ma11 + cˆq (ba14 + ma14 )


, con Vq = aa41 aa44 ba41 + ma41 + cˆq (ba44 + ma44 )
a
a
+ cˆq l24
l21
ha21 ha24
(3.40)


2. A partir de aquı́ el control necesario para balanceo nulo es:

αtrim


 βtrim 


= Vp  c

δ
 q trim 
c
δrtrim

δp trim
, with Vp = −
i
h
1
a
a
a
a
a
a
b
+
m
+
m
a
a
b
33
32
31
(ba33 + ma33 ) 31 32 31
(3.41)
Obteniéndose los vectores xatrim and xstrim que generan la aceleración requerida
B
nB
y d y nz d en ejes cuerpo.
3.4.2.
Planteamiento del problema
Como se vio en el Capı́tulo anterior, el modelo aerodinámico en el que se basa este
autopiloto es válido dentro de ciertos lı́mites, ver tabla 3.1 :
60
3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO
Ángulos de incidencia icq , icr , itq , itr dados por las ecuaciones 2.34, 2.35, 2.36 y 2.37,
han de mantenerse por debajo del valor correspondiente a la saturación supersónica.
Al aumentar el ángulo de ataque, el flujo alrededor del fuselaje del misil se torna progresivamente asimétrico, causando el fenómeno no estacionario conocido
como phantom yaw (Balakrishnan et al., 2013), fenómeno que puede provocar
que el misil no sea controlable en balanceo. El ángulo de ataque debe entonces
mantenerse por debajo de un valor máximo αpy .
Lı́mite en ángulo de guiñada, β, para minimizar el balanceo inducido.
Limitaciones estructurales, nmax , en δmec , δ̇, y en los giróscopos e instrumentos,
qmax y rmax .
R
Estabilidad en balanceo requiere p and p próximos a cero.
Todas estas restricciones se combinan en un vector de actuaciones, zm que se empleará
en el ı́ndice de coste a optimizar.
h
R iT
B
zm = icq itq icr itr p q r α β nB
p
n
z
y
(3.42)
Cuadro 3.1: Lı́mites mecánicos y aerodinámicos del misil
Parámetro (sı́mbolo)
Valor (unidades)
Incidencia para saturación del control, imax (for M∞ = 2,5)
Ángulo de ataque máximo, αpy
Máximo ángulo de guiñada, βmax
Deflexión mecánica del control, δmax
Velocidad de giro del control, δ̇max
Lı́mite estructural del misil, nmax
25.2 deg
35 deg
15 deg
30 deg
600 deg/s
40 g
La relación entre zm y xm viene dada por:
zm = Hm (xm , Υn ) xm
(3.43)
donde los coeficientes de Hm se encuentran en la sección G.6 de los Apéndices.
Como resultado el problema de optimización del auto piloto se plantea como un
regulador en horizote infinito:
Z
mı́n J=
u=ẋsd
∞
ẑ T Qẑ + uT Ru
T
0
s.t. ė=Am (xm ) e − Bm u
ẑ=Hm xm − Hmtrim xmtrim
61
(3.44)
3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO
con
lı́m e = [0]
(3.45)
e = xmtrim − xm
(3.46)
t→∞
y
3.4.3.
Solución Sub-óptima
El Hamiltoniano de 3.44 viene dado por:
1 T
z̃ Qz̃ + uT Ru + λT (Am e − Bm u)
(3.47)
2
de donde las condiciones necesarias para el óptimo, de la discusión en B.5, son:
H=
ė = Am e − Bm u
∂ λ T Am e
1 ∂ ẑ T Qẑ
−
λ̇ = −
2
∂e
∂e
[0] = Ru − Bm λ
(3.48a)
(3.48b)
(3.48c)
Para el vector de control y de co-estados:
u = R−1 Bm λ
(3.49)
λ = M (e) e
(3.50)
el problema resulta en la ecuación matricial
T
M Am ATm M − M Bm R−1 Bm M + Hm
QHm e
∂Am
∂M
+
(ė ⊗ In ) − (eM ⊗ In )T
e
T
∂e
∂xm
T
∂Hm
T
− Hm
Q (Hm − Hmtrim ) xmtrim − In ⊗ xTm
Qẑ = [0]
∂xm
(3.51)
donde para resolver esta ecuación se desprecian los dos términos finales, que tienden
a cero al hacerlo el vector de error e , resultando una solución sub-óptima con la
resolución únicamente del primer término:
T
M Am + ATm M − M Bm R−1 Bm M + Hm
QHm = [0]
(3.52)
que es una ecuación algebraica de Riccati dependiente de los estados (SDRE), con
62
3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO
M (xm ) como variable y que hay que resolver para xm en cada punto de la trayectoria
del misil . La ley de control resultante es:
u = Km (xm ) · e
(3.53)
T
M (xm )
Km (xm ) = R−1 Bm
(3.54)
Es conveniente introducir en la solución un mecanismo para acelerar la respuesta
del autopiloto. Esto puede hacerse a través de un λ-shift, (para un sistema lineal ver
(Anderson and Moore, 2007), que modifica los polos del sistema y su estabilidad, sin
cambiar su dinámica. El problema se replantea como:
Z
mı́n J =
u=ẋsd
∞
e2λt z̃ T Qz̃ + uT Ru
T
0
s.t. ẋm =Am xm + Bm u
(3.55)
z̃ =Hm xm − Hmtrim xmtrim
cuya solución es:
T
Mλ (Am + λIn ) + (Am + λIn )T Mλ − Mλ Bm R−1 Bm Mλ + Hm
QHm = [0]
(3.56)
T
u = eλt R−1 Bm
Mλ e
3.5.
(3.57)
Ejemplos Guiado-Autopiloto en Doble-Lazo
En esta sección se investigan numéricamente las actuaciones del guiado y control
en dos bucles para un misil de doble mando aerodinámico contra un blanco de alta
velocidad y capacidad de maniobra, y se comparan con los resultados obtenidos para
el mismo misil con únicamente mando canard o cola. El diagrama de fuerzas en el misil
se ilustra en la figura 3.4 y el bucle completo de guiado y control en la figura 3.5.
El paso de integración para el guiado es de 0.001 s, y el auto piloto se calcula
a una frecuencia 25 veces superior. La altitud del escenario es de 12.000 m, que es
más restrictiva en términos de maniobra del misil, ver figura 2.20. El blanco vuela con
MT = 1,5, y el Mach inicial del misil es M = 2,5.
Otros parámetros de la simulación son:
c = 108
b = 1 τg = 0,1 s
63
3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO
XB
δc
FN
VM
α
nB = −nB
z
θg
XL
FA
δt
γM
θ
nL
d
Mc.m. , q
ZB
T
Figura 3.4: Diagrama de fuerzas en el misil de doble mando.
h
i
Q = diag 100 100 100 100 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 100
Para el misil DAC:
h
R = diag 1 1 1 1 1
i
Para cola:
h
i
R = diag 1010 1010 1 11 1
Para canard:
h
i
10
10
10
R = diag 1 1 10
10
10
y los parámetros del misil se muestran en la tabla 3.2 ası́ como las limitaciones operativas en la tabla 3.1. En este caso los parámetros másicos del misil varı́an con el tiempo
durante la combustión del motor cohete.
3.5.1.
Lanzamiento con error de apuntamiento moderado
El misil se lanza con un error de apuntamiento HE = 20 con respecto al curso de
colisión, tal y como se muestra en la figura 3.6. La distancia inicial entre misil y blanco
64
3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO
Movimiento
Blanco
rT , VT , nT
tgo
ξg
xg
Λg
kgT ⊗ I3 xg
kg
nL
d
SBL
B
L
nB
d = Cg SBL nd
Vp
Vq (cˆq )
Vr (cˆr )
xmtrim
xm
e = xm − xmtrim
Ãm = Am + λIn
T
Mλ Ãm + ÃTm Mλ − Mλ Bm R−1 Bm Mλ + Hm
QHm = [0]
T
u = eλt R−1 Bm
Mλ e
ẋm = Am (xm ) xm + Bm u
R
Figura 3.5: Guiado y Control en doble bucle.
65
3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO
Cuadro 3.2: Parámetros: Simulaciones de Guiado y Control Doble Bucle
Parámetro (Sı́mbolo)
Valor (unid.)
Masa misil inicial/fin combustión, (m)
Tiempo de combustión motor, (tb )
Posición centro masas (desde ojiva)
Momento de Inercia Cabeceo IxB
Mach inicial misil M∞
Coeficiente de empuje inicial, CT
Retardos de los servos, τc , τt , τu
Parámetro reparto control, ĉq
101.3/87.3 Kg
8s
143.6/128.8 cm
34.7/32 Kg m2
2.5
1.2
0.1, s
-1.5
rT M (0) es de is 6,000 metros y el ángulo inicial de la lı́nea de mira es σ = 0 grados. El
blanco ejecuta una maniobra evasiva con nT = 15 g, con un ángulo inicial γT (0) = 90,
siendo:
nT
VT
γ̇T =
P IC
ZL
VM
VT
HE
L
nd
γM
γ
γT
nT
c
T
σ
XL
M
Figura 3.6: Condiciones de lanzamiento
Las trayectorias obtenidas para el misil con doble control, canard y cola, se muestran
en la figura 3.7 y en la tabla 3.3 se resumen los principales parámetros de actuaciones,
definiéndose los parámetros de calidad como:
1
∆en =
nT tf
2
∆ek = 2
VM (0)
nL dt
(3.58)
0
Z
66
tf
Z
tf
VM V̇M dt
0
(3.59)
3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO
V̇M = −cα
s
∆eδ =
1
tf
FA − T
m
Z
tf
− sα
FN
m
(3.60)
δqc (t)2 + δqt (t)2 dt
(3.61)
0
Cuadro 3.3: Doble-Bucle G & C Resultados Simulación
Control tf ,(s)
DAC
Cola
Canard
6,8
6,4
7,8
distancia paso,(metros)
∆en
∆eδ , deg
∆ek
0,14
0,28
245
1,00
0,96
1,02
10,27
14,20
21,78
0,50
0,84
0,06
El misil con control en cola y con control doble consiguen distancias finales de paso
de 0,28 y 0,14 m respectivamente, mientras que el canard no consigue impactar al
blanco.
En la figura 3.9 se observa cómo el misil DAC emplea el modo de control opuesto
de manera predominante, mientras que desviación positva se emplea para correcciones
finales antes del impacto. El canard llega al lı́mite máximo de su control en un intento de
maniobrar para alcanzar al blanco, resultando en un incremento brusco de su resistencia
aerodinámica y pérdida de velocidad y actitud de vuelo.
Nótese que el control doble aerodinámico requiere el menor esfuerzo de control,
calculado mediante ∆eδ en la ecuación 3.38, para conseguir la menor distancia de paso
final.
El tiempo hasta impacto es de 6,4 segundos para el misil con control en cola y 6,8
para misil con control doble. El misil con control en cola tiene la mejor eficiencia en
el uso de la propulsión, con un valor de energı́a cinética especı́fica ∆ek ligeramente
superior al control doble con guiado y control desacoplados.
Esto se explica debido a que el ángulo θg , ver figura 3.4, que forma la aceleración
B
demandada nL
d con la aceleración lateral generada por el misil n , es siempre superior
en el caso del misil con control doble, como se ilustra en la figura 3.11. Este ángulo se
define como:
θg = c−1
knB k
knL
dk
(3.62)
y es un indicador de la preservación de las instrucciones de guiado definidas por (Palumbo et al., 2010). A menor valor del ángulo θg el misil ejecuta más fielmente las
instrucciones de guiado, o en otras palabras, menos aceleración se desperdicia en una
dirección no deseada. Como se verá en el capı́tulo siguiente, el control integrado aumenta en gran medida la preservación de las instrucciones de guiado para el misil con
67
3.6. CONCLUSIONES
control doble, reduciendo sus tiempos de vuelo.
3.5.2.
Cálculos de dominio de tiro en curso de colisión
El dominio de tiro se define como el conjunto de todos los puntos de lanzamiento
del misil en curso de colisión hacia el blanco desde donde se alcanza una distancia final
de paso menor o igual a 1 m. En este caso HE = 0, nT = 12 g y γT (0) = 90, MT = 1,5.
Se han obtenido cinco mapas distintos, donde las zonas grises indican los puntos
de lanzamiento del misil que pertenecen a su dominio de tiro. Los mapas 3.12 y 3.13
corresponden respectivamente a un misil con control cola y canard, en ambos casos
guiados por navegación proporcional. Es equivalente al resultado que puede esperarse
de un misil en servicio a dı́a de hoy actuando contra un blanco tipo UCAV. Se observa
que sólo los lanzamientos desde posiciones laterales al blanco consiguen impacto directo.
Sustituyendo la navegación proporcional por la ley de guiado óptima se obtienen
dominios de tiro mucho más amplios, correspondientes a las figuras 3.12 y 3.13 para
cola y canard. En cualquier caso el misil en cola tiene un dominio de tiro más extenso
debido a la tendencia adversa del canard a saturarse.
En contraste, la combinación de misil con un doble control aerodinámico y ley de
guiado óptimo consigue un dominio de tiro completo, como se ve en la figura 3.16 ,
lográndose la intercepción en toda la región alrededor del blanco.
3.6.
Conclusiones
En este capı́tulo se ha desarrollado un modelo teórico y práctico para el cálculo de
un auto piloto general que incluye la aerodinámica no lineal y las limitaciones mecánicas
y aerodinámicas de la operación del misil. El auto piloto es capaz de gestionar un misil
con doble control aerodinámico pero también un control simple delantero o trasero.
Una vez combinado el auto piloto con la ley de guiado óptima para un misil de
control doble se obtiene un dominio de tiro superior a los misiles convencionales.
68
3.6. CONCLUSIONES
1,8
Target
DAC
Tail
Canard
Target and Canard End
Tail Impact
DAC Impact
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
Crossrange (Km)
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
Downrange (Km)
Figura 3.7: Trayectoria del misil DAC, canard, cola y del blanco. Nótese los distintos
puntos de impacto para el misil con control DAC y cola. El misil canard no consigue
impactar al blanco, la simulación se interrumpe cuando la velocidad de colisión se
vuelve negativa.
69
3.6. CONCLUSIONES
30
nB
z , (g)
20
10
0
DAC
Tail
Canard
−10
−20
0
1
2
3
4
Time (sec)
5
6
7
8
6
7
8
Figura 3.8: Acceleración del misil
δ (deg)
20
0
DAC δ cq
DAC δ tq
Tail δ tq
Canard δ cq
−20
0
1
2
3
4
Time (s)
5
Figura 3.9: Ángulos de los controles
2,5
M∞
2
1,5
DAC
Tail
Canard
Target
1
0
1
2
3
4
time, (s)
5
Figura 3.10: Mach Misil
70
6
7
8
Guidance preservation angle, θg , deg
3.6. CONCLUSIONES
60
DAC
SDRE-Tail
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
time (s)
Figura 3.11: Ángulo de preservación del guiado θg .
100
80
120
1500
60
140
40
1000
160
20
500
0 -180
0
-500
-160
-20
-1000
-1500
-140
-40
-120
-60
-2500 -2000 -1500 -1000 -500
0
500 1000 1500 2000 2500
crossrange, meters
Figura 3.12: Dominio tiro misil cola con navegación proporcional. La flecha indica la
dirección inicial de la velocidad del blanco. El blanco maniobra con nT = 12g, girándose
su trayectoria hacia la izquierda en la figura.
71
3.6. CONCLUSIONES
100
3000
60
140
2000
1000
80
120
40
160
20
0 -180
-1000
-160
-2000
-3000
0
-20
-140
-40
-120
-60
-3000 -2000 -1000
0
1000 2000 3000
crossrange, meters
Figura 3.13: Dominio tiro misil cola con navegación proporcional
100
3000
60
140
2000
1000
80
120
40
160
20
0 -180
-1000
-2000
-3000
0
-160
-20
-140
-40
-120
-60
-3000 -2000 -1000
0
1000
crossrange, meters
2000
3000
Figura 3.14: Dominio tiro misil cola con guiado óptimo
72
3.6. CONCLUSIONES
100
3000
120
60
140
2000
1000
80
40
160
20
0 -180
-1000
-160
-2000
-3000
0
-20
-140
-40
-120
-60
-3000 -2000 -1000
0
1000
crossrange, meters
2000
3000
Figura 3.15: Dominio tiro misil canard con guiado óptimo
100
3000
60
140
2000
1000
80
120
40
160
20
0 -180
-1000
-2000
-3000
0
-160
-20
-140
-40
-120
-60
-3000 -2000 -1000
0
1000
crossrange, meters
2000
3000
Figura 3.16: Dominio tiro misil control doble con guiado óptimo
73
Capı́tulo 4
Guiado y Control Integrados
En este capı́tulo se desarrolla el guiado y auto pilotado del misil en la lógica integrada (IGA), y se aplica al misil con control doble aerodinámico. La lógica integrada es un
controlador no lineal que simplifica enormemente la cantidad de cálculos que hay que
llevar a cabo en tiempo real frente al algoritmo desarrollado en el capı́tulo 3 y como se
demostrará a través de simulaciones, es capaz de conseguir menores distancias de paso
con menores requisitos de maniobra para el misil. La figura 4.1 presenta un esquema
general de la aproximación integrado, donde la salida del controlador ẋsd guı́a al misil hasta interceptar al blanco a la vez que de modo simultáneo controla la respuesta
transitoria del misil estabilizando todos sus estados. Esto resulta en un conjunto de
trayectorias para el misil distintas a las obtenidas con la aproximación en dos bucles.
Target
Dynamics
+
xM , ẋM
xT , ẋT
−
time-to-go
Estimate
rT M , Vc
Missile
Dynamic
Integrated
ẋI = f (xI , xsd )
tgo
nT
ẋsd
xs
F inServos
ẋs = f (xsd )
Unmodeled dynamics, τu
Figura 4.1: Esquema del auto piloto y guiado integrados.
74
4.1. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO
4.1.
Planteamiento matemático
En toda la discusión del capı́tulo anterior, el auto piloto se definió en ejes cuerpo
mientras que el guiado lo era en ejes inerciales. Esta disfunción causa una pérdida de la
información de guiado. El sistema integrado, que resuelve simultáneamente el guiado
y el auto piloto, será definido en ejes inerciales.
Las variables del problema se ilustran en la figura 4.2. La ligadura entre los estados
de guiado y las variables de vuelo del misil viene dada por la ecuación vectorial:
VT
nT
ZL
γT
zTL
T
−zrB
XB
B
rTM
xB
r
−nzB = nB
L
zM
α
θ
VM
γM
M
ZB
xLM
xLT
XL
Figura 4.2: Escenario para el Guiado y control Integrado. La aceleración del misil nB
es normal al eje de simetrı́a del misil xB . El blanco efectúa una maniobra de módulo
nT constante, normal a su velocidad.
drM T
dt
L
 L
ẋr
 L
L
= ẏr  = VTL − VM
żrL
(4.1)
L
es:
donde VM
L
= SLB · SBW
VM
 
VM
 
· 0 
0
(4.2)
La matriz de transformación de ejes cuerpo inerciales SBL se representa con ayuda
de los cuaterniones (ver apéndice, ecuación F.4):
75
4.1. IGA MODEL
SLB
T
 2
2(q1 q2 + q0 q3 )
2(q1 q3−q0 q2 )
q0 + q12−q22 − q32


=  2(q1 q2 − q0 q3 ) q02 − q12 + q22 − q32
2(q2 q3 + q0 q1 ) 
2(q1 q3 + q0 q2 )
2(q2 q3 − q0 q1 ) (q02 − q12 − q22 + q32 )
(4.3)
T
cαcβ sβ sαcβ


= −cαsβ cβ −sαsβ 
−sα
0
cα
(4.4)
y SBW es:

SBW
Sustituyendo las ecuaciones 4.2, 4.3 y 4.4 en4.1 se obtiene:
ẋLr = − q02 + q12−q22 − q32 VM cαcβ − 2(q1 q2 + q0 q3 )VM sβ
− 2(q1 q3−q0 q2 )VM sαcβ + VTx (4.5)
ẏrL = − (q1 q2 − q0 q3 ) VM cαcβ − q02 − q12 + q22 − q32 VM sβ
− 2(q2 q3 + q0 q1 )VM sαcβ + VTy (4.6)
żrL = −2 (q1 q3 + q0 q2 ) VM cαcβ − 2 (q2 q3 − q0 q1 ) VM sβ
− q02 − q12 − q22 + q32 VM sαcβ + VTz (4.7)
Combinando esta ecuación con 3.16, 3.17, 3.20, 3.21 , 3.22, F.8 y considerando que:
V̇M = −cαcβ
FA − T
m
− sβ
FS
FN
− sαcβ
m
m
(4.8)
se llega a un sistema en el espacio de los estados en la forma:
ẋI = AI xI + BI uI + EI
(4.9)
h
R iT
T
L T
T
B T
T
T
T
x I = qM
rM
x
ω
x
ẋ
x
p
s
s
sd
T
VM
M
(4.10)
h
iT
xV M = VM α β
(4.11)
76
4.1. IGA MODEL
1
Θ
2 q

 [0]

 [0]


 [0]
AI = 
 [0]


 [0]


 [0]
[0]
[0] [0]
[0] Ak
[0] Aw11
[0] Aw21
[0] [0]
1
Θ
2 ω
[0]
Aw12
Aw22
[0]
[0]
[0]
Bw21 + Mw21
Bw21 + Mw21
[0]
[0]
[0]
[0]
− τ1u Ts
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1, 0, 0]
[0]
[0]
 
[0]
 
[0]
 
[0]
 
 
[0]

BI = 
[0]
 
 
[0]
 
I 
 2
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
I5
−
1
I
τu 5
+ Ts
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
1
T
τu s
[0]
[0]

[0]

[0]

[0]


[0]

[0]


[0]


[0]
[0]
(4.12)


[0]
 L
VT 


 [0] 




 [0] 


EI = 

[0]




 [0] 


 [0] 


[0]
h
qM = q 0 q 1 q 2 q 3
iT
1
1
B
q̇M = Θq qM + Θω ωM
2
2


εk (1 − εq )
−Υε p
−Υε q
−Υε r


 Υε p
εk (1 − εq )
Υε r
−Υε q 


Θq = 
−Υε r
εk (1 − εq )
Υε p 
 Υε q

Υε r
Υε q
−Υε p
εk (1 − εq )


− (1 − Υε ) q1 − (1 − Υε ) q2 − (1 − Υε ) q3


 (1 − Υε ) q0 − (1 − Υε ) q3 + (1 − Υε ) q2 

Θω = 
 (1 − Υ ) q

(1
−
Υ
)
q
−
(1
−
Υ
)
q
ε
3
ε
0
ε
1

− (1 − Υε ) q2 (1 − Υε ) q1
(1 − Υε ) q0
εq = q02 + q12 + q22 + q32
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
donde el vector de control es el mismo que el capı́tulo anterior uI = ẋsd .
El vector EI contiene la velocidad del blanco, que no es controlable por el sistema
y por tanto se trata como una perturbación exterior, dejándose fuera del proceso de
optimización. Los coeficientes de las matrices Ak , Aw , Bw and Mw , se encuentran
de los apéndices, sección G.7.
77
4.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA IGA-DAC
Se define un vector de actuaciones zI para el problema integrado como sigue:
h
iT
T
zI = rTT M zm
(4.19)
o de forma explı́cita:
h
R iT
zI = xLr yrL zrL icq icr itq itr p q r α β nby nbz
p
(4.20)
con zI = HI (xI ) xI , y
"
I3 [0]
HI =
[0] Hm
#
(4.21)
El objetivo del sistema integrado es minimizar la distancia de paso final y estabilizar
la respuesta transitoria del misil de modo simultáneo, lo que se traduce en el siguiente
problema de optimización:
1
1
mı́n JI = xI T (tf )SI xI (tf ) +
u=ẋsd
2
2
Z
tf
zIT QI zI + uTI RuI dt
0
(4.22)
s.t. ẋI =AI xI + BI uI
zI =HI xI
Cuando la separación entre el misil y el blanco es lo suficientemente grande, el
problema anterior puede ser aproximado por un problema de Lagrange en tiempo
infinito:
1
mı́n JI =
uI =ẋsd
2
Z
∞
zIT QI zI + uTI RuI dt
0
s.t. ẋI =AI xI + BI uI
(4.23)
zI =HI xI
4.2.
Resolución del problema IGA-DAC
De modo análogo a la solución obtenida para el autopiloto en el capı́tulo anterior,
la solución del problema en horizonte temporal infinito (4.23) es uoI :
uoI = −R−1 BIT Mo (xI , t)xI
siendo Mo la solución de:
78
(4.24)
4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION
Mo AI + MoT AI + HIT QI HI − Mo BI R−1 BIT Mo = 0
4.2.1.
(4.25)
Ecuación diferencial y condiciones de contorno
El planteamiento de la ecuación B.10 de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema
4.22 resulta en
∗
T
∂J (xI , t)
1
∂J ∗ (xI , t)
=
AI xI + xTI HIT QI HI xI
−
∂t
∂xI
2
∗
T
∂J ∗ (xI , t)
1 ∂J (xI , t)
BI R−1 BIT
(4.26)
−
2
∂xI
∂xI
donde J ∗ (xI , t) es el ı́ndice de coste óptimo. Las condiciones finales y la ley de control
son:
1
J ∗ (xI , tf ) = xTI (tf )SI xI (tf )
2
u∗ = −R−1 BIT
∂J ∗ (xI , t)
∂xI
(4.27)
(4.28)
Operando y despreciando los términos que convergen a cero, se llega una ecuación
diferencial de Riccati dependiente de los estados del problema (SDDRE):
−
DM
= M AI + M T AI + HIT QI HI − M BI R−1 BIT M
Dt
(4.29)
siendo la derivada matricial total igual a:
∂
D
=
+
Dt
∂t
∂
∂xI
T
(x˙I ⊗ In )
(4.30)
con condiciones terminales:
M (xI , tf ) = SI
(4.31)
y, dado que se han despreciado términos, el vector de control no será óptimo sino
sub-óptimo, de la forma:
uI = −R−1 BIT M (xI , t)xI
79
(4.32)
4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION
4.2.2.
Resolución mediante la ecuación de Lyapunov
Para resolver la ecuación 4.29 con condiciones terminales 4.31 en el instante final,
tf , necesitarı́amos conocer los valores futuros de las matrices, que a su vez dependen
del vector de estado xI , para poder integrar hacia atrás desde tf . Esto es posible sólo
si el sistema fuese lineal y las matrices fueran constantes, pero no en nuestro problema
no lineal.
En su lugar se asume que la matriz M puede descomponerse en la suma de una
matriz de transición invertible Ψ y una matriz de estado estacionario Mo :
M (xI , t) = Ψ−1 (xI , t) + Mo (xI )
(4.33)
donde en cada paso de integración Mo (xI ) es la solución de la ecuación de Riccati que
resuleve el problema 4.25 :
Mo AI + MoT AI + HIT QI HI − Mo BI R−1 BIT Mo = 0
(4.34)
Sustrayendo 4.29 de 4.34, se obtiene una ecuación diferencial de Lyapunov:
DΨ
= A0 Ψ + ΨAT0 − BI R−1 BIT
Dt
(4.35)
A0 (xI ) = AI (xI ) − BI R−1 BIT Mo
(4.36)
Ψ (xI , tf ) = (SI − Mo (xI ))−1
(4.37)
La solución de la ecuación 4.35 mediante el procedimiento descrito en (Gajic and
Qureshi, 2008) es:
Ψ (xI , t) = eA0 (t−tf ) (Ψ (xI , tf ) − D) eA0 (t−tf ) + D
T
(4.38)
donde D es la solución de la ecuación algebraica de Lyapunov (ALE):
A0 D + DAT0 − BI R−1 BIT = 0
4.2.3.
(4.39)
Controlador de pre-alimentación
Para prevenir los errores de escalado, se recurre a un controlador de prealimentación,
que calcula un punto de equilibrio cercano en cada instante, xId . Este estado intermedio
contiene el ángulo de ataque, el ángulo de guiñada, y las velocidades angulares de
cabeceo, guiñada y balanceo que generarı́an las aceleraciones demandadas por la ley
80
4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION
de guiado óptima xmtrim en cada punto de la trayectoria del misil.
Este vector de trimado xI d para el problema integrado se define como:

qM

 L
L

rM T + VM
T · M t

=

VM


xmtrim

xI d
(4.40)
Con la introducción de este vector, el problema integrado se transforma en un
regulador a tiempo finito tf que trata de eliminar el error ėI entre el vector de estado
en cada instante xI y el vector xI d , en la forma:
1
1
mı́n JI = eI T (tf )SI eI (tf ) +
u=ẋsd
2
2
Z
tf
ẑIT QI ẑI + uTI RuI dt
0
s.t. ėI =AI xI − BI uI
(4.41)
eI =xI d − xI
ẑI =HI xI − HI xI d
con el objetivo de llevar el vector de error del problema integrado eI a cero en t = tf .
La introducción de este pre-alimentador fuerza al sistema integrado a buscar condiciones de equilibrio local es a lo largo de toda su trayectoria. Esta manipulación de
la dinámica del sistema integrado preserva la separación de escalas temporales entre
el guiado y el auto piloto, y al mismo tiempo retiene la filosofı́a de la aproximación
integrada.
La ley de control sub-óptima resultante es:
uI = R−1 BIT M eI
(4.42)
La siguiente sección resume el procedimiento de cálculo de la matriz M con los desarrollos de las secciones 4.2.1, 4.2.2 y 4.2.3
4.2.4.
Procedimiento Práctico de Resolución
El procedimiento se ilustra en la figura 4.3. Los pasos a seguir son:
1. El controlador de pre-alimentación calcula en cada instantet el vector xI d .
2. eI = xI d − xI
3. Se resuelve la ecuación 4.34, obteniéndose Mo . Esta ecuación puede resolverse
de manera de efectiva a través de cualquiera de las técnicas descritas en (Menon
et al., 2002a).
81
4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION
xI (t)
xId (t)
eI = xId − xI
ÂI = AI (xI ) + λIn
Mo ÂI + MoT ÂI + HIT QI HI − Mo BI R−1 BIT Mo = 0
Mo
tgo > tc
tgo
uoI = eλt R−1 BIT Mo eI
tgo < tc
A0 = ÂI − BI R−1 BIT Mo
Ψ (tf ) = (SI − Mo )−1
A0 D + DA0 − BI R−1 BIT = 0
T
Ψ (t) = e−A0 tgo (Ψ (tf ) − D) e−A0 tgo + D
D
M = Ψ−1 (t) + Mo
uI = eλt R−1 BIT M eI
Figura 4.3: Algoritmo de cálculo del sistema integrado. Existen dos posibles soluciones,
uoI en el incio de l amaniobra terminal y uI en la cercanı́a inmediata del blanco. En
este diagrama se incluye un acelerador de la respuesta λ-shift.
82
4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS
4. A0 = AI − BI R−1 BIT Mo .
5. Se invierte la matriz (SI − Mo (xI )) , para obtener Ψ (xI , tf ).
6. Se resuelve la ecuación A0 D + DAT0 − BI R−1 BIT = 0 a través del proceso
descrito en la referencia (Gajic and Qureshi, 2008), obteniéndose D.
7. Se obtiene
Ψ = eA0 (t−tf ) (Ψ (xI , tf ) − D) eA0 (t−tf ) + D
T
La resolución de la matriz exponencial eA0 (t−tf ) en 4.38 requiere una alta precisión
y se empleará el método numérico de la referencia (Caliari et al., 2014). El cálculo
de la exponencial eA0 (t−tf ) tiene que ser preciso o de otro modo la matriz M
tenderá a infinito y saturará la entrada de control uI .
8. M = Ψ−1 + Mo .
9. Se obtiene la ley de control uI = R−1 BIT M eI .
Sin embargo, debido a la presencia de tgo en la exponencial, cuando este valor es
relativamente grande la matriz Ψno será invertirle y no se puede encontrar una solución
para M .
En estas circunstancias, cuando la distancia entre el misil y el blanco es aún relativamente grande, se empleará la solución proporcionada por la matriz Mo para controlar
el misil, en la forma:
uoI = R−1 BIT Mo eI
(4.43)
Se define un tiempo tc a partir del cual la matriz Ψ es invertirle, y por tanto se
pasarı́a de utilizar la ley de control con horizonte infinito, ecuación 4.43, a la ley de
control de horizonte finito, representada por 4.42:
uI = R−1 BIT M eI
Este valor de tc se calcula en tiempo real como el instante en el que el valor de la
norma kM − Mo kp excede cierto valor numérico y como consecuencia la matriz Ψ es
invertirle.
4.3.
Ejemplos numéricos
En esta sección el esquema en dos bucles del capı́tulo anterior se compara contra el
esquema integrado en escenarios sin ruidos. Los parámetros de la simulación corresponden a los mismos de la sección 3.5. En el caso del doble bucle la frecuencia de guiado
83
4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS
es de 1000 Hz y del auto piloto de 25.000 Hz. Para el sistema integrado todo el bucle
se resuelve a 1000 Hz.
4.3.1.
Errores de apuntamiento moderados
Este primer escenario considerar una intercepción aire-aire donde el misil con control
doble persigue un UCAV supersónico con MT = 1,5, repitiéndose las condiciones del
ejemplo planteado en 3.5.1, con una maniobra del blanco de nT = 15 g 1 .
La figura 4.4 muestra las trayectorias del misil empleando el doble bucle y la lógica
integrada. Se observa que el vuelo del misil en cada caso sigue cursos distintos. El tiempo
de vuelo hasta el impacto con la lógica integrada es de 5,7 segundos mientras que para
el sistema de doble bucle se obtienen 6,8 segundos, y las distancias de paso finales son
0,08 y 0,14 m respectivamente. Los resultados principales obtenidos se resumen en la
tabla 4.1. En la aproximación integrada el control terminal de Lyapunov de la ecuación
4.42 se emplea durante los últimos 0,4 segundos de vuelo, mientras que para la mayorı́a
del tiempo de vuelo la lógica integrada emplea la ley dada por uoI , ecuación 4.43.
Cuadro 4.1: Resultados de la simulación, G & C Integrado vs Doble Bucle para misil
doble mando aerodinámico
Control
Doble Bucle
Integrado
tf ,(s)
distancia paso,(m)
∆en
∆eδ , (deg)
∆ek
6,8
5,7
0,14
0,08
1,00
0,18
10,27
1,25
0,50
0,49
Aunque en los dos casos las distancias finales obtenidas representan impacto directo,
el esquema integrado tiene mejores actuaciones que el doble bucle:
Como se ve en la figura 4.5 el misil guiado con el esquema integrado requiere
menos aceleración para interceptar al blanco que si el guiado por un doble bucle.
E incluso requiere menos aceleración que la realizada por el blanco. El esquema
integrado es más eficiente ya que considera no sólo la posición del blanco sino
además la actitud del misil al generar las instrucciones a los servos, y por tanto
preserva mejor las instrucciones de guiado.
La figura 4.6 representa otros parámetros importantes de vuelo. La lógica integrada requiere menos ángulo de ataque y menos ángulos de control, lo que
se traduce en menor resistencia aerodinámica, permitiendo al misil mantener su
vuelo acelerado hacia el blanco durante todo el vuelo.
1
Un blanco pilotado no podrı́a exceder 9g en una maniobra evasiva. Aquı́ los 15g representan el
lı́mite estructural del UCAV.
84
4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS
1,600
Blanco
Misil Guiado Integrado
Misil Doble Bucle
1,500
1,400
1,300
1,200
1,100
Crossrange (m)
1,000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 5,500 6,000
Downrange (m)
Figura 4.4: Trayectoria, error de apuntamiento moderado. Se lanzan dos misiles simultáneamente, desde el mismo punto, contra un blanco que maniobra a 15 g. Las
trayectorias obtenidas difieren notablemente en función de la ley de guiado empleada.
85
4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS
2
Doble Bucle
Integrado
1,5
1
nB
z
nT
0,5
0
−0,5
0
1
2
3
4
Time (sec)
5
6
7
Figura 4.5: Ratio de Aceleración del misil vs Blanco , error de apuntamiento moderado.
Ambas lógicas de control utilizan los dos modos disponibles para misiles de doble
mando aerodinámico, tanto desviación como modo opuesto, a lo largo de las
distintas etapas del vuelo.
Finalmente es importante destacar que la carga computacional a bordo es significativamente menor en el caso de la aproximación integrada. Esto se debe a dos motivos,
el tiempo de vuelo es menor y además no hay un bucle de auto pilotado independiente
operando a alta frecuencia. En este ejemplo en concreto la aproximación integrada ha
requerido de 5697 pasos de integración, mientras que la no integrada o de doble bucle
a requerido 170.650, casi 30 veces más.
4.3.2.
Trayectorias alejadas del curso de colisión
Las caracterı́sticas de la lógica integrada que incluyen menores ángulos de los controles y menores ángulos de ataque, se aprovechan mejor en trayectorias que están muy
lejos del curso de colisión. Esto ocurre por ejemplo cuando el avión lanzador se ve forzado a realizar un disparo de emergencia contra un blanco que le atacaba lateralmente.
La figura 4.7 representa las trayectorias obtenidas para el misil siguiendo lógica integrada y lógica de doble bucle, tratando de interceptar un blanco maniobrero, cuando
el ángulo inicial de apuntamiento es muy importante, HE = 60 grados, en el lı́mite del
ángulo de detección del buscador radar del misil. Otros parámetros de este ejemplo son
γT = 180 y nT = 9 g, mientras que todos los demás permanecen iguales a los descritos
en la sección 4.3.1. Bajo estas premisas, la distancia obtenida con la lógica integrada
es 0,14 m, consiguiéndose la intercepción del blanco a los 6,1 segundos habiendo estado
el controlador terminal de Lyapunov activo en los últimos 0.35 segundos.
86
4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS
40
non-IGA
IGA
α (deg)
20
0
−20
0
20
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
Time (sec)
5
6
7
0
δqc
δqt (deg)
1
δqc - Two-Loop
δqc -IGA
δqt -nonIGA
δqt -IGA
−20
0
M∞
3
1
Two-Loop
IGA
2,5
2
0
1
Figura 4.6: Parámetros , error de apuntamiento moderado.
Sin embargo el mismo misil de doble mando pero con un guiado de doble bucle,
superior como hemos visto en el Capı́tulo 3 a los misiles convencionales, no es capaz de
conseguir interceptar al blanco antes de que su motor cohete se consuma y su velocidad
de vuelo haya caı́do de manera significativa. La simulación se detiene a los 10,2 segundos
87
4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS
de vuelo, cuando la velocidad de colisión se vuelve positiva lo que significa que el blanco
ha conseguido evadirse. Este instante se representa en la figura 4.7 mediante los puntos
Mf y Tf , que son respectivamente el misil y el blanco cuando se detiene la simulación,
a una distancia relativa entre ellos de 1384 m.
1,000
800
600
400
200
0
−200
−400
−600
Crossrange (m)
−800
−1,000
−1,200
−1,400
−1,600
−1,800
−2,000
−2,200
target
IGA
two-loop
−2,400
−2,600
Mf
−2,800
−3,000
−3,200
Tf
−3,400
0
500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 5,500 6,000
Downrange (m)
Figura 4.7: Trayectorias alejadas del curso de colisión. El misil guiado por doble-bucle
no consigue interceptar al blanco, mientras que el de guiado integrado consigue el
impacto directo. Los puntos Mf y Tf indican la posición del misil y blanco cuando la
velocidad de colisión Vc cambia de signo .
Otros parámetros de la simulación se representan en las figuras 4.8 y 4.9. Nótese
como el giro cerrado del misil a casi su lı́mite estructural causa una caı́da muy impor88
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
tante en la velocidad en el caso del esquema de doble bucle, de la que posteriormente
el misil no puede recuperarse ya que no es capaz de reducir con la rapidez necesaria el
ángulo de ataque.
2
two-loop
IGA
0
−nB
z
nT
−2
−4
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
7
8
9
10
11
Figura 4.8: Ratio de aceleraciones misil a blanco, con nT = 9 g.
4.4.
Efectos de Ruido, Estimación y Radomo
En esta sección se comparan una vez más las actuaciones del misil con esquema
integrado frente a el no integrado o doble bucle, pero ahora en presencia de efectos
reales como son el hecho de que los datos radar del blanco no están disponibles más
que puntos discretos, la perturbación que introduce el radomo en la señal del blanco
y los ruidos de medida introducidos por el radar de abordo. Debido a las diferentes
trayectorias obtenidas con estos esquemas de guiado, los errores les afectan de modo
distinto y por tanto afectan también de modo distinto a la precisión del sistema de
armas misil. Con la misma lógica, los factores de error que dependen en menor medida
de la trayectoria, como los errores de los sensores internos del misil o la estimación de
variables no medibles (ángulo de ataque y ángulo de guiñada) no serán consideradas
aquı́.
La figura 4.10 representa el esquema más general del bucle de guiado y control para
el esquema integrado incluyendo ahora la electrónica del radar, el componente mecánico
orientador del mismo mismo ası́ como el bloque electrónico de filtrado y estimación.
La función del buscador es proveer las medidas que aquellas variables del blanco
requeridas por el esquema de guiado. Basándose en la ecuación 3.9 la implantación del
esquema en doble bucle requiere medidas de: rTLM , VTLM y nL
T . En contraste, para el
esquema integrado de la ecuación 4.9 se requiere menos medidas: rTLM y VTL . Debido
89
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
α (deg)
20
0
−20
−40
two-loop
IGA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9
10
11
δc , δt , (deg)
20
0
Canard - two-loop
Canard -IGA
Tail- two-loop
Tail-IGA
−20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
two-loop
IGA
M∞
2,5
2
1,5
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
7
8
9
10
11
Figura 4.9: Parámetros, trayectorias alejadas del curso de colisión. Ángulo de ataque
(superior), control (medio) y Mach (inferior) .
a esto requisitos de información, tanto en el esquema integrado como el no integrado,
el misil se considera equipado con un radar activo 2 . Una vez que se describan los
2
en un escenario aire aire, el radar tiene una clara ventaja en condiciones meteorológicas adversas
90
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
efectos reales, sus efectos pueden ser evaluados a través de simulaciones no lineales
de encuentros tı́picos aire-aire. Una aproximación similar se ha llevado a cabo en la
referencia (Zhurbal and Idan, 2011a).
Target
Dynamics
xT , ẋT
xM , ẋM , n
ẋsk
Seeker
= f (xsk , xskd )
Radome Error
σ ∗ , σe∗
Radar
kr̂T M k Vc
Radar Noises
Ts , r̂T∗ M k , Vc∗k
Navigation
Filter
+
xM , ẋM
r̂T M , r̂˙ T M
−
time-to-go
Estimate
xI
Missile
Dynamic
Integrated
ẋI = f (xI , xsd )
tgo
n̂T
xsd
xs
F inServos
ẋs = f (xsd )
Unmodeled dynamics
Figura 4.10: Esquema del guiado y control integrado con efectos reales. Errores de
radomo -sección 4.4.1- ruidos radar y efectos de muestreo y estimación - sección 4.4.2filtro Kalman - sección 4.4.3- y finalmente la dinámica de alto orden de los servos ecuación 3.30
Además de la lı́nea de mira al blanco y de su velocidad angular, el radar activo de
la mayorı́a de los misiles modernos es capaz de medir la distancia al blanco y en ciertas
y en presencia de nubes frente a un sensor de infrarrojos u u óptico
91
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
circunstancias la velocidad de colisión. Estas medidas adicionales pueden ser utilizadas
con ventaja por el sistema de navegación y guiado:
La velocidad de colisión Vc - ecuación F.22 - es necesaria para estimar el tiempo
hasta el impacto en la ley de guiado óptimo, tgo ecuación F.26, y es un componente fundamental de la ley de navegación proporcional. Si no se mide puede
ser estimada, pero esto último puede causar errores importantes. La medida por
parte del radar de la velocidad de colisión mejora la efectividad del arma.
Tanto el esquema integrado como el de doble bucle requieren una cantidad significativa de información del blanco, en particular su velocidad relativa y su
aceleración. Estimar esta última únicamente a través de medidas angulares es
matemáticamente imposible. La medida de la distancia relativa del misil al blanco, y de su velocidad de colisión, combinada con los ángulos de la lı́nea de mira
en un filtro de navegación adecuado, permite una estimación de la maniobra del
blanco y su empleo en leyes de guiado más avanzadas.
4.4.1.
Errores de Radomo
Debido a la presencia de errores parásitos de radomo, la cabeza del buscador raramente está apuntada directamente al blanco y existe cierta de diferencia entre la
posición real σ y la medida σm para el blanco. La cabeza del buscador tiene su propia
dinámica de apuntamiento, lo que causa cierto retardos en el ángulo del seguimiento
del buscador, ver figura H.1 y 4.11.
.
Los errores por tanto vienen de dos contribuciones, por un lado la dinámica del
buscador, que causa un error de apuntamiento y el error de refracción de radomo.
Un modelo dinámico para la cabeza del buscador será empleado en las simulaciones
numéricas y está descrito en el apéndice, adaptado de la referencia (Nesline and Zarchan, 1985).
Para un análisis preliminar puede suponerse que el ángulo de difracción θr es una
función seno periódica del ángulo cardán del buscador θh , definido por el eje de la
antena:
θr = R · s(
2π
θh + φh )
Ph
(4.44)
donde R es la pendiente máxima de radomo, que depende de: el ángulo con el que la
energı́a del blanco incide en el radomo, el material, la fase de la señal, la temperatura
del radomo, etc, siendo en general muy difı́cil de calcular o medir con precisión, ver
referencia (Lin, 1991). Los requisitos de tolerancias para la pendiente de radomo son
92
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
Blanco aparente
Blanco
Eje antena
0
θr
σm
σ
XB
θd
θh
θ
XL
ZB
Figura 4.11: Definición de los ángulos del buscador radar. Con respecto a la referencia
inercial fija en el espacio, el eje del misil forma el ángulo θ. El eje de la antena, que no
coincide con el eje misil, forma un ángulo θd con respecto a la referencia. El eje de la
antena tiene un error de orientación con respecto al blanco. La distorsión de radomo
crea una posición aparente del blanco dada por 0
siempre parte de los requisitos de diseño de un misil táctico. Los radomos de formas
aerodinámicas introducen errores que pueden modelarse como re - alimentaciones no
deseadas en el bucle de guiado y control. Afectan tanto a la estabilidad del misil como
a la distancia de paso final, (Zarchan, 2012), y reducen el tiempo de respuesta del misil.
Un valor positivo de la pendiente de radomo R reduce la medida de la velocidad angular
de la lı́nea de mira, causando grandes oscilaciones al misil en vuelo. Una pendiente
negativa por otro lado provoca inestabilidades del sistema.
En cualquier caso, y para pequeños ángulos de cardan θh , la influencia de los errores
de radomo en el bucle de guiado y control tiende a disminuir. Aunque un misil con
control aerodinámico tiene que mantener cierto ángulo de ataque para poder maniobrar,
los misiles con control doble aerodinámico requieren menos ángulo de ataque en vuelo,
se reduce el ángulo de cardan al blanco y por tanto el error de radomo. Además el
misil con control doble aerodinámico combinado con el esquema integrado de guiado
y control resulta en una aproximación más directa al blanco, ver figuras 4.4 y 4.7, lo
que permite reducir aún más el ángulo cardan al blanco. Esta relación entre la ley de
guiado y el error de radomo se analiza en la sección siguiente mediante simulaciones
numéricas.
93
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
Evaluación de la Distancia de Paso Final debida al Error de Radomo
En la ecuación 4.44 se asume Ph = π/6 y fase de φh = 0 rad. Con este modelo
se han llevado a cabo simulaciones numéricas con las mismas condiciones iniciales de
la sección 4.3.1, HE = 20 deg, MT = 1,5 nT = 15 g , distancia inicial 6,000 metros,
representándose en la figura 4.12 la variación de la distancia de paso final frente a la
pendiente de radomo R. Se considera por ahora que no hay ruidos introducidos por el
sistema radar, pero que los datos del radar son digitales muestreados con una frecuencia
de 100 Hz, Ts = 0,01 s.
IGA
Two Loop
Miss distance (meters)
102
101
100
10−1
−5
−4
−3
−2 −1
0
1
2
Maximum Radome Slope, R
3
4
5
·10−6
Figura 4.12: Sensibilidad a pendiente de radomo, 12,000 m de altitud, distancia inicial
6,000 m, HE = 20 grados.
Como se aprecia en la figura 4.12, para la aproximación integrada IGA hay muy
poca variación en la distancia final de paso al variar la pendiente máxima de radomo.
Sin embargo para el doble bucle, la lógica no integrada, la distancia final de paso
puede variar de forma muy importante debido a los valores de la pendiente de radomo.
Claramente la aproximación no integrada resulta en unos requisitos de diseño mucho
más estrechos para el diseño y fabricación del radomo.
4.4.2.
Efecto de los ruidos radar y su frecuencia de muestreo
Como se mencionó anteriormente las actualizaciones de los datos radar no se dan de
modo continuo, sino que se actualizan en cada tiempo de muestreo Ts . Por otro lado,
las fuentes de ruido serán aquellas asociadas al radar activo en misiles tácticos. Cada
94
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
uno de estos ruidos puede caracterizarse por una desviación estándar Σ, y asumirse
que entra en el bucle de guiado y control del misil en cada intervalo de muestreo Ts .
Para simplificar la exposición, los detalles de cómo se calcula la desviación estándar
para cada tipo de ruido se ha movido a los apéndices, en la sección H.2. Se asumirá
que la relación entre la densidad espectral del ruido (PSD) a su desviación estándar se
relaciona con la frecuencia de muestreo a través de P SD = Σ2 Ts .
Los ruidos que se consideran relevantes para el radar activo son:
El destello (glint), que es un tipo de ruido angular, causado por perturbaciones
aleatorias en el retorno blanco del radar, y que no depende de las caracterı́sticas
del buscador. Es un ruido altamente no correlado, pero puede ser modelado (ver
sección H.2.1) como la combinación de dos distribuciones Gausianas con desviaciones estándares distintas que denominaremos Σg1 y Σg2 . Este tipo de ruido se
incrementa al disminuir la distancia al blanco.
El ruido angular del radar activo, que se detalla en la sección H.2.2. Es un
ruido de tipo térmico, que aparece ya que es el mismo radar el que emite y recibe
la señal. Es proporcional al cuadrado de la distancia entre el misil y el blanco.
Desvanecimiento y ruidos atmosféricos, que pueden considerarse independientes del alcance esto se revisan en la sección H.2.2.
Ruidos en la medida de range and collision velocity, se detallan en la subsección H.2.3.
La mejora del sensor radar disminuirá los ruidos angulares dependientes e independientes del alcance, a la vez que aquellos asociados a la medida del alcance y la
velocidad de colisión. No disminuirá sin embargo los ruidos de destello.
4.4.3.
Filtro Variable tipo Kalman
El bloque de filtrado en la figura 4.10 es responsable de filtrar aquellas variables que
están corrompidas por el ruido, ası́ como de estimar los valores de las variables entre
intervalos de medida y calcular aquellas variables que no pueden medirse directamente,
como por ejemplo nT .
Para poder estimar las variables de guiado se recurrirá a un filtro de Kalman discreto. Aunque existen filtros no lineales más complejos, como se describen en la referencia
(Kim et al., 2012), por ejemplo un Extended Kalman Filter o filtro de partı́culas, (Gustafsson et al., 2002), el propósito de esta sección es estudiar el impacto de la estimación
en el bucle de guiado y control. Este objetivo se consigue al emplear el mismo esquema
de estimación para la lógica integrada y la de doble bucle. Además el filtro lineal de
95
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
Kalman es capaz de conseguir resultados suficientemente buenos cuando la aceleración
del blanco es constante o es senoidal, como se describe en (Zarchan, 2012).
En misiles interceptores la varianza del ruido radar no es estacionaria ya que varı́a
con la distancia al blanco. Como consecuencia las ganancias del filtro Kalman serán
dependientes del tiempo. El filtro desarrollará estimaciones de los estados del blanco
que necesite la ley de guiado y control a partir del conjunto de medidas con ruido que
contienen información sobre el blanco. En el desarrollo del filtro se necesita considerar
la dinámica del blanco, que se asume como:
 L     
 L  
[0]
[0]
[0] I3 [0]
rT M
VT M
  L   L  
 L  
V̇T M  = [0] [0] I3  VT M  − n  + [0]
[0]
w
nL
[0] [0] [0]
ṅL
T
T


# "
# rL
"
#
"
TM
L∗
I3 [0] [0]  L 
υ(r,θ)
rT M
=
VT M  +
[0]
I
[0]
VTL∗
υV
3
M
nL
T
(4.45)
(4.46)
en el espacio-estado
ẋF = AF xF + GF uF + W
(4.47)
zF∗ = HF xF + V
(4.48)
iT
h
iT
h
iT
∗
L
L
L∗
L∗
nT , zF = rT M VT M and uF = n , V = υ(r,θ) υV ,
h
con xF = rTLM VTLM
QF = E WW T .
La ecuación del filtro discreto, de la referencia (Zarchan and Musoff, 2000), es:
x̂F k = Φk x̂F k−1 + GF k uF k−1 + KF k (zF∗ k − HF Φk x̂F k−1 − HF GF k x̂F k−1 ) (4.49)
con
GF k


1 Ts 0,5Ts2


Φk = 0 1
Ts  ⊗ I3
0 0
1


0,5Ts2
Z τ =Ts


=
Φ (τ ) GF · dτ = −  Ts  ⊗ I3
τ =0
0
(4.50)
(4.51)
De modo estricto, la última ecuación es sólo válida si uF k es constante entre puntos
de muestreo, lo cual no es cierto ya que se espera que la aceleración del misil varı́e de
96
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
modo continuo. Las ecuaciones recursivas para el cálculo de las ganancias son:
MF k = Φk PF k−1 ΦTk + QF k
K = MF k HFT HMF k H T + RF k
(4.52a)
−1
PF k = (I − Kk HF ) MF k
T5
s
QF k =
n̂T  T20s4

tgo T83
s
6
Ts4
8
Ts3
3
Ts2
2
Ts3
6
Ts2 
2 
(4.52b)
(4.52c)

⊗ I3
(4.53)
Ts
y RF k = E VV T . Para iniciar las ecuaciones 4.52 se necesita una matriz de covarianza inicial PF k (0).
4.4.4.
Evaluación de la distancia de paso con ruidos radar
El caso de la sección 4.3.1 ha sido calculado numéricamente con los siguientes
parámetros:
Cuadro 4.2: Parámetros de ruido seleccionados para el radar activo
Fuente
Parámetros
Glint
Σg1 = 10−3 rad , Σg2 = 10−1 rad proporcional a ( krT1M k
Independiente
Σf = 10−3 rad
Dependiente alcance
Σt = 3,33 · 10−6 kr T M k2
Velocidad colisión
ΣV = 5 · 10−6 kr T M k2
Atmosférico
Σan = 0
Alcance
Σρ = 0
Inicialmente se considera una simulación en la que, R = 0 y Ts = 0,01.El filtro se
inicializa a los Tkalman = 0,5 segundos. La figura 4.13 muestra la trayectoria obtenida
relativa al misil. En el caso del doble bucle, el ruido radar afecta a la estimación de
la aceleración del blanco, que no se estima particularmente bien por un filtro lineal de
Kalman. Esto a su vez genera una demanda de aceleración al misil está muy afectada
por el ruido, como puede verse en la figura 4.14 . En contraste, con el esquema integrado
se obtiene una trayectoria mucho más controlada. La distancia final de paso en este
ejemplo ha sido de 0.72m para el IGA y 3.14m para el doble bucle.
Se llevan a cabo ahora variaciones de R en simulaciones de Montecarlo, ya que
en presencia de ruidos estocásticos, los resultados de la simulación variarán en cada
ejemplo. Como es sabido, este método es el más ampliamente utilizado para análisis
97
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
6000 metros
4000 metros
two-loop
IGA
2000 metros
Figura 4.13: Trayectoria del blanco medida por el radar tal y como se ve desde el misil.
estadı́stico. Aquı́ se realizan 50 simulaciones para cada caso, obteniéndose la media y
la desviación estadı́stica en cada escenario.
Los resultados se aprecian en en las figuras 4.15 y 4.16. El ruido de destello tiene una
importancia muy significativa en el caso del doble bucle, incrementando la distancia
de paso en un orden de magnitud, mientras que el esquema integrado es mucho menos
sensible a la máxima pendiente de radomo.
4.4.5.
Experimentos con la frecuencia de muestreo de datos
En esta sección se estudian las implicaciones de la frecuencia de muestreo de datos
del buscador en las actuaciones del sistema, para un misil operando con lógica integrada
o en doble bucle. Los experimentos se llevan a cabo sin ruido.
El escenario es el de la sección anterior, con HE = 20 deg, Mach incial de M = 2,5
y nT = 15 g, MT = 1,5 . Para cada valor de fs = T1s , se varı́a a distancia inicial entre
misil y blanco entre 2,000 y 8,000 metros. Los resultados se muestran en la figura 4.17
para frecuencias de muestreo entre 50-1000 Hz.
Los resultados de 4.17 muestran que el filtro de Kalman y las actuaciones del misil
sin ruido son independientes de la frecuencia de muestreo excepto para el caso de muy
bajas frecuencias para la lógica integrada. Este resultado ilustra que la lógica integrada
98
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
0,4
0,2
two-loop
IGA
0
−0,2
−0,4
−0,6
−0,8
−1
−1,2
−1,4
−1,6
−1,8
−2
0
1
2
3
4
Time (s)
5
6
7
Figura 4.14: Aceleración del misil en presencia de ruido radar.
2
1,8
RMS Miss distance (meters)
−nB
z
nT
1,6
1,4
1,2
1
0,8
IGA - Range Independent Noise
IGA - Radar Active Noise
IGA - Glint
0,6
0,4
0,2
0
−5
−4
−3
−2 −1
0
1
2
Maximum Radome Slope, R
3
4
·10−6
Figura 4.15: Error con esquema integrado y ruido radar.
99
5
4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO
RMS Miss distance (meters)
10
Two-Loop - Glint Noise
Two-Loop - Radar Active Noise
Two-Loop Range Independent Noise
8
6
4
2
0
−5
−4
−3
−2 −1
0
1
2
Maximum Radome Slope, R
3
4
5
−6
·10
Figura 4.16: Error con esquema no-integrado y ruido radar.
Average miss (m), for krT M (0)k ∈ [2000, 8000] (m)
9
IGA
TwoLoop
8
7
6
5
4
3
2
1
0
100
200
300
400
500
600
Sampling rate, fs =
700
800
900
1,000
1
, Hz
Ts
Figura 4.17: Variación de la distancia de paso con la frecuencia de muestreo.
100
4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA
requiere un mı́nimo de frecuencia de muestreo para ser capaz de guiar el misil hasta
el blanco. Dado que el coste del hardware del radar es proporcional al valor de la
frecuencia de muestreo, se demuestra que el caso integrado se requiere un radar de
mayor calidad que para el caso del doble bucle.
En el caso del doble bucle el auto piloto trabaja a una frecuencia superior al bucle
externo de guiado, mientras que en el caso integrado se trabaja a una única frecuencia. La mayor frecuencia de trabajo del auto piloto del doble bucle puede por tanto
contribuir a mejorar los resultados cuando la frecuencia de trabajo del radar es baja.
4.5.
Defensa contra ataque por la cola
4.5.1.
Soluciones previas y retos tecnológicos
Esta sección investiga un control puramente aerodinámico para obtener un giro de
180 grados del misil, empleando el misil de control doble aerodinámico y un esquema
integrado para el guiado y control. Este tipo de maniobra es muy importante para
misiles modernos, como se detalla en la figura 1.4 y referencia (Kim et al., 2013),
ya que da la capacidad al avión lanzador para atacar blancos de oportunidad en su
hemisferio trasero o auto defensa contra un blanco atacante que se aproxime por la cola.
Como consecuencia un misil capaz de realizar esta maniobra dota al avión portador de
una gran ventaja en supervivencia y flexibilidad operativa.
Para misiles convencionales modernos con control canard o cola, propulsados por
un motor cohete sólido, los intentos para obtener las altas velocidades de giro requeridas requieren altos ángulos de ataque por encima de 50 grados. En este dominio de
altos ángulos de ataque, el misil experimenta muchas dificultades para mantener un
vuelo controlado: se produce pérdida o saturación aerodinámica del control, el efecto
de guiñada fantasma debido a los torbellinos asimétricos del fuselaje, alta resistencia
aerodinámica y pérdida de velocidad, variaciones de estabilidad, pérdida de control de
balanceo, etc. Cualquiera de estos efectos puede por sı́ solo causar pérdida de control
de vuelo y unas actuaciones del misil muy pobres.
La habilidad para conseguir realizar este tipo de maniobra ha sido una de las principales razones detrás de la introducción reciente del esquema de misil hı́brido en misiones
aire-aire, (Wise and B Roy, 1998). En este tipo de misiles el control aerodinámico se
combina con un actuador no-aerodinámico que deflecta el chorro y permite mantener
al misil controlado en la región de altos ángulos de ataque, como se describe en la
sección 1.1.3. Este tipo de elementos incrementa significativamente el coste, la complejidad y el riesgo técnico del misil, ası́ como los riesgos de seguridad para el avión
lanzador (Ratliff et al., 2009), (McFarland and Calise, 2000) , (Innocenti and Thukral,
101
4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA
1993). Como consecuencia, ser capaces de realizar esta maniobra con un misil muy ágil
únicamente con control aerodinámico es un beneficio operativo muy significativo.
Como se demostrará en esta sección el misil con control doble aerodinámico y guiado
integrado es capaz de realizar esta maniobra y conseguir interceptar a un blanco que
se aproxima por el hemisferio trasero, manteniendo ángulos de ataque por debajo de
35 grados durante toda la maniobra.
Se considerará que el misil se lanza desde un avión en régimen supersónico e inmediatamente enciende su motor cohete para realizar el giro de 180 grados. En la fase
inicial el misil se aleja del blanco, por lo que el buscador radar no ha capturado aún
al blanco y la velocidad de colisión es negativa. En esta fase inicial se pide al misil un
giro a factor de carga constante en una fase de trayectoria pre-programada. Una vez
que el misil ha girado de modo que el ángulo de cardan del buscador θh es menor que
60 grados, se asume que el radar fija al blanco y a partir de aquı́ sigue el esquema
integrado hasta la interceptación.
Se consideran dos escenarios distintos. En el primero el misil se lanza desde un
avión atacando a un blanco no programado, un blanco de oportunidad, que acaba de
ser detectado y localizado en la cola del avión lanzador. En un segundo escenario el misil
se emplea como defensa contra un avión caza enemigo que se aproxima rápidamente al
avión lanzador desde su cola.
4.5.2.
Blanco de oportunidad en el hemisferio trasero
Se asume que el Mach del avión lanzador es M = 2,5. El blanco es un caza moderno
pilotado volando a MT = 1,2, y que inmediatamente comienza una maniobra evasiva
a su máxima capacidad de 9 g una vez que detecta el lanzamiento del misil. Otros
parámetros de la simulación se definen en la tabla 4.3.
Cuadro 4.3: Parámetros de la simulación. Blanco o de oportunidad en el hemisferio
trasero.
Parámetro
Valor (unid.)
Mach lanzamiento misil, M∞
Mach Blanco, MT
Maniobra del blanco, nT
Factor de carga en el giro
Altitud vuelo, h
Distancia inicial, rT M (0)
Tiempo combustión motor, tb
Empuje, T
2.5 ( ND)
1.2 (ND)
9 (g)
30 (g)
12,000 meters
5,000 (m)
8 (s)
3400 (N)
Inmediatamente después de ser lanzado y alejarse del avión lanzador, el misil inicia
un giro a factor de carga constante de 30 g. La trayectoria resultante se muestra en la
102
4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA
figura 4.18. Una vez que se completa este giro cerrado y se fija el blanco en el radar,
se inicia la trayectoria guiada hacia el blanco. La distancia final de paso es de 0.42
metros, lo que equivale a impacto directo, tiempo total de vuelo de 8.5 segundos, con
tc = 8,1 s.
La figura 4.19 representa la maniobra del misil durante el encuentro aire-aire.La
demanda de maniobra durante la fase inicial de vuelo (entre los puntos M0 y M1 )
se fija a 30g, que se administra por parte del autopiloto para no exceder los lı́mites
mecánicos y aerodinámicos de la envolvente de vuelo del misil, como en la sección 3.4.
Una vez que el misil ha girado lo suficiente, de modo que su radar es capaz de detectar
al blanco, la lógica de guiado cambia desde una maniobra constante al esquema IGA
integrado, que se traduce en una reducción inmediata de la demanda de maniobra. La
máxima maniobra necesaria ha sido de 31.2 g, en el inicio del giro a g-constante. Nótese
que la transición al esquema integrado es abrupta pero no se producen oscilaciones,
como se aprecia en la figura 4.20. El cambio de rumbo de 0 a 180 grados ha llevado
sólo 2.2 segundos a una altitud de 12,000 metros, lo que por si solo indica la agilidad
del misil DAC. En esta simulación se han incluido los ruidos, errores de radomo y
frecuencia de muestreo de datos del apartado anterior, siendo por tanto totalmente
realista.
La figura 4.21 ilustra el comportamiento de otros parámetros importantes en el
vuelo del misil. El ángulo de ataque permanece siempre por debajo del nivel de 35
grados a partir del cual se considera que aparece el efecto de guiñada fantasma.
Los ángulos de los controles de vuelo, 4.21, permanecen siempre por debajo del lı́mite mecánico de 30 grados. El canard se encuentra saturado debido a su alta incidencia
en la fase final del giro a G constante, y no contribuirá más a incrementar el momenm
= 0. Cuando el control delantero se encuentra
to de cabeceo del misil, siendo ∂C
∂δqc
saturado, el misil sigue estando controlado por la cola.
Finalmente en la figura 4.21 en su parte inferior ilustra el comportamiento de la velocidad del misil. La propulsión permanece activa durante los primeros ocho segundos.
Se nota como la velocidad del misil cae de modo significativo durante la fase inicial
de giro cerrado, incluso a pesar de que la propulsión está activa. Una vez que el giro
termina la alta eficiencia cinemática del esquema integrado de guiado permite al misil y
recuperar rápidamente su velocidad. En los últimos instantes antes del impacto el motor cohete se ha consumido por completo pero el misil tiene suficiente presión dinámica
para la maniobra de corrección final y conseguir interceptar al blanco actuando en los
controles canard y cola.
103
4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA
1,000
500
VM
M1
M0
0
−500
−1,000
Crossrange (m)
−1,500
−2,000
target
DAC Missile w/IGA
−2,500
−3,000
M3 M2
−3,500
−4,000
I
−4,500
VT
T0
−5,000
−5,500
−6,000
−3,000−2,500−2,000−1,500−1,000 −500
0
500
1,000
Downrange (m)
Figura 4.18: Trayectoria contra un blanco el hemisferio trasero. La figura demuestra la
agilidad conseguida con una lógica integrada y misil de doble mando aerodinámico contra un blanco maniobrero, inicialmente localizado en la trasera del avión lanzador.M0
es el punto de lanzamiento, M1 final de la maniobra de giro cerrado a 30 g y el comienzo
del guiado IGA. M2 apagado del motor cohete a los t = 8 segundos, M3 comienzo del
controlador final de Lyapunov, I impacto contra el blanco.
Maniobra de defensa contra un ataque por la cola
Aquı́ se considera el escenario de un avión caza enemigo localizado en nuestra
cola, volando a la misma velocidad y altitud que nuestro avión, con M = 2,5 y aproximándose al avión amigo rápidamente. La separación inicial entre nuestra avión y el
avión blanco es la misma que en el escenario anterior, 5000 m. Los otros parámetros
para la simulación se define en la tabla 4.4. El misil se lanza a M = 2,5 e inmediata-
104
Missile lateral acceleration, −nB
z (g)
4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA
30
20
10
0
−10
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
Figura 4.19: Maniobra del misil, blanco en el hemisferio trasero.La curva en color rojo
corresponden a los resultados de la simulación con ruido y efectos reales.
280
Missile pitch angle, θ, (deg)
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
Figura 4.20: Ángulo de cabeceo, θ, blanco en el hemisferio trasero. La curva en color
rojo corresponden a los resultados de la simulación con ruido y efectos reales.
105
4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA
40
α (deg)
30
20
10
0
−10
0
1
2
3
4
5
6
7
9
Canard -IGA
Tail-IGA
Canard -IGA
Tail-IGA
20
δ qc , δ tq (deg)
8
0
−20
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
M∞
2,6
2,4
2,2
2
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
Figura 4.21: Parámetros, blanco en el hemisferio trasero: ángulo de ataque (top), ángulos de control (middle), Mach (bottom). La curva en color rojo corresponden a los
resultados de la simulación con ruido y efectos reales.
mente inicia una maniobra de giro cerrado a nB
d = 30 g de modo sostenido. Durante
este giro el ángulo de ataque del misil aumenta de modo progresivo, y una vez que
106
4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA
alcanza el lı́mite máximo admisible α = 35, la demanda de maniobra se reduce en
escalón nB
d = 24 g, para preservar la controlabilidad del misil. A partir de este punto
el misil continúa el giro a nB
d = 24 g sostenidos, mientras completa su giro y θh < 60
grados. Una vez que el ángulo de cardán del buscador llega a los 60 grados, el radar
del misil engancha al blanco y comienza el guiado y control integrados. La lógica de
guiado integrada guı́a al misil hacia el blanco a la vez que recupera la velocidad del
misil tras el giro manteniendo ángulos de ataque bajos.
Cuadro 4.4: Parámetros de la simulación defensa contra ataque desde cola
Parámetro
Valor (unid.)
Mach lanzamiento misil, M
2.5 ( ND)
Mach blanco, MT
2.5 (ND)
Maniobra blanco, nT
6 (g)
Factor de carga giro misil
30 / 24 (g)
Altitud, h
12,000 meters
Distancia misil a blanco inicial, rT M (0)
5,000 (m)
Tiempo de combsutión, tb
8 (s)
Empuje, T
3400 (N)
La distancia final de paso obtenida es de 0.57 metros con impacto a los 6.7 segundos
desde lanzamiento. El controlador terminal está activo desde el segundo tc = 6,2.
La figura 4.22 muestra las trayectorias del misil y del blanco. La maniobra realizada
por el avión blanco tratando de escapar corresponde a una maniobra realista, en la que
el avión trata de que el misil con control aerodinámico convencional sature su control
y pierda actuaciones, o en el caso de un misil hı́brido que consuma su propulsión antes
de acercarse al blanco.
Las figuras 4.23 y 4.24 ilustran la aceleración lateral del misil y su ángulo de cabeceo.
En rojo se muestra las curvas correspondientes a la trayectoria afectada por ruido radar
y otros efectos reales comentados. Nótese como el efecto del destelleo (glint) se percibe
fundamentalmente al final del vuelo, cerca del impacto, causando algunas fluctuaciones
en el movimiento de los controles.
En la maniobra, figura 4.23, se aprecia los dos niveles de aceleración demandado
durante el giro cerrado, y la transición suave entre los mismos perfectamente controlada
por el auto piloto. Se nota también el bajo nivel de aceleración lateral requerido por el
control integrado una vez que concluya el giro, y la corrección final en desviación antes
del impacto. La máxima maniobra durante la intercepción aire-aire es de 31.2 g, por
debajo del lı́mite estructural.
En la gráfica correspondiente al ángulo de cabeceo, figura 4.24, se observa una
velocidad de giro θ̇ muy elevada inicialmente , inmediatamente después del lanzamiento.
Esto se debe al efecto de la estela del canard en el control de cola, que genera un valor del
107
4.6. CONCLUSIONES
momento de picado Cm muy importante cuando el ángulo de ataque es todavı́a pequeño.
Nótese que el cambio de nivel de maniobra se da a los t=2.2 segundos, mientras que
θ̇ no cambia apreciablemente debido a la gestión del auto piloto. Una vez completado
el giro, sigue una región de θ casi constante, en la que el control IGA dirige al misil
contra el blanco aumentando progresivamente su velocidad.
La figura 4.25 muestra otros parámetros de actuaciones importantes: ángulo de
ataque, la posición de las aletas de control y el número de Mach durante el vuelo.
Nótese como el ángulo de ataque no excede el lı́mite de 35 grados, y los controles
permanecen siempre por debajo de su lı́mite mecánico de 30 grados. El número de
Mach del misil se reduce durante la fase de giro a un mı́nimo de 1.88, pero se recupera
rápidamente después.
4.6.
Conclusiones
En este capı́tulo se ha desarrollado un algoritmo completo para implementar el
guiado y control en un solo bucle, incluyendo efectos reales y aerodinámica no lineal.
Se ha hecho especı́ficamente para misiles con control doble aerodinámico, y es aplicable
a misiles con control en cola o canard.
La lógica integrada no necesita considerar ningún modelo particular de maniobra
del blanco, e incluye únicamente la velocidad del blanco como una perturbación al
sistema.
Las simulaciones con y sin efectos reales demuestran la superioridad neta de la
aproximación integrada con respecto al doble bucle tradicional. Con la aproximación
integrada se incluye la velocidad del misil en el bucle de optimización general con lo
que se gestiona mejor la energı́a cinética del misil, y además se consigue una mejor
preservación de las órdenes de guiado, al no existir transferencia entre bucles de guiado
y de auto piloto separados. El guiado IGA no necesita calcular la aceleración del blanco,
y además tiene un aproximación más directa hacia el blanco, siendo una ley mucho más
robusta en presencia de ruidos radar y otros efectos reales.
El misil con control doble aerodinámico y guiado y control integrados es capaz de
interceptar blancos en la cola manteniendo siempre control aerodinámico, sin recurrir a
los desarrollos modernos actuales hı́bridos, aumentando la capacidad de supervivencia
y flexibilidad operativa del avión de combate portador de este tipo de misil.
108
4.6. CONCLUSIONES
Engagement Geometry
1,000
500
target
IGA
VM
M1∗
M0
0
M3
M1
I
−500
−1,000
Crossrange (m)
−1,500
−2,000
−2,500
−3,000
−3,500
−4,000
VT
−4,500
−5,000
T0
−5,500
−6,000
−2,000 −1,500 −1,000 −500
0
500
1,000
1,500
2,000
Downrange (m)
Figura 4.22: Defensa contra un ataque por la cola, con un misil con control doble y
guiado y control integrados. M0 posición inicial, M1∗ fin de la primera fase de giro a 30 g,
M1 fin de la segunda fase de giro a 24 g. En M1 comienza el guiado IGA, M3 comienzo
del guiado terminal de Lyapunov. Finalmente I es el punto de impacto directo contra
el caza enemigo.
109
Missile lateral acceleration, −nB
z (g)
4.6. CONCLUSIONES
30
20
10
0
−10
0
1
2
3
4
Time (sec)
5
6
Figura 4.23: Defensa contra un ataque por la cola, maniobra del misil
Missile pitch angle, θ, (deg)
350
300
250
200
150
100
0
1
2
3
4
Time (sec)
5
6
Figura 4.24: Defensa contra un ataque por la cola, ángulo de cabeceo.
110
4.6. CONCLUSIONES
40
α (deg)
30
20
10
0
−10
0
1
2
3
4
5
Canard -noise
Tail-noise
Canard -IGA
Tail-IGA
20
δ qc , δ tq (deg)
6
0
−20
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
3
4
Time (sec)
5
6
2,6
M∞
2,4
2,2
2
1,8
Figura 4.25: Defensa contra un ataque por la cola, otros parámetros: ángulo de ataque
(arriba), control (medio) y Mach (inferior)
111
Capı́tulo 5
Conclusiones
En este último capı́tulo se integran y sintetizan las conclusiones obtenidas en los
capı́tulos anteriores. También se destacan aquı́ las limitaciones del estudio y se indican
distintas direcciones y áreas para continuar la investigación.
Este capı́tulo se estructura del siguiente modo: la sección 6.1 contiene las respuestas
a las preguntas de investigación planteadas en la sección 1.3, revisa las consecuencias
prácticas para la arquitectura del misil e identifica las implicaciones teóricas de estos resultados; la sección 6.2 clasifica las distintas limitaciones que se han encontrado
durante las etapas de la investigación y finalmente identifica áreas para continuar y
avanzar sobre este estudio.
5.1.
Resumen de resultados obtenidos
Los principales resultados obtenidos se han recogido dentro de sus capı́tulos respectivos. Esta sección sintetiza estos resultados para responder a las cuestiones de investigación planteadas en la sección 1.3 y desglosa sus implicaciones prácticas y teóricas.
5.1.1.
Soluciones a las Preguntas de Investigación
1. Modelo aerodinámico avanzado para el misil de control doble.
1.1. Los fenómenos aerodinámicos caracterı́sticos del control doble y en particular el acoplamiento cruzado entre controles han sido estudiados en la sección
2.1.2 con la ayuda de la teorı́a de cuerpos esbeltos y simulaciones numéricas.
1.2. Se ha desarrollado una nomenclatura especı́fica para el tratamiento tridimensional del misil de control doble, tal y como se contempla en la sección
2.1.1.
112
5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS
1.3. Se ha desarrollado un modelo teórico, a través de funciones continuas, con
una alta precisión suficiente para estudios avanzados de guiado y control.
Estos resultados se recogen en la sección 2.2, con el nivel de detalle requerido.
1.4. Se han obtenido datos aerodinámicos experimentales fiables a través del estudio de la literatura cientı́fica (Lesieutre et al., 2002a,b; Cross et al., 2010;
Blair, 1978; Khalid et al., 2005a,b; Akgul et al., 2012; Al-Garni et al., 2008).
Estos datos han permitido comprobar la validez del modelo teórico. Se han
extendido en este estudio a través de experimentos de aerodinámica computacional y métodos aerodinámicos de ingenierı́a (DATCOM)- ver Apendice
D - con el nivel de precisión requerido. Los coeficientes del modelo teórico
ajustados para el misil NASA pueden encontrarse en el Apéndice E.
1.5. En este diseño la autoridad para control en balanceo se ha asignado a la
sección de cola. Se han desarrollado expresiones analı́ticas para el balanceo
inducido, el amortiguamiento y el momento de control aerodinámico en balanceo. El auto piloto para balanceo está acoplado con los canales de los auto
pilotos de picado y guiñada. Las capacidades del control de balanceo en cola
para mantener estable el misil se han demostrado a través de simulaciones
numéricas.
2. Desarrollo de la estructura en dos bucles del guiado y el auto piloto para misil
de control doble.
2.1. Las limitaciones especı́ficas y los requisitos operacionales para el auto piloto
del misil de control doble se han desarrollado en la sección 3.4.2, con énfasis
en mantener el misil dentro de sus capacidades aerodinámicas. El ángulo de
incidencia en cada uno de los controles tiene que ser monitorizado en tiempo
real para prevenir la saturación aerodinámica del control o su entrada en
pérdida.
2.2. Se ha resuelto el bucle general de guiado y control, representado en la Figura
1.3 para el misil de control doble.
2.2.1. Como variable de control se ha utilizado la derivada en el tiempo de los
ángulos de posición de los controles δ̇.
2.2.2. Se ha introducido un bloque de pre-alimentación, detallado en la sección, 3.4.1, para resolver el problema de reparto cuando hay entradas de
control múltiples. Este bloque de pre alimentación define un punto de
equilibrio local en cada instante del vuelo para el sistema no lineal. El
control actua de modo que lleva a la planta a este punto de equilibrio.
2.2.3. El Apéndice G lista todos los coeficientes en el espacio de los estados
que forman el sistema del autopiloto.
113
5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS
2.3. El auto piloto no lineal se compara favorablemente contra sistemas de control tradicionales de ajuste de ganancias para el misil de control doble. La
solución propuesta requiere menos esfuerzo de control, tiene un tiempo de
estabilización más corto y menor tiempo de respuesta que el esquema de
ajuste de ganancias.
2.4. El esquema de dos bucles G&C aplicado al misil de control doble aerodinámico, obtiene mejores resultados con menores distancias de paso, que
un misil equivalente con control cola or canard, tanto guiado por navegación
proporcional o por la ley de guiado óptimo, contra un blanco que maniobra,
demostrado en 3.5.2.
3. Investigación sobre la aproximación integrada y comparación frente al doble bucle
para el guiado y control de misiles
3.1. Se ha desarrollado un modelo matemático en ejes inerciales para el guiado
y control de vuelo integrado, detallado en la sección 4.1 y en el Apéndice
G. Debido al bajo amortiguamiento de la célula del misil, el tratamiento
en ejes inerciales es más adecuado que en ejes cuerpo. Además este modelo
incorpora explı́citamente la velocidad del blanco.
3.2. Un controlador de pre-alimentación, basado en una proyección en el tiempo
de las condiciones de vuelo en equilibrio el misil, es capaz de prevenir el
problema de las distintas escalas en las variables de guiado y control. Sin
este pre alimentador el sistema de control integrado se saturarı́a rápidamente
tal y como se describe en 4.2.3.
3.3. Un ı́ndice del coste para la la optimización del sistema integrado se ha
definido en la sección 4.2.3. Este ı́ndice de coste es una combinación del
ı́ndice de coste para el guiado óptimo, detallado en la sección 3.1 , con el
ı́ndice de coste para el misil definido en la sección 3.4.2.
3.4. Se ha desarrollado una solución su óptima para el problema integrado no
lineal, que minimiza el ı́ndice de coste en un tiempo finito. Esto se hace a
través de un procedimiento matemático relativamente complejo que incluye
una transformación matricial y la solución de una ecuación de Lyapunov,
tal y como se detalla en la sección 4.2.3.
3.5. El misil con el control integrado se compara favorablemente contra el mismo
misil empleando un esquema no integrado de dos bucles, como se demuestra
en la sección 4.3. La superioridad del controlador integrado se hace aún más
evidente en condiciones de lanzamiento desfavorables, alejadas del curso de
colisión.
114
5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS
3.6. Las simulaciones con radomo, ruidos de radar y variaciones en la frecuencia
de muestreo del radar, descritas en la sección 4.4 , se han llevado a cabo en la
sección 4.4.4, donde el bucle integrado demuestra tener menos sensibilidad
a perturbaciones externas
3.7. Sección 4.5 Describe como la lógica integrada puede ser usada con efectividad para la defensa contra un ataque desde la cola. El sistema integrado es
capaz de gestionar esta maniobra defensiva interceptar al blanco atacante
sólo con control aerodinámico.
5.1.2.
Implicaciones en el diseño del misil
Aquı́ se tratan dos elementos que son especialmente relevantes, por un lado el peso y
el coste del misil de doble mando, y por otro que capacidades han de tener los sistemas
de a bordo para implementar esta solución en tiempo real.
Consideraciones sobre peso y coste
La figura 5.1 ilustra los subsistemas del misil. El peso de cada subsistema se ve
afectado por cambios en las actuaciones de vuelo del misil que a su vez dependen del
esquema de guiado. Por ejemplo el peso estructural el tamaño de la carga de guerra de
diseño, el tipo y cantidad de propulsante, el peso de los actuado redes para el control
de vuelo etc. son sensibles a los cambios de las actuaciones del misil. Por otro lado hay
algunos subsistemas que son relativamente insensibles a cambios en las actuaciones
de vuelo como por ejemplo el grado modo, el buscador, el tamaño de las baterı́as el
dimensionado de la electrónica para guiado y auto piloto. El peso total es un factor
muy significativo para un arma aerotransportada, viene limitado por la capacidad de
transporte de la plataforma y que afecta potencialmente a sus costes de producción y de
logı́stica, a los daños colaterales que puede infringir, a su potencia de fuego y a la firma
radar del avión lanzador durante el transporte entre otros factores. Esta sección revisa
de modo conceptual los cambios que pueden esperarse en cada uno de los subsistemas
sensibles como consecuencia de la mejora en las actuaciones encontradas para el misil
de doble mando.
El peso estructural del misil es un factor significativo ya que representa aproximadamente el 22 % del peso del misil al lanzamiento (Berglund et al., 2001). Las consideraciones de diseño más importantes con respecto al peso estructural son normalmente
la presión interna del motor cohete y las cargas aerodinámicas durante la maniobra
final.
Se ha demostrado que el misil con control doble aerodinámico con lógica integrada
soporta 1/4 del esfuerzo de maniobra ∆en . Y se requiere menos maniobra máxima. Esto
115
5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Bateria
Espoleta
Autopiloto
Cabeza de Guerra
Motor Cohete Combustible Sólido
Electronica de Guiado
Blast Pipe
Servos Cola Cabeceo/Guiñada/Balanceo (x4)
Servomecanismos Canard Cabeceo / Guiñada (x2)
Buscador Radar
Figura 5.1: Subsistemas en un misil de control doble
se traduce en menores momentos de flexión en la estructura que pueden representar un
menor espesor de material, con la subsiguiente reducción de peso estructural.
Por otro lado, la máxima presión dentro de la cámara de combustión de un motor
cohete de combustible sólido es una función del pro pulsante seleccionado. Sin embargo la lógica integrada ha demostrado un mejor uso de la propulsión con una superior
energı́a cinética especı́fica durante el vuelo ∆ek , y menos tiempo de vuelo hasta el impacto. A su vez estos resultados podrı́an permitir al diseñador reducir el peso necesario
de propulsante por debajo del 65 % del peso al lanzamiento que es tı́pico en misiles
tácticos, (Fleeman, 2012).
Para un misil interceptor aéreo, las mejoras en las actuaciones de vuelo tienen un
impacto muy significativo en el peso requerido para la cabeza de guerra y un impacto
secundario en las caracterı́sticas de la espoleta.
De la referencia (Carleone, 1993), puede establecerse que la sobrepresión generada
por la onda expansiva creada por la carga de guerra es directamente proporcional a la
cantidad de masa de explosivo y su energı́a, e inversamente proporcional al cubo de
la distancia de paso. Asumiendo aquı́ que el tipo de explosivo no cambia, las menores
distancias de paso obtenidas para nuestro misil reducen grandemente los requisitos de
peso para la cabeza de guerra obteniendo la misma letalidad. Además la aproximación
directa al blanco y la mayor precisión obtenida permite al diseñador cambiar el tipo de
cabeza de guerra a una de tipo dirigido. En este modelo la energı́a cinética de la carga
116
5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS
se libera a lo largo de una lı́nea, por ejemplo el eje axial frontal del misil, permitiendo
descargar toda la energı́a explosiva directamente sobre el blanco. Este tipo de cabeza
de guerra dirigida tiene la mayor densidad de energı́a cinética de todas y permite una
reducción incluso mayor en el tamaño de la cabeza de guerra, minimizando además la
probabilidad de causar un daño colateral. En contraste un misil aire aire tı́pico tiene
una cabeza de guerra de fragmentación de forma cilı́ndrica, que debido a la distribución
radial de los fragmentos, requiere una cabeza de guerra de mayor tamaño y más pesada.
La aproximación directa al blanco y su mayor velocidad de colisión permite al misil
con guiado integrado montar una espoleta con un ángulo fijo de activación, que simplifica los requerimientos de la espoleta de proximidad, minimizando su coste. Dependiendo
de la misión la espoleta de proximidad podrı́a incluso ser eliminada y reemplazarse por
una espoleta de contacto ya que este tipo de guiado aumenta la probabilidad de impacto
directo, siendo este tipo de espoleta mucho más sencilla, fiable y segura.
Finalmente merece la pena comentar el hecho de que el misil de doble mando
aerodinámico necesita dos servo mecanismos adicionales de control, véase la figura
5.1. Los servos son dos en la sección delantera y cuatro en la sección de cola, estos
últimos situados alrededor del tubo de salida del chorro del motor. Se hace notar que
el aumento en número de actuadores no implica necesariamente un aumento de peso ya
que depende del diseño aerodinámico de la aleta y de la posición de la lı́nea de charnela
del actuador con respecto al centro de presiones .
En efecto, el momento de charnela es:
Mh = Nc · yh
(5.1)
donde Nc es la fuerza normal local en la aleta y yh es la distancia entre el centro de
presión y la posición de la lı́nea de charnela. Nc es proporcional al ángulo de ataque
y a la deflexión del control. Ambas variables son menores en el caso de un misil de
doble mando, comparadas con las necesarias para operar un misil con control canard
o cola, e incluso menores si la lógica integrada se aplica. El factor yh depende de la
localización de la lı́nea de charnela y del desplazamiento relativo del centro de presión
con el número de Mach. Este último puede ser ajustado mediante el diseño adecuado
de la aleta de control (en doble delta por ejemplo).
En resumen, los potenciales incrementos en peso y coste debido a los dos servos
adicionales, pueden ser compensados a través de otros mecanismos ya considerados
(estructura, propulsante, cabeza de guerra) para reducir de modo general el presupuesto
de coste y de pesos. En cualquier caso estos dos servos adicionales para el control
aerodinámico se comparan favorablemente con las complicaciones y los actuado por el
que se requieren en el caso de un misil hı́brido.
117
5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Cálculo en tiempo real de la ley de guiado
Los dos métodos descritos en esta tesis, el método integrado en un único lazo y el
método de doble lazo requieren de capacidades de procesado a bordo significativas. Las
mayores cargas computacionales son:
1. Para el esquema un doble lazo:
a) El auto piloto se calcula y se resuelve a una frecuencia muy superior (x10 o
mayor) que el bucle de guiado.
b) Requiere una solución en tiempo real de una ecuación matricial álgebraica
de Riccati de 21x21 en cada paso de integración del auto piloto.
2. Para el diseño integrado:
a) Todo el cálculo se realiza a la frecuencia que marca el reloj de guiado.
b) Requiere la solución en tiempo real de una ecuación matricial diferencial de
29x 9 en cada paso de integración 4.34.
c) Requiere el cálculo de la inversa de dos matrices de 29 x 29, ecuaciones 4.33
y 4.37.
d ) Requiere el cálculo de una matriz exponencial de 29 x 29 eA0 (t−tf ) .
e) Requiere la solución de una ecuación matricial de 29 x 29 de Lyapunov 4.39.
Por cada paso de integración el sistema integrado requiere un mayor número de
operaciones que el de doble lazo, pero corre a una frecuencia superior ya que lo hace a
la frecuencia del bucle de guiado externo en la aproximación de doble lazo. El resultado
en un vuelo de unos 10 segundos de duración es que el sistema integrado requiere 30
veces menos cálculos que el sistema de doble lazo.
La mayor carga computacional en cualquiera de estos esquemas proviene de la solución de las ecuaciones matriciales en tiempo real. La velocidad de solución de cada una
de las ecuaciones mencionadas arriba de 21 x 21 y 29 x 29, han sido evaluadas con ayuda del paquete MATLAB real time environment, obteniendose un tiempo de ejecución
de 0.5ms de resolución con un núcleo Corei7 operando a 2.5GHz y 16GB RAM. Las
capacidades de los sistemas de control de vuelo para altas actuaciones disponibles comercialmente son superiores, y en cualquier caso los códigos utilizados son susceptibles
de mejora lo que dará lugar a incrementos adicionales en velocidad de proceso.
118
5.2. LIMITACIONES AL ESTUDIO Y ÁREAS DE DESARROLLO FUTURAS
5.1.3.
Implicaciones teóricas
Se ha desarrollado un procedimiento genérico para crear un auto piloto no lineal
capaz de controlar un misil en picado, guiñada y balanceo simultáneamente. Además
el auto piloto desarrollado gestionar múltiples entradas y salidas.
Se ha introducido el producto de Kronecker para simplificar el tratamiento del
problema óptimo con matrices dependientes de los estados.
Se ha encontrado una solución en tiempo finito para un problema óptimo no lineal
mediante la ecuación de Lyapunov, y se ha aplicado a la resolución del problema integrado. El problema de optimización es especialmente adecuado a misiles, ya que tienen
un claro objetivo en minimizar la distancia de paso. Pero esta aproximación puede
extenderse a cualquier otro problema altamente no lineal que necesite optimizar cierta
función compleja dentro de un intervalo de tiempo finito. Posibles aplicaciones son la
trayectoria de ascenso de un vehı́culo lanzador, optimizar al crucero en un avión o caza
de combate, maniobras de satélites en el espacio etc.
5.2.
Limitaciones al Estudio y Áreas de Desarrollo
Futuras
En esta sección se repasan las limitaciones a este estudio y se identifican las áreas
en las que la investigación puede avanzar en aras de adquirir nuevos conocimientos. Se
tratan tres secciones aerodinámica, control y guiado.
5.2.1.
Aerodinámica
El modelo aerodinámico en este estudio se ha planteado con limitaciones en β
y Mach. Un modelo ingenieril para aplicaciones prácticas tendrá que eliminar estas
restricciones y considerar los valores de α y β iguales en magnitud ası́ como todo el
régimen de vuelo del misil, desde supersónico subsónico.
No se ha dispuesto en este estudio de datos aerodinámicos en guiñada o en balanceo.
En esta investigación se han utilizado datos procedentes de aerodinámica computacional CFD y métodos semi empı́ricos para validar el modelo teórico en estos dos aspectos.
Aunque se ha encontrado una correlación muy buena entre los datos calculados y medidos para la aerodinámica en cabeceo, lo que permite tener gran confianza en los datos
calculados en guiñada y balanceo, la última prueba de verosimilitud siempre vendrá
dada por los datos en túnel.
No se han considerado en este estudio los efectos aéroelásticos, y como las deformaciones de la estructura debido a las cargas en vuelo afectan a la aerodinámica del
119
5.2. LIMITACIONES AL ESTUDIO Y ÁREAS DE DESARROLLO FUTURAS
misil.
5.2.2.
Guiado y control
Se ha considerado que todas las variables del misil estaban disponibles para ser
realimentadas al sistema de control y carentes de ruido. Esto se ha hecho ası́ ya que
no es un hecho diferencial entre el guiado integrado y el no integrado. Sin embargo
un estudio posterior podrı́a considerar que en la medida de los quaterniones y las
velocidades angulares del misil que da la IMU están tı́picamente contaminadas por
ruido. Otro factor a considerar es que los ángulos aerodinámicos α y β no suele medirse
directamente en misiles en servicio y se estiman como parte del filtro de Kalman.
Sólo se ha considerado el guiado radar, debido a la gran cantidad de datos que
requiere el guiado óptimo. Sin embargo esta metodologı́a podrı́a aplicarse también a
un misil guiado por infrarrojos, donde se mide menos variables pero se estiman las
necesarias. El buscador de infrarrojos va montado dentro de un irdome semiesférico
que aumenta la resistencia aerodinámica, factor que tendrı́amos que considerar.
El modelo de los servo sea considerado como un modelo de segundo orden con un
factor adicional que incluye dinámicas de orden superior. Este modelo puede refinarse
en posteriores estudios. También se ha considerado que los servo mecanismos son capaces de generar todo el par necesario para mantener la aleta aerodinámica en la posición
demandada. Se han incluido no obstante limitaciones en la velocidad máxima de giro
que el servo puede dar. Un modelo más detallado mecánico que incluya las ecuaciones
dinámicas del servomecanismo y sus limitaciones en par.
120
Apéndice A
Derivación de Matrices y Producto
de Kronecker
Este apéndice actualiza las convenciones originalmente definidas en (Vetter, 1970) y
posteriormente expandidas por (Brewer, 1978) para aquellos elementos que se emplean
dentro del cuerpo principal de la tesis. La aplicación de estas fórmulas, con la inclusión
del producto de Kronecker, preserva la notación matricial a través de la operación de
derivación. Estas operaciones se emplean de modo extensivo en la tesis al aplicar los
métodos de optimización.
En lo que sigue x : R → Rn,1 , es un vector columna, y y (x) : R → Rp,1 , z (x) :
R → Rq,1 son vectores columna cuyos elementos son funciones de los elementos de x.
A.1.
Estructuras de Derivación
Si la matriz A : R → Rp,q , depende funcionalmente del vector x,


a11 · · · a1p
 . .

..
. . ... 
A (x) = 


aq1 · · · aqp
(A.1)
sus elementos akj son funciones de xi . Se tiene que:

∂a11
∂xi
∂A 
.
=  ..
∂xi  ∂a
q1
∂xi

···
..
.
∂a1p
∂xi
···
∂aqp
∂xi
∂A
∂x1
.. 
. 

A1
(A.2)

∂A 
.. 
=
. 


∂x
∂A
∂xn

(A.3)
A.1. ESTRUCTURAS DE DERIVACIÓN
y en forma expandida:

∂a11
∂x1
···
..
.
 .
 ..

 ∂aq1
 ∂x · · ·
 1
 .
..
.
∂A 
 ..
=

∂x


 ∂a11
 ∂xn · · ·
 .
..
 ..
.

∂aq1
···
∂xn
∂a1p
∂x1

.. 
. 

∂aqp 

∂x1 
.. 

. 




∂a1p 
∂xn 
.. 
. 

(A.4)
∂aqp
∂xn
de modo similar, la derivada con respecto a un vector columna xT es:

∂a11
∂x1

∂A
=
 ···
T
∂x
∂a
q1
∂x1
···
..
.
∂a1p
∂x1
···
∂aqp
∂x1
..
.
···
···
..
.
∂a1p
∂xn
∂aq1
∂xn
···
∂aqp
∂xn
···
∂a11
∂xn
···
···
..
.




(A.5)
Se define:
∂kA
∂
=
k
∂x
∂x
∂
∂x
∂A
···
∂x
(A.6)
Para la derivada de un vector función de un vector, existen tres casos distintos.
Vector fila derivado con respecto a un vector columna resulta en una matriz:
 ∂y
1
∂x
T
∂y
∂x
 ∂y11
 ∂x2
=
 ..
 .
∂y1
∂xn
∂y2
∂x1
∂y2
∂x2
..
.
···
···
..
.
∂yp
∂x1
∂yp 

∂x2 
∂y2
∂xn
···
∂yp
∂xn

.. 
. 
(A.7)
La derivada de un vector columna con respecto a un vector fila es una matriz:
 ∂y
∂y
∂xT
1
∂x
 ∂y21
 ∂x1

= .
 ..
∂yp
∂x1

∂y1
∂x2
∂y2
∂x2
···
···
..
.
∂y1
∂xn
∂y2 

∂xn 
∂yp
∂x2
···
∂yp
∂xn
..
.
.. 
. 
(A.8)
donde (A.8) se conoce como el jacobiano. De aquı́:
∂y T
∂x
T
∂y
=
∂xT
(A.9)
Y finalmente la derivada de un vector columna con respecto a un vector columna es
un vector en la forma:
A2
A.2. PRODUCTO DE KRONECKER Y SUS PROPIEDADES
 ∂y1 
∂x1
 ∂y2 
 ∂x1 
 . 
 .. 
 
 ∂yp 


 ∂x1 
∂y
 . 
=  .. 
 
∂x
 ∂y1 
 ∂xn 
 ∂y2 
 ∂x 
 n
 .. 
 . 
(A.10)
∂yp
∂xn
donde
∂y ∂x
es la vectorización de (A.8). Se introduce la siguiente notación:
In ⊗ xT A
A.2.
∂y
∂y
= vec
∂x
∂xT
(A.11)
∂y
= vec Ip
∂y
(A.12)
∂y T
= Ip
∂y
(A.13)
· vec In = vec xT A = AT x
(A.14)
Producto de Kronecker y sus Propiedades
El producto de Kronecker, también conocido como producto tensorial, de las matrices A y B , se obtiene multiplicando los elementos de la matriz A por la matriz B.
Por ejemplo:
"
I 2 ⊗ xT ≡
x1 · · · xn
0
···
0
0
···
0
x1 · · · xn
#
(A.15)
De aquı́: aA = a ⊗ A.
Productos de Kronecker sucesivos se definen como:
⊗k
x ≡ x ⊗ x ⊗ ··· ⊗ x
(A.16)
(I ⊗ A)k = I ⊗ Ak
(A.17)
y de aquı́:
A3
A.3. ÁLGEBRA DEL CÁLCULO DE MATRICES
Propiedades que se emplean en la tesis:
(A ⊗ B)T = AT ⊗ BT
(A.18)
(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)
(A.19)
(A ⊗ B) (C ⊗ D) = AB ⊗ CD
(A.20)
(Im ⊗ N ) (M ⊗ In ) = (M ⊗ In ) (Im ⊗ N )
(A.21)
C T ⊗ A vec B = vec ABC
(A.22)
vec xy T = y ⊗ x
(A.23)
(Ip ⊗ y) A = A ⊗ y
(A.24)
A Iq ⊗ z T = A ⊗ z T
(A.25)
La demostración puede encontrarse por ejemplo en (Laub, 2004).
La ecuación de Lyapunov:
AX + XAT = C
(A.26)
que se utiliza en el Capı́tulo 4, puede expresarse:
[(I ⊗ A) + (A ⊗ I)] vec X = vec C
A.3.
(A.27)
Álgebra del Cálculo de Matrices
Las definiciones y resultados de las últimas dos secciones se aplican aquı́ para presentar la estructura de matrices compuestas y formas escalares:
Si A : R → Rp,q es funcionalmente dependiente de otras matrices, A (B, · · · ), su
derivada es:
∂A X (s,t) ∂A
=
Eik ⊗
∂B
∂bik
i,k
A4
(A.28)
A.3. ÁLGEBRA DEL CÁLCULO DE MATRICES
(s,t)
donde Eik tiene dimensiones de (s, t), y cuyo elemento ik es 1 y 0 en todas las otras
posiciones.
De aquı́:
∂A
∂B
T
∂AT
=
∂B T
∂a
∂A
∂aA
=
⊗A+a
∂B
∂B
∂B
A.3.1.
(A.29)
(A.30)
Derivada de Matrices Compuestas
Regla de la cadena
Si A (C (B)) donde A : R → Rp,q , C : R → Rr,l , su derivada con respecto a
B : R → Rs,t :
∂[vec C]T
∂A
⊗ Ip
It ⊗
∂B
∂[vec C]
∂A
∂[vec C T ]T
⊗ Iq
= Is ⊗
∂[vec C]
∂B
∂A (C (B))
=
∂B
(A.31)
Regla del Producto
La derivada de A (B) = C (B) F (B) :
∂CF
∂C
∂F
=
(It ⊗ F ) + (Is ⊗ C)
∂B
∂B
∂B
(A.32)
Derivada del Producto de Kronecker
∂A ⊗ C
∂A
=
⊗ C + (Is ⊗ Upr )
∂B
∂B
∂C
⊗ A (It ⊗ Ulq )
∂B
(A.33)
donde Upq es la matriz de permutación, una matriz cuadrada de orden (pq, pq) que
tiene un único 1 en cada fila y columna .
A.3.2.
Derivada de la Forma Escalar
Se consideran derivadas de la forma escalar y T Az, donde A (x) : R → Rp,q , x :
R → Rn,1 , y (x) : R → Rp,1 y z (x) : R → Rq,1 .
A5
A.3. ÁLGEBRA DEL CÁLCULO DE MATRICES
∂y T Az
= Az
∂y
(A.34)
∂y T Az
= AT y
∂z
(A.35)
∂z
∂y T
∂y T Az
T ∂A
T
=
Az + In ⊗ y
z + In ⊗ y A
∂x
∂x
∂x
∂x
(A.36)
obteniéndose:
∂A
∂xT Ax
= A + AT x + In ⊗ xT
x
∂x
∂x
(A.37)
∂xT Ax
T ∂A
T
T
+
I
⊗
x
A
+
A
x
=
x
n
∂xT
∂x
(A.38)
La ecuación A.37, para una matriz tal que Q = QT :
∂y T Qy
= 2Qy
∂y
A6
(A.39)
Apéndice B
Teorı́a de Control Óptimo
Se realiza una revisión rápida del Estado del arte en la resolución del problema
del regulador óptimo para sistemas no lineales, en la que además se han adaptado
con la introducción original del producto de Kronecker revisado en el apéndice A, que
simplifica en gran medida la notación.
B.1.
Principio del Mı́nimo de Pontryagin para Misiles
Se considera que el control del misil o su guiado es un sistema dinámico de la forma:
ẋ(t) = f (x(t), u(t), t),
x(0) = x0
(B.1)
donde t ∈ [0, tf ]. Como es normal en vehı́culos aerodinámicos se considera que el vector
de estado inicial x ∈ Ω ⊆ Rn , con 0 ∈ Ω y u ∈ U ⊆ Rm , están acotados en Ω y U
con 1 ≤ m ≤ n. Se asume que el par (x, u) es continuo y f tiene derivadas primera y
segunda continuas con respecto todos sus argumentos.
Para el caso del auto piloto, se pretende minimizar el problema de Lagrange
Z
J(x0 , u, 0) =
∞
L(x(t̄), u(t̄), t̄) dt̄
(B.2)
0
Mientras que en el problema de guiado se pretende minimizar un ı́ndice de coste más
general, en lo que se conoce como el problema deBolza:
Z
J(x0 , u, 0) = Ψ(tf , xf ) +
tf
L(x(t̄), u(t̄), t̄) dt̄
(B.3)
0
En el guiado el Estado final no está fijado debido a la presencia de Ψ(tf , xf ) como
un funcional de la distancia de paso. En lo que sigue se considera el problema más
general de Bolza ya que incluye la formulación de Lagrange. Se busca u∗ ∈ U que
B1
B.1. PRINCIPIO DEL MÍNIMO DE PONTRYAGIN PARA MISILES
cause (B.1) a seguir una trayectoria admisible x∗ ∈ Ω que minimice el ı́ndice de coste.
El Hamiltoniano del sistema es:
H(x, u, λ, t) , L(x(t), u(t), t) + λT f (x(t), u(t), t)
(B.4)
El vector columna de adjuntos λ es el vector de multiplicadores de Lagrange asociado con las limitaciones dinámicas en (B.1).
Las condiciones necesarias para que u∗ sea la ley de control óptima para x∗ son:
H(x∗ (t), u∗ (t), λ(t), t) ≤ H(x∗ (t), u(t), λ(t), t)
∂H
ẋ(t) =
∂λ
∂H
−λ̇ =
∂x
(B.5a)
(B.5b)
(B.5c)
para todo t ∈ [0, tf ], y todos los controles admisibles. La ecuación (B.5a) es propiamente
el principio del mı́nimo de Pontryagin.
Las condiciones de contorno vienen dadas por:
T
∂Ψ
∗
(tf , x (tf ) − λ(tf ) · δxf +
∂x
∂Ψ
∗
∗
∗
∗
H(x (tf ), u (tf ), λ (tf ), tf ) +
(tf , x (tf ) δtf = 0
∂x
(B.6)
Este principio transforma el problema de control óptimo en un problema con valores en los extremos, e introduce el Hamiltoniano en el campo de la optimización. La
combinación de condiciones iniciales y finales con ecuaciones diferenciales no lineales
constituye un problema que es muy difı́cil de resolver en la práctica.
Si los controles no tiene limitaciones, entonces para que u∗ (t) minimice el Hamiltoniano es necesario pero no suficiente que:
∂H ∗
(x (t), u∗ (t), λ(t), t) = 0
(B.7)
∂u
Si se satisface (B.7) y el Hessiano es positivo definido (condición de suficiencia débil
de Legendre-Clebsh):
∂ 2H ∗
(x (t), u∗ (t), λ(t), t) > 0
(B.8)
∂u2
entonces se garantiza que u∗ (t) causa un mı́nimo local.
Podemos establecer una conexión con la programación Dinámica, asumiendo que
J ∗ (x0 , 0) , mı́n J(x0 , u)
u∈U
B2
(B.9)
B.2. ECUACIÓN DE RICCATI DEPENDIENTE DE LOS ESTADOS
es suave, con derivadas primera y segunda acotadas, se llega a la ecuación de HamiltonJacobi-Bellman (HJB):
∂J ∗
∂J ∗
∗
∗
0=
(x, t) + H x (t), u (t),
,t
∂t
∂x
(B.10)
con condiciones de contorno:
J ∗ (tf , xt ) = Ψ (tf , x∗f )
(B.11)
and
∂J ∗
=λ
(B.12)
∂x
Esto es, el vector de coestados representa la función de sensibilidad del ı́ndice de
coste óptimo con respecto al vector de estado. Se puede también considerar como un
vector que apunta alejándose del gradiente del ı́ndice de coste óptimo.
B.2.
Ecuación de Riccati Dependiente de los Estados
Se considera aquı́ una simplificación del problema general presentado en la sección
anterior. El sistema dinámico B.1 se asume que puede ser escrito como:
ẋ(t) = f (x(t)) + g(x(t))u(t)
(B.13)
con f and g funciones continuas.El sistema (B.13) es invariante en el tiempo, no
lineal en el estado y afin en el control. Donde x ∈ Ω ⊆ Rn , con 0 ∈ Ω, asumiendo que
u no está acotado. Se verifica también que f (0) = 0 y g((x)) 6= 0 ∀x ∈ Ω.
El problema minimiza el ı́ndice de coste de Langrange
1
J(x0 , u, 0) =
2
Z
∞
xT Q(x)x + uT R(x)u dt̄
(B.14)
0
a la vez que regula el vector de estado 0 al origen, de modo que:
lı́m x = 0
t→∞
(B.15)
donde Q(x) = QT (x) ≥ 0 y R(x) = RT (x) > 0.
Para esta formulación en horizonte de tiempo infinito, J ∗ se asume como estaciona∗
rio ∂J
= 0, y verifica J ∗ (0) = 0. Sustituyendo en (B.10)y particularizando para x = 0,
∂t
se obtiene:
∂J ∗ (0)
=0
(B.16)
∂x
B3
B.2. ECUACIÓN DE RICCATI DEPENDIENTE DE LOS ESTADOS
de modo que
λ = M (x)x
(B.17)
La condición necesaria para el óptimo es:
∂H
= R(x)u + g T (x)M (x)x = 0
∂u
(B.18)
u = −R−1 (x)g T (x)M (x)x
(B.19)
or
y dado que el Hessiano es positivo definido la condición es también suficiente para ser
un mı́nimo global:
∂ 2H
= R(x)
(B.20)
∂u2
Para obtener la ley de control es necesario encontrar la matriz M . Derivando en
(B.17) y sustituyendo en (B.5a) y (B.5c):
Ṁ x+M f − gR−1 g T M x =
T
∂f T
1 T ∂Q
T
−1 ∂g
x−
M x − x M gR
Mx
− Qx − x
2
∂x
∂x
∂x
1
∂R −1 T
− xT M gR−1
R B Mx
2
∂x
(B.21)
aplicando la regla de la cadena (ver A.3.1 ):
∂M
(ẋ ⊗ In )
(B.22)
∂xT
En el caso de un problema lineal, con f = Ax, y A, g, Q , R constantes, la ecuación
(B.21) colapsa a la ecuación algebraica de Riccati , solución del problema LQR (Linear
Quadratic Regulator) :
Ṁ =
M A + AT M − M gR−1 g T M + Q = 0
(B.23)
El método la Ecuación de Riccati Dependiente de los Estados replica la solución
del método lineal, asumiendo que f = A(x)x y resolviendo (B.23) para cada valor de
x. Para conseguir una solución óptima ha de verificarse la condición necesaria:
1 ∂Q
1
∂R −1 T
∂AT
Ṁ x+ xT
x + xT M gR−1
R B M x + xT
Mx =
2
∂x
2
∂x
∂x
∂g T
− xT M gR−1
Mx = 0
∂x
B4
(B.24)
Apéndice C
Misil NASA NTCM Geometrı́a y
Modelo Aerodinámico
Aquı́ se describe el misil utilizado en las simulaciones. Está basado en el misil de la
NASA NASA Tandem Control Missile mencionado en la referencia (Blair, 1978) y en
la sección 1.4.1. Este misil ha sido escalado tres veces (x3) para los estudios de guiado
y control, y se han tomado ciertas hipótesis con respecto a sus parámetros básicos,
basándose en misiles semejantes en servicio, adaptado de la referencia (Fleeman, 2006).
par
297.2
145.6
moment reference center
27.4
61.0
XB
55.4
19.8
hinge line
hinge line
ZB
Figura C.1: Geometrı́a del misil base. Dimensiones en centı́metros.
C.1.
Geometrı́a del misil
El modelo se representa en la figura C.1, Compuesto por un cuerpo axil simétrico,
una ojiva tangente, relación de longitud a diámetro de 3 y dos conjuntos de 4 aletas
C1
C.1. GEOMETRÍA DEL MISIL
alineadas, donde todas las aletas son móviles.
(b) Shadowgraph at M∞ = 2,5
(a) Missile Model
Figura C.2: Experimentos en Túnel Aerodinámico en NASA y Onera.
La tabla C.1 contiene las caracterı́sticas principales del misil base.
Cuadro C.1: Model Geometry Specifications
Parameter
Missile Length
Missile diameter, (caliber) 1
Body Frontal Area
Ojive length
Cylinder after-body length
Total missile body length
Tangent ojive radius
Fin tip chord
Fin exposed maximum chord
Fin theoretical root chord
Fin sweep angle
Fin exposed semi span
Fin installed span
Panel exposed surface
Fin exposed aspect ratio
Theoretical taper ratio
Fin exposed taper ratio
Fin exposed mean aerodynamic chord
Theoretical canard apex (from nose)
Canard hinge line position (from nose)
Theoretical tail apex (from nose)
Tail hinge line
Separation between hinge lines
Symbol
Value
Units
L
d
Sref
2.972
0.1981
3.0828
3
12
15
0.95
0.87
1.38
1.67
30
0.9
2.8
7.947
1.6
0.571
0.625
1.15
2.8
3.78
13.3
14.3
7.6
m
m
dm2
d
d
d
d
d
d
d
deg
d
d
dm2
ND
ND
ND
d
d
d
d
d
(cr )e
ct
(cr )e
cr
be
2
Se
AR
λc
λe
MAC
donde:
Sref =
1
πd2
4
Missile caliber, note it is used as a reference to define other model lengths
C2
(C.1)
C.2. PARÁMETROS BÁSICOS Y DEFINICIÓN DE LA MISIÓN
(cr )e + ct
be
2
(C.2)
AR =
b2e
Se
(C.3)
λc =
ct
cr
(C.4)
ct
(cr )e
(C.5)
Se =
λe =
MAC =
2 1 + λe + λ2e
·
(cr )e
3
1 + λe
(C.6)
De acuerdo a la convención de misiles, el calibre del misil d se emplea como longitud
de referencia para los momentos aerodinámicos, y el área frontal del cuerpo del misil se
emplea como área de referencia para las fuerzas y momentos aerodinámicos. El centro
de referencia de momentos es un punto fijo que se sitúa a 1.4562 m desde la punta de
la ojiva como se puede ver en la figura C.1.
C.2.
Parámetros básicos y definición de la misión
Basado en misiles aire aire comparables y en servicio la actualidad (Fleeman, 2012),
se define una misión estándar para poder dimensionar de manera adecuada el misil. La
tabla C.2 contiene los parámetros básicos del misil y las especı́ficaciones de propulsión
definidas.
C3
C.2. PARÁMETROS BÁSICOS Y DEFINICIÓN DE LA MISIÓN
Cuadro C.2: Guidance and Control Model Mission Specifications
Parameter
Symbol
Moment reference center (from nose)
Position mass center, launch (f. nose)
Position mass center, end of boost (f. nose)
Position mass center, burnout (f. nose)
Pitch moment of inertia , launch
Pitch moment of inertia , burnt out
Roll moment of inertia, launch
Roll moment of inertia, burn out
Missile mass, launch
Missile mass, burn out
Propellant mass for boost phase
Propellant mass for sustain phase
Propellant density
Design flight altitude/s
Rocket thrust at boost
Rocket thrust at sustain
Mach, end of boost phase
Mach, beginning of coast
Launch Mach in subsonic
Specific Impulse, Boost
Specific Impulse, Sustain
Burning time, boost engine
Burning time, sustain engine
Maximum coast time (self destruction)
Max. flight time (boos+sustain+coast)
Maximum control fin mechanical deflection
Servo Rate Limit
Maximum structural limit
C4
IyB
IyB bo
IxB
IxB bo
m
mbo
Isp
Isp
tb1
tb2
tcoast
tb + tcoast
δmech
δ̇mech
nstruc
Value
Units
1.4562
1.4858
1.4362
1.2877
35.6
32
0.407
0.320
129.2
87.27
27.94
13.99
1800
6000/12000
13706
3400
2.5
2.5
0.8
250
200
5
8
12
25
±30
±600
40
m
m
m
m
kg · m2
kg · m2
kg · m2
kg · m2
kg
kg
kg
kg
kg
m3
m
N
N
ND
ND
ND
s
s
s
s
s
s
deg
deg/s
g
Apéndice D
Datos Aerodinámicos
El misil NASA fue probado en ensayos en túnel aerodinámico en régimen supersónico con 1,75 < M∞ < 2,86 y a ángulos de ataque −4 < α < 28 grados, en configuración
en +. El número de Reynolds fue 6,6x104 por cm ((Blair, 1978; Khalid et al., 2005a).
Los datos experimentales de túnel han sido extraı́dos de las referencias (Khalid et al.,
2005b; Lesieutre et al., 2002b; Blair, 1978; Khalid et al., 2005a; Lesieutre et al., 2002a;
Cross et al., 2010; Akgul et al., 2012; Al-Garni et al., 2008). Las fuerzas y momentos
aerodinámicos fueron medidos con una sonda de esfuerzos y el ángulo de ataque mediante un acelerómetro introducido en la ojiva del modelo. Para inducir la transición
a la turbulencia se colocaron bandas en la ojiva y en los bordes de ataque de las aletas
del misil, (Khalid et al., 2005b) los coeficientes medidos fueron CN , Cm y CA , todos en
ejes cuerpo.
Por otro lado, para expandir esta base de datos experimentales se realizaron cálculos
de aerodinámica computacional, CFD, empleando el programa comercial Fluent. Los
datos experimentales de túnel aerodinámico fueron utilizados para ajustar los parámetros del CFD, aumentando su precisión. Debido a la simetrı́a, se realizó el cálculo para
medio misil, en el que se utilizó una red de 2,2 millones de bloques estructurados la
altura de la primera celda por encima de la superficie del misil se situó en 10[−5 calibres, y este fue el mismo parámetro que se utilizó para capturar la capa lı́mite en las
aletas del misil. El modelo de turbulencia empleado fue el Spalart-Allmaras para todos
los ángulos de incidencia. La solución requirió de tres horas de cálculo por cada ángulo
de ataque en un procesador Intel Core i5-4570 3.2 GHz(cache) 4 GB RAM. Para cada
posición de los controles se requieren 48 horas de cálculo, haciendo un barrido para
todos los ángulos de ataque de interés.
D1
D.1. TABLAS DE RESULTADOS
D.1.
Tablas de Resultados
Cuadro D.1: CN Wind Tunnel Results extracted from graphs in (Lesieutre et al., 2002a)
as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile
α
0/ − 20
20/0
20/ − 20
10/10
0/0
-4.3
-2.1
-1.2
-0.2
0.7
1.7
3.8
5.7
7.9
9.8
11.7
13.8
15.7
17.4
19.8
23.6
27.6
-2.42
-1.95
-1.68
-1.52
-1.30
-1.10
-0.42
0.15
0.85
1.45
2.30
3.10
3.95
4.95
5.90
7.90
9.80
0.25
0.80
1.05
1.15
1.41
1.60
2.30
2.80
3.50
4.10
4.90
5.70
6.50
7.45
8.26
10.40
12.30
-1.12
-0.60
-0.30
-0.21
0.05
0.28
0.98
1.52
2.24
2.80
3.50
4.33
5.15
6.05
7.00
8.82
10.60
0.28
0.84
0.98
1.26
1.40
1.82
2.38
2.94
3.64
4.34
5.04
5.74
6.86
7.84
8.82
10.78
13.16
-1.05
-0.56
-0.28
-0.14
0.10
0.30
0.98
1.54
2.24
2.87
3.71
4.55
5.40
6.40
7.28
9.52
11.62
Cuadro D.2: DATCOM Semiexperimental method results for CN as a function of δqc /δqt
parameter for NASA Model Missile
α
0/ − 20
20/0
20/ − 20
10/10
0/0
-4.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
-3.328
-2.586
-2.227
-1.951
-1.701
-1.425
-0.797
-0.008
0.777
1.634
2.579
3.649
0.777
1.430
1.739
2.034
2.329
2.647
3.387
4.248
5.319
6.722
7.798
8.951
-1.282
-0.531
-0.190
0.128
0.438
0.767
1.498
2.479
3.545
4.981
6.071
7.219
0.687
1.309
1.599
1.873
2.146
2.444
3.080
3.847
4.666
5.590
6.655
7.907
-1.139
-0.528
-0.252
0.000
0.252
0.528
1.149
1.808
2.545
3.364
4.289
5.359
D2
D.1. TABLAS DE RESULTADOS
Cuadro D.3: Data from Numerical Experiments with CFD (Fluent). Results of CN as
a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile
α
0/ − 10
-3
0
3
5
10
15
20
25
30
-1.535
-0.748
0.044
0.643
2.214
4.329
6.825
9.306
10/0
20/0
0.065 0.649
0.619 1.318
1.443 2.067
2.089 2.803
3.717 4.397
5.638 6.171
8.133 8.505
10.659 11.064
13.484 13.769
10/ − 10
−10/ − 10
-1.415
-0.140
0.755
1.431
3.000
4.911
7.418
9.922
12.589
-2.109
-1.392
-0.675
-0.095
1.673
3.826
6.289
8.972
11.748
Cuadro D.4: Experimental wind tunnel data of Cm as a function of δqc /δqt parameter
for NASA Model Missile from graphs in (Lesieutre et al., 2002a)
α
0/ − 20
20/0
20/ − 20
10/10
0/0
-4.3
-2.1
-1.2
-0.2
0.7
1.7
3.8
5.7
7.9
9.8
11.7
13.8
15.7
17.4
19.5
23.6
27.6
9.40
9.40
9.40
9.45
9.50
9.70
9.75
9.60
9.40
8.90
8.90
8.50
8.40
7.80
7.20
6.30
5.00
6.50
7.00
7.30
8.00
9.05
9.10
8.00
7.00
6.80
6.10
5.90
5.50
5.10
4.80
4.05
2.50
0.50
16.60
17.00
17.50
18.00
18.10
18.30
16.90
16.00
15.60
15.10
14.80
14.10
14.00
13.10
12.50
11.90
11.10
-1.80
-1.40
-1.10
-0.50
0.50
0.30
-0.30
-0.70
-1.50
-1.80
-1.90
-2.20
-2.40
-2.50
-2.40
-5.00
-7.00
-0.50
-0.40
-0.30
-0.05
0.20
0.35
0.50
0.40
0.20
0.15
0.00
-0.10
-0.60
-1.00
-1.80
-3.20
-5.50
D3
D.1. TABLAS DE RESULTADOS
Cuadro D.5: CFD Data of Cm as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile
α
0/ − 10
10/0
20/0
10/ − 10
−10/ − 10
-3
0
3
5
10
15
20
25
30
5.005
5.256
5.466
5.262
5.127
4.490
2.756
1.711
3.766
4.952
5.061
4.506
3.431
2.748
1.491
-0.296
-1.903
7.601
9.378
9.745
8.251
6.306
5.517
3.941
2.457
0.149
9.134
10.243
9.823
9.071
8.589
7.753
6.049
4.858
2.954
-1.275
0.883
0.945
1.745
2.058
1.403
0.126
-1.708
-4.112
Cuadro D.6: Experimental data for CA as a function of δqc /δqt parameter for NASA
Model Missile extracted from (Cross et al., 2010)
α
0/0
10/10
20/0
20/ − 20
0/ − 20
0.48
1.43
3.57
5.71
7.52
9.76
11.67
13.57
15.6
17.62
19.52
23.57
27.6
0.436
0.443
0.450
0.457
0.464
0.469
0.471
0.479
0.486
0.493
0.500
0.514
0.529
0.571
0.679
0.710
0.829
0.857
0.979
1.029
1.086
1.143
1.186
1.243
1.357
1.486
0.957
0.986
1.057
1.114
1.171
1.236
1.286
1.329
1.371
1.429
1.471
1.586
1.714
1.500
1.450
1.414
1.407
1.400
1.393
1.371
1.364
1.386
1.386
1.400
1.429
1.486
0.886
0.850
0.807
0.743
0.686
0.614
0.557
0.514
0.493
0.443
0.429
0.400
0.371
Cuadro D.7: CFD data for CA as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile
α
0/ − 10
10/0
20/0
10/ − 10
-3
0
3
5
10
15
20
25
30
0.699
0.659
0.624
0.576
0.533
0.469
0.438
0.426
0.575
0.621
0.674
0.725
0.829
0.892
0.986
1.056
1.186
0.896
0.959
1.085
1.145
1.283
1.418
1.509
1.693
1.842
0.790
0.803
0.794
0.814
0.783
0.800
0.825
0.864
0.895
D4
D.1. TABLAS DE RESULTADOS
Cuadro D.8: CFD Numerical Experiments for δrc = 5 deg, NASA Model Missile
α
CN
CA
CS
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
27.5
30
37.5
0.000
0.642
1.362
2.135
2.978
3.949
5.040
6.251
7.529
8.830
10.161
11.549
13.002
17.603
0.537
0.542
0.551
0.564
0.580
0.593
0.605
0.618
0.634
0.647
0.662
0.677
0.694
0.759
-0.317
-0.331
-0.370
-0.422
-0.474
-0.502
-0.486
-0.403
-0.327
-0.282
-0.285
-0.431
-0.468
-0.378
Cn
Cm
2.379 0.002
2.270 0.361
2.009 0.312
1.695 0.137
1.424 -0.092
1.305 -0.384
1.387 -0.692
1.750 -1.396
2.109 -2.338
2.320 -3.323
2.181 -4.394
1.103 -5.710
0.775 -7.275
1.461 -13.085
Cl
-0.001
-0.052
-0.094
-0.116
-0.107
-0.084
-0.069
-0.094
-0.146
-0.208
-0.247
-0.172
-0.114
-0.217
Cuadro D.9: CFD Numerical Experiments for δrc = 10 at NASA Model Missile
α
CN
CA
CS
Cn
Cm
Cl
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
32.5
35
37.5
40
42.5
0.000
0.649
1.373
2.161
3.022
3.986
5.068
6.280
7.569
8.883
10.241
14.568
16.060
17.515
19.005
20.459
0.663
0.636
0.647
0.664
0.680
0.694
0.708
0.720
0.734
0.753
0.776
0.827
0.830
0.849
0.852
0.857
-0.631
-0.669
-0.740
-0.830
-0.909
-0.931
-0.880
-0.755
-0.612
-0.541
-0.591
-0.665
-0.725
-0.736
-0.725
-0.728
4.754
4.480
3.963
3.361
2.842
2.666
2.883
3.480
4.228
4.597
4.153
3.324
2.857
2.715
2.639
2.408
0.083
0.352
0.326
0.089
-0.217
-0.498
-0.798
-1.476
-2.461
-3.513
-4.687
-9.280
-10.979
-12.650
-14.524
-16.187
-0.003
-0.106
-0.187
-0.221
-0.196
-0.136
-0.113
-0.159
-0.262
-0.376
-0.421
-0.429
-0.411
-0.418
-0.452
-0.448
D5
D.1. TABLAS DE RESULTADOS
Cuadro D.10: CFD Numerical Experiments, Induced Rolling Moment
α
β
φa
Cli (α.β)
α
β
φa
Cli (α.β)
5
5
5
5
6
6
6
7
1
2
4
6
8
12
14
18
23
28
35
38
2
4
6
8
9
12
18
22
28
34
1
2
4
6
8
2
10
15
20
25
30
35
40
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
15
15
15
15
15
26.5
63.2
71.3
75.6
78.3
80.1
81.3
82.2
78.7
66.7
51.4
39.9
32.2
22.8
19.9
15.8
12.6
10.6
8.7
8.1
78.8
68.4
59.3
51.7
48.4
40.3
29.7
25.2
20.6
17.5
86.3
82.6
75.4
68.7
62.6
0.016
-0.031
-0.044
-0.086
-0.024
-0.126
0.002
-0.002
-0.005
-0.012
-0.007
0.012
0.030
0.006
0.009
0.059
0.027
0.099
0.053
0.047
-0.033
-0.040
-0.021
-0.006
-0.005
-0.011
0.066
0.052
0.074
0.052
-0.021
-0.027
-0.073
-0.079
-0.066
10
12
18
23
28
34
38
40
1
5
18
22
28
34
36
5
10
15
20
25
30
40
5
10
15
20
25
30
40
5
15
20
25
30
40
15
15
15
15
15
15
15
10
10
5
10
10
10
10
10
5
5
5
5
5
5
5
10
10
10
10
10
10
10
15
15
15
15
15
15
57.1
52.2
40.9
34.4
29.7
25.6
23.5
15.3
84.3
44.9
29.7
25.2
20.6
17.5
16.7
45.1
26.7
18.7
14.3
11.7
9.9
7.8
63.2
45.4
34.3
27.3
22.6
19.4
15.3
71.2
46.0
38.1
32.4
28.2
22.6
-0.081
-0.080
-0.016
-0.080
-0.264
-0.396
-0.350
0.002
-0.059
-0.031
0.020
0.048
-0.318
-0.337
-0.336
0.000
0.027
0.016
0.065
0.005
0.119
0.045
-0.038
-0.010
0.015
0.060
0.021
0.109
0.192
-0.036
-0.019
0.001
0.001
0.062
0.370
D6
D.1. TABLAS DE RESULTADOS
Cuadro D.11: CFD Numerical Experiments for α and β combined for NASA Model
Missile without any control deflection δqc = 0,δqt = 0, δrc = 0,δrt = 0,δp = 0
α
β
CN
CS
CA
5
5.1
10.2
5.3
10.6
15.9
21.2
5.8
11.5
17.2
22.8
6.5
13
19.3
25.4
5.2
10.3
15.5
5.5
11
16.5
21.9
0
2.5
5
10
15
20
25
30
35
40
-5
-10
-9.8
-19.9
-19.7
-19.3
-18.7
-29.9
-29.5
-28.9
-28
-39.8
-39.3
-38.4
-37.2
-14.9
-14.8
-14.5
-24.9
-24.6
-24.1
-23.4
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
1.377
1.423
3.139
1.650
3.606
5.739
8.093
2.029
4.315
6.805
9.333
2.616
5.410
8.263
10.842
1.458
3.294
5.394
1.893
3.945
6.177
8.567
0.001
0.654
1.369
2.992
5.081
7.518
10.160
13.037
16.020
18.916
-1.376
-3.006
-3.104
-7.520
-7.461
-7.424
-7.535
-13.051
-12.892
-12.690
-12.599
-18.909
-18.495
-18.018
-17.629
-5.084
-5.137
-5.190
-10.182
-10.072
-9.951
-10.016
-1.383
-1.382
-1.381
-1.437
-1.466
-1.660
-1.923
-2.039
-2.360
-2.613
0.512
0.527
0.540
0.571
0.576
0.589
0.602
0.621
0.631
0.641
0.661
0.686
0.696
0.714
0.739
0.552
0.557
0.570
0.590
0.598
0.609
0.622
0.503
0.504
0.507
0.527
0.549
0.570
0.587
0.619
0.659
0.688
D7
Cn
Cm
Cl
0.404
0.396
0.000
0.109
0.421
0.027
-0.135 -0.111 -0.010
-2.602
0.252
0.065
-2.955 -0.828 0.060
-3.212 -2.459 0.001
-3.982 -4.270 -0.005
-7.983 -0.882 0.119
-8.628 -2.628 0.109
-9.053 -4.958 0.062
-10.093 -7.442 0.102
-14.684 -2.567 0.045
-15.643 -5.308 0.192
-16.815 -8.669 0.370
-18.405 -12.674 0.334
-0.911
0.718
0.016
-1.350 -0.165 0.015
-1.497 -1.657 -0.019
-4.934 -0.711 0.005
-5.397 -1.818 0.021
-5.760 -3.514 0.001
-6.496 -5.583 0.003
0.312
0.004
0.002
0.335
0.345
0.015
0.410
0.402
0.000
0.380
0.116 -0.038
0.685
-0.946 -0.036
0.182
-2.586 -0.090
-0.864 -4.793 -0.027
-0.941 -7.834 -0.129
-2.046 -11.236 -0.053
-2.604 -14.602 -0.066
D.1. TABLAS DE RESULTADOS
Cuadro D.12: CFD Numerical Experiments. Calculation of roll control moment at
NASA Model Missile with δp = 5 deg
α
CN
CA
CS
Cl
0
5
10
15
20
25
30
40
0.001
1.376
2.978
5.041
7.528
10.135
12.887
18.929
0.572
0.580
0.606
0.633
0.656
0.681
0.705
0.774
0.000
0.005
0.010
0.042
0.134
0.177
0.244
0.342
0.612
0.616
0.618
0.610
0.596
0.618
0.638
0.662
D8
Cn
Cm
0.014 -0.002
0.032 0.258
0.083 -0.069
0.314 -0.668
0.801 -2.371
1.247 -4.399
1.803 -6.895
2.205 -14.287
Apéndice E
Coeficientes Aerodinámicos
Las tablas a continuación contiene los coeficientes aerodinámicos calculados para el
misil base, de acuerdo al modelo descrito en el capı́tulo dos de la tesis. El modelo para
el misil de control doble requiere un total de 166 coeficientes. Todos los coeficientes
aquı́ referidos son por ángulo de ataque en grados.
Coeficientes para el Control Aislado
Cuadro E.1: Aero Coefficients for Equations 2.24 and 2.40
Coefficient
Value
Calculation Method
c1
c3
c5
7,502 · 10−2
−9,574 · 10−6
6,186 · 10−8
2,371
25,226
Semi-experimental Datcom Method
Semi-experimental Datcom Method
Semi-experimental Datcom Method
Experimental formula 2.40
Equation 2.41
cN ss
iss
Coeficientes de Fuerza Normal y Lateral
Cuadro E.2: Aero Coefficients for Equations 2.42 and 2.43
Coefficient
CNα
CSβ
CNα|α|
CSβ|β|
C N α3
Value
Calculation Method
−1
2,020 · 10
2,020 · 10−1
1,110 · 10−2
1,110 · 10−2
−1,131 · 10−5
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
Continued on next page
E1
Cuadro E.2 – continua de la página anterior
Coefficient
Value
Calculation Method
−5
CS β 3
−1,131 · 10
CN β 2 α
2,73782 · 10−4
CSα2 β
−4
2,73782 · 10
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
CFD only data fit, Table D.11
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
CNδqc
6,554 · 10−2
CSδrc
CNαδqc
−6,554 · 10−2
−8,846 · 10−4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
CSβδrc
CNβ2 δc
8,846 · 10−4
2,74617 · 10−4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
CSα2 δc
−2,74617 · 10−4
q
r
−2
6,961 · 10
CNδt
q
−6,961 · 10−2
CSδt
r
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
Data fit,from Table D.8 and D.9
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
CNαδt
4,066 · 10−4
CSβδt
−4,066 · 10−4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
CNβ2 δt
2,746 · 10−4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
CSα2 δt
−2,746 · 10−4
Data fit,from Table D.8 and D.9
CNδc δt
−4,040 · 10−4
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
CS δ c δ t
4,040 · 10−4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
−1
Semi-experimental Datcom Method
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Semi-experimental Datcom Method
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
q
r
q
r
q q
r r
CN q
CSr
CNα̇
CSβ̇
5,734 · 10
5,734 · 10−1
−2,781 · 10−2
−2,781 · 10−2
Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3
Coeficientes de Momento de Cabeceo y Guiñada
Cuadro E.3: NASA Missile Pitch and Yaw Moment Aero Coefficients for Equations
2.44, 2.45, 2.46 and 2.47, 2.48, 2.49
Coefficient
Value
Calculation Method
Cm α
Cnβ
Cmα|α|
Cnβ|β|
Cmα3
Cn β 3
1,373 · 10−1
−1,373 · 10−1
−1,020 · 10−2
1,020 · 10−2
−6,864 · 10−5
6,854 · 10−5
Data fit, from Table D.5, and D.4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Data fit, from Table D.5, and D.4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Data fit, from Table D.5, and D.4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cmβ2 α
−4,676 · 10−4
Data fit, from Table D.11
Continued on next page
E2
Cuadro E.3 – continua de la página anterior
Coefficient
Value
Calculation Method
−4
Cnα2 β
4,676 · 10
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
1
Cm
αδ c
1,112 · 10−1
Data fit, from Table D.5, and D.4
2
Cm
αδ c
1,067 · 10−1
Data fit, from Table D.5, and D.4
3
Cm
αδ c
7,037 · 10−1
Data fit, from Table D.5, and D.4
αδ1qc
1,852
Data fit, from Table D.5, and D.4
αδ2qc
−2,463
Data fit, from Table D.5, and D.4
αδ3qc
321,2
Data fit, from Table D.5, and D.4
Cm δ c δ t
2,800 · 10−3
Data fit, from Table D.5, and D.4
∆αδ1qc
2,754
Data fit, from Table D.5, and D.4
∆αδ2qc
10,740
Data fit, from Table D.5, and D.4
∆αδ3qc
0
Cm
αδ t
330,7
q
q
q
q q
Data fit, from Table D.5, and D.4
−1
−5,014 · 10
Data fit, from Table D.5, and D.4
q
1
Cm
αδ t
3,520 · 10−3
Data fit, from Table D.5, and D.4
2
Cm
αδ t
1,384 · 10−4
Data fit, from Table D.5, and D.4
3
Cm
αδ t
−1,705 · 10−5
Data fit, from Table D.5, and D.4
4
Cm
αδ t
1,916 · 10−7
Data fit, from Table D.5, and D.4
Cn1βδc
1,112 · 10−1
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cn2βδc
1,067 · 10−1
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cn3βδc
r
−1
7,037 · 10
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cnδc δt
2,800 · 10−3
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
βδ1rc
βδ2rc
βδ3rc
∆βδ1rc
∆βδ2rc
∆βδ3rc
Cn0βδt
1,852
−2,463
321,2
2,754
10,740
330,7
−5,014 · 10−1
Cn1βδt
3,520 · 10−3
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cn2βδt
1,384 · 10−4
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cn3βδt
−1,705 · 10−5
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cn4βδt
1,916 · 10−7
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
q
q
q
q
r
r
q q
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
and
and
and
and
and
and
and
Fig
Fig
Fig
Fig
Fig
Fig
Fig
2.1
2.1
2.1
2.1
2.1
2.1
2.1
sign
sign
sign
sign
sign
sign
sign
criteria
criteria
criteria
criteria
criteria
criteria
criteria
r
r
r
r
r
Cm β 2 δ c
−1,148 · 10−3
Data fit,from Table D.8 and D.9
Cm β 2 δ t
−1,148 · 10−3
Data fit,from Table D.8 and D.9
q
q
Continued on next page
E3
Cuadro E.3 – continua de la página anterior
Coefficient
Value
Calculation Method
Cnα2 δc
−3
−1,148 · 10
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cnα2 δt
−1,148 · 10−3
Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria
Cmq
Cnr
Cmα̇
Cnβ̇
−18,560
−18,560
−1,405
1,405
r
r
Semi-experimental
Semi-experimental
Semi-experimental
Semi-experimental
Datcom
Datcom
Datcom
Datcom
Method
Method
Method
Method
Coeficientes de Balanceo Aerodinámico
Cuadro E.4: NASA Missile Aero Roll Moment Coefficients, Equations 2.50, 2.51, 2.53,
and 2.54
Coefficient
Value
Calculation Method
−4
Cli01
Cli21
Cli41
Cli61
Cli02
Cli22
Cli42
Cli62
Cl1αδc
4,074 · 10
1,934 · 10−4
−4,948 · 10−7
3,305 · 10−10
1,697 · 10−4
6,984 · 10−5
−3,296 · 10−7
4,303 · 10−10
4,868 · 10−2
Cl2αδc
1,933 · 10−2
Data fit, Table D.8 and D.9
Cl3αδc
9,041 · 10−3
Data fit, Table D.8 and D.9
Cl4αδc
4,599 · 10−3
Data fit, Table D.8 and D.9
Cl5αδc
2,854 · 10−3
Data fit, Table D.8 and D.9
Cl6αδc
r
Cl7αδc
r
1
ωαδ
c
r
2
ωαδrc
3
ωαδ
c
r
4
ωαδrc
5
ωαδ
c
r
−3
2,799 · 10
Data fit, Table D.8 and D.9
1,895 · 10−3
Data fit, Table D.8 and D.9
7,826 · 10−2
1,587 · 10−1
3,141 · 10−1
4,712 · 10−1
7,855 · 10−1
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
Data
fit,
fit,
fit,
fit,
fit,
fit,
fit,
fit,
fit,
Table
Table
Table
Table
Table
Table
Table
Table
Table
D.10 and D.11
D.10 and D.11
D.10 and D.11
D.10 and D.11
D.10 and D.11
D.10 and D.11
D.10 and D.11
D.10 and D.11
D.8 and D.9
r
r
r
r
r
fit,
fit,
fit,
fit,
fit,
Table
Table
Table
Table
Table
D.8
D.8
D.8
D.8
D.8
and
and
and
and
and
D.9
D.9
D.9
D.9
D.9
Continued on next page
E4
Cuadro E.4 – continua de la página anterior
Coefficient
Value
Calculation Method
−1
6
ωαδ
c
r
7
ωαδ
c
r
1
φαδrc
φ2αδrc
φ3αδrc
φ4αδrc
φ5αδrc
φ6αδrc
φ7αδrc
Cl1βδc
q
6,283 · 10
9,425 · 10−1
2,647
−1,970
−2,654
2,436 · 10−1
−2,433
2,315
−1,071
4,868 · 10−2
Data fit, Table
Data fit, Table
Data fit, Table
Data fit, Table
Data fit, Table
Data fit, Table
Data fit, Table
Data fit, Table
Data fit, Table
Equation 2.53
Cl2βδc
1,933 · 10−2
Equation 2.53
Cl3βδc
9,041 · 10−3
Equation 2.53
Cl4βδc
4,599 · 10−3
Equation 2.53
Cl5βδc
2,854 · 10−3
Equation 2.53
Cl6βδc
2,799 · 10−3
Equation 2.53
Cl7βδc
1,895 · 10−3
Equation 2.53
1
ωβδ
c
q
7,826 · 10−2
Equation 2.53
2
ωβδ
c
q
1,587 · 10−1
Equation 2.53
3
ωβδ
c
q
3,141 · 10−1
Equation 2.53
−1
4,712 · 10
Equation 2.53
7,855 · 10−1
Equation 2.53
6,283 · 10−1
Equation 2.53
−1
Equation 2.53
D.8
D.8
D.8
D.8
D.8
D.8
D.8
D.8
D.8
and
and
and
and
and
and
and
and
and
D.9
D.9
D.9
D.9
D.9
D.9
D.9
D.9
D.9
q
q
q
q
q
q
4
ωβδ
c
q
5
ωβδqc
6
ωβδ
c
q
7
ωβδqc
φ1βδqc
φ2βδqc
φ3βδqc
φ4βδqc
φ5βδqc
φ6βδqc
φ7βδqc
Cl1α δp
T
Cl2α δp
T
Cl3α δp
T
1
αT δp
9,425 · 10
2,647
Equation 2.53
−1,970
Equation 2.53
−2,654
Equation 2.53
−1
2,436 · 10
Equation 2.53
−2,433
Equation 2.53
2,315
Equation 2.53
−1,071
Equation 2.53
5,441 · 10−2
Data fit, Table D.12
1,215 · 10−1
Data fit, Table D.12
−5,458 · 10−3
Data fit, Table D.12
56,8
Data fit, Table D.12
Continued on next page
E5
Cuadro E.4 – continua de la página anterior
Coefficient
Value
Calculation Method
αT2 δp
αT3 δp
∆αT1 δp
∆αT2 δp
∆αT3 δp
2,317
20,18
29,08
77,93
5,328
−1,935
Data fit, Table D.12
Data fit, Table D.12
Data fit, Table D.12
Data fit, Table D.12
Data fit, Table D.12
Eastman Correlation, from (Mikhail, 1995)
Cl p
Coeficientes de Fuerza Axial
Cuadro E.5: NASA Missile Axial Force Aero-model Coefficients, Equation 2.55
Coefficient
Value
Calculation Method
−1
CA0
CAα
CAβ
C A α2
C A α3
∆CAb
CAδqc
4,362 · 10
3,886 · 10−3
3,886 · 10−3
−7,642 · 10−5
2,111 · 10−6
1,062 · 10−1
2,266 · 10−2
CAαδqc
1,348 · 10−3
Data fit, Table D.6 and D.7
CAβδqc
1,001 · 10−5
Data fit, Table D.8 and D.9
CAδrc
CAαδrc
CAβδrc
CAδp
CAδ t
−2
2,266 · 10
1,001 · 10−5
1,348 · 10−3
2,720 · 10−2
−2,282 · 10−2
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Data fit, Table D.12
Data fit, Table D.6 and D.7
CAαδt
1,904 · 10−3
Data fit, Table D.6 and D.7
q
q
C A α2 δ t
q
−5
−2,708 · 10
CAβδt
1,011 · 10−5
CAδ t
−2,282 · 10−2
q
r
CAαδt
r
−5
1,011 · 10
C A α2 δ t
−1,001 · 10−6
CAβδt
1,904 · 10−3
r
r
Data fit, Table D.6 and D.7
Data fit, Table D.6 and D.7
Data fit, Table D.11 and Tetra-Symmetry
Data fit, Table D.6 and D.7
Data fit, Table D.6 and D.7
Semi-experimental Datcom Method
Data fit, Table D.6 and D.7
Data fit, Table D.6 and D.7
Data fit, Table D.8 and D.9
Tetra-Symmetry
Tetra-Symmetry
Data fit, Table D.8 and D.9
Tetra-Symmetry
Continued on next page
E6
Cuadro E.5 – continua de la página anterior
Coefficient
Value
Calculation Method
CAδ c δ t
−3
1,600 · 10
Data fit, Table D.6 and D.7
CAαδc δt
2,227 · 10−5
Data fit, Table D.6 and D.7
CAδ c 2 δ t
5,000 · 10−5
Data fit, Table D.6 and D.7
−5,000 · 10−5
Data fit, Table D.6 and D.7
q q
q q
q
CA
q
c δt 2
δq
q
CAδ c δ t
1,600 · 10−3
Tetra-Symmetry
CAβδc δt
2,227 · 10−5
Tetra-Symmetry
CAδ c 2 δ t
−5
Tetra-Symmetry
r r
r r
r
CA
5,000 · 10
r
c δt 2
δr
r
−5,000 · 10−5
Tetra-Symmetry
Coeficientes para Variación con el Mach
Cuadro E.6: Mach Dependence Coefficients for equation 2.58
Coefficient
∂CA ∂M∞ M∞
∂CNα ∂M∞ M∞
∂CSβ ∂M∞ M∞
∂Cm ∂M∞ M∞
∂Cn ∂M∞ Value
Calculation Method
−0,08471
Semi-experimental Datcom Method
−0,06218
Semi-experimental Datcom Method
−0,06218
Semi-experimental Datcom Method
−0,00885
Semi-experimental Datcom Method
−0,00885
Semi-experimental Datcom Method
M∞
E7
Apéndice F
Dinámica del Misil y Cinemática
Terminal
F.1.
Velocidad en ejes cuerpo y viento
W
b
vM
= SWB · VM
(F.1)

SWB
F.2.

cαcβ sβ sαcβ


= −cαsβ cβ −sαsβ 
−sα
0
cα
(F.2)
Ángulos de Euler y Cuaterniones
Los ángulos de Euler del misil (θ, ψ, φ) definen la matriz de transformación a ejes
cuerpo M X B Y B Z B de la referencia inercial M X L Y L Z L . La secuencia de la rotación
se define como guiñada, ψ, cabeceo θ y balanceo φ (ver figura F.1):

SBL

cθcψ
cθsψ
−sθ


=  sφsθcψ−cφsψ sφsθsψ + cφcψ sφcθ
cφsθcψ + sφsψ cφsθsψ − sφcψ cφcθ
(F.3)
Sin embargo los ángulos de Euler causan singularidades cuando el valor de θ es
grande, (Tewari, 2007). Se prefiere la aproximación de los cuaterniones para misiles:

SBL

q02 + q12−q22 − q32
2(q1 q2 + q0 q3 )
2(q1 q3−q0 q2 )


=  2(q1 q2 − q0 q3 ) q02 − q12 + q22 − q32
2(q2 q3 + q0 q1 ) 
2(q1 q3 + q0 q2 )
2(q2 q3 − q0 q1 ) (q02 − q12 − q22 + q32 )
La ecuación F.4 solo contiene expresiones algebraicas. De F.3 y F.4:
F1
(F.4)
F.3. ECUACIONES CINEMÁTICAS Y DINÁMICAS CON CUATERNIONES
ZL = z 0
ZB
z 00
θ
φ
YB
ψ
ψ
XL
x0
0
00
YL y = y
θ
XB = x00
Figura F.1: Definición de ángulos de Euler para misiles
tψ =
tφ =
2(q1 q2 + q0 q3 )
+ q12 − q22 − q32 )
(F.5)
2(q2 q3 + q0 q1 )
− q12 − q22 + q32 )
(F.6)
(q02
(q02
sθ = −2(q1 q3−q0 q2 )
F.3.
(F.7)
Ecuaciones cinemáticas y dinámicas con cuaterniones
La cinemática de la rotación se obtiene a través de la derivada en el tiempo de los
cuaterniones:






q̇0
q̇1
q̇2
q̇3



0 −p −q −r
q0



 1 p 0

r −q 
= 
  q1
 2 q −r 0

p


  q2
r q −p 0
q3






(F.8)
La ecuación de la dinámica de la traslación, con aproximación de tierra plana, se
F2
F.3. ECUACIONES DINÁMICAS
define a través de la ecuación de Newton:
B
dVM
B
B
+ mSBL · gL
(F.9)
+ m · ΩB
M VM = F
dt
donde m es la masa instantánea del misil incluido el propulsante no consumido:
m

ΩB
M

0 −r q


= r
0 −p
−q p
0
(F.10)
B
es el tensor oblicuo-simétrico de ωM
. Las fuerzas actuando en el misil son aerodinámicas, ecuación (2.9)- y la propulsión del motor cohete:

FB
 

FA
T

 

= −  FS  +  0 
FN
0
(F.11)
y la referencia inercial M X L Y L Z L se orienta de modo que:


0
 
gL =  0 
g
(F.12)
La aceleración del misil, excluida la gravedad, se representa por el vector:
nB =
1 B
F
m
(F.13)
En forma escalar F.9 es:
1
(FA − T ) + 2g(q1 q3 − q0 q2 )
m
1
v̇ = pw − ru − FS + 2g(q2 q3 + q0 q1 )
m
1
ẇ = qu − pv − FN + g(q02 − q12 − q22 + q32 )
m
u̇ = rv − qw −
(F.14a)
(F.14b)
(F.14c)
La dinámica de la rotación está gobernada por la ecuación de Euler:
dΩB
−1 M
B
B
B
= I B · −ΩB
·
I
·
ω
(F.15)
M
M +M
dt
donde se desprecia la variación del momento de inercia con el tiempo. El momento de
inercia del misil es:
F3
F.3. ECUACIONES DINÁMICAS
IB
 B

Ix 0 0


=  0 IyB 0 
0 0 IzB
(F.16)
donde IyB = IzB asumiendo tetra-simetrı́a perfecta. Los únicos momentos actuando
sobre el misil son los momentos aerodinámicos, donde no se consideran los momentos
de amortiguamiento causados por el chorro.

MB

Lcm


=  Mcm 
Ncm
(F.17)
En forma escalar, F.15 es:
−1
ṗ = Ixb Lcm
−1 b
q̇ = Iyb
Iy − Ixb pr + Mcm
−1 b
ṙ = Iyb
Ix − Iyb pq + Ncm
(F.18a)
(F.18b)
(F.18c)
El momento de cabeceo está acoplado con el de guiñada si el balanceo no es nulo,
un efecto que se agrava cuando los valores de incidencia son altos (los valores de v y w
son proporcionales a la incidencia a través de las ecuaciones 2.4 y 2.5).
Algunas definiciones útiles son:
rTLM
krTLM k
ts =
(F.19)
h
iT
VTLM = ẋL ẏ L ż L
(F.20)
L
VTLM = ṙTLM = VTL − VM
(F.21)
VcL = −
rTLM · VTLM
krTLM k
L
−V̇TLM = −ts nL
T −n
(F.22)
(F.23)
En general la velocidad de colisión debe ser positiva durante la mayor parte del
encuentro aire-aire, el misil debe tener una ventaja de velocidad sobre el blanco (Shneydor, 1998). La condición es igual a:
F4
F.3. ECUACIONES DINÁMICAS
rTLM · VTLM < 0
(F.24)
esta condición también se expresa como:
L
ts · VM
> ts · VTL
(F.25)
El time-to-go hasta la interceptación se define como:
tgo = −
rTLM · VTLM
VTLM · VTLM
(F.26)
Time-to-go es un componente fundamental de la ley de guiado óptimo (Zarchan,
2012, 2007) Aunque algunos modelos más elaborados incluyen por ejemplo las instrucciones de guiado anteriores o la resistencia aerodinámica (Tsourdos et al., 2011) en esta
tesis se empleará la estimación definida por la ecuación F.26. La velocidad angular de
la lı́nea de mira es:
L
ωLOS
=
rTLM ∧ VTLM
krTLM k2
(F.27)
B
ωLOS
=
rTBM ∧ VTBM
krTBM k2
(F.28)
y en ejes cuerpo:
en álgebra tensorial se define como:
  B
ẋr
0
−zrB yrB
1
  B
 B
B
= B 2  zr
0
−xr  · ẏr 
krT M k
żrB
−yrB xB
0
r

B
ωLOS
(F.29)
siendo
yrB żrB − zrB ẏrB
2
B 2
B 2
(xB
r ) + (yr ) + (zr )
B B
zrB ẋB
r − xr żr
=
2
B 2
B 2
(xB
r ) + (yr ) + (zr )
B
B B
ẋB
r ẏr − ẏr ẋr
=
2
B 2
B 2
(xB
r ) + (yr ) + (zr )
B
ωLOS
=
x
(F.30a)
B
ωLOS
y
(F.30b)
B
ωLOS
z
(F.30c)
Si el misil y el blanco están en curso de colisión, entonces se verifica que ωLOS = 0,
L
VM
y VTL son vectores coplanarios y se verifica que:
rTLM ,
L
= ts ∧ VTL
ts ∧ VM
F5
(F.31)
F.3. ECUACIONES DINÁMICAS
Las razones para que ωLOS 6= 0 son cambios en la velocidad del misil y del blanco,
o que las velocidades de misil y blanco no están alineadas con el triángulo de colisión.
F6
Apéndice G
Elementos de Matrices en el
Espacio-Estado
G.1.
Definiciones
Coeficiente de empuje
CT =
T
q∞ Sref
(G.1)
Factor de amortiguamiento en α̇
Dα̇ = 1 +
q∞ Sref cα d
CN
mVM cβ 2VM α̇
(G.2)
q∞ Sref
d
cβ
CS
mVM
2VM β̇
(G.3)
Factor de amortiguamiento en β̇
Dβ̇ = 1 +
G.2.
Elementos de la Matriz de Estado Aerodinámica
Se consideran los coeficientes de la matriz:
 a
a11
 a
a21

a
Aa = 
a31
 a
a41
aa51
aa12
aa22
aa32
aa42
aa52
G1
aa13
aa23
aa33
aa43
aa53
aa14
aa24
0
aa44
aa54

aa15

aa25 

0

a 
a45 
aa55
G.2. MATRIZ DE ESTADO
aa11
aa12
q∞ Sref sα
CAα + CAα2 |α| + CAα3 α2 sgn α
=
mVM Dα̇ cβ
sinc α
+
(CA0 + ∆CAb − CT )
cβ
cα 2
2
CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α + CNβ2 α β Υα
−
cβ
q∞ Sref
=
mVM
sα
cα
CAβ sgn β − CNβ2 α (1 − Υα )αβ
cβ
cβ
aa13 = −
aa14
1
q∞ Sref d cα
=
1−
CN
Dα̇
2mVM2 cβ q
aa15 = −
aa21 =
1
cαtβ
Dα̇
1
sαtβ
Dα̇
(G.4)
(G.5)
(G.6)
(G.7)
(G.8)
q∞ Sref cαsβ CAα + CAα2 |α| + CAα3 α2 sgn α
mVM Dβ̇
− cβCSα2 β (1 − Υβ ) βα
i
+sαsβ CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α2 + CNβ2 α β 2 Υα
(G.9)
aa22 =
q∞ Sref cαsβCAβ sgn β
mVM Dβ̇
2
2
−cβ CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β + CSα2 β α Υβ +
i
+ CNβ2 α βα (1 − Υα ) + cα sinc β (CA0 + ∆CAb − CT ) (G.10)
1
sα
Dβ̇
(G.11)
q∞ Sref d
sαsβCNq
2mVM2
(G.12)
aa23 =
aa24 =
aa25
1 q∞ Sref d
=−
cβCSr + cα
Dβ̇ 2mVM2
G2
(G.13)
G.2. MATRIZ DE ESTADO
aa31 =
2
q∞ Sref d
αs
(4φ
)
C
+
2C
c
(4φ
)
+
C
+
2C
c
(4φ
)
α
a
l
l
a
l
l
a
i21
i22
i41
i42
IxB
+ Cli61 + 2Cli62 c (4φa ) α4 (G.14)
aa32 =
q∞ Sref d
βs
(4φ
)
C
+
2C
c
(4φ
)
a
l
l
a
i
i
01
02
IxB

aa33 =
aa41 =
n6
q∞ Sref d d
X k
C
C
e
l 
IxB 2VM p k=1 lαT δp
αT −αk
Tδ
∆αk
T δp
!2 
p


(G.16)
q∞ Sref d h
Cmα + Cmα|α| |α| + Cmα3 α2 + Cmβ2 α β 2 Υα +
IyB
i
2
2
(G.17)
s̄ CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α + CNβ2 α β αΥα
aa42 =
q∞ Sref d
(1
−
Υ
)
αβ
C
+
s̄C
α
mβ 2 α
Nβ 2 α
IyB
aa43 = r
aa44 =
q∞ Sref d2
Cmq + s̄CNq
B
2VM Iy
aa45 = −
aa51 =
aa52
(G.15)
IxB
p
IyB
q∞ Sref d2
(1
−
Υ
)
αβ
C
−
s̄C
β
nα2 β
Sα2 β
2VM IyB
(G.18)
(G.19)
(G.20)
(G.21)
(G.22)
q∞ Sref d h
=
Cnβ + Cnβ|β| |β| + Cnβ3 β 2 + Cnα2 β α2 Υβ
b
Iy
i
−s̄ CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β 2 + CSα2 β α2 Υβ
(G.23)
aa53 = −q
(G.24)
Ixb
IyB
(G.25)
aa54 = p
G3
G.3. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ENTRADA DEL CONTROL
aa55 =
G.3.
q∞ Sref d2
(Cnr − s̄CSr )
2VM IyB
(G.26)
Elementos de la Matriz de Entrada del Control
Se consideran los coeficientes de la matriz:
 a
b11
 a
b21

a
Ba = 
b31
 a
b41
0
ba11
q∞ Sref
=
mVM Dα̇
cα
sα
c
CA c sgn δq − CNδqc
cβ δq
cβ
sα
cα
sα
cα
2
+α
CA c − CN c + β CAβδqc − CNβ2 δc β
(G.27)
q
cβ αδq cβ αδq
cβ
cβ
ba12 =
q∞ Sref sα CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β
mVM Dα̇ cβ
(G.28)
q∞ Sref sα
CA sgn δp
mVM Dα̇ cβ δp
(G.29)
ba13 =
ba14

ba12 ba13 ba14 ba15

ba22 ba23 ba24 ba25 

ba32 ba33 0
0


0
0 ba44 0 
0 ba55
ba52 0
q∞ Sref
sα
cα
t
=
CA sgn δq − CNδt
q
mVM Dα̇
cβ δqt
cβ
sα
cα
sα
sα
cα
2
2
CA − CNαδt +
CA α + β CAβδt − CNβ2 δt β
(G.30)
+α
q
q
q
cβ αδqt
cβ
cβ α2 δqt
cβ
cβ
ba15 =
ba21 =
q∞ Sref sα CAδt sgn δrt + αCAαδt + CAα2 δt α2 + βCAβδt
r
r
r
r
mVM Dα̇ cβ
(G.31)
q∞ Sref h
cαsβ CAδqc sgn δqc + CAαδqc α + CAβδqc β
mVM Dβ̇
i
2
+ sαsβ CNδqc + CNβ2 δc β + CNαδqc α
(G.32)
q
G4
G.3. MATRIZ ENTRADA CONTROL
ba22 =
q∞ Sref h
cαsβ CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β
mVM Dβ̇
i
2
− cβ CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α
(G.33)
r
ba23 =
ba24
q∞ Sref
cαsβCAδp sgn δp
mVM
(G.34)
q∞ Sref h
t
2
=
cαsβ CAδt sgn δq + CAαδt α + CAβδt β + CAα2 δt α
q
q
q
q
mVM Dβ̇
i
+ sαsβ CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β 2
(G.35)
q
ba25
q
q
q∞ Sref h
t
2
cαsβ sgn δr CAδt + CAαδt α + CAβδt β + CAα2 δt α
=
r
r
r
r
mVM Dβ̇
i
− cβ CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2
(G.36)
r
ba31
ba32
q∞ Sref d
=
IxB
q∞ Sref d
=
IxB
n5
X
ba41
k
k
Clkβδc s ωβδ
c β + φβδ c β
q
q
r
!
(G.37)
q
k=1
n4
X
k
k
Clkαδc s ωαδ
c α + φαδ c α
r
r
!
(G.38)
r
k=1

ba33 =
r
n6
X
q∞ Sref d 
Clkα δp e

B
T
Ix
k=1
αT −αk
Tδ
∆αk
T δp
!2 
p


(G.39)
i
q∞ Sref d h
2
2
c
=
Cmδq (α) + Cmβ2 δc β + s̄ CNδqc + αCNαδqc + CNβ2 δc β
q
q
IyB
(G.40)
i
q∞ Sref d h
2
2
t (α) + Cm
C
β
+
s̄
C
+
αC
+
C
β
N
N
N
mδ
t
t
t
t
q
β 2 δq
δq
αδq
β 2 δq
IyB
(G.41)
i
q∞ Sref d h
2
2
c
C
(β)
+
C
α
−
s̄
C
+
βC
+
C
α
nδr
n α2 δ c
Sδrc
Sβδrc
Sα2 δc
r
r
IyB
(G.42)
ba44 =
ba52 =
G5
G.4. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE CONTROL CRUZADO
ba55 =
G.4.
i
q∞ Sref d h
2
2
t
(β)
+
C
α
−
s̄
C
+
βC
+
C
α
C
n α2 δ t
Sδt
Sβδt
Sα2 δt
nδr
r
r
r
r
IyB
(G.43)
Elementos de la Matriz de Control Cruzado
Consideramos los coeficientes de la matriz:
 a
mq
 a 11
mq 21

q
Ma = 
 0

 0
0
maq 11 =
maq 14
0 maq 14
0 maq 24
0
0
0 maq 44
0
0

0

0

0


0
0
q∞ Sref sα
CA
(1 − Υq ) δqt
mVM Dα̇ cβ δqc 2 δqt
(G.44)
q∞ Sref sα
t
c
=
CAδc δt + CA c t 2 δq + CAδc 2 δt Υq δq + CAαδc δt α
δq δq
q q
q q
q q
mVM Dα̇ cβ
cα
CNδc δt + CNαδc δt α
−
(G.45)
q q
q q
cβ
maq 21 =
maq 24
0
0
0
0
0
q∞ Sref
cαsβCAδc 2 δt δqt (1 − Υq )
q q
mVM Dβ̇
(G.46)
q∞ Sref
t
c
cαsβ CAδc δt + CAαδc δt α + CA c t 2 δq + CAδc 2 δt δq Υq
=
δq δq
q q
q q
q q
mVM Dβ̇
i
+sαsβ CNδc δt + CNαδc δt α
(G.47)
q q
maq 44 =
i
q∞ Sref d h
C
+
C
α
+
s̄
C
+
C
α
m
m
N
N
c δt
c δt
c δt
c δt
δq
αδq
δq
αδq
q
q
q
q
Iyb
y para la matriz:

0 mar 12

0 mar 22

Mar = 
0
0

0
0
0
0
G6
0
0
0
0
0

0 mar 15

0 mar 25 

0
0 


0
0 
0 mar 55
q q
(G.48)
G.4. MATRIZ DE CONTROL CRUZADO
mar 12 =
mar 15 =
(G.49)
q∞ Sref sα CAδc δt + CA c t 2 δrt + CAδc 2 δt Υr δrc + CAβδc δt β
δr δr
r r
r r
r r
mVM Dα̇ cβ
mar 22 =
mar 25 =
q∞ Sref sα
CA
(1 − Υr ) δrt
mVM Dα̇ cβ δrc 2 δrt
q∞ Sref
cαsβCAδc 2 δt δrt (1 − Υr )
r r
mVM Dβ̇
(G.50)
(G.51)
q∞ Sref h
cαsβ CAδc δt + CAβδc δt β + CAδc 2 δt δrc Υr + CA c t 2 δrt
δr δr
r r
r r
r r
mVM Dβ̇
i
−cβ CSδc δt + CSβδc δt β
(G.52)
r r
mar 55
r r
i
q∞ Sref h
=
Cnδc δt + Cnβδc δt β − s̄ CSδc δt + CSβδc δt β
r r
r r
r r
r r
mVM
(G.53)
Finalmente la matriz combinada es:
 a
m 11 ma 21
 a
m 21 ma 22

Ma = 
0
 0
 a
0
m 41
0
ma 52

0 ma 41 ma 51

0 ma 42 ma 52 

0
0
0 


a
0 m 44
0 
0
0
ma 55
ma 11 = δqc maq 11 + δqt maq 14 (1 − Υq )
(G.54)
ma 12 = δrc mar 12 + δrt mar 15 (1 − Υr )
(G.55)
ma 14 = δqc maq 14 Υq
(G.56)
ma 15 = δrc mar 15 Υr
(G.57)
ma 21 = δqc maq 21 + δqt maq 24 (1 − Υq )
(G.58)
ma 22 = δrc mar 22 + δrt mar 25 (1 − Υr )
(G.59)
G7
G.5. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ACELERACIONES
G.5.
ma 24 = δqc maq 24 Υq
(G.60)
ma 25 = δrc mar 25 Υr
(G.61)
ma 41 = δqt maq 44 (1 − Υq )
(G.62)
ma 44 = δqc maq 44 Υq
(G.63)
ma 52 = δrt mar 55 (1 − Υr )
(G.64)
ma 55 = δrc mar 55 Υr
(G.65)
Elementos de la Matriz de Aceleraciones
Se consideran los coeficientes de la matriz:
"
Ha =
ha11
ha21
ha11 = −
ha12
ha12
ha22
0 0
0 ha24
ha15
#
0
q∞ Sref
CSα2 β αβΥn
m
q∞ Sref 2
2
=−
CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β + CSα2 β α (1 − Υn )
m
ha15 = −
ha21 = −
q∞ Sref d
CS
m 2VM r
q∞ Sref CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α2 + CNβ2 α β 2 (1 − Υn )
m
ha22 = −
(G.66)
(G.67)
(G.68)
(G.69)
q∞ Sref
CNβ2 α αβΥn
m
(G.70)
q∞ Sref d
CN
m 2VM q
(G.71)
ha24 = −
y para la matriz:
G8
G.6. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ACTUACIONES
"
a
0 la 0 0 l15
La = a 12
a
0
l21 0 0 l24
a
l12
=−
a
l15
=−
i
q∞ Sref h
CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 + Υn CSδc δt + CSβδc δt β δrt
r
r r
r r
m
(G.72)
i
q∞ Sref h
CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2 + (1 − Υn ) CSδc δt + CSβδc δt β δrc (G.73)
r
r
r
r r
r r
m
a
l21
=−
i
q∞ Sref h
CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2 + Υn CNδc δt + CNαδc δt α δqt
q
q q
q q
m
a
l24
=−
G.6.
#
(G.74)
i
q∞ Sref h
CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β 2 + (1 − Υn ) CNδc δt + CNαδc δt α δqc
q
q
q
q q
q q
m
(G.75)
Elementos de la Matriz de Actuaciones

Hm =
0
0
0
0
hm
0
0
0
0
hm
11
16
 m
m
m
m
 h21
0
h
0
0
0
0
h
0
h
29
26
28

 0
hm
0
0
0
0
hm
0
0
0

32
37

 0
hm
0
0
0
0
hm
hm
0
hm
42
47
48
4,10

 0
m
0
0
0
0
0
0
0
0
h53


m
 0
0
0
h
0
0
0
0
0
0
64

 0
m
0
0
0
h
0
0
0
0
0

75
 m
 h81
0
0
0
0
0
0
0
0
0

 0
0
0
0
0
0
0
0
0
hm

92
 m
h10,1 hm
0
0
hm
0
hm
0
0
hm
10,2
10,5
10,7
10,10

hm
m
m
m
m
0
h11,6
0
0 h11,9
0
 11,1 h11,2 0 h11,4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
hm
21

···
0

···
0 

···
0 


···
0 

···
0 


···
0 

···
0 


···
0 

···
0 


···
0 

···
0 

· · · hm
12,21
hm
11 = KcB
(G.76)
hm
16 = kcB
(G.77)
= KtB
∂εq
1+
∂α
G9
(G.78)
G.6. MATRIZ DE ACTUACIONES
hm
26 = ktB
hm
42
∂ ε̄q
∂δqc
(G.79)
hm
28 = 1
(G.80)
hm
29 = ktB
(G.81)
hm
32 = KcB
(G.82)
hm
32 = −kcB
(G.83)
= KtB
∂εr
1+
∂β
hm
47 = −ktB
∂ ε̄r
∂δrc
(G.84)
(G.85)
hm
47 = −1
(G.86)
hm
4,10 = −ktb
(G.87)
hm
53 = 1
(G.88)
hm
64 = 1
(G.89)
hm
75 = 1
(G.90)
hm
81 = 1
(G.91)
hm
92 = 1
(G.92)
hm
10,1 = −
q∞ Sref
CSα2 β αβΥn
m
G10
(G.93)
G.6. MATRIZ DE ACTUACIONES
hm
10,2 = −
q∞ Sref CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β 2 + CSα2 β α2 (1 − Υn )
m
hm
10,5 = −
hm
10,7 = −
(G.95)
i
q∞ Sref h
CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 + Υn CSδc δt + CSβδc δt β δrt
r
r r
r r
m
hm
10,10 = −
(G.96)
i
q∞ Sref h
CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2 + (1 − Υn ) CSδc δt + CSβδc δt β δrc
r
r
r
r r
r r
m
(G.97)
hm
11,1 = −
q∞ Sref CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α2 + CNβ2 α β 2 (1 − Υn )
m
hm
11,2 = −
(G.98)
q∞ Sref
CNβ2 α αβΥn
m
(G.99)
q∞ Sref d
CN
m 2VM q
(G.100)
hm
11,4 = −
hm
11,6 = −
q∞ Sref d
CS
m 2VM r
(G.94)
i
q∞ Sref h
CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2 + Υn CNδc δt + CNαδc δt α δqt
(G.101)
q
q q
q q
m
hm
11,9
q∞ Sref h
=−
CNδt + CNαδt α
q
q
m
i
+CNβ2 δt β 2 + (1 − Υn ) CNδc δt + CNαδc δt α δqc
q
q q
hm
12,21 = 1
G11
(G.102)
q q
(G.103)
G.7. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO
G.7.
Elementos de la Matriz del Guiado-Autopiloto

 K K
a11 a12 aK
13

K
K
Ak = aK
21 a22 a23 
K
K
aK
31 a32 a33
2
2
2
2
aK
11 = − q0 + q1 −q2 − q3 cαcβ
(G.104)
aK
12 = −2(q1 q3−q0 q2 )VM sinc αcβ
(G.105)
aK
13 = −2(q1 q2 + q0 q3 )VM sinc β
(G.106)
aK
21 = − (q1 q2 − q0 q3 ) cαcβ
(G.107)
aK
22 = −2(q2 q3 + q0 q1 )VM sinc αcβ
(G.108)
2
2
2
2
aK
23 = − q0 − q1 + q2 − q3 VM sinc β
(G.109)
aK
31 = −2 (q1 q3 + q0 q2 ) cαcβ
(G.110)
2
2
2
2
aK
32 = − q0 − q1 − q2 + q3 VM sinc αcβ
(G.111)
aK
33 = −2 (q2 q3 − q0 q1 ) VM sinc β
(G.112)
AW
aW
11 = −cαcβ

aW
11

 0

 0

=
 0

 0

0
aW
12
aW
22
W
a32
aW
42
aW
52
aW
62
aW
13
aW
23
W
a33
aW
43
aW
53
aW
63
0
aW
24
W
a34
aW
44
aW
54
aW
64
aW
15
aW
25
W
a35
0
aW
55
aW
65

aW
16


aW
26 

aW
36 

0 


aW
56 
aW
66
ρSref VM
CA0 + CAα |α| + CAβ |β| + CAα2 α2
2m
+CAα3 |α|3 + ∆CAb − CT (G.113)
G12
G.7. MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO
aW
12 = − sinc αcβ
aW
13
q∞ Sref CNα α + CNα|α| α|α| + CNα3 α3 + CNβ2 α β 2 α
m
q∞ Sref 3
2
CSβ β + CSβ|β| β|β| + CSβ3 β + CSα2 β α β
= − sinc β
m
aW
15 = −sαcβ
aW
16 = −sβ
q∞ Sref d
CN
m 2VM q
q∞ Sref d
CS
m 2VM r
(G.114)
(G.115)
(G.116)
(G.117)
y el resto de los términos son iguales que los de Aa
a
aW
22 = a11
(G.118a)
...
a
aW
66 = a55
BW
bW
11

bW
11
 W
b21

bW
 31
= W
b41

bW
 51
0
bW
12
W
b22
bW
32
W
b42
0
bW
62
bW
13
W
b23
bW
33
W
b43
0
0
(G.118b)
bW
14
W
b24
bW
34
0
bW
54
0

bW
15


bW
25 

bW
35 

0

0

W
b65
q∞ Sref c
= −cαcβ
CAδqc sgn δq + CAαδqc α + CAβδqc β
m
q∞ Sref − sαcβ
CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2
q
m
bW
12 = −cαcβ
q∞ Sref CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β
m
q∞ Sref
− sβ
(CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 )
r
m
bW
13 = −cαcβ
q∞ Sref CAδp sgn δp
m
G13
(G.119)
(G.120)
(G.121)
G.7. MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO
q∞ Sref CAδt sgn δqt + CAαδt α + CAα2 δt α2 + CAβδt β
q
q
q
q
m
q∞ Sref − sαcβ
CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β 2
q
q
q
m
(G.122)
q∞ Sref CAδt sgn δrt + CAαδt α + CAα2 δt α2 + CAβδt β
r
r
r
r
m
q∞ Sref − sβ
CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2
r
r
r
m
(G.123)
bW
14 = −cαcβ
bW
15 = −cαcβ
y el resto de los términos son iguales a los de Ba
a
bW
21 = b11
(G.124a)
...
a
bW
65 = b55
MW
mW
14

mW
11
 W
m21

mW

=  31
 0

mW
 51
0
mW
12
mW
22
W
m32
0
0
mW
62
0
0
0
0
0
0
(G.124b)
mW
14
mW
24
W
m34
0
mW
54
0

mW
15

W
m25 

mW
35 

0 

0 

mW
65
mW
11 = −cαcβ
q∞ Sref
CAδc 2 δt δqc δqt
q q
m
(G.125)
mW
12 = −cαcβ
q∞ Sref
CAδc 2 δt δrc δrt
r r
m
(G.126)
q∞ Sref c
t
= −cαcβ
δq CAδc δt + CAαδc δt α + CA c t 2 δq
δq δq
q q
q q
m
q∞ Sref c
δq CNδc δt + CNαδc δt α
− sαcβ
q q
q q
m
q∞ Sref c δr CAδc δt + CAβδc δt β + CA c t 2 δrt
δr δr
r r
r r
m
q∞ Sref c δr CSδc δt + CSβδc δt β
− sβ
r r
r r
m
(G.127)
mW
15 = −cαcβ
G14
(G.128)
G.7. MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO
y el resto de los términos son iguales a los de Ma
a
mW
21 = m11
(G.129a)
...
a
mW
65 = m55
G15
(G.129b)
Apéndice H
Tratamiento Analı́tico del Error de
Radomo y Ruidos Radar.
H.1.
Buscador radar
Se asume en esta tesis el radar está montado en una cabeza buscadora giro estabilizada. Otras configuraciones mediante antena fija y orientación electrónica de las
son más atı́picas misiles tácticos y en cualquier caso el proceso de orientación de las
electrónico serı́a similar al movimiento de la cabeza giro estabilizada en lo que respecta al funcionamiento del radar para las operaciones de guiado y control. El coste y
los requerimientos de fiabilidad hacen que a dı́a de hoy sea más competitivo el sistema giro estabilizado. Consiste en una plataforma estabilizada, giróscopos y la antena.
La plataforma está montada sobre dos o tres cardán cada uno de los cuales tiene un
servomecanismo de actuación para ajustar su orientación angular hacia el blanco en
respuesta al error angular medido por el receptor radar.
Para una aplicación aire aire contra blancos pequeños como UCAV u otros misiles,
donde el RCS es pequeño, se emplea el radar de pulsos Pulse Doppler radar (PD) Con
integración coherente. Existen dos lazos de seguimiento, el lazo de seguimiento angular,
realizado por la cabeza buscadora, y el lazo de seguimiento en distancia. El blanco está
enganchado por el radar cuando estos dos lazos están cerrados. El seguimiento angular
del radar se describirá en la primera sección, mientras que el seguimiento en distancia
se lleva a cabo por la técnica de puertas (gating) que se describe en la referencia (Curry,
2005). La estructura de la señal mono pulso es la preferida para determinar el error de
orientación angular del blanco en elevación y azimut, (Barton and Ward, 1984).
Cuando existe un filtro de navegación entre el buscador y el bloque de guiado,
es más conveniente que la salida del buscador sean los ángulos de la lı́nea de mira,
definidos como:
H1
H.1. BUSCADOR RADAR

zrB


σe = t−1  q
2
2
B
B
xr + y r
B
yr
−1
σz = t
2
xB
r
(H.1)
(H.2)
La figura 4.11 define los ángulos que están involucrados en el proceso de reconstrucción de la lı́nea de mira entre el misil y el blanco. El origen de el ángulo está en el
centro de la antena radar y se mide en contra una referencia inercial, fija en el espacio,
que en nuestro caso será la posición de la lı́nea de mira inicial. La posición del eje de
la antena radar con respecto al eje M X B se define por el ángulo de cardán θh . El error
angular es y el error considerando los efectos de rado modo que es r . De aquı́ se
obtiene que el ángulo de la lı́nea de mira es:
= σ − θ − θh
(H.3)
Es importante señalar que el error angular no es únicamente una función de la
posición de la lı́nea de mira pero también de la actitud del misil y de la posición de la
antena con respecto al eje del misil. Para eliminar el ángulo θ de la medida, el buscador
radar necesita una entrada desde la IMU del misil, ver figura H.1. Uno de los requisitos
del buscador es mantener la antena apuntada hacia el blanco, de modo que el error se mantenga pequeño con respecto al ancho de las electrónico. También en la regiones
donde es pequeño la respuesta puede ser considerada lineal. Si no es pequeño, la
respuesta no puede ser considerada lineal y si es mayor que la mitad del ancho de la,
el misil puede perder la señal del blanco.
El efecto del radomo es distorsionar la dirección de la lı́nea de mira tal y como
es percibida por el radar, efecto causado por la refracción de la radiación al atravesar
la pared exterior. Debido a que la curvatura de la pared no es uniforme, la radiación
tiene diferentes ángulos de incidencia, que causan que la radiación Y qué a la antena del
radar con fases distintas. Esto resulta en cierta distorsión angular que es una función no
lineal del ángulo θh , esto es de la orientación de la antena dentro de la ojiva. Este efecto
por tanto depende de la actitud del misil en el espacio y representa un acoplamiento
fuerte entre la actitud del vuelo y las medidas del radar. Como consecuencia este efecto
de radomo y la ley de control, integrada o en doble lazo, están acoplados. De acuerdo
a la referencia (Zarchan, 2012) este fenómeno es uno de los principales contribuyentes
a la distancia final en misiles radar.
En teorı́a, para cierta forma geométrica de la ojiva serı́a posible obtener la función
f (R, θh ) . Sin embargo f (R) es muy difı́cil de calcular en la práctica (Yueh and Lin,
1985). Durante el vuelo del misil debido al calentamiento aerodinámico de la ojiva y
debido a la erosión que ocurre en vuelo debido a la velocidad de supersónica as, el
H2
H.2. MODELOS RUIDO RADAR
espesor se modifica ası́ como la constante dieléctrica del material. El factor también
es una función de la polarización y la frecuencia de la señal radar. Un modelo de precisión depende de la aplicación particular y se requerirı́a un tratamiento matemático
especı́fico, de tipo estadı́stico, dependiente del tiempo y no lineal. De otro lado existen
modelos aproximados de la literatura, con relaciones empı́ricas para este factor (Fleeman, 2012). Para escenarios de intercepción frontales, la literatura asume tı́picamente
que R es un factor constante para pequeñas variaciones en θh . Sin embargo esta hipótesis no es válida para grandes variaciones en el ángulo de cardán que están asociadas a
altas maniobras del blanco. En su lugar en esta tesis recurriremos a la ecuación 4.44.
El ángulo θr puede ser incluido dentro del bucle de guiado y control con la ecuación:
r = σ + θr − θd
(H.4)
˙r = σ̇ − σ̇ − σ̇h (1 − R)
(H.5)
y de aquı́
Para considerar el efecto de la estimación del ángulo de la lı́nea de mira en las
actuaciones del sistema, se empleará el modelo dinámico descrito en la figura H.1 ,
adaptado de la referencia (Nesline and Zarchan, 1985), y que a su vez incluye todos los
efectos anteriormente mencionados.
La aceleración del misil y sus velocidades angulares introducen perturbaciones en el
funcionamiento del buscador radar (Shneydor, 1998), como errores de escalado KGY R
y errores debidos a la deriva de los giróscopos KG causados por la aceleración del misil
n.
Z
σr = r +
H.2.
Modelos Ruido Radar
H.2.1.
Destello (Glint)
θ̇d
(H.6)
Se considera aquı́ que será una mezcla de dos distribuciones normales atravesando
un filtro pasa bajos en la forma(Zhurbal and Idan, 2011b; Kim et al., 2010; Zarchan,
2012):
con pg1 ∼ N 0, Σ2g1 y pg2
pg = Υglint pg1 + (1 − Υglint ) pg2
∼ N 0, Σ2g2 con Σg1 < Σg2 .
H3
(H.7)
H.2. MODELOS RUIDO RADAR
σ
+
−
θ̂
+
+ −
θr
−
θh
1
s
0
KR
σm
+
0
R
1
T1
1
s
+
θ̇d
c
KSL
s
θ̇h
−
˙
θ̂
θ̇d
+
Kgyr
θ̇d
+
1
s
+
KG
nL
IM U
Figura H.1: Dinámica del Buscador.
H.2.2.
Ruidos Independientes del Alcance
Desvanecimiento, pf ∼ N 0, Σ2f y power spectral density (PSD) Φf = 2τf Σ2f ,
siendo
2
Bw
2
Σf =
(H.8)
Bsr
Bw el ancho de banda de la señal recibida y Bsr una constante tecnológica (Curry,
2005). También 2τf = 1/fs , con fs = 1/Ts .
Ruido térmico (Vora et al., 2005), con pt ∼ N (0, Σ2t ) y PSD Φt = 2τt Σ2t , donde
Σt (Barton and Ward, 1984) es:
Σ2t
Bw2
=
2 SN R
2Km
(H.9)
y Km se define en (Kingsley and O’Keefe, 1999). 2τt = 1/fs . La relación señal-
H4
H.2. MODELOS RUIDO RADAR
ruido SNR se obtiene de la ecuación del radar(Siouris, 2004),
SN R =
Pt G2 λ2 · RCS · L
τR2
(4π)3 kr T M k4 (kTn Bw ) · F P RI · τG
(H.10)
donde
Pt
G
Pc
k
Tn
F
L
τR
P RI
τG
Radar peak transmission power
Antenna gain
Pulse compression ratio, τT Bw
Boltzmann constant
Noise temperature in the radar system
Loss factor due to signal processing in the receptor
Loss factor due to beam forming
Pulse duration at the receiver gate
Pulse Repetition Interval
Received gate duration
siendo τR ∼ τG .
Ruido atmosférico, (Barton and Ward, 1984), con pan ∼ N (0, Σ2an ) PSD Φan =
Φanref kr̊T M k, donde kr̊T M k es el segmento de distancia entre misil y blanco por
debajo de 5Km en altura, y
Fc
Φanref = 4τan Σ2anref √
d
(H.11)
con
H.2.3.
d
Σ2anref
Radar antenna aperture diameter, in m
Standard deviation, 0,44 · 10−6
τan
k
Fc
Atmospheric correlation time, 0,6s
Boltzmann constant
Noise correlation factor, 0,4 , from (Alpert, 2003)
Ruidos en Distancia y Velocidad de Colisión
El ruido en la medida de distancia puede tener varios componentes, aquı́ solo consideraremos el que depende de la SNR (Curry, 2005), que tı́picamente domina y puede
considerarse Gausiano con:
Σρ =
c
√light
2Bx 2 · SN R
donde clight es la velocidad de la luz.
H5
(H.12)
H.2. MODELOS RUIDO RADAR
La velocidad de colisión puede medirse a través de
1. Desviación Doppler en la señal recibida
2. A través de diferentes medidas de distancia al blanco
Siendo superior el primero, que se obtiene de:
Vc =
λ
2
fD
(H.13)
donde fD es la desviación en frecuencia debido al efecto Doppler y λ es la longitud
de onda del radar.Su desviación estándar es:
ΣV =
∆Vc
λ
√
=√
2τ 2 · SN R
2 · SN R
(H.14)
donde ∆Vc es la resolución de la medida de velocidad radial y τ es la extension temporal
de la señal radar que se procesa de modo coherente.
H6
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