SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN an+1 − an−1 = f (n) USANDO LA TRANSFORMADA Z GERMÁN CORREA VÉLEZ UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS MAESTRÍA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS PEREIRA 2008 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN an+1 − an−1 = f (n) USANDO LA TRANSFORMADA Z GERMÁN CORREA VÉLEZ Tesis para optar al tı́tulo de Magister en la enseñanza de las Matemáticas, Con énfasis en Ecuaciones Diferenciales Director José Gerardo Cardona Toro Magister en investigación, operaciones y estadı́stica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA MAESTRÍA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Pereira 2008 Índice general Introducción III 1. Ecuaciones de Diferencias 1 1.1. Diferencias ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Ecuaciones de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Ecuaciones de diferencias lineales de primer orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Solución de una ecuación lineal de diferencias de primer orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Sucesión de soluciones de una ecuación de diferencias . . . . 23 1.6. Solución de la ecuación lineal de primer orden no homogénea 27 1.7. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes 30 1.8. Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Solución general . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.9. Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.10. Solución aproximada de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden usando ecuaciones de diferencia . . . . . . 2. Transformada Z 39 49 2.1. Funciones de variable natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 50 2.2. Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3. Transformada de diversas funciones discretas . . . . . . . . . 51 2.4. Aplicaciones de la transformada Z en la solución de ecuaciones de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5. Inventarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.6. Clases de Inventarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.7. Propensión marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.8. Solución de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.9. Modelo de inventarios de Metzler . . . . . . . . . . . . . . . 94 Conclusiones 99 Bibliografı́a 101 II Introducción Es normal que en los primeros inicios en el estudio de las matemáticas se aborden temas desde las funciones continuas, ya sea por facilitar su comprensión o simplemente porque “es costumbre”. Esto ocasiona en los estudiantes una inclinación hacia la continuidad, en contravı́a con la mayorı́a de los fenómenos fı́sicos que finalmente son modelados por funciones discontinuas. Realmente es en asignaturas como fı́sica, estadı́stica y economı́a donde empieza a notarse esta inclinación, que conlleva a dificultades en el manejo matemático de estas áreas. Igual ocurre al momento de resolver una ecuación diferencial, donde las técnicas de solución en forma exacta parecieran indicar que esto siempre es posible, en tanto que la realidad muestra que soluciones de ecuaciones diferenciales en términos de funciones elementales son muy pocas y que los métodos de solución aproximada cada vez son mas usados. Esta monografı́a muestra la estrecha relación entre ecuación diferencial y ecuación en diferencias, siendo éstas últimas un recurso útil en la solución de las primeras. En la solución de ecuaciones en diferencias que expondremos aquı́, además de detallar por completo su solución en el caso de primer y segundo orden, también se mostrará como la transformada Z de una función, resulta ser un recurso útil para solucionar ecuaciones como la de Fibonacci y en general ecuaciones de la forma III an+1 − an−1 = f (n) y an+1 + an−1 = f (n). Aplicaciones de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias se encuentran en todas las ciencias; en particular, en Economı́a hay una interesante aplicación en inventarios, que es el modelo de inventarios de Metzler, una ecuación de diferencias de segundo orden, la cual divulgaremos en este trabajo. IV Capı́tulo 1 Ecuaciones de Diferencias Cuando vemos en un libro las palabras ecuación de diferencias resulta difı́cil precisar el contexto en el que están trabajando, porque esta clase de ecuaciones surgen como modelos matemáticos en áreas como la economı́a, la medicina, la fı́sica y en la matemática misma. Su teorı́a asociada es suficientemente rica para abordar innumerables problemas. Los sistemas dinámicos por ejemplo, que son un tema de gran interés para matemáticos y fı́sicos podrı́amos decir burdamente que tratan el estudio de sistemas deterministas, es decir consideran situaciones que dependen de algún parámetro dado, en algunos casos el tiempo y que frecuentemente varı́an de acuerdo a leyes establecidas, de manera que el conocimiento de la situación en un momento dado permite reconstruir el pasado y predecir el futuro. Estos modelos matemáticos que son ecuaciones de diferencias en este caso son llamados sistemas dinámicos discretos. En economı́a las ecuaciones en diferencia son usadas extensivamente para modelar la forma como los sistemas económicos cambian en el tiempo y describen la interación entre variables económicas tales como precios, salario, capital, etc. Además con ellas se puede analizar la formulación, 1 la evolución y las tendencias de sistemas cambiantes, ası́ como también hacer un examen cualitativo de la estabilidad de estos sistemas dinámicos, cuando se encuentran bajo estı́mulos externos. Ya lo hicimos en matemáticas y en economı́a, pero en general se pueden encontrar argumentos para motivar y destacar la importancia de este tema con relación a muchas mas ciencias. En este capı́tulo se hará un primer acercamiento al concepto de ecuación de diferencias mediante la formulación de estas mismas en funciones algebraicas como la función lineal, la cuadrática y la cúbica. Luego daremos su definición formal. Mostraremos además la estrecha relación entre una ecuación diferencial y una ecuación en diferencias describiendo la aproximación en forma discreta, de la solución de una ecuación diferencial de primer orden con valor inicial, usando el método de Euler, Euler mejorado y Runge-Kutta. Finalmente se presentarán teoremas y ejemplos con modelaciones sobre ecuaciones de diferencias. Este capı́tulo tiene como objetivo conocer, aplicar y solucionar ecuaciones de diferencia y también usar aproximaciones en la solución de problemas con condición inicial de ecuaciones diferenciales de primer orden. Las funciones algebraicas poseen caracterı́sticas que fácilmente identificamos. La función lineal general tiene la forma y = ax + b. Sustituyendo 2 x por los números enteros positivos 1, 2, 3, 4, . . . , obtenemos la siguiente tabla: x 1 2 3 4 5 y a+b 2a + b 3a + b 4a + b 5a + b si llamamos (∆y) ··· ··· la primera diferencia entre dos valores consecutivos de la variable dependiente y, observamos que (∆y) es igual a la constante a. Esto nos permite concluir que si en un problema la primera diferencia es constante, la fórmula que modela la situación es de la forma y = ax + b. Ejemplo 1.1: Hallar el término 87 de la progresión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, . . .. Si “x” representa el número del término e “y” representa su valor x 1 2 3 4 y 1 4 7 10 13 · · · 5 ··· notamos que la primera diferencia ∆y es 3 y corresponde a una ecuación de la forma y = ax + b, con a = 3, es decir y = 3x + b, con a + b = 1 que es el valor del primer término. De modo que la ecuación es y = 3x − 2 y el término 87 es 259. La función cuadrática y = ax2 + bx + c, cuando x se sustituye por 1, 2, 3, 4, . . . da lugar a la siguiente tabla: 3 x 1 2 3 4 5 y a+b+c 4a + 2b + c 9a + 3b + c 16a + 4b + c 25a + 5b + c donde la segunda diferencia (∆(∆y)) es igual a la constante 2a. Esto significa que un problema que tenga (∆(∆y)) constante será modelado por una función cuadrática. Ejemplo 1.2: Hallar la suma de los primeros 50 términos de la serie 1, 3, 5, 7, 9, . . .. Consideremos “x” igual al número del término e “y” la suma de todos los términos hasta x. Se tiene la tabla: x 1 2 3 4 y 1 4 9 16 25 5 ··· ··· donde (∆(∆y)) que se obtiene como 5-3, 7-5, 9-7 es igual a la constante 2; Ası́ la función es cuadrática. Tenemos que (∆(∆y)) : 2a = 2 ⇒ a = 1 (∆y) : 3a + b = 3 ⇒ b = 0 y : a+b+c=1⇒c=0 luego la función es y = x2 y la suma de los primeros 50 términos es 2500. 4 ··· ··· La función cúbica general y = ax3 + bx2 + cx + d, con tratamiento análogo a los dos anteriores se llega a que la tercera diferencia (∆(∆(∆y))) es igual a la constante 6a. En general un polinomio de grado n tiene la enésima diferencia constante igual a (n!)a. Donde a es el coeficiente principal. Con los comportamientos que hemos estudiado de las funciones lineal, cuadrática y cúbica podremos formalizar el concepto en la siguiente definición: 1.1. Diferencias ordinarias Sea h un número real fijo y f una función dada. La función ∆f definida por la ecuación ∆f (x) = f (x + h) − f (x), se llama primera diferencia de f , ( ó diferencia de “orden” 1 de f ) y está definida para aquellos puntos x para los que tanto x como x + h están en el dominio de f . Muchas veces, dada una función, nuestro interés radica en estudiar los cambios de ella, al pasar de un punto a otro de su dominio. Por ejemplo si y es la función que expresa el número de habitantes en el censo del año x donde y depende de x, podemos definir una nueva función cuyo valor en x sea la diferencia entre el tamaño de la población en los años x y x + 10, es decir ∆y(x) = y(x + 10) − y(x), luego la función ∆y(x) representa el incremento de la población entre dos censos consecutivos ( a intervalos constantes de 10 años). 5 La primera diferencia de una ecuación satisface las propiedades de linealidad; como lo son: i) ∆ (cf (x)) = cf (x + h) − cf (x) = c (f (x + h) − f (x)) = c ∆f (x). ii) ∆(f (x) + g(x)) = (f (x + h) + g(x + h)) − (f (x) + g(x)) = (f (x + h) + g(x + h) − f (x) − g(x)) = (f (x + h) − f (x)) + (g(x + h) − g(x)) = ∆f (x) + ∆g(x). Por inducción se puede demostrar la generalización de las propiedades anteriores, las que podemos resumir ası́: ∆ (c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)) = c1 ∆f1 (x)+c2 ∆f2 (x)+. . .+cn ∆fn (x) TEOREMA 1.1.1: 6 Sean u(x) y v(x) dos funciones dadas, entonces se tiene ∆ (u (x) v(x)) = u(x) ∆v(x) + v(x) ∆u(x) + ∆u(x) ∆v(x). Prueba: ∆ (u (x) v(x)) = u(x + h) v(x + h) − u(x) v(x) = u(x + h) v(x + h) − u(x) v(x) + u(x) v(x + h) − u(x) v(x + h) +u (x) v(x) − u (x) v(x) + v (x) u(x + h) − v(x) u(x + h) = u(x + h) v(x + h) − u(x) v(x) + u(x) v(x + h) − u(x) v(x) +v(x) u(x + h) − u(x) v(x + h) − u(x + h) v(x) + u(x) v(x) = u(x) v(x + h) − u(x) v(x) − v(x) u(x + h) − v(x) u(x) +u (x + h) v(x + h) − u (x) v(x + h) − u (x + h) v(x) + u(x) v(x) = u(x) (v(x + h) − v(x)) + v(x)(u(x + h) − u(x)) + (u (x + h) − u(x)) (v (x + h) − v(x)) = u(x) ∆v(x) + v(x) ∆u(x) + ∆u(x) ∆v(x). Nótese que ∆ (u (x) v(x)) = ∆ (v (x) u(x)) . También se puede probar que dadas las funciones u(x) y v(x), donde v(x) 6= 0, se cumple ∆ u(x) v(x) = v(x) ∆u(x) − u(x) ∆v(x) . (v(x))2 + v(x) ∆v(x) 7 Las diferencias de órdenes superiores ∆2 f, ∆3 f, . . . , ∆n f, . . . se definen por inducción como sigue: ∆k+1 f (x) = ∆ ∆k f (x) para k = 1, 2, 3, . . . luego para k = 1, se tiene ∆2 f (x) = ∆ (∆f (x)) = ∆ (f (x + h) − f (x)), pero por las propiedades i) y ii) se tiene ∆2 f (x) = ∆f (x + h) − ∆f (x) = (f (x + 2h) − f (x + h)) − (f (x + h) − f (x)) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x), para k = 2 obtenemos ∆3 f (x) = ∆ (∆2 f (x)) = ∆ (f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)) . Tenemos ahora allanado el camino para desarrollar el tema... 1.2. Ecuaciones de diferencias Una ecuación de diferencias es aquella en la que figura una función (función incógnita) y algunas de sus diferencias. Ecuaciones ordinarias de diferencias son aquellas cuyas incógnitas son 8 funciones de una sola variable; variable que en la mayorı́a de los casos es el tiempo. Si el argumento no es únicamente el tiempo, la ecuación pierde el calificativo de ordinaria y pasa a denominarse ecuación en diferencias finitas parciales. Las ecuaciones de diferencias están clasificadas según su “orden.” Una ecuación de diferencias es de orden n, si la n-ésima diferencia de la función es la mayor diferencia que figura en la ecuación. Ası́, una ecuación de primer orden incluye diferencias de orden uno, pero no diferencias de orden superior. Una ecuación de segundo orden contiene diferencias de orden dos, pero no diferencias de orden más elevado. Ejemplo 1.3 i) ∆f (x) + 4f (x) = 0 ii) ∆2 f (x) + 3∆f (x) + f (x) = 0 iii) 2f (x)∆3 f (x) = 5 iv) (∆f (x))2 + f (x) = 1. Las ecuaciones anteriores son ejemplos de ecuaciones ordinarias de diferencias, de orden uno, dos, tres y uno respectivamente. Estudiaremos en esta monografı́a, las ecuaciones ordinarias de diferencias, las que notaremos por: F x, f (x), ∆f (x), ∆2 f (x), . . . , ∆n f (x) = 0. 9 (1.1) La relación anterior representa una ecuación ordinaria de orden n. De modo que una ecuación ordinaria de primer orden, la escribiremos F (x, f (x), ∆f (x)) = 0, (1.2) puesto que ∆f (x) = f (x + h) − f (x), la relación (1.2) se transforma en: G (x, f (x), f (x + h)) = 0. (1.3) Las relaciones (1.2) y (1.3) son dos maneras de expresar la ecuación de diferencias de primer orden. Análogamente podemos representar por G (x, f (x), f (x + h), f (x + 2h), . . . , f (x + nh)) = 0 (1.4) a una ecuación ordinaria de diferencias de orden n. Las ecuaciones dadas en el ejemplo 1.3 pueden transformarse en i) f (x + h) + 3f (x) = 0 ii) f (x + 2h) + f (x + h) + f (x) = 0 iii) 2f (x) f (x + 3h) − 3f (x) f (x + 2h) + 3f (x) f (x + h) − 2(f (x))2 = 5 10 iv) (f (x + h))2 − 2f (x) f (x + h) + (f (x))2 + f (x) = 1. El dominio en el cual está definida una ecuación de diferencias puede transformarse en un conjunto de números enteros, sin perder generalidad: Si el dominio está dado por el conjunto {x0 , x0 + h, x0 + 2h, . . .}, donde x0 y h, son números no necesariamente enteros, este conjunto puede transformarse de la siguiente manera: Sea k, dada por x − (x0 − ah) h donde a es un entero no negativo, entonces: k= k= a si x = x0 si x = x0 +h a+1 luego el conjunto de enteros positivos {a, a + 1, a + 2, . . .} , representará el nuevo dominio. Nótese que para cada valor de k existe uno y solo un valor de x y recı́procamente. Este conjunto de números enteros lo notaremos por {x, x + 1, x + 2, . . .} . Al aplicar esto, al ejemplo 1.3 lo transformamos en: i) f (x + 1) + 3f (x) = 0 ii) f (x + 2) + f (x + 1) + f (x) = 0 iii) 2f (x) f (x + 3) − 3f (x) f (x + 2) + 3f (x) f (x + 1) − 2(f (x))2 = 5 iv) (f (x + 1))2 − 2f (x) f (x + 1) + (f (x))2 + f (x) = 1. 11 Con esta notación, una ecuación de orden n se puede escribir como: G (x, f (x), f (x + 1), f (x + 2), . . . , f (x + n)) = 0. (1.5) Hemos tomado como D (dominio de una ecuación de diferencias) al conjunto de enteros positivos {x, x + 1, x + 2, . . . , x + n, . . . } . Si a cada término de D (que tienen la forma x + n, n = 0, 1, 2, . . . ), le resto 2n, es decir x−2(0) = x, x+1−2(1) = x−1, x+2−2(2) = x−2, . . . , x+n−2(n) = x−n se obtiene una traslación hacia la izquierda. De modo que D puede estar dado por {x, x − 1, x − 2, . . . , x − n, . . .} . En este caso la ecuación de diferencias de orden n, toma la forma G (x, f (x), f (x − 1), f (x − 2), . . . , f (x − n)) = 0. (1.6) Luego las relaciones (1.5) y (1.6) son otras dos maneras de expresar una ecuación de diferencias de orden n. La forma como se exprese una ecuación de diferencias depende, en cada caso, de las ventajas que presente. 12 1.3. Ecuaciones de diferencias lineales de primer orden con coeficientes constantes A una ecuación de diferencias de primer orden la llamaremos lineal, si puede escribirse en la forma: f (x) y(x) + g(x) y(x + 1) = h(x). (1.7) La caracterı́stica de esta ecuación es la linealidad en y(x) e y(x + 1), mientras que f (x), g(x) y h(x), son funciones dadas cualesquiera de x. Si h(x) = 0 para todo x, a la ecuación (1.7) la llamaremos homogénea; en caso contrario, diremos que es no homogénea; las funciones f (x) y g(x), reciben el nombre de coeficientes de la ecuación (1.7). Las ecuaciones cuyos coeficientes son constantes las notaremos por a0 y(x) + a1 y(x + 1) = h(x) (1.8) donde a0 y a1 son constantes con a1 6= 0. Ejemplo 1.4 a) y(x) − y(x + 1) = ex+1 b) 8y(x) − 6y(x + 1) = 0 c) y(x) − 3y(x + 1) = 2x d) y(x) − 1/(y(x + 1)) = 10. De las ecuaciones dadas, a), b) y c) son lineales, b) es además homogénea, d) es no lineal. 13 Definición. y = g(x), es una solución particular de la ecuación (1.8) si la satisface en todo su dominio. El conjunto de todas las funciones que la satisfacen es llamado solución general de (1.8). Ejemplo 1.5 Cada función de la forma f (x) = c(2x ), donde c es una constante, es solución de la ecuación en diferencias y(x + 1) − 2y(x) = 0, con x = 0, 1, 2, . . . , ya que f (x + 1) − 2f (x) = c(2x+1 ) − 2c(2x ) = c(2x+1 ) − c(2x+1 ) = 0 ; de modo que la familia de funciones f (x) = c(2x ), es la solución general de y(x + 1) − 2y(x) = 0 y g(x) = 2x , (se tomó c = 1) es una solución particular. 1.4. Solución de una ecuación lineal de diferencias de primer orden con coeficientes constantes Dada la ecuación lineal con coeficientes constantes a0 y(x) + a1 y(x + 1) = h(x), (x = 0, 1, 2, . . . ) (1.9) si la función h es constante h(x) = b, entonces la relación anterior, se reduce a: y(x + 1) = Ay(x) + B 14 (1.10) donde A = −a0 /a1 y B = b/a1 , son constantes. Puesto que el dominio de la ecuación dada en (1.10) es el conjunto de enteros positivos, entonces: y(1) = Ay(0) + B, y(2) = Ay(1) + B = A (Ay(0) + B) = A2 y(0) + B(1 + A), y(3) = A (y(2)) + B En general se tiene: = A A2 y(0) + B(1 + A) + B = A3 y(0) + B 1 + A + A2 . y(n) = An y(0) + B (1 + A + A2 + . . . + An−1 ), puesto que 2 n−1 1 + A + A + ... + A = 1−An 1−A n si A6=1 si A=1 entonces y(n), se transforma en: y(n) = An y(0) + B y(0) + nB luego, para x entero positivo se tiene: 15 1−An 1−A si A6=1 si A=1 y(x) = Ax y(0) + B y(0) + xB 1−Ax 1−A si A6=1 si A=1 (1.11) si y(0) es conocido, la relación (1.11) se puede calcular fácilmente. Demostraremos enseguida que la relación anterior es la solución de la ecuación en diferencias dada. TEOREMA 1.4.1 : La función y(x), dada en la relación (1.11) es solución de la ecuación de diferencias (1.10). Demostración. Demostración por inducción matemática ( caso A 6= 1) : i) Comprobemos que el teorema se cumple para x = 1. Para lo cual debe mostrarse que y(2) = Ay(1) + B : 1 − A2 1−A 2 = A y(0) + B(1 + A) y(2) = A2 y(0) + B = A2 y(0) + AB + B = A [Ay(0) + B] + B = Ay(1) + B. ii) Supongamos que y(x) satisface (1.10): 1 − Ax+1 1 − Ax x+1 x +B = A A y(0) + B A y(0) + B 1−A 1−A 16 y demostremos que y(x + 1) también la satisface, es decir que x+2 A Veamos: 1 − Ax+2 1 − Ax+1 x+1 y(0) + B = A A y(0) + B + B. 1−A 1−A 1 − Ax+1 1 − Ax+1 B(1 − A) x+1 A A y(0) + B + B = Ax+2 y(0) + AB + 1−A 1−A 1−A x+1 AB(1 − A ) + B − AB = Ax+2 y(0) + 1−A x+2 AB − A B + B − AB = Ax+2 y(0) + 1−A x+2 ) B(1 − A = Ax+2 y(0) + 1−A AB(1 − Ax+2 ) = Ax+2 y(0) + A(1 − A) 1 − Ax+2 x+1 = A A y(0) + B A(1 − A) 1 − Ax+1 A x+1 = A A y(0) + B A(1 − A) 1 ABAx+1 x+1 = A A y(0) + B − A(1 − A) A(1 − A) 1 Ax+2 B = Ax+2 y(0) + AB − A(1 − A) 1−A x+2 B A B − = Ax+2 y(0) + 1−A 1−A x+2 1 − A = Ax+2 y(0) + B . 1−A El caso con A = 1 se demuestra en forma similar. 17 TEOREMA 1.4.2 : la ecuación de diferencias (1.10) tiene solución única. La existencia de la solución fue demostrada en el teorema anterior. Demostraremos entonces que la solución es única, en el conjunto S de enteros positivos donde la ecuación está definida. Demostración: Supongamos que y(1) = Ay(0) + B y que y(1) = Ay(k) + B. Se concluye que y(0) = y(k). Supongamos ahora que y(x + 1) = Ay(x) + B y que y(x + 1) = Ay(k) + B, entonces y(x) = y(k). Por lo tanto (1.10) tiene solución única. COROLARIO : Sea y(x) una solución de la ecuación de diferencias (1.10). Existe una constante c, para la cual, y(x) = c Ax + B c + Bx 1−Ax 1−A si A6=1 si A=1 (1.12) con x = 0, 1, 2, . . . . Demostración. Basta hacer c = y(0), y aplicar el teorema (1.4.1). La relación (1.12) representa todas las soluciones de la ecuación de diferencias dada en (1.10); a esta relación la llamaremos solución general de la ecuación (1.10). 18 Ejemplo 1.6 Encontrar la solución de la ecuación y(x + 1) = 3y(x) − 1. La solución y(x), de la ecuación dada es: 1 − Ax 1−A 1 − 3x y(0)3x − 1−3 1 − 3x y(0)3x − −2 1 y(0)3x + (1 − 3x ) 2 1 1 3x y(0) − + . 2 2 y(x) = y(0)Ax + B = = = = Si además nos dan la condición y(0) = 5, entonces 9 1 x+2 1 1 1 x 3 +1 . + = 3x + = y(x) = 3 5 − 2 2 2 2 2 A la condición dada en el ejemplo anterior, y(0) = 5 la llamaremos condición inicial. Una ecuación en diferencias sujeta a una condición inicial da lugar a un problema de valor inicial, cuya resolución significa encontrar un valor particular de la ecuación de diferencias, que satisfaga la condición inicial dada. Ejemplo 1.7 Resolver el siguiente problema de valor inicial: 2y(x + 1) + y(x) − 3 = 0, 19 con y(0) = 2. La ecuación anterior puede escribirse en la forma 3 1 y(x + 1) = − y(x) + 2 2 luego, la solución y(x) está dada por y(x) = y(0) Ax + B 1 − Ax , 1−A puesto que A 6= 1 x 1 3 1 − (−1/2)x y(x) = 2 − + 2 2 1 + 1/2 x x 1 1 = 2 − +1− − 2 2 x 1 = − + 1. 2 Para resolver un problema de valor inicial no es necesario que nos den la condición inicial y(0) = y0 , es suficiente conocer otro valor de x para determinar la constante c de la solución general dada en la fórmula (1.12). Ejemplo 1.8 Resolver el siguiente problema de valor inicial y(x + 1) = 2y(x) + 3, (x = 0, 1, 2, . . .) con La solución general de la ecuación anterior está dada por 1 − 2x 1−2 = c 2x − 3 + 3 2x y(x) = c 2x + 3 = (c + 3) 2x − 3. 20 y(1) = 0. Al hacer x = 1 en la ecuación anterior, obtenemos y(1) = (c + 3) 2 − 3 = 0 entonces c = −3/2, luego la solución del problema de valor inicial es: 3 y(x) = − + 3 2x − 3 2 = 3 2x−1 − 1 . Si el dominio de la ecuación y(x + 1) = Ay(x) + B es el conjunto {a, a + 1, a + 2, . . . }, este conjunto puede transformarse en el conjunto {0, 1, 2, 3, . . . }, haciendo x = x − a, y en este caso la solución general de la ecuación de diferencias anterior, está dada por Y (x) = con x = a, a + 1, . . . x−a c Ax−a + B 1−A 1−A c + B(x−a) si A6=1 si A=1 si la ecuación de diferencia lineal, de primer orden está dada en la forma y(x) = Ay(x − 1) + B basta tomar en lugar de x, x + 1 y de esta manera la ecuación anterior se transforma en y(x + 1) = Ay(x) + B cuya solución ya conocemos. Algunas ecuaciones de diferencias no lineales, pueden resolverse reduciéndolas a forma lineal; 21 Ejemplo 1.9 Resolver la ecuación y(x + 1) = y(x) , 1 + y(x) (x = 0, 1, 2, 3, . . .) con la condición inicial y(0) = y0 una constante positiva. Como y(0) es una constante positiva, entonces y(x) es mayor que cero para toda x. Sea Y (x) = 1 , y(x) x = 0, 1, 2, 3, . . . con esta transformación la ecuación anterior se reduce a una ecuación de diferencias lineal; veamos: 1 1 Y (x) = 1 Y (x + 1) 1 + Y (x) entonces 1 1 = Y (x + 1) 1 + Y (x) lo cual implica: Y (x + 1) = Y (x) + 1, que es una ecuación lineal, cuya solución está dada por Y (x) = Y (0) + x, entonces al recuperar la variable y(x) se tiene y(x) = y0 . 1 + y0 x que es la solución de la ecuación no lineal dada en el ejercicio. 22 1.5. Sucesión de soluciones de una ecuación de diferencias Dada la ecuación de diferencias (1.10), apartir de su solución (1.11) podemos formar la sucesión {y(x)} = {y(0), y(1), y(2), . . .} = y(0), y(0)A + B, y(0)A2 + B(1 + A), . . . con A y B constantes dadas en (1.10). Esta sucesión es llamada sucesión de soluciones. Definición. {y(x)} es convergente si lı́mx→∞ y(x) existe; en cuyo caso la sucesión converge al valor del lı́mite. Definición. Si {y(x)} converge a un valor ȳ y su comportamiento satisface y(k) > ȳ, y(k + 1) < ȳ, y(k + 2) > ȳ, y(k + 3) < ȳ, . . . a partir de algún k ∈ Z + , entonces {y(x)} converge a ȳ por oscilación. Estudiaremos el comportamiento de la sucesión de soluciones {y(x)}, tratando por separado los diferentes casos que pueden presentarse: I) Si A = 1, entonces la ecuación de diferencias tendrá la forma: 23 y(x + 1) = y(x) + B, lo cual implica que la solución y(x) está dada por y(x) = y(0) + Bx. i) Si B = 0, la sucesión {y(x)}, estará constituı́da por un mismo elemento: {y(0), y(0), y(0), . . .}. ii) Si B 6= 0, pueden presentarse dos casos: Si B > 0, entonces lı́m Bx = ∞ x→∞ lo cual implica que lı́m y(x) = ∞, x→∞ luego la sucesión {y(x)} es divergente. Si B < 0, entonces lı́m Bx = −∞ x→∞ lo cual implica que lı́m y(x) = −∞, x→∞ luego la sucesión de soluciones {y(x)} es divergente. II) Si A 6= 1, transformaremos la solución de la ecuación de diferencias y(x + 1) = y(x) + B, en una forma mas conveniente: 24 En efecto, según (1.11) 1 − Ax y(x) = A y(0) + B 1−A B B = Ax y(0) + − Ax 1 − A 1 − A B B Ax + = y(0) − 1−A 1−A x de donde B y(x) − = 1−A al designar por y, la constante B y(0) − 1−A B , 1−A Ax , podemos escribir la relación anterior ası́: y(x) − y = (y(0) − y) Ax (1.13) esta fórmula implica que si y(0) = y, entonces y(x) = y para todo x, independientemente del valor de A; pero si y(0) 6= y, la función y(x) depende del valor de A. Si A 6= 1 y y(0) 6= y, entonces se tiene para el lı́mite lı́m y(x) = lı́m [ y + (y(0) − y) Ax ] x→∞ x→∞ las siguientes posibilidades: i) Si A > 1 y y(0) > y que implica que y(0) − y > 0 : lı́m [ y + (y(0) − y) Ax ] = +∞ x→∞ luego, la sucesión {y(x)} es divergente. ii) Si A > 1 y y(0) < y, que implica que y(0) − y < 0 : lı́m [ y + (y(0) − y) Ax ] = −∞ x→∞ luego, la sucesión {y(x)} también es divergente. 25 iii) Si 0 < A < 1 se tiene que lı́m Ax = 0 x→∞ lo que implica que independientemente de si y(0) < y ó y(0) > y, el lı́mite lı́m y(x) = y x→∞ luego, la sucesión {y(x)} es convergente. Converge a y. Si y(0) > y, la sucesión {y(x)} es decreciente. Si y(0) < y, la sucesión {y(x)} es creciente. iv) Si −1 < A < 0 y además y(0) 6= y. Si −1 < A < 0 entonces Ax → 0, x → ∞ por la derecha y por la izquierda; y como además y(0) − y 6= 0, se tiene que la sucesión {y(x)} es convergente a y por oscilación, puesto que (y(x) − y) → 0, x → ∞. v) Si A = −1 y, y(0) 6= y. Si A = −1 entonces Ax = (−1)x → ±1, x → ∞, luego {y(x)} es divergente por oscilación. vi) Si A < −1 y, y(0) 6= y. Si A < −1 entonces Ax → ±∞, x → ∞, luego (y(x) − y) → ± (y(0) − y), x → ∞. Lo cual implica que la sucesión {y(x)} es una sucesión divergente por oscilación. Con base en las consideraciones anteriores podemos construir la siguiente tabla. 26 A y(0) A 6= 1 y(0) = y {y(x)} es constante, y(x) = y A>1 y(0) > y {y(x)} es divergente, y(x) → ∞ c A>1 y(0) < y {y(x)} es divergente, y(x) → −∞ d 0<A<1 y(0) > y {y(x)} es convergente, y(x) → y e 0<A<1 y(0) < y {y(x)} es convergente, y(x) → y y(x) ր {y(x)} es convergente por oscilación oscilación amortiguada {y(x)} es divergente por oscilación oscilación regular {y(x)} es divergente por oscilación oscilación explosiva a b f g h 1.6. −1 < A < 0 y(0) 6= y A = −1 A < −1 y(0) 6= y y(0) 6= y {y(x)} Observación y(x) ց Solución de la ecuación lineal de primer orden no homogénea En secciones anteriores estudiamos la ecuación y(x + 1) + ay(x) = r(x) (1.14) donde establecimos que si r(x) es una función constante, en particular, si r(x) = 0 para todo x, estamos en presencia de la ecuación homogénea y(x + 1) + ay(x) = 0 (1.15) que es un caso particular de y(x + 1) = Ay(x) + B, donde A = −a y B = 0, cuya solución general está dada por yh (x) = c (−a)x . Ahora consideraremos el caso en que r(x) sea función cualquiera de x, y demostraremos que la solución general de (1.14), está dada por la suma de la solución general de (1.15), y de una solución particular de (1.14). 27 TEOREMA 1.6.1 : La solución general de la ecuación (1.14) tiene la forma y(x) = yh (x)+yp (x) donde yh es solución de la homogénea asociada y yp es una solución particular. Demostración. y(x + 1) + ay(x) = yh (x + 1) + yp (x + 1) + a (yh (x) + yp (x)) = (yh (x + 1) + ayh (x)) + (yp (x + 1) + ayp (x)) = 0 + r(x) = r(x). En la demostración anterior se tuvo presente que yh (x +1)+ayh (x) = 0 ya que yh es solución de la homogénea asociada y yp (x+1)+ayp (x) = r(x) porque yp es una solución particular. Para hallar una solución particular de (1.14) tomaremos yp (x) como una función similar a la función dada r(x). Ejemplo 1.10 Encontrar la solución general de la ecuación y(x + 1) − 2y(x) = 5x + 10. Puesto que a = −2, entonces yh (x) = c (−(−2))x = c 2x , como r(x) = 5x + 10, entonces tenemos yp (x) = Ax + B, yp (x + 1) = A(x + 1) + B, reemplazando estos valores en yp (x + 1) − 2yp (x) = 5x + 10 obtenemos A(x + 1) + B − 2(Ax + B) = 5x + 10, luego −Ax + (a − B) = 5x + 10, igualando coeficientes y resolviendo obtenemos A = 5 y B = −15. De donde, yp (x) = −5x − 15. 28 Entonces la solución general de la ecuación dada es y(x) = yh (x) + yp (x) = c 2x − 5x − 15. Ejemplo 1.11 Resolver el siguiente problema de valor inicial: y(x + 1) − 2y(x) = 5x + 10, si y(0) = 4. En el ejemplo anterior demostramos que la ecuación dada tiene como solución general y(x) = c 2x − 5x − 15. Si hacemos x = 0, obtenemos y(0) = c − 15 y como y(0) = 4, entonces c = 19. Luego la solución al problema de valor inicial dado es: y(x) = 19. 2x − 5x − 15. Ejemplo 1.12 Encontrar la solución general de la siguiente ecuación: y(x + 1) + 2y(x) = 2x2 + 10x. La ecuación homogénea correspondiente a la ecuación dada tiene como solución yh (x) = c (−2)x . Puesto que r(x) = 2x2 +10x, tomemos como yp el polinomio Ax2 +Bx+C, entonces yp (x + 1) = A(x + 1)2 + B(x + 1) + C, reemplazando estos valores en la ecuación yp (x + 1) + 2yp (x) = 2x2 + 10x 29 obtenemos yp (x + 1) + 2yp (x) = A(x + 1)2 + B(x + 1) + C + 2 Ax2 + Bx + C = Ax2 + 2Ax + A + Bx + B + C + 2Ax2 + 2Bx + 2C = 3Ax2 + (2A + 3B)x + (A + B + 3C) luego 3Ax2 + (2A + 3B)x + (A + B + 3C) = 2x2 + 10x. Finalmente al igualar coeficientes y resolver, se obtienen los valores A = 2/3, B = 26/9, C = −32/27, de donde yp (x) = 23 x2 + 26 x 9 y por lo tanto, − 32 27 2 26 32 y(x) = yh (x) + yp (x) = c (−2)x + x2 + x − . 3 9 27 1.7. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes A una ecuación de diferencias que pueda escribirse en la forma: y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = r(x) (1.16) donde a0 y a1 son constantes, la llamaremos ecuación lineal con coeficientes constantes, no homogénea. Si r(x) = 0 para todo x, entonces (1.16) se transforma en: y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = 0 30 (1.17) y a esta ecuación la llamaremos lineal homogénea. Deberemos encontrar la solución general de la ecuación (1.16). Para esto determinaremos primero la solución general de la ecuación (1.17). Dada la ecuación y(x + 1) + ay(x) = 0, demostramos que la relación y(x) = c(−a)x , es su solución general, luego es lógico pensar que una solución de (1.17) tenga la forma y(x) = mx (1.18) donde m es una constante a determinar. Si (1.18) es solución de la ecuación homogénea, entonces mx+2 + a1 mx+1 + a0 mx = 0, es decir mx (m2 + a1 m + a0 ) = 0, lo cual implica que m2 + a1 m + a0 = 0, si m 6= 0 luego, y(x) = (1.19) mx es solución de la ecuación homogénea si m satisface la ecuación (1.19), la que llamaremos “ecuación caracterı́stica”(o “asociada”). Las raı́ces m1 y m2 de la ecuación caracterı́stica pueden ser: I) m1 6= m2 reales. II) m1 6= m2 complejas conjugadas. III) m1 = m2 = m raiz real doble. Ejemplos: Encontrar las raı́ces de la ecuación caracterı́stica, de las siguientes ecuaciones de diferencias. 31 1. y(x + 2) − 3y(x + 1) + 2y(x) = 0. La ecuación anterior tiene como ecuación caracterı́stica m2 − 3m + 2 = 0 que tiene dos raı́ces reales diferentes m1 = 1 y m2 = 2. 2. y(x + 2) + y(x) = 0. La ecuación caracterı́stica correspondiente a esta ecuación de diferencias es m2 + 1 = 0, que tiene raı́ces complejas conjugadas m1 = i y m2 = −i. 3. y(x + 2) − 2y(x + 1) + y(x) = 0. A esta ecuación le corresponde la ecuación caracterı́stica m2 − 2m + 1 = 0, que tiene una raiz real doble m1 = m2 = 1. Si las raı́ces de la ecuación caracterı́stica son diferentes, obtenemos dos soluciones y1 (x) e y2 (x), dadas por y1 (x) = (m1 )x e y2 (x) = (m2 )x . Si la raiz de la ecuación caracterı́stica es raiz doble, entonces solo obtenemos una solución y(x), dada por y(x) = mx . Las siguientes funciones son las soluciones de las ecuaciones de diferencias dadas en los ejemplos anteriores: 1. y1 = 1x = 1, 2. y1 = ix , y2 = 2x . y2 = (−i)x . 3. y(x) = 1x = 1. Solución general y sistema fundamental de soluciones. Una solución de una ecuación de segundo orden se llama solución general si contiene dos constantes arbitrarias y no puede transformarse en una solución con una sola constante o con ninguna. Si le asignamos valores fijos a las dos constantes de la solución general, la solución ası́ obtenida la 32 llamaremos solución particular. TEOREMA 1.7.1 : Dadas dos soluciones y1 (x) e y2 (x), de la ecuación de diferencias y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = 0, la función y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x), donde c1 y c2 son constantes arbitrarias, también es solución de la ecuación homogénea. Prueba: En efecto, si llamamos A a la expresión (c1 y1 (x + 2) + c2 y2 (x + 2))+a1 (c1 y1 (x + 1) + c2 y2 (x + 1))+a0 (c1 y1 (x) + c2 y2 (x)) entonces se tiene A = (c1 y1 (x + 2) + c1 a1 y1 (x + 1) + c1 a0 y1 (x)) + (c2 y2 (x + 2) + c2 a1 + y2 (x + 1) + c2 a0 y2 (x)) = c1 (y1 (x + 2) + a1 y1 (x + 1) + a0 y1 (x)) +c2 (y2 (x + 2) + a1 y2 (x + 1) + a0 y2 (x)) | | {z } {z } 0 0 = 0. Luego si y1 (x) e y2 (x) son soluciones de la ecuación homogénea, entonces y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) (1.20) también es solución de dicha ecuación. Si las soluciones y1 (x) e y2 (x) son linealmente independientes, es decir, si no existe una constante c de tal manera que y1 (x) = c y2 (x), entonces la solución y(x) dada en la relación (1.20), es la solución general de la ecuación homogénea y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = 0. Esto quiere decir que si z(x) es cualquier otra solución entonces z(x) puede escribirse como combinación lineal de y1 (x) e y2 (x). (Ver [2] página 172). Si y1 (x) e y2 (x) son soluciones linealmente independientes, diremos que ellas forman un sistema fundamental de soluciones. En el ejemplo 1 demostramos que la ecuación y(x + 2) − 3y(x + 1) + 2y(x) = 0, tiene como soluciones y1 = 1 y y2 = 2x , las cuales forman un conjunto fundamental de soluciones, luego 33 y(x) = c1 + c2 2x es la solución general de la ecuación dada. 1.8. Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Solución general Sea la ecuación lineal y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = r(x) (1.21) cuya correspondiente ecuación homogénea es: y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = 0 (1.22) la cual tiene como ecuación caracterı́stica m2 + a1 m + a0 = 0. (1.23) Si m1 y m2 son las raı́ces de (1.23), entonces hay tres posibilidades: I) Si m1 6= m2 son reales,existen dos soluciones de (1.22) dadas por: y1 (x) = mx1 e y2 (x) = mx2 , las cuales son linealmente independientes; por lo tanto, y1 e y2 forman un sistema fundamental de soluciones de la ecuación (1.22), y y(x) = c1 mx1 + c2 mx2 es la solución general de (1.22). II) Si m1 y m2 son complejas conjugadas, donde m1 = p + iq y m2 = p − iq, entonces y1 (x) = (p + iq)x y y2 (x) = (p − iq)x . Los números complejos p + iq y p − iq pueden representarse en forma trigonométrica por: p + iq = r(cos θ + i sen θ) 34 p − iq = r(cos θ − i sen θ). Utilizando esta representación trigonométrica y la fórmula de Moivre ([r (cos θ + i sen θ])n = rn (cos nθ + i sen nθ), transformaremos las soluciones y1 e y2 ası́: y1 (x) = (p + iq)x = (r(cos θ + i sen θ))x = rx (cos xθ + i sen xθ) y2 (x) = (p − iq)x = (r(cos θ − i sen θ))x = rx (cos xθ − i sen xθ). De modo que se tiene la solución general y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = c1 rx (cos xθ + i sen xθ) + c2 rx (cos xθ − i sen xθ) = rx (c1 cos xθ + c1 i sen xθ + c2 cos xθ − c2 i sen xθ) = rx [(c1 + c2 ) cos xθ + (c1 − c2 ) i sen xθ] = rx (A cos xθ + B sen xθ) , donde A y B son constantes. Esta expresión representa la solución general de la ecuación (1.22) cuando las raı́ces de la ecuación caracterı́stica son complejas conjugadas. En el ejemplo 2 mostramos que las raı́ces de la ecuación caracterı́stica de y(x+2)+y(x) = 0 son ±i, cuyas representaciones trigonométricas son: i = cos π/2 + i sen π/2, −i = cos π/2 − i sen π/2, de modo que r = 1 y θ = π/2. Por lo tanto la solución general de y(x + 2) + y(x) = 0 es y(x) = A cos( π2 x) + B sen π2 x . III) Si m1 = m2 = m, existe solamente una solución de la ecuación (1.22), dada por y1 (x) = mx . Demostraremos que en el caso en que la raı́z 35 de la ecuación caracterı́stica sea doble, la otra solución de la ecuación (1.22), está dada por y(x) = x mx . En efecto, si y2 (x) = x mx entonces se tiene que y2 (x + 1) = (x + 1) mx+1 y y2 (x + 2) = (x + 2) mx+2 . Reemplazando estos valores en la relación, y2 (x+2)+a1 y2 (x+1)+a0 y2 (x) obtenemos (x + 2)mx+2 + a1 (x + 1)mx+1 + a0 xmx = mx ((x + 2)m2 + a1 m(x + 1) + a0 x) = mx (x(m2 + a1 m + a0 ) + 2m2 + a1 m) = 0, puesto que por ser m raiz de la ecuación caracterı́stica m2 + a1 m + a0 = 0, y por ser raiz doble, entonces m = −a1 /2; luego la función y2 (x) = x mx es solución de (1.22). En este caso la solución general de la ecuación homogénea está dada por: y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = c1 mx + c2 x mx . Ejemplo 1.13 Encontrar la solución general de la ecuación y(x + 2) − 4y(x + 1) + 4y(x) = 0. A la ecuación dada le corresponde la ecuación caracterı́stica m2 − 4m + 4 = 0. La cual tiene como raiz doble m = 2, luego la solución general está dada por: y(x) = c1 mx + c2 x mx = c1 2x + c2 x 2x . A la ecuación homogénea (1.22) con con las condiciones y(x0 ) = D y y(x0 + 1) = E, la llamaremos “problema de valor inicial”. Para resolver este problema necesitamos encontrar una solución particular de (1.22) que satisfaga las dos condiciones iniciales dadas. Ilustremos este proceso en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.14 Resolver el siguiente problema de valor inicial: 36 y(x + 2) + 4y(x + 1) + 4y(x) = 0, si y(0) = 0 y y(1) = 3. La ecuación anterior tiene como ecuación caracterı́stica: m2 + 4m + 4 = 0, la cual tiene raiz doble m = −2. Luego la solución general de la ecuación dada es: y(x) = c1 (−2)x + c2 x (−2)x . Si reemplazamos x por 0 y 1, obtenemos y(0) = c1 , y(1) = −2c1 − 2c2 , de donde al resolver las ecuaciones , se obtiene c1 = 0 y c2 = −3/2. Luego la solución al problema de valor inicial es: 3 y(x) = − x (−2)x . 2 1.9. Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. El teorema (1.6.1) puede generalizarse para ecuaciones de segundo orden. Dada la ecuación no homogénea y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = r(x) (1.24) noteremos por yh (x), la solución general de la correspondiente ecuación homogénea y(x + 2) + a1 y(x + 1) + a0 y(x) = 0 (1.25) entonces, para encontrar la solución general y(x) de la ecuación (1.24), demostraremos el siguiente teorema. 37 TEOREMA 1.9.1 : Si yp (x) es una solución particular de la ecuación (1.24), y además yh (x), es la solución general de la ecuación homogénea (1.25), entonces la solución general de la ecuación no homogénea, está dada por y(x) = yh (x) + yp (x). Prueba: La función y(x) = yh (x) + yp (x), es solución de la ecuación (1.24), puesto que la satisface, y además es solución general de la ecuación no homogénea porque las dos soluciones y1 (x) e y2 (x) que constituyen la solución yh (x), (yh (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)), forman un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea (1.25). El único problema para encontrar la solución general de una ecuación no homogénea, es determinar la solución particular yp (x); para ello se utiliza el mismo método del caso de las ecuaciones diferenciales lineales; este método es el de los coeficientes indeterminados. Ejemplo 1.15 Encontrar la solución general de la ecuación: y(x + 2) − 5y(x + 1) + 6y(x) = x + 10. A esta ecuación le corresponde la ecuación caracterı́stica m2 − 5m + 6 = 0, cuyas raı́ces son m1 = 2 y m2 = 3, luego yh (x) = c1 2x + c2 3x . Para encontrar la solución particular de la ecuación dada tomamos como yp (x), una función similar a r(x), que en este caso es x + 10, es decir yp (x) de la forma yp (x) = Ax + B, de tal forma que yp (x + 1) = A(x + 1) + B y yp (x + 2) = A(x + 2) + B. Reemplazando estos valores en la ecuación yp (x + 2) − 5yp (x + 1) + 6yp (x) = x + 10 obtenemos: (Ax + 2A + B) − 5(Ax + A + B) + 6(Ax + B) = x + 10 de donde, 2Ax − 3A + 2B = x + 10. Igualando coeficientes: 2A = 1 y −3A + 2B = 10 38 se obtienen los valores A = 1/2 y B = 23/4. Luego 1 23 yp (x) = x + . 2 4 Entonces la solución general de la ecuación dada es: 1 23 y(x) = c1 2x + c2 3x + x + . 2 4 1.10. Solución aproximada de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden usando ecuaciones de diferencia Hasta ahora, en esta monografı́a, se ha estudiado en forma detallada las ecuaciones en diferencias en cuanto a su definición, propiedades, soluciones, etc. Queremos mostrar a continuación su estrecha relación con las ecuaciones diferenciales de primer orden... Cuando en un sistema fı́sico nos interesa estudiar la razón de cambio instantáneo de una variable con respecto a otra, este problema es descrito por una ecuación diferencial. Por otro lado, si nos interesa estudiar los cambios en forma discreta (diferencias), modelaremos esta situación con una ecuación de diferencias. Por esto se dice que las ecuaciones de diferencias son análogos discretos de las ecuaciones diferenciales. 39 Mas aún, la solución numérica de una ecuación diferencial, puede aproximarse por medio de una ecuación de diferencias. Es aquı́ donde queremos centrar la atención. Consideremos el problema general de valor inicial dy = f (x, y), dx con f y ∂f ∂y y(x0 ) = y0 , continuas en un rectángulo R = {(x, y) : a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x0 , y0 ). Del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias (ver[10] página 12), este problema tiene solución única. Vamos a estudiar la aproximación de la solución y(x) en los finitos puntos x 0 , x1 , x 2 , . . . , x n con x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, . . . , xn = x0 + nh, donde h = x1 − x0 es un número real diferente de cero. Integrando dy = f (x, y) dx desde x0 hasta x1 , obtenemos Z x1 Z Z x1 dy = f (x, y) dx ⇒ y(x1 ) − y(x0 ) = x0 x0 x1 f (x, y) dx x0 y ası́: y(x1 ) = y0 + Z x1 f (x, y) dx. x0 40 (1.26) Consideremos tres formas de aproximación de la integral Z x1 f (x, y) dx : x0 I ) Bajo el supuesto hecho de que f (x, y) varı́e muy poco en el intervalo x0 ≤ x ≤ x1 , se aproxima f (x, y) al valor constante f (x0 , y0 ) en dicho intervalo; es decir si f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ). Ası́ de (1.26), Z x1 f (x0 , y0 ) dx y(x1 ) ≈ y0 + x0 = y0 + f (x0 , y0 ) (x1 − x0 ) = y0 + h f (x0 , y0 ) = y1 de modo que y(x1 ) ≈ y1 y y1 = y0 + h f (x0 , y0 ), repitiendo el proceso con (x1 , y1 ) para obtener y2 , se llega a y2 = y1 + h f (x1 , y1 ). Y ası́ sucesivamente llegamos a la ecuación de diferencias yn+1 = yn + h f (xn , yn ). Esta ecuación se resuelve iterativamente, hallando primero y1 , luego con este valor calculamos y2 , y ası́ repitiendo este proceso podremos llegar a yn . Esta forma de aproximación se conoce como método de Euler. II) Aquı́ se aproxima la integral Z x1 f (x, y) dx x0 41 al área del trapecio (h/2) {f (x0 , y0 ) + f (x1 , z1 )} donde z1 es igual a la aproximación de y(x1 ) dada por el método de Euler. Ası́ z1 = y0 + h f (x0 , y0 ). De modo que Z x1 x0 f (x, y) dx ≈ h {f (x0 , y0 ) + f (x1 , z1 )} 2 ası́ de (1.26): h {f (x0 , y0 ) + f (x1 , z1 )} = y1 2 h y(x1 ) ≈ y1 = y0 + {f (x0 , y0 ) + f (x1 , z1 )} 2 y(x1 ) ≈ y0 + con z1 = y0 + h f (x0 , y0 ). Repitiendo el proceso se llega a la ecuación de diferencias yn+1 = yn + h {f (xn , yn ) + f (xn+1 , zn+1 )} 2 donde zn+1 = yn + h f (xn , yn ). Esta aproximación se denomina método de Euler mejorado. III) Para aproximar el valor de la integral Z x1 f (x, y) dx , x0 supongamos inicialmente que f (x, y) depende solamente de x; es decir f (x, y) = F (x). Empleamos ahora la aproximación con la regla de simpson (método de integración numérica). Z x1 Z x1 (h/2) [F (x0 ) + 4F (x0 + h/2) + F (x0 + h)] f (x, y) dx = F (x) dx ≈ 3 x0 x0 42 de (1.26) y(x1 ) ≈ y0 + (h/2) [F (x0 ) + 4F (x0 + h/2) + F (x0 + h)] = y1 . 3 Llegando iterativamente a la ecuación de diferencia yn+1 = yn + (h/2) [F (xn ) + 4F (xn + h/2) + F (xn + h)] . 3 Si f (x, y) no depende solo de x, se deduce ( ver [2] página 321) la ecuación de diferencia 1 yn+1 = yn + (m1 + 2m2 + 2m3 + m4 ) 6 donde m1 = h f (xn , yn ), m2 = h f (xn + h/2, yn + m1 /2), m3 = h f (xn + h/2, yn + m2 /2), m4 = h f (xn + h, yn + m3 ). Este método se denomina método de Runge-Kutta. Como ilustración de estos tres métodos, resolvamos el siguiente problema de valor inicial. Dada la ecuación diferencial dy = y + x2 , dx 43 y(0) = 1. Calcular y(1). I) Calculemos y(1) aproximando la solución en los puntos x0 = 0 x1 = 0,2 h = 0,2 Aquı́ x2 = 0,4 x3 = 0,6 x4 = 0,8 x5 = 1. f (xn , yn ) = yn + x2n . El método de Euler da yn+1 = yn + h f (xn , yn ) = yn + h yn + x2n ; como y0 = y(x0 ) = 1, obtenemos y1 = y0 + h y0 + x20 = 1 + 0,2 1 + 02 = 1,2 y2 = y1 + h y1 + x21 = 1,2 + 0,2 1,2 + (0,2)2 ≈ 1,45. De esta manera obtenemos la tabla siguiente: xn yn f (xn , yn ) = yn + x2n yn+1 = yn + h f (xn , yn ) 0.0 1.00 1.00 1.20 0.2 1.20 1.24 1.45 0.4 1.45 1.61 1.77 0.6 1.77 2.13 2.20 0.8 2.20 2.84 2.77 1.0 2.77 El valor y5 = 2,77 correspondiente a x5 = 1 es nuestro valor aproximado para y1 . 44 II) Usando x0 = 0 e y0 = 1, con h = 0,2 obtenemos a partir del método mejorado de Euler lo siguiente: z1 = y0 + hf (x0 , y0 ) = 1 + 0,2(1 + 02 ) = 1,2 h y1 = y0 + [f (x0 , y0 ) + f (x1 , z1 )] = 1 + 0,1 (1 + 02 ) + 1,2 + (0,2)2 2 = 1 + 0,1(2,24) = 1,224 ≈ 1,22 z2 = y1 + hf (x1 , y1 ) = 1,22 + 0,2 1,22 + (0,2)2 = 1,472 ≈ 1,47 h y2 = y1 + [f (x1 , y1 ) + f (x2 , z2 )] 2 = 1,22 + 0,1 1,22 + (0,2)2 + 1,47 + (0,4)2 = 1,509 ≈ 1,51 y ası́ sucesivamente. Observemos las aproximaciones: xn yn f (xn , yn ) = yn + x2n zn+1 f (xn+1 , zn+1 ) = zn+1 + x2n+1 yn+1 0.0 1.0 1.0 1.20 1.24 1.22 0.2 1.22 1.26 1.47 1.63 1.51 0.4 1.51 1.67 1.84 2.20 1.90 0.6 1.90 2.26 2.35 2.99 2.43 0.8 2.43 3.07 3.04 4.04 3.14 1.0 3.14 Esta tabla nos indica que el valor aproximado para y(1) es de 3.14 III) Aplicamos el método de Runge-Kutta con un solo paso; es decir 45 con h = 1 y n = 1. Ası́: m1 = f (0, 1) = 1 7 1 3 , = m2 = f 2 2 4 17 1 15 = , m3 = f 2 8 8 25 33 m4 = f 1, = . 8 8 Entonces 1 y1 = 1 + 6 7 17 33 1+ + + 2 4 8 = 151 ≈ 3,146. 48 Ası́ la aproximación con este método es 3.146. Es importante anotar que la ecuación diferencial dy = y + x2 dx tiene solución explı́cita igual a y = 3ex − x2 − 2x − 2. Ası́ que y(1) = 3e − 5 ≈ 3,154. Por lo tanto la estimación del método de Euler en este problema tiene un error del 12 por ciento. En el método mejorado de Euler el error es menor del 1 por ciento y Runge-Kutta nos llevó mas cerca del valor correcto. Comentario: El método de Euler es el más fácil de aplicar, pero requiere muchos pasos (un pequeño tamaño de h) para lograr un grado razonable de 46 exactitud. El método mejorado de Euler es mas preciso (con el mismo tamaño de h), pero requiere mas cálculos aritméticos en cada iteración. Finalmente el método de Runge-Kutta casi siempre da mejor exactitud al precio de mucho mas trabajo en cada paso. La elección del método está determinada a menudo por la exactitud deseada. Si solo se necesita una respuesta aproximada con una o dos cifras decimales, entonces el método de Euler o el método mejorado de Euler serán suficientes. Se aclara además que existen más métodos para este mismo trabajo. 47 48 Capı́tulo 2 Transformada Z Las ecuaciones an+1 + an−1 = f (n) (2.1) an+1 − an−1 = f (n) (2.2) son ecuaciones en diferencias que no han sido resueltas en forma general; es decir, constituyen un problema abierto en las Matemáticas. En este capı́tulo presentaremos su solución, hallada mediante el uso de la transformada Z. Estudiaremos inicialmente la transformada Z en cuanto a definición y propiedades, para después comenzar una exposición original, de mi autorı́a, donde deduciré cuatro lemas, resolveré casos particulares entre los que se destaca la sucesión de Fibonacci y finalizaré aportando soluciones generales para las ecuaciones (2.1) y (2.2). 49 2.1. Funciones de variable natural Sea Z el conjunto de los números enteros, n ∈ Z es llamada variable natural. La función f : Z→R n → f (n) tiene como dominio el conjunto de los enteros y como contradominio el de los números reales. f (n) es llamada función discreta. La definición anterior, se complementa con f (a) = 0, 2.2. donde a = −1, −2, −3, . . . Transformada Z Sea la función discreta f (n) que adquiere los valores f (0), f (1), f (2), . . . , f (n), . . . y considérese la sucesión geométrica en la variable z (variable de transformación) 1, z, z 2 , . . . , z n , . . . . Formando el producto interno de estas sucesiones, esto es, multiplicando término a término las sucesiones anteriores y sumando los productos obtenidos resulta: 2 n f (0) + f (1) z + f (2) z + · · · + f (n) z + · · · = Si se representa con Tz (f (n)) a la suma obtenida 50 ∞ X n=0 f (n) z n . Tz (f (n)) = ∞ X f (n) z n , n=0 se define Tz (f (n)) como la transformada Z de la función discreta f (n). Por el hecho de que Tz (f (n)) es la suma de una serie de potencias y ya que “bajo ciertas condiciones”( ver [Apostol tom M. vol 1] página 529) pueden derivarse e integrarse término a término conservando su radio de convergencia, entonces se pueden usar éstas propiedades en el estudio de la transformada Z directa y en el de su inversa. 2.3. Transformada de diversas discretas Pulso unitario en el origen. La función δ(n) se define de la siguiente manera: δ(n) = ( 1 si n = 0 0 si n 6= 0 51 funciones Se tiene Tz (δ(n)) = ∞ X n=0 δ(n) z n = 1 · 1 + 0 · z + 0 · z 2 + · · · + 0 · z n = 1. De esta manera, se puede establecer la correspondencia Tz (δ(n)) = 1. Pulso unitario en el punto m. Esta función se define también mediante la delta de Kronecker f (n) = δ(n − m) = ( 1 si n = m 0 si n 6= m ası́, Tz (δ(n − m)) = ∞ X n=0 δ(n−m) z n = 0·1+0·z+0·z 2 +· · ·+1·z m +· · ·+0·z n = z m , de manera que, Tz (δ(n − m)) = z m , m > 0. Escalón unitario. La función escalón unitario u(n) es la siguiente: 52 u(n) = ( 1 si n ≥ 0 0 si n < 0 En este caso Tz (u(n)) = Tz (u(n)) = ∞ X n=0 ∞ X u(n) z n = 1 · 1 + 1 · z + 1 · z 2 + · · · + 1 · z n + · · · u(n) z n = n=0 1 , 1−z |z| < 1. Por lo tanto Tz (u(n)) = 1 . 1−z Combinación lineal de funciones discretas Sean las funciones f (n), g(n) y F (n) = a f (n) + b g(n) con a y b constantes. Por definición Tz (F (n)) = ∞ X F (n) z n = n=0 ∞ X [a f (n) + b g(n)] z n , n=0 empleando la propiedad distributiva de la suma Tz (F (n)) = ∞ X a f (n) z n + n=0 ∞ X b g(n) z n n=0 y al ser a y b constantes, Tz (F (n)) = a ∞ X f (n) z n + b n=0 ∞ X n=0 53 g(n) z n esto es Tz (a f (n) + b g(n)) = a Tz (f (n)) + b Tz (g(n)) . Convolución entre dos funciones Dadas las funciones f (n) y g(n), la convolución entre ellas, la cual se representa f (n) ∗ g(n), se define por f (n) ∗ g(n) = n X m=0 f (m) g(n − m). Ası́ por ejemplo, dadas las funciones f (n) = an g(n) = bn entonces, n n a ∗b = pero n X a m m=0 De manera que n b n a ∗b =b n X m n−m a b =b m=0 n X a m m=0 1 − ab = 1− n+1 n n+1 a b b n+1 1 − ab =b . b−a n+1 1 − ab bn+1 − an+1 = . b−a b−a 54 Ahora que se ha definido la operación convolución, se le aplicará la definición de transformada Z; veamos: ∞ X n=0 f (n) ∗ g(n) z n = ∞ X zn n=0 n X m=0 f (m) g(n − m) pero ∞ X zn n=0 n X m=0 f (m) g(n − m) = = ∞ X n X n=0 m=0 ∞ X f (m) z m g(n − m) z n−m f (m) z m m=0 ∞ X n=m g(n − m) z n−m de donde si n − m = r ∞ X n=0 n f (n) ∗ g(n) z = ∞ X f (m) z m m=0 ∞ X g(r) z r , r=0 se establece Tz [f (n) ∗ g(n)] = Tz [f (n)] . Tz [g(n)] Función Retardada Sea la función f (n) referida a un origen O arbitrario y trasládese este origen m unidades en el sentido negativo del eje n, la función referida a este nuevo origen O′ , es f (n − m). Aplicando la definición de transformada Z a f (n − m), se tiene Tz (f (n − m)) = ∞ X n=0 n f (n − m) z = z si n − m = r, 55 m ∞ X n=m f (n − m) z n−m , Tz (f (n − m)) = z m ∞ X f (r) z r = z m Tz (f (n)) . (2.3) n=0 Sucesión geométrica Sea f (n) = an , entonces aplicando la definición de Transformada Z n Tz (a ) = ∞ X n=0 n n a z = ∞ X (az)n = n=0 1 , 1 − az |az| < 1 ⇔ |z| < 1 . |a| Por consiguiente, si a es constante Tz (an ) = 1 . 1 − az Por otra parte si F (n) = an f (n) se tiene Tz (F (n)) = ∞ X n n a f (n) z = n=0 ∞ X f (n) (az)n . n=0 Por lo tanto se establece que si Tz (f (n)) = h(z) entonces Tz (an f (n)) = h(az). 56 (2.4) Productos sucesivos de la variable por la función Sea la función f (n) con Transformada Z dada por h(z), entonces Tz (f (n)) = ∞ X f (n) z n n=0 d Tz (f (n)) = dz z d Tz (f (n)) = dz ∞ X nf (n) z n−1 n=1 ∞ X nf (n) z n n=0 y por lo tanto, Tz (f (n)) = h(z) ⇒ Tz [nf (n)] = z d h(z). dz Si f (n) = u(n), entonces Tz (f (n)) = Tz u(n) = 1 d Tz (u(n)) = dz (1 − z)2 d z z Tz (u(n)) = dz (1 − z)2 esto es Tz [n u(n)] = pero u(n) = 1 , luego Tz (n) = 1 , 1−z z (1 − z)2 z . (1 − z)2 57 |z| < 1. (2.5) Recı́proca del factorial Sea f (n) = 1 n! se tiene Tz 1 n! ∞ X z2 zn 1 n z = z =1+ + + ··· + + · · · = ez n! 1! 2! n! n=0 luego Tz 1 n! = ez . Ahora, si aplicamos el resultado Tz (f (n)) = h(z) implica Tz (an f (n)) = h(az) junto con el anterior; se establece que Tz an n! = eaz . Función combinatoria Sea donde ! n j " ; n ≥ j, j ≥ 0 un número entero, ! n j " = n! . j! (n − j)! 58 Se tienen los siguientes resultados: Tz Tz Tz #! #! " n j " n+k Tz j #! ! n j j an = zj (1 − z)j+1 (2.6) $ = aj z j (1 − az)j+1 j≥0 (2.7) $ = (az)j−k (1 − az)j+1 j≥k>0 (2.8) an " " n an $ = (1 + az)j j>0 (2.9) donde a es una constante. Método para antitransformar El método más directo y cómodo para antitransformar, consiste en llevar la función Tz (f (n)) a una tabla que se puede construir a partir de los resultados precedentes y leer directamente la función f (n) que le corresponde. 59 Ejemplo 2.1 Hallar la función f (n) cuya Transformada Z sea z−3 . 1 − 4z + 4z 2 Solución: si, z−3 z−3 z 3 = = − 2 2 2 1 − 4z + 4z (1 − 2z) (1 − 2z) (1 − 2z)2 Tz (f1 (n)) = y z 1 − 4z + 4z 2 Tz (f2 (n)) = − entonces 3 1 − 4z + 4z 2 Tz (f (n)) = Tz (f1 (n)) + Tz (f2 (n)), que por la linealidad y unicidad del operador, se tiene que f (n) = f1 (n) + f2 (n). Procedamos entonces antitransformando la función ası́ : z 1 − 4z + 4z 2 1 z 2z = . 2 1 − 4z + 4z 2 1 − 4z + 4z 2 Aplicando ahora las fórmulas (2.4) y (2.5), se tiene que 1 f1 (n) = n 2n . 2 60 Por otra parte, para antitransformar la función − 3 1 − 4z + 4z 2 utilizamos la ecuación (2.8) para obtener f2 (n) = −3 ! n+1 1 " 2n = −3(n + 1) 2n . Finalmente, f (n) = f1 (n) + f2 (n) = n 2n−1 − 3(n + 1) 2n = 2n−1 (n − 6n − 6) = −(5n + 6) 2n−1 . Ejemplo 2.2 Hallar la función f (n) cuya Transformada Z sea 3z 2 (1 + 5z). Solución: Por una parte, la ecuación (2.9) con j = 4 y a = 5, se reduce a Tz #! n 4 " $ 5n = (1 + 5z)4 . 61 Sin embargo, al estar multiplicado el binomio por z 2 , es necesario emplear la ecuación (2.3), la cual nos muestra que la función se encuentra retrasada en dos unidades. Por lo tanto f (n) = 3 2.4. ! n−2 4 " 5n−2 . Aplicaciones de la transformada Z en la solución de ecuaciones de diferencias Ya tenemos la definición de transformada Z, y sus propiedades. Ahora mostraremos una forma de usar esta teorı́a en la solución de ecuaciones de diferencias, para lo cual iniciaremos deduciendo cuatro lemas (originales en esta monografı́a) que se usan con bastante frecuencia a lo largo de esta exposición, al igual que las ecuaciones correspondientes a Tz (an ), Tz (an+1 ) y Tz (an+2 ). Lema 1: Tz−1 1 2 z +1 = 1 n i (1 + (−1)n ) 2 donde Tz−1 representa la transformada Z inversa. Prueba: 62 Tz−1 1 2 z +1 = = = = = = = = Ası́ Tz−1 Lema 2: Tz−1 Prueba: Tz−1 z 2 z +1 i 1 i 1 + − 2 z−i 2 z+i i 1 i 1 −1 −1 + Tz Tz − 2 z−i 2 z+i 1 1 −i i −1 −1 + Tz Tz 2(−i) 1 − z/i 2i 1 + z/i 1 −1 1 −1 1 1 + Tz T 2 z 1 − z/i 2 1 + z/i n n 1 −1 1 1 + 2 i 2 i 1 1 (−i)n + (i)n 2 2 1 n (i + (−1)n in ) 2 1 n i (1 + (−1)n ) . 2 Tz−1 1 2 z +1 = z z2 + 1 = = = = = 1 n i (1 + (−1)n ) . 2 1 n−1 i 1 + (−1)n−1 . 2 1 z 2 z +1 1 δ(n − 1) ∗ in (1 + (−1)n ) 2 n X 1 n−m n−m 1 + (−1) δ(m − 1) i 2 m=0 1 n−1 1 + (−1)n−1 . i 2 Tz−1 63 Lema 3: Tz−1 1 1 − z2 = 1 (1 + (−1)n ) , n ≥ 0. 2 Prueba: Tz−1 1 1 − z2 = = = = 1 1 + 2(1 + z) 2(1 − z) 1 1 1 −1 1 −1 T + Tz 2 z 1+z 2 1−z 1 1 (−1)n + 2 2 1 (1 + (−1)n ) , n ≥ 0. 2 Tz−1 Lema 4: Tz−1 z 1 − z2 = 1 (1 − (−1)n ) , n ≥ 0. 2 Prueba: 64 Tz−1 z 1 − z2 = 1 1 − 2(1 − z) 2(1 + z) 1 −1 1 1 −1 Tz − Tz 1−z 2 1+z 1 − (−1)n 2 Tz−1 1 2 1 = 2 1 (1 − (−1)n ) , = 2 = n ≥ 0. Se tienen también las siguientes relaciones: Tz (an ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n + · · · = ∞ X an z n n=0 ∞ X Tz (an+1 ) = a1 + a2 z + a3 z 2 + · · · + an+1 z n + · · · = Tz (an+2 ) = a2 + a3 z + a4 z 2 + · · · + an z n−2 + · · · = an z n−1 n=1 ∞ X an z n−2 . n=2 Ahora, en una exposición original, utilizaremos la transformada Z para obtener resultados de nuestro interés y que nos permitan hallar 65 soluciones de las ecuaciones (2.1) y (2.2). Para este fin solucionaremos casos particulares en los que identificaremos comportamientos y tendencias comunes que nos acerquen a la solución general. Una forma particular de esta ecuación, y que por cierto es muy famosa, es la sucesión de Fibonacci. En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sucesión de Fibonacci: Según el propio Leonardo de Pisa en su Libro de los ábacos, la sucesión puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad). El problema en lenguaje actual dirı́a: “Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?”. El número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión. Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144 . . .. Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el √ número áureo Φ = (1 + 5)/2 = 1,618039 . . .. Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos: Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas 66 de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8. Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci. En geometrı́a también tiene aplicación (Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero): Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión. Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1. Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2. Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21. . .. Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89. . .. Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo áureo. Hemos construido ası́ una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo. Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva conocida como la espiral de Durero. Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... es decir, la espiral del crecimiento y la forma 67 del reino animal. Fibonacci sin pretenderlo habı́a hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza. Veamos algunos ejemplos: 1. Hallar una fórmula para el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci a0 = 1, a1 = 1; an+2 = an+1 + an . Solución: an+2 = an+1 + an an = an+2 − an+1 Tz (an ) = Tz (an+2 ) − Tz (an+1 ) ∞ ∞ X X an z n = an z n−2 − an z n−1 ∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0 n=2 an z n an z n n=1 ∞ ∞ 1 X 1X n = 2 an z − an z n z n=2 z n=1 " !∞ !∞ " X 1 X 1 = 2 an z n − a0 − a1 z − an z n − a 0 z z n=0 n=0 Tz (an ) = − 1 a0 a1 a0 1 + 2 Tz (an ) + − Tz (an ) − 2 z z z z z 68 an = donde j= 1 1 1 1 a1 Tz (an ) = a0 − 2 − 1− 2 + z z z z z 2 z −1+z 1 1 1 Tz (an ) = − 2− 2 z z z z 1 Tz (an ) = − 2 z −1+z Tz−1 1 − 2 z +z−1 √ −1+ 5 , 2 an = donde A= an = = = = = q= = −Tz−1 1 (z − j) (z − q) √ −1− 5 2 −Tz−1 B A + z−j z−q 1 1 1 1 B= =√ , = −√ j−q q − j 5 5 1 1 −1 −1 + B Tz A Tz j−z q−z " " ! ! A −1 B −1 1 1 T + Tz j z q 1 − 1j z 1 − 1q z n n B 1 A 1 + j j q q A B + j n+1 q n+1 2n+1 2n+1 √ √ √ −√ . 5 (−1 + 5)n+1 5 (−1 − 5)n+1 Por lo tanto, la sucesión de Fibonacci es: n+1 2 1 1 √ √ . + {an } = √ 5 ( 5 − 1)n+1 (−1)n+2 (1 + 5)n+1 69 2. Resolver la ecuación de diferencia an+1 + an−1 = k, donde k es una constante. Solución: an+2 + an = k an = k − an+2 Tz (an ) = Tz (k) − Tz (an+2 ) ∞ X k an z n−2 − an z n = 1 − z n=0 n=2 #∞ $ ∞ X X k 1 an z n = an z n − a0 − a1 z − 2 1 − z z n=0 n=0 ∞ X ∞ X an z n = ∞ a 0 a1 1 X k + 2+ − 2 an z n 1−z z z z n=0 n=0 k a 0 a1 1 + 2+ 1 + 2 Tz (an ) = z 1−z z z 2 2 kz + a0 (1 − z) + a1 z(1 − z) z +1 Tz (an ) = 2 z (1 − z) z 2 kz 2 + a0 − a0 z + a1 z − a1 z 2 Tz (an ) = (1 − z) (z 2 + 1) (k − a1 )z 2 + (a1 − a0 )z + a0 Tz (an ) = . (1 − z) (z 2 + 1) 70 Ahora calculando transformada Z inversa, se tiene: an = an = an = an = an = an = (k − a1 ) z 2 + (a1 − a0 ) z + a0 (1 − z) (z 2 + 1) (k − a1 ) (z 2 + 1 − 1) + (a1 − a0 ) z + a0 −1 Tz (1 − z) (z 2 + 1) 2 (k − a1 )(z + 1) k − a1 (a1 − a0 )(z − 1 + 1) + a0 −1 − + Tz (1 − z) (z 2 + 1) (1 − z) (z 2 + 1) (1 − z) (z 2 + 1) k − a1 a1 − k + a0 + a1 − a0 a0 − a1 + + 2 Tz−1 1−z (1 − z) (z 2 + 1) z +1 k − a1 2a1 − k a 0 − a1 −1 Tz + + 2 1−z (1 − z) (z 2 + 1) z +1 k − a1 A Bz + D a0 − a1 −1 Tz + + 2 + 2 1−z 1−z z +1 z +1 Tz−1 donde A = B = D = (2a1 − k)/2 an = an = an = an = an = an = k − a1 + A 1−z Tz−1 D + a 0 − a1 z2 + 1 71 Bz + + z2 + 1 1 1 z −1 −1 −1 (k − a1 + A) Tz + (D + a0 − a1 ) Tz + B Tz 1−z z2 + 1 z2 + 1 D + a 0 − a1 n (k − a1 + A) + i (1 + (−1)n ) + 2 n X 1 +B δ(m − 1). in−m 1 + (−1)n−m 2 m=0 D + a 0 − a1 n 1 (k − a1 + A) + i (1 + (−1)n ) + B. in−1 1 + (−1)n−1 2 2 " ! 2a1 −k + a 0 − a1 2a1 − k 2 k − a1 + + in (1 + (−1)n ) + 2 2 2a1 − k 1 n−1 1 + (−1)n−1 + . i 2 2 2k − 2a1 + 2a1 − k 2a1 − k + 2a0 − 2a1 n + . i (1 + (−1)n ) + 2 4 2a1 − k n−1 1 + (−1)n−1 . i + 4 Tz−1 Tz−1 Por lo tanto {an } = k 2a0 − k n 2a1 − k n−1 n n−1 1 + (−1) . + . i (1 + (−1) ) + i 2 4 4 3. Resolver la ecuación de diferencia an+1 + an−1 = an . Solución: √ En los siguientes cálculos se tomarán los valores A = (1 + 3i)/2 y √ B = (1 − 3i)/2 que se obtienen al factorizar z 2 − z + 1 en la forma (z − A)(z − B) : 72 an+2 + an = an+1 an = an+1 − an+2 Tz (an ) = Tz (an+1 ) − Tz (an+2 ) 1 1 a0 a0 a1 Tz (an ) − − 2 Tz (an ) + 2 + Tz (an ) = z z z z z 1 a0 a1 a0 1 1 − + 2 Tz (an ) = 2 + − z z z z z 2 z −z+1 a0 + a1 z − a0 z Tz (an ) = 2 z z2 a0 + (a1 − a0 )z z a0 Tz (an ) = = + (a1 − a0 ) 2 z −z+1 (z − A)(z − B) (z − A)(z − B) de modo que an = an = an = an = an = 1 z −1 + (a1 − a0 ) Tz (z − A)(z − B) (z − A)(z − B) 1 z−A+A −1 −1 a0 Tz + (a1 − a0 ) Tz (z − A)(z − B) (z − A)(z − B) 1 1 −1 −1 a0 Tz + (a1 − a0 ) Tz + (z − A)(z − B) z−B 1 −1 +(a1 − a0 )A Tz (z − A)(z − B) 1 −1 [a0 + (a1 − a0 )A] Tz + (z − A)(z − B) 1 −1 +(a1 − a0 ) Tz z−B 1 1 −1 [a0 + (a1 − a0 )A] Tz + + (z − A)(z − B) (z − B) (B − A) 1 −1 +(a1 − a0 ) Tz z−B a0 Tz−1 73 an = an = an = an = an = an = [a0 + (a1 − a0 )A] −1 [a0 + (a1 − a0 )A] −1 1 1 + + Tz Tz A−B z−A B−A z−B 1 −1 +(a1 − a0 ) Tz z−B a0 + (a1 − a0 )A −1 1 Tz + A−B z−A a0 + (a1 − a0 )A + (B − A)(a1 − a0 ) −1 1 Tz + B−A z−B 1 a0 + (a1 − a0 )A −1 + Tz −(A − B)A 1 − z/A 1 a0 + (a1 − a0 )A + (B − A)(a1 − a0 −1 Tz + −(B − A)B 1 − z/B n n a0 + (a1 − a0 )A a0 + (a1 − a0 )A + (B − A)(a1 − a0 ) 1 1 + A(B − A) A B(A − B) B n+1 n+1 a0 + (a1 − a0 )A (a1 − a0 )B + a0 1 1 + B−A A A−B B n+1 n+1 a0 + (a1 − a0 )A (a1 − a0 )B + a0 1 1 √ √ + . A B − 3i 3i Por lo tanto, ( {an } = con (a0 − a1 )A − a0 √ 3i A = (1 + √ 3i)/2, n+1 n+1 ) (a1 − a0 )B + a0 1 1 √ + A B 3i B = (1 − √ 3i)/2 . 4. Resolver la ecuación de diferencia an+1 + an−1 = n. 74 Solución: Tz (an+1 ) + Tz (an−1 ) = Tz (an ) ∞ X z n−1 an z + an z n+1 = (1 − z)2 n=1 n=−1 ∞ X ∞ ∞ X 1X z an z n + z an z n = z n=1 (1 − z)2 n=−1 1 a0 z Tz (an ) − + z Tz (an ) + a−1 = z z (1 − z)2 a0 1 z + z Tz (an ) = − a−1 + z z (1 − z)2 1 + z2 a0 z . Tz (an ) = − a−1 + z z (1 − z)2 z z a0 z − a−1 + 2 2 2 1+z 1+z (1 − z) 1 + z 2 1 z z z −1 −1 −1 − a−1 Tz + Tz = a0 Tz 1 + z2 1 + z2 (1 − z)2 1 + z 2 1 1 a−1 n−1 1 + (−1)n−1 + n ∗ in−1 1 + (−1)n−1 . i = a0 . in (1 + (−1)n ) − 2 2 2 Tz (an ) = an an Ahora teniendo en cuenta los siguientes cálculos de convolución: n X 1 n−1 1 n−1 n∗ i m. in−m−1 1 + (−1)n−m−1 1 + (−1) = 2 2 m=0 n in−1 X m. i−m 1 + (−1)n−m−1 , = 2 m=0 se llega al término n-ésimo de la ecuación de diferencia dada; ası́: ( ) n n−1 X a i a0 n −1 n−1 mi−m 1 + (−1)n−m−1 . 1 + (−1)n−1 + i (1 + (−1)n ) − i {an } = 2 2 2 m=0 75 5. Resolver la ecuación de diferencia an+1 + an−1 = 1 . n Solución: 1 Tz (an+1 ) + Tz (an−1 ) = Tz n 1 1 a0 z+ Tz (an ) − + a−1 = Tz z z n | {z } Cálculos hechos en el ejercicio 4 2 1 a0 z +1 Tz (an ) = − a−1 + Tz z z n 1 a0 z z − 2 a−1 − 2 Tz Tz (an ) = 2 z +1 z +1 z +1 n De donde an = a0 2 z +1 − a−1 Tz−1 a0 n i (1 + (−1)n ) − 2 a0 n i (1 + (−1)n ) − = 2 an = an Tz−1 z 1 + Tz 2 z +1 n 1 1 1 + (−1)n−1 + in−1 1 + (−1)n−1 ∗ 2 n n m−1 X 1 (1 + (−1) ) 1 + (−1)n−1 + . im−1 2 m=0 n−m z 2 z +1 a−1 n−1 i 2 a−1 n−1 i 2 Tz−1 Por lo tanto, ( ) n m−1 X 1 (1 + (−1) ) a a0 n −1 {an } = im−1 . i (1 + (−1)n ) − in−1 1 + (−1)n−1 + 2 2 2 m=0 n−m 76 Un importante aporte de esta monografı́a, es la obtención de una solución general de la ecuación (2.1). Para lo cual deduciremos que esta solución es ( ) n X a a0 n 1 −1 n−1 {an } = 1 + (−1)n−1 + im−1 1 + (−1)m−1 f (n − m) . i (1 + (−1)n ) − i 2 2 2 m=0 Prueba: an+1 + an−1 = f (n) ∞ X n=1 ∞ X n=0 an z n−1 − Tz (an+1 ) + Tz (an−1 ) = Tz (f (n)) ∞ X n−1 an z + an z n+1 = Tz (f (n)) n=−1 ∞ X a0 an z n+1 = Tz (f (n)) + a−1 + z n=0 1 a0 Tz (an ) − + a−1 + z Tz an z z 1 + z Tz (an ) z 1 + z2 Tz (an ) z Tz (an ) = Tz (f (n)) a0 − a−1 + Tz (f (n)) z a0 − a−1 + Tz (f (n)) = z a0 a−1 z z = − + Tz (f (n)). 1 + z2 1 + z2 1 + z2 = De modo que an = a0 Tz−1 1 1 + z2 − a−1 Tz−1 z Tz (f (n)) + 1 + z2 1 1 + (−1)n−1 + in−1 1 + (−1)n−1 ∗ f (n) 2 n−1 1 + (−1) + z 1 + z2 a0 n a−1 n−1 i (1 + (−1)n ) − i 2 2 a0 n a−1 n−1 = i (1 + (−1)n ) − i 2 2 n 1 X m−1 + i 1 + (−1)m−1 f (n − m) . 2 m=0 = 77 Tz−1 Por lo tanto ( ) n X a a0 n 1 −1 n−1 {an } = i (1 + (−1)n ) − i 1 + (−1)n−1 + im−1 1 + (−1)m−1 f (n − m) 2 2 2 m=0 Finalmente y como un aporte mas de esta tesis, demostraremos que la solución general de la ecuación (2.2) está dada por 1 n n n [(1 + (−1) ) a0 + (1 − (−1) ) a−1 + (1 − (−1) ) ∗ f (n)] . {an } = 2 Prueba: an+1 − an−1 = f (n) ∞ X n=1 ∞ X n=0 an z n−1 − Tz (an+1 ) − Tz (an−1 ) = Tz (f (n)) ∞ X n−1 an z − an z n+1 = Tz (f (n)) n=−1 ∞ X a0 an z n+1 = Tz (f (n)) − a−1 − z n=0 a0 1 Tz (an ) − − a−1 − z Tz (an ) z z 1 − z Tz (an ) z 1 − z2 Tz (an ) z Tz (an ) = Tz (f (n)) a0 + a−1 + Tz (f (n)) z a0 = + a−1 + Tz (f (n)) z a0 a−1 z z = + + Tz (f (n)). 1 − z2 1 − z2 1 − z2 = Al tomar transformada Z inversa en ambos lados de la igualdad, se tiene 1 z z −1 −1 −1 + a−1 Tz + Tz an = a0 Tz Tz (f (n)) 1 − z2 1 − z2 1 − z2 1 1 1 [1 + (−1)n ] a0 + [1 − (−1)n ] a−1 + [1 − (−1)n ] ∗ f (n) = 2 2 2 1 [(1 + (−1)n ) a0 + (1 − (−1)n ) a−1 + (1 − (−1)n ) ∗ f (n)] = 2 78 Por lo tanto {an } = 1 n n n [(1 + (−1) ) a0 + (1 − (−1) ) a−1 + (1 − (−1) ) ∗ f (n)] . 2 Antes de presentar como aplicación de ecuaciones en diferencias de segundo orden el modelo de inventarios de Metzler, escribiremos acerca de los temas: inventarios, propensión marginal y de lo que en economı́a significa solución de equilibrio. De este modo se podrá entender más fácil la exposición del modelo de inventarios que se quiere divulgar en esta monografı́a. 2.5. Inventarios Un inventario representa la existencia de bienes muebles e inmuebles que tiene una empresa para comerciar con ellos, comprándolos y vendiéndolos tal cual o procesándolos primero antes de venderlos, en un perı́odo económico determinado. 79 2.6. Clases de Inventarios De acuerdo a las caracterı́sticas de la empresa encontramos cinco tipos de inventarios: Inventario de Mercancı́as: Lo constituyen todos aquellos bienes que le pertenecen a la empresa bien sea comercial o mercantil, los cuales los compran para luego venderlos sin ser modificados. En esta Cuenta se mostrarán todas las mercancı́as disponibles para la Venta. Las que tengan otras caracterı́sticas y estén sujetas a condiciones particulares se deben mostrar en cuentas separadas, tales como las mercancı́as en camino (las que han sido compradas y no recibidas aún), las mercancı́as dadas en consignación o las mercancı́as pignoradas (aquellas que son propiedad de la empresa pero que han sido dadas a terceros en garantı́a de valor que ya ha sido recibido en efectivo u otros bienes). Inventario de Productos Terminados: Son todos aquellos bienes adquiridos por las empresas manufactureras o industriales, los cuales son transformados para ser vendidos como productos elaborados. 80 Inventario de Productos en Proceso de Fabricación: Lo integran todos aquellos bienes adquiridos por las empresas manufactureras o industriales, los cuales se encuentran en proceso de manufactura. Su cuantificación se hace por la cantidad de materiales, mano de obra y gastos de fabricación, aplicables a la fecha de cierre. Inventario de Materias Primas: Lo conforman todos los materiales con los que se elaboran los productos, pero que todavı́a no han recibido procesamiento. Inventario de Suministros de Fábrica: Son los materiales con los que se elaboran los productos, pero que no pueden ser cuantificados de una manera exacta (Pintura, lija, clavos, lubricantes, etc). El inventario es un relación detallada y valorada de los elementos que componen la empresa. El inventario de las existencias de una empresa podemos reflejarlo de dos formas: -Inventario fı́sico: nos da a conocer el número de existencias en almacén. Es obligatorio al menos una vez al año. --Inventario permanente: controla las existencias cada vez que entren o salgan de almacén. 81 La base de toda empresa comercial es la compra y venta de bienes o servicios; de aquı́ la importancia del manejo del inventario por parte de la misma. Este manejo contable permitirá a la empresa mantener el control oportunamente, ası́ como también conocer al final del periodo contable un estado confiable de la situación económica de la empresa. Ahora bien, el inventario constituye las partidas del activo corriente que están listas para la venta, es decir, toda aquella mercancı́a que posee una empresa en el almacén valorada al costo de adquisición, para la venta o actividades productivas. Las empresas dedicadas a la compra y venta de mercancı́as, por ser esta su principal función y la que dará origen a todas las restantes operaciones, necesitarán de una constante información resumida y analizada sobre sus inventarios, lo cual obliga a la apertura de una serie de cuentas principales y auxiliares relacionadas con esos controles. Entre estas cuentas podemos nombrar las siguientes: . Inventario (inicial) · Compras · Devoluciones en compra · Gastos de compras 82 · Ventas · Devoluciones en ventas · Mercancı́as en tránsito · Mercancı́as en consignación · Inventario (final) El Inventario Inicial representa el valor de las existencias de mercancı́as en la fecha que comenzó el periodo contable. Esta cuenta se abre cuando el control de los inventarios, se lleva en base al método especulativo, y no vuelve a tener movimiento hasta finalizar el periodo contable cuando se cerrará con cargo a costo de ventas o bien por ganancias y perdidas directamente. En la cuenta Compras se incluyen las mercancı́as compradas durante el periodo contable con el objeto de volver a venderlas con fines de lucro y que forman parte del objeto para el cual fue creada la empresa. No se incluyen en esta cuenta la compra de terrenos, maquinarias, edificios, equipos, instalaciones, etc. Esta cuenta tiene un saldo deudor, no entra en el balance general de la empresa, y se cierra por ganancias y pérdidas o costo de ventas. 83 Devoluciones en compra, se refiere a la cuenta que es creada con el fin de reflejar toda aquella mercancı́a comprada que la empresa devuelve por cualquier circunstancia; aunque esta cuenta disminuirá la compra de mercancı́as no se abonará a la cuenta compras. Los gastos ocasionados por las compras de mercancı́as deben dirigirse a la cuenta titulada: Gastos de Compras. Esta cuenta tiene un saldo deudor y no entra en el balance general. Ventas: Esta cuenta controlará todas las ventas de mercancı́as realizadas por la empresa y que fueron compradas con este fin. Por otro lado también está la cuenta devoluciones en venta, la cual está creada para reflejar las devoluciones realizadas por los clientes a la empresa. En algunas oportunidades, especialmente si la empresa realiza compras en el exterior, nos encontramos que se han efectuado ciertos desembolsos o adquirido compromisos de pago (documentos o giros) por mercancı́as que la empresa compró pero que, por razones de distancia o cualquier otra circunstancia, aun no han sido recibidas en el almacén. Para contabilizar este tipo de operaciones se debe utilizar la cuenta: Mercancı́as en Tránsito. Por otro lado se tiene la cuenta Mercancı́a en Consignación, que no es más que la cuenta que reflejará las mercancı́as que han sido adquiridas por la empresa en “consignación”, sobre la cual no se tiene ningún 84 derecho de propiedad, por lo tanto, la empresa no está en la obligación de cancelarlas hasta que no se hayan vendido. El Inventario Actual (Final) se realiza al finalizar el periodo contable y corresponde al inventario fı́sico de la mercancı́a de la empresa y su correspondiente valoración. Al relacionar este inventario con el inicial, con las compras y ventas netas del periodo se obtendrá las Ganancias o Pérdidas Brutas en Ventas de ese perı́odo. - Inventario periódico: Este inventario es generalmente utilizado por empresas pequeñas y medianas y tiene dos caracterı́sticas: a) Para conocer en una fecha determinada cual es el inventario, es indispensable hacer un conteo fı́sico del mismo y luego darle valores. b) Para controlar el costo de las transacciones que afectan el inventario se utilizan diferentes cuentas de acuerdo con la naturaleza de la operación que se este realizando. El registro de las transacciones ası́ hecho, junto con la toma de inventario fı́sico y su correspondiente evaluación, permitirán la elaboración del importantı́simo estado financiero denominado estado de ganancia y pérdida. El costo de los artı́culos vendidos y el saldo del inventario solo se 85 calculan al final del periodo contable, cuando se toma un inventario fı́sico: Inventario Inicial + Compras- Inventario Final = costo de Art. Vendidos Método de inventario periódico: la mercancı́a que entra se registra en la cuenta de compra con el objetivo de realizar un solo asiento de ajuste para acumular el costo de venta en una cuenta separada. Existe básicamente dos métodos para determinar el inventario que pueden, en un momento dado, sustituir el método de conteo fı́sico: Método de la utilidad bruta: Este método esta sustentado a la experiencia que la empresa ha tenido en periodo anterior, en relación con el margen de utilidad. De todos es conocido que el precio de venta de un artı́culo está compuesto por una parte que representa al costo de compra o de fabricación de ese artı́culo, y otra parte representa la utilidad bruta que el empresario desea ganar, es decir: precio de ventas = costo de venta + utilidad. De esta relación se deduce que: 86 costo de venta = precio de venta - utilidad. Si en adición a ellos, los registros de contabilidad nos permite determinar el costo de la mercancı́a disponible, podremos determinar el costo del inventario de mercancı́as que existe para esa fecha, ası́: Inventario de mercancı́a = mercancı́a disponible - costo de venta. Se puede observar que para obtener el monto de inventario por este método, la acción se circunscribe en determinar la mercancı́a disponible y el costo de venta. El método de utilidad bruta puede ser utilizado no solo para determinar el inventario final, si no también para calcular el saldo de cualquier cuenta relacionada con las ventas y el costo de ventas. Método de ventas al detalle: Este otro método que permite estimar el inventario en cualquier fecha y es utilizado, básicamente, en aquellas empresas donde se vende mercancı́a al detalle o menudeo, tales como tiendas por departamentos. Esta empresa requiere, por lo general elaborar estados financieros en fechas intermedias al cierre para lo cual, sabemos, es indispensable disponer del monto de los inventarios para esas fechas. Es obvio que tomar inventario fı́sico mensualmente en este tipo de negocios es una labor tan ardua que justifica utilizar métodos estimativos, ya que si el proceso de cálculo se lleva a cabo con cuidado y 87 en forma sistemática, el costo del inventario ası́ determinado se acercará, razonablemente, al resultado que se obtendrı́a haciendo el inventario fı́sico. Inventario continuo o Perpetuo: La mercancı́a que entra se registra a la cuenta de Inventario directamente. En este método de inventario se lleva un registro de tal forma que muestra a cada momento cual es la existencia y el importe o valor de los artı́culos en existencia, es decir, los cargos o créditos, o mas bien, las compras y las ventas de inventarios se registran según vayan ocurriendo las transacciones o movimientos. Se lleva un registro continuo, corriente y diario del inventario y de los costos de artı́culos vendidos. Métodos de primeras entradas, primeras salidas(PEPS): Bajo el método de primeras entradas, primeras salidas, la compañı́a debe llevar un registro del costo de cada unidad comprada del inventario. El costo de la unidad utilizado para calcular el inventario final, puede ser diferente de los costos unitarios utilizados para calcular el costo de las mercancı́as vendidas. Bajo PEPS, los primeros costos que entran al inventario son los primeros costos que salen al costo de las mercancı́as vendidas, a eso se debe el nombre de Primeras Entradas, Primeras Salidas. El inventario final se basa en los costos de las compras más recientes. Este inventario también llamado por las iniciales que lo identifican en ingles (first in first out) fifo. 88 Métodos de últimas entradas, primeras salidas(UEPS): El método últimas entradas, primeras salidas dependen también de los costos por compras de un inventario en particular. Bajo este método, los últimos costos que entran al inventario son los primeros costos que salen al costo de mercancı́as vendidas. Este método deja los costos más antiguos (aquellos del inventario inicial y las compras primeras del periodo) en el inventario final. La filosofı́a de este método consiste en dar salida primero a los costos a los que se hicieron las últimas compras. Esto trae como consecuencia que los inventarios que van quedando, estarán valorados a los costos de las primeras compras. La diferencia que existe entre el método de PEPS con el UEPS consiste en la forma de calcular el costo de la mercancı́a que sale del almacén. Método de Costo de promedio ponderado: Aunque poco usado, es este otro método de evaluación de los inventarios. Para determinar el costo promedio aritmético ponderado se procede como sigue: - Se suman las unidades de que se ha dispuesto en el periodo es decir, el saldo inicial mas las compradas, después de deducir las devoluciones. - Se suman los respectivos costos. - Se divide el costo total entre el total de unidades. Método de promedio simple: 89 Este método de costear el inventario es también poco usado, sin embargo, hagamos un bosquejo de cómo funciona: Consiste en la determinación de un costo unitario promedio calculado como sigue: - Se suman los costos unitarios tanto del inventario inicial como de las diferentes compras hechas en un periodo. - El total ası́ obtenido, se divide entre el numero de partidas sumadas. Método de promedio móvil: Este método de control de inventarios tiene como caracterı́sticas fundamentales las siguientes: - Cada vez que entra en el almacén un lote de mercancı́a, el costo unitario del saldo resultante, debe ser recalculado. - La existencia fı́sica es presentada en un solo total, en vez de estar segregado en lotes según el orden de entrada. - El costeo de las unidades que van saliendo, se hace en base al costo promedio calculado en saldo inmediato anterior. Actualmente se puede afirmar que el proceso de contar y registrar datos financieros se desarrolla de una manera más simple y sencilla con el apoyo del contador, pero, es preciso aclarar que se siguen rigiendo por los principios establecidos para ejecutar la contabilidad empresarial. 90 2.7. Propensión marginal Propensión marginal a consumir Es la proporción de una unidad monetaria adicional de ingreso disponible que se gastará en consumo adicional. Propensión marginal al consumo Es la relación entre el consumo total y el ingreso total disponible. La macroeconomı́a moderna concede una gran importancia a la respuesta del consumo y las variaciones de la renta. Este concepto se denomina propensión marginal a consumir o PMC. En economı́a, la palabra marginal significa incremento. Por ejemplo el costo marginal es el costo adicional de producir una unidad adicional. En macroeconomı́a, propensión a consumir se refiere al nivel deseado de consumo. La pendiente de la función de consumo es igual a la propensión marginal a consumir. La pendiente de la función de consumo, que mide la variación que experimenta el consumo por cada variación de renta disponible en una unidad, es la propensión marginal al consumir. 2.8. Solución de equilibrio Equilibrio general 91 La teorı́a del equilibrio general es una rama de la microeconomı́a teórica que intenta explicar la producción, el consumo y los precios como una economı́a. El equilibrio general intenta dar una comprensión de la economı́a , usando un acercamiento de abajo hacia arriba, comenzando con mercados y agentes individuales. La macroeconomı́a, según lo expresado por los economistas Keynesianos, utiliza un acercamiento de arriba hacia abajo donde el análisis comienza con agregados más grandes. Sin embargo, muchos modelos macroeconómicos tienen simplemente un mercado de bienes y estudian su interacción con el mercado financiero, por ejemplo los modelos generales del equilibrio implican tı́picamente una multiplicidad de diversos mercados de bienes. Los modelos generales modernos del equilibrio son generalmente complejos y requieren computadoras para ayudar con soluciones numéricas. En un sistema de mercado, los precios y la producción de todas las mercancı́as, incluyendo el precio del dinero están relacionados. Un cambio en el precio de uno, por ejemplo el pan, puede afectar otro precio, como los salarios de los panaderos. La demanda para el pan se puede afectar por un cambio en los salarios de los panaderos, con un efecto consiguiente sobre su precio. Calcular el precio de equilibrio, requiere un análisis que considere todos los diversos bienes que estén disponibles. Historia del modelo de equilibrio general La primera iniciativa en la economı́a neoclásica de modelar los precios 92 para la economı́a, fue hecha por Léon Walras. Los elementos de Walras de la economı́a proporcionan aspectos de una economı́a en la que se tiene en cuenta la producción, el crecimiento y el dinero. En detalle, el modelo de Walras era un modelo del perı́odo en el cual los precios de las mercancı́as están iguales y aparecen pues las entradas y salidas teniendo en cuenta que se gane el mismo ı́ndice de beneficios en todas las lı́neas de la industria. El precio de costo de cada uno debe ser igual (equilibrio) en este modelo, al precio de demanda. En detalle, la agenda de Walras incluyó la investigación de cuando los equilibrios son únicos y estables. Walras también fue el primero que introdujo una restricción en la teorı́a general del equilibrio. El reemplazo de ciertas ecuaciones por desigualdades y el uso de matemáticas más rigurosas mejoraron el modelamiento general del equilibrio. Concepto moderno del equilibrio general en la economı́a El concepto moderno del equilibrio general es proporcionado por un modelo desarrollado en común por Kenneth Arrow, Gerard Debreu y Lionel W. McKenzie en los años 50. Gerard Debreu presenta este modelo en la teorı́a de Value (1959) como un modelo axiomático, siguiendo el estilo de las matemáticas promovido por Bourbaki. En tal modelo, la interpretación de los términos como mercancı́as y precios no es fijada por los axiomas. Las preguntas básicas en el análisis general del equilibrio se refieren a las condiciones bajo las cuales un equilibrio será eficiente, cuando puede ser alcanzado y cuando es único. 93 2.9. Modelo de inventarios de Metzler Lloyd Metzler publicó en 1941 un modelo de multiplicador y acelerador acerca del ciclo de inventarios. Su idea principal es que los productores desean mantener un nivel de inventarios en una cierta proporción de las ventas esperadas pero, debido a los retardos entre la producción y la venta, Metzler establece que la polı́tica precisa de inventarios elegida por los productores podrı́a tener fuertes efectos en la economı́a, generando diferentes dinámicas. Suponiendo que el nivel de inventarios St deseado es una proporción k del consumo del perı́odo anterior Ct−1 , tenemos: St = k Ct−1 0 < k < 1. (2.10) Si los agentes tienen expectativas adaptativas, las ventas esperadas en el perı́odo t serán las del perı́odo anterior, Ct = Ct−1 . La función de consumo será Ct = c Yt (2.11) siendo c la propensión marginal a consumir e Yt el ingreso del perı́odo t. Reemplazando (2.11) en (2.10) se obtiene St = k Ct−1 = k c Yt−1 . 94 Es posible que el inventario del periodo no coincida con el deseado, ya que las ventas esperadas pueden haber diferido de las ventas efectivas. la diferencia inesperada de ventas puede ser expresada como Ct−1 − Ct−2 = c Yt−1 − Yt−2 luego, el inventario al final del perı́odo t − 1 será la diferencia entre el stock deseado en t − 1 y la discrepancia entre las ventas esperadas y reales del periodo t − 1: St−1 − c Yt−1 − Yt−2 = k c Yt−2 − c Yt−1 − Yt−2 . (2.12) La inversión total It del perı́odo t estará formada por la inversión s autónoma o no inducida I0 y por la inversión en inventarios It , dada por la diferencia entre el nivel de inventarios deseado del perı́odo t, St , y el stock al final del perı́odo t − 1. s It = St − St−1 − c Yt−1 − Yt−2 = k c Yt−1 − k c Yt−2 + c Yt−1 − Yt−2 , reordenando, se obtiene s It = c (1 + k) Yt−1 − Yt−2 . La producción del perı́odo t estará dada por el nivel esperado de ventas, la inversión en inventarios y la inversión autónoma: Yt = c Yt−1 + c (1 + k) Yt−1 − Yt−2 + I0 95 reorganizando los términos y efectuando un desplazamiento tenemos la ecuación completa de segundo orden: Yt−2 − c (2 + k) Yt+1 + c (1 + k) Yt = I0 . (2.13) Sus raı́ces están dadas por: r= c (2 + k) ± q [c (2 + k)]2 − 4 c (1 + k) 2 . La solución de equilibrio es c Yt = I0 . 1−c Ejemplo numérico Si el nivel de inventarios deseado es un 40 % del consumo del perı́odo anterior y la propensión a consumir es de 0.6: St = 0,4 Ct−1 ; Combinando ambas expresiones, tenemos: Ct = 0,6 Yt . St = 0,4 ∗ 0,6 Yt−1 . El inventario al final del perı́odo t−1, como expresa (2.12) estará dado por: St−1 − 0,6 Yt−1 − Yt−2 = 0,4 ∗ 0,6 Yt−2 − 0,6 Yt−1 − Yt−2 . 96 Teniendo en cuenta las ventas esperadas, la inversión en inventarios y la inversión autónoma, podremos averiguar la producción del perı́odo t, según la expresión (2.13), dada por una ecuación en diferencias de segundo orden: Yt+2 − 1,44 Yt+1 + 0,84 Yt = I0 . Las raı́ces de la ecuación caracterı́stica son complejas: r = 0,72 ± 0,5677 i, cuyo módulo es ρ = 0,9165 < 1, por lo tanto la solución es no monótona convergente. Suponiendo I0 = 300, encontramos la solución de equilibrio: c Yt = 300 = 750. 1 − 0,6 La solución general es Yt = 0,9165t (C1 cos 0,6672 t + C2 sen 0,6672 t) + 750 no monótona, convergente a 750. Para finalizar esta monografı́a, se incluye un CD con un archivo que brinda la posibilidad de obtener los resultados del Modelo de Inventarios de Metzler, solo con ingresar los valores de los parámetros del mismo. 97 La primera hoja del archivo muestra un menú con enlaces directos a la hoja donde aparece la ecuación del modelo que explicita la fórmula que determina los valores de las raı́ces de dicha ecuación. En las celdas sombreadas con color gris se deberán indicar los valores de los parámetros y de las condiciones iniciales del modelo. Es necesario tener en cuenta que si el parámetro se encuentra limitado entre cierto rango numérico el aplicativo no permitirá ingresar valores por fuera del mismo. En tanto, se pueden observar algunas notas aclaratorias sobre el significado económico de los parámetros, visualizados al acercar el puntero del Mouse sobre la celda correspondiente. Se muestra además la solución general del problema como una solución de la homogénea asociada y una solución particular. En una tercera hoja aparece la resolución del problema, de acuerdo a los valores ingresados en la hoja anterior. Los datos de esta hoja se calculan automáticamente, sin que sea necesario realizar operación alguna. Finalmente en una cuarta hoja se muestra la trayectoria temporal de la renta que se desprende de la solución del modelo planteado, teniendo en cuenta que el gráfico no se visualizará si no se ingresan anteriormente las condiciones iniciales del modelo. El archivo viene predefinido con los datos y resolución del ejemplo previamente estudiado; Solo es cuestión de cambiarle los datos según se establezca en otro problema. Se aclara que ni el modelo, ni el archivo son creados en esta tesis. Aquı́ solo pretendemos su divulgación. 98 Conclusiones Los análogos discretos de las ecuaciones diferenciales proporcionan métodos de aproximación en la resolución de ecuaciones diferenciales. La aplicación de la transformada Z, constituye un recurso útil en la solución de ecuaciones de diferencias. La ecuación en diferencias an+1 + an−1 = fn tiene como solución general n 1X m−1 a0 n a−1 n−1 n n−1 1 + (−1) + i 1 + (−1)m−1 f (n − m) . i (1 + (−1) )− i 2 2 2 m=0 La ecuación en diferencias an+1 − an−1 = fn tiene como solución general 1 [(1 + (−1)n ) a0 + (1 − (−1)n ) a−1 + (1 − (−1)n ) ∗ f (n)] . 2 99 En Contabilidad, se puede concluir que, el hombre desde tiempos memorables se ha empecinado en llevar un control exhaustivo de todos los movimientos financieros que se ejecutan en sus pequeñas, medianas o grandes empresas. Por consiguiente, se ha apoyado en diversas formas para lograr su fin. En un principio, lo realizó en procesos muy simples a partir de los planteamientos presentados por el monje Fray Luca Paciolo, sin embargo con el transcurrir del tiempo, el avance tecnológico y las exigencias empresariales los procesos y técnicas contables han evolucionado. El proceso de inventarios de Metzler está modelado por la ecuación en diferencias de segundo orden Yt−2 − c (2 + k) Yt+1 + c (1 + k) Yt = I0 . donde I0 es la inversión autónoma o no inducida, Yt es la producción del perı́odo t, c la propensión marginal a consumir y k es la proporción del consumo del periodo anterior. La solución de equilibrio del modelo de inventarios de Metzler está dado por c Yt = 100 I0 . 1−c Bibliografı́a [1] Jauffred, F.J. , Moreno, A. Técnicas discretas en ingenierı́a de sistemas, Tomo I. Ediciones Alfaomega, México, D.F, 1992. [2] Grossman, D. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones. Fondo Educativo interamericano 1984, segunda edición. [3] Ivorra,C. Funciones de Variable Compleja. 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