TESIS Lozano Cabrero - Ruidera - Universidad de Castilla

Superficies con curvaturas prefijadas en M2 × R
y superficies mínimas de Laguerre.
Victorino Lozano Cabrero.
Universidad de Castilla-La Mancha.
19 de julio de 2013
Esta memoria se presenta, en el marco del Programa
de Doctorado en Física y Matemáticas FisyMat, para optar
al título de Doctor en Matemáticas por la Universidad de
Castilla-La Mancha, por el Licenciado en Matemáticas D.
Victorino Lozano Cabrero. El trabajo ha sido codirigido por
los doctores D. José Antonio Gálvez López, catedrático del
Departamento de Geometría y Topología de la Universidad
de Granada y por D. Juan Ángel Aledo Sánchez, catedrático
del Departamento de Matemáticas de la Universidad de
Castilla-La Mancha, quienes autorizan su presentación.
A Alberto, Adrián y Carmen.
Quiero agradecerles en primer lugar a Juan Ángel
y a José Antonio esta maravillosa oportunidad que me han
brindado y todo su apoyo totalmente desinteresado. Este
proyecto se lo debo completamente a ellos. Agradezco a los
profesores de los cursos del Master FisyMat el trato tan
exquisito que he recibido en todo momento y de todos ellos
sin excepción. También han tenido mucha paciencia conmigo y me han prestado una inestimable ayuda, en no pocas
ocasiones, Alberto y Adrián. Y por supuesto a Carmen, por
su apoyo incondicional.
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Índice general
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Preliminares.
3
20
1.1. Superficies riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2. Superficies modelo M (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3. Parametrizaciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.4. Espacios producto M × R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2
2
2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de
isometrías.
45
2.1. Curvaturas de grafos en M2 × R. . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2. Grafos con curvaturas prefijadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.2.1. Grafos con curvatura media prefijada. . . . . . . . . .
48
2.2.2. Grafos con curvatura extrínseca prefijada. . . . . . . .
54
2.2.3. Grafos con curvatura de Gauss prefijada. . . . . . . .
56
2.3. Fórmulas integrales para grafos con curvaturas prefijadas. .
58
2.3.1. Fórmulas integrales en H (c) × R. . . . . . . . . . . .
58
2.3.2. Fórmulas integrales en S (c) × R. . . . . . . . . . . . .
68
M2 (c)
× R. . . . . . . . . . . . . .
69
2.4.1. Superficies rotacionales en H (c) × R. . . . . . . . . .
69
2.4.2. Superficies rotacionales en S (c) × R. . . . . . . . . .
70
2
2
2.4. Superficies rotacionales en
2
2
M2 (c)
× R. . . . . . . . .
71
2
2.5.1. Esferas de CMC en H (c) × R. . . . . . . . . . . . . . .
71
2.5.2. Esferas de CMC en S (c) × R. . . . . . . . . . . . . . .
73
2.5. Superficies rotacionales de CMC en
2
Victorino Lozano Cabrero
viii
ÍNDICE GENERAL
2.6. Superficies rotacionales de CEC en M2 (c) × R. . . . . . . . .
78
2.6.1. Esferas de CEC positiva en H (c) × R. . . . . . . . . .
78
2.6.2. Esferas de CEC en S (c) × R. . . . . . . . . . . . . . .
79
2.7. Superficies rotacionales de CGC en M (c) × R. . . . . . . . .
80
2.7.1. Superficies rotacionales de CGC en H (c) × R. . . . .
80
2.7.2. Superficies rotacionales de CGC en S (c) × R. . . . .
81
3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
83
3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.2. Un resultado de comparación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.3. Existencia de barreras en M × R. . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.3.1. Barreras para la CM y la CE de grafos verticales. . .
89
3.3.2. Resultados de tipo Hoffman-Meeks. . . . . . . . . . . .
95
2
2
2
2
2
2
3.3.3. Resultados de no existencia. . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.4. Resultados para superficies con borde en M2 × {0}.
4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
103
108
4.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2. Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3. Superficies compactas en M2 (ε) × R con CGC. . . . . . . . . 112
4.4. Estimación del área. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
117
5.1. Preliminaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3. Una representación conforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4. Algunos ejemplos de GLM-superficies. . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5. Completitud de la métrica de Laguerre. . . . . . . . . . . . . . 133
5.6. El problema de Björling para GLM-superficies. . . . . . . . . 138
5.7. GLM-superficies rotacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Epílogo. Posibles líneas futuras de investigación.
146
Bibliografía.
148
ix
ÍNDICE GENERAL
Índice terminológico
158
2
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Introducción
Uno de los problemas de mayor interés en el campo de la geometría
diferencial de subvariedades es el análisis, caracterización y obtención de
superficies, en un determinado espacio ambiente, con curvatura de Gauss
constante (CGC), curvatura extrínseca constante (CEC) o curvatura media
constante (CMC), en particular de superficies minimales, aquellas cuya curvatura media es idénticamente nula.
El estudio de las superficies minimales y en general de CMC en el
espacio euclídeo se inicia hacia 1762, cuando Lagrange [La] establece la
ecuación diferencial de los grafos minimales, aunque fue Meusnier en 1776
quien dio una interpretación geométrica de dicha ecuación, observando que
expresa el hecho de que la media de las curvaturas principales de la superficie sea cero.
Los primeros ejemplos de superficies de revolución minimales o con
CMC en R3 fueron obtenidos por J. Plateau hacia 1860. Posteriormente,
C. Delaunay [De] demostró que los ejemplos dados por Plateau cubrían
todos los casos de revolución. Do Carmo y Dajczer [CD] observaron que
la familia asociada a las superficies de Delaunay proporciona ejemplos de
superficies con CMC invariantes por un grupo uniparamétrico de movimientos helicoidales de R3 . Las posibles superficies con CMC que admiten un
grupo uniparamétrico de isometrías intrínsecas han sido clasificadas por
B. Smyth [Sm].
En 1860 K. Weierstrass [We1, We2] realizó una importante aportación a
la teoría de superficies minimales obteniendo unas fórmulas de representación para esta clase de superficies. Fórmulas similares fueron establecidas
Victorino Lozano Cabrero
3
Introducción
por Enneper [En] en 1864, parametrizando la superficie de forma que las
curvas coordenadas sean líneas de curvatura. Posteriormente Osserman
[Os1] [Os2], en 1950, dio una nueva versión de las mísmas. El hecho de que
esta clase de superficies admita una representación conforme le permitió,
utilizando la teoría de funciones de variable compleja, estudiar su geometría global de una manera precisa.
Un hito importante en la teoría de superficies minimales en R3 es el teorema de Bernstein (1915) [Be1] relativo a grafos enteros, es decir, definidos
sobre todo el plano, que asegura que los únicos grafos enteros minimales
en el espacio euclídeo tridimensional son los planos. Con respecto a superficies con CMC no nula, en 1951 H. Hopf probó que cualquier esfera
topológica inmersa en R3 de curvatura media constante H es de hecho
una esfera métrica de radio 1/H [Ho]. Para ello utilizó la existencia de una
diferencial cuadrática holomorfa sobre toda superficie de CMC en R3 y el
hecho de que sobre las esferas ha de anularse. Un último resultado clásico
para este tipo de superficies es el teorema de Alexandrov (1956) [Al], que
asegura que la esfera es la única superficie compacta embebida en R3 con
curvatura media constante.
Por otra parte fue Olinde Rodrigues [Ro1] quien en 1815 utilizó una
cantidad de especial importancia en la teoría de superficies, que en 1827
K. F. Gauss introdujo en [Ga], y que hoy llamamos curvatura intrínseca o de
Gauss. En la segunda mitad del siglo XIX, el estudio de superficies en R3
y el estudio de la geometría intrínseca de una variedad, es decir, aquellas
propiedades que dependen únicamente de su métrica, junto con la generalización por parte de Riemann, de la teoría de superficies a variedades
riemannianas, centraron la atención de gran parte de los matemáticos dedicados a la geometría diferencial, considerando la curvatura de Gauss como
el invariante geométrico más importante, y dirigiendo su interés hacia el
estudio de superficies de curvatura de Gauss constante en R3 .
En este sentido recordaremos, entre otros resultados, la caracterización de Liebmann [Li2] en 1899 de las esferas como las únicas superficies
completas con curvatura de Gauss constante positiva, que proporcionó uno
de los primeros resultados globales, o el teorema de Hilbert [Hi2] (1901)
que asegura que no existen superficies en R3 completas con curvatura de
Gauss constante negativa, así como los resultados de Hartman y Nirenberg
[HN] (1959), y J. J. Stoker (1961) [St2] y W. S. Massey [Ma] (1962), que de4
Introducción
mostraron independientemente, que toda superficie completa con curvatura
de Gauss nula en R3 es un cilindro recto sobre una curva plana, simple,
definida para todo valor de su parámetro arco.
Desde un punto de vista analítico, Gauss ya conocía que una superficie
de CGC en el espacio euclídeo puede ser descrita localmente como un grafo
que satisface una ecuación totalmente no lineal del tipo Monge-Ampére.
Aunque el estudio de las ecuaciones del tipo Monge-Ampére fue iniciado
en 1809 por G. Monge, en una serie de trabajos referidos a familias uniparamétricas de planos, no ha sido hasta los últimos años cuando con los
trabajos de Cheng, Yau [CY], Caffarelli [Ca1, Ca2, Ca3, CNS], Nirenberg [Ni],
J. Spruck [Sp2], y B. Guan [GS, Gu], el análisis de la existencia y de la regularidad de las soluciones, para este tipo de ecuaciones, ha experimentado
considerables avances.
Posteriormente la atención se ha ido centrando en el estudio global de
superficies con curvaturas constantes en los espacios modelo S3 y H3 , y a
partir del teorema de Cartán [C2] en los espacios 3-dimensionales completos, simplemente conexos y de curvatura seccional constante M3 (c) y en
general en los llamados espacios modelo n-dimensionales Mn (c). Básicamente, el teorema de Hopf, antes mencionado, se verifica tanto en S3 como
en H3 , y el teorema de Alexandrov se sigue cumpliendo en H3 y S3+ . En estos ambientes conviene observar que la curvatura de Gauss y la curvatura
extrínseca ya no coinciden como en R3 , aunque únicamente se diferencian
en una constante.
En la última década parte del interés en el estudio de superficies con
CMC, CEC o CGC en espacios 3-dimensionales se ha trasladado a otros
espacios ambiente, como son los espacios homogéneos y los espacios producto del tipo M2 × R, donde M2 es una superficie riemanniana cualquiera,
en particular, a los espacios producto homogéneos M2 (c) × R. La investigación en el campo de la teoría de superficies en espacios producto riemannianos del tipo M2 × R ha despertado un gran interés, experimentando
un importante desarrollo desde que Abrech y Rosenberg [AR] generalizaran el teorema de Hopf a los espacios producto homogéneos, consiguiendo
construir una diferencial cuadrática holomorfa sobre cualquier superficie
de CMC y clasificando aquellas superficies sobre las cuales se anula, en
particular sobre las esferas de CMC obtenidas previamente por Hsiang y
Hsiang [HH], y Pedrosa y Ritoré [PR1].
5
Introducción
Recientemente Aledo, Espinar y Gálvez abordaron en [AEG1] y [AEG2]
el problema de determinar las superficies completas de CGC en los espacios producto homogéneos, probando entre otros resultados que, salvo
congruencia, existe una única superficie completa de CGC K > c si c > 0 y
K > 0 si c < 0, siendo ésta rotacionalmente simétrica. Además se demuestra que existe una familia infinita de superficies completas de revolución
cuando c < 0 con CGC K para cada valor de K en [c, 0). Obtienen un resultado tipo Hilbert para probar que no existen superficies completas con
CGC cuando K < −|c| tanto en S2 × R como en H2 × R. En los resultados
de tipo Liebmann utilizan técnicas de variable compleja y en particular la
existencia de una cierta forma diferencial holomorfa.
Por su parte Espinar, Gálvez y Rosenberg en [EGR] han realizado un
estudio de las superficies completas de CEC estableciendo entre otros resultados que las únicas superficies completas con CEC en M2 (c) × R son
las esferas rotacionales, obteniendo también estimaciones de altura para
grafos verticales de CEC positiva en ambientes M2 × R. Estos y otros autores como B. Nelli [NE], R. Sa Earp [Ea], W. Santos y E. Toubiana [NEST]
han realizado diferentes contribuciones al estudio de superficies de CMC
en estos espacios ambiente, con resultados a los que haremos referencia a
lo largo de esta memoria y que constituyen el punto de partida de los que
se obtendrán en los capítulos tercero y cuarto. Cabe destacar también las
contribuciones de Hoffman, Lira y Rosenbeg [HLR], que han obtenido resultados para superficies de CMC en espacios producto del tipo M2 × R, de
Espinar y Rosenberg [ER] que obtienen resultados tipo Bernstein en estos
ambientes, y las de Gálvez y Rosenberg [GR] donde los autores prueban
un teorema del tipo Jenkins-Serrin para grafos minimales en M2 × R bajo
ciertas condiciones.
Con el propósito de contextualizar el último capítulo de esta memoria recordaremos que la geometría de Laguerre se enmarca dentro de la
geometría de Lie. En ella los teoremas de la geometría euclídea en R3 que
dependen únicamente de los conceptos de esferas y de su contacto tangencial, tienen una formulación más natural. Esto se consigue en tres etapas.
Primeramente se compactifica el espacio euclídeo añadiendo un punto en
infinito, de tal forma que los planos pueden ser considerados como esferas que pasan por el punto infinito y tienen radio infinito. Esta extensión
es conocida como geometría de Möebius. En segundo lugar consideramos
6
Introducción
los puntos como esferas de radio cero. Finalmente, por razones técnicas,
se orientan esferas, planos y puntos, asociando un vector normal. Estos
objetos orientados pueden considerarse como puntos de una hipercuádrica
en un espacio proyectivo que es conocida como cuádrica de Lie. Las simetrías naturales de dicha cuádrica se denominan transformaciones de Lie.
Aquellas transformaciones de Lie que dejan invariante el punto del infinito
son las transformaciones de Laguerre de la geometría de Laguerre. Una
descripción detallada de los fundamentos de estas geometrías y de sus
transformaciones se puede encontrar en [Ce].
En esta memoria utilizaremos un planteamiento directo en R3 en lugar
del modelo de la cuádrica de Lie. En esta situación, una inmersión de una
superficie orientada ψ : Σ −→ R3 con curvatura de Gauss no nula K y
curvatura media H se dice que es una inmersión mínima de Laguerre, si
verifica la clásica ecuación
H
ΔIII
= 0,
K
donde ΔIII representa el Laplaciano con respecto a la tercera forma fundamental de la inmersión.
El estudio de estas superficies se remonta inicialmente a los trabajos
de J. Weingarten en 1888 (ver [Bi]), desarrollándose posteriormente en una
serie de artículos de W. Blaschke [Bl1, Bl2, Bl3, Bl4], donde tales superficies
aparecen como puntos críticos del funcional
L(ψ) =
H2 − K
ds,
K
siendo ds el elemento de área de la superficie. Este funcional es invariante bajo el grupo 10-dimensional de transformaciones de Laguerre (ver [LW]).
Esta teoría ha captado recientemente un renovado interés (véase, [PR2,
Li1, LW, MN1, MN2, PGM, Wa]), principalmente desde un punto de vista
local y en R3 . También se han desarrollado estudios en otros espacios
ambientes más generales por E. Musso y L. Nicolodi en [MN1, MN2, MN3],
así como por C. Wang, Y. P. Song y T. Li en [Wa], [SW], [LW] y [Li1]. En
este último trabajo se prueba que la clase conforme de la tercera forma
fundamental es un invariante de Laguerre, y que cualquier inmersión ψ de
7
Introducción
una superficie mínima de Laguerre con normal N y función media de los
radios de curvatura R, cumple
ΔIII (ψ + R N) = 0,
ecuación que constituye uno de los puntos de partida del último capítulo
de esta memoria. Por otra parte, A. Szereszewski [Sz] ha obtenido un teorema de representación tipo Weierstrass similar al que obtendremos aquí.
Por su parte, B. Palmer en [Pa] analiza algunos aspectos variacionales de
la geometría de Laguerre. También se han desarrollado interesantes aplicaciones en el ámbito del diseño geométrico por ordenador, así como en
geometría computacional, por M. Peternell y H. Pottman [PP], y en diseño
arquitectónico (ver referencias en [PGM]).
Como veremos, muchas de las ideas y conceptos anteriormente expuestos aparecerán a lo largo de esta memoria, que se articula de la manera
que describimos a continuación.
En el Capítulo 1 se introducen algunos conceptos preliminares para fijar
la notación que se empleará en adelante. Describiremos brevemente las superficies modelo de dimensión dos, mostrando en particular algunos de los
modelos usuales del plano hiperbólico, así como algunas isometrías entre
estos modelos. A continuación se describen los distintos tipos de parámetros que se utilizarán, especialmente los que llamaremos semigeodésicos,
de los que se hará un uso preferente.
El clásico teorema de comparación de Sturn-Liouville sobre la ecuación
de Jacobi nos permitirá establecer una primera relación entre la curvatura
de Gauss de dos superficies riemannianas y las funciones que determinan
sus métricas cuando utilizamos parámetros semigeodésicos sobre un mismo entorno del origen. Enunciaremos algunos resultados básicos sobre los
espacios producto del tipo M2 × R, recordando en la Proposición 1.4.1 las
ecuaciones que necesariamente debe cumplir cualquier superficie en un
espacio producto del tipo M2 × R. En particular se establece la ecuación
de Gauss que relaciona la curvatura de Gauss y la curvatura extrínseca de
una superficie en estos espacios ambiente mediante la curvatura de Gauss
de la variedad base M2 y la función ángulo de la superficie. En el caso
de los espacios producto homogéneos M2 (c) × R estas ecuaciones son, de
hecho, las ecuaciones de integrabilidad de dicha superficie (ver [Da] y [FM]).
8
Introducción
En la Proposición 1.4.2 se recuerda la expresión que tiene en estos
ambientes el operador curvatura media y posteriormente el operador curvatura extrínseca. En la Proposición 1.4.3 se establecen las geodésicas en
los espacios producto homogéneos. Por último se enuncian algunos resultados que constituyen herramientas fundamentales en esta memoria, como
son el principio de máximo en el interior y en la frontera de Hopf [Ho] y el
principio de comparación, así como la fórmula de equilibrio para superficies
de CMC en estos espacios ambiente [HLR], a los que se hará referencia en
las demostraciones de los teoremas del Capítulo 3.
El Capítulo 2 se inicia obteniendo las expresiones de las curvaturas
principales para grafos verticales, en espacios producto alabeados del tipo
M2 ×f R, cuando utilizamos parámetros semigeodésicos (u, v) sobre la variedad M, y cuya función altura h dependa solo del parámetro u, es decir
invariantes mediante un grupo uniparamétrico de isometrías. En particular obtendremos la expresión de las curvaturas en el caso M2 × R en el
que nos centraremos. Para este caso, en la Sección 2.2, se deducirán las
ecuaciones de los grafos de curvatura media, curvatura extrínseca y curvatura de Gauss prefijadas, invariantes para un grupo uniparamétrico de
isometrías del espacio ambiente, utilizando coordenadas semigeodésicas,
así como fórmulas integrales que nos permitan obtener explícitamente sus
ecuaciones en los espacios producto homogéneos. Posteriormente se recogen, a modo de resumen, algunos de los resultados más representativos ya
conocidos sobre superficies con CMC, CEC y CGC en los espacios producto
homogéneos, que fundamentalmente se utilizarán en esta memoria y que
se pueden encontrar en [AR, NEST, NR, AEG1, AEG2, AEG3, EGR].
El contenido del Capítulo 3 incluye, en esencia, los resultados originales presentados en el artículo [GL] utilizando técnicas de construcción
de barreras. El estudio de barreras para una clase de superficies S en un
espacio ambiente se utiliza para obtener resultados sobre la existencia o
no de superficies de dicha clase que posean ciertas propiedades, en particular que sus curvaturas cumplan ciertas condiciones. Cuando se verifica
un principio de máximo sobre dicha clase de superficies, las superficies
rotacionales de la clase, o en general las superficies invariantes bajo un
grupo uniparamétrico de isometrías del espacio ambiente, son las barreras
más simples que podemos utilizar. Un ejemplo clásico de esta situación se
aprecia en el teorema del semiespacio para superficies minimales en R3
de Hoffman y Meeks [HM], donde las catenoides se utilizan como barreras
9
Introducción
para demostrar que no existen superficies minimales propiamente inmersas
en un semiespacio de R3 diferentes de los planos.
El capítulo se desarrolla de la siguiente forma. El primer objetivo será
describir un proceso simple para obtener barreras, que aunque se describe
en un espacio producto M2 × R para esferas de curvatura media constante,
podría realizarse para cualquier superficie de curvatura prefijada a las que
se hace referencia en la Sección 2.2 y en espacios alabeados del tipo M2 ×f
R, con ciertas condiciones que garanticen su existencia. Dicho proceso se
basa en que dados dos espacios ambientes M1 × R y M2 × R de los que
el primero de ellos será un espacio producto homogéneo, partiremos de
una superficie Σ en M1 × R y obtendremos una nueva superficie Σ∗ en
M2 × R de manera que las curvaturas principales de ambas superficies
estén relacionadas en términos de las curvaturas de las bases M1 y M2
como se indica en la Proposición 3.2.3.
Proposición 3.2.3. Sean (M1 , g1 ), (M2 , g2 ) dos superficies riemannianas, Ω un conjunto abierto de R2 y φi : Ω −→ Mi ,
i = 1, 2, dos parametrizaciones tales que
gi = du2 + G i (u, v)dv 2 ,
(u, v) ∈ Ω.
Si consideramos en φi (Ω) × R ⊆ Mi × R las métricas , i =
f(u, t) gi +dt 2 , i = 1, 2, entonces las curvaturas principales k1i , k2i
del grafo ψi (u, v) = (φi (u, v), h(u)), para la métrica , i y el
vector normal apuntando hacia arriba, satisfacen k11 = k12 y
k21 ≥ k22
si y solo si
Gu1 Gu2 h
(u)
≥
h (u).
G1
G2
Combinando este resultado con la Proposición 3.2.4, donde se relacionan las curvaturas de Gauss de las bases M1 y M2 con las curvaturas
geodésicas de sus curvas coordenadas, obtendremos un resultado fuerte
de comparación. Las ideas básicas sobre la ecuación de Jacobi, en las que
se sustentan estos resultados previos aparecen por vez primera en el trabajo de Gálvez y Rosenberg [GR].
Así pues, por ejemplo, si comenzamos con una superficie rotacional de
curvatura media constante H en un espacio homogéneo M2 (c) × R, podremos obtener barreras para la existencia o no existencia de superficies
10
Introducción
con curvatura media constante H en un espacio producto general M2 × R.
Obsérvese que el grupo de isometrías de dicho espacio ambiente podría
ser muy reducido.
En estas condiciones obtendremos algunos resultados que mostrarán
cómo podemos aprovechar dicho proceso de construcción de barreras. En
primer lugar, extenderemos en el Teorema 3.3.1 un resultado de Espinar y
Rosenberg [ER]. Probaremos que dado un disco geodésico cerrado D ⊆ M2 ,
existe una constante explícita H0 , que solo depende del radio de D y del
mínimo de su curvatura, y tal que no existe un grafo definido sobre D en
M2 × R para el cual el mínimo de su curvatura media sea mayor o igual
que H0 .
Teorema 3.3.1. Sea Dr un disco geodésico cerrado de radio r > 0
en una superficie riemanniana M2 , y sea c := mı́nDr (K ) el mínimo de la curvatura de Gauss de M2 en el disco Dr . Consideremos H0 > 0 tal que rc (H0 ) = r, donde rc (H0 ) es el radio
del disco geodésico de M2 (c) × {0} sobre el que está definida
una esfera de CMC H0 en M2 (c) × R. Entonces no existen grafos verticales sobre Dr tales que su curvatura media H cumpla
mı́n(H) ≥ H0 .
El Teorema 3.3.2 proporciona un resultado análogo para grafos de curvatura extrínseca positiva en M2 × R.
Teorema 3.3.2. Sea Dr un disco geodésico cerrado de radio r > 0
en una superficie riemanniana M2 , y sea c := mı́nDr (K ) el mínimo de la curvatura de Gauss de M2 en el disco Dr . Consideremos K0 > 0 tal que rc∗ (K0 ) = r, donde rc∗ (K0 ) es el radio del
disco en M2 (c) sobre el que está definida la esfera topológica
de curvatura extrínseca constante K0 en M2 (c) × R. Entonces
no existen grafos verticales sobre Dr tales que el mínimo de su
curvatura extrínseca cumpla mı́n(K ) ≥ K0 .
Probaremos en el Teorema 3.3.3, que bajo ciertas restricciones sobre la
base del espacio ambiente, para cualquier superficie propiamente embebida
Σ ⊆ M2 × R con curvatura media H ≥ H0 > 0, la componente hacia la que
apunta el vector curvatura media no puede contener una bola geodésica de
radio r, donde r solo depende de H0 y del ínfimo de la curvatura de M2 .
11
Introducción
Teorema 3.3.3. Sea M2 una superficie completa simplemente
conexa, con inf(K 2 ) = c ∈ R, y radio de inyectividad i ∈
M
(0, ∞]. Consideremos una superficie Σ, propiamente embebida
√
en M2 × R con curvatura media H ≥ H0 > 0 ( y H0 > −c/2
si c < 0 ). Entonces, si rc (H0 ) < i, la componente hacia la que
apunta el vector curvatura media no puede contener una bola
geodésica cerrada en M2 × R cuyo radio sea mayor o igual que
diamc (H0 )/2.
También probaremos dos teoremas del tipo del semiespacio de Hoffman
y Meeks. El primero para superficies minimales propiamente inmersas en
M2 × R cuando la curvatura de M2 sea no negativa (Teorema 3.3.4), similar
a un resultado previo de Rosenberg [Ro2] pero dando una demostración
alternativa mediante esta nueva técnica.
Teorema 3.3.4. Sea M2 una superficie con un polo y curvatura
de Gauss no negativa y supongamos que Σ es una superficie
minimal propiamente inmersa en el semiespacio M2 × (−∞, 0].
Entonces Σ estará contenida en una sección horizontal M2 ×
{c0 }, para alguna constante c0 ≤ 0.
El segundo de ellos se establece para superficies propiamente inmersas
con curvatura media satisfaciendo |H| ≤ 1/2 en M2 × R, cuando la curvatura
de M2 cumpla K ≤ −1 (Teorema 3.3.5). Este resultado es una extensión
del correspondiente establecido por Nelli y Sa Earp en H2 × R [NE].
Teorema 3.3.5. Sea M2 una superficie de Hadamard con curvatura de Gauss K 2 ≤ −1. Consideremos una superficie completa
M
Σ en la variedad producto M2 × R con curvatura media satisfaciendo |H| ≤ 1/2. Entonces, dado un punto p ∈ M2 la superficie
Σ no puede estar propiamente inmersa en la componente hacia
la que apunta el vector curvatura media de S0∗ (p), a menos que
H ≡ 1/2, M2 ≡ H2 y Σ ≡ S0 .
En el Teorema 3.3.6 se estudian algunas propiedades del comportamiento en el infinito de una superficie minimal en M2 × R, cuando M2 es
una superficie de Hadamard con curvatura acotada entre dos constantes
negativas. Esto nos proporciona la siguiente generalización de un resultado
obtenido por Sa Earp y Toubiana en H2 × R [ET1].
12
Introducción
Teorema 3.3.6. Sea M2 una superficie de Hadamard con c ≤
KM ≤ b < 0, y γ ⊂ ∂∞ M2 × R un arco. Supongamos que existe
una recta vertical L ⊂ ∂∞ M2 × R y un subarco γ ⊆ γ tal que:
(1) γ ∩ L += ∅ y ∂γ ∩ L = ∅,
(2) γ queda a un lado de L,
√
(3) γ ⊂ ∂∞ M2 × (t0 , t0 + π/ −c), para algún número real t0 .
Entonces no existe una superficie minimal propiamente inmersa
(quizá con borde finito), Σ ⊂ M2 × R, con final asintótico γ y
tal que Σ ∪ γ sea una superficie continua con borde.
Además, se prueba en el Teorema 3.3.7 que, bajo ciertas condiciones,
una superficie compacta con curvatura media constante y con borde sobre
una sección horizontal de M2 × R debe ser un grafo, cuando M2 es una
superficie de Hadamard con curvatura acotada entre dos constantes negativas. Este resultado extiende el correspondiente obtenido en [NEST] para
el espacio homogéneo H2 × R.
Teorema 3.3.7. Si M2 es una superficie de Hadamard cuya curvatura satisface −c 2 ≤ K ≤ −1, c ≥ 1 y consideremos una
superficie Σ compacta y con curvatura media constante H0 ∈
[0, 1/2] inmersa en M2 × R, cuyo borde es una curva de Jordan Γ
de clase C2,α , con curvatura geodésica mayor que c y contenida
en una sección horizontal. Entonces Σ es un grafo vertical.
Finalmente obtendremos en el Teorema 3.3.8 un resultado de existencia
de grafos con curvatura extrínseca constante en M2 × R que resuelve el
problema de Dirichlet para la ecuación de Monge-Ampére asociada, con
condiciones de contorno cero.
Teorema 3.3.8. Sea M2 una superficie riemanniana, Dr un disco
geodésico cerrado de radio r > 0 en M2 , y c el máximo de la
curvatura de M2 en Dr . Tomemos k0 > 0 tal que rc∗ (k0 ) = r,
donde rc∗ (k0 ) es el radio del disco geodésico sobre M2 (c) × {0}
sobre el que está definida una esfera de CEC k0 en M2 (c) × R.
Entonces existe un grafo h de curvatura extrínseca constante
k > 0 en M2 × R y h|∂Dr = 0 para cualquier k < k0 .
13
Introducción
El Capítulo 4, contiene fundamentalmente los resultados presentados
en [ALP] para superficies de CGC compactas cuyo borde está situado sobre una sección horizontal en los espacios S2 × R y H2 × R, utilizando
técnicas basadas en la existencia de una diferencial cuadrática holomorfa
sobre dichas superficies. Esta clase de superficies han sido recientemente
estudiadas por Aledo, Espinar y Gálvez en [AEG1] y [AEG2]. De hecho, en
[AEG1] prueban la existencia de una forma diferencial cuadrática holomorfa
Q para superficies de curvatura de Gauss constante positiva en H2 × R y
curvatura de Gauss constante mayor que 1 en S2 ×R que les permite probar
que existe una única superficie completa de curvatura constante positiva
en H2 × R y una única superficie completa de curvatura constante mayor
que 1 en S2 × R, salvo isometrías del espacio ambiente.
Estas superficies completas serán estudiadas en la Sección 2.7 del capítulo segundo de esta memoria, y resultarán esenciales en éste. Por otra
parte, en [AEG2] se obtienen estimaciones óptimas para la función altura
de superficies de curvatura de Gauss constante en H2 × R y S2 × R. En
ese estudio, la forma cuadrática holomorfa mencionada permite caracterizar
los ejemplos completos rotacionales como las únicas superficies para las
cuales las cotas se alcanzan. Citaremos también que en [AAA], utilizando
técnicas diferentes (fórmulas integrales), Aledo, Albujer y Alías desarrollan
un estudio para hipersuperficies en productos riemannianos y lorenzianos
Mn × R (donde Mn es una variedad riemanniana n-dimensional) en términos de las curvaturas escalares de la hipersuperficie y de Mn .
Obtendremos algunos resultados para superficies compactas con borde,
de curvatura de Gauss constante positiva en H2 × R y curvatura de Gauss
constante mayor que 1 en S2 ×R. En este sentido, probaremos primeramente
la Proposición 4.2.1, en la que se utiliza la forma cuadrática holomorfa
mencionada anteriormente.
Proposición 4.2.1. Sea ψ : D −→ M2 (ε) × R una inmersión con
curvatura de Gauss positiva y constante K (I) tal que K (I) > 1
si ε = 1. Si la parte imaginaria de Q, Im(Q), se anula idénticamente sobre ∂D, entonces ψ(D) es parte de una superficie
rotacional completa de curvatura de Gauss constante K (I).
Como consecuencia obtendremos el Teorema 4.3.1 para superficies compactas con borde, de curvatura de Gauss constante positiva en H2 × R o
curvatura de Gauss constante mayor que 1 en S2 × R.
14
Introducción
Teorema 4.3.1. Dada una superficie compacta de curvatura de
Gauss constante positiva en H2 × R y curvatura de Gauss constante mayor que 1 en S2 × R, cuyo borde Γ está contenido en
una sección horizontal del espacio ambiente, si la superficie
interseca a dicha sección con ángulo constante a lo largo de
Γ, entonces la superficie es parte de una superficie completa
rotacional.
En la última parte del capítulo obtendremos estimaciones del área para
superficies de curvatura de Gauss constante positiva en H2 × R y curvatura
de Gauss constante mayor que 1 en S2 ×R cuyo borde esté contenido en una
sección horizontal del espacio ambiente (Teorema 4.4.1). Estas estimaciones
son óptimas en el sentido de que, si las cotas se alcanzan, la superficie es
de nuevo parte de una superficie rotacional completa.
Teorema 4.4.1. Sea ψ : Σ −→ M2 (ε) × R una inmersión de una
superficie compacta con curvatura de Gauss constante K (I) tal
que K (I) > 1 si ε = 1, y cuyo borde Γ está contenido en un
plano horizontal M2 (ε) × {h0 } del espacio ambiente. Sea ν0
una constante positiva tal que la función ángulo ν a lo largo
de Γ cumpla que ν 2 ≤ ν02 . Entonces el área A de Σ satisface la
relación
2 π + ν0 (2 π − ε A)
2 π − ν0 (2π − ε A)
≤A≤
K (I)
K (I)
donde A es el área de la región encerrada por Γ en M2 (ε). Además, la igualdad se cumple en una de las anteriores desigualdades si y solo si ψ(Σ) es parte de una superficie rotacional
completa con curvatura de Gauss constante K (I).
Esta clase de problemas para superficies con curvatura de Gauss constante positiva en el espacio euclídeo fueron estudiados por Gálvez y Martínez en [GM].
En el Capítulo 5 abordaremos el estudio de las superficies mínimas de
Laguerre (abreviadamente LM-superficies) desde un punto principalmente global. La mayor parte de estos resultados presentados aparecerán en
[AGL]. Comenzaremos la Sección 5.2 generalizando la definición de LMsuperficie a superficies cuya curvatura de Gauss pueda anularse en un
15
Introducción
conjunto de puntos aislados y son Laguerre mínimas en el sentido clásico
fuera de dicho conjunto. Esta es una clase natural de superficies que llamaremos Inmersiones mínimas generalizadas de Laguerre (o abreviadamente,
GLM-inmersiones). En particular, esta clase contiene a las superficies minimales de R3 . Un primer resultado que esclarece la situación de partida
será la siguiente proposición.
Proposición 5.2.1. Sea ψ : Σ −→ E3 una inmersión de una superficie orientable y conexa Σ con curvatura media H y curvatura de Gauss K . Si R : Σ −→ R3 es una función diferenciable
tal que H = R K entonces se verifica una de las siguientes
situaciones:
K > 0 en cualquier punto de Σ, o
K ≤ 0 en cualquier punto de Σ, y en este caso o bien K
se anula idénticamente sobre Σ y por tanto la imagen de
ψ es parte de un plano, o bien {p ∈ Σ : K (p) = 0} es un
conjunto de puntos aislados.
En la Sección 5.3 obtendremos en el teorema 5.3.1 una representación
conforme para GLM-superficies en términos de una función real armónica,
una función meromorfa y una 1-forma holomorfa globalmente definida sobre
la superficie, que generalizan las conocidas fórmulas de representación
dadas por Osserman para el caso minimal en R3 .
Teorema 5.3.1. Sea ψ : Σ −→ R3 una GLM-superficie no llana, con aplicación de Gauss g, y tal que H = R K . Entonces
existe una 1-forma holomorfa ω tal que la inmersión ψ puede
recuperarse como
(φ1 , φ2 , φ3 ) − R N,
(1)
ψ = 2 Re
con
φ1
φ2
φ3
1 ∂R + ω
=
+ g (∂R − ω) ,
2
g
i ∂R + ω
=
− g (∂R − ω) ,
2
g
= ω.
16
Introducción
donde ∂R = Rz dz. Recíprocamente, si Σ es una superficie de
Riemann simplemente conexa, g : Σ −→ C ∪ {∞} una función
meromorfa no constante, ω una 1-forma holomorfa y R : Σ −→ R
una función real armónica, tal que si g tiene un cero (resp. un
polo) de orden n ∈ N en p ∈ Σ, entonces ∂R + ω (resp. ∂R − ω)
tiene un cero de orden mayor o igual que n en p, entonces (1)
define una GLM-superficie siempre que
2
2
ω + ∂R
− R 2 4|dg|
+= 0
+
ḡ(ω
−
∂R)
g
(1 + |g|2 )2
con aplicación de Gauss g y H = R K .
En la Sección 5.5, utilizaremos esta representación para estudiar la
completitud de la métrica de Laguerre hL . Demostraremos que cualquier
inmersión mínima de Laguerre con métrica de Laguerre completa debe tener
curvatura de Gauss euclídea negativa en cualquier punto (Teorema 5.5.1).
Teorema 5.5.1. Sea ψ : Σ −→ R3 una LM-inmersión con métrica
de Laguerre completa de una superficie Σ. Entonces la curvatura
de Gauss euclídea de la inmersión es negativa en todos los
puntos.
Por otra parte, probaremos que cualquier inmersión completa euclídea
con curvatura de Gauss negativa debe tener métrica de Laguerre completa
(Teorema 5.5.2).
Teorema 5.5.2. Sea ψ : Σ −→ R3 una inmersión completa euclídea con curvatura negativa. Entonces la métrica de Laguerre
hL de la inmersión es completa.
Mostraremos también un contraejemplo que prueba que el resultado
recíproco no es cierto. Además probaremos que la métrica de Laguerre
puede extenderse sobre una GLM-superficie a los puntos en los que la
curvatura de Gauss es nula, y daremos una clasificación completa de las
GLM-superficies llanas para la métrica de Laguerre (Teorema 5.5.3).
Teorema 5.5.3. Sea ψ : Σ −→ R3 una GLM-superficie con métrica de Laguerre llana. Entonces, salvo una isometría de R3 , la
17
Introducción
inmersión puede ser localmente parametrizada como
4 R Ru
4 R Rv
8R
ψ(u, v) = 2u −
,
−2v
+
,
4 + Ru2 + Rv2
4 + Ru2 + Rv2 4 + Ru2 + Rv2
(2)
para ciertos parámetros locales conformes (u, v) ∈ Ω ⊆ R2 ,
donde la función armónica R(u, v) debe cumplir |R Rzz | += 1 +
|Rz |2 , z = u + iv. Además, si hL es completa entonces ψ está,
salvo una isometría de R3 , globalmente parametrizada como en
(2) con (u, v) ∈ R2 y |R Rzz | < 1 + |Rz |2 .
En la Sección 5.6 daremos una fórmula que resuelve el problema de
Björling para GLM-superficies. En general, dada una clase A de superficies
analíticas inmersas en una variedad tridimensional M, una curva regular
analítica en dicha variedad y una distribución analítica de planos orientados π(s) sobre el fibrado tangente de M, definida a lo largo de la curva
y de modo que sean tangentes a la misma, el problema de Cauchy para
la clase A consiste en encontrar explícitamente todas las superficies que
pasen por la curva dada, con distribución de planos tangentes orientados
dada por π(s). Este problema tiene como antecedente el clásico problema
propuesto en 1844 por el matemático sueco E.G. Björling para superficies
minimales en R3 . Consiste en que fijada una curva regular analítica a(s) en
R3 y un campo vectorial unitario analítico V (s), perpendicular a lo largo
de a(s), determinemos una superficie minimal que contenga a la curva a(s)
y cuyo vector normal unitario a la superficie, a lo largo de dicha curva,
sea V (s). H. A. Schwarz [Sc] resolvió en 1890 este problema mediante una
fórmula integral, en términos de datos holomorfos, que permite recuperar
la única solución.
En nuestro caso estudiaremos, en el Teorema 5.6.1, qué GLM-superficies
contienen a una curva dada y a una familia de planos tangentes a lo largo
de cada punto de dicha curva, consiguiendo también recuperar la inmersión
en términos de los datos iniciales.
Teorema 5.6.1. Sea ψ : Σ −→ R3 una inmersión de una GLMsuperficie Σ no llana, I un intervalo real, α(s) : I −→ Σ una
curva analítica regular, β(s) = (ψ ◦ α)(s), V (s) = (N ◦ α)(s) y
r(s) = (R ◦ ψ ◦ α)(s). Consideremos un parámetro local conforme
z para la métrica h, definido en un dominio complejo Ω que
contenga a I, y tal que su parte real sea s, es decir, z = s + it,
18
Introducción
y tomemos d(s) = (R ◦ ψ)t ◦ α(s). Entonces podemos recuperar
ψ en un cierto dominio D ⊆ Ω, I ⊆ D como
z
Φ(w) dw ,
ψ(z) = β(z0 ) + r(z0 ) V (z0 ) − R(z) N(z) + 2 Re
z0
(3)
donde Φ(z), N(z) y g(z) son extensiones analíticas complejas de
funciones obtenidas a partir de los datos, y R(z) esta dada por
z
d(w) dw , z0 ∈ I
R(z) = Re {r(z)} + Im
z0
Recíprocamente, sean β(s), V (s) : I −→ R3 dos curvas analíticas
no constantes con β (s), V (s) = 0 y sean r(s), d(s) : I −→ R
dos funciones analíticas. Entonces la aplicación ψ(z) dada en (3)
es, en sus puntos regulares, una GLM-superficie con aplicación
de Gauss N y parámetro conforme z, cumpliendo que H = R K .
Además, para s ∈ I se cumple ψ(s) = β(s), N(s) = V (s), R(s) =
r(s) y Rt (s) = d(s), donde z = s + i t.
Por último, como aplicación de la solución obtenida del problema de
Björling en el caso de GLM-superficies, caracterizaremos las GLM-superficies
de rotación en la siguiente proposición.
Proposición 5.7.1. Una inmersión ψ : Σ −→ R3 de una LMsuperficie de revolución Σ con respecto al eje OZ no plana,
está dada, salvo una translación vertical, por
ψ = a 1 ψc + a 2 ψs + a 3 ψ p ,
para tres constantes a1 , a2 , a3 ∈ R, donde ψc es una catenoide,
ψs una esfera y ψp una superficie de revolución con un pico,
parametrizadas como,
ψc (s, t) = (cosh t cos s, cosh tsen s, t),
cos s sen s
ψs (s, t) =
,
, − tanh t ,
cosh t cosh t
t
t
ψp (s, t) =
(senh t −
) cos s, (senh t −
)sen s, t tanh t .
cosh t
cosh t
Finalmente, en el epílogo, se proponen algunas de las posibles líneas
futuras de investigación que podrían desarrollarse, relacionadas fundamentalmente con temas tratados en los capítulos segundo, tercero y cuarto de
esta memoria.
19
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Capítulo 1
Preliminares.
1.1.
Superficies riemannianas
Comenzaremos enunciando algunos conceptos y resultados básicos sobre superficies riemannianas inmersas en variedades riemannianas tridimensionales, en particular en los espacios producto M2 × R. Esto nos permitirá fijar la notación que emplearemos en adelante, así como las bases
de las que parte este trabajo. Una exposición detallada de estos tópicos se
puede encontrar en varias referencias clásicas como [Ne2], [C2], o [Sp1].
Una métrica riemanniana sobre una variedad diferenciable n-dimensional M es una aplicación diferenciable , que asocia a cada punto de la
variedad p ∈ M una forma bilineal, simétrica y definida positiva que representaremos por , p . Un par (M, , ) formado por una variedad diferenciable
n-dimensional y una métrica riemanniana es una variedad riemanniana ndimensional. Una superficie riemanniana es una variedad riemanniana de
dimensión dos.
Es conocido que sobre una variedad riemanniana (M, , ) existe una
simétrica y compatible con su métrica, llamada coúnica conexión afín ∇,
nexión de Levi-Civita. Si consideramos una inmersión ψ : Σ −→ M de una
superficie Σ en una variedad riemanniana (M, , ) representaremos por g,
o a veces por I, a la métrica inducida sobre Σ por la métrica del espacio
ambiente , , es decir, en cada punto p de la superficie gp = ψp∗ (, ). Designaremos por ∇ a la conexión de Levi-Civita de (Σ, g).
Victorino Lozano Cabrero
20
Capítulo 1. Preliminares.
En adelante, X(Σ) será el conjunto de campos tangentes a Σ diferenciables y C∞ (Σ) el conjunto de funciones diferenciables de clase infinito sobre
Σ con imagen en R. Identificando los campos sobre la superficie Σ con sus
extensiones locales sobre la variedad ambiente se verifica
X Y )T
∇X Y = (∇
∀ X , Y ∈ X(Σ)
X Y )T representa la componente del campo ∇
X Y tangente a la
donde (∇
superficie Σ.
Dada una superficie riemanniana (Σ, g) inmersa en una variedad riemanniana tridimensional (M, , ) existe siempre localmente, y globalmente
si la superficie y la variedad ambiente son orientables, un campo de vectores unitarios normales a Σ en el espacio ambiente, N ∈ X(Σ)⊥ , que llamamos aplicación de Gauss. Se define entonces el endomorfismo de Weingarten de la inmersión como
A : X(Σ) −→ X(Σ),
X N,
A(X ) = −∇
∀X ∈ X(Σ).
El endomorfismo de Weingarten es una aplicación autoadjunta para la
métrica riemanniana g, diagonalizable en cada punto de la superficie Σ,
y mide la variación del campo normal unitario N en la dirección de cada
campo tangente X ∈ X(Σ). Esto permite definir las curvaturas principales k1 y k2 como sus autovalores, siendo sus autovectores las llamadas
direcciones principales. En estas condiciones la curvatura extrínseca o de
Gauss-Kronecker KE y la curvatura media H de la superficie son invariantes de dicho endomorfismo, en concreto su determinante y la mitad de su
traza respectivamente. Así pues
= det (A) = k1 · k2 ,
1
1
traza (A) = (k1 + k2 ) .
H =
2
2
KE
En los puntos en que las curvaturas principales sean ambas no nulas
se define la función media de los radios de curvatura como
1
1
H(p)
1
+
=
∀p ∈ Σ, KE (p) += 0.
R(p) =
2 k1 (p) k2 (p)
KE (p)
La segunda forma fundamental de la inmersión respecto del campo normal unitario N, que representaremos por B o en ocasiones por II, se define
como
B(X , Y ) = g(A(X ), Y ),
∀ X , Y ∈ X(Σ).
21
Capítulo 1. Preliminares.
La tercera forma fundamental la representaremos por L o a veces por
III, y viene dada por
L(X , Y ) = g(A(X ), A(Y )),
∀ X , Y ∈ X(Σ),
que será una métrica sobre Tp (Σ), para cualquier punto p ∈ Σ, siempre que
KE (p) += 0. Las formas fundamentales, la curvatura media H y la curvatura
extrínseca KE verifican la conocida relación
L = 2 H B − KE g.
Si fijamos un sistema de coordenadas locales (u, v) en un entorno de un
punto p ∈ Σ, la métrica o primera forma fundamental g puede escribirse,
para ciertas funciones E, F , G ∈ C∞ (Σ), mediante
gp = E du2 + 2 F dudv + G dv 2 ,
(1.1)
y análogamente, para ciertas funciones e, f, g ∈ C∞ (Σ), la segunda forma
fundamental será
Bp = e du2 + 2 f dudv + g dv 2 .
(1.2)
En estas condiciones la curvatura extrínseca y la curvatura media de la
superficie Σ están dadas por
KE =
e g − f2
,
E G − F2
H=
E g + G e − 2F f
,
2 E G − F2
(1.3)
y la función media de los radios de curvatura, siempre que KE += 0, por
R=
E g + G e − 2F f
.
2 e g − f2
Para una base local de campos ∂u , ∂v asociada a los parámetros locales (u, v), los símbolos de Christoffel Γkij , asociados a la métrica g, están
determinados por las expresiones
∇∂u ∂u = Γ11,1 ∂u + Γ21,1 ∂v
∇∂u ∂v
= Γ11,2 ∂u + Γ21,2 ∂v
∇∂v ∂v
= Γ12,2 ∂u + Γ22,2 ∂v
y es bien conocido que se pueden determinar a partir de los coeficientes
de la métrica g y de sus derivadas.
22
Capítulo 1. Preliminares.
Asociado a la conexión de Levi-Civita ∇ de una variedad (Σ, g) se define
el tensor de curvatura R : X(Σ) × X(Σ) × X(Σ) −→ X(Σ) mediante
R(X , Y ) Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X ,Y ] Z ,
∀X , Y , Z ∈ X(Σ)
que mide cuánto se aleja la métrica de ser llana. R es C∞ (Σ)-lineal en todas
sus variables y antisimétrico en las dos primeras. La curvatura seccional
de la métrica g en un punto p ∈ Σ es
Kp =
g(R(Xp , Yp ) Xp , Yp )
g(Xp , Xp ) g(Yp , Yp ) − g(Xp , Yp )2
donde Xp , Yp ∈ Tp (Σ) son vectores linealmente independientes. Es un hecho
conocido que Kp no depende de los vectores elegidos siempre que determinen un mismo plano tangente.
Cuando la variedad es una superficie la curvatura seccional está determinada por un único valor KG , que solo depende de los coeficientes
de la métrica y de sus derivadas, y que llamamos curvatura de Gauss o
intrínseca. Ésta determina completamente el tensor de curvatura mediante
R(X , Y ) Z = KG ( g(X , Z ) Y − g(Y , Z ) X )
∀ X , Y , Z ∈ X(Σ).
Las curvaturas principales, la curvatura media y la curvatura extrínseca,
así como algunas otras características de una superficie pueden definirse,
haciendo abstracción de la superficie concreta, únicamente a partir del par
(g, B) formado por una métrica riemanniana y una forma bilineal simétrica,
que se denomina par fundamental. La teoría general de pares fundamentales y pares Codazzi (aquellos pares fundamentales cuyos coeficientes
verifican formalmente las ecuaciones de Codazzi), se encuentra desarrollada en general en [Mi], y en particular para los espacios producto M2 × R
en [Es]. Así pues haremos referencia en algunas ocasiones a la curvatura
media H(g, B) de un par fundamental (g, B) o de forma análoga a otras
curvaturas o características. Los conceptos y resultados que citaremos en
adelante sobre pares fundamentales y pares Codazzi se encuentran en dichas referencias.
Por último recordemos que en una variedad riemanniana M, para cada
punto p ∈ M y para cada vector no nulo del espacio tangente en dicho
punto v ∈ Tp (M), existe una única geodésica parametrizada sobre un intervalo real γ : (−ε, ε) −→ M, con ε > 0, tal que γ(0) = p y γ (0) = v. A
23
Capítulo 1. Preliminares.
dicha geodésica la representaremos por γ(p,v) .
Este hecho permite definir, en cada punto de la variedad p ∈ M, la
aplicación exponencial expp , que establece un difeomorfismo entre un entorno abierto del origen del espacio tangente a la variedad en el punto p
y un entorno abierto de dicho punto en la variedad (ver [C2]).
1.2.
Superficies modelo M2 (c).
Cuando la variedad riemanniana Mn es completa, simplemente conexa
y con curvatura seccional constante c, el teorema de Cartán [C2] asegura que, salvo isometrías, coincidirá con alguna de las llamadas variedades
modelo, que representaremos por Mn (c) y describiremos a continuación.
El plano euclídeo.
Cuando c = 0, entonces M2 (0) coincide con el plano euclídeo E2 , con
la métrica usual
ge = dx12 + dx22 .
El grupo de isometrías de E2 es el producto semidirecto del grupo ortogonal O(2), dado por todas los endomorfismos de R2 que conservan el
producto escalar, por el grupo de traslaciones afines de E2 . La geodésica en E2 que en el instante t = 0 pasa por el punto p ∈ E2 , a velocidad
v ∈ S1 ⊂ R2 , es γ(p,v) (t) = p+t v, siendo t el parámetro arco a lo largo de γ.
La esfera euclídea.
Cuando c > 0, entonces M2 (c) coincide con la esfera Euclídea de radio
√
1/ c, es decir, el conjunto de R3 definido como
S2 (c) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 + x32 = 1/c ,
con la métrica inducida del espacio euclídeo E3 habitual.
El grupo de isometrías de S2 (c) está formado por la restricción a S2 (c)
de las aplicaciones del grupo ortogonal O(3). Los únicos grupos uniparamétricos de isometrías de S2 (c) son las rotaciones respecto de alguno de
24
Capítulo 1. Preliminares.
sus puntos que también fijan su punto antípoda. Las geodésicas de S2 (c) se
obtienen como intersección de S2 (c) con los planos vectoriales de R3 . En
particular la geodésica en S2 (c) que en el instante t = 0 pasa por el punto
p ∈ S2 , a velocidad v ∈ Tp (S2 ), y siendo t el parámetro arco a lo largo de
γ, es
√
√
sen ( c |v| t)
√
v.
γ(p,v) (t) = cos( c |v| t) p +
c |v|
El plano hiperbólico.
Cuando c < 0, la superficie M2 (c) coincide con el plano hiperbólico de
curvatura gaussiana constante negativa c, que designaremos por H2 (c).
Describiremos a continuación los modelos que principalmente utilizaremos en esta memoria para trabajar en el plano hiperbólico que son el
modelos del hiperboloide de una hoja y el modelo conforme del disco de
Poincaré.
Modelo del hiperboloide de una hoja H2 (c).
Consideremos el espacio de Lorentz-Minkowski L3 , definido como la
variedad lorentziana (R3 , gl ), donde gl es la métrica de Lorentz dada mediante
gl = −dx02 + dx12 + dx22 ,
y la subvariedad H2 (c) determinada por
1
H2 (c) = (x0 , x1 , x2 ) ∈ L3 : −x02 + x12 + x22 = , x0 > 0
c
con la métrica gl inducida de L3 .
El grupo de isometrías de H2 (c) está formado por la restricción a H2 (c)
de las aplicaciones del grupo ortocrono O↑ (1, 3), de todas las transformaciones vectoriales de L3 que conservan la métrica y tales que dejan invariante
el cono de luz
N2+ = (x0 , x1 , x2 ) ∈ Ln+1 : −x02 + x12 + x22 = 0, x0 > 0 .
Las geodésicas de H2 (c) son las intersecciones de los subespacios vectoriales de L3 con H2 (c). En particular, la geodésica de H2 (c) que en el
25
Capítulo 1. Preliminares.
instante t = 0 pasa por el punto p ∈ H2 (c), a velocidad v ∈ Tp (S2 ), está
determinada por
√
√
senh ( −c |v| t)
√
v
γ(p,v) (t) = cosh( −c |v| t) p +
−c |v|
siendo t el parámetro arco a lo largo de la geodésica γ.
Modelo conforme del disco de Poincaré D2 (rc ).
2
2
Sobre
√ el disco abierto D (rc ) ⊂ R ≡ C de centro el origen y radio
rc = 1/ −c con c < 0, definimos la métrica
4
2
|dz|
,
con
z
=
x
+
y
i
y
|z|
=
x 2 + y2 .
gp =
(1 + c |z|2 )2
Entonces (D2 (rc ), gp ) es una superficie riemanniana de curvatura constante c que llamaremos modelo conforme del disco de Poincaré del plano
hiperbólico. En este modelo las geodésicas son trozos de circunferencias
que cortan ortogonalmente al borde del disco, que llamaremos borde infinito, y trozos de rectas que pasan por el origen.
El grupo de isometrías del modelo conforme del disco se corresponde
con el grupo de transformaciones conformes de D2 (rc ) como subconjunto del
plano euclídeo. El subgrupo de isometrías directas Iso+ (D2 (rc )), aquellas
que conservan la orientación, son las transformaciones del tipo
S : D2 (rc ) −→ D2 (rc ) : S(z) =
αrc z + β rc2
,
βz + α rc
α, β ∈ C,
αα − ββ = 1,
y contiene tres grupos uniparamétricos de isometrías, distintos y únicos
salvo conjugación. Estos son, los grupos de rotaciones respecto de un punto, que dejan invariantes los círculos geodésicos, las traslaciones parabólicas o rotaciones respecto de un punto en infinito, que dejan invariantes los
horociclos (circunferencias euclídeas tangentes al borde infinito) tangentes
a dicho punto, y las traslaciones hiperbólicas, transformaciones que dejan
invariantes dos puntos del borde infinito y los arcos de circunferencia contenidos en el disco, que unen dichos puntos.
Las isometrías directas con |Re(α)| < 1 son rotaciones respecto de un
punto, cuando |Re(α)| = 1 son translaciones parabólicas y si |Re(α)| > 1
26
Capítulo 1. Preliminares.
son translaciones hiperbólicas. Las isometrías inversas Iso− (D2 (rc )), aquellas que invierten la orientación, se obtienen componiendo con la conjugación compleja las transformaciones directas.
Figura 1.1: Curvas invariantes para los grupos uniparamétricos de isometrías en el disco de Poincaré: giros respecto de un punto, translaciones
parabólicas y translaciones hiperbólicas.
Modelo del disco de Poincaré con parámetros polares.
Si en el modelo conforme del disco de Poincaré del plano hiperbólico
tomamos los nuevos parámetros
y
√ 2
u= √
arctanh
−c x 2 + y2 , v = arctan
, u ≥ 0,
x
−c
donde u es la distancia hiperbólica desde el origen, obtenemos la métrica,
de curvatura constante c < 0, dada por
√
(1.4)
g = du2 + senh 2 ( −c u) dv 2
El modelo del plano hiperbólico del disco de Poincaré con este tipo
de parámetros polares lo representaremos por B2p (c). Esta clase de parámetros pertenecen a un tipo especial que llamaremos parámetros polares
semigeodésicos, que describiremos más adelante con detalle y que desarrollarán un papel relevante en esta memoria.
27
Capítulo 1. Preliminares.
Isometrías entre algunos modelos del plano hiperbólico.
Las siguientes transformaciones son isometrías entre algunos de los
modelos del plano hiperbólico que acabamos de describir, y nos permitirán
utilizarlos en adelante indistintamente según nos sea conveniente. Entre
el modelo del disco de Poincaré y el modelo del hiperboloide tenemos
: H2 (c) −→ D2 (rc ) ; T −1 : D2 (rc ) −→ H2 (c)
w
v
√
√
,
,
T (u, v, w) =
1 + −c u 1 + −c u
2u
1 − c (u2 + v 2 )
2v
−1
√
T (u, v) =
,
,
.
−c(1 + c (u2 + v 2 )) 1 + c (u2 + v 2 ) 1 + c (u2 + v 2 )
T
Entre el modelo del disco de Poincaré en coordenadas cartesianas y el
modelo del disco en coordenadas polares siendo el parámetro u ∈ [0, +∞)
la distancia hiperbólica, podemos establecer como ya hemos visto anteriormente
W
W (u, v)
=
W −1 (x, y)
=
1.3.
: B2p (c) −→ D2 (rc ) ; W −1 : D2 (rc ) −→ B2p (c)
√
1
−c u
√
tanh(
) (cos v, sen v),
2
−c
y
√ 2
2
2
arctanh
).
(√
−c x + y , arctan
x
−c
Parametrizaciones especiales.
Recordaremos a continuación varios tipos de parametrizaciones locales
especiales que se pueden tomar sobre una superficie riemanniana (Σ, g), y
algunas de sus características básicas que utilizaremos más adelante.
Parámetros ortogonales. Una parametrización local (u, v) de una superficie Σ se dice que es ortogonal, si la métrica se expresa de la forma
g = E du2 + G dv 2 . Para una parametrización ortogonal (u, v) la curvatura
de Gauss es
Ev
1
Gu
√
+ √
.
KG = − √
2 EG
EG v
EG u
28
Capítulo 1. Preliminares.
Parámetros doblemente ortogonales. Sea Σ una superficie inmersa en
una variedad riemanniana tridimensional M3 y N un campo local de vectores unitarios normales a Σ. Unos parámetros locales (u, v) se dice que son
doblemente ortogonales si se cumple que F = f = 0. Se demuestra la existencia de este tipo de parámetros al menos en un conjunto de puntos denso
en la superficie Σ. En este caso las curvas coordenadas son líneas de curvatura y las curvaturas principales, la curvatura extrínseca y la curvatura
media son
k1 =
e
,
E
k2 =
g
,
G
KE =
eg
,
EG
H=
Eg + Ge
.
2EG
Parámetros isotermos. Una parametrización local (u, v) de una superficie Σ se dice que es isoterma si es ortogonal y además cumple E = G. La
existencia de parámetros isotermos locales para cualquier superficie regular al menos de clase C2 se prueba en [Be2]. El resultado para superficies
riemannianas se puede encontrar en [Hi1, Sec. 9.6]. En este caso se cumple
H=
e+g
,
2E
KE =
e g − f2
,
E2
KG =
−1
Δ(ln E),
2E
donde Δ denota el laplaciano respecto de la métrica g.
Parámetros complejos. Dados unos parámetros locales (u, v), podemos
establecer un nuevo sistema de parámetros locales (z, z), que llamaremos
parámetros complejos, definidos mediante
z = u + i v,
z = u − i v.
(1.5)
Si respecto de los parámetros (u, v) las formas fundamentales están
dadas por (1.1) y (1.2), y definimos los campos complejos
1 ∂
∂
∂
1 ∂
∂
∂
=
−i
,
=
+i
,
∂z
2 ∂u
∂v
∂z
2 ∂u
∂v
así como las 1-formas complejas duales
dz = du + idv,
dz = du − idv,
entonces las formas fundamentales respecto de los parámetros (z, z) vendrán dadas por las expresiones
g = p dz 2 + 2 λ |dz|2 + p dz 2 ,
B = Q dz 2 + 2 ρ |dz|2 + Q dz 2 ,
29
Capítulo 1. Preliminares.
siendo
1
(E − G − 2i F ) ,
4
1
Q = (e − g − 2i f ) ,
4
1
(E + G) ,
4
1
ρ = (e + g) ,
4
p=
λ=
y recíprocamente
E = p + 2 λ + p,
e = Q + 2 ρ + Q,
F = (p − p) i,
f = Q − Q i,
G = −p + 2 λ − p
g = −Q + 2 ρ − Q.
(1.6)
Las expresiones de la curvatura extrínseca y de la curvatura media
respecto de estos parámetros, sustituyendo (1.6) en (1.3), son
KE =
| Q |2 −ρ2
,
| p |2 −λ2
H=
pQ − 2λρ + pQ
.
2 | p |2 −λ2
Parámetros conformes. Si (u, v) son unos parámetros isotermos de una
superficie Σ, los parámetros (z, z), definidos mediante (1.5) se llaman parámetros conformes respecto de la métrica g. Para una parametrización
conforme (z, z) se cumple que
p = 0,
H=
ρ
,
λ
KE = H 2 −
|Q|2
.
λ2
Además los símbolos de Christoffel vienen dados por:
Γ111 =
Γ112 =
Γ122 =
λz
λ,
0,
0,
Γ211 = 0,
Γ212 = 0,
Γ222 = − λλz .
Superficies de Riemann. Una superficie Σ conexa, que cumpla el axioma de separación T2 , se dice que es una superficie de Riemann si admite
un atlas A = {(Uα , φα ) : α ∈ Λ}, con φα : Uα −→ Dα ⊂ C, tal que el cambio de cartas φβ−1 ◦ φα , cuyos dominios tengan intersección no vacía, sea
holomorfo. Es decir, una superficie de Riemann es una superficie modelada
localmente sobre abiertos del plano complejo. Si (Σ, g) es una superficie
riemanniana orientable, podemos considerar dicha superficie como una superficie de Riemann, tomando sobre ella el atlas formado por todas las
cartas isotermas positivamente orientadas (ver [FK]).
30
Capítulo 1. Preliminares.
Una superficie de Riemann Σ sin borde decimos que es de tipo elíptico,
parabólico o hiperbólico, según cumpla alguna de las siguientes condiciones mutuamente excluyentes:
Si Σ es compacta, diremos que es de tipo elíptico.
Si Σ no es compacta y sobre ella no existen funciones subarmónicas
negativas no constantes, diremos que es de tipo parabólico.
Si sobre Σ existe una función subarmónica negativa no constante,
diremos que es de tipo hiperbólico.
Como consecuencia del principio del máximo para funciones subarmónicas (ver [Co]), una superficie hiperbólica no puede ser compacta.
Por otra parte el teorema de Uniformización de Koebe (ver [Ah]) nos
asegura que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente o bien al plano complejo C si es parabólica, al disco
unidad D si es hiperbólica, o a la esfera S2 si es elíptica.
Parámetros semigeodésicos.
Sobre cualquier superficie riemanniana (M2 , g) podemos establecer una
parametrización local φ : Ω −→ M2 , donde Ω es un conjunto abierto de R2 ,
de forma que la expresión de su métrica sea del tipo
g = du2 + G(u, v) dv 2 .
(1.7)
A este tipo de parámetros se les denomina en la literatura clásica parámetros semigeodésicos. Esto significa esencialmente que las curvas coordenadas α(u) = φ(u, v0 ), para una constante v0 , son geodésicas parametrizadas por su longitud de arco, que cortan ortogonalmente a las curvas
coordenadas β(v) = φ(u0 , v) para cada constante u0 . Describiremos algunos ejemplos de este tipo de parámetros que utilizaremos en adelante.
Recordemos primero que el radio de inyectividad en un punto de una
variedad riemanniana es el mayor radio del disco geodésico centrado en
dicho punto para el cual la aplicación exponencial es un difeomorfismo.
El radio de inyectividad de una variedad riemanniana es el ínfimo de los
radios de inyectividad en todos sus puntos. Si la variedad es completa y
31
Capítulo 1. Preliminares.
el radio de inyectividad en un punto p es un número finito r, entonces o
bien existe una geodésica de longitud 2r que comienza y finaliza en el
punto p, o existe un punto q conjugado de p a distancia r. Si es compacta,
el radio de inyectividad es o bien la mitad de la longitud mínima de una
geodésica cerrada o la mínima distancia entre puntos conjugados sobre
una geodésica.
Ejemplo 1.3.1 (Coordenadas semigeodésicas polares) Sea p un punto de
una superficie riemanniana (M2 , g) y D ⊆ M2 un disco geodésico abierto
centrado en p de radio menor o igual que el radio de inyectividad de la superficie en dicho punto. Consideremos además Ω ⊆ R2 un disco abierto que
contenga al origen en el que definimos unas coordenadas polares (u, v) y la
parametrización φ : Ω −→ D definida por φ(u, v) = expp (u cos v, u sen v)
que será, según lo dicho anteriormente, un difeomorfismo. Entonces para
estos parámetros, en virtud del Lema de Gauss, la métrica g está dada
por una expresión del tipo (1.7) (véase, por ejemplo, [C2, 69] o [C1, 288])).
Las curvas coordenadas para estos parámetros son la familia de geodésicas que pasan por el punto p fijado, y la familia de círculos geodésicos
centrados en dicho punto.
Figura 1.2: Coordenadas polares en el plano hiperbólico.
Una variedad riemanniana completa, simplemente conexa, con curvatura
seccional no positiva en todos sus puntos se llama variedad de Hadamard.
El teorema de Hadamard garantiza que en dichas variedades la aplicación
32
Capítulo 1. Preliminares.
exponencial en cualquiera de sus puntos es un difeomorfismo global.
En una variedad riemanniana M, un punto p ∈ M diremos que es un
polo cuando la aplicación exponencial expp : Tp (M) −→ M sea un difeomorfismo global. Así pues en una superficie de Hadamard todos sus puntos
son polos. Además en toda superficie riemanniana que posea un polo las
coordenadas semigeodésicas polares centradas en él están siempre definidas y constituyen un difeomorfismo desde R2 .
Una situación más general se da cuando sobre la superficie (M2 , g)
fijamos una curva regular Γ ⊂ M2 , parametrizada por c : I −→ M2 , donde I
es un intervalo real, y en cada uno de sus puntos c(v) tomamos la aplicación
exponencial expc(v) . Entonces podemos establecer, sobre un entorno de
dicha curva, una parametrización semigeodésica de la superficie φ : Ω −→
M2 , siendo Ω ⊆ R2 un conjunto abierto tal que Γ ⊂ φ(Ω), definida como
φ(u, v) = expc(v) (−u J(c (v)), donde J representa una rotación de ángulo
π/2. En este caso las curvas coordenadas son la familia de geodésicas
que cortan a Γ ortogonalmente y las trayectorias ortogonales a éstas. El
ejemplo anterior se obtiene tomando como curva Γ un círculo geodésico.
Ejemplo 1.3.2 (Coordenadas semigeodésicas sobre geodésicas) Sobre
una superficie de Hadamard (M2 , g), tomamos una geodésica Γ parametrizada mediante γ : R −→ M2 y consideramos en cada uno de sus puntos la aplicación exponencial expγ(v) . Entonces para la parametrización
φ : R2 −→ M2 , definida por φ(u, v) = expγ(v) (−u J(γ (v)), la métrica g tiene
una expresión del tipo (1.7).
El concepto de horociclo definido en el plano hiperbólico puede extenderse a superficies de Hadamard M2 . Un hecho bien conocido para dichas
superficies es que se pueden identificar con el disco abierto unidad, y su
borde en infinito con la circunferencia unidad. Para ello en primer lugar
se compactifica la superficie introduciendo el borde en infinito M2 (∞). Un
elemento de M2 (∞) es una clase de equivalencia de geodésicas orientadas
cuya distancia entre dos de ellas permanece acotada cuando su parámetro
tiende a infinito. Al igual que en el modelo de Poincaré del plano hiperbólico, en una variedad de Hadamard M2 podemos identificar el borde en
infinito con el conjunto de vectores unitarios del plano. Una superficie de
Hadamard M2 la consideraremos orientada de forma que su borde asintótico esté orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.
33
Capítulo 1. Preliminares.
Figura 1.3: Coordenadas sobre una geodésica en el plano hiperbólico.
En esta situación, dado un punto p de M2 y un punto v de M2 (∞)
existe una única geodésica que pasa por p y pertenece a la clase de v,
que designaremos por γv y cumple γv (0) = p. Además, cuando la curvatura
es estrictamente negativa, dados dos puntos del borde infinito existe una
única geodésica que pertenece a ambas clases de equivalencia.
En estas condiciones, dados un punto p ∈ M2 y un punto del borde
en infinito v ∈ M2 (∞), definimos el horociclo que pasa por ambos puntos como el borde de la región obtenida mediante la unión de todos los
discos geodésicos centrados en γv (t) y de radio t, para todo valor t > 0.
La familia de horociclos que pasan por v ∈ M2 (∞) es ortogonal a la familia de geodésicas de la clase v. Podemos ahora mostrar un tercer ejemplo.
Ejemplo 1.3.3 (Coordenadas semigeodésicas sobre horociclos) Sea M2
una superficie de Hadamard y Γ un horociclo de M2 parametrizado por
α : R −→ M2 . Entonces la parametrización φ : R2 −→ M2 , definida por
φ(u, v) = expα(v) (−u J(α (v)), es una parametrización global de M2 para
la cual la métrica inducida toma la forma (1.7). Las curvas coordenadas
serán los horociclos tangentes a un mismo punto en infinito y la familia de
geodésicas perpendiculares a dichos horociclos.
El siguiente resultado nos mostrará algunas propiedades de estos tipos
34
Capítulo 1. Preliminares.
Figura 1.4: Coordenadas sobre horociclos en el plano hiperbólico.
de parámetros.
Proposición 1.3.1 En una superficie riemanniana (M2 , g) donde hemos establecido unos parámetros locales semigeodésicas (u, v), de forma que la
expresión de su métrica sea del tipo (1.7), la curvatura de Gauss Kg se
puede expresar mediante la ecuación de Jacobi
G(u, v)
uu
Kg (u, v) = − ,
G(u, v)
o bien por
Kg (u, v) = − (χg (u, v))u − (χg (u, v))2 ,
siendo
χg (u, v) =
Gu (u, v)
2 G(u, v)
(1.8)
(1.9)
la curvatura geodésica de las curvas coordenadas β(v) = φ(u0 , v).
Las coordenadas serán semigeodésicas polares, si y sólo si se verifican
las condiciones
√ G = 1.
(1.10)
lı́m G(u, v) = 0 y lı́m
u→0
u→0
u
35
Capítulo 1. Preliminares.
En este caso (1.9) proporciona la curvatura geodésica de los círculos
geodésicos β(v), y se cumple además que
lı́m
u→0
2G(u, v)
= 0.
Gu (u, v)
(1.11)
Por otra parte cuando las curvas coordenadas β(v) = φ(u0 , v) sean a
su vez geodésicas se verificará
Gu (u, v) = 0.
(1.12)
Prueba: Como los parámetros son ortogonales y E = 1 tenemos
E
G
1
Gu
1
√ v
√u
+ √
=− √
Kg = − √
2 EG
EG v
EG u
2 G
G u
√ G
Guu
Gu
Gu 2
Gu2
uu
=−
= − √
=−
−
.
(1.13)
+
2G
2G u
2G
4G 2
G
La relación con la curvatura geodésica de los círculos geodésicos así
como (1.12) pueden verse en [Po, 186–193]. La prueba sobre las condiciones
de los límites (1.10) y (1.11) se encuentra en [C1, 288] y [Sp1, 84–122, II].
Como ejemplo, recordemos que es bien conocido que si (M2 , gc ) es una
superficie riemanniana, y para unos parámetros
√ (u, v) su métrica se expresa
como gc = du2 + G(u) dv 2 , con G(u) = senh 2 ( −c u) si c < 0, G(u) = u2 si
√
c = 0 y G(u) = sen 2 ( c u) si c > 0, entonces la superficie tiene curvatura
de Gauss constante c.
El siguiente Teorema de comparación de Sturn-Liouville, permite establecer una relación entre la curvatura de Gauss de dos superficies riemannianas (M21 , g1 ) y (M22 , g2 ), y las funciones G1 (u, v) y G2 (u, v) que determinan sus métricas cuando tomamos parámetros semigeodésicos. En el
Capítulo 3 daremos un resultado de comparación similar para la ecuación
de Ricatti dada por (1.8), que será fundamental en la obtención de barreras
en M2 × R.
Proposición 1.3.2 [St1, Teorema de Sturn-Liuoville, 228] Sean f(x) y g(x)
dos soluciones no negativas de las ecuaciones diferenciales ordinarias de
segundo orden
y (x) + Kf (x) y(x) = 0,
y (x) + Kg (x) y(x) = 0,
36
Capítulo 1. Preliminares.
respectivamente, cumpliéndose que Kf (x) ≥ Kg (x), y uno de los siguiente
conjuntos de condiciones iniciales:
a)
b)
f(0) = g(0) = a > 0 y
f(0) = g(0) = 0
y
f (0) = g (0),
o
f (0) = g (0) = b > 0.
Entonces, si x0 > 0 es el primer cero positivo de la función f, se cumple
que f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ (0, x0 ].
Por otra parte, el hecho de que una superficie riemanniana (M2 , g) admita un grupo uniparamétrico de isometrías, equivale básicamente a que
exista, al menos localmente en un entorno de cada uno de sus puntos, una
parametrización semigeodésica φ : Ω −→ M2 , siendo Ω un abierto de R2 ,
para la cual la función G, que determina la métrica, sólo dependa del parámetro u.
Ello se debe a que si {φv : M2 −→ M2 , v ∈ R} es un grupo uniparamétrico de isometrías de M2 , y para un punto p ∈ M2 consideramos la
curva determinada por la órbita de dicho punto Γ = {φv (p) ∈ M2 , v ∈ R},
entonces para la parametrización en coordenadas semigeodésicas sobre la
curva Γ, la métrica g, que toma una expresión del tipo (1.7), cumple que la
función G solo depende del parámetro u. Recíprocamente si la superficie
admite una parametrización φ para la cual la métrica g es del tipo (1.7) y
además cumple que G solo depende del parámetro u, entonces podemos
definir una familia de isometrías {φv0 , v0 ∈ R} sobre la superficie mediante
φv0 (φ(u, v)) = φ(u, v + v0 )
(1.14)
que constituyen un grupo uniparamétrico de isometrías.
1.4.
Espacios producto M2 × R.
Superficies en espacios producto M2 × R.
Un espacio producto del tipo M2 × R está formado por una superficie
riemanniana (M2 , g), que llamaremos base, y la recta real con la métrica
estándar (R, dt 2 ), que llamaremos fibra. Si consideramos las proyecciones
πb : M2 × R −→ M2 sobre la base y πf : M2 × R −→ R sobre la fibra,
37
Capítulo 1. Preliminares.
entonces sobre la variedad producto M2 × R se establece una métrica
riemanniana , de la forma (véase [Ne2, 57]).
, = πb∗ (g) + πf∗ (dt 2 )
En una variedad riemanniana producto (M2 × R, , ) llamaremos sección
horizontal, M2 × {t} = πf−1 (t), a la preimagen por πf de un punto t de la
fibra. Llamaremos sección vertical, {p} × R = πb−1 (p), a la preimagen por
πb de un punto p de la base. En estas condiciones se verifica
1. Para cada t0 ∈ R, la aplicación πb restringida a M2 × {t0 } es una
isometría.
2. Para cada p0 ∈ M2 , la aplicación πf restringida a {p0 } × R es una
isometría.
3. Para cada (p0 , t0 ) ∈ M2 × R, la sección horizontal M2 × {t0 } y la
sección vertical {p} × R son ortogonales en (p0 , t0 ).
En adelante se omitirán las proyecciones cuando no exista ambigüedad.
Así pues escribiremos la métrica como , = g + dt 2 .
Conviene recordar que en un espacio producto M2 × R una curva es
geodésica si y solo si sus proyecciones sobre la base y sobre la fibra son
geodésicas. Por otra parte, dada una geodésica completa orientada γ en
M2 , llamaremos plano vertical al conjunto Π = γ × R, que es una superficie
totalmente geodésica e isométrica a R2 . En ocasiones llamaremos planos
horizontales a las secciones horizontales, las cuales son isométricas a M2
y totalmente geodésicas. Es un hecho bien conocido también que M2 × R es
una variedad de Hadamard si y solo si M2 es una superficie de Hadamard.
Enunciaremos a continuación un resultado ya conocido sobre las ecuaciones que debe cumplir cualquier superficie en los espacios producto del
tipo M2 × R.
Proposición 1.4.1 [Es, Lema 3.1.] Sea Σ ⊂ M2 × R una superficie conexa,
con endomorfismo de Weingarten A, siendo además ∇ la conexión riemanniana de la superficie y TA tensor de Codazzi asociado a A, definido
como
TA (X , Y ) = ∇X A(Y ) − ∇Y A(X ) − A([X , Y ]),
∀X , Y ∈ X(Σ)
38
Capítulo 1. Preliminares.
Consideremos la componente de ∂t , según el normal unitario a la superficie N, que será ν = N, ∂t , que llamaremos función ángulo, y sea h
la restricción sobre la superficie de la proyección sobre la fibra, que llamaremos función altura. Entonces se verificarán las siguientes ecuaciones
|∇h|2 + ν 2 = 1
∇X ∇h = ν A(X )
dν(X ) = − A(X ), ∇h
TA (X , Y ) = kg ν (Y , ∇hX − X , ∇hY )
KG = KE + kg ν
2
[E. de C odazzi]
[E. de Gauss]
(1.15)
donde KG es la curvatura intrínseca o de Gauss de la métrica de la inmersión de la superficie, KE su curvatura extrínseca, kg la curvatura de Gauss
de la base M2 en el punto π(p), proyección sobre la base del punto p ∈ Σ y
∇h el gradiente de la función altura respecto de la métrica inducida sobre
la superficie.
En los espacios producto M2 × R podemos definir de forma natural
la idea de grafo vertical. Veremos a continuación qué expresiones toman
en general la curvatura media y la curvatura extrínseca de las superficies inmersas en estos espacios producto M2 × R cuando están definidas
localmente como un grafo vertical.
Proposición 1.4.2 [Sp1, (2.25),(2.26)] Sea (M2 , g) una variedad riemanniana y Σ un superficie en las condiciones de la proposición anterior definida
localmente como un grafo u(x) sobre un abierto Ω ⊆ M2 . Entonces la función curvatura media H(x) de la superficie Σ, satisface la ecuación
∇u(x)
1
,
(1.16)
H(x) = div
2
(1 + |∇u(x)|2 )1/2
donde ∇ y div denotan el gradiente y la divergencia respecto de la métrica
sobre (M2 , g). Equivalentemente
H(x) =
2
1
gij ∇i ∇j u(x),
2 (1 + |∇u(x)|2 )1/2
x∈Ω
(1.17)
i,j=1
siendo ∇i las derivadas covariantes sobre (M2 , g) y gij la matriz inversa
de la métrica g.
39
Capítulo 1. Preliminares.
Análogamente, en las mismas condiciones, la curvatura extrínseca KE (x)
cumple la relación (ver [Gu] o [Sp2])
KE (x) =
det(∇i ∇j u(x))
,
det(g) (1 + |∇u(x)|2 )2
x ∈ Ω.
(1.18)
Espacios producto homogéneos M2 (c) × R.
Como ya hemos dicho, cuando la base M2 de un espacio producto
M × R es una superficie simplemente conexa de curvatura constante, el
teorema de Cartán nos asegura que salvo isometrías se trata de una superficie modelo de curvatura constante c, o bien de tipo hiperbólico H2 (c),
o el plano euclídeo R2 o bien una esfera euclídea S2 (c). De forma unificada
a estas superficies las designaremos por M2 (c).
2
Una variedad riemanniana (M, g) es homogénea cuando dados dos puntos cualesquiera p, q ∈ M, existe una isometría F : M −→ M, tal que
F (p) = q. Las variedades riemannianas producto M2 (c) × R cumplen esta
propiedad de homogeneidad, pues basta componer una translación vertical
y otra horizontal para obtener la isometría deseada. Por este motivo se les
llama espacios producto homogéneos 3-dimensionales.
Por otra parte, cuando el espacio ambiente es un espacio producto homogéneo M2 (c) × R, las ecuaciones establecidas en la Proposición 1.4.1
para una superficie Σ, son de hecho las ecuaciones de integrabilidad de
dicha superficie (véanse [Da] y [FM]).
Recordaremos a continuación cual es la expresión de las geodésicas en
estos espacios ambiente.
Geodésicas en los espacios producto homogéneos.
Como caso particular de lo establecido para los espacios producto M2 ×
R en general, en los espacios producto homogéneos M2 (c) × R una curva
es geodésica si y solo si sus proyecciones son geodésicas sobre M2 (c) y
sobre R respectivamente. Así pues, como las geodésicas de M2 (c) y de R
son conocidas, podemos establecer las geodésicas de M2 (c) × R mediante
el siguiente resultado conocido, que puede encontrarse en [Es].
40
Capítulo 1. Preliminares.
2
Proposición 1.4.3 Para cada
punto p = (p0 , t0 ) ∈ M (c) × R, y para cada
vector ν0 = (v0 , r0 ) ∈ T(p0 ,t0 ) M2 (c) × R , denotaremos por γ(p,ν0 ) a la única
geodésica de M2 (c) × R que cumple
γ(p,ν0 ) (0) = (p0 , t0 )
y
γ(p,ν0 ) (0) = ν0
verificándose:
1o Si c < 0
√
senh ( −c|v0 |t)
√
v0 , t0 + t r0
γ(p,ν0 ) (t) = cosh( −c|v0 |t) p0 +
−c|v0 |
γ(p,ν0 ) (t) = (p0 , t0 + t r0 ), ∀t ∈ R.
+ 0
si |v0 | =
si |v0 | = 0
√
2o Si c > 0
√
√
sen ( c|v0 |t)
√
v0 , t0 + t r0
γ(p,ν0 ) (t) = cos( c|v0 |t) p0 +
c|v0 |
γ(p,ν0 ) (t) = (p0 , t0 + t r0 ), ∀t ∈ R.
si |v0 | =
+ 0
si |v0 | = 0
3o Si c = 0, entonces γ(p,ν0 ) (t) = p + t ν0 , que es la recta de R3 determinada por el punto p y el vector ν0 .
Principio del máximo y de comparación.
En los espacios producto M2 × R podemos utilizar el principio del máximo y de comparación para los operadores curvatura media, curvatura extrínseca y curvatura de Gauss cuando la curvatura extrínseca es positiva.
En este sentido veremos algunas definiciones y resultados básicos sobre
estos operadores diferenciales, introduciremos el principio del máximo de
Hopf (véase [Ho]), y el principio de comparación. Sobre estos temas se
puede encontrar un desarrollo más extenso en [Ev] o en [GT].
Definición 1.4.1 Sea L un operador diferencial de segundo orden definido
mediante la expresión
L≡
n
i,j=1
n
aij
∂2
∂
+
bi
+ c,
∂xi ∂xj
∂xi
i=1
41
Capítulo 1. Preliminares.
donde aij , bi y c son funciones reales de clase C ∞ , al que le asociamos la
forma cuadrática Q : Rn −→ R cuya matriz asociada es A = (aij ). Diremos
que el operador es lineal si c = 0. El operador L es de tipo elíptico si los
autovalores de la matriz A son todos positivos, de tipo uniformemente elíptico si dichos autovalores están acotados inferiormente por una constante
positiva, de tipo hiperbólico si los autovalores son todos no nulos, pero existen autovalores de signos opuestos, y diremos que es de tipo parabólico si
algún autovalor se anula.
Teorema 1.4.1 (Principio del máximo interior de Hopf) Si L es un operador diferencial uniformemente elíptico en un dominio Ω ⊂ Rn . Supongamos
que L(u) ≥ 0 para una función u ∈ C2 (Ω), verificándose una de las siguientes condiciones:
1. Si c = 0 y u alcanza su máximo en Ω.
2. Si c ≤ 0, u alcanza su máximo en Ω y dicho máximo es no negativo.
Entonces la función u es constante sobre Ω.
Teorema 1.4.2 (Principio del máximo en la frontera de Hopf) Si L es un
operador diferencial uniformemente elíptico en un dominio Ω ⊂ Rn , con
frontera ∂Ω dos veces diferenciable y sea η es el vector normal interior de
∂Ω. Sea x0 ∈ ∂Ω cumpliendo:
1. u es de clase C1 en x0 .
2. u(x0 ) ≥ u(x),
3.
∂u
∂η (x0 )
∀x ∈ Ω.
= 0.
4. Se cumple que, o bien c = 0, o bien c ≤ 0 y u(x0 ) ≥ 0.
Entonces la función u es constante sobre Ω.
Para una superficie definida como un grafo en M2 × R el operador curvatura media dado por (1.16) o (1.17), y el operador curvatura extrínseca
dado mediante (1.18) cuando la curvatura extrínseca es positiva, son operadores uniformemente elípticos para los que se verifican el principio de
máximo interior y en la frontera de Hopf.
Punto de tangencia interior Dos superficies Σ1 y Σ2 , definidas como
grafos en M2 × R por las funciones u1 y u2 de al menos clase dos sobre un dominio Ω ⊆ M2 , diremos que tienen en p ∈ Σ1 ∩ Σ2 un punto de
tangencia interior, si tienen el mismo vector normal unitario en dicho punto.
42
Capítulo 1. Preliminares.
Punto de tangencia en la frontera Dos superficies Σ1 y Σ2 , con borde ∂Σ1 y ∂Σ2 diferenciable, y definidas en M2 × R como grafos por las
funciones u1 y u2 de al menos clase dos sobre Ω ⊆ M2 , diremos que tienen en p ∈ ∂Σ1 ∩ ∂Σ2 un punto de tangencia en la frontera, si tienen el
mismo vector normal unitario en el punto p y además los vectores η1 y η2
conormales interiores de ∂Σ1 y ∂Σ2 en p respectivamente, son coincidentes.
En las condiciones de las definiciones anteriores las superficies Σ1 y Σ2
estarán definidas, en un entorno del punto p de tangencia, sobre un cierto
abierto Ω, como los grafos de dos funciones u1 y u2 . Así, diremos que Σ1
está por encima de Σ2 si u1 ≥ u2 , y lo representaremos por Σ1 ≥ Σ2 .
El principio del máximo de Hopf aplicado a la diferencia de dos funciones u1 y u2 que sean soluciones de (1.16) permite obtener los siguientes
principios de comparación.
Proposición 1.4.4 (Principio de comparación interior) Sean Σ1 y Σ2 dos
superficies en M2 × R con curvaturas medias H1 y H2 respectivamente.
Supongamos que H1 ≥ H2 y que existe un punto p ∈ Σ1 ∩ Σ2 tal que
Σ1 ≤ Σ2 en p. Entonces existe un entorno Ω de p en M2 × R tal que
Σ1 ∩ Ω = Σ2 ∩ Ω.
Proposición 1.4.5 (Principio de comparación en la frontera) Sean Σ1 y Σ2
superficies con borde en M2 × R con curvaturas medias H1 y H2 respectivamente. Supongamos que H1 ≥ H2 y que existe un punto p ∈ ∂Σ1 ∩ ∂Σ2
tal que Σ1 ≤ Σ2 en p. Entonces Σ1 y Σ2 coinciden en un entorno de p.
Análogamente se pueden enunciar resultados similares en M2 × R para
el operador curvatura extrínseca cuando la curvatura extrínseca es positiva,
así como para el operador curvatura de Gauss cuando la curvatura extrínseca es positiva.
Fórmula de equilibrio en M2 × R.
Enunciaremos a continuación varios resultados sobre superficies de curvatura media constante en M2 × R, entre ellos el conocido como Fórmula de
equilibrio (ver [HLR]), que usaremos en la demostración del teorema 3.3.7.
(véanse en [BE, Apéndice A] y [NEST, Lema 2.1] las versiones para el caso
H2 × R).
43
Capítulo 1. Preliminares.
Recordaremos en primer lugar que si ψ : Σ −→ M2 × R es una inmersión isométrica de una superficie Σ en una variedad riemanniana M2 × R
→
−
tridimensional, con campo de vectores normales unitarios N , el Laplaciano
de la inmersión cumple que
→
−
Δψ = 2 H ,
→
−
→
−
→
−
donde H es el vector curvatura media de Σ, es decir H = H N , que no
→ −
−
→
depende del vector normal elegido. En este caso tenemos que H = H , N .
→
−
Además si consideraremos n = N , ∂t , entonces se cumple el siguiente
resultado.
Proposición 1.4.6 [HLR, (5)] Sea Σ una superficie inmersa en el espacio
producto (M2 × R, , ), denotemos por hΣ la restricción de la función altura
de M2 ×R sobre la superficie Σ, sea ΔΣ hΣ el laplaciano no negativo respecto
→
−
de la métrica inducida en Σ y H el vector curvatura media de Σ. Entonces
se verifica que
→
−
ΔΣ hΣ = 2 H , ∂t = 2 H n.
Por otra parte tomando el campo Y = ∂t en [HLR, Proposición 3] se
obtiene el siguiente resultado al que se hará referencia en el Capítulo 3.
Proposición 1.4.7 [Fórmula de Equilibrio para H-superficies] Sea U un dominio acotado en M2 × R cuyo borde ∂U es una superficie compacta, que
está formado por la unión de la superficie Σ de curvatura media constante
H0 , y una cantidad finita de superficies conexas Q diferenciables excepto quizá sobre ∂Q = ∂Σ. Consideremos el campo de vectores η conormal
→
a Σ a lo largo de ∂Σ, −
n un campo de vectores normales unitarios sobre
→
−
∂U = Σ ∪ Q apuntando hacia el exterior de U y −
n→
Q la restricción de n
sobre Q. Entonces para el campo ∂t sobre M2 × R se verifica
∂t , η + H0
∂t , −
n→
Q = 0.
∂Σ
Q
44
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Capítulo 2
Grafos invariantes en M2 × R para un grupo
uniparamétrico de isometrías.
2.1.
Curvaturas de grafos en M2 × R.
Veamos a continuación que expresiones adquieren las curvaturas principales de un grafo cuando sobre la superficie base tomamos parámetros
semigeodésicos y la función altura del grafo solo depende del parámetro
u. De hecho, estableceremos un resultado más general cuando tomamos
sobre la base una métrica alabeada.
Proposición 2.1.1 Sea (M2 , g) una variedad riemanniana, φ : Ω −→ M2
una parametrización local semigeodésica y sobre φ(Ω) × R ⊆ M2 × R
consideremos la métrica alabeada definida mediante
f(u, t) > 0.
(2.1)
, = f(u, t) du2 + G(u, v) dv 2 + dt 2 ,
Entonces la superficie Σ, con normal unitario N apuntando hacia arriba,
definida como un grafo mediante la inmersión ψ : Ω −→ M2 × R con
ψ(u, v) = (φ(u, v), h(u)), donde h ∈ C∞ (M2 ) es una función real que solo
depende del parámetro u, cumple que sus curvaturas principales son
−fu h (u) − 2 h (u)2 ft − f ft + 2 f h (u)
,
2 (f + h (u)2 ) f(f + h (u)2 )
1
fu Gu ) h (u) − ft .
k2 = ( +
f
G
2 f (f + h (u)2 )
k1 =
Victorino Lozano Cabrero
(2.2)
45
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
la conexión de Levi-Civita de (M2 × R, , ),
Prueba: Si denotamos por ∇
mediante un cálculo directo se obtiene:
∂ ∂u , ∂u = fu ,
∂ ∂u , ∂v = 0,
∂ ∂u , ∂t = −ft ,
∇
∇
∇
u
u
u
2
2
∂ ∂v , ∂u = 0,
∂ ∂v , ∂v = (fG)u ,
∂ ∂v , ∂t = 0,
∇
∇
∇
u
u
u
2
∂ ∂t , ∂u = ft ,
∂ ∂t , ∂v = 0,
∂ ∂t , ∂t = 0,
∇
∇
∇
u
u
u
2
−(fG)
fG
u
∂ ∂v , ∂u =
∂ ∂v , ∂v = v ,
∂ ∂v , ∂t = −ft G ,
∇
∇
∇
v
v
v
2 ,
2
2
∂ ∂t , ∂u = 0,
∂ ∂t , ∂v = ft G ,
∂ ∂t , ∂t = 0,
∇
∇
∇
v
v
v
2
∂ ∂t , ∂u = 0,
∂ ∂t , ∂v = 0,
∂ ∂t , ∂t = 0,
∇
∇
∇
t
t
t
(2.3)
donde {∂u , ∂v , ∂t } es la base de campos coordenados de X(M2 × R).
Consideremos ahora el grafo vertical ψ(u, v) = (φ(u, v), h(u)) en M2 × R,
cuya función altura h(u) solo depende de u. Denotaremos por {∂u , ∂v } la
base de campos coordenados de X(Σ). Entonces se verifica
∂u = ∂u + h (u) ∂t ,
∂v = ∂v ,
y la métrica inducida sobre el grafo es
I = (f(u, t) + h (u)2 ) du2 + f(u, t) G(u, v) dv 2 .
Por lo tanto, el vector normal unitario del grafo que apunta hacia arriba,
es decir cumpliendo N, ∂t > 0, está determinado por
1
N=
(−h (u) ∂u + f ∂t ).
f (f + h (u)2 )
Por otra parte,
(∂u + h (u)∂t ) = ∇
∂u + h (u)∂t + h (u)∇
∂t
∂u = ∇
∇
∂u
∂u
∂u
∂u
∂ ∂u + h (u)∇
∂ ∂u + h (u)∂t + h (u)(∇
∂ ∂t + h (u)∇
∂ ∂t ),
=∇
u
t
u
t
∂v = ∇
∂u = ∇
∂ ∂u + h (u)∇
∂ ∂t ,
∇
v
v
∂u
∂v
∂v = ∇
∂ ∂v .
∇
v
∂v
(2.4)
Por tanto, de (2.3) y (2.4), la segunda forma fundamental es
1
1
1
2
∇∂u ∂u , N = − fu h (u) − h (u) ft − f ft + fh (u) ,
2
2
f(f + h (u)2 )
∂v , N = 0,
∇
∂u
1
∂v , N = ∇
∂v
f(f + h (u)2 )
1
1
(fu G + fGu )h (u) − f ft G .
2
2
46
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
En particular, las curvas coordenadas son líneas de curvatura del grafo
y las curvaturas principales estarán dadas por (2.2).
Un caso de especial importancia, que centrará el estudio que se desarrolla en esta memoria, se da cuando la función f que interviene en la
métrica alabeada que hemos utilizado sea idénticamente igual a 1. En esta situación conviene concretar los resultados obtenidos, en el siguiente
corolario.
Corolario 2.1.1 En las condiciones de la Proposición 2.1.1, si f(u, t) = 1,
entonces la primera y segunda forma fundamental de la inmersión están
dadas por
I = (1 + h (u)2 ) du2 + G(u, v) dv 2 .
1
h (u) Gu 2
II = h (u) du2 +
dv .
2
1 + h (u)2
Además la función ángulo ν := N, ∂t , y el gradiente de la función
altura ∇h para la métrica inducida sobre el grafo son
1
ν=
,
1 + h (u)2
∇h =
h (u)
∂u .
1 + h (u)2
(2.5)
Las curvaturas principales vienen dadas por
h (u)
k1 =
,
(1 + h (u)2 )3/2
k2 =
h (u)
Gu
.
2
1/2
(1 + h (u) ) 2G
(2.6)
Por último la curvatura media, la curvatura extrínseca y la curvatura de
Gauss son:
1
Gu
h (u)
H =
+ h (u)
,
(2.7)
2G
2 1 + h (u)2 1 + h (u)2
KE
KG
h (u) h (u) Gu
,
(1 + h (u)2 )2 2G
√
( G)uu 2
ν + KE .
= − √
G
=
(2.8)
[Ecuación de Gauss].
(2.9)
47
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Como consecuencia directa de estas fórmulas, estableceremos a continuación un primer resultado de comparación para grafos, definidos en dos
espacios producto M21 × R y M22 × R en los que hemos considerado parámetros semigeodésicos sobre un mismo conjunto abierto Ω de R2 , y cuya
función altura coincida.
Proposición 2.1.2 Sean (M21 , g1 ) y (M22 , g2 ) dos superficies riemannianas,
Ω un conjunto abierto de R2 , φi : Ω −→ M2i , con i = 1, 2, dos parametrizaciones tales que
gi = du2 + G i (u, v) dv 2 ,
(u, v) ∈ Ω,
y tomemos en φi (Ω) × R ⊆ M2i × R las métricas g∗i = gi + dt 2 , i = 1, 2.
Sean ψi : Ω −→ M2i × R las inmersiones de dos grafos Σ1 y Σ2 definidas
mediante ψi (u, v) = (φi (u, v), h(u)) sobre un mismo conjunto abierto Ω de
R2 . Si Hi , Kei , Kgi son la curvatura media, la curvatura extrínseca y la
curvatura de Gauss de ambos grafos, Kbi las curvaturas de Gauss de las
superficies (M2i , gi ) y χi = χi (u0 , v) las curvaturas geodésicas de las curvas
coordenadas βi (v) = φi (u0 , v) en M2i , entonces se cumple que
ν H1 − H2 =
(2.10)
h (u) (χ1 − χ2 ),
2
(ν 2 )
Ke1 − Ke2 = −
(2.11)
(χ1 − χ2 ) = k1 ν h (u) (χ1 − χ2 ),
2
(ν 2 )
Kg1 − Kg2 = −
(2.12)
(χ1 − χ2 ) + ν 2 (Kb1 − Kb2 ).
2
Prueba: Observemos en primer lugar que el gradiente de la función altura
y la función ángulo de ambos grafos coinciden y solo dependen del parámetro u de acuerdo con la Proposición 2.1.1. Recordemos también que
la curvatura geodésica de las curvas coordenadas βi (v) en cada superficie (M2i , gi ) viene dada por (1.9). Aplicando entonces la Proposición 2.1.1 y
mediante un cálculo directo se concluyen los resultados.
2.2.
Grafos con curvaturas prefijadas
2.2.1. Grafos con curvatura media prefijada.
Estamos en condiciones de establecer algunos resultados cuando en el
espacio ambiente M2 × R existe un grupo uniparamétrico de isometrías
48
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
para grafos con curvatura media prefijada invariantes para dicho grupo. En
este caso, como ya hemos visto, la función altura del grafo h y la función
G que determina la métrica dependerán únicamente del parámetro u.
Proposición 2.2.1 (Grafos con curvatura media prefijada) Consideremos
un dominio Ω ⊆ M2 en el que hemos definido unos parámetros semigeodésicos (u, v), para los cuales la métrica de (M2 ×R, , ) se expresa localmente
como
, = du2 + G(u) dv 2 + dt 2 .
Consideremos un intervalo I ⊆ R, u1 ∈ I y una función real diferenciable
H0 (u) definida en dicho intervalo, cumpliendo la condición
G(u) >
u
2
H0 (ζ)
2
G(ζ) dζ
,
∀u ∈ I.
(2.13)
u1
Entonces, para u2 ∈ I, el grafo vertical en M2 × R cuya función altura h(u)
está definida por
u
u
Θ(ζ)
2
h(u) =
H0 (ζ) G(ζ) dζ,
dζ, con Θ(u) = G(u) u1
1 − Θ2 (ζ)
u2
(2.14)
y u ∈ I, tiene curvatura media H0 (u), y es invariante para el grupo uniparamétrico de isometrías de M2 × R definidas mediante (1.14). Además en
estas condiciones las curvaturas principales de dicho grafo son
u
G (u)
H0 (u) G(ζ) dζ,
k1 = 2H0 (u) −
3/2
(G(u))
u1
u
G (u)
k2 =
H0 (u) G(ζ) dζ.
(G(u))3/2 u1
Prueba: La curvatura media de un grafo cuya función altura h(u) solo dependa del parámetro u es, de acuerdo con el Corolario 2.1.1,
h (u)
1
Gu
H0 (u) = + h (u)
.
2G
2 1 + h (u)2 1 + h (u)2
Entonces para un grafo de dicho tipo con curvatura media H0 (u) tendremos
1
h (u)
Gu
+ h (u)
(2.15)
= 2 H0 (u).
2G
1 + h (u)2 1 + h (u)2
49
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Tomemos ahora la función Θ(u) definida como
Θ(u) = h (u)
1 + h (u)2
,
(2.16)
que estará siempre definida, y que cumple
1
G
h (u)
u
+
h
(u)
G(u).
Θ(u) G(u) = 2G
u
1 + h (u)2 1 + h (u)2
Entonces la expresión (2.15) la podemos escribir en la forma
Θ(u) G(u) = 2 H0 (u) G(u).
u
De donde obtenemos que
Θ(u) = 2
G(u)
u
H0 (ζ)
G(ζ) dζ.
u1
Por otra parte a partir de (2.16) podemos expresar
u
Θ(ζ)
h(u) =
dζ.
1 − Θ2 (ζ)
u2
Por último, las expresiones de las curvaturas principales se obtienen mediante un cálculo directo a partir de (2.14).
Las superficies y grafos de curvatura media constante H0 se denominan
también H0 -superficies o H0 -grafos. La misma nomenclatura utilizaremos
para el caso de curvatura de Gauss constante o curvatura extrínseca constante. Enunciaremos a continuación algunas consecuencias del resultado
anterior.
Corolario 2.2.1 (Grafos minimales) De (2.7) tenemos que la ecuación diferencial que cumplirá la función altura h de los grafos minimales en M2 × R
cuando las funciones h y G solo dependan del parámetro u es
2 h (u) + h (u) (1 + h (u)2 )
Gu
= 0.
G
En este caso, la función altura h(u) de un grafo minimal en M2 × R vendrá
dada, por
u
d
dξ,
(2.17)
h(u) =
G(ξ) − d2
u0
50
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
siendo d una constante real y, u0 y u valores del parámetro tales que se
verifique: G(ξ) > d2 ∀ξ ∈ [u0 , u].
Por otra parte, de la Proposición 2.2.1 podemos deducir, de forma alternativa, algunas propiedades ya conocidas.
Corolario 2.2.2 En M2 × R con la métrica , = du2 + G(u) dv 2 + dt 2 ,
consideremos un bigrafo vertical compacto Σ invariante por el grupo de
isometrías asociado a la métrica dada, con curvatura media constante H0 ,
con función altura h(u), definida sobre un intervalo I ⊂ R. Entonces existirán u1 , u2 ∈ I, para los cuales se cumplirá que
G(u2 )
.
(2.18)
2 H0 = u2 G(ξ) dξ
u1
Prueba: De la Proposición 2.2.1 existen c1 ∈ R y u0 ∈ I tales que
u +
2
H
G(ξ) dξ
c
1
0
u
0
h (u) = !
2 .
u G(u) − C1 + 2 H0 u0 G(ξ) dξ
(2.19)
Si el bigrafo es compacto entonces existirán valores u1 , u2 ∈ I para los
cuales los vectores normales a la superficie, para un cierto valor v0 , serán respectivamente N(u1 , v0 ) = (0, 0, 1) y N(u2 , v0 )⊥N(u1 , v0 ). Para dichos
valores se deberán cumplirse las condiciones
u1 G(ξ) dξ = 0,
c1 + 2 H 0
G(u2 ) − c1 + 2 H0
u0
u2 2
G(ξ) dξ
= 0.
u0
De las expresiones anteriores obtenemos que
2
u1
u2 2
G(ξ) dξ +
G(ξ) dξ
= 0,
G(u2 ) − 4 H0 −
u0
u0
o equivalentemente
G(u2 ) =
4 H02
u2
G(ξ) dξ
2
,
u1
de donde se concluye el resultado.
51
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Como consecuencia inmediata del corolario anterior tendremos.
Corolario 2.2.3 En M2 (c) × R con c < 0, no existen bigrafos compactos
√
con función altura del tipo h(u) y curvatura media constante H0 ≤ 2−c .
√
Prueba: Basta sustituir la función G(u) = senh ( −c u) en (2.18) y analizar
para qué valores de H0 no se puede alcanzar la igualdad.
Corolario 2.2.4 En las condiciones de la Proposición 2.2.1 para que un
grafo invariante por rotaciones alrededor del eje oz, de curvatura media
constante H0 , sea entero es necesario que se cumpla
G(u)
∀u ∈ [0, +∞).
(2.20)
H0 ≤
u
2 0 G(ξ) dξ
Prueba: Al ser un grafo invariante por rotaciones se cumplirá que h (0) = 0,
es decir N(0) = (0, 0, 1), con lo cual como
h (u) = Θ(u)
= 0,
1 − Θ(u)
entonces Θ(0) = 0, de donde tenemos que en (2.19) se cumple
0
c1 = 2 H0
G(ξ) dξ,
u1
y por lo tanto (2.19) se escribe como
u
2 H0 0 G(ξ) dξ
h (u) = !
2 .
u
G(u) − 2 H0 0 G(ξ) dξ
Por otra parte como la función h (u) debe tomar valores reales en
[0, +∞), el radical debe ser real, con lo cual deberá cumplirse
G(u) − 2 H0
u
G(ξ) dξ
2
≥ 0,
0
de donde se obtiene el resultado.
52
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
√
Corolario 2.2.5 En M2 (c) × R con c < 0 y G(u) = senh 2 ( −c u), tenemos
que
#
" √
√
√
G(u)
−c senh ( −c u)
√
= inf
inf
= −c.
u
(cosh( −c u) − 1)
G(ξ) dξ
0
Por lo tanto para que se verifique la condición (2.20) del corolario anterior deberá cumplirse
√
−c
.
H0 ≤
2
El siguiente resultado proporciona una perspectiva diferente de la Proposición 2.2.1. Si en un espacio ambiente del tipo M2 × R en el que tomamos unos parámetros (u, v, t), consideramos una superficie determinada
mediante un grafo vertical cuya función altura solo depende del parámetro u y fijamos una función real de variable real H0 (u) cumpliendo ciertas
condiciones, podemos dotar al espacio ambiente de una métrica respecto
de los parámetros (u, v, t) de forma que la curvatura media de la superficie
con respecto a dicha métrica sea H0 (u).
Proposición 2.2.2 Consideremos en M2 ×R unos parámetros locales (u, v, t)
y una superficie Σ definida mediante el grafo vertical determinado por la
parametrización ψ(u, v) = (φ(u, v), h(u)), u ∈ J, v ∈ I, donde J e I son
dos intervalos reales, φ(u, v) una parametrización de la base M2 , y cuya
función altura h(u) sea derivable y con derivada no nula en el intervalo J.
Sea H0 (u) una función diferenciable en el intervalo J, y definamos
G(u) =
2
u
c0 Ω(u) exp
2 H0 (ζ) Ω(ζ) dζ
u∈J
(2.21)
u0
para un cierto u0 ∈ J y para una constante no nula c0 ∈ R, siendo
Ω(u) =
(1 + h (u)2 )1/2
h (u)
u ∈ J.
Entonces la expresión
, = du2 + G(u) dv 2 + dt 2 ,
(2.22)
define localmente una métrica sobre M2 × R para la cual el grafo vertical
Σ tendrá curvatura media H0 (u).
53
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Prueba: Es claro que (2.21) garantiza que (2.22) define una métrica localmente sobre M2 × R. Por otra parte, como la curvatura media de un
grafo vertical cuya función altura h(u) solo dependa del parámetro u es, de
acuerdo con (2.7),
G
h (u)
1
u
+ h (u)
.
H= 2G
2 1 + h (u)2 1 + h (u)2
Entonces la ecuación diferencial para un grafo de este tipo, de curvatura
media H0 (u), será
h (u)
(1 + h (u)2 )1/2
Gu
(u)
=
2
H
.
+
0
h (u)
h (u)(1 + h (u)2 ) 2G
(2.23)
Integrando ambos miembros de (2.23) obtenemos que se cumplirá la relación
u
(1 + h (u)2 )1/2
2 H0 (ζ) (1 + h (ζ)2 )1/2
G(u) =
exp
dζ
u0 , u ∈ J.
h (u)
h (ζ)
u0
Tomemos ahora la función
Ω(u) =
(1 + h (u)2 )1/2
h (u)
u ∈ J,
que está definida siempre que h (u) += 0. Entonces, para c0 ∈ R, podremos
escribir
u
G(u) = c0 Ω(u) exp
2 H0 Ω(ζ) dζ ,
u0
Así para la métrica definida por (2.22) tendremos que la curvatura media
del grafo determinado por la función h será, por construcción de la métrica
y aplicando el Corolario 2.1.1, H0 (u). También se obtienen sus curvaturas
principales que son
k1 =
h (u)
,
(1 + h (u)2 )3/2
k2 = 2 H0 (u) −
h (u)
.
(1 + h (u)2 )3/2
2.2.2. Grafos con curvatura extrínseca prefijada.
Estableceremos ahora algunos resultados sobre grafos con curvatura
extrínseca prefijada, para el caso en que las funciones G y h dependan solo
del parámetro u, es decir, sean invariantes para un grupo uniparamétrico
de isometrías del espacio ambiente.
54
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Proposición 2.2.3 (Grafos con curvatura extrínseca prefijada) Consideremos sobre M2 unos parámetros locales (u, v) para los cuales la métrica de
(M2 × R, , ) se escriba como
, = du2 + G(u) dv 2 + dt 2 .
Sea Ke (u) una función diferenciable definida sobre un intervalo I ⊂ R.
Entonces el grafo vertical cuya función altura h(u) está definida por
u$
u
1 + Φ(ζ)
2 G(ζ)
−
h(u) =
dζ, con Φ(u) = 2
Ke (ζ) dζ,
Φ(ζ)
u2
u1 G (ζ)
tiene curvatura extrínseca Ke (u), siempre que esté bien definido, siendo sus
curvaturas principales en dicho caso
k1 =
T (u)
Ke (u) T (u)
2 T (ζ)
T (ζ)
Ke (ζ) dζ
1+2
2 T (ζ)
T (ζ)
Ke (ζ) dζ
T (u)
k2 =
,
1+2
T (u)
,
con T (u) = G(u). Además el grafo es invariante para el grupo uniparamétrico de isometrías de M2 × R definidas mediante (1.14).
Prueba: La ecuación diferencial de un grafo de curvatura extrínseca Ke (u)
cuya función altura h solo dependa de u es, según hemos visto en el Corolario 2.1.1
h (u) h (u) Gu
,
Ke (u) =
(1 + h (u)2 )2 2G
que podemos expresar como
h (u) h (u)
2 Ke (u) G
=
.
Gu
(1 + h (u)2 )2
(2.24)
Integrando ambos miembros obtenemos
1
2 G(u)
−
Ke (u) du,
=
2
G (u)
2 (1 + h (u) )
de donde se obtiene el resultado enunciado. Observemos que la función
T (u) está bien definida ya que G(u) ≥ 0 por ser , una métrica.
55
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Análogamente al caso de curvatura media prefijada, si en un espacio
ambiente del tipo M2 × R en el que tomamos unos parámetros (u, v, t),
consideramos una superficie determinada mediante un grafo vertical cuya
función altura solo depende del parámetro u y fijamos una función real
de variable real K0 (u) cumpliendo ciertas condiciones, podemos dotar al
espacio ambiente de una métrica respecto de los parámetros (u, v, t) de
forma que la curvatura extrínseca de la superficie con respecto a dicha
métrica sea K0 (u).
Proposición 2.2.4 Consideremos en M2 ×R unos parámetros locales (u, v, t)
y una superficie Σ definida mediante el grafo vertical determinado por la
parametrización ψ(u, v) = (φ(u, v), h(u)), u ∈ J, v ∈ I, donde J e I son dos
intervalos reales, φ(u, v) una parametrización de la base M2 , y cuya función altura h(u) sea dos veces derivable y con derivadas primera y segunda
no nulas en el intervalo J. Sea K0 (u) una función continua en el intervalo
J, y definamos
u
2
(1 + h (ζ)2 )2
G(u) = c0 exp
K0 (ζ) u∈J
(2.25)
dζ
h (ζ) h (ζ)
u0
para un cierto u0 ∈ J y para una constante no nula c0 ∈ R. Entonces la
expresión
(2.26)
, = du2 + G(u) dv 2 + dt 2 ,
define localmente una métrica sobre M2 × R para la cual el grafo vertical
Σ tendrá curvatura extrínseca K0 (u).
Prueba: De la definición (2.25) es inmediato que (2.26) define una métrica.
La construcción de la misma, que se obtiene a partir de (2.24), garantiza
que la curvatura extrínseca sea el valor prefijado K0 (u). Además aplicando
el Corolario 2.1.1, obtenemos que sus curvaturas principales son
k1 =
h (u)
,
(1 + h (u)2 )3/2
k2 = K0 (u)
(1 + h (u)2 )3/2
.
h (u)
2.2.3. Grafos con curvatura de Gauss prefijada.
Al igual que en las secciones anteriores, veremos a continuación un resultado sobre grafos con curvatura de Gauss prefijada, para el caso en que
las funciones G y h dependan solo del parámetro u, es decir, sean invariantes para un grupo uniparamétrico de isometrías del espacio ambiente.
56
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Proposición 2.2.5 ( Grafos con curvatura de Gauss prefijada) Consideremos sobre M2 unos parámetros locales (u, v) para los cuales la métrica de
(M2 × R, , ) se escriba como
, = du2 + G(u) dv 2 + dt 2 .
Sea Kg (u) una función diferenciable definida sobre un intervalo I ⊂ R.
Entonces el grafo vertical cuya función altura h(u) está definida por
u$
u
G (ζ)2
−
KG (ζ) G (ζ) dζ,
h(u) =
− 1 dζ, con Ω(u) =
4
G(ζ)
Ω(ζ)
u1
u2
con u1 , u2 ∈ I, tiene curvatura de Gauss Kg (u) siempre que esté bien
definido, es decir, cuando
−
G (u)2
≤ Ω(u) < 0
4 G(u)
∀u ∈ I
Prueba: De acuerdo con (1.13) y con el Corolario 2.1.1, la curvatura de
Gauss de un grafo vertical, determinado por la función altura h(u), está
dada por
%
&
G (u)
h (u) h (u) G (u)
G (u) 2
1
.
+
−
Kg (u) =
2 G(u) u
2 G(u)
(1 + h (u)2 )2 2 G(u) 1 + h (u)2
Definimos las funciones
Φ(u) =
1
1 + h (u)2
y
G ∗ (u) =
G (u)
.
2 G(u)
Obsérvese que están bien definidas puesto que G(u) define una métrica.
Entonces se cumple que
Φ (u) + A(u) Φ(u) + B(u) = 0
donde
A(u) = 2
Gu∗ (u)
∗
+ G (u)
G ∗ (u)
y
B(u) =
(2.27)
2 Kg (u)
.
G ∗ (u)
La ecuación (2.27) es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
cuya solución general viene dada por
'
u
*
Φ(u) = −exp{− A(u) du}
B(ζ) exp{ A(ζ) dζ} dζ .
(2.28)
u1
57
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Un cálculo directo nos permite obtener
G (u)2
,
exp{ A(u) du} =
4 G(u)
con lo cual sustituyendo en (2.28) tenemos que
4 G(u) u
Kg (ζ) G (ζ) dζ.
Φ(u) = − 2
G (u) u1
Teniendo en cuenta ahora la definición de Φ(u) nos queda
1 + h (u)2 = −
4 G(u)
G (u)2
,
Kg (ζ) G (ζ) dζ
u
u1
de donde se concluye el resultado.
2.3.
Fórmulas integrales para grafos con curvaturas
prefijadas.
La elección de unos parámetros semigeodésicos convenientes en los
espacios producto homogéneos M2 (c) × R nos asegurarán ahora que las
superficies obtenidas con curvaturas prefijadas sean invariantes mediante
un cierto grupo uniparamétrico de isometrías del espacio ambiente.
Por ejemplo, en H2 (c) × R, si tomamos coordenadas semigeodésicas polares obtendremos superficies rotacionales con curvaturas prefijadas. Tomando coordenadas semigeodésicas sobre horociclos las superficies obtenidas serán invariantes mediante las translaciones parabólicas o rotaciones
respecto de un punto del infinito. Utilizando coordenadas semigeodésicas
sobre geodésicas las superficies serán invariantes mediante translaciones
hiperbólicas.
2.3.1. Fórmulas integrales en H2 (c) × R.
Superficies minimales rotacionales. Consideremos el espacio hiperbólico H2 (c) mediante el modelo del disco de Poincaré en el que tomamos
58
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
coordenadas polares sobre un punto p ∈ H2 (c). De (1.4) y (2.17) podemos
obtener la función altura de los grafos minimales invariantes por rotaciones
u
d
dξ,
hd (u) =
√
2
senh ( −c ξ) − d2
u0
siendo d una constante real y u0 = √1−c arcsenh (d). Para esta familia
de superficies describiremos sus principales características en el siguiente
resultado (véase [NEST, Proposición 5.1.]).
Proposición 2.3.1 En H2 (c) × R para cada d ≥ 0 y c < 0 existe una
superficie minimal rotacional completa Md,c cuya curva generatriz está
determinada por
u
d
dξ,
(2.29)
hd (u) =
√
2
senh ( −c ξ) − d2
u0
La superficie M0,c es la sección horizontal {t = 0}. Para d > 0 la superficie rotacional llamada catenoide minimal es embebida y homeomorfa
a un anillo. La distancia entre el eje de rotación y el cuello de la catenoide
coincide con el valor u0 = √1−c arcsenh (d).
El borde en el infinito de Md,c es asintóticos a dos círculos situados
en ∂∞ (H2 (c) × R) a altura constante, y simétricos respecto de la sección
la distancia entre ambos círculos tiende a
horizontal H2 (c) × {0}. Además
√
cero cuando d → 0 y a π/ −c cuando d → ∞.
Figura 2.1: Catenoide minimal en H2 × R con c = -1 y d = 2.
59
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Un estudio detallado de esta familia de superficies de rotación, llamadas catenoides minimales puede verse en [NEST] y [NR2], para el caso en
que el espacio ambiente sea H2 × R.
√
Figura 2.2: Recta t = π/2 −c y funciones altura hd de las catenoides
minimales con c = -1 y valores de d = 0’25, 0’50, 1, 2 y 3.
√
Figura 2.3: Recta t = π/2 −c y funciones altura hd de las catenoides
minimales con c = -4 y valores de d = 0’25, 0’50, 1, 2 y 3.
Superficies minimales invariantes por translaciones hiperbólicas. Si
consideramos en M2 (c) × R con c < 0 unas coordenadas semigeodésicas
sobre una geodésica, como en el ejemplo 1.3.2, entonces la métrica será del
tipo
√
(2.30)
g = du2 + cosh2 ( −c u) dv 2
De (2.17) y (2.30) obtenemos la función altura de los grafos minimales
invariantes por translaciones hiperbólicas que será
u
d
dξ
hd (u) =
√
u0
cosh2 ( −c ξ) − d2
60
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
siendo d una constante real y u0 = máx{0, √1−c arccosh (d)}.
Estas superficies han sido estudiadas por Sa Earp y Toubiana en [ET1,
Proposición 2.1], en donde se describen sus principales características y se
establecen los resultados que enunciamos a continuación. El segundo de
ellos será generalizado en el teorema 3.3.6 del Capítulo 3.
Proposición 2.3.2 [ET1, Proposición 2.1] Sean q1 , q2 ∈ ∂∞ H2 (c) × {0}, dos
puntos del borde infinito de H2 (c) × R. Sea γ una geodésica completa
con borde {q1 , q2 }. Llamemos c1 (respectivamente c2 ) al arco cerrado en
∂∞ H2 (c) que une ambos puntos con orientación antihoraria. Entonces, para cada valor d > 0 y c < 0, existe una familia uniparamétrica Mhd,c de
superficies minimales completas propiamente embebidas e invariantes por
translaciones hiperbólicas a lo largo de γ, cuyas características son las
siguientes:
1. Si d >
√1 ,
−c
la superficie Mhd,c contiene a la curva γd equidistante de
γ en H2 (c)×{0} a distancia
√1
−c
arccosh(d) desde γ en la componente co-
nexa de H (c)\γ cuyo borde asintótico es c1 . Además es simétrica respecto
de la sección horizontal H2 (c) × {0} y la función altura, salvo translación
vertical, es
u
1
d
dξ, d > √ , u ≥ u0 .
hd (u) =
√
−c
u0
cosh2 ( −c ξ) − d2
2
con u0 =
√1
−c
arccosh(d).
2. Si d = √1−c , se obtienen las superficies minimales Mh1,c encontradas
por Abresch y Sa Earp, cuya función altura está dada, salvo translación
vertical, por
1
1√
−c u
, u > 0.
hd (u) = − √
ln tanh
2
−c
3 Si d < √1−c , la superficie Mhd,c es un grafo entero vertical sobre H2 (C )
y contiene a la geodésica γ × {0}. La función altura está definida como
u
1
d
hd (u) =
dξ, 0 < d < √ , u ≥ 0.
√
−c
0
cosh2 ( −c ξ) − d2
61
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Además ∂∞ Mhd,c es una curva de Jordan homóloga a cero en ∂∞ H2 (c).
Teorema 2.3.1 [ET1, Teorema 2.1] Sea γ ⊂ ∂∞ H2 × R un arco. Supongamos
que existe una recta vertical L ⊂ ∂∞ H2 × R y un subarco γ ⊆ γ tal que:
(1) γ ∩ L += ∅ y ∂γ ∩ L = ∅,
(2) γ se encuentra a un lado de L,
(3) γ ⊂ ∂∞ H2 × (t0 , t0 + π), para algún número real t0 .
Entonces no existe una superficie minimal propiamente inmersa (quizá
con borde finito), Σ ⊂ H2 × R, con final asintótico γ y tal que Σ ∪ γ sea
una superficie continua con borde.
Superficies de CMC invariantes por translaciones hiperbólicas. Utilizando (2.30) y la Proposición 2.2.1, la función altura de los grafos de
curvatura media constante H0 invariantes por translaciones hiperbólicas
está dada por
√
u
0
d + 2 √H−c
senh ( −c ξ)
dξ
h(u) =
√
√
0
u0
cosh2 ( −c ξ) − (d + 2 √H−c
senh ( −c ξ))2
donde u0 es el valor definido como
√
√
H0
senh ( −c ξ))2 ≥ 0}.
u0 = mín{ξ ∈ R, ξ ≥ 0 : cosh2 ( −c ξ) − (d + 2 √
−c
Superficies de CMC rotacionales. Por otra parte, utilizando la Proposición 2.2.1, (véase también [ET2] y [NEST]), en H2 (c) × R, se demuestra
que una superficie rotacional tiene curvatura media constante H0 si y solo
si la función altura, contenida en una sección vertical Γ = {(u, 0)} × R, que
generará la superficie por rotación, está dada por
√
u
0
d + 2 √H−c
cosh( −c ξ)
dξ
(2.31)
h(u) =
√
√
0
u0
senh 2 ( −c ξ) − (d + 2 √H−c
cosh( −c ξ))2
siendo d una constante real y donde u0 es el valor:
√
√
H0
cosh( −c ξ))2 ≥ 0}.
u0 = min{ξ ∈ R, ξ ≥ 0 : senh 2 ( −c ξ) − (d + 2 √
−c
62
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
En [NEST, Proposición 5.2 y 5.3] se prueban las principales características de estas superficies que, de forma resumida, se exponen a continuación
2
para espacios
√ ambiente H (c) × R y superficies de curvatura media constante H0 ≤ −c/2 en primer lugar.
√
con H0 ≤ −c/2) En el
Proposición 2.3.3 (H0 -superficies rotacionales √
espacio ambiente H2 (c) × R, para 0 < H0 ≤ −c/2, existe una familia
0
y de curvatura
uniparamétrica de superficies HH
d,c rotacionales, completas
√
media√constante H0 , con parámetro d ∈ R si H0 < −c/2 y d < 0 si
H0 = −c/2, verificándo:
√
1. Si d > −2 H0 / −c la superficie es un anillo propiamente embebido
0
{t = 0} y la distancia
HH
d,c simétrico respecto de la sección horizontal
√
√
2 d a+ 1−4 a2 +d2
mínima al eje de rotación es arcosh(
) cuando H0 < −c/2
1−4 a2
√
√
2
−c/2, con a = H0 / −c.
y arcosh( 1+d
−2 d ) cuando H0 =
√
2. Si d = −2 H0 / −c la superficie es un grafo entero vertical ScH0
contenido en el semiespacio {t ≥ 0}, tangente a la sección H2 (c) × {0} en
el origen.
√
3. Si d < −2 H0 / −c la superficie es un anillo propiamente inmerso y
0
no embebido HH
d,c simétrico respecto de la sección horizontal {t = 0} y la
√
2
2
1−4 a +d
distancia mínima al eje de rotación es arcosh( 2 d a+1−4
) cuando H0 <
a2
√
√
√
2
1+d
−c/2 y arcosh( −2 d ) cuando H0 = −c/2, con a = H0 / −c. Además
la curva generatriz de estas superficies tiene dos puntos con tangente
horizontal que se alcanzan para el mismo valor de
√
−d −c
1
∗
arcosh(
u =√
).
−2 H0
−c
En cada uno de los casos anteriores la √
superficie no está acotada
√ en
/
−c
tanto
si
d
>
−2
H
/
−c
la coordenada vertical.
Cuando
d
→
−2
H
0
0
√
0
tienden
hacia
la
superficie
como si d < −2 H0 / −c, las superficies HH
d,c
unión de ScH0 y su simétrica respecto de la sección horizontal {t = 0}.
Por otra parte cualquier
superficie rotacional de curvatura media cons√
tante H0 con 0 < H0 < −c/2 es, salvo una isometría del espacio ambiente,
parte de una de estos tres tipos de superficies.
Análogamente
√ para el caso en el que la superficie tenga curvatura media
constante H0 > −c/2 se tiene la siguiente clasificación.
63
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
0
Figura 2.4: Superficie HH
d,c de CMC, caso 1 con c = −1, H0 = 0 2, d = 0 6.
0
Figura 2.5: Superficie HH
d,c de CMC, caso 1 con c = −1, H0 = 0 5, d = −0 6.
√
con
H
>
−c/2) En el
Proposición 2.3.4 (H0 -superficies rotacionales
0
√
2
espacio ambiente H (c) × R, para H0 > −c/2, existe una familia uniparamétrica de superficies rotacionales
d completas y con curvatura media
!D
2
2 H0
√
− 1, verificándo:
constante H0 , con parámetro d ≤ −
−c
√
4. Si d < −2 H0 / −c la superficie es un anillo inmerso no embebido
contenido en la región cerrada limitada por dos cilindros verticales, análogo a los nodoides de Delaunay en R3 .
64
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Figura 2.6: Grafo entero rotacional ScH0 , caso 2 con c = −1, H0 = 0 3.
Figura 2.7: Grafo entero rotacional ScH0 , caso 2 con c = −1, H0 = 1/2.
√
5. Si d = −2 H0
/ −c la
superficie es una esfera embebida cuyo radio
4 H02 −c
1
√
es r = −c arccosh 4 H 2 +c .
0
√ 2
√
6. Si −2 H0 / −c < d < − −2 H0 / −c − 1 la superficie es un anillo embebido contenido en una región cerrada limitada por dos cilindros
verticales análogos a los onduloides de Delaunay en R3 .
√ 2
7. Si d = − −2 H0 / −c − 1 la superficie es el cilindro vertical so
bre el círculo de radio hiperbólico r = √1 arccosh √ 2 H20
. Observemos
−c
4 H0 +c
65
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
0
Figura 2.8: Superficie HH
d,c de CMC, caso 3 con c = −1, H0 = 0 22 y
d = −1 44.
0
Figura 2.9: Superficie HH
d,c de CMC, caso 3 con c = −1, H0 = 0 5 y d = −2.
que solo existen cilindros verticales cuando H02 > −c/4.
En particular, y en relación a la superficie descrita en el caso 2 de la
Proposición 2.3.3, en [NEST] se demuestra el siguiente resultado que será
generalizado en el Capítulo 3 de esta memoria.
66
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Figura 2.10: Parte de las curvas generatrices de las superficies de CMC
0
del caso 3 con c = −1, H0 = 0 3 y valores de d
ScH0 del caso 2 y HH
√ d,c
próximos a −2 H0 / −c por la izquierda.
Teorema 2.3.2 Sea Σ una superficie compacta inmersa en H2 × R, cuyo
borde es una curva de Jordan C de clase C2,α con curvatura mayor que 1 y
que está contenida en la sección horizontal H2 × {0}. Si Σ tiene curvatura
media constante H ∈ (0, 1/2], entonces Σ es un grafo vertical. Además si C
es una circunferencia, Σ será parte de la superficie rotacional simplemente
conexa con curvatura media constante que contiene a C .
Para el caso de las esferas topológicas de curvatura media constante
obtendremos su expresión explícita utilizando coordenadas semigeodésicas
polares y dando el valor del radio del disco geodésico sobre el que están
definidas así como su altura máxima. Estos resultados ya han sido obtenidos utilizando el modelo del hiperboloide de una hoja en [AEG1], [AEG2] y
[AEG3].
Superficies de CEC rotacionales Por otra parte, utilizando ahora la
Proposición 2.2.3 en H2 (c) × R con c < 0, la familia de superficies cuya
función altura está dada por
u!
−c
√
− 1 du
d∈R
h(u) =
d c − 2 Ke ln cosh( −c u)
u0
67
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
son superficies con curvatura extrínseca constante Ke , siendo u0 un valor
para el cual
c
√
≥1
2 Ke ln cosh( −c u) − d c
∀u ∈ [u0 , u1 ), u1 > u0 ≥ 0.
Incluiremos un estudio más detallado de algunas características de estas superficies en la Sección 2.6.
2.3.2. Fórmulas integrales en S2 (c) × R.
Superficies minimales rotacionales. Consideremos en S2 (c) × R unos
parámetros (u, v, t), para los cuales la métrica sea
√
g = du2 + sen 2 ( c u) dv 2 + dt 2
Entonces la función h(u) de un grafo minimal invariante por rotaciones en
S2 (c)× R vendrá dada, de acuerdo con (2.17), siempre que la expresión esté
definida, por la integral
u
d
dξ
h(u) =
√
2
sen ( c ξ) − d2
u0
siendo d una constante real y u0 ≥ 0 el valor mínimo, si existe, para el cual
el integrando está definido. Para esta familia de superficies se cumple, en
virtud de (2.7), que
√
c d cos2 ( c u)
√
H = 0,
KE = −
sen 4 ( c u)
Superficies de CMC rotacionales. Por otra parte, utilizando la Proposición 2.2.1, en S2 (c) × R, una superficie rotacional tiene curvatura media
constante H0 si y solo si la función altura, contenida en una sección vertical
Γ = {(u, 0)} × R, que generará la superficie por rotación, está dada por
√
H0
u
d−2√
cos( c ξ)
c
dξ
(2.32)
h(u) =
√
√
H0
2
u0
sen 2 ( c ξ) − (d − 2 √
cos(
c
ξ))
c
donde u0 es el valor:
√
√
H0
u0 = min{ξ ∈ R, ξ ≥ 0 : sen 2 ( c ξ) − (d − 2 √ cos( c ξ))2 ≥ 0}.
c
68
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
En particular la familia de superficies parametrizadas por:
1
1
ψ(u, v) = √ {u, v, √ ln[a G(u) + a2 G(u) − a]},
c
a
a>1
√
con G(u) = sen 2 ( c u) y c > 0, son H-superficies de rotación en S2 (c) × R
con
√
√
c cos2 ( c u)
c
√
H=− √
, KE =
.
(1 − a) sen 4 ( c u)
2 a−1
Superficies de CEC rotacionales. Por último, aplicando la Proposición
2.2.3, la familia de superficies cuya función altura viene dada por
u!
c
√
− 1 dξ
d∈R
h(u) =
2 Ke ln cos( c ξ) − d c
u0
son superficies con curvatura extrínseca constante Ke en S2 (c) × R con
c > 0, en cualquier dominio en el que estén bien definidas.
2.4.
Superficies rotacionales en M2 (c) × R.
Mostraremos a continuación algunos resultados ya conocidos sobre superficies rotacionales en los espacios homogéneos M2 (c) × R que utilizaremos mas adelante, así como la expresión explícita de sus parametrizaciones
en distintos modelos aunque utilizaremos fundamentalmente sobre la base
del espacio producto homogéneo los modelos del hiperboloide de una hoja
o del disco de Poincaré en coordenadas semigeodésicas polares. Esto nos
permitirá posteriormente hacer referencia a los estudios de las superficies
rotacionales con CMC CEC y CGC ya realizados por otros autores en los
ambientes H2 × R y S2 × R mediante estos modelos.
2.4.1. Superficies rotacionales en H2 (c) × R.
Proposición 2.4.1 Consideremos la curva α : I ⊂ R −→ H2 (c) × R dada
por
1
(cosh(k(u)), senh (k(u)), 0, h(u))
α(u) = √
−c
para dos funciones reales h y k definidas en el intervalo I, siendo u el
parámetro arco a lo largo de α, es decir, verificando k (u)2 + h (u)2 = 1.
69
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Consideremos la superficie obtenida al rotar la curva α alrededor del eje
{( √1−c , 0, 0)} × R parametrizada por
1
(cosh(k(u)), senh (k(u)) cos(v), senh (k(u)) sen (v), h(u))
ψ(u, v) = √
−c
con (u, v) ∈ I × R/2πZ. Entonces la métrica inducida sobre la superficie
tiene la forma
−1 2
du + senh 2 (k(u)) dv 2
g=
c
y sus curvaturas principales son
√
√
k1 = −c k (u) h (u) − h (u) k (u) , k2 = −c h (u) coth(k(u)).
Prueba: Es un cálculo directo a partir de la parametrización de la superficie
(véase, por ejemplo [Es, 108, Proposición 3.4]).
2.4.2. Superficies rotacionales en S2 (c) × R.
Proposición 2.4.2 Consideremos la curva α : I ⊂ R −→ S2 (c) × R dada por
1
α(u) = √ (cos(k(u)), sen (k(u)), 0, h(u))
c
siendo u el parámetro arco a lo largo de α, es decir, verificándose que
k (u)2 + h (u)2 = 1. Consideremos la superficie obtenida al rotar la curva α
alrededor del eje {( √1c , 0, 0)} × R parametrizada por
1
ψ(u, v) = √ (cos(k(u)), sen (k(u)) cos(v), sen (k(u)) sen (v), h(u))
c
con (u, v) ∈ I × R/2πZ. Entonces la métrica inducida sobre la superficie
tiene la forma
1 2
du + sen 2 (k(u)) dv 2
g=
c
y sus curvaturas principales son
√ √
k1 = c k (u) h (u) − h (u) k (u) , k2 = c h (u) cot(k(u)).
Prueba: Es un cálculo directo a partir de la parametrización de la superficie
(Ver [Es, Porposición 3.5]).
70
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
2.5.
Superficies rotacionales de CMC en M2 (c) × R.
Aunque ya hemos descrito anteriormente las superficies rotacionales
de curvatura media constante en estos ambientes, nuestro propósito en
esta sección será obtener, en el caso de las esferas topológicas, una expresión explícita de sus ecuaciones, el radio de su disco de definición y
sus alturas máximas. Estas superficies fueron obtenidas originalmente por
Hsiang-Hsiang [HH] y Pedrosa-Ritoré [PR1]. Utilizaremos indistintamente
los modelos del hiperboloide de una hoja y del disco de Poincaré con parámetros semigeodésicos polares para representar la base M2 (c) del espacio
ambiente.
2.5.1. Esferas de CMC en H2 (c) × R.
En [AEG3] se obtienen parametrizaciones explícitas para las esferas
topológicas de rotación en H2 (c)×R ⊂ L4 de curvatura media constante, así
como algunas de sus propiedades que también podemos encontrar en [Es].
En concreto se prueba que las superficies de revolución que se obtienen al
girar la curva
1 cosh(k(t)), senh (k(t)), 0, h(t)
t ∈ [−1, 1],
α(t) = √
−c
alrededor del eje {( √1−c , 0, 0)} × R, siendo
!
t
1 − t2
4a
arcsen
k(t) = 2 arcsinh
, h(t) = √
2
2a
4a2 − 1
4a − 1
√
√
con a = H0 / −c y H0 > 2−c tienen curvatura media constante H0 . Dichas
superficies de revolución están parametrizadas como
1 ψ(t, v) = √
cosh(k(t)), senh (k(t)) cos(v), senh (k(t))sen (v), h(t)
−c
(2.33)
para −1 < t < 0, y considerando el vector normal interior, es decir apuntando hacia arriba. Mediante un cálculo directo podemos ahora obtener
sus curvaturas principales que son
c + 4H02
H0 (c t 2 − c)
=
H
−
,
0
c t 2 + 4H02
4H02 + c t 2
c + 4H02
H0 (c t 2 − c)
= H0 2 −
+
,
=
H
0
4H02 + c t 2
4H02 + c t 2
k 1 = H0
k2
71
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
con lo cual su curvatura media será H0 , y su curvatura extrínseca y su
curvatura de Gauss, de acuerdo con la Proposición 1.4.1, son
2
H0 (c t 2 − c)
,
KE = H02 −
4H02 + c t 2
2
H0 (c t 2 − c)
4H0 t 2 + ct 2
2
KG = H0 −
−
c
.
4H0 + ct 2
4H02 + c t 2
Además, H2 (c) × {0} es un plano horizontal de simetría de la superficie.
Calcularemos ahora el radio rc (H0 ) de la bola de H2 (c) × {0} sobre la
que está definido este grafo. Para ello consideremos la proyección de la
imagen del grafo sobre la base
1
(cosh(k(t)), senh (k(t)) cos(v), senh (k(t))sen (v), 0)
proy(t, v) = √
−c
Al obtener la superficie por rotación alrededor del eje {( √1−c , 0, 0)} ×
R, el centro de rotación de la proyección es el punto C = ( √1−c , 0, 0, 0),
y el radio buscado será la distancia máxima desde C hasta un punto P
cualquiera de la proyección. Tomando, por ejemplo, v = 0, obtenemos
P=(
cosh(k(t)) senh (k(t))
√
, √
, 0, 0).
−c
−c
Tomando en la expresión de la geodésica dada en la proposición 1.4.3
el punto inicial C y un vector con |v0 | = 1 y v1 = v3 = 0 se obtiene la
geodésica en H2 (c) × {0}:
√
√
cosh( −c s) senh ( −c s)
√
√
γ(s) =
,
, 0, 0
−c
−c
Como para s = 0 se obtiene el punto C , el radio rc (H0 ) está determinado
por el valor máximo del parámetro de la geodésica, cuando alcance un punto
P. Esto se verificará cuando
√
−c rc (H0 ) = max{k(t), −1 ≤ t ≤ 0}.
Por tanto, de acuerdo con (2.33), obtenemos
$
4 H02 − c
2
−c
1
arcsinh
arccosh
rc (H0 ) = √
=√
−c
−c
4H02 + c
4 H02 + c
(2.34)
72
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Figura 2.11: Curvas generatrices (u, h(u)), utilizando parámetros semigeodésicos, de las esferas de CMC en H2 × R para valores de la curvatura
media H0 = 0‘58, 0‘62, 0‘72, 1 y 1 8.
Por otra parte, si utilizamos el modelo del disco de Poincaré para representar el plano hiperbólico H2 (c), y tomamos coordenadas semigeodésicas
polares, entonces a partir de (2.33) estas esferas quedan determinadas como el bigrafo cuya función altura es
⎞
⎛$
√
2 − (4 Ho2 + c) cosh( −c u)
−c
+
4
Ho
4 H0
⎠
h(u) = arcsen ⎝
8 Ho2
−4 c H 2 − c 2
0
(2.35)
2.5.2. Esferas de CMC en S2 (c) × R.
Consideremos la esfera inmersa de revolución, alrededor del eje {( √1c , 0, 0)}×
R, de curvatura media constante H0 > 0 en S2 (c) × R ⊂ R4 , y cuya curva
generatriz es
1 α(u) = √ cos(k(u)), sen (k(v)), 0, h(u)
,
c
donde
k(u) = 2 arctan
2a
√
1 − u2
,
73
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
u
4a
,
arcsinh √
h(u) = √
4a2 + 1
1 + 4a2 − u2
√
con a = H0 / c y −1 ≤ u ≤ 1, y que está parametrizada por
1 . (2.36)
ψ(u, v) = √ cos(k(u)), sen (k(u)) cos(v), sen (k(u)) sen (v), h(u)
c
Sus curvaturas principales serán
k 1 = H0 −
c (u2 − 1)
,
4H0
k2 = H0 +
c (u2 − 1)
,
4H0
con lo cual su curvatura media será H0 , y su curvatura extrínseca y curvatura de Gauss, en virtud del teorema 1.4.1, son
2
c (u2 − 1)
2
KE = H0 −
4H0
2
c (u2 − 1)
2
KI = H0 −
+ c u2
4H0
Además, D × {0} divide a la superficie en dos partes simétricas, siendo D
el hemisferio abierto de S2 (c) y centro ( √1c , 0, 0).
Calcularemos ahora el radio rc (H0 ) de la bola de S2 (c) × {0} sobre la
que está definido este grafo. Para ello consideremos la proyección de la
imagen del grafo sobre la base que será
1
proy(t, v) = √ (cos(k(t)), sen (k(t)) cos(v), senh (k(t)) sen (v), 0)
c
Al obtener la superficie por rotación alrededor del eje {( √1c , 0, 0)} × R,
el centro de la proyección será C = (p0 , t0 ) = ( √1c , 0, 0, 0), y el radio que
buscamos será la distancia máxima desde C hasta un punto cualquiera de
la proyección. Tomando por ejemplo, v = 0, será del tipo
P=(
cos(k(t)) sen (k(t))
√
√
,
, 0, 0).
c
c
Tomando en la ecuación de la geodésica dada en la proposición 1.4.3
el punto inicial C y un vector con |v0 | = 1 y v1 = v3 = 0 se obtiene la
geodésica en S2 (c) × {0}:
√
√
cos( c s) sen ( c s)
√
√
γ(s) =
,
, 0, 0
c
c
74
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Como para s = 0 se obtiene el punto C , el radio rc (H0 ) está determinado
por el valor máximo del parámetro de la geodésica, cuando alcance un punto
P, es decir, cuando
√
c rc (H0 ) = max{k(t), −1 ≤ t ≤ 0}.
Ahora bien, como
k(t) = 2 arctan
√
2H0
c − c t2
= arc cos
4H02 − c(1 − t 2 )
4H02 + c(1 − t 2 )
Entonces el valor máximo se obtiene cuando t = 0, es decir,
4 H02 − c
1
rc (H0 ) = √ arc cos
c
4 H02 + c
.
(2.37)
Figura 2.12: Curvas generatrices (u, h(u)), utilizando parámetros semigeodésicos, de las esferas de CMC en S2 × R para valores de la curvatura
media H0 = 0‘4, 0‘7, 1, 1‘5 y 3.
Por otra parte, utilizando coordenadas semigeodésicas polares, entonces a partir de (2.32) o de (2.36) estas esferas quedan determinadas como
el bigrafo cuya función altura es
!
√
c − 4 Ho2 + (c + 4 Ho2 ) cos( c u)
4 H0
arcsenh
h(u) = 8 Ho2
4 H 2 c + c2
0
(2.38)
Corolario 2.5.1 De las expresiones (2.34) y (2.37) concluimos que las esferas de curvatura media constante H0 en un espacio producto homogéneo
75
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
M2 (c) × R están definidas como bigrafos sobre un disco geodésico cerrado
de M2 (c) × {0} de radio
rc (H0 ) =
rc (H0 ) =
rc (H0 ) =
4 H02 − c
1
√
arccosh
−c
4 H02 + c
1
H0
4 H02 − c
1
√ arc cos
c
4 H02 + c
c < 0,
c=0
√
−c
H0 >
2
(2.39)
c > 0.
Además dichos radios cumplen
lı́m+ rc (H0 ) = lı́m− rc (H0 ) =
c→0
c→0
1
H0
Como consecuencia de (2.35) y de (2.38), podemos establecer la altura
máxima que alcanzan estas esferas de rotación (véase también [AEG3]).
Corolario 2.5.2 A partir de las expresiones (2.35) y (2.38) podemos obtener
la altura máxima que alcanzan las esferas de curvatura media constante H0
en un espacio producto homogéneo M2 (c) × R sobre la sección horizontal
M2 (c) × {0}. Estos valores están dados por
√
√ 4 H0
−c
−c
Alc (H0 ) = √
arcsen
c < 0, H0 >
2 H0
2
−4 c H 2 − c 2
1
c=0
Alc (H0 ) =
H0
√ 4 H0
c
arcsenh
c > 0.
Alc (H0 ) = √
2
2
2
H
0
4cH + c
Además se cumple que
lı́m Alc (H0 ) = lı́m+ Alc (H0 ) =
c→0−
c→0
1
.
H0
Observación 2.5.1 Las esferas topológicas con curvatura media constante
descritas, se caracterizan por el hecho de que son las
únicas inmersiones
√
de curvatura media constante H0 > 0, siendo H0 > 2−c si c < 0, para
las cuales la diferencial de Abresch-Rosenberg (ver [AR]), definida como
Q dz 2 = (2 H0 p − c h2z ) dz 2
76
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
es idénticamente nula, siendo z un parámetro conforme para la primera
forma fundamental de manera que
I = λ |dz|2
y
II = p dz 2 + λ H0 |dz|2 + p dz 2 ,
y donde
∂
∂z
es la diferencial de Hopf de la superficie y h = πf (ψ(u, v)) es la función
altura.
p dz 2 = −∇ ∂ N,
∂z
Recordaremos algunos resultados interesantes en relación con las propiedades de la diferencial de Abresch-Rosenberg sobre superficies con curvatura media constante que enunciamos a continuación.
Teorema 2.5.1 Sea Σ una superficie inmersa con curvatura media constante en M2 (c) × R. Entonces, su diferencial de Abresch-Rosenberg, Q dz 2
es una diferencial cuadrática holomorfa sobre Σ. En particular, si Σ es una
esfera topológica, Q dz 2 es idénticamente nula sobre Σ.
Teorema 2.5.2 Sea Σ una superficie inmersa con curvatura media constante H0 en M2 (c) × R con H0 > 0 si c = 1 o H0 > 1/2 si c = −1. Supongamos
que su diferencial de Abresch-Rosenberg, Q dz 2 es idénticamente nula sobre Σ. Entonces Σ es un trozo de una esfera topológica de rotación de
curvatura media constante.
En [AR, Teorema 3] podemos encontrar el siguiente resultado para superficies en M2 (c) × R, que también aparece en [NEST, Teorema 5.1.] para
el caso particular de H2 × R.
Teorema 2.5.3 Si Σ es una superficie rotacional en H2 × R de curvatura
media constante H0 ≥ 0, con diferencial cuadrática holomorfa de AbreschRosenberg idénticamente nula, tendremos, salvo congruencia:
1. Si H0 = 0 entonces Σ es una sección horizontal H2 × {t}.
2. Si H0 > 1/2 entonces Σ es una esfera topológica embebida.
3. Si H0 = 1/2 entonces Σ es el grafo entero vertical S 1/2 .
4. Si H0 < 1/2 entonces Σ es el grafo entero vertical S H0 o el anillo
embebido H2H0 .
77
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
2.6.
Superficies rotacionales de CEC en M2 (c) × R.
Las superficies de curvatura extrínseca constante en M2 (c) × R están
estudiadas fundamentalmente en [EGR]. Expondremos a continuación un
resumen de los principales resultados obtenidos en estos trabajos, algunos
de los cuales utilizaremos más adelante.
2.6.1. Esferas de CEC positiva en H2 (c) × R.
Proposición 2.6.1 [EGR, Proposición 5.1] Sea Σ una esfera inmersa en
H2 (c) × R, con c < 0, completa y de revolución alrededor del eje vertical {( √1−c , 0, 0)} × R, con curvatura extrínseca constante K > 0, dada por
1
(cosh(k(u)), senh (k(u)) cos(v), senh (k(u)) sen (v), h(u))
ψ(u, v) = √
−c
donde α(u) =
√1
−c
(cosh(k(u)), senh (k(u)), 0, h(u)) es una curva generatriz
de Σ. Entonces Σ estará embebida en H2 (c) × R, y la curva generatriz viene
dada por
c (1 − u2 )
k(u) = arccosh exp −
2K
√
1
2
c
1−u
!
(2.40)
h(u) = −
du + C
K u
c (1−u2 )
1 − exp
K
donde −1 ≤ u ≤ 1 y C es una constante real. Además H2 (c) × {h0 } divide
a Σ en dos partes simétricas para un cierto valor
√
c 0
1 − u2
!
h0 = −
du + C
K −1
2)
1 − exp c (1−u
K
Teorema 2.6.1 [EGR, Theorem 7.3] Una superficie completa con curvatura
extrínseca constante positiva en H2 (c) × R con c < 0 debe ser una esfera
rotacionalmente simétrica.
De donde se deduce que en H2 (c) × R con c < 0, no existen superficies
completas y no compactas con curvatura extrínseca constante positiva.
78
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
2.6.2. Esferas de CEC en S2 (c) × R.
Proposición 2.6.2 [EGR, Proposición 5.2] Sea Σ una esfera inmersa en
S2 (c) × R, con c > 0, completa y de revolución alrededor del eje vertical {( √1c , 0, 0)} × R, con curvatura extrínseca constante K > 0, dada por
1
ψ(u, v) = √ (cos(k(u)), sen (k(u)) cos(v), sen (k(u)) sen (v), h(u))
c
donde α(u) =
√1
c
(cos(k(u)), sen (k(u)), 0, h(u)) es una curva generatriz de
Σ. Entonces Σ es una esfera topológica embebida en S2 (c) × R, con
c (1 − u2 )
k(u) = arc cos exp −
2K
√
1
c
1 − u2
!
du + C
(2.41)
h(u) =
K u
c (1−u2 )
exp − K
−1
donde −1 ≤ u ≤ 1 y C es una constante real. Además S2 (c) × {h0 } divide
a Σ en dos partes simétricas para un cierto valor
√
c 0
1 − u2
!
h0 =
du + C
K −1
c (1−u2 )
exp
−1
K
Corolario 2.6.1 De las expresiones (2.40) y (2.41), siguiendo un proceso
análogo al utilizado en las esferas de curvatura media constante, concluimos que las esferas de curvatura extrínseca constante K0 en un espacio
producto homogéneo M2 (c) × R están definidas como bigrafos sobre un
disco geodésico cerrado de M2 (c) × {0} de radio
1
−c
c < 0,
rc∗ (K0 ) = √
arccosh exp
2 K0
−c
1
c=0
(2.42)
rc∗ (K0 ) = √
K0
−c
1
rc∗ (K0 ) = √ arc cos exp
c > 0.
2 K0
c
Además dichos radios cumplen
1
lı́m+ rc∗ (K0 ) = lı́m− rc∗ (K0 ) = √
c→0
c→0
K0
79
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
Teorema 2.6.2 Una superficie completa con curvatura extrínseca constante
positiva KE en S2 (c) × R es una esfera rotacionalmente simétrica.
2.7.
Superficies rotacionales de CGC en M2 (c) × R.
Las superficies de revolución de curvatura de Gauss constante en los
espacios producto homogéneos están descritas y estudiadas en relación a
su completitud en [AEG1] y [AEG2]. Expondremos a continuación un resumen de los principales resultados obtenidos en estos trabajos.
2.7.1. Superficies rotacionales de CGC en H2 (c) × R.
Proposición 2.7.1 (Superficies de revolución de CGC en H2 (c) × R) Sea Σ
una superficie de revolución alrededor del eje vertical {( √1−c , 0, 0)} × R en
H2 (c) × R, con c < 0 y curvatura de Gauss constante Kg , dada por
1
(cosh(k(u)), senh (k(u)) cos(v), senh (k(u)) sen (v), h(u))
ψKg (u, v) = √
−c
donde α(u) = √1−c (cosh(k(u)), senh (k(u)), 0, h(u)) es la curva generatriz de
Σ. Entonces, Σ debe ser embebida y la curva generatriz, donde a = −Kg /c,
está determinada por
1. Si Kg > 0
√
sen ( a u)
√
k(u) = arcsinh
a
!
√
cos( a u)
1+a
h(u) = −
arctan √
a
a + sen ( a u)
con 0 ≤ u ≤ −c π/Kg . En particular Σ debe ser compacta.
2. Si Kg = 0 y la curva generatriz no corta al eje, entonces Σ es un
cilindro alrededor del eje.
3. Si Kg = 0 y la curva generatriz corta al eje, entonces
k(u) = arcsenh(u), h(u) = −1 + 1 + u2
80
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
donde u ≥ 0.
4. Si c ≤ Kg < 0 y la curva generatriz corta al eje, entonces
k(u) = arcsenh exp( −a u)
⎛$
⎞
√
2
+
a
+
a
tanh(
−a
u)
⎠
h(u) = arctanh ⎝
2(1 + a)
!
√
1
2 + a + a tanh( −a u)
arctanh
−√
2
−a
con u ∈ R.
5. Si c ≤ Kg < 0 y la curva generatriz no corta al eje, entonces
√
senh ( −a u)
√
k(u) = arcsenh
−a
!
√
√
1+a
cosh( −a u) + −a + senh 2 ( −a u)
√
h(u) =
−
ln
a
1 + −a
con u ≥ 0.
6. No existen superficies de revolución completas con curvatura de
Gauss constante Kg < c.
2.7.2. Superficies rotacionales de CGC en S2 (c) × R.
Proposición 2.7.2 (Superficies de revolución de CGC en S2 (c) × R) Sea Σ
una superficie de revolución alrededor del eje vertical {( √1c , 0, 0)} × R en
S2 (c) × R, con c > 0 y curvatura de Gauss constante Kg dada por
1
ψKg (u, v) = √ (cos(k(u)), sen (k(u)) cos(v), sen (k(u)) sen (v), h(u))
c
donde α(u) = √1c (cos(k(u)), sen (k(u)), 0, h(u)) es la curva generatriz de Σ.
Entonces, Σ debe ser embebida y la curva generatriz está determinada, con
a = Kg /c, por:
81
Capítulo 2. Grafos invariantes en M2 × R para un grupo uniparamétrico de isometrías.
1. Si Kg ≥ c, entonces
√
sen ( a u)
k(u) = arc cos
a
!
√
√
cos( a u) + a − sen 2 ( a u)
a−1
√
h(u) = −
ln
a
1+ a
donde 0 ≤ u ≤ π c/Kg . En particular debe ser compacta.
2. Si Kg = 0, entonces Σ es un cilindro alrededor del eje.
3. No existen superficies de revolución completas con curvatura de
Gauss constante Kg < 0 o Kg ∈ (0, c).
La existencia de una forma cuadrática holomorfa sobre superficies de
curvatura de Gauss constante, al igual que sobre las superficies de curvatura media constante, nos permitirá obtener en el Capítulo 4, algunos
resultados para superficies compactas con curvatura de Gauss constante
que corten a una sección horizontal de H2 × R o S2 × R en una línea de
curvatura de la superficie. Destacaremos aquí los siguientes resultados establecidos en [AEG1] y [AEG2] para superficies completas con curvatura de
Gauss constante en M2 (c) × R.
Teorema 2.7.1 Dada una constante real Kg , existe, salvo isometrías del
espacio ambiente, una única superficie completa de curvatura de Gauss
constante Kg > c en S2 (c) × R cuando c > 0; y una única superficie
completa de curvatura de Gauss constante Kg > 0 en H2 (c) × R cuando
c < 0. Además dichas superficies son rotacionalmente simétricas.
Teorema 2.7.2 Dadas dos constantes reales Kg y c se verifica
1. Cuando c > 0 y Kg ∈ (0, c), no existen superficies completas de
curvatura de Gauss constante Kg en S2 (c) × R.
2. Cuando c > 0 y Kg < −c, no existen superficies completas de curvatura de Gauss constante Kg en S2 (c) × R.
3. Cuando c < 0 y Kg < c, no existen superficies completas de curvatura
de Gauss constante Kg en H2 (c) × R.
82
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Capítulo 3
Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
3.1.
Introducción.
El estudio de barreras para una clase de superficies S en un espacio
ambiente se utiliza para obtener resultados sobre la existencia o no de
superficies de dicha clase que posean ciertas propiedades, en particular
que sus curvaturas cumplan ciertas condiciones.
Cuando se verifica un principio de máximo sobre dicha clase de superficies, las superficies rotacionales de la clase, o en general las superficies
invariantes bajo un grupo uniparamétrico de isometrías del espacio ambiente, son las barreras más simples que podemos utilizar. Un ejemplo
clásico de esta situación se aprecia en el teorema del semiespacio para las
superficies minimales en R3 [HM], donde las catenoides se utilizan como
barreras para demostrar que no existen superficies minimales propiamente
inmersas en un semiespacio de R3 diferentes de los planos.
Nuestro primer objetivo será describir un método simple para obtener
barreras en un espacio producto M2 × R, o en general en un espacio alabeado del tipo M2 ×f R. Para ello, dados dos espacios ambientes M1 × R y
M2 × R de los que el primero de ellos será generalmente un espacio producto homogéneo, partiremos de una superficie Σ en M1 × R y obtendremos
una nueva superficie Σ∗ en M2 × R de manera que las curvaturas principales de ambas superficies estén relacionadas en términos de las curvaturas
de las bases M1 y M2 .
Así pues, por ejemplo, si comenzamos con una superficie rotacional de
Victorino Lozano Cabrero
83
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
curvatura media constante H en un espacio homogéneo M2 (c) × R, podremos obtener barreras para la existencia o no existencia de superficies
con curvatura media constante H en un espacio producto general M2 × R.
Obsérvese que el grupo de isometrías de dicho espacio ambiente podría
ser muy reducido.
El capítulo se organizará de la siguiente forma. Primeramente se explica el proceso de deformación para construir estas barreras. Posteriormente
obtendremos algunos resultados que nos mostrarán como podemos aprovechar dicho proceso de construcción.
En primer lugar, extenderemos en el teorema 3.3.1 un resultado de Espinar y Rosenberg [ER]. Probaremos que dado un disco geodésico cerrado
D ⊆ M2 , existe una constante explícita H0 , que solo depende del radio de
D y del mínimo de su curvatura, y tal que no existe un grafo definido sobre
D en M2 × R para el cual el mínimo de su curvatura media sea mayor o
igual que H0 .
También probaremos en el teorema 3.3.3 que bajo ciertas restricciones
sobre la base del espacio ambiente, para cualquier superficie propiamente
embebida Σ ⊆ M2 × R con curvatura media H ≥ H0 > 0, la componente hacia la que apunta el vector curvatura media no puede contener una
bola geodésica de radio r, donde r solo depende de H0 y del ínfimo de la
curvatura de M2 .
Probaremos dos teoremas del tipo del semiespacio de Hoffman y Meeks.
El primero para una superficie minimal propiamente inmersa en M2 × R
cuando la curvatura de M2 sea no negativa (teorema 3.3.4), similar a un
resultado previo de Rosenberg [Ro2] pero dando una demostración alternativa mediante esta nueva técnica. El segundo para superficies propiamente
inmersas con curvatura media satisfaciendo |H| ≤ 1/2 en M2 × R, cuando
la curvatura de M2 cumpla K ≤ −1 (teorema 3.3.5). Este resultado es una
extensión del correspondiente establecido por Nelli y Sa Earp en H2 × R
[NE].
En el teorema 3.3.6 se estudian algunas propiedades del comportamiento en el infinito de una superficie minimal en M2 × R, cuando M2 es
una superficie de Hadamard con curvatura acotada entre dos constantes
negativas. Esto nos proporciona una generalización de algunos resultados
obtenidos por Sa Earp y Toubiana en H2 × R [ET1].
Además, se prueba en el teorema 3.3.7 que, bajo ciertas condiciones, una
superficie compacta con curvatura media constante y con borde sobre una
sección horizontal de M2 ×R debe ser un grafo, cuando M2 es una superficie
84
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
de Hadamard con curvatura acotada entre dos constantes negativas. Este
resultado extiende el correspondiente obtenido en [NEST] para el espacio
homogéneo H2 × R.
Finalmente obtenemos, en el teorema 3.3.8 un resultado de existencia
de grafos con curvatura extrínseca constante en M2 × R que resuelve el
problema de Dirichlet para la ecuación de Monge-Ampére asociada, con
condiciones de contorno cero.
3.2.
Un resultado de comparación.
Cuando consideramos una superficie riemanniana (M2 , g), y una parametrización local φ : Ω −→ M sobre un conjunto abierto Ω ⊂ R2 de manera
que la métrica se exprese como
g = dt 2 + G(t, v) dv 2 ,
(t, v) ∈ Ω.
Hemos visto que al calcular las curvaturas principales en la Proposición
2.1.1 aparecen las funciones
g(t) =
Gt
,
2G
f(t) =
1
2G
,
=
g(t)
Gt
si Gt += 0
donde Gt representa la derivada respecto de la variable t, que verifican
respectivamente, de acuerdo con (1.8), las ecuaciones diferenciales
Kg = −g (t) − g(t)2
y
1 + Kg f(t)2 = f (t).
Observemos que la primera de ellas es una ecuación diferencial de Riccati. Enunciaremos a continuación dos propiedades sobre estos tipos de
ecuaciones que nos serán de gran utilidad.
Proposición 3.2.1 Sean f, g, Kf , Kg cuatro funciones de variable real, diferenciables en un intervalo [0, t0 ), cumpliendo:
1 + Kf (t) f(t)2 = f (t),
1 + Kg (t) g(t)2 = g (t).
con f(0) = g(0) = 0 y Kf (t) ≤ Kg (t), ∀t ∈ [0, t0 ). Entonces se cumple que
f(t) ≤ g(t), ∀t ∈ [0, t0 ).
85
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Prueba: Derivando la primera ecuación diferencial tenemos que:
f (t) = Kf f(t)2 + 2 Kf f(t) f (t),
luego f (0) = f(0) = 0 y f (0) = 1. Análogamente se obtiene que g (0) =
g(0) = 0 y g (0) = 1. Además
f (t) = Kf (t) f(t)2 + 4 Kf (t) f(t) f (t) + 2 Kf (t) (f (t)2 + f(t) f (t))
con lo cual f (0) = 2 Kf (0) ≤ 2 Kg (0) = g (0). Si consideramos ahora los
desarrollos en serie de orden tres de ambas funciones en t = 0 se concluye
la demostración, teniendo en cuenta que Kf (t) ≤ Kg (t), ∀t ∈ [0, t0 ).
Proposición 3.2.2 Sean f, g, Kf , Kg cuatro funciones de variable real, diferenciables en un intervalo [t1 , t2 ), cumpliendo:
f (t) + f(t)2 = −Kf (t),
g (t) + g(t)2 = −Kg (t).
con f(t1 ) ≥ g(t1 ) y Kf (t) ≤ Kg (t), ∀t ∈ [t1 , t2 ). Entonces se cumple que
f(t) ≥ g(t), ∀t ∈ [t1 , t2 ).
Prueba: Si f(t1 ) = g(t1 ) bastará comparar los desarrollos en serie de Taylor de ambas funciones en t1 para obtener un intervalo [t1 , t0 ) donde se
verifique la desigualdad que buscamos. Si f(t1 ) > g(t1 ) la demostración se
realiza tomando una función f ∗ que sea solución de la ecuación diferencial
f (t) + f(t)2 = −Kf (t) y cumpla que f ∗ (t1 ) = g(t1 ). Como f(t1 ) > f ∗ (t1 ), por
continuidad existirá un intervalo [t1 , t0 ) donde se verifique la desigualdad
f(t) ≥ g(t). Bastará ahora elegir t1 = min{t0 , t0 } para concluir la demostración.
Además como consecuencia de (2.2) o (2.6) podemos establecer también
Proposición 3.2.3 Sean (M1 , g1 ), (M2 , g2 ) dos superficies riemannianas, Ω
un conjunto abierto de R2 y φi : Ω −→ Mi , i = 1, 2, dos parametrizaciones
tales que
(u, v) ∈ Ω.
(3.1)
gi = du2 + G i (u, v)dv 2 ,
Si consideramos en φi (Ω) × R ⊆ Mi × R las métricas , i = f(u, t) gi + dt 2 ,
i = 1, 2, entonces las curvaturas principales k1i , k2i del grafo ψi (u, v) =
86
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
(φi (u, v), h(u)), para la métrica , i y el vector normal apuntando hacia
arriba, satisfacen k11 = k12 y
k21 ≥ k22
Gu1 Gu2 h
(u)
≥
h (u).
G1
G2
si y solo si
(3.2)
i
Gu
Cabe destacar que la expresión 2G
i que aparece en (3.2) es la curvatura
geodésica de las curvas coordenadas βi (v) = φi (u0 , v) para la métrica gi
dada en (3.1). Con el objetivo de obtener algunas condiciones naturales
para que se cumpla (3.2) estableceremos un resultado de comparación que
nos permita relacionar la curvatura geodésica de las curvas coordenadas
βi (v) y la curvatura de Gauss Ki de (Mi , gi ).
Proposición 3.2.4 En las condiciones de la Proposición 3.2.3, asumiremos
que el dominio Ω = I × J es el producto de dos intervalos reales I, J ⊆ R.
Si se verifica alguna de las siguientes condiciones:
(i) Existe (u0 , v0 ) ∈ I × J tal que
Gu2
Gu1
(u
,
v
)
≥
(u0 , v0 ),
0
0
G1
G2
y
K1 (u, v0 ) ≤ K2 (u, v0 )
∀u ≥ u0 .
(ii) Existen puntos pi ∈ Mi tales que (u, v) son coordenadas polares
geodésicas en torno a pi para la métrica gi , y un ángulo v0 tal que
K1 (u, v0 ) ≤ K2 (u, v0 )
∀u ∈ I = (0, ρ0 ).
Entonces
Gu2
Gu1
(u,
v
)
≥
(u, v0 )
0
G1
G2
para u ≥ u0 en el primer caso, y para u > 0 en el segundo.
Prueba: De (3.1), la curvatura Gaussiana Ki de la métrica gi está dada por
Ki = −
Gui
2G i
−
u
Gui
2G i
2
.
(3.3)
Utilizando ahora la Proposición 3.2.2 el resultado quedará probado para
el primer caso a partir de (3.3) sustituyendo
f(t) =
Gu1
(t, v0 ),
2G 1
g(t) =
Gu2
(t, v0 ),
2G 2
kf (t) = K1 (t, v0 ),
kg (t) = K2 (t, v0 ).
87
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Supongamos ahora que (u, v) son coordenadas polares geodésicas. En
estas condiciones es bien conocido que (ver por ejemplo [C1])
√
lı́m G i (u, v0 ) = 0
y
lı́m ( G i )u (u, v0 ) = 1.
(3.4)
u→0
u→0
Además, si Gui += 0 entonces (3.3) puede escribirse como
2G i
Gui
= 1 + Ki
u
2G i
Gui
2
.
(3.5)
Obsérvese que Ki (0, v) está bien definida como la curvatura de Gauss
en el punto pi ∈ Mi donde están centradas las coordenadas polares geodésicas, y a partir de las condiciones iniciales sobre G i tendremos que
√
2G i
Gi
lı́m i = lı́m √
= 0.
u→0 Gu
u→0 ( G i )u
Por tanto, de (3.4), deducimos que existe ε0 > 0 tal que (G i )u (u, v0 ) > 0
para 0 < u < ε0 , y el segundo caso puede probarse a partir de (3.5),
sustituyendo en la Proposición 3.2.1
f(t) =
2G 1
(t, v0 ),
Gu1
g(t) =
2G 2
(t, v0 ),
Gu2
kf (t) = K1 (t, v0 ),
kg (t) = K2 (t, v0 )
para 0 < t < ε0 . Finalmente, a partir del caso (i), el resultado será cierto
para cualquier u ∈ I = (0, ρ0 ).
Combinando estas dos últimas proposiciones obtendremos un resultado fuerte de comparación que nos permite deformar una superficie de un
espacio ambiente en otro de tal forma que sus curvaturas principales estén controladas en este proceso. Este hecho será utilizado en la siguiente
sección.
3.3.
Existencia de barreras en M2 × R.
En esta sección daremos algunos resultados sobre existencia y no existencia para superficies en espacios producto, generalizando algunos resultados conocidos en espacios producto homogéneos a espacios producto
generales.
88
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
3.3.1. Barreras para la CM y la CE de grafos verticales.
Partamos de una esfera topológica S de curvatura media constante H0
en M(c) × R que ya hemos analizado en el Capítulo 2 (ver también [AR,
AEG2]). Obsérvese que S es única salvo √
isometrías del espacio ambiente
y además solamente existe para H0 > −c/2 si c < 0. Además, S es
rotacional y simétrica con respecto a un plano horizontal. En particular, S
es un bigrafo sobre un disco geodésico cerrado de M2 (c) de radio rc (H0 ) > 0
dado por (2.39).
En estas condiciones, sea p ∈ M(c) y (ρ, θ) coordenadas polares geodésicas centradas en el punto p. Como S es una superficie rotacional la parte
inferior de S puede considerarse como un grafo sobre el disco geodésico
centrado en p y radio rc (H0 ), con función altura h(ρ) la cual solo depende
de ρ. Además, h(ρ) es estrictamente decreciente, ver [AR]. Por lo tanto, esta
parte de la superficie S de curvatura constante puede ser descrita como
ψ1 (ρ, θ) = (ρ, θ, h(ρ)) ∈ M(c) × R.
donde, por simplificación, hemos omitido la parametrización φ.
Ahora, dado un espacio producto general M2 × R y unas coordenadas
polares geodésicas (ρ, θ) centradas en un punto q ∈ M, que estén bien
definidas para 0 < ρ ≤ rc (H0 ), podemos considerar la nueva inmersión
ψ2 (ρ, θ) = (ρ, θ, h(ρ)) ∈ M2 × R.
Aplicando el mismo proceso a la parte superior de S obtendremos una
esfera S ∗ en M2 × R, que es un bigrafo sobre el disco geodésico de radio
rc (H0 ) centrado en q.
Observemos que S ∗ es simétrica con respecto a un plano horizontal
como S, y que cualquier translación vertical de S ∗ es congruente a S ∗ .
Además ambas superficies tienen la misma altura en los puntos correspondientes a los mismos valores de los parámetros. Sin embargo, S ∗ depende
fuertemente del punto q ∈ M, es decir, si iniciamos el mismo proceso en
@∗ entonces S ∗ y S
@∗
∈ M y obtenemos una nueva superficie S
otro punto q
no son en general isométricas.
Supongamos ahora que la curvatura de Gauss K de M2 es mayor o
igual que c. Entonces, utilizando las Proposiciones 3.2.3 y 3.2.4 tenemos
que S ∗ tiene curvatura media H ≤ H0 para su normal interior. Con todo
esto obtenemos
89
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Figura 3.1: Las esferas S en M2 (c) × R y S ∗ en M2 × R.
Teorema 3.3.1 Sea Dr un disco geodésico cerrado de radio r > 0 en una
superficie riemanniana M2 , y sea c := mı́nDr (K ) el mínimo de la curvatura
de Gauss de M2 en el disco Dr . Consideremos H0 > 0 tal que rc (H0 ) = r.
Entonces no existen grafos verticales sobre Dr tales que el mínimo de su
curvatura media H cumpla mı́n(H) ≥ H0 .
Prueba: Supongamos que Σ es un grafo sobre Dr con min(H) ≥ H0 para
el vector normal unitario N. Sin pérdida de generalidad podemos suponer
que el normal unitario N apunta hacia arriba.
Sea q ∈ M el centro del disco geodésico Dr y consideremos la esfera
centrada en q definida previamente, que tiene curvatura media menor
o igual que H0 para su normal interior.
S∗
Moviendo primero la esfera S ∗ verticalmente hasta que Σ esté bajo S ∗ ,
y desplazando ahora S ∗ hacia abajo hasta que interseque por primera vez a
Σ obtenemos un punto de tangencia entre Σ y S ∗ . Entonces, el principio de
máximo clásico para la curvatura media nos asegura que ambas superficies
deben de coincidir localmente. En particular, Σ y S ∗ tendrán curvatura
media constante H0 , y Σ coincidirá con el hemisferio inferior de S ∗ . Sin
embargo, esto es una contradicción porque S ∗ no es estrictamente un grafo
sobre la frontera de Dr ya que su normal unitario es horizontal en estos
puntos.
90
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Figura 3.2: Movimiento de S ∗ en M2 × R, ilustrando el argumento central
de las demostraciones de los teoremas 3.3.1 y 3.3.2.
Este resultado puede contemplarse como una extensión del enunciado
por Espinar y Rosenberg [ER] que afirma que si M2 es una superficie riemanniana completa con ı́nf(K ) = −1, entonces no existen grafos enteros
completos en M2 × R con ı́nf(H) > 1/2. La prueba en su caso es diferente
y se basa en el estudio del espectro del Laplaciano de M2 con el objetivo
de estimar la constante de Cheeger de M2 .
El teorema 3.3.1 puede generalizarse de varias formas. Por una parte,
la hipótesis sobre la curvatura media de la superficie no es una condición
básica puesto que únicamente se utiliza con el propósito de aplicar un
principio de máximo a este funcional. Por tanto, un resultado similar al
91
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
teorema 3.3.1 puede probarse análogamente para otros funcionales con un
principio de máximo. Por ejemplo, curvatura extrínseca positiva o curvatura
de Gauss con curvatura extrínseca positiva (véase el capítulo anterior y
[AEG1, EGR] donde se obtienen las esferas de revolución en M2 (c) × R que
serían deformadas en estos casos).
Teorema 3.3.2 Sea Dr un disco geodésico cerrado de radio r > 0 en una
superficie riemanniana M2 , y sea c := mı́nDr (K ) el mínimo de la curvatura
de Gauss de M2 en el disco Dr . Consideremos K0 > 0 tal que rc∗ (K0 ) = r,
donde rc∗ (K0 ) es el radio del disco en M2 (c) sobre el que está definida
la esfera topológica de curvatura extrinseca constante K0 en M2 (c) × R.
Entonces no existen grafos verticales sobre Dr tales que el mínimo de su
curvatura extrínseca cumpla mı́n(K ) ≥ K0 .
Prueba: La prueba es completamente análoga a la del teorema anterior
utilizando el principio de máximo para el operador curvatura extrínseca
cuando la curvatura extrínseca es positiva, y las esferas rotacionales de
curvatura extrínseca constante K0 de M2 (c) × R. Estas esferas han sido
descritas en la Sección 2.6, donde se ha calculado el radio rc∗ (K0 ) del disco
de M2 (c) sobre el que están definidas.
Por otra parte, las mismas ideas pueden utilizarse en productos alabeados. Por ejemplo, el espacio hiperbólico de dimensión tres puede considerarse como un producto alabeado, obteniéndose resultados similares para
la curvatura media en los llamados espacios pseudohiperbólicos (véase [Ta]).
A continuación, obtendremos algunas aplicaciones más de nuestro resultado de comparación, teniendo presente que serían posibles otros resultados para distintos funcionales como hemos ya comentado.
2
Denotaremos por diamc (H0 ) el diámetro de la única
√ esfera en M (c)× R
de curvatura media constante H0 > 0 y H0 > −c/2 si c < 0. Estas
esferas han sido descritas en el Capítulo 2 de esta memoria. Observemos
que dicho diámetro será el valor máximo de, o bien el doble de la altura
máxima que alcanzan dichas esferas sobre la sección horizontal M2 (c)×{0},
establecidas en el Corolario 2.5.2, o bien el doble del radio del disco sobre
el que están definidas, establecidos en el Corolario 2.5.1. Podemos enunciar
ahora el siguiente resultado.
92
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Teorema 3.3.3 Sea M2 una superficie completa simplemente conexa, con
inf(K 2 ) = c ∈ R, y radio de inyectividad i ∈ (0, ∞]. Consideremos
M
2
una superficie Σ, propiamente
√ embebida en M × R con curvatura media H ≥ H0 > 0 ( y H0 > −c/2 si c < 0 ). Entonces, si rc (H0 ) < i, la
componente hacia la que apunta el vector curvatura media no puede contener una bola geodésica cerrada en M2 × R cuyo radio sea mayor o igual
que diamc (H0 )/2.
Prueba: Sea S una esfera de curvatura media constante H0 en M2 (c) × R
descrita en la Proposición 2.3.4. Llamaremos centro de S al único punto
(p0 , t0 ) ∈ M2 (c) × R tal que S es una superficie de revolución con respecto
al eje dado por la geodésica vertical γ(t) = (p0 , t) y simétrica respecto de
la sección horizontal situada a altura t = t0 . Entonces, si consideramos la
correspondiente esfera S ∗ en M2 × R, usando coordenadas polares geodésicas en el punto q0 , diremos que S ∗ está centrada en (q0 , t0 ). Observemos
que S ∗ está bien definida ya que las coordenadas polares en q0 estarán
definidas en un disco suficientemente grande debido a la relación establecida entre el radio de la esfera S de curvatura media constante H0 y el
radio de inyectividad i > rc (H0 ).
Supongamos ahora que Σ es una superficie propiamente embebida en
M × R, con curvatura media H ≥ H0 > 0 y B es una bola geodésica de
radio diamc (H0 )/2, contenida en la componente del espacio ambiente hacia
la que apunta el vector curvatura media de Σ. Sea α : [0, 1] −→ M2 × R
una curva continua tal que α(0) es el centro de B y α(1) ∈ Σ. Entonces,
como el radio de inyectividad cumple que i > rc (H0 ), para cada s ∈ [0, 1]
podemos considerar la esfera S ∗ (s) centrada en α(s) cuya curvatura media
satisface
∀z ∈ S ∗ (s), ∀s ∈ [0, 1].
H ≤ H0
2
Aunque las esferas S ∗ (s) no son simétricas en general, constituyen una
deformación continua cuando s varia. Por lo tanto, debe existir un valor
s0 ∈ (0, 1) para el cual S ∗ (s0 ) corte por primera vez a Σ en un cierto
punto z0 , es decir, obtenemos un punto de tangencia entre Σ y S ∗ (s0 ). Así
pues, como S ∗ (s0 ) está contenida en la componente hacia la que apunta el
vector curvatura media de Σ, podemos utilizar el principio del máximo para
asegurar que S ∗ (s0 ) y Σ deberán coincidir. Pero esto es una contradicción,
con lo que concluimos la demostración.
93
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Figura 3.3: El gráfico ilustra el argumento central de la demostración del
Teorema 3.3.3.
Si M2 es una variedad de Hadamard, ya hemos comentado anteriormente que para una geodésica Γ de M2 el plano vertical P = Γ × R es
difeomorfo a R2 . Además por cada punto de dicho plano pasa una única
geodésica ortogonal al mismo γp , que además será completa. Así las geodésicas de M2 × R ortogonales a P constituyen una foliación de M2 × R.
94
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Entonces, diremos que una superficie es un grafo horizontal sobre el plano
vertical P si su proyección sobre P es inyectiva. Esto nos permite definir el
grafo horizontal h∗ sobre Γ × R, determinado por la función h : Γ × R −→ R
como
∀p ∈ Γ × R
h∗ (p) = γp (h(p))
Corolario 3.3.1 Sea M2 una superficie de Hadamard con curvatura de
Gauss K y c := inf(K ) ∈ R. Entonces no existe
√ un grafo horizontal entero
en M2 × R con curvatura media H ≥ H0 > −c/2.
3.3.2. Resultados de tipo Hoffman-Meeks.
A continuación, utilizaremos diferentes familias de barreras en M2 × R
para obtener teoremas que generalizan a los correspondientes resultados
en espacios producto homogéneos. Una vez que las barreras sean obtenidas la prueba de los resultados continuaría como las de sus resultados
análogos en los espacios producto homogéneos. Por lo tanto, presentaremos solamente las superficies barreras necesarias y omitiremos el resto de
detalles de la prueba.
Primero, generalizaremos el clásico teorema del semiespacio para superficies minimales en R3 [HM] a M2 ×R, cuando M2 tiene al menos un polo
y curvatura de Gauss no negativa. Este resultado para M2 × R fue probado
por H. Rosenberg [Ro2], por otro procedimiento, (ver también [RSS]).
Teorema 3.3.4 Sea M2 una superficie con un polo y curvatura de Gauss
no negativa. Supongamos que Σ es una superficie minimal propiamente
inmersa en el semiespacio M2 × (−∞, 0]. Entonces Σ estará contenida en
una sección horizontal M2 × {c0 }, para alguna constante c0 ≤ 0.
Prueba: Para cada a > 0 consideremos la catenoide de R3 definida por
ψa (x, y) = (a cosh(x/a) cos y, a cosh(x/a) sen y, x)
Sea p0 ∈ M un polo de la variedad M. Como la aplicación exponencial en
p0 es un difeomorfismo global, las coordenadas polares geodésicas (ρ, θ)
en p0 están bien definidas para cualquier valor ρ > 0 y θ ∈ [0, 2π). Por lo
tanto usando la Proposición 3.2.3 y la Proposición 3.2.4 obtenemos que las
catenoides ψa de R3 pueden deformarse en superficies ψa∗ de M × R que
estarán globalmente bien definidas y que tienen curvatura media H ≤ 0,
95
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
cuando el vector normal unitario apunta hacia el interior del cuello de la
superficie.
Por lo tanto, {ψa∗ : a > 0} es una familia uniparamétrica de superficies
que constituyen barreras para la existencia de una superficie minimal Σ
que esté propiamente inmersa en el semiespacio M × (−∞, 0].
A partir de esta situación la prueba se completaría de forma análoga a
la demostración del [HM, Teorema 1].
Figura 3.4: El gráfico ilustra el argumento central de la demostración del
Teorema 3.3.4 análoga a la de [HM, Teorema 1].
En [NR2, Teorema 1], B. Nelli y H. Rosenberg demuestran la existencia
de una familia de superficies minimales de rotación que denominan catenoides (véase también [PR1] o la Proposición 2.3.1 de la subsección 2.3.1
de esta memoria) y se describen algunas de sus principales características.
96
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
A partir de esta familia de catenoides minimales en H2 (c) × R con c < 0 se
puede establecer el siguiente resultado, que es una consecuencia inmediata de las Proposiciones 3.2.3 y 3.2.4. También podríamos considerar familias
de superficies minimales invariantes bajo otros grupos uniparamétricos de
isometrías, como las que aparecen descritas en la Proposición 2.3.2 de la
subsección 2.3.1.
Proposición 3.3.1 Sea Σ una catenoide minimal en el espacio producto
homogéneo M2 (c) × R, con c ≤ 0, invariante bajo el grupo uniparamétrico
de rotaciones. Entonces la superficie Σ∗ es un bigrafo en M2 × R con
curvatura media H ≥ 0 considerando el normal apuntando hacia su interior
y siempre que K 2 ≤ c.
M
Por otra parte un resultado análogo al teorema del semiespacio para
superficies minimales de R3 fue establecido por Nelli y Sa Earp para superficies cuya curvatura media tenga el valor crítico H = 1/2 en H2 × R.
Denotemos por S0 el grafo entero rotacional con curvatura media constante H = 1/2 en H2 × R descrito en el caso 2 de la Proposición 2.3.3.
Nelli y Sa Earp [NE] probaron que en H2 × R una superficie completa con
curvatura media constante H = 1/2, diferente de una superficie rotacional
simplemente conexa, no puede estar propiamente inmersa en la componente hacia la que apunta el vector curvatura media de S0 .
Sea M una superficie de Hadamard con curvatura de Gauss KM ≤ −1,
M += H2 . Denotemos por S0∗ (p) el correspondiente grafo simplemente conexo obtenido a partir del grafo entero rotacional en H2 × R con H = 1/2, y
tomemos coordenadas polares en un punto p ∈ M. Puesto que las translaciones verticales son isometrías en el espacio ambiente M2 × R, denotaremos también mediante S0∗ (p) cualquier translación vertical del grafo entero
previo.
A partir de la Proposición 3.2.3 y de la Proposición 3.2.4 la superficie
S0∗ (p) tiene curvatura media H ≥ 1/2 cuando el vector normal unitario
apunta hacia arriba. Podemos entonces enunciar el siguiente teorema.
Teorema 3.3.5 Sea M2 una superficie de Hadamard con curvatura de Gauss
K 2 ≤ −1. Consideremos una superficie completa Σ en la variedad pro-
M
ducto M2 × R con curvatura media satisfaciendo |H| ≤ 1/2. Entonces, dado
97
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
un punto p ∈ M2 la superficie Σ no puede estar propiamente inmersa en
la componente hacia la que apunta el vector curvatura media de S0∗ (p), a
menos que H ≡ 1/2, M2 ≡ H2 y Σ ≡ S0 .
Figura 3.5: El gráfico muestra las superficies Σ, Sε∗ (p), S0∗ (p) y G∗α para
valores de α aproximándose a 1, e ilustra el argumento central de la demostración del Teorema 3.3.5 análoga a la de [NE, Teorema 1].
Prueba: Siguiendo la notación de [NE], consideramos la familia Hα , α > 1,
de superficies rotacionales no embebidas en H2 × R con curvatura media
constante H = 1/2 (descritas en el caso 3o de la Proposición 2.3.3 con
α = −d, y en el Apéndice de [NEST]).
En este caso la función altura de la curva Γα que determina el perfil de
la superficie Hα no es monótona. Consideraremos la componente conexa no
acotada Γ1α de Γα , para la cual la función altura es estrictamente creciente
como función de la distancia al eje de rotación, definida cuando u ∈ (u∗ , ∞),
de acuerdo con lo establecido en el caso 3o de la Proposición 2.3.3.
98
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Sea p ∈ M2 y Σ una superficie propiamente inmersa en la componente
hacia la que apunta el vector curvatura media de S0∗ (p) y cuya curvatura
media cumpla |H| ≤ 1/2.
Figura 3.6: Curvas generatrices de las superficies Sε∗ (p), S0∗ (p) y G∗α para
valores de α aproximándose a 1, de la figura 3.3.2.
Denotaremos por Gα la porción de Hα obtenida al rotar la curva Γ1α .
Entonces, establecidas unas coordenadas polares en el punto p ∈ M2 , el
grafo Gα en H2 × R puede ser deformado en el grafo G∗α en M2 × R. A partir
de las condiciones de la función altura de Γ1α y utilizando las Proposiciones
3.2.3 y 3.2.4, obtenemos que la curvatura media de estas superficies es
mayor o igual que 1/2 en cualquiera de sus puntos.
Ahora, siguiendo el mismo proceso que en [NE], podemos utilizar esta
familia de grafos G∗α de M2 × R para demostrar que Σ debe ser una translación vertical Sε∗ (p) de S0∗ (p) o debe existir un α0 > 1 tal que Σ y G∗α0 se
corten en un punto, estando Σ por encima de G∗α0 . Esta última posibilidad
no puede ocurrir puesto que aplicando el principio de comparación para la
curvatura media de ambas superficies, éstas deberían coincidir.
Así pues, Σ es una translación vertical de S0∗ (p). Por lo tanto Σ y S0∗ (p)
son congruentes y deben tener curvatura media constante igual a 1/2. Finalmente, a partir de (3.2) y de (3.3) es fácil ver que si la curvatura media
del grafo entero S0∗ (p) y de S0 coinciden, entonces la curvatura de M2 deberá ser K 2 = −1 para cualquier punto de M2 , y por lo tanto M2 será,
M
salvo isometrías, el plano hiperbólico.
99
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Recordemos que en un espacio topológico (X , T ) que admita una sucesión de conjuntos compactos {Kn } con Kn ⊂ Kn+1 cuyos interiores cubren
todo X (hemicompacto), llamaremos final a cualquier sucesión E = {Un }
con Un ⊃ Un+1 y donde cada Un es una componente conexa de X − Kn .
El número de finales no depende de la sucesión de compactos elegida.
Además un entorno de un final E = {Un } es un conjunto abierto V tal
que V ⊃ Un para algún valor n. Equivalentemente podemos entender que,
en una superficie riemanniana, un final es la imagen mediante una inmersión del disco cerrado punteado de radio unidad del plano complejo. Por
otra parte, de acuerdo con la terminología usual, diremos que un final de
una superficie en M2 × R es cilíndricamente acotado si existe un conjunto compacto K ⊂ M2 tal que dicho final esté contenido en el cilindro K × R.
Como consecuencia del teorema anterior podemos enunciar un resultado análogo al corolario 1 de [NE], para el caso en el que el espacio
ambiente sea del tipo M2 × R, cuando M2 es una superficie de Hadamard
con curvatura K ≤ −1.
Figura 3.7: Movimiento de la superficie S0∗ que prueba el Corolario 3.3.2.
100
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Corolario 3.3.2 Consideremos una superficie de Hadamard M2 con curvatura K ≤ −1. Supongamos que Σ es una superficie propiamente inmersa en
M2 × R con curvatura media |H| ≤ 1/2 y finales cilíndricamente acotados.
Entonces Σ debe tener más de un final.
3.3.3. Resultados de no existencia.
Al igual que en el espacio euclídeo R3 , en H2 × R existen también superficies minimales rotacionales completas, como hemos visto en la Proposición 2.3.1, que llamamos catenoides y utilizado en 3.3.1. Estas superficies
también han sido estudiadas por Sa Earp y Toubiana [ET1], obteniendo a
partir de ellas algunos resultados interesantes sobre el comportamiento en
el infinito de una superficie minimal en H2 × R.
En concreto en [ET1] se muestran algunos resultado de no existencia de
superficies minimales propiamente inmersas en H2 × R cuyo final cumpla
ciertas condiciones, en particular en el teorema 2.1 (Teorema asintótico) y
en el Corolario 2.1. Podemos ahora generalizar estos resultados a espacios
del tipo M2 × R de la siguiente manera.
Teorema 3.3.6 Sea M2 una superficie de Hadamard cuya curvatura de
Gauss KM cumple que c ≤ KM ≤ b < 0, y consideremos un arco γ ⊂
∂∞ M2 × R. Supongamos que existe una recta vertical L ⊂ ∂∞ M2 × R y un
subarco γ ⊆ γ tal que:
(1) γ ∩ L += ∅ y ∂γ ∩ L = ∅,
(2) γ queda a un lado de L,
√
(3) γ ⊂ ∂∞ M2 × (t0 , t0 + π/ −c), para algún número real t0 .
Entonces no existe una superficie minimal propiamente inmersa (quizá con
borde finito), Σ ⊂ M2 × R, con final asintótico γ y tal que Σ ∪ γ sea una
superficie continua con borde.
Prueba: En primer lugar observemos que, como K ≤ b < 0, dados dos
puntos p1 , p2 ∈ ∂∞ M2 , existe una única geodésica Γ ⊆ M2 con p1 y p2
como sus puntos en el infinito. En esta situación, la idea de la prueba
continúa como en [ET1] donde necesitamos considerar ahora como familia
101
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Figura 3.8: Superficies Σ y C ∗ ilustrando el argumento central de la demostración del Teorema 3.3.6, análoga a la de [ET1, Asymptotic Theorem].
de barreras las superficies C ∗ en M2 × R obtenidas a partir de la familia
de catenoides minimales en H2 (c) × R descritas en la Proposición 2.3.1.
Puesto que K ≥ c, de la Proposición 3.2.3 y la Proposición 3.2.4 las nuevas
superficies C ∗ en M2 × R tienen curvatura media H ≤ 0 para el vector
normal unitario apuntando al interior del cuello de las catenoides, pudiendo
ser utilizadas entonces como en [ET1], teniendo en cuenta ahora
que la
√
altura máxima que pueden alcanzar no sobrepasa el valor π/ −c.
Como consecuencia de este resultado tendremos,
Corolario 3.3.3 Sea M2 una superficie de Hadamard con c ≤ K ≤ b < 0.
Consideremos γ ⊂ ∂∞ M2 × R una curva de Jordan homóloga a cero (en
entre dos círculos
∂∞ M2 × R), contenida en la franja abierta comprendida
√
horizontales de ∂∞ M2 × R con altura igual a π/ −c. Entonces no existe
una superficie minimal propiamente inmersa con borde asintótico γ.
102
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
3.3.4. Resultados para superficies con borde en M2 × {0}.
Mostraremos a continuación que, bajo ciertas condiciones, una superficie en M2 × R de curvatura media constante, cuyo borde sea una curva de
Jordan de clase C2,α (ver [GT, 4.1]) sobre una sección horizontal, debe de ser
un grafo. Este resultado fue probado por Nelli, Sa Earp, Santos y Toubiana
[NEST] en el caso particular de H2 × R. Para ello, utilizaron grafos enteros
rotacionales de curvatura media constante H ∈ [0, 1/2]. Deformando estos
grafos podemos obtener el siguiente resultado.
Teorema 3.3.7 Sea M2 una superficie de Hadamard cuya curvatura satisface −c 2 ≤ K ≤ −1, c ≥ 1. Consideremos una superficie compacta Σ
inmersa en M2 × R con borde una curva de Jordan Γ de clase C2,α y con
curvatura geodésica mayor que c, contenida en una sección horizontal. Supongamos que Σ tiene curvatura media constante H0 ∈ [0, 1/2]. Entonces Σ
es un grafo vertical.
Prueba: En primer lugar conviene observar que el resultado es obvio para
H0 = 0 de acuerdo con el principio de máximo aplicado a Σ y las superficies
minimales dadas por secciones horizontales en M2 × R.
Por tanto, consideremos una superficie Σ compacta inmersa en M2 × R
con borde Γ ⊆ M2 × {0} y curvatura media constante H0 ∈ (0, 1/2]. Sea D
el dominio cerrado y acotado determinado por Γ ⊆ M2 ≡ M2 ×{0}. Veamos
que Σ está contenida en el cilindro D × R.
Sea p0 ∈ M2 un punto de Γ. Existen exactamente dos horociclos en M2
tangentes a Γ en el punto p0 . Consideremos el único horociclo en M2 que
es tangente a Γ en el punto p0 y con el mismo normal unitario. Usando
que Γ es una curva de Jordan con curvatura geodésica mayor que c, es
fácil ver que Γ debe de estar contenida en el dominio convexo cerrado
Ω determinado por dicho horociclo. Como la curvatura de M2 satisface
que K ∈ [−c 2 , −1], tenemos que la curvatura geodésica de este horociclo
estará siempre comprendida entre 1 y c ya que los horociclos son círculos
geodésicos y podemos aplicar por tanto (1.8).
Sea γ(s) la geodésica orientada parametrizada por la longitud de arco
que es normal a Γ con γ(0) = p0 y γ (0) apuntando hacia Ω. Para cada s > 0
consideremos el disco geodésico cerrado Ds centrado en γ(s) de radio s.
Puesto que Ω es el límite de los discos Ds cuando s tiende a infinito y Γ
es un conjunto compacto, entonces existirá s0 > 0 tal que Ds0 contenga a
Γ.
103
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Figura 3.9: El gráfico ilustra el argumento central de la demostración del
Teorema 3.3.7 análogo al empleado en [NEST] para H2 × R.
Consideremos el grafo entero rotacional S de curvatura media constante
H0 en H2 × R, al que se hace referencia en el teorema 2.3.2. Tomemos
el grafo entero asociado S ∗ ⊆ M2 × R cuando utilizamos coordenadas
∗
polares geodésicas en γ(s0 ) ∈ M2 . Denotaremos por S la reflexión de
∗
S ∗ con respecto a una sección horizontal. Las superficies S ∗ y S son
congruentes. Por la Proposición 3.2.3 y la Proposición 3.2.4 obtenemos que
104
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
ambas tienen curvatura media H ≥ H0 para su normal unitario interior,
es decir, apuntando hacia la misma componente a la que apunta su vector
curvatura media.
∗
Como S ∗ y S se han obtenido utilizando coordenadas polares sobre
γ(0) podemos suponer que, salvo translaciones verticales, S ∗ ∩ M2 × {0} =
∗
∂Ds0 = S ∩ M2 × {0}. En particular, Γ está contenida en las componentes
∗
hacia las que apunta el vector curvatura media de S ∗ y S , ya que Γ ⊂ Ds0 .
Como Σ es compacta podemos mover verticalmente S ∗ de tal forma que
Σ esté completamente contenida en la componente hacia la que apunta el
vector curvatura media de S ∗ . Ahora, por el principio de máximo, deshaciendo el movimiento vertical anterior de S ∗ las superficies Σ y S ∗ no se
cortarán hasta que esta última esté en su posición inicial, esto es, cuando
S ∗ ∩ M2 × {0} = ∂Ds0 .
∗
El mismo argumento puede utilizarse con S . Por lo tanto Σ debe estar
contenida en el cilindro Ds0 × R y no existe ningún punto de Σ en la fibra
vertical {p0 } × R excepto el punto (p0 , 0) ∈ Γ. Repitiendo el mismo argumento para cualquier punto (p0 , 0) de Γ obtenemos que Σ está contenida
en el cilindro vertical D × R.
Consideremos ahora Σ0 el grafo de curvatura media constante H0 con
borde Γ (ver [Sp2] o [NEST] para el caso particular de H2 × R) y sea −Σ0
la reflexión de Σ0 respecto de la sección horizontal M2 × {0}.
Como nuestra superficie coincide sobre el borde con ambos grafos de
curvatura constante H0 , utilizando la misma técnica empleada en [NEST,
Teorema 2.2]) basada en la fórmula de equilibrio para grafos con curvatura
media constante H0 > 0 dada en la Proposición 1.4.7 (ver también [HLR,
Proposición 3]), se sigue, que en algún punto de ∂Σ deben coincidir los
vectores normales de Σ y Σ0 o de Σ y −Σ0 . Dicho punto será un punto de
tangencia en el borde. Aplicando ahora el principio del máximo, obtenemos
que Σ debe coincidir con Σ0 o con −Σ0 .
El resultado de comparación puede utilizarse también para obtener barreras que son subsoluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales.
Estas subsoluciones serán suficientes para probar la existencia de soluciones de dicha ecuación (ver por ejemplo la construcción en [GR] de algunas
barreras específicas para superficies minimales en M2 × R). Barreras similares se han utilizado en [FR], las cuales pueden entenderse como un caso
de la descripción general realizada en la Sección 3.2.
105
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
A continuación daremos un ejemplo de existencia de grafos con curvatura extrínseca constante, es decir, obtendremos soluciones al problema
de Dirichlet para la ecuación de Monge-Ampére asociada a los grafos de
curvatura extrínseca constante positiva. Recordemos antes que rc∗ (k0 ) es el
radio de un disco geodésico de M2 (c) donde está definida la esfera rotacional de curvatura extrínseca constante k0 > 0 de M2 (c) × R, y que ha
quedado establecido en el Corolario 2.6.1 (ver también [EGR]).
Figura 3.10: Superficies Sk , Sk0 y Ck en M2 (c) × R y Ck∗ y S0∗ en M2 × R
ilustrando el argumento central de la demostración del Teorema 3.3.8.
Teorema 3.3.8 Sea M2 una superficie riemanniana, Dr un disco geodésico
cerrado de radio r > 0 en M2 , y c el máximo de la curvatura de M2 en Dr .
Tomemos k0 > 0 tal que rc∗ (k0 ) = r. Entonces existe un grafo h de curvatura
extrínseca constante k > 0 en M2 × R y h|∂Dr = 0 para cualquier k < k0 .
106
Capítulo 3. Barreras en M2 × R para superficies con curvaturas prefijadas.
Prueba: Sea Sk una esfera de M2 (c) × R con curvatura extrínseca constante k > 0, descrita en el Capítulo 2 (ver también [EGR]). Obsérvese que,
salvo translación, Sk1 está contenida en la componente abierta acotada determinada por Sk2 cuando k1 > k2 . Por lo tanto, puesto que r = rc∗ (k0 ) es el
radio del disco cerrado donde la esfera Sk0 está definida, entonces, salvo
translaciones verticales, para k < k0 existirá un casquete esférico Ck de Sk
tal que Ck sea el grafo estricto de una función hk en un disco geodésico
cerrado de radio r, con hk = 0 en el borde.
Si consideramos el grafo asociado Ck∗ en M2 ×R utilizando coordenadas
polares geodésicas en el centro de Dr , entonces de la Proposición 3.2.3
y la Proposición 3.2.4 obtenemos que la superficie Ck∗ tendrá curvatura
extrínseca mayor o igual que k. Por lo tanto, tendremos una subsolución
de nuestro problema de Dirichlet. Por último, de [Gu] (ver también [Sp2,
Teorema 1.9]), se obtiene que existirá un grafo S0∗ en M2 × R de curvatura
extrínseca constante k y datos en el borde cero, solución del problema.
107
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Capítulo 4
Superficies compactas con CGC en M2(ε) × R.
4.1.
Introducción.
En los últimos años, el estudio de superficies en H2 × R y S2 × R ha
tenido un importante desarrollo, especialmente a partir de los trabajos de
Abresch y Rosenberg en [AR] donde generalizaron el teorema de Hopf a
estos espacios producto homogéneos.
En este capítulo trabajaremos con superficies compactas de curvatura
de Gauss constante K (I) en estos espacios ambientes. Esta clase de superficies han sido recientemente estudiadas por Aledo, Espinar y Gálvez en
[AEG1] y [AEG2]. De hecho, en [AEG1] prueban la existencia de una forma
diferencial cuadrática holomorfa para superficies de curvatura de Gauss
constante positiva en H2 × R y curvatura de Gauss constante mayor que 1
en S2 × R que les permite obtener los siguientes resultados tipo Liebmann:
Existe una única superficie completa de curvatura constante
positiva en H2 × R y una única superficie completa de curvatura
constante mayor que 1 en S2 × R, salvo isometrías del espacio
ambiente.
Estas superficies completas han sido precisamente ya estudiadas en la
Sección 2.7 del capítulo segundo de esta memoria, y resultarán esenciales
en éste. Por otra parte, en [AEG2] se obtienen estimaciones óptimas para la
función altura de superficies de curvatura de Gauss constante en H2 × R y
S2 × R. En ese estudio, la forma cuadrática holomorfa mencionada permite
caracterizar los ejemplos completos rotacionales como las únicas superficies para las cuales las cotas se alcanzan. Citaremos también que en [AAA],
Victorino Lozano Cabrero
108
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
utilizando técnicas diferentes (fórmulas integrales), Aledo, Albujer y Alías
desarrollan un estudio para hipersuperficies en productos riemannianos y
lorenzianos Mn ×R (donde Mn es una variedad riemanniana n-dimensional)
en términos de las curvaturas escalares de la hipersuperficie y de Mn .
Obtendremos algunos resultados para superficies compactas con borde, de curvatura de Gauss constante positiva en H2 × R y curvatura de
Gauss constante mayor que 1 en S2 × R. En este sentido, probaremos en el
Teorema 4.3.1 que si tal superficie tiene borde Γ contenido en una sección
horizontal del espacio ambiente y la superficie interseca a dicha sección
con ángulo constante a lo largo de Γ, entonces la superficie es parte de
una superficie completa rotacional. Este teorema será consecuencia de un
resultado más general (Proposición 4.2.1), en el que se usa la forma cuadrática holomorfa mencionada anteriormente.
En la última parte del capítulo obtendremos algunas estimaciones del
área para superficies de curvatura de Gauss constante positiva en H2 × R
y curvatura de Gauss constante mayor que 1 en S2 × R cuyo borde esté
contenido en una sección horizontal del espacio ambiente (Teorema 4.4.1).
Estas estimaciones son óptimas en el sentido de que, si las cotas se alcanzan, la superficie es de nuevo parte de una superficie rotacional completa.
Esta clase de problemas para superficies con curvatura de Gauss constante
positiva en el espacio euclídeo fueron estudiados por Gálvez y Martínez en
[GM].
4.2.
Preliminares.
En adelante, consideraremos superficies en espacios producto homogéneos M2 (ε) × R con ε ∈ {−1, 1}, siendo, M2 (1) la esfera euclídea S2 y
M2 (−1) el plano hiperbólico H2 .
Sea Σ una superficie orientable conexa y ψ : Σ −→ M2 (ε) × R una
inmersión con campo de vectores normales unitarios N. Denotaremos por
h la función altura sobre Σ, es decir, la cuarta coordenada de la inmersión
ψ, y por ν la función ángulo, ya definidas en el Capítulo 2. Recordemos
que se cumple, como se ha visto en la Proposición 1.4.1, la relación
ν 2 = 1 − |∇h|2 ,
(4.1)
109
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
donde |∇h| es el módulo del gradiente de h con respecto a la métrica inducida sobre Σ via la inmersión ψ, que denotaremos por I = , .
Representaremos por K (I) la curvatura intrínseca o de Gauss y por K la
curvatura extrínseca o de Gauss-Kronecker de Σ. Ambas curvaturas están
relacionadas como ya hemos visto por la ecuación de Gauss
K (I) = K + εν 2 .
(4.2)
Cuando K es positiva sobre Σ la segunda forma fundamental II de ψ
es definida. En este caso elegiremos N de forma que II sea definida positiva.
En este Capítulo trabajaremos con superficies conexas y compactas en
con borde regular. Para ser más precisos, si Γ es una curva regular
cerrada en M2 (ε) × R, una inmersión ψ : Σ −→ M2 (ε) × R se dice que es
una superficie con borde Γ si la restricción de ψ a ∂Σ es un difeomorfismo
sobre Γ. Cuando dicha superficie tiene curvatura extrínseca positiva y borde
Γ contenido en un plano horizontal M2 (ε) × {h0 } del espacio ambiente, el
siguiente resultado muestra que Σ es homeomorfa al disco cerrado unidad
D. Este hecho será utilizado más adelante.
M2 (ε)×R
Lema 4.2.1 Sea ψ : Σ −→ M2 (ε) × R una superficie conexa compacta con
curvatura extrínseca positiva y borde contenido en una sección horizontal.
Entonces Σ es homeomorfa al disco cerrado de radio unidad D.
Prueba: La prueba para el caso ε = −1 puede deducirse a partir del
razonamiento desarrollado en [EGR, Teorema 3.1].
Para demostrar el resultado cuando ε = 1, utilizaremos que cualquier
curva convexa de Jordan regular en S2 se encuentra en una semiesfera
abierta y consecuentemente su región interior es un conjunto geodésicamente convexo en S2 (ver [GM1, Lemma 14]).
Podemos suponer que el borde Γ está contenido en la sección horizontal
S2 × {0}. Además, como Σ tiene curvatura extrínseca positiva K , podemos
asumir que ψ(Σ) queda sobre esta sección horizontal.
Sea p0 un punto donde la función altura h alcanza un máximo h0 . Entonces, en un entorno de p0 la superficie será un grafo sobre S2 × {0}. Por
tanto, utilizando de nuevo que K > 0, podemos tomar h, con 0 < h < h0 ,
y tal que para cualquier h, que verifique h ≤ h < h0 , la intersección C (h)
110
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
de ψ(S) y el plano S2 × {h} es una curva convexa de Jordan con curvatura geodésica positiva que, por lo tanto, está contenida en un hemisferio
abierto cuya región interior es geodésicamente convexa en S2 .
Por otra parte, mediante un razonamiento análogo al de [GM1, Lemma
14] si hacemos tender h a 0 entonces C (h) se transforma en una curva
convexa de Jordan contenida en la misma semiesfera abierta y encerrando
un conjunto geodésicamente convexo en S2 , lo que nos permitirá concluir
que Σ es homeomorfa a D.
Revisaremos ahora algunos hechos importantes en relación con las superficies en M2 (ε) × R con curvatura de Gauss constante. Remitimos al
lector a [AEG1] y a [AEG2] para ver un desarrollo más detallado.
Sea ψ : Σ −→ M2 (ε) × R una inmersión con primera y segunda forma fundamental I y II respectivamente, y consideremos sobre Σ la forma
cuadrática
1
(4.3)
dh2 .
A=I+
ε K (I) − 1
Cuando la curvatura de Gauss (no necesariamente constante) K (I) es
positiva y tal que K (I)−ε > 0, entonces A es una métrica riemanniana. Observemos que, de (4.2), la inmersión ψ tiene curvatura de Gauss-Kronecker
K > 0 y por lo tanto II es también definida positiva salvo cambio en la
orientación.
Si la inmersión ψ tiene curvatura de Gauss constante positiva K (I) tal
que K (I) − ε > 0 y consideramos Σ como la superficie de Riemann con la
estructura conforme inducida por II, entonces
1
2
2
dz 2
h
Q = A(∂z , ∂z ) dz = ψz , ψz +
εK (I) − 1 z
es una forma cuadrática holomorfa, donde z denota un parámetro local
conforme sobre Σ (véase [AEG1, Corolario 1]). Además, si Q se anula idénticamente sobre Σ, entonces ψ(Σ) es parte de una superficie rotacional
completa de curvatura de Gauss constante K (I) ([AEG2, Ejemplos 3.1 y 3.2,
y Teorema 3.1]).
Teniendo en cuenta todo lo anterior, estamos en condiciones de probar
el siguiente resultado.
111
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
Proposición 4.2.1 Sea ψ : D −→ M2 (ε) × R una inmersión con curvatura
de Gauss positiva y constante K (I) tal que K (I) > 1 si ε = 1. Si la parte
imaginaria de Q, Im(Q), se anula idénticamente sobre ∂D, entonces ψ(D)
es parte de una superficie rotacional completa con curvatura de Gauss
constante K (I).
Prueba: Sea z un parámetro conforme local para la segunda forma fundamental (definida positiva) II y consideremos coordenadas polares (r, θ)
tales que z = r(cos θ + isen θ). Si expresamos Q = f(z) dz 2 , es decir
f(z) = A(∂z , ∂z ), entonces f(z) es una función holomorfa pues ψ tiene curvatura de Gauss constante.
Obsérvese que, sobre ∂D,
dz = (−sen θ + i cos θ) dθ = iz dθ,
(4.4)
ya que r = 1 y dr = 0. Como Im(Q) se anula idénticamente sobre ∂D,
podemos obtener, utilizando (4.4) que
0 = Im(Q) = Im(f(z) dz 2 ) = Im(−f(z)z 2 dθ 2 )
sobre ∂D, y por lo tanto Im(−f(z)z 2 ) = 0 sobre ∂D.
Ahora, como f(z)z 2 es una función holomorfa entonces Im(−f(z)z 2 ) es
una función armónica sobre D que se anula sobre el borde ∂D, y por lo
tanto por el principio de máximo concluimos que f(z)z 2 = c sobre D para
una constante real c. Pero, como f(z) es holomorfa, debe ser c = 0 y
consecuentemente Q se anulará sobre D, es decir, ψ(D) será parte de una
superficie rotacional completa de curvatura de Gauss constante K (I).
4.3.
Superficies compactas en M2 (ε) × R con CGC.
Teorema 4.3.1 Sea ψ : Σ −→ M2 (ε) × R una inmersión de una superficie
compacta con curvatura de Gauss positiva y constante K (I) tal que K (I) > 1
si ε = 1. Si su borde Γ está contenido en un plano horizontal M2 (ε) × {h0 }
del espacio ambiente y ψ(Σ) interseca a este plano con ángulo constante a
lo largo de Γ, entonces ψ(Σ) es parte de una superficie rotacional completa
de curvatura de Gauss constante K (I).
Prueba: Primeramente, observemos que la condición de que ψ(Σ) interseque a M2 (ε) × {h0 } con ángulo constante a lo largo de Γ es equivalente al
112
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
hecho de que Γ sea una línea de curvatura de Σ. En efecto, parametricemos
Γ = Γ(s) con s en un cierto conjunto X . Entonces la hipótesis sobre el
ángulo significa que ν(Γ(s)) es constante para todo s ∈ X , y por lo tanto la
cuarta coordenada de dN(Γ (s)) se anula idénticamente para todo s ∈ X .
Pero esto implica que dN(Γ (s)) y Γ (s) son colineales, es decir, Γ es una
línea de curvatura de Σ.
Por otra parte, como h es constante sobre el borde Γ, se deduce de
(4.3) que si Γ es una línea de curvatura de Σ entonces Γ es una línea de
curvatura de Σ para el par (A, II).
Del lema 4.2.1 tenemos que Σ con la estructura conforme dada por II es
conformemente equivalente a D y por tanto podemos asumir que Σ = D. Por
lo tanto, por la Proposición 4.2.1, es suficiente probar que si Γ es una línea
de curvatura para el par (A, II), entonces Im(Q) se anula idénticamente
sobre ∂D. Si tomamos z = u + iv un parámetro local conforme para la
segunda forma fundamental y escribimos
A = E du2 + 2 F du dv + G dv 2 ,
entonces
1
f(z) = A(∂z , ∂z ) =
2
E(z) − G(z)
− iF (z) .
2
Tomando coordenadas polares (r, θ) tales que z = r(cos θ + isen θ),
tenemos que
∂r = cos θ ∂u + sen θ ∂v
y
∂θ = −sen θ ∂u + cos θ ∂v
sobre ∂D, y usando que z es conforme para II obtenemos II(∂r , ∂θ ) = 0.
Ahora, como Γ es una línea de curvatura de Σ para el par (A, II), entonces
0 = A(∂r , ∂θ ) = −
E(z) − G(z)
sen 2θ + F (z) cos 2θ
2
(4.5)
sobre ∂D.
Como f(z) es una función holomorfa sobre D, entonces g(z) := −2 z 2 f(z)
también lo será. Por lo tanto, Im(g(z)) es una función armónica sobre D con
Im(g(z)) = −
E(z) − G(z)
sen 2θ + F (z) cos 2θ
2
z ∈ ∂D
sobre ∂D, y por lo tanto Im(g(z)) se anula sobre ∂D (ver (4.5)). Pero, como
hemos visto en la demostración de la Proposición 4.2.1, esto significa que
Im(Q) se anula idénticamente sobre ∂D, con lo que se concluye la prueba.
113
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
Observación 4.3.1 Como hemos visto en la demostración anterior, la hipótesis Im(Q) = 0 sobre el borde ∂D significa realmente que ∂D es una línea
de curvatura de la inmersión para el par (A, II). Esto nos permite reescribir
la Proposición 4.2.1 de una forma geométrica más general sustituyendo la
hipótesis Im(Q) = 0 sobre el borde ∂D por esta otra condición.
Observación 4.3.2 Esta clase de problemas para superficies compactas
con borde y con curvatura media constante en espacios producto han sido estudiados por Cavalcante y Lira en [CL]. Por otra parte, Do Carmo y
Fernández [CF] extendieron este estudio a superficies con curvatura media
constante regulares tipo disco con borde regular a trozos y cuyos vértices
cumplan alguna condición adicional.
4.4.
Estimación del área.
Terminaremos este capítulo obteniendo las siguientes estimaciones de
área para superficies compactas con borde y curvatura de Gauss constante
en los espacios producto homogéneos M2 (ε) × R.
Teorema 4.4.1 Sea ψ : Σ −→ M2 (ε) × R una inmersión de una superficie
compacta con curvatura de Gauss constante K (I) tal que K (I) > 1 si ε = 1,
y cuyo borde Γ esté contenido en un plano horizontal M2 (ε) × {h0 } del
espacio ambiente. Sea ν0 una constante positiva tal que la función ángulo
ν a lo largo de Γ cumpla que ν 2 ≤ ν02 . Entonces el área A de Σ satisface
la relación
2 π − ν0 (2π − ε A)
2 π + ν0 (2 π − ε A)
≤A≤
K (I)
K (I)
(4.6)
donde A es el área de la región encerrada por Γ en M2 (ε). Además, la
igualdad se cumple en una de las anteriores desigualdades si y solo si
ψ(Σ) es parte de una superficie rotacional completa de curvatura de Gauss
constante K (I).
Prueba: Observemos primeramente que, como ψ es una superficie con curvatura extrínseca positiva y el borde es una curva de Jordan, ψ(Σ) debe
intersecar a M2 (ε) × {h0 } transversalmente a lo largo de Γ, es decir, ν 2 < 1
sobre ∂Σ. Por lo tanto podemos elegir un campo de vectores tangentes ξ
a lo largo de Γ de modo que {ξ, N, ∂t } sea una referencia local de campos
orientada positivamente a lo largo de Γ.
114
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
Si denotamos por ξ a la derivada covariante de ξ sobre Γ, entonces
ξ = kg J(ξ) + kn N
(4.7)
donde kg y kn son la curvatura geodésica y normal de Γ, y J denota la
rotación positiva de ángulo π/2 en el plano tangente de Σ. Por tanto
kΓ2 = kg2 + kn2 ,
(4.8)
siendo kΓ la curvatura de Γ. Además, también de (4.7) obtenemos
0 = ξ , ∂t = −kg |∇h| + kn ν
y por lo tanto kg2 |∇h|2 = kn2 ν 2 . Entonces, usando (4.8) y (4.1) se obtiene
que
(4.9)
kg2 = kΓ2 ν 2 .
Por otra parte, como Γ es una curva de Jordan contenida en M2 (ε) y la
característica de Euler-Poincaré de Σ es 1, se obtiene, de acuerdo con el
teorema de Gauss-Bonnet, que
kΓ = 2 π − ε A.
(4.10)
Γ
Obsérvese que, cuando ε = 1, la diferencia 2 π − A es positiva pues el
borde Γ está contenido en un hemisferio abierto (véase la prueba del Lema
4.2.1).
Finalmente, utilizando de nuevo el teorema de Gauss-Bonnet, la desigualdad de Schwarz, (4.9) y (4.10) se obtiene
2
(2 π − K (I) A)2 =
kg
Γ
≤
kΓ
Γ
Γ
kΓ ν 2 ≤ ν02 (2π − ε A)2
de donde se deducen las desigualdades (4.6).
Además, si se cumple la igualdad en alguna de las desigualdades de
(4.6) entonces ν sería constante en Γ. Pero, utilizando el teorema 4.3.1,
esto significaría que ψ(Σ) es parte de una superficie rotacional completa
de curvatura de Gauss constante K (I).
115
Capítulo 4. Superficies compactas con CGC en M2 (ε) × R.
Observación 4.4.1 En el teorema 4.4.1 ν0 puede elegirse como el máximo
de |ν| sobre el borde Γ. Además, como siempre ν 2 ≤ 1 podemos tomar
ν0 = 1 y por lo tanto
εA
4π − εA
≤A≤
.
K (I)
K (I)
Por supuesto, estas últimas estimaciones no serán óptimas.
116
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Capítulo 5
Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3.
5.1.
Preliminaries.
Una inmersión de una superficie orientada ψ : Σ −→ R3 , con curvatura
de Gauss no nula K y curvatura media H, se dice que es una inmersión
mínima de Laguerre (o en adelante LM-superficie) si
H
III
= 0,
(5.1)
Δ
K
donde ΔIII representa el Laplaciano con respecto a la tercera forma fundamental de ψ.
III = −K I + 2 H II.
El estudio de estas superficies se remonta inicialmente a los trabajos
de J. Weingarten en 1888 [Bi], desarrollándose posteriormente en una serie
de artículos de W. Blaschke [Bl1, Bl2, Bl3, Bl4], donde tales superficies
aparecen como puntos críticos del funcional
H2 − K
ds,
L(ψ) =
K
siendo ds el elemento de área de la superficie. Este funcional es invariante
bajo el grupo 10-dimensional de transformaciones de Laguerre (ver [LW]
para un estudio más detallado).
Victorino Lozano Cabrero
117
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Esta teoría ha captado recientemente un renovado interés (véase, [PR2,
Li1, LW, MN1, MN2, Po, Wa]), principalmente desde un punto de vista local
y en R3 . También se han desarrollados estudios en otros espacios ambientes más generales por E. Musso y L. Nicolodi en [MN1, MN2, MN3], así
como por C. Wang, Y. P. Song y T. Li en [Wa], [LW] y [SW]. En este último
trabajo se prueba que la clase conforme de la tercera forma fundamental
es un invariante de Laguerre. Además cualquier inmersión ψ de una superficie mínima de Laguerre con normal N y función media de los radios de
curvatura R, definida en (1.1), cumple
ΔIII (ψ + R N) = 0,
(5.2)
ecuación que constituye uno de los puntos de partida de este trabajo.
También se relacionan, en ciertas condiciones, las superficies mínimas de
Laguerre en R3 con las soluciones complejas de la ecuación de Liouville
Δf = ef . Por otra parte, A. Szereszewski aborda estos temas en [Sz] obteniendo un teorema de representación de tipo Weierstrass. Por su parte,
B. Palmer en [Pa] analiza algunos aspectos variacionales de la geometría
de Laguerre. También se han desarrollado interesantes aplicaciones en el
ámbito del diseño geométrico por ordenador así como en geometría computacional por M. Peternell y H. Pottman en [PP], y en diseño arquitectónico
(ver referencias en [PGM]).
En este capítulo abordaremos el estudio de LM-superficies desde un
punto principalmente global. Así pues, en la Sección 5.2 generalizaremos
la definición de LM-superficie a superficies cuya curvatura de Gauss pueda
anularse en un conjunto de puntos aislados y son Laguerre mínimas en el
sentido clásico fuera de dicho conjunto. Esta es una clase natural de superficies que llamaremos Inmersiones mínimas generalizadas de Laguerre
(o abreviadamente, GLM-inmersiones). En particular, esta clase contiene a
las superficies minimales de R3 .
En la Sección 5.3 obtendremos en el teorema 5.3.1 una representación
conforme para GLM-superficies en términos de una función real armónica,
una función meromorfa y una 1-forma holomorfa globalmente definida sobre
la superficie. En la Sección 5.5, utilizaremos esta representación para estudiar la completitud de la métrica de Laguerre hL . Demostraremos que cualquier inmersión mínima de Laguerre con métrica de Laguerre completa debe
tener curvatura de Gauss euclídea negativa K en cualquier punto (Teorema
5.5.1). Por otra parte, probaremos que cualquier inmersión completa euclí118
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
dea con curvatura de Gauss negativa debe tener métrica de Laguerre hL
completa (Teorema 5.5.2); sin embargo mostraremos un contraejemplo que
prueba que el resultado recíproco no es cierto. Además probaremos que hL
puede extenderse sobre una GLM-superficie a los puntos en los que K = 0,
y daremos una clasificación completa de las GLM-superficies llanas para
la métrica de Laguerre (Teorema 5.5.3).
Finalmente, en la Sección 5.6 daremos una fórmula de tipo Björling que
resuelve el problema de Björling para GLM-superficies. En particular estudiaremos qué GLM-superficies contienen a una curva dada y a una familia
de planos tangentes a lo largo de cada punto de dicha curva (Teorema
5.6.1). Como aplicación de esta fórmula clasificaremos GLM-superficies llanas para la métrica de Laguerre y caracterizaremos las GLM-superficies
de rotación.
5.2.
Introducción.
Como ya se ha dicho, una inmersión ψ : Σ −→ R3 de una superficie
Σ orientable y conexa en R3 , con curvatura de Gauss K distinta de cero
en todos sus puntos y curvatura media H, es una inmersión mínima de
Laguerre si cumple la ecuación
H
=0
(5.3)
ΔIII
K
siendo III su tercera forma fundamental. Asumamos ahora que ψ : Σ −→ R3
es una inmersión de modo que sus curvatura media y su curvatura de Gauss
están relacionadas por una expresión del tipo
H(p) = R(p) · K (p)
∀p ∈ Σ,
(5.4)
para alguna función diferenciable R : Σ −→ R. Bajo estas hipótesis podemos definir la forma cuadrática
= I − 2 R II,
h
(5.5)
donde I y II son, respectivamente, la métrica inducida y la segunda forma
fundamental de la inmersión. Esta nueva forma cuadrática es conforme a
la tercera forma fundamental de la inmersión si K += 0, ya que
III = −K I + 2 H II = −K h.
(5.6)
119
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Además, si K = 0 en un punto p ∈ Σ entonces, de (5.4), H(p) = 0 y
= I en p. De lo anterior se deduce que, h
II = 0 en p. En particular, h
debe ser una forma cuadrática definida. Con todo esto, puesto que III es
= I en los puntos con
una métrica riemanniana siempre que K += 0 y h
K = 0 entonces, de (5.6), h es una métrica riemanniana si K ≤ 0 y también
cuando K > 0. Podemos ahora establecer el siguiente resultado.
lo es −h
Proposición 5.2.1 Sea ψ : Σ −→ E3 una inmersión de una superficie
orientable y conexa Σ con curvatura media H y curvatura de Gauss K .
Si R : Σ −→ R es una función diferenciable tal que H = R K entonces se
verifica una de las siguientes situaciones:
K > 0 en cualquier punto de Σ, o
K ≤ 0 en cualquier punto de Σ, y en este caso o bien K se anula
idénticamente sobre Σ y por tanto la imagen de ψ es parte de un
plano, o bien {p ∈ Σ : K (p) = 0} es un conjunto de puntos aislados.
dada por (5.5) es definida en cualquier
Prueba: Como la forma cuadrática h
punto, entonces h debe ser o bien definida positiva o definida negativa en
es definida positiva en un punto si
todos los puntos. Por lo tanto, como h
y solo si K ≤ 0 en ese punto, podemos deducir que K > 0 en todos los
puntos o K ≤ 0 en todos los puntos.
que también es cierto en los punPor otra parte, de (5.6), III = −K h,
tos en los que K = 0. Por lo tanto, como III := dN, dN, donde N es
la aplicación de Gauss de la inmersión, obtenemos que N es una aplica De
ción conforme para la superficie Σ con la estructura inducida por h.
ahí, dN se anula en los puntos aislados o dN es idénticamente nula, o
equivalentemente, K = 0 en puntos aislados o ψ(S) es parte de un plano.
Observación 5.2.1 En las condiciones de la Proposición anterior podemos
si K ≤ 0 y h = −h
si
definir la métrica riemanniana h dada por h = h
K > 0. Además la aplicación de Gauss N de la inmersión es conforme para
la métrica h pues III = |K | h.
Definición 5.2.1 Sea ψ : Σ −→ R3 una inmersión y R : Σ −→ R una función diferenciable tal que H = R K . Diremos que ψ es una inmersión mínima generalizada de Laguerre, que llamaremos en adelante GLM-inmersión,
120
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
si el Laplaciano de R con respecto a la métrica riemanniana h es idénticamente nulo, es decir,
Δh R = 0.
Obsérvese en primer lugar que la familia de inmersiones mínimas de
Laguerre, que en adelante llamaremos LM-inmersiones, de una superficie
Σ son GLM-inmersiones de dicha superficie, ya que si se cumple que K += 0,
la función media de los radios de curvatura dada por
1
1
H(p)
1
+
=
∀p ∈ Σ,
R(p) =
2 k1 (p) k2 (p)
K (p)
está siempre bien definida y es armónica respecto de la tercera forma
fundamental, que es una métrica conforme a h.
Sin embargo, para una GLM-superficie la curvatura de Gauss podría
anularse en algunos puntos. Este es un hecho importante, porque, por
ejemplo, las inmersiones minimales son GLM-inmersiones, pero no son LMinmersiones en general, pues la curvatura de Gauss podría anularse en
algunos puntos. En general, las superficies de Weingarten que cumplen
H = c K , c ∈ R, son GLM-superficies.
Como la familia de superficies mínimas de Laguerre es invariante bajo
la acción del grupo de Laguerre, podemos obtener GLM-superficies a partir
de una dada mediante cualquiera de dichas transformaciones.
Ejemplo 5.2.1 (Isometrías) Dada ψ : Σ −→ R3 una inmersión de una GLM = ψ ◦ φ es también
superficie Σ y una isometría φ : R3 −→ R3 , entonces ψ
una inmersión de una GLM-superficie verificándose que
= H,
H
= K,
K
= R.
R
Ejemplo 5.2.2 (Superficies homotéticas) Si ψ : Σ −→ R3 es una inmersión
= c ψ para c ∈ R, c += 0, es también
de una GLM-superficie, entonces ψ
= c R. Basta observar que
la inmersión de una GLM-superficie con R
2
= H/c y la tercera forma fundamental de ambas inmersiones
= K /c , H
K
coincide.
Ejemplo 5.2.3 (Superficies paralelas) Sea ψ : Σ −→ R3 una GLM-superficie
con aplicación de Gauss N, curvatura de Gauss K y curvatura media H.
= ψ + a N, siemEntonces la superficie paralela a Σ a distancia a ∈ R, ψ
2
pre que 1 − 2aH + a K += 0, tiene curvatura de Gauss y curvatura media
121
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
dadas por (ver [Te] o [Hi1])
K
,
1 − 2aH + a2 K
H − aK
=
.
H
1 − 2aH + a2 K
Como las aplicaciones de Gauss de ambas inmersiones coinciden en = R − a,
tonces la tercera forma fundamental también coincide. Además R
y por lo tanto tendremos que ψ es también una GLM-inmersión.
=
K
Observación 5.2.2 Al grupo de transformaciones en R3 que aplican LMsuperficies en LM-superficies se le denomina grupo de transformaciones de
Laguerre. Se puede demostrar que cualquier transformación de este tipo
es composición de isometrías, traslaciones paralelas, y transformaciones
hiperbólicas. Un análisis de estas transformaciones se puede encontrar en
[LW]. El resultado enunciado anteriormente se puede encontrar también en
[Sz].
Destacaremos ahora varias consecuencias inmediatas de la Proposición
5.2.1 anterior.
Observación 5.2.3 Una GLM-superficie compacta tiene en todos sus puntos curvatura de Gauss estrictamente positiva y necesariamente es una
esfera. Para ello, es suficiente observar que cualquier superficie compacta
Σ en R3 debe tener un punto con curvatura de Gauss positiva K . Por lo
tanto, de la Proposición 5.2.1, K será positiva en todos los puntos y la
superficie será entonces una esfera topológica. Por otra parte, como Σ es
compacta y R es una función armónica sobre Σ, entonces R será igual a
una constante c0 . Por tanto, la GLM-superficie es una superficie de Weingarten satisfaciendo H = c0 K . En este caso, es bien conocido que Σ debe
de ser una esfera (ver, por ejemplo, [Ch] o [Ho]).
Observación 5.2.4 Una GLM-superficie con curvatura de Gauss nula en
todos sus puntos será además una superficie minimal y, por lo tanto, un
abierto conexo de un plano.
Observación 5.2.5 En virtud del teorema de Hadamard-Stoker, toda superficie completa con curvatura de Gauss mayor que cero es homeomorfa
a un plano o a una esfera (ver [C1, 387] o [St1, 272]), con lo cual cualquier GLM-superficie completa con curvatura de Gauss positiva en algún
punto será homeomorfa a una esfera si es compacta o a un plano en caso
contrario.
122
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
5.3.
Una representación conforme.
En esta sección obtendremos una representación conforme global explícita para GLM-superficies, que dependerá de tres datos geométricos: una
función real armónica, una función meromorfa y una 1-forma holomorfa. Una
representación diferente para LM-superficies fue dada por Wang en [Wa].
Remitimos también al lector a [Sz], donde se obtiene una representación
para superficies L-isotérmas que son L-mínimas, y a [MN1, Proposición 8],
donde los autores obtienen una fórmula del tipo Weiertrass para superficies L-mínimas de tipo esférico no degeneradas.
Recordemos que si S2 es la esfera de radio unidad en R3 , las aplicaciones π : S2 −→ C ∪ {∞} y π −1 : C ∪ {∞} −→ S2 , definidas como
π(x1 , x2 , x3 ) =
π
−1
(z) =
x1 + x2 i
1 − x3
∀(x1 , x2 , x3 ) ∈ S2 − {(0, 0, 1)}, π(0, 0, 1) = ∞,
2Re(z) 2Im(z) |z|2 − 1
,
,
1 + |z|2 1 + |z|2 1 + |z|2
∀z ∈ C, π −1 (∞) = (0, 0, 1)
son biyectivas, conformes e invierten la orientación, llamándose la primera
de ellas proyección estereográfica.
Si ψ : Σ −→ R3 es una inmersión de una superficie orientable y conexa
Σ en R3 , N su aplicación de Gauss, y π la proyección estereográfica usual
desde el polo norte. Entonces la aplicación g : Σ −→ C ∪ {∞} definida
por g = π ◦ N, se denomina también aplicación de Gauss de la inmersión.
Más concretamente, si el vector normal en cada punto p de la superficie
es N(p) = (N1 (p), N2 (p), N3 (p)) entonces
g(p) =
N1 (p) + iN2 (p)
.
1 − N3 (p)
Recíprocamente también tendremos que
N=
g+g
g − g −1 + |g|2
,
−i
,
1 + |g|2
1 + |g|2 1 + |g|2
.
(5.7)
Recordemos también el siguiente resultado básico.
123
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Lema 5.3.1 (Lema de representación) Sea ψ : Σ → R3 una
inmersión de
1 , ψ 2 , ψ 3 sus funciones
una superficie Σ simplemente conexa, siendo
ψ
componentes, y consideremos las funciones φ1 , φ2 , φ3 donde
φk =
∂ψ k
∂z
∀k ∈ {1, 2, 3},
(5.8)
entonces se verifica que
k
ψ (z, z) = 2 Re{
φk dz} + ck
∀k ∈ {1, 2, 3}
(5.9)
para ciertas constantes ck ∈ C
Prueba: En efecto, si z = u + i v, entonces
1
1 k
φk dz =
(ψu − iψvk )(du + idv) =
ψuk du + ψvk dv + i (ψuk dv − ψvk du)
2
2
1
1
φk dz =
(ψuk + iψvk )(du − idv) =
ψuk du + ψvk dv − i (ψuk dv − ψvk du) ,
2
2
y además puesto que ψ solo tiene parte real,
∂ψ k
∂ψ k
∂ψ k
=
=
= φk .
∂z
∂z
∂z
Por lo tanto
dψ k =
∂ψ k
∂ψ k
dz +
dz = φk dz + φk dz = φk dz + φk dz = 2 Re{φk } dz,
∂z
∂z
obteniéndose así el resultado enunciado.
En adelante, si ψ : Σ −→ R3 es una GLM-inmersión entonces consideraremos Σ como una superficie de Riemann con la estructura conforme
inducida por la métrica h. Por lo tanto, de la Observación 5.2.1, N será
conforme para la métrica h, o equivalentemente, g : Σ −→ C ∪ {∞} será
una función meromorfa.
Además, R es una función real armónica para la superficie de Riemann
Σ, pues Δh R = 0. Denotaremos por ∂R la parte (1,0) de dR para Σ, que
es una 1-forma holomorfa, es decir, ∂R = Rz dz para cualquier parámetro
conforme local z de la superficie de Riemann Σ.
124
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Teorema 5.3.1 Sea ψ : Σ −→ R3 una GLM-superficie no llana, con aplicación de Gauss g, y tal que H = R K . Entonces existe una 1-forma holomorfa
ω tal que la inmersión ψ puede recuperarse como
(φ1 , φ2 , φ3 ) − R N,
(5.10)
ψ = 2 Re
donde
1
φ1 =
2
i ∂R + ω
∂R + ω
+ g (∂R − ω) , φ2 =
− g (∂R − ω) , φ3 = ω
g
2
g
(5.11)
Recíprocamente, sea Σ una superficie de Riemann simplemente conexa,
g : Σ −→ C ∪ {∞} una función meromorfa no constante, ω una 1-forma
holomorfa y R : Σ −→ R una función real armónica, tal que si g tiene un
cero (resp. un polo) de orden n ∈ N en p ∈ Σ, entonces ∂R + ω (resp.
∂R − ω) tiene un cero de orden mayor o igual que n en p. Entonces (5.10)
define una GLM-superficie siempre que
2
2
ω + ∂R
− R 2 4|dg|
+= 0
(5.12)
+
ḡ(ω
−
∂R)
g
(1 + |g|2 )2
con aplicación de Gauss g y H = R K .
Prueba: Puesto que ψ es una inmersión no llana entonces, sabemos por la
Proposición 5.2.1, que los puntos donde la curvatura de Gauss se anula son
aislados. Así pues, si denotamos por Σ0 = {p ∈ Σ : K (p) += 0} entonces
ψ : Σ0 −→ R3 es una LM-inmersión y
ΔIII (ψ + R N) = 0
para todo p ∈ Σ0 (ver, por ejemplo [LW] o [Li1]). Además como h y III
son métricas riemannianas conformes sobre Σ0 , entonces Δh (ψ + R N) = 0
sobre Σ0 y por lo tanto también sobre Σ por continuidad. Así pues, podemos
considerar las tres 1-formas holomorfas
Φk = ∂ (ψk + RNk ) ,
k = 1, 2, 3.
(5.13)
Por otra parte, si z es un parámetro conforme local para h entonces la
tercera forma fundamental y la segunda forma fundamental de la inmersión
puede expresarse como
III = 2 Nz , Nz̄ |dz|2 ,
125
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
II = ψz , −Nz dz 2 + 2ψz , −Nz̄ |dz|2 + ψz̄ , −Nz̄ dz̄ 2 ,
donde de nuevo hemos usado que h y III son conformes, es decir, Nz , Nz ≡
0. De aquí, un cálculo directo nos permite obtener (ver también [Mi, Eq. 8])
ψz , −Nz̄ H
=
=R
Nz , Nz̄ K
sobre Σ0 y por lo tanto, por continuidad, ψz + R Nz , Nz̄ = 0 sobre Σ. Esto
nos da
(φ1 , φ2 , φ3 ) , Nz̄ = (ψ + RN)z , Nz̄ = ψz + R Nz , Nz̄ = 0,
(5.14)
donde Φk = φk dz, k = 1, 2, 3. Además de (5.7),
gz
2
2
Nz̄ = ,
i(1
+
g
),
2g
1
−
g
2
1 + |g|2
y de (5.14) obtenemos
(1 − g2 )φ1 + i(1 + g2 )φ2 + 2gφ3 = 0.
(5.15)
Por otra parte, obtenemos que Rz = (ψ + R N)z , N = (φ1 , φ2 , φ3 ) , N,
es decir, usando (5.7)
(g + g) φ1 − i(g − g) φ2 + (|g|2 − 1) φ3 = Rz (1 + |g|2 ).
(5.16)
Utilizando (5.15) y (5.16), las funciones φ1 y φ2 pueden obtenerse como
Rz + φ3
+ g (Rz − φ3 ),
g
Rz + φ3
− i g (Rz − φ3 ).
= i
g
2 φ1 =
2 φ2
Por lo tanto, tomando ω = Φ3 y usando el Lema (5.3.1), obtenemos a partir
de
ψz + (R N)z = (φ1 , φ2 , φ3 )
la fórmula de representación (5.10).
Recíprocamente, sea Σ una superficie de Riemann y consideremos la
aplicación ψ : Σ −→ R3 dada por (5.10). A partir de las condiciones entre
los ceros y los polos de g, ∂R +ω y ∂R −ω, se obtiene que las tres 1-formas
que se integran en la expresión (5.10) están bien definidas sobre Σ y por
lo tanto también lo estará la aplicación ψ.
126
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Sea z un parámetro local conforme para Σ y tomemos ω = φ3 dz, entonces
ψz , ψz̄ 2 − ψz , ψz ψz̄ , ψz̄ =
μ14 |φ3 |2 − 4|g|2 |gz |2 R 2 + μ12 μ22 |Rz |2 + μ13 μ2 (φ3 Rz̄ + φ3 Rz )
2 |g|2 μ12
2
,
donde μ1 = 1 + |g|2 y μ2 = 1 − |g|2 . Así pues, ψ es una inmersión si
y solamente si se cumple (5.12). Un cálculo directo nos permite obtener
ψz , N = 0, es decir, N, o equivalentemente g, es la aplicación de Gauss
de la inmersión. Además, la segunda y tercera formas fundamentales están
determinadas por
dg
1 − |g|2
dg
4 R |dg|2
1 − |g|2
∂R
− ω+
∂R
+
II = − ω +
2
2
2
2
g
g
1 + |g|
(1 + |g| )
1 + |g|
III =
4 |dg|2
(1 + |g|2 )2
(5.17)
Así pues, en cualquier punto donde K += 0, o equivalentemente cuando
gz += 0, tenemos
H
ψz , −Nz̄ =
= R,
K
Nz , Nz̄ y por lo tanto H = R K sobre Σ por continuidad. Además, puesto que la
tercera forma fundamental y la métrica riemanniana h son conformes, y
Nz , Nz ≡ 0, la estructura conforme dada por h es la de Σ. Por lo tanto,
Δh R = 0, es decir, ψ es una GLM-inmersión.
Esta representación conforme coincide cuando R = 0 con la representación clásica de Weierstrass para superficies minimales para el par de
datos de Weierstrass (g, φ3 ), obteniéndose
1 − g2
1 + g2
ψ = 2 Re
φ3
, iφ3
, φ3 dz
(5.18)
2g
2g
con lo cual se pueden obtener todas las superficies minimales clásicas con
los datos de Weiestrass ya conocidos. También es válida para las superficies lineales de Weingarten satisfaciendo H = c0 K , c0 ∈ R. Además, si ψ
127
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
es parte de un plano, la representación previa también se cumplirá tomando g como una constante.
Finalmente, observemos que la curvatura de Gauss de la GLM-inmersión
puede ser calculada fácilmente a partir de (5.17) obteniéndose
K =
4 |dg|2
2 .
4 R 2 |dg|2 − (1 + |g|2 )2 ω+∂R
+
ḡ(ω
−
∂R)
g
(5.19)
Podemos obtener de forma análoga un teorema de representación utilizando como datos la aplicación de Gauss g y las 1-formas holomorfas φ1
y φ2 . En este caso se obtiene el siguiente resultado
Teorema 5.3.2 Sea ψ : Σ −→ R3 una inmersión de una GLM-superficie Σ
orientable y simplemente conexa, con aplicación de Gauss g. Entonces si z
es un parámetro conforme para h existen dos 1-formas φ1 y φ2 holomorfas
que junto con la aplicación de Gauss g permiten recuperar la inmersión ψ
mediante
g2 − 1
g2 + 1
−RN
(5.20)
φ1 − i
φ2
ψ = 2Re
φ1 , φ2 ,
2g
2g
donde N está determinado por (5.7) y R es una función armónica para h
que se puede escribir como
φ1 + iφ2
(5.21)
+ (φ1 − iφ2 )g
R = Re
g
5.4.
Algunos ejemplos de GLM-superficies.
Ejemplo 5.4.1 (GLM-superficies que no son LM-superficies) Dado un polinomio cualquiera P(z) de grado mayor que uno, si tomamos como datos
en el teorema 5.3.1 g(z) = P(z), R(z) = P(z) + P(z) y φ3 (z) = P(z) − P (z)
entonces, puesto que dichas funciones cumplen las condiciones de dicho
teorema, obtendremos GLM-superficies que no son LM-superficies ya que
su curvatura de Gauss se anulará en los puntos donde se anule P (z).
En particular un ejemplo concreto simple se obtiene cuando tomamos
como datos
1
g(z) = z 2 , R(z) = (z 2 + z 2 ) = u2 − v 2 , φ3 (z) = z 2 − z,
2
128
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
donde z = u + i v. En este caso tendremos que
R = u2 − v 2
y la inmersión, mostrada en la Figura 5.1, está parametrizada por
u4 u5
v4
cos(v)
−
− 3u2 v 2 + 2u3 v 2 +
− uv 4 − (u2 − v 2 )
2
5
2
cosh(u)
4
5
3
v
sen (v)
u
u
−
− 3u2 v 2 + 2u3 v 2 − uv 4 − v +
− (u2 − v 2 )
y(u, v) =
2
5
2
cosh(u)
2
z(u, v) = −u2 + u3 + v 2 − 2uv 2 − (u2 − v 2 ) tanh(u)
3
x(u, v) = u +
Figura 5.1: GLM-superficie con datos g(z) = z 2 , R(z) =
z 2 − z.
z 2 +z 2
2
y φ3 (z) =
Otros ejemplos de GLM-superficies que sí son LM-superficies son los
siguientes
Ejemplo 5.4.2 Si partimos de los datos
g(z) =
2
,
z
R(z) = z + z = 2u,
φ3 = z + 1,
con z = u + i v, entonces obtenemos que
1 z2
i z2
+ z − 2 , φ2 =
+z+2 .
Rz = 1 φ1 =
2 2
2 2
129
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Para estos valores se obtiene la LM-superficie de la Figura 5.2, que se
parametriza como
8u2
1 3
u − 3uv 2 + 3u2 − 3v 2 − 12u −
6
4 + u2 + v 2
1
8uv
y(u, v) =
−3u2 v + v 3 − 6uv − 12v +
6
4 + u2 + v 2
2
2
4−u −v
z(u, v) = u2 − v 2 + 2 u 1 −
4 + u2 + v 2
x(u, v) =
Figura 5.2: LM-superficie con datos g(z) = z2 , R(z) = z + z y φ3 (z) = z + 1.
Ejemplo 5.4.3 Si partimos de los datos
g(z) = z,
R(z) = 1,
φ3 = z.
Entonces tenemos que Rz = 0, φ1 = 12 (1 − z 2 ) y φ2 = 2i (z 2 + 1). Para
estos valores tendremos la LM-superficie de la Figura 5.3 de ecuaciones
1
2u
x(u, v) =
3u − u3 + 3uv 2 −
3
1 + u2 + v 2
1
2v
y(u, v) =
−3v + v 3 − 3u2 v −
3
1 + u2 + v 2
−1 + u2 + v 2
z(u, v) = u2 − v 2 −
1 + u2 + v 2
con curvatura de Gauss y curvatura media iguales
K =H=
4
4 − (1 + u2 + v 2 )4
130
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Figura 5.3: LM-superficie con datos g(z) = z,R(z) = 1 y φ3 (z) = z.
Ejemplo 5.4.4 Para los datos
g(z) = z,
φ1 = 2z,
φ2 = 0.
se obtiene, utilizando el segundo teorema de representación que
2 3
2
2
= (3u + u3 − 3uv 2 ),
φ3 = z − 1, R = Re 2z + z
3
3
con z = u + i v, y obtenemos la LM-superficie de la Figura 5.4, parametrizada como
2
2u
x(u, v) = 2u2 − 2v 2 − (3u + u3 − 3uv 2 )
3
1 + u2 + v 2
2
2v
y(u, v) = − (3u + u3 − 3uv 2 )
3
1 + u2 + v 2
2
2
−1 + u2 + v 2
z(u, v) =
(−3u + u3 − 3uv 2 ) − (3u + u3 − 3uv 2 )
3
3
1 + u2 + v 2
con curvatura de Gauss
K =
9
4u4 (u2
+6−
15v 2 )
−
9v 2 (1
+ v)2 − 9u2 (v 4 + 4v 2 − 1))
,
Ejemplo 5.4.5 (Superficie de tipo helicoidal) Se obtiene cuando tomamos
como datos
R(z) =
i
(z − z),
2
g(z) = 2 ez ,
φ3 (z) = −
i
2
131
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Figura 5.4: LM-superficie de datos g(z) = z, φ1 = 2z y φ2 = 0
Sus ecuaciones paramétricas serán entonces
v cos(v)
cosh(u)
v
sen
(v)
y(u, v) = eu sen (v) +
cosh(u)
z(u, v) = v + v tanh(u)
x(u, v) = −eu cos(v) +
Figura 5.5: LM-superficie de datos R(z) =
i
2
(z −z), g(z) = 2 ez , φ3 (z) = − 2i .
132
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
5.5.
Completitud de la métrica de Laguerre.
Sea ψ una LM-inmersión en R3 . Es un hecho conocido que la forma
cuadrática
H2 − K
hL =
III
K2
es invariante bajo el grupo de Laguerre y, de hecho, es una métrica riemanniana si ψ no tiene puntos umbilicales, es decir, si H 2 − K += 0. A esta
métrica se la llama clásicamente la métrica de Laguerre de la inmersión.
De (5.17) y (5.19) la métrica de Laguerre puede expresarse como
2
ω + ∂R
H2 − K
1
2
hL =
III = R −
(5.22)
III = + g (ω − ∂R) .
2
K
g
K
Como consecuencia obtenemos la siguiente propiedad global sobre LMsuperficies completas.
Teorema 5.5.1 Sea ψ : Σ −→ R3 una LM-inmersión con métrica de Laguerre completa de una superficie Σ. Entonces la curvatura de Gauss euclídea
de la inmersión es negativa en todos los puntos.
Prueba: Supongamos que la inmersión tiene un punto con curvatura de
Gauss euclídea positiva. Entonces, de la Proposición 5.2.1, K > 0 en todos
los puntos. Por tanto, de (5.22), la métrica conforme R 2 III satisface hL ≤
R 2 III y por lo tanto R 2 III es una métrica completa sobre Σ (con R no nula
en todo punto).
Como R es armónica y III es una métrica de curvatura constante 1,
obtenemos que la curvatura de la métrica conforme R 2 III debe ser positiva
en todos los puntos. Por tanto, utilizando el clásico teorema de Huber [Hu],
deducimos que Σ es conformemente equivalente o bien a una superficie
compacta o bien a una superficie compacta menos un número finito de
puntos. En particular, Σ es una superficie de Riemann de tipo parabólico.
Así, como R es una función armónica sobre Σ con R += 0, R debe ser una
función constante c0 .
En tal caso, R 2 III = c02 III es una métrica completa sobre Σ de curvatura
constante positiva y entonces, usando el teorema de Gauss-Bonnet, Σ es
una esfera topológica.
Por otra parte, de (5.17), la parte (2,0) de II con respecto a la superficie
de Riemann Σ es la forma cuadrática holomorfa −ω dg/g. Pero una forma
133
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
cuadrática holomorfa sobre una esfera debe ser idénticamente nula. Por lo
tanto, de (5.17), II y III serán métricas conformes, o equivalentemente, ψ
es una inmersión totalmente umbilical. Pero, esto es imposible pues hL es
no degenerada, lo cual prueba el resultado.
Observación 5.5.1 Una GLM-inmersión con curvatura de Gauss euclídea
K > 0 en cualquier punto y métrica asociada h completa debe ser una
esfera totalmente umbilical. Para demostrar esto, es suficiente observar
que la métrica conforme R 2 III es completa pues
h = 2 R II − I =
1
III ≤ R 2 III,
K
y la prueba se sigue como en el teorema anterior.
En particular, tenemos una prueba alternativa del hecho de que una
GLM-superficie compacta debe ser una esfera totalmente umbilical.
A continuación estudiamos la relación entre la completitud euclídea de
una inmersión y la completitud de la métrica de Laguerre.
Teorema 5.5.2 Sea ψ : Σ −→ R3 una inmersión completa euclídea con
curvatura negativa. Entonces la métrica de Laguerre hL de la inmersión es
completa.
Prueba: Sea p un punto de Σ. Como K (p) < 0, existen coordenadas doblemente ortogonales (u, v) en un entorno de p tal que la primera forma
fundamental y la segunda forma fundamental de la inmersión están dadas
por
II = k1 E du2 + k2 G dv 2
I = E du2 + G dv 2 ,
donde E, G son funciones positivas y k1 , k2 son sus curvaturas principales.
Entonces, la tercera forma fundamental se puede escribir de la forma
III = k12 E du2 + k22 G dv 2 y la métrica de Laguerre como
hL =
=
H2 − K
1 1
1 2 2
2
2
2
III
=
−
E
du
+
k
G
dv
k
=
1
2
4 k1 k2
K2
2
1
1
k
k1 2
2
E du2 + 1 −
G dv 2 ≥ I,
1−
(5.23)
4
k2
k1
4
donde hemos utilizado que k1 k2 < 0.
134
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Esta desigualdad demuestra que la completitud de la métrica euclídea
I, implica que la métrica de Laguerre es también completa.
Si ψ : Σ −→ R3 una GLM-inmersión no llana con curvatura de Gauss
euclídea K ≤ 0, conviene señalar que la métrica de Laguerre es una métrica bien definida sobre el conjunto de puntos aislados con K = 0. Para
ello, observemos que, de (5.22), hL es una forma cuadrática bien definida
sobre cualquier GLM-inmersión pues (ω + ∂R)/g y g(ω − ∂R) son 1-formas
holomorfas (Teorema 5.3.1). Además, si p ∈ Σ con K (p) = 0 entonces existe
un entorno de p, salvo el propio punto p, donde K < 0. Por lo tanto, de
(5.23), I ≤ 4 hL en este entorno, y se cumplirá I(p) ≤ 4 hL (p). Por lo tanto,
hL es también una métrica riemanniana en p.
Por otra parte, es importante tener en cuenta que el resultado recíproco
del Teorema 5.5.2 no es cierto, es decir, la completitud de Laguerre no
implica la completitud euclídea. En este sentido mostraremos el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 5.5.1 Consideremos la LM-inmersión dada por el teorema 5.3.1
para Σ = C ≡ R2 con
R=
z 2 + z̄ 2
,
2
ω = −z dz,
1
g(z) = − ,
z
z ∈ C.
Es decir,
ψ(u, v) =
−2u(1 + 2v 2 ) −2v(1 + 2u2 ) −2u2 + 2v 2
,
,
1 + u2 + v 2
1 + u2 + v 2 1 + u2 + v 2
donde z = u + i v (ver Figura 5.6).
Un cálculo directo nos da
I=
4 (1 + 2v 2 )2
4 (1 + 2u2 )2
2
du
+
dv 2
(1 + u2 + v 2 )2
(1 + u2 + v 2 )2
y una métrica de Laguerre completa hL = 4 (du2 + dv 2 ).
Es sencillo ver que la curva α(t) = ψ(t, 0), t ≥ 0, tiene longitud euclídea
∞
2
L(α) =
dt = π,
1
+
t2
0
que demuestra que la métrica inducida I no es completa.
135
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Figura 5.6: Ejemplo de superficie L-llana.
Este ejemplo nos da una inmersión llana completa para la métrica de
Laguerre con forma de Laguerre nula (ver [Li1, Theorem 5.1]). Utilizaremos
ahora la representación conforme dada en el teorema 5.3.1 para clasificar
las GLM-superficies en R3 con métrica de Laguerre llana.
Teorema 5.5.3 Sea ψ : Σ −→ R3 una GLM-superficie con métrica de Laguerre llana. Entonces, salvo una isometría de R3 , la inmersión puede ser
localmente parametrizada como
4 R Ru
4 R Rv
8R
ψ(u, v) = 2u −
(5.24)
, −2v +
,
4 + Ru2 + Rv2
4 + Ru2 + Rv2 4 + Ru2 + Rv2
para ciertos parámetros locales conformes (u, v) ∈ Ω ⊆ R2 , donde la fun+ 1 + |Rz |2 , z = u + iv.
ción armónica R(u, v) debe cumplir |R Rzz | =
Además, si hL es completa entonces ψ está, salvo una isometría de
R3 , globalmente parametrizada como en (5.24) con (u, v) ∈ R2 y |R Rzz | <
1 + |Rz |2 .
Prueba: Sea p ∈ Σ con curvatura gaussiana euclídea K (p) += 0. Salvo una
rotación en R3 podemos suponer que N(p) = (0, 0, −1), o equivalentemente,
g(p) = 0. Ahora, utilizando (5.22) y que hL es llana, tenemos que la métrica
coincide localmente con el módulo de una 1-forma holomorfa, es decir,
2
ω + ∂R
(5.25)
+ g(ω − ∂R) = |a(z) dz|2
g
136
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
en un entorno de p, donde a(z) es una función holomorfa para el parámetro
local conforme z.
Como K (p) += 0 tenemos que dg += 0 en p, y usando que g es una función
meromorfa con g(p) = 0 entonces podemos tomar ζ = g como parámetro
local en un entorno de p.
Por otra parte, como hL no puede anularse en p y g(p) = 0, la 1-forma
holomorfa (ω + ∂R)/g no puede anularse en un entorno de p. Entonces, de
(5.25), obtenemos que
(5.26)
|1 + ζ̄ b(ζ)|2 = |c(ζ)|2
en un entorno de ζ = 0, donde b(ζ) y c(ζ) son funciones holomorfas con
b(ζ) = g
ω − ∂R
.
ω + ∂R
(5.27)
Si evaluamos (5.26) en ζ = 0 obtenemos que |c(0)| = 1. Además, si derivamos (5.26), con respecto a ζ, n ≥ 2 veces, tenemos que
ζ̄
dn b(ζ)
dn (ζ b(ζ))
dn c(ζ)
+
ζ
b(ζ)
=
c(ζ)
.
dζ n
dζ n
dζ n
n
Entonces, para ζ = 0, obtenemos ddζc(ζ)
n (0) = 0 para cualquier n ≥ 2, ya
que |c(0)| = 1. Así pues, c(ζ) = c0 + c1 ζ, y por tanto b(ζ) debe ser una
constante b0 a partir de (5.26).
De todo lo anterior, a partir de (5.27), hemos obtenido que
g
ω − ∂R
= b0
ω + ∂R
en un entorno de p. Además por analiticidad se deberá cumplir globalmente
sobre Σ.
Por lo tanto, la 1-forma holomorfa ω puede recuperarse a partir de g y
R como
g + b0
∂R,
ω=
g − b0
y
(1 + b0 ḡ) ∂R 2
(1 + b0 g) ∂R 2
= 4
.
hL = 4 g − b0
g − b0
Como hL es una métrica llana, dado q ∈ Σ, existirá un parámetro local
conforme w = u+iv en un entorno de q tal que hL = 4|dw|2 = 4(du2 +dv 2 ).
137
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Además, si hL es completa entonces se puede elegir un parámetro w como
el anterior, globalmente definido en todo R2 .
= eiθ w, θ ∈ R, si fuera
Así pues, salvo un cambio de parámetro w
necesario, tenemos que
(1 + b0 g) ∂R
= dw.
g − b0
Ahora, podemos calcular g y ω en términos de R como
b0 + Rw
2 b0 + (1 − |b0 |2 ) Rw
dw.
(5.28)
,
ω=
1 + |b0 |2
1 − b0 Rw
Usando el teorema 5.3.1, la inmersión está dada, salvo una translación, por
g=
ψ1 (u, v) =
(1 − b21 + b22 )(2u − R ∗ Ru ) − 2b1 b2 (−2v + R ∗ Rv ) − 4 R ∗ b1
,
1 + b21 + b22
ψ2 (u, v) =
−2b1 b2 (2u − R ∗ Ru ) + (1 + b21 − b22 )(−2v + R ∗ Rv ) − 4 R ∗ b2
,
1 + b21 + b22
ψ3 (u, v) =
2b1 (2u − R ∗ Ru ) + 2b2 (−2v + R ∗ Rv ) + 2 R ∗ (1 − b21 − b22 )
,
1 + b21 + b22
donde b0 = b1 + i b2 y R ∗ =
4R
.
4+Ru2 +Rv2
Por lo tanto, la inmersión se puede expresar mediante (5.24) cuando
compongamos con la isometría de R3 , Φ(x) = A x, para la matriz ortogonal
⎛
⎞
−2b1 b2
2b1
1 − b21 + b22
1
⎝ −2b1 b2
⎠.
A=
1 + b21 − b22
2b2
1 + b21 + b22
2
2
−2b
−2b
1−b −b
1
2
1
2
Observemos que la fórmula (5.24) ha sido obtenida a partir del teorema
5.3.1 cuando tomamos b0 = 0 en (5.28). Así pues, de (5.12), la inmersión es
+ 1 + |Rz |2 . Adeno degenerada en cualquier punto si y solo si, |R Rzz | =
más, si hL es completa entonces, del teorema 5.5.1, su curvatura Gaussiana
euclídea debe ser no positiva, y por lo tanto |R Rzz | < 1 + |Rz |2 .
5.6.
El problema de Björling para GLM-superficies.
Sea ψ : Σ −→ R3 una inmersión de una GLM-superficie Σ no llana.
Consideremos un intervalo real I, una curva regular analítica α(s) : I −→ Σ
y sea β(s) = (ψ ◦ α)(s), V (s) = (N ◦ α)(s), r(s) = (R ◦ ψ ◦ α)(s).
138
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Por el teorema de la función inversa existirá un parámetro local conforme z para la métrica h, definido en un dominio complejo Ω que contenga a
I, tal que su parte real sea s, es decir, z = s + i t. Entonces,
ψ(s, 0) = β(s)
∀s ∈ I,
(5.29)
N(s, 0) = V (s)
∀s ∈ I,
(5.30)
R(s, 0) = r(s)
∀s ∈ I.
(5.31)
Nuestro objetivo será recuperar la inmersión ψ en un entorno de la curva α(s) a partir de (5.29), (5.30) y (5.31). Sin embargo, conviene observar
que esta información no nos garantiza la unicidad, y por tanto necesitaremos añadir alguna otra condición. En particular veremos que añadiendo la
condición inicial
(5.32)
Rt (s, 0) := d(s) ∀s ∈ I
a los datos iniciales, podemos recuperar ψ unívocamente. Es decir, deseamos recuperar completamente la inmersión ψ en términos del valor de
ψ, N, R y Rt a lo largo de curva α(s). Entre otros, remitimos al lector a
[ACG, AMM, GM1, GM2] donde se estudian distintos problemas del tipo
Björling en diferentes ambientes.
Para conseguir este objetivo, consideremos la aplicación holomorfa
Φ(z) = (ψ(z) + R(z)N(z))z
1 ∂ψ
∂N
∂R
=
(z) + R(z)
(z) +
(z)N(z)
2 ∂s
∂s
∂s
i ∂ψ
∂N
∂R
−
(z) + R(z)
(z) +
(z)N(z) .
2 ∂t
∂t
∂t
Esta aplicación puede calcularse sobre la curva α como
Φ(s) =
Z
1Q β (s) + r(s)V (s) + r (s)V (s)
2 i ∂ψ
∂N
−
(s) + r(s)
(s) + d(s)V (s) ,
2 ∂t
∂t
donde ψt (s), Nt (s) deben ser calculados.
Expresamos la segunda forma fundamental y la tercera forma fundamental como
II = e ds2 + 2f ds dt + g dt 2 ,
III = λ (ds2 + dt 2 ),
139
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
donde hemos utilizado que z es un parámetro conforme para h y por tanto
también para III.
Como Ns , Ns = Nt , Nt y Ns , Nt = 0 tenemos que −Nt = N × Ns y
por tanto
−Nt (s) = V (s) × V (s).
Salvo en los puntos en donde la curvatura de Gauss euclídea se anula, Ns
y Nt son una base del plano tangente. Así pues, de las expresiones de II y
III tenemos que
1
ψt = (−f Ns − g Nt ) ,
λ
siempre que K += 0.
Como λ(s) = V (s), V (s), f(s) = β (s), V (s) × V (s) y g(s) puede
calcularse a partir de la igualdad
R=
e+g
H
=
K
2λ
con g(s) = 2r(s)V (s), V (s) + V (s), β (s), obtenemos
β (s), V (s) × V (s) V (s), β (s)
V (s) − 2r(s) +
V (s) × V (s).
ψt (s) = −
V (s), V (s)
V (s), V (s)
Con todo lo anterior,
Φ(s) =
1 β (s) + a1 (s) V (s) + a2 (s) V (s) + a3 (s) V (s) × V (s),
2
(5.33)
donde
r (s) − i d(s)
,
2
β (s), V (s) × V (s)
1
r(s) + i
,
a2 (s) =
2
V (s), V (s)
i
V (s), β (s)
r(s) +
.
a3 (s) = −
2
V (s), V (s)
a1 (s) =
Por lo tanto, la función holomorfa Φ(z) = (ψ(z) + R(z)N(z))z puede recuperarse como la extensión analítica compleja de Φ(s) en un dominio complejo D ⊆ Ω con I ⊆ D.
Análogamente, la función holomorfa g(z) puede obtenerse como la extensión analítica compleja de
g(s) =
V1 (s) + i V2 (s)
.
1 − V3 (s)
(5.34)
140
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Por tanto, N(z) puede calcularse a partir de g(z) utilizando (5.7).
De la misma manera, como Rz es una función holomorfa y
Rz (s) =
1
1
(Rs (s) − i Rt (s)) = (r (s) − i d(s)),
2
2
obtenemos que
z
d(w) dw ,
R(z) = Re {r(z)} + Im
(5.35)
z0
con z0 ∈ I.
Esto nos permitirá recuperar la inmersión en términos de los datos
iniciales como se indica en el siguiente teorema.
Teorema 5.6.1 Sea ψ : Σ −→ R3 una inmersión de una GLM-superficie
Σ no llana, I un intervalo real, α(s) : I −→ Σ una curva analítica regular,
β(s) = (ψ ◦ α)(s), V (s) = (N ◦ α)(s) y r(s) = (R ◦ ψ ◦ α)(s). Consideremos
un parámetro local conforme z para la métrica h, definido en un dominio
complejo Ω que contenga a I, y tal que su parte real sea s, es decir, z =
s + it, y tomemos d(s) = (R ◦ ψ)t ◦ α(s). Entonces podemos recuperar ψ en
un cierto dominio D ⊆ Ω, I ⊆ D como
z
ψ(z) = β(z0 ) + r(z0 ) V (z0 ) − R(z) N(z) + 2 Re
Φ(w) dw ,
(5.36)
z0
donde Φ(z) que es la extensión analítica compleja de (5.33), N(z) se obtiene
a partir de la extensión analítica compleja g(z) de (5.34), R(z) esta dada
por (5.35) y z0 ∈ I.
Recíprocamente, sean β(s), V (s) : I −→ R3 dos curvas analíticas no
constantes con β (s), V (s) = 0 y sean r(s), d(s) : I −→ R dos funciones
analíticas. Entonces la aplicación ψ(z) dada en (5.36) es, en sus puntos
regulares, una GLM-superficie con aplicación de Gauss N y parámetro
conforme z, cumpliendo que H = R K . Además, para s ∈ I se cumple
ψ(s) = β(s), N(s) = V (s), R(s) = r(s) y Rt (s) = d(s), donde z = s + i t.
Prueba: Para el resultado recíproco, comencemos observando que
(ψ + R N)z , Nz̄ =
gz
Φ(z), (1 − g2 , i (1 + g2 ), 2g).
(1 + |g|2 )2
141
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Entonces, como Φ(z), (1 − g2 , i (1 + g2 ), 2g) es una función holomorfa
y un cálculo directo nos da (ψ + R N)z , Nz̄ = 0 para z = s ∈ I, tenemos
que
(5.37)
(ψ + R N)z , Nz̄ ≡ 0.
De esta ecuación, utilizando que R(z) es armónica y |N(z)| = 1, tenemos
∂
∂z̄ ψz , N
= ψzz̄ , N + ψz , Nz̄ = −RNzz̄ , N + −(RN)z , Nz̄ = −R(Nzz̄ , N + Nz , Nz̄ ) = 0.
Además, como ψz , N = 0 sobre I, tenemos que ψz , N ≡ 0 y N es el
normal unitario de ψ.
Por otra parte, como g(z) es holomorfa, o equivalentemente, N(z) es
una aplicación conforme, tenemos que z es un parámetro conforme para III
en los puntos donde ψ(z) sea una inmersión con K (z) += 0.
De (5.37), ψz + RNz , Nz̄ ≡ 0, y por tanto en los puntos regulares con
K (z) += 0 tenemos que
H
ψz , −Nz̄ =
= R.
K
Nz , Nz̄ Pero como K (z) = 0 solo ocurre en los puntos donde g (z) = 0 tenemos que los puntos regulares con K igual a cero son aislados. Por lo
tanto, H = R K en los puntos regulares de ψ, z es un parámetro conforme
para h, ya que h y III son conformes, y Δh R = 0 como queríamos demostrar.
Finalmente, un cálculo directo permite probar que se cumplen las condiciones iniciales para z = s ∈ I.
5.7.
GLM-superficies rotacionales.
Como aplicación del teorema anterior, estudiaremos las GLM-superficies
rotacionales. Es importante observar que el siguiente proceso puede ser
generalizado no solo para GLM-superficies de revolución sino para cualquier familia de GLM-superficies invariante bajo un grupo 1-paramétrico
del grupo 10-dimensional de Laguerre.
Sea Σ una superficie rotacional con respecto al eje OZ = {(0, 0, x3 ) :
x3 ∈ R}. Salvo una transformación de Laguerre dada por una translación
vertical y una dilatación, podemos asumir que el punto (1, 0, 0) ∈ Σ.
142
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Como Σ es una superficie rotacional, la curva dada, salvo una reparametrización por
β(s) = (cos s, sen s, 0),
s ∈ R,
está contenida en Σ y el normal unitario a lo largo de β(s) deberá estar
determinado por la rotación de V (0) = (cos ρ, 0, sen ρ), para una cierta
constante ρ ∈ [0, 2π), es decir,
V (s) = (cos ρ cos s, cos ρsen s, sen ρ),
s ∈ R.
Obsérvese que si cos ρ = 0 entonces V (s) = (0, 0, ±1) y por tanto la aplicación de Gauss g(z) es una constante, es decir, Σ está contenida en un
plano. En caso contrario, g(s) = ei s cos ρ/(1 − sen ρ) y
g(z) =
ei z cos ρ
.
(1 − sen ρ)
Entonces, el normal unitario está dado por
2aet cos s 2aet sen s a2 − e2t
N(s + i t) =
,
,
,
a2 + e2t a2 + e2t a2 + e2t
donde a = cos ρ/(1 − sen ρ).
Conviene observar que la imagen del normal unitario a lo largo de
un paralelo de Σ debe ser un paralelo de la esfera unidad. Así pues, de
la expresión de N tenemos que los paralelos de Σ se obtienen cuando t
es constante. Por otra parte R debe de ser una constante a lo largo de
cualquier paralelo de la superficie de revolución Σ, pues R solo depende
de t y por tanto
R(s + i t) = r + d t,
para ciertas constantes r, d ∈ R, pues R debe ser armónica con respecto
al parámetro conforme z = s + i t.
Ahora, la aplicación Φ(s), dada por (5.33), puede calcularse como
i
−Asen s − i B cos s A cos s − i B sen s
Φ(s) =
,
,− C ,
2
2
2
donde
A = 1 + r cos ρ,
B = −sen ρ + cos ρ (d − r sen ρ),
C
= cos ρ (1 + r cos ρ) + d sen ρ.
143
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Por lo tanto, Σ puede ser recuperada como
2 a et
ψ1 = A cosh t + Bsenh t − (r + d t) 2
cos s,
a + e2t
2 a et
ψ2 = A cosh t + Bsenh t − (r + d t) 2
sen s,
a + e2t
a2 − e2t
ψ3 = C t + D − (r + d t) 2
,
a + e2t
con D = rsen ρ.
Con objeto de simplificar la expresión de ψ consideraremos la reparametrización ψ ∗ (s, t) = ψ(s, t + t0 ) donde elegiremos t0 tal que et0 = a si
a > 0. Entonces, utilizando la relación entre las constantes a, d, A, B, C
C + d a(C − d)
C + d a(C − d)
+
,
B=
−
,
2a
2
2a
2
obtenemos, salvo una translación vertical,
t
1
∗
∗
−r
cos s,
ψ1 = C cosh t + d senh t −
cosh t
cosh t
t
1
ψ2∗ = C cosh t + d senh t −
− r∗
sen s,
cosh t
cosh t
ψ3∗ = C t + (d t + r ∗ ) tanh t,
A=
donde r ∗ = r +d t0 . Si a < 0 entonces elegimos t0 tal que et0 = −a. En este
caso, obtenemos, salvo una reparametrización, uno de los ejemplos previos.
Por lo tanto, hemos probado el siguiente resultado
Proposición 5.7.1 Una inmersión ψ : Σ −→ R3 de una GLM-superficie Σ
no plana y de revolución con respecto al eje OZ , está dada, salvo una
translación vertical, por
ψ = a1 ψc + a2 ψs + a3 ψp ,
(5.38)
para tres constantes a1 , a2 , a3 ∈ R, donde ψc es una catenoide, ψs una
esfera y ψp una superficie de revolución con un pico (ver Figura 5.7), parametrizadas como,
ψc (s, t) = (cosh t cos s, cosh t sen s, t),
cos s sen s
,
, − tanh t ,
ψs (s, t) =
cosh t cosh t
t
t
ψp (s, t) =
senh t −
cos s, senh t −
sen s, t tanh t .
cosh t
cosh t
144
Capítulo 5. Superficies mínimas generalizadas de Laguerre en R3 .
Figura 5.7: Superficie con un pico
Observación 5.7.1 En función de los parámetros a1 = C , a2 = r ∗ y a3 = d,
y siempre que no sean todos nulos, se obtiene que la curvatura de Gauss
de la superficie es
K =
−1
,
2
a2 cosh2 (t) + a3 senh (t) cosh(t) − (a3 t + a1 )2
(5.39)
donde se observa que en ningún caso se anula la curvatura de Gauss y por
tanto todas ellas serán LM-superficies.
Observación 5.7.2 Como consecuencia de la Proposición 5.7.1 obtenemos
que cualquier GLM-superficie de revolución, definida mediante la expresión
ψ = a 1 ψc + a 2 ψs + a 3 ψp ,
cumple que su tercera forma fundamental y su métrica de Laguerre vienen
dadas por
III = sech2 t (ds2 + dt 2 ),
1
2
III = (a1 cosh t + a3 senh t)2 (ds2 + dt 2 ),
hL = R −
K
siendo (s, t) parámetros isotermos para dicha métrica. Recordemos que si
hL = e2ω |dz|2 , entonces la curvatura de Laguerre (ver [SW]) viene dada
por
4 ωzz
KL = − 2 ω ,
e
145
Epílogo.
Figura 5.8: Curvas generatrices de de ψc , ψs y ψp .
de donde se obtiene, en nuestro caso,
'
*
(a3 cosh t + a1 senh t)2
−2
KL =
1−
(a1 cosh t + a3 senh t)2
(a1 cosh t + a3 senh t)2
146
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Epílogo.
Posibles líneas futuras de investigación.
Es habitual que cuando se trata de resolver algún problema se encuentren más preguntas que respuestas. Esto, y la curiosidad de seguir
revolviendo problemas, alimenta el progreso científico. Esta memoria no
es ninguna excepción, y en consecuencia, mas que completar un estudio,
parece que ofrece el inicio de otros muchos análisis y estudios sobre los
terrenos que se han abordado.
En este sentido, trataremos de indicar a continuación algunos aspectos,
relacionados con los temas aquí tratados, y que pensamos que podrían ser
objeto de un desarrollo más profundo, constituyendo posibles líneas futuras
de investigación.
En primer lugar, en relación con las fórmulas integrales obtenidas en
la sección segunda del capítulo segundo para superficies de curvatura media prefijada, curvatura extrínseca prefijada y curvatura de Gauss prefijada,
definidas mediante grafos verticales invariantes mediante un grupo de isometrías en espacios ambiente M2 × R, se podría pensar en realizar un mejor
aprovechamiento de las mismas con objeto de obtener otros resultados similares a los obtenidos en los corolarios de dicha sección pero referentes
a curvatura extrínseca y curvatura de Gauss.
Por otra parte, como ya se ha indicado en el Capítulo 3, el proceso de
construcción y utilización de barreras que se describe, se puede extender
para obtener nuevos resultados que generalicen algunos de los ya existentes en los espacios producto homogéneos distintos a los aquí presentados.
Por ejemplo, resultados similares a los teoremas 3.3.1 y 3.3.2 puede proVictorino Lozano Cabrero
147
Bibliografía.
barse análogamente para otros funcionales que admitan un principio de
máximo, como por ejemplo el operador curvatura de Gauss cuando la curvatura extrínseca es positiva. Además, como se sugiere en el enunciado de
la Proposición 2.1.1, podrían desarrollarse resultados similares a los obtenidos, en los espacios producto alabeados Mf × R. Por ejemplo, el espacio
hiperbólico de dimensión tres puede considerarse como un producto alabeado, obteniéndose resultados similares para la curvatura media en los
llamados espacios pseudohiperbólicos (véase [Ta]).
También, parece razonable, realizar una generalización de los resultados obtenidos en el Capítulo 3 al caso n-dimensional. En este sentido
esperamos presentar algunos resultados en un próximo trabajo actualmente en preparación [GL2]. En este caso parece que las curvaturas seccionales
radiales y las curvaturas de Ricci jugarán un papel importante, así como
algunas propiedades de las esferas geodésicas de los espacios ambiente que comparemos. Otra posible vía de generalización de los resultados
aquí obtenidos se podría plantear para el caso de submersiones de Killing,
una generalización natural tanto de los espacios homogéneos simplemente
conexos E(k, τ) con grupo de isometrías de dimensión 4, como de las variedades producto M × R.
En relación con los resultados obtenidos en el Capítulo 4 sobre superficies con CGC compactas, además de las sugerencias de posibles líneas
de investigación que ya se hacen en [ALP] en relación a la posibilidad de
extender los resultados obtenidos a superficies regulares de CMC conformemente equivalentes a un disco y con borde regular a trozos, parece que
es posible también obtener resultados similares para el caso de superficies
compactas con CEC cuyo borde esté situado sobre una sección horizontal,
y de manera que sobre dicho borde la superficie corte a la sección con
ángulo constante. En este último caso intervendrían las esferas de CEC y
la forma diferencial cuadrática establecida sobre esta clase de superficies
en los trabajos de Espinar, Rosenberg y Gálvez.
En cualquier caso, no parece que una preocupación en el futuro vaya
a ser la ausencia de problemas. Como ya he sugerido en el inicio de este
epílogo, se plantean más de los que se resuelven. Esperemos que tampoco
falten la curiosidad, la ilusión, las ganas y el interés por resolverlos. Si no
por nosotros, al menos por otros que nos sucedan.
148
Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
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Superficies con curvaturas prefijadas en
M2 × R y superficies mínimas de Laguerre.
Índice terminológico.
Abresch-Rosenberg, diferencial, 76.
Alexandrov, teorema de, 4.
Bernstein, teorema de, 4.
Björling, problema de, 18, 138, 139.
Blaschke W., 7, 117.
borde infinito, 26, 34, 61.
catenoides minimales, 60, 97, 102.
Cauchy, problema de, 18.
Christoffel, símbolos de, 22, 30.
Codazzi, pares, 23.
Codazzi, tensor de, 38.
coordenadas polares, 28, 32.
curvatura extrínseca, 3, 21, 22.
curvatura intrínseca, 4, 23.
curvatura media, 3, 21, 22.
espacios homogéneos, 40.
espacios modelo, 24.
espacios producto homogéneos, 40.
final de una superficie, 100.
finales cilíndricamente acotados,
100.
formas fundamentales, 22, 29.
fórmula de equilibrio, 43, 44.
función altura, 39.
función ángulo, 39.
función media de los radios de curvatura, 22.
Victorino Lozano Cabrero
función de clase C 2α , 103.
Gauss, curvatura de, 4, 23.
Gauss-Kronecker, curvatura de, 21.
GLM-superficie, 120.
GLM-inmersión, 120.
grafos enteros, 4.
grafo horizontal, 95.
grafos verticales, 39.
Hadamard, teorema de, 33.
Hadamard-Stoker, teorema de, 122.
Hadamard, variedad de, 32.
Hilbert, teorema de, 4.
Hoffman-Meeks, teorema de, 95.
Hopf, diferencial de, 77. Hopf, principio de máximo de, 41, 42.
Hopf, teorema de, 4, 5, 108.
horociclos, 26.
Jacobi, ecuación de, 35.
Koebe, teorema de uniformización
de, 31.
Laguerre, métrica de, 133.
Levi-Civita, conexión de, 20.
LM-inmersión, 117.
LM-superficie, 117.
modelo del hiperboloide, 25.
Monge-Ampére, ecuación de, 5, 106.
parámetros complejos, 29.
158
Índice terminológico
parámetros conformes, 30.
parámetros doblemente ortogonales,
30.
parámetros isotermos, 29.
parámetros ortogonales, 28.
parámetros semigeodésicos, 31.
pares fundamentales, 23
plano hiperbólico, 25.
plano vertical, 38.
Poincaré, modelo conforme de, 26.
polo, 33.
principio de comparación, 43.
principio de máximo, 42.
radio de inyectividad, 31.
Riemman, superficies de, 30.
sección horizontal, (ver plano hori-
zontal)
sección vertical, (ver plano vertical)
Sturn-Liuoville, teorema de, 36.
superficies minimales, 3.
superficies modelo, 24.
superficies riemannianas, 20.
tensor de curvatura, 23.
translaciones hiperbólicas, 26, 27.
translaciones parabólicas, 26, 27.
vector curvatura media, 42.
Weingarten, 7, 117.
Weingarten, endomorfismo de, 21,
38.
Weingarten, superficies de, 121, 122,
127.
159