PDF - Universidad de Murcia

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA
EL ESTUDIO DEL MEDIO AMBIENTE
UNIVERSIDAD
DE MURCIA
Prof. José Antonio Pastor González
www.um.es/docencia/jpastor
CAPÍTULO 3: MODELOS CONTINUOS. ECUACIONES DIFERENCIALES.
3.1. Comprueba que y(x) = ax2 + bx es una solución de la ecuación diferencial
y 0 (x) =
y
+ ax.
x
Haz lo mismo para la función y(t) = at + ekt y la ecuación
y 0 (t) = ky + a(1 − kt).
3.2. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separadas y lineales:
a) y 0 + 2y = e−x
d) y 0 =
x2
y(1 + x3 )
g) y 0 = ex+y
b) y 0 − 2xy = x
p
e) xy 0 = 1 − y 2
h) y 0 =
c) xy 0 + 2y = sen x
f) y 0 + y 2 sen x = 0
x+y
x
i) xy 0 − y = − ln x
3.3. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separadas:
a) y 0 = y/x
b) y 0 = ay 2
c) du/dt = u2 t
d) y 0 = −x/y
e) dy/dt = ayt2
f) dv/dt = v 3/2
g) dz/dt = z 1/2 t3/2
v
h) dv/dt = k 2−v
i) y 0 = ex−y
3.4. Resuelve los siguientes problemas de condiciones iniciales:
(
a)
(
d)
x + y cos x = −y 0 sen x
y(π/2) = 0
(
b)
(
y 0 = 2xy 2
y(0) = 1
e)
x + ye−x y 0 = 0
y(0) = 1
x2 y 0 + 2xy = ex cos x
y(1) = 1
(
y 0 − y = 2xe2x
y(0) = 1

 y 0 + 2 y = cos x
f)
x
x2
 y(π) = 0
c)
3.5. Resuelve los siguientes problemas de condiciones iniciales para las correspondientes ecuaciones
diferenciales de segundo orden.
(
a)
(
c)
y 00 + 2y 0 − 3y = 0
y(0) = 1, y(1) = 0
y 00 + 4y 0 + 4y = 0
y(0) = 1, y(1/2) = 1
(
y 00 − y 0 = 0
y(0) = −3, y 0 (0) = 2
(
y 00 + 2y 0 + 5 = 0
y(0) = 2, y(π/4) = 1
b)
d)
3.6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:
(
a)
(
dx/dt = 7x − 4y
dy/dt = −9x + 7y
b)
dx/dt = 3x − 2y
dy/dt = 2x − 2y
3.7. Crecimiento ideal. La velocidad de crecimiento de una determinada población de insectos
en un instante dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. Si hay
180 insectos después del segundo dı́a del experimento, y 300 después del cuarto dı́a, ¿cuántos
insectos habı́a originalmente?
3.8. Decaimiento radiactivo. Supongamos que una sustancia contiene un único tipo de elemento radiactivo. Los hechos experimentales sugieren que todos los átomos tienen las mismas
posibilidades de sufrir un proceso de desintegración con independencia del tiempo. Esto implica que la cantidad de átomos desintegrados por unidad de tiempo es proporcional a la
cantidad de átomos existentes en cada momento. En otras palabras, el número de átomos
que se desintegran en una unidad de tiempo es siempre una fracción constante del número de
átomos total, de modo que se cumple la ecuación diferencial
dN
= −λN
dt
siendo N el número de átomos en el instante t y λ una constante positiva que se denomina
constante de decaimiento. Encuentra la expresión general de la función N (t). Si 100 miligramos de esa sustancia (p.ej. Torio) se reducen a 82.04 miligramos en una semana, ¿cuántos
miligramos de Torio tendremos al cabo de tres semanas? ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir
para que la cantidad de Torio se reduzca a la mitad?
3.9. Crecimiento Restringido. Ningún organismo o población crece indefinidamente: existen
limitaciones de comida, espacio, condicionantes fı́sicos, mecanismos de control, predadores,
etc. La ecuación que modela el crecimiento en esta situación es de la forma
dy
= r(K − y)
dt
donde r es una constante y K es la constante que expresa la limitación del crecimiento.
Resuelve dicha ecuación.
3.10. Ley del Enfriamiento de Newton. Consideremos un cuerpo inerte y sin calor interno que
está más caliente que el ambiente en el que se encuentra. La experiencia nos dice que el cuerpo
se va enfriando hasta alcanzar la temperatura ambiente. Si T (t) es la temperatura del cuerpo
en el instante t y Tm es la temperatura del medio, entonces la ley del enfriamiento de Newton
afirma que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperaturas entre
el cuerpo y el medio, de suerte que
dT
= k(T − Tm )
dt
donde k es una constante que depende del cuerpo. Encuentra la expresión general de T (t).
3.11. Servimos una taza de café a una temperatura de 95o C, y al minuto está a 85o C. Suponiendo
que la habitación se encuentra a 20o C, ¿cuándo podremos beber el café si la temperatura
idónea para tomarlo es de 65o C?
3.12. Una frı́a mañana de Noviembre (aproximadamente 2o C de temperatura) en un oscuro y frı́o
callejón, un vagabundo encuentra el cadáver de un hombre asesinado. La policı́a y el forense
llegan a la escena del crimen a las 7h00m de la mañana, comprobando que la temperatura del
cadáver es de 31o C. Una hora más tarde, su temperatura ha descendido a 27o C. Un testigo
afirma que sólo vio salir del callejón a dos personas: el propio vagabundo, aproximadamente
una hora antes de la llegada de la policı́a, y un vecino del inmueble contiguo, alrededor de
las cinco de la mañana. Suponiendo que la temperatura media de una persona es de 36o C,
¿quién cometió el asesinato?
3.13. Un problema de Difusión. Supongamos que una célula con volumen constante está sumergida en un disolvente que contiene un soluto de concentración constante c0 , tanto en el
espacio como en el tiempo. Sea c(t) la concentración de soluto en el interior de la célula en
el instante t y supongamos que ésta es homogénea en el interior de la célula (no depende
espacialmente). Por difusión, existe un intercambio de moléculas del soluto a través de la
membrana de la célula en ambas direcciones. El flujo neto, que es la diferencia entre ambos
intercambios, depende de si la concentración del interior es mayor o menor que la del medio.
Sea m(t) la masa de soluto contenida dentro de la célula, A el área de la membrana celular
y V el volumen de la célula. Entonces, se cumple que
m(t) = V c(t)
por definición de concentración. La derivada dm/dt expresa cuánto cambia la masa de soluto
contenida en la célula y puede ser llamada velocidad del flujo en nuestro problema. La ley
de Fick establece que dm/dt es proporcional al área de la membrana y a la diferencia de
concentración a los dos lados de ésta, por tanto
dm
= kA(c0 − c).
dt
Encuentra una expresión para m(t) y deduce la expresión de c(t).
3.14. Estrategias de reproducción. Modelos de crecimiento mixtos. Los biólogos han
identificado dos estrategias distintas para la reproducción de especies. Algunos organismos
utilizan lo que se define como la estrategia r, y otros la estrategia K, donde las letras r y
K provienen de los sı́mbolos utilizados para representar la rapidez de reproducción (r), y la
capacidad de carga (K) de un determinado ecosistema.
Los organismos que se reproducen mediante la estrategia r son organismos pequeños que
alcanzan la madurez en poco tiempo, tienen perı́odos de vida cortos, crı́as numerosas (muchas
de las cuales no logran llegar a la adultez), dedican poca o ninguna energı́a a la crianza de
los más jóvenes de la especie, no cuentan con mecanismos para limitar su reproducción a la
capacidad de carga de su hábitat, y tienden a ser oportunistas invadiendo nuevas áreas y
adaptándose a las mismas con facilidad (por ejemplo, la mayorı́a de los insectos, las plantas
que se reproducen por esporas, las tortugas, los sapos y los conejos). La población de estas
especies consideradas estrategas r depende mayormente de la rapidez con que se reproducen,
y no de la capacidad de acarreo del hábitat. Las mismas sirven por lo general de fuente de
alimento para las especies consideradas como estrategas K.
Los estrategas K, por otra parte, son más grandes, maduran muy lentamente, tienden a
vivir por un perı́odo de tiempo mayor, sus crı́as son más resistentes a enfermedades, tienen
crı́as poco numerosas, dedican tiempo y energı́a a la crianza de los más pequeños, poseen
mecanismos para limitar su reproducción y ajustarla a la capacidad de carga de su hábitat,
y se mantienen en un hábitat en particular sin invadir los de otras especies. Por su estrecha
dependencia con el hábitat, y su poca facilidad para adaptarse a nuevas situaciones, las
especies en peligro de extinción son por lo general estrategas K. Por el número bajo de
especies y la lentitud de su reproducción, los estrategas K rara vez sirven de fuente principal
de alimento para otras especies bajo condiciones naturales. Entre los estrategas K se encuentra
la mayor parte de los mamı́feros, como los elefantes, el ganado y los seres humanos.
La ecuación diferencial que describe el crecimiento de ambas especies es
N 0 = rN
K −N
,
K
siendo K la capacidad de carga, r la rapidez de reproducción y N el número de efectivos en
el instante t. Resuelve esta ecuación, representa la función obtenida y comenta los resultados.
La función obtenida se llama curva logı́stica y fue propuesta por el matemático P.F. Verhulst
en el año 1838.
3.15. Relaciones alométricas. El crecimiento de un ratón ha sido observado en el laboratorio
y se cumple la ley V = cL3 donde V es su volumen y L es cualquiera de sus dimensiones
lineales (vale cualquiera porque todas ellas crecen en la misma proporción). Demuestra que
1 dV
1 dL
=3
,
V dt
L dt
esto es, que la velocidad de crecimiento relativa del volumen es tres veces la velocidad de
crecimiento relativa de la longitud (la velocidad de crecimiento relativa se distingue a la
velocidad de crecimiento absoluta en que ésta no se divide por la magnitud variable; para
comparar cuál de los dos crecimientos es más rápidos es necesario hacerlo con estas velocidades
relativas, pues debemos tomar como referencia la magnitud que cambia).
3.16. El crecimiento de una célula depende del flujo de nutrientes a través de su membrana. Sea
W = W (t) el peso de la célula y supongamos que por un tiempo limitado, la velocidad
de crecimiento dW/dt es proporcional al área de la membrana A. Si la forma de la célula
no cambia con el crecimiento, el área A es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus
dimensiones lineales. Como el volumen es proporcional al cubo de estas dimensiones, y el
peso es proporcional al volumen, deduce que el área de la membrana es proporcional a W 2/3 ,
por lo que
dW
= kW 2/3 .
dt
Encuentra la función W (t) e interpreta el resultado.