10. Interpolacion

Teoría Básica de
Interpolación
Curso PDI
Interpolación
n
La interpolación consiste en generar a partir de un
conjunto N de puntos, un polinomio P que
represente el comportamiento de los puntos
X
Y
x0
y0
x1 L xn
y1 L yn
P ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L bn ( x − x0 ) L ( x − xn−1 )
1
Interpolación
n
Condiciones para la interpolación
P( xi ) = yi , ∀i = 0,..., n
X
Y
x0
y0
P ( x0 ) = y 0
P ( x1 ) = y1
x1 L xn
y1 L yn
P ( xn ) = y n
Interpolación Lineal
n
Cantidad de puntos requeridos: 2
X
Y
x0
y0
x1
y1
Estructura General Polinomio Lineal:
P ( x) = b0 + b1 ( x − x0 )
Dado que P(x0) = y0, entonces:
P ( x0 ) = b0 + b1 ( x0 − x0 ) = b0 = y0
P( x1 ) = y0 + b1 ( x1 − x0 ) = y1
y −y
∴ b1 = 1 0
x1 − x0
2
Interpolación Cuadrática
X
Y
x0
y0
x1 x 2
y 1 y2
P( x ) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 )
P( x2 ) = b0 + b1 ( x2 − x 0 ) + b2 (x 2 − x0 )(x2 − x1 ) = y2
b0 = y0
y −y
b1 = 1 0
x1 − x 0
y 2 − y1 y1 − y 0
−
x − x x1 − x0
∴b2 = 2 1
x2 − x 0
Diferencias Divididas de Newton
n
Con la finalidad de simplificar las operaciones, se
utilizan las Diferencias Divididas de Newton
f [ xi , x j ] =
f [ xi ] − f [ x j ]
xi − x j
3
Diferencias Divididas de Newton
Caso Lineal
b0
b1
x0 → f [ xo ] = yo
f [ x1 , x0 ] =
x1 → f [ x1 ] = y1
f [x1 ] − f [ x0 ]
x1 − x0
f ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) = f [ x0 ] + f [ x1 , x0 ]( x − x0 )
Diferencias Divididas de Newton
Caso Cuadrático
b0
x0 → f [ xo ] = yo
x1 → f [ x1 ] = y1
x2 → f [ x2 ] = y2
b1
f [ x1] − f [ x0 ]
f [ x1, x0 ] =
x1 − x0
f [ x2 ] − f [ x1 ]
f [ x2 , x1 ] =
x2 − x1
b2
f [ x2 , x1 ] − f [ x1 , x0 ]
f [ x2 , x1 , x0 ] =
x2 − x0
f ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 )
= f [ x0 ] + f [ x1 , x0 ]( x − x0 ) + f [ x2 , x1 , x0 ]( x − x0 )( x − x1 )
4
Lagrange
n
Enfoque alternativo para calcular un polinomio de
interpolación
X
Y
x0
y0
x1 L xn
y1 L y n
P ( x) = y0l0 ( x ) + y1l1 ( x) + L + yn ln ( x)
P( x0 ) = y0 ⇒ l0 ( x0 ) = 1,
P( x1 ) = y1 ⇒ l1 ( x1 ) = 1,
M
P( xn ) = yn ⇒ ln ( xn ) = 1,
l 0 ( xi ) = 0 ∀i ≠ 0
l1 ( xi ) = 0 ∀i ≠ 1
ln ( xi ) = 0 ∀i ≠ n
Lagrange
n
Despejando l0(x0) = 1 y l0(xi) = 0, i ≠ 0, entonces se
propone:
l0 ( x ) = c( x − x1 )( x − x2 ) L ( x − xn )
Como l 0(x0) = 1, entonces:
1 = l0 ( x0 ) = c ( x 0 − x1 )( x0 − x2 ) L ( x0 − xn )
⇒c=
1
( x0 − x1)( x0 − x1 ) L( x0 − xn )
∴ l0 ( x) =
( x − x1 )( x − x 2 ) L ( x − x n )
( x0 − x1)( x 0 − x 2 ) L ( x 0 − x n )
5
Lagrange
n
Generalizando:
∏ (x − x )
,
(
x
−
x
)
∏
i
l j ( x) =
∀i ≠ j ,i =0 ,...,n
j
∀i ≠ j ,i =0 ,...,n
j = 0,..., n
i
Lagrange
n
Por ejemplo, calcular el polinomio de Lagrange
para los siguientes puntos:
X
Y
1 3 5 7
− 2 1 2 −3
6
Splines
n
n
Técnica ampliamente utilizada en el
procesamiento digital de imágenes
En lugar de representar a todos los puntos
con un polinomio de alto grado, se dividen
por segmentos a los puntos, donde cada
segmento será representado por un
polinomio
Splines
n
Una función spline s(x) esta formada por varios
polinomios, cada uno definido en un intervalo, los
cuales se unen bajo ciertas condiciones de
continuidad
x0 < x1 < … < xn
X
Y
x0
y0
x1 L xn
y1 L y n
a) s(xi) = yi , ∀ i = 0, …, n
b) s(x) es un polinomio de grado ≤ k en cada subintervalo [xi-1, xi ]
c) s(x) tiene derivada continua hasta de orden k-1
7
Splines Lineales
n
Unir a los puntos con segmentos de recta
 s1 ( x), x ∈ [ x0 , x1 ]
 s ( x ), x ∈[ x , x ]
 2
1
2
s( x ) = 
M

 sn ( x ), x ∈[ x n−1, x n ]
 y 0 + f [ x1 , x0 ]( x − x0 ), x ∈ [ x0 , x1 ]
 y + f [ x , x ]( x − x ), x ∈ [ x , x ]

1
2
1
1
1
2
⇒ s( x ) = 
M

 y n −1 + f [x n , x n−1 ]( x − x n−1 ), x ∈ [ x n −1 , x n ]
Splines Cuadráticos
n
Consiste en unir cada uno de los puntos a través
de segmentos de curvas cuadráticas:
 s1 ( x), x ∈ [ x0 , x1 ]
 s ( x ), x ∈[ x , x ]
 2
1
2
s( x ) = 
M

 sn ( x ), x ∈[ x n−1, x n ]
 a1 x 2 + b1x + c1 , x ∈ [ x0 , x1 ]

s( x) = 
M
2
a x + b x + c , x ∈ [ x , x ]
n
n
n−1
n
 n
8
Splines Cuadráticos
n
Por ejemplo, considere el siguiente conjunto de
puntos
X
3
4.5
Y
2.5
1
7
9
2.5 0.5
 a1x 2 + b1 x + c1 , x ∈ [3, 4.5]

s( x) = a2 x 2 + b2 x + c2 , x ∈ [4.5, 7]
 a x 2 + b x + c , x ∈ [7,9]
3
3
 3
Splines Cuadráticos
n
Dado que s(3)=2.5, s(4.5)=1, s(7)=2.5, s(9)=0.5
s (3) = 2 .5 ⇒ 9a1 + 3b1 + c1 = 2.5
 (4.5) 2 a1 + 4 .5b1 + c1 = 1
s (4.5) = 1 ⇒ 
2
 (4.5 ) a2 + 4.5b 2 + c2 = 1
7 2 a + 7b 2 + c2 = 2.5
s (7 ) = 2 .5 ⇒  2 2
 7 a 3 + 7 b3 + c3 = 2.5
s (9 ) = 0.5 ⇒ 9 2 a 3 + 9b3 + c3 = 0 .5
Considerando las derivadas continuas:
 2a1 + b1 , x ∈ [3,4.5]

s' ( x ) = 2a 2 + b2 , x ∈ [4 .5,7 ]
 2a + b , x ∈ [7,9]
 3 3
9
Splines Cuadráticos
n
A partir de s’(x) se obtienen las siguientes
condiciones:
2a1 ( 4.5) + b1 = 2 a2 (4.5) + b2 ⇒ 9a1 + b1 = 9a2 + b2
2a 2 (7 ) + b2 = 2a3 (7) + b3 ⇒ 14 a2 + b2 = 14a3 + b3
∴Se obtiene un sistema de 8 ec. y 9 incógnitas:
Se considera que a 1 = 0 à 8 ec. y 8 incógnitas
Splines Cúbicos
n
Consiste en unir cada uno de los puntos a través
de segmentos de curvas cúbicas:
 s1 ( x), x ∈ [ x0 , x1 ]
 s ( x ), x ∈[ x , x ]
 2
1
2
s( x ) = 
M

 sn ( x ), x ∈[ x n−1, x n ]
 a1 x 3 + b1 x 2 + c1 x + d1 , x ∈ [ x0 , x1 ]

s( x) = 
M
3
2
a x + b x + c x + d , x ∈ [ x , x ]
n
n
n
n −1
n
 n
10
Splines Cúbicos: Ejemplo
X
2
3 5
Y
−1 2 7
 a1 x3 + b1 x 2 + c1 x + d1 , x ∈ [2,3]

s( x ) = 
a x3 + b x 2 + c x + d , x ∈[3,5]
2
2
2
 2
s (2 ) = −1 ⇒ 8a1 + 4b1 + 2c1 + d1 = −1
s (3) = 2 ⇒ 27a1 + 9b1 + 3c1 + d1 = 2
s (3) = −7 ⇒ 27a 2 + 9b2 + 3c2 + d 2 = −7
s (5) = −7 ⇒ 125 a2 + 25b2 + 5c 2 + d 2 = −7
Splines Cúbicos: Ejemplo
n
Considerando las derivadas se tiene:
 3a x 2 + 2b1x + c1, x ∈[ 2,3]
s ' ( x) =  1 2
3a2 x + 2b2 x + c2 , x ∈[3,5]
 6a1 x + b1 , x ∈[ 2,3]
s ' ' ( x) = 
6a2 x + b2 , x ∈[3,5]
Dado que se requiere continuidad en todos los puntos:
3a1 (3) 2 + 2b1 (3) + c1 = 3a 2 (3)2 + 2b2 (3) + c2
⇒ 27 a1 + 6 b1 + c1 = 27 a 2 + 6b2 + c2
6 a1 (3) + b1 = 6 a 2 (3) + b2
⇒ 18 a1 + b1 = 18a 2 + b2
11
Splines Cúbicos
n
Dado que se tienen 6 ec. y 8 incógnitas, se pueden
añadir las siguientes condiciones:
s' ' (x0 ) = 0 ⇒ s' ' (2) = 0 ⇒ 6a1 (2) + 2b1 = 0
s' ' (xn ) = 0 ⇒ s' ' (5) = 0 ⇒ 6a2 (5) + 2b2 = 0
Con lo anterior, se tiene un sistema de 8 ec. y 8 incógnitas
12