Practico 8 - 2010 - Aproximacion e Interpolacion de funciones

Métodos en Computación Científica
1º Cuatrimestre de 2010
Práctico nº8: Aproximación e Interpolación de funciones
Ejercicio nº1
Dada la función de Runge:
1
1  25 x 2
definida sobre el intervalo [-1,1]; considere los puntos equidistantes:
2
xi  1  (i  1)
i  1,  , n  1
n
a) Grafique usando MATLAB f(x).
b) Obtenga los polinomios de interpolación de Lagrange para n=4, n=8, y n=12 y represéntelos en
un único gráfico junto a f(x).
c) Analice qué sucede cuando n se incrementa. ¿Qué sucede en el origen, y en los extremos del
intervalo [-1,1]?
f ( x) 
Ejercicio nº2
Probar que si g interpola a la función f en x0 , x1 , ..., xn1 y si h interpola f en x1 , x2 , ..., xn ,
entonces la función:
x x
 ( x)  g ( x)  0
( g ( x)  h( x))
x n  x0
interpola f en x0 , x1 , ..., xn . Nótese que h y g no necesitan ser polinomios.
Ejercicio nº3
La ecuación x  9  x  0 tiene una solución en [0,1]. Hallar el polinomio que interpola a la función
f ( x)  x  9  x sobre los nodos x0  0. , x1  0.5 , x2  1. Encuentre las raíces de dicho polinomio.
Ejercicio nº4
Considere la tabulación de la función f ( x)  x1.9 para x=1,2,...,5 y efectúe una estimación de
f(2.5) y f(3.8) usando interpolación lineal. Compare los resultados con la respuesta correcta.(Usar
interp1 de Matlab)
b)
Repita el cálculo anterior con un polinomio cúbico.
c)
Analice cómo trabaja esta función.
a)
Ejercicio nº5
Determinar todos los valores de a, b, c, d, e para los cuales la siguiente función es una spline
cúbica:
a( x  2) 2  b( x  1) 3
si x   ,1

2
f ( x)   c( x  2)
si x  1,3
 d ( x  2) 2  e( x  3) 3
si x  3,8

Luego determinar los valores de los parámetros tal que la spline cúbica interpole esta tabla:
X
Y
0
26
1
7
4
25
Ejercicio nº6
Dada la tabla:
x
Y
-2
4
0
0
2
-4
3
-30
4
-40
5
-50
a) Interpolar usando una spline cúbica. (usar la función spline)
b) Interpolar usando un polinomio de Lagrange .
c) Graficar los datos y los polinomios resultantes de a) y b) en el mismo gráfico. ¿Qué curva
parece dar una representación más realista de la función cuyos datos han sido extraídos?
Ejercicio nº7
Se cree que la cantidad de energía eléctrica mensual E que consume una planta de procesamiento
de materiales se relaciona con la temperatura promedio del medio ambiente (T, en grados
Farenheit), el número de días que se trabajó en el mes (D), la pureza promedio del producto
obtenido (P) y la cantidad de toneladas producidas (O). Los datos recogidos en los últimos meses
se presentan en esta tabla:
E
240
236
270
274
301
316
300
296
267
276
288
261
T
25
31
45
60
65
72
80
84
75
60
50
38
D
24
21
24
25
25
26
25
25
24
25
25
23
P
91
90
88
87
91
94
87
86
88
91
90
89
O
100
95
110
88
94
99
97
96
110
105
100
98
a) Encuentre un modelo de regresión lineal para estos datos
b) Cual sería el consumo esperado en un mes con temperatura promedio de 75°F, 24 días
trabajados, producto obtenido a un 90% de pureza en promedio y 98 toneladas de producción?
Ejercicio nº8
Determine las constantes a y b para que S  a.ebT aproxime los datos de la siguiente tabla en el
sentido de los cuadrados mínimos.
T
S
77
2.4
100
3.4
185
7.0
239
11.1
285
19.6