Práctica Calificada Nº 3

Facultad de Derecho y Ciencia Política
2008 – II
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 - A
Curso
Profesor
Ciclo
:
:
:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Ing. Oscar Reyes Almora
I
1.- Resuelva las siguientes inecuaciones:
i) x2 ≥ – 2x + 3 → x2 + 2x – 3≥ 0 → (x + 3)(x – 1) ≥ 0 → P.C.: 1, -3
+ +
-3
-∞
x ∈ ] - ∞, -3 ] ∪ [ 1, ∞ [
∞
1
ii) x – 4x + x + 6 ≤ 0
3
2
+
-1
-∞
-
2
1 -4 1 6
-1 -1 5 -6
1 -5 6 0
P.C.: -1, 2, 3
-∞
+
x ∈ ] - ∞, -1 ] ∪ [ 2, 3 ]
∞
3
-2
+
-
-1
(1,5 puntos)
+
iii) (x + 1)2(x + 2)(x – 1)3(x – 5) > 0
-
x2 – 5x + 6
x
-2
x
-3
Por Ruffini:
(x + 1)(x – 2)(x – 3) ≤ 0
-
(1,5 puntos)
1
→ P.C.: -1, -2, 1, 5
(2,0 puntos)
+
x ∈ ] - 2, 1 [ ∪ ] 5, ∞ [ - { -1 }
∞
5
2.- a. Evalúe el siguiente esquema molecular: [ p v (q → ~ r)] ^ [ (~ p v r) ↔ ~ q ].
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
[p
v
(q
V
V
V
V
F
V
V
V
→
~
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
r)]
^
[ (~
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
p
v
r)
V
F
V
F
V
V
V
V
(1,5 puntos)
↔
~
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
q]
∴ Es un esquema contingente.
b.- Dados los siguientes esquemas moleculares:
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
y B: (p → r) v (q → r)
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p
^
V
V
F
F
F
F
F
F
q)
→
V
F
V
V
V
V
V
V
r
(p
→
V
F
V
F
V
V
V
V
r)
v
V
F
V
V
V
V
V
V
(q
→
r)
V
F
V
V
V
F
V
V
c.- Sustituyendo x = 4: "Si 4 es menor que cero, entonces 4 es cero o positivo". Luego:
recíproca:
"Si 4 es cero o positivo, entonces 4 es menor que cero."
inversa:
(2,0 puntos)
iv) B es equivalente a A
Relación correcta:
p
A: (p ^ q) → r
(1,5 puntos)
"Si 4 no es menor que cero, entonces 4 no es cero y 4 no es positivo."
contrarrecíproca: "Si 4 no es cero y 4 no es positivo, entonces 4 no es menor que cero."
p : 4 es menor que cero V(p) = F
q : 4 es cero V(q) = F
r : 4 es positivo V(r) = V
i) FFV
3.- a. Determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones:
-
(2,0 puntos)
La equivalencia es un conectivo u operador lógico que resulta V cuando las proposiciones
coligadas son ambas del mismo valor.
F
Se habla de CONSISTENCIA en la evaluación de esquemas moleculares únicamente
cuando para cualquier combinación de valores el resultado siempre es verdadero.
F
En un razonamiento, si una premisa es falsa éste resulta válido.
V
El valor de verdad de un esquema molecular depende entre otras cosas de la naturaleza
de las proposiciones coligadas.
F
Para determinar el número de combinaciones de valores de verdad a priori, es necesario
conocer el número de variables proposicionales del esquema molecular.
V
b. Si la proposición (~ p ^ q) → (~ s v r) es falsa, de las proposiciones siguientes:
F V
V F
V
F
V
F
F
4.-
(1) ~ [( p → q ) → r ]
F V
F
V
F
V
(2) ~( ~ p ^ q ) ^ ( ~ r v r ) ^ s
F V
F F V
V
V
V
V
F
F
F
¿Cuáles son verdaderas?
iv) Sólo 1
(3,0 puntos)
(3) [( p v ~ q ) ^ p ] v ~ q
F
V F
V
F
F
F
F
F
a. "Si me gustan las matemáticas, estudiaré. Si no estudio, no desapruebo el curso; en consecuencia,
me gustan las matemáticas si y sólo si desapruebo el curso".
(2,5 puntos)
p→q
p: me gustan las matemáticas
P1:
q: estudiaré
P2: ~ q → ~ r
r: desapruebo el curso
Q:
∴p↔r
(p → q) ^ (~ q → ~ r) → ( p ↔ r )
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
∴ Es un razonamiento no válido.
F
F
F
b. Empleando el método abreviado, determine la validez del siguiente razonamiento:
p→q
~q→~r
∴ p↔r
(2,5 puntos)
Es el mismo razonamiento de la parte “a”, luego se trata de un razonamiento no válido.
DURACIÓN: 100 minutos
S
EL PROFESOR
Facultad de Derecho y Ciencia Política
2008 – II
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 - B
Curso
Profesor
Ciclo
:
:
:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Ing. Oscar Reyes Almora
I
1.- Resuelva las siguientes inecuaciones:
i) x2 < – 4x – 3 → x2 + 4x + 3< 0 → (x + 1)(x + 3)< 0 → P.C.: -1, -3
+ +
∞
x ∈ ] -3, -1 [
ii) x - 4x + x + 6 > 0
Por Ruffini:
-3
-∞
3
-1
2
1 -4 1 6
-1 -1 5 -6
1 -5 6 0
P.C.: -1, 2, 3
(x + 1)(x – 2)(x – 3) > 0
-
+
-1
-∞
-
2
-∞
+
-5
-
-4
(1,5 puntos)
x ∈ ] - 1, 2 [ ∪ ] 3, ∞ [
∞
3
+
x2 – 5x + 6
x
-2
x
-3
+
iii) (x + 4)2(x + 5)(x – 3)3(x – 2) ≤ 0
-
(1,5 puntos)
2
→ P.C.: -5, -4, 2, 3
(2,0 puntos)
+
x ∈ ] - ∞, -5 ] ∪ [ 2, 3 ] ∪ { -4 }
∞
3
2.- a. Evalúe el siguiente esquema molecular: ~ [ p v (r → q)] ^ [ (p v ~ r) ↔ q ].
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
~
r
V
F
V
F
V
F
V
F
[p
F
F
F
F
F
F
V
F
v
(r
V
V
V
V
V
V
F
V
→ q)]
^
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
[ (p
v
~
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
(1,5 puntos)
↔
r)
Q]
V
V
F
F
F
V
V
F
∴ Es un esquema contingente.
b.- Dados los siguientes esquemas moleculares:
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
y B: (p → r) v (q → r)
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p
^
V
V
F
F
F
F
F
F
q)
→
V
F
V
V
V
V
V
V
r
(p
→
V
F
V
F
V
V
V
V
r)
v
V
F
V
V
V
V
V
V
(q
→
r)
V
F
V
V
V
F
V
V
c.- Sustituyendo x = 0: "Si 0 es cero o positivo, entonces 0 es menor que cero ".Luego:
recíproca:
"Si 0 es menor que cero, entonces 0 es cero o positivo."
inversa:
(2,0 puntos)
iii) B es equivalente a A
Relación correcta:
p
A: (p ^ q) → r
(1,5 puntos)
"Si 0 no es cero y 0 no es positivo, entonces 0 no es menor que cero."
contrarrecíproca: "Si 0 no es menor que cero, entonces 0 no es cero y 0 no es positivo."
p : 0 es cero V(p) = V
q : 0 es positivo V(q) = F
r : 0 es menor que cero V(r) = F
b) VVF
3.- a. Determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones:
-
(2,0 puntos)
La equivalencia es un conectivo u operador lógico que resulta verdadero cuando las
proposiciones coligadas tienen diferente valor.
F
Se habla de CONSISTENCIA en la evaluación de esquemas moleculares únicamente cuando
para cualquier combinación de valores el resultado siempre es verdadero.
F
En un razonamiento, si las premisa son Verdadera éste resulta válido.
F
El valor de verdad de un esquema molecular depende entre otras cosas de la naturaleza de las
proposiciones coligadas.
F
Para determinar el número de combinaciones de valores de verdad a priori, no es necesario
conocer el número de variables proposicionales del esquema molecular.
F
b. Si la proposición (~ p ^ q) → [ (p ^ r) v t ) es falsa, de las proposiciones siguientes:
F ?
F V
F
V
F
V
F
F
(1) (~ p → t) → (~ q → r)
F F
V ?
V
F
F
V
(2) ~ [ (~ p v ~ q) → (~ t v r ) ]
F
V
F ?
V
F
V
V
V
V
(3,0 puntos)
(3) (~ r ^ ~ q) v [~ t ^ (p v q)]
?
V
F F V
¿
F
V
V
F
V
V
V
F
¿Cuáles son falsas?
i) Sólo 2
4.- a. "Juan es hijo de Pedro. Si Juan no es hijo de Pedro o María no es hija de Pedro, Juan no es hijo de
Pedro y María no es hija de Rosa. Por lo tanto, María es hija de Pedro".
(2,5 puntos)
p ^ (~ p v ~ q ) → (~ p ^ ~r) → q
p: Juan es hijo de Pedro
P1:
p
q: María es hija de Pedro
P2:
(~ p v ~ q )→ (~ p ^ ~r)
r: María es hija de Rosa
Q:
∴ q
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V (⇒⇐)
V
∴ Es un razonamiento válido.
F
b. Empleando el método abreviado, determine la validez del siguiente razonamiento:
q→p
~q→~r
∴ r↔p
(q → p) ^ (~ q → ~ r) → ( r ↔ p )
V
F
V
V
F
DURACIÓN: 100 minutos
V
V
V
∴ Es un razonamiento no válido.
(2,5 puntos)
F
F
EL PROFESOR