Mathcad - Ejemplo L de I 2016 MIC (Corte) x=0.4L

EJEMPLO LINEA DE INFLUENCIA DEL ESFUERZO DE CORTE EN SECIÓN INTERMEDIA
EN SEGUNDO TRAMO (0.4L), PARA CARGAS VERTICALES , CÁLCULO ANALÍTICO POR
METODO MIC:
A) Cálculo Analítico por Método MIC (Procedimiento de Cálculo)
Resolvemos el problema a traves de la solución de la ecuación matricial de
Equilibrio (matriz de Rigidez): (ver esquemas. En este se esquematizó un caso
general en un punto intermedio del tramo).
IPN 160
L := 300 (cm)
J := 935
(cm4 )
E := 2100
6
(t/cm2 )
E⋅ J = 1.963 × 10
Rigideces:
r11 := 7 ⋅ E⋅
J
r12 := 2⋅ E⋅
L
B) Esquemas de Superposición:
J
L
r21 := r12
r22 := 7⋅ E⋅
J
L
Determninación de las reacciones momentos de empotramiento (viga E_E) para el
esquema de cedimiento de vínculo correspondiente a un desplazamiento relativo -1
para una sección intermedia donde se evidencia el mecanismo de liberación del G
de L en la dirección del esfuerzo de Corte: (basados en las funciones definidas
como v3(x) y v2(x). (Tabla de Funciones Elásticas).
En el ejemplo esta sección está en x= 0.4L.
v3( x ) := 3 ⋅ ⎛⎜
x⎞
2
⎛x⎞
⎟ − 2⋅ ⎜ ⎟
⎝ L⎠
⎝ L⎠
⎡
3
2
3
⎛x⎞ ⎤
⎟ + 2⋅ ⎜ ⎟ ⎥
⎝ L⎠
⎝ L⎠ ⎦
v2( x ) := −⎢1 − 3 ⋅ ⎛⎜
⎣
x⎞
Eje := 0
−1
v3( x)− 0.5
v2( x)
0
Eje
0.5
1
0
100
200
300
x
α := 0.4
v ( x ) :=
β := 1 − α
β = 0.6
0 if 0 < x
v3( x ) if 0 ≤ x ≤ α L
v2( x ) if α L ≤ x ≤ L
−1
0.4L
− 0.5
v( x)
0
0
0.5
1
0
100
200
300
x
2
x
x
d
v3( x ) →
−
4500000
15000
dx
2
x
x
d
v2( x ) →
−
4500000
15000
dx
θ( x ) :=
6⋅ x
L
2
6⋅ x
−
L
2
3
v3( α⋅ L) → 0.352
v2( α⋅ L) → −0.648
−3
θ( α⋅ L) = 4.8 × 10
δi := v3( α⋅ L)
δi = 0.352
Desplazamiento Relativo:
δd := v2( α⋅ L)
−v3( α⋅ L) + v2( α⋅ L) = −1
δd = −0.648
J
Mi := −6 ⋅ E⋅
( α⋅ L)
Mi = −130.9
2
⋅ δi + 2 ⋅ E⋅
R=
α⋅ L
⋅ θ( α⋅ L)
(tcm)
⎛ r11 r12 ⎞
⎜
⎟
⎝ r21 r22 ⎠
Md := −6 ⋅ E⋅
J
( β⋅ L)
2
⋅ δd + 2 ⋅ E⋅
J
β⋅ L
⋅ θ( α⋅ L)
(tcm)
Md = −130.9
R01 := Mi
R :=
J
R02 := Md
R0 :=
⎛ R01 ⎞
⎜
⎟
⎝ R02 ⎠
R0 =
⎛ −130.9 ⎞
⎜
⎟
⎝ −130.9 ⎠
⎛ 4.582 × 104 1.309 × 104 ⎞
⎜
⎟
⎜
4
4⎟
⎝ 1.309 × 10 4.582 × 10 ⎠
R⋅ X + R0 = 0
X := −R
−1
⋅ R0
⎛ 2.222 × 10− 3 ⎞
⎟
X= ⎜
⎜
− 3⎟
⎝ 2.222 × 10 ⎠
−3
X1 := 2.222 × 10
−3
X2 := 2.222 × 10
RAD
RAD
En el Cálculo de la superposición de elásticas (Principio de Superposición de
Efectos), en el fundamental debido a la causa deformante cedimniento de vínculo
mas las debidas a las incognitas CINEMÁTICAS nos basamos en los resultados de las
elásticas de BARRAS ELEMENTALES OBTENIDAS POR INTEGRACIÓN DE LA
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA LINEA ELÁSTICA DE LA BARRA RECTA,
CORRESPONDIENTES A CEDIMIENTOS DE VÍNCULO SEGÚN LAS INCOGNITAS
CINEMÁTICAS. (Tablas)
Para identificar las elásticas de cada tramo usamos el primer subindice para indicar
el sistema (deformaciones en el fundamental debido a causas y/o incógnitas), y el
segundo para indicar el tramo.
Por otro lado cuando representemos la L de I total podemos referirla a un sistema de ejes
con origen movil es decir trasladamos el origen según convenga en función de las ecuaciones
analiticas de las elásticas elementales ya resueltas para barras simples. (tablas)
Ver las correspondiente soluciónes desarrolladas de los casos que se presentan en este
ejemplo y que son vigas simples E_E o E_A para desplazamientos extremos δ=+1 o θ=+1
según corresponda.
Ver archivo de Elásticas para C.V. (tablas).
Elásticas a Utilizar en la resolución:
Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo derecho,
θ=+1: E_E
v( x) =
x
2
L
⋅ ⎛⎜
x
⎝L
− 1⎞⎟
⎠
Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo izquierdo, θ=+1:E_E
:
v ( x ) = x ⋅ ⎛⎜ 1 −
⎝
x⎞
2
⎟
L⎠
Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo izquierdo, θ=+1:E_A
v( x) =
2
⎛ x3 ⎞
⎜
⎟ − 3⋅ x + x
⎜ 2 ⋅ L2 ⎟
2⋅ L
⎝
⎠
Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo izquierdo, θ=+1:E_A
v( x) = −
( L − x)
2⋅ L
2
3
+ 3⋅
( L − x)
2⋅ L
2
−L+x
A partir del segundo tramo, se traslada el origen de coordenadas a L, 2L y 3L
Las elásticas correspondientes a los diferentes estados y tramos son:
Tramo2 (1.4L-2L)
Tramo2 (L-1.4L)
Tramo1
2
v01 ( x ) := 0
3
( x − L) ⎤
⎡ ( x − L) ⎤ v02d( x ) :=
v02i( x ) := 3 ⋅ ⎡⎢
⎥ − 2⋅ ⎢
⎥
⎣ L ⎦
⎣ L ⎦
2
3
⎡
( x − L) ⎤
( x − L) ⎤ ⎤
⎡
⎡
⎢
− 1 − 3⋅ ⎢
⎥ + 2⋅ ⎢
⎥⎥
⎣
⎣ L ⎦
⎣ L ⎦⎦
Tramo3
v03 ( x ) := 0
Tramo2
Tramo3
Tramo1
v11 ( x ) := −
( L − x)
2⋅ L
2
3
+ 3⋅
Tramo1
v21 ( x ) := 0
( L − x)
2
( x − L) ⎤
⎡
v12 ( x ) := ( x − L) ⋅ ⎢1 −
⎥
L ⎦
⎣
2
2⋅ L
−L+x
Tramo3
Tramo2
v22 ( x ) :=
X1 = 2.222 × 10
−3
( x − L)
L
2
v13 ( x ) := 0
⋅ ⎡⎢
( x − L)
⎣
X2 = 2.222 × 10
L
− 1⎤⎥ v23 ( x ) :=
⎦
2
⎡ ( x − 2 ⋅ L) 3⎤
⎢
⎥ − 3 ⋅ ( x − 2 ⋅ L) + ( x − 2 ⋅ L
⎢ 2 ⋅ L2 ⎥
2⋅ L
⎣
⎦
−3
α := 0.4
L = 300
Linea de Influencia en intervalos: 0-L (tramo 1)
v1( x ) := v01 ( x ) + v11 ( x ) ⋅ X1 + v21 ( x ) ⋅ X2
Linea de Influencia en intervalos: L-1.4L (tramo 2 izquierdo)
v2i( x ) := v02i( x ) + v12 ( x ) ⋅ X1 + v22 ( x ) ⋅ X2
Linea de Influencia en intervalos: 1.4L-2L (tramo 2 derecho)
v2d ( x ) := v02d( x ) + v12 ( x ) ⋅ X1 + v22 ( x ) ⋅ X2
Linea de Influencia en intervalos: 2L-3L (tramo 3)
v3( x ) := v03 ( x ) + v13 ( x ) ⋅ X1 + v23 ( x ) ⋅ X2
Grafica completa de la Linea de Influencia del Esfuerzo de Corte en x=0.4L del tramo
2 para cargas verticales:
v ( x ) :=
0 if 0 < x
EjeViga := 0
Eje de Viga:
v1( x ) if 0 ≤ x ≤ L
v2i ( x ) if L ≤ x ≤ ( 1 + α) ⋅ L
v2d ( x ) if ( 1 + α) ⋅ L ≤ x ≤ 2 ⋅ L
v3( x ) if 2 ⋅ L ≤ x ≤ 3 ⋅ L
−1
2⋅ L
L
− 0.5
v( x)
0
EjeViga
0.5
1
0
150
300
450
600
750
900
3
1.05× 10
x
x(cm)
Tabla de Coeficientes de Influencia para distintos valores de abcisas (cm):
v( 0) = 0
v ( 325 ) = 0.062
v ( 350 ) = 0.136
v ( 625 ) = 0.049
v ( 650 ) = 0.085
v ( 925 ) = 0
v ( 950 ) = 0
v ( 375 ) = 0.219
v ( 675 ) = 0.109
v ( 975 ) = 0
v ( 400 ) = 0.309
v ( 700 ) = 0.123
v ( 1000) = 0
v ( 125 ) = −0.115
v ( 420 ) = −0.616
v ( 425 ) = −0.597
v ( 450 ) = −0.5
v ( 725 ) = 0.128
v ( 750 ) = 0.125
v ( 1025) = 0
v ( 1050) = 0
v ( 150 ) = −0.125
v ( 475 ) = −0.403
v ( 775 ) = 0.115
v ( 410 ) = 0.346
v ( 175 ) = −0.128
v ( 500 ) = −0.309
v ( 800 ) = 0.099
v ( 419 ) = 0.38
v ( 200 ) = −0.123
v ( 525 ) = −0.219
v ( 825 ) = 0.078
v ( 420 ) = −0.616
v ( 225 ) = −0.109
v ( 550 ) = −0.136
v ( 850 ) = 0.054
v ( 421 ) = −0.612
v ( 250 ) = −0.085
v ( 575 ) = −0.062
v ( 875 ) = 0.028
v ( 25) = −0.028
v ( 50) = −0.054
v ( 75) = −0.078
v ( 419.9 ) = 0.384
v ( 100 ) = −0.099
v ( 275 ) = −0.049
v ( 300 ) = 0
v ( 600 ) = 0
v ( 900 ) = 0