Mathcad - Ejemplo L de I 2016 MIC (Momento Apoyo)

EJEMPLO LINEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO FLEXOR EN EL APOYO B, PARA
CARGAS VERTICALES , CÁLCULO ANALÍTICO POR METODO MIC:
A) Cálculo Analítico por Método MIC (Procedimiento de Cálculo)
Resolvemos el problema a través de la solución de la ecuación matricial de
Equilibrio (matriz de Rigidez): Unidades homogeneas KN, m
L := 3 (m)
IPN 160
J := 0.00000935 (m4)
E := 210000000
3
E⋅ J = 1.963 × 10
(KN/m2 )
(KN.m2 )
Cálculo de rigideces en la dirección de las Incógnitas Cionemáticas:
r11 := 7⋅ E⋅
J
3
= 4.582 × 10
L
r22 := 7⋅ E⋅
J
3
= 4.582 × 10
L
B) Esquemas de Superposición:
r12 := 2⋅ E⋅
J
3
= 1.309 × 10
L
r21 := r12
Determninación de las reacciones de vínculo en el fundamental para el esquema de
cedimiento de vínculo correspondiente a un desplazamiento relativo -1: Vecto [R0]
X10 := 0 X20 := 0
Given
X20 − X10 = −1
J
J
3⋅ E⋅ ⋅ X10 + 4⋅ E⋅ ⋅ X20 = 0
L
L
X10 := 0.571
⎛ 0.571 ⎞
⎟
⎝ −0.429 ⎠
Find ( X10 , X20) = ⎜
X20 := −0.429
J
3
r10i := 3⋅ E⋅ ⋅ X10 = 1.121 × 10
L
J
3
r10d := 4⋅ E⋅ ⋅ X20 = −1.123 × 10
L
J
r20 := 2⋅ E⋅ ⋅ X20 = −561.561
L
r10 := r10d + r10i = −1.964
⎛ r10 ⎞ ⎛ −1.964 ⎞
⎟=⎜
⎟
⎝ r20 ⎠ ⎝ −561.561 ⎠
R0 := ⎜
3
3
⎛ r11 r12 ⎞ ⎛⎜ 4.582 × 10 1.309 × 10 ⎞⎟
R := ⎜
⎟=
⎝ r21 r22 ⎠ ⎜⎝ 1.309 × 103 4.582 × 103 ⎟⎠
Por ser la ecuación de X1 independiente de X2 y X3 X1=X10
⎛ X1 ⎞
⎟
⎝ X2 ⎠
X= ⎜
X := −R
R⋅ X + R0 = 0
−1
⎛ −0.038 ⎞
⎟
⎝ 0.133 ⎠
⋅ R0 = ⎜
X1 := −0.038
X2 := 0.133
En el Cálculo de la superposición de elásticas (Principio de Superposición de
Efectos), en el fundamental debido a la causa deformante cedimniento de vínculo
mas las debidas a las incognitas ESTÁTICAS nos basamos en los resultados de las
elásticas de BARRAS ELEMENTALES OBTENIDAS POR INTEGRACIÓN DE LA
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA LINEA ELÁSTICA DE LA BARRA RECTA,
CORRESPONDIENTES A CEDIMIENTOS DE VÍNCULO SEGÚN LAS INCOGNITAS
ESTÁTICAS. (Tablas)
Para identificar las elásticas de cada tramo usamos el primer subindice para indicar
el sistema (deformaciones en el fundamental debido a causas y/o incógnitas), y el
segundo para indicar el tramo.
Por otro lado cuando representemos la L de I total podemos referirla a un sistema de ejes
con origen movil es decir trasladamos el origen según convenga en función de las ecuaciones
analiticas de las elásticas elementales ya resueltas para barras simples. (tablas)
Ver las correspondiente soluciónes desarrolladas de los casos que se presentan en este
ejemplo y que son vigas simples A_ A para momentos extremos M=+1 según corresponda.
Ver archivo de Elásticas. (Agregar si falta alguna).
Elásticas a Utilizar en la resolución:
θi=+1 en el apoyo izquierdo sentido horario: E-E
v ( x) := x⋅ ⎛⎜ 1 −
⎝
x⎞
⎟
L⎠
2
θd=+1 en el apoyo derecho sentido horario: E-E
2
x ⎛x
⎞
v ( x) :=
⋅ ⎜ − 1⎟
L ⎝L
⎠
θi=-1 en el apoyo izquierdo sentido antihorario: E-E
⎡
v ( x) := −⎢x⋅ ⎛⎜ 1 −
⎣ ⎝
2
x⎞ ⎤
⎟⎥
L⎠ ⎦
θd=+1 en el apoyo derecho sentido horario: A-E
v ( x) := −
( L − x)
2⋅ L
2
3
2
+ 3⋅
( L − x)
−L+x
2⋅ L
θi=+1 en el apoyo izquierdo sentido horario: E-A
2
⎛⎜ x3 ⎟⎞
x
v ( x) :=
− 3⋅
+x
⎜ 2⋅ L2 ⎟
2⋅ L
⎝
⎠
A partir del segundo tramo, se traslada el origen de coordenadas a L, 2L
Las elásticas correspondientes a los diferentes estados y tramos son:
SISTEMA 0: Multiplicamos las elástica por el momento (rigidez x desplazamiento)
Tramo1(0-L)
Tramo2 (L-2L)
2
⎡⎢ ( L − x) 3
⎤
( L − x)
v01i ( x) := −
+ 3⋅
− L + x⎥ ⋅ X10
⎢ 2⋅ L2
2⋅ L
⎥
⎣
⎦
v03 ( x) := 0
2
⎡ ⎡
( x − L) ⎤ ⎤⎤
⎡
v01d ( x) := ⎢−⎢( x − L) ⋅ ⎢1 −
⎥ ⎥⎥ ⋅ X20
L ⎦ ⎦⎦
⎣ ⎣
⎣
SISTEMA 1:
Tramo1
v11 ( x) := −
Tramo3(2L-3L)
Tramo2
( L − x)
2⋅ L
2
3
+ 3⋅
( L − x)
2⋅ L
2
−L+x
v13 ( x) := 0
2
( x − L) ⎤
⎡
v12 ( x) := ( x − L) ⋅ ⎢1 −
⎥
L ⎦
⎣
SISTEMA2:
2
v21 ( x) := 0
Tramo3
( x − L) ⎡ ( x − L)
⎤
v22 ( x) :=
⋅⎢
− 1⎥
L
⎣ L
⎦
2
⎡⎢ ( x − 2⋅ L) 3 ⎥⎤
( x − 2⋅ L)
v23 ( x) :=
− 3⋅
+ ( x − 2⋅ L)
⎢ 2⋅ L2 ⎥
2⋅ L
⎣
⎦
Linea de Influencia en intervalos: 0-L (tramo 1)
v1 ( x) := v01i ( x) + v11 ( x) ⋅ X1 + v21 ( x) ⋅ X2
Linea de Influencia en intervalos: L-2L (tramo 2)
v2 ( x) := v01d ( x) + v12 ( x) ⋅ X1 + v22 ( x) ⋅ X2
Linea de Influencia en intervalos: 2L-3L (tramo 3)
v3 ( x) := v03 ( x) + v13 ( x) ⋅ X1 + v23 ( x) ⋅ X2
Grafica completa de la Linea de Influencia del Esfuerzo MB para cargas verticales:
v ( x) :=
0 if 0 < x
EjeViga := 0
Eje de Viga:
v1 ( x) if 0 ≤ x ≤ L
v2 ( x) if L ≤ x ≤ 2⋅ L
v3 ( x) if 2⋅ L ≤ x ≤ 3⋅ L
2⋅ L
L
− 0.4
− 0.31
v ( x)
− 0.2
EjeViga
0
0.08
0.2
0
1.5
3
4.5
6
7.5
x
x(m)
Tabla de Coeficientes de Influencia para distintos valores de abcisas (m):
v ( 0) = 0
v ( 0.25) = −0.066
v ( 0.50) = −0.13
v ( 0.75) = −0.187
v ( 1) = −0.237
v ( 1.25) = −0.275
v ( 1.50) = −0.3
v ( 1.75) = −0.308
v ( 2) = −0.296
v ( 2.25) = −0.262
v ( 2.50) = −0.204
v ( 2.75) = −0.117
v ( 3) = 0
v ( 3.25) = −0.101 v ( 6.25) = 0.029
v ( 3.50) = −0.171 v ( 6.50) = 0.051
v ( 3.75) = −0.216 v ( 6.75) = 0.065
v ( 4) = −0.237
v ( 7) = 0.074
v ( 4.199) = −0.24
v ( 4.20) = −0.24
v ( 7.25) = 0.077
v ( 4.25) = −0.239
v ( 4.50) = −0.225
v ( 4.75) = −0.198
v ( 5) = −0.163
v ( 5.25) = −0.122
v ( 5.50) = −0.079
v ( 5.75) = −0.037
v ( 6) = 0
v ( 7.50) = 0.075
v ( 7.75) = 0.069
v ( 8) = 0.059
v ( 8.25) = 0.047
v ( 8.50) = 0.032
v ( 8.75) = 0.017
v ( 9) = 0
9