Estudio Computacional de la Respuesta Operacional de un Ducto

Estudio Computacional de la
Respuesta Operacional de un Ducto
Convergente-Divergente Bajo
Condiciones de Flujo Compresible,
Turbulento
Oscar Mauricio Ochoa Alvarez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingenierı́a, Departamento de Ingenierı́a Mecánica y Mecatrónica
Bogotá, Colombia
2015
Estudio Computacional de la
Respuesta Operacional de un Ducto
Convergente-Divergente Bajo
Condiciones de Flujo Compresible,
Turbulento
Oscar Mauricio Ochoa Alvarez
Tesis o trabajo de grado presentada(o) como requisito parcial para optar al tı́tulo de:
Magister en Ingenierı́a Mecánica
Director:
Ph.D. Carlos Alberto Duque Daza
Lı́nea de Investigación:
Ingenierı́a Térmica y Fluidos
Grupo de Investigación:
Grupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingenierı́a
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingenierı́a, Departamento de Ingenierı́a Mecánica y Mecatrónica
Bogotá, Colombia
2015
Para los que todavı́a creen en los sueños:
Persı́ganlos. Persı́ganlos hasta que se queden sin
alientos. Luego, sigan corriendo.
Agradecimientos
A Dios porque todo lo que tengo viene de Él. A mi padre y mis hermanos, por todo el
apoyo y paciencia. A mi director de tesis, por no rendirse nunca conmigo. A mis compañeros
de maestrı́a, por hacer amenos muchos momentos amargos. A mis amigos, por su paciencia
y estar pendiente de mı́.
ix
Resumen
Se realiza es estudio numérico de algunas estadı́sticas de la turbulencia de un flujo compresible pasando a través de una tobera De Laval con una condición de entrada de presión
oscilante. Para esto, se utiliza el software de código abierto OpenFOAM. Se hace la validación del solucionador rhoCentralFoam para flujo supersónico en condiciones similares a
las reportadas en trabajos experimentales. Se diseña el modelo numérico con un dominio
bidimensional y las condiciones iniciales y de frontera que se aproximan más a lo reportado
experimentalmente. La validación de este modelo frente a los datos reportados muestra variaciones inferiores al 1 % para la condición de flujo crı́ticamente expandido. Las simulaciones
en condiciones de flujo sobre-expandido muestra una variación mayor en la medida en que
disminuye el valor del NPR. Se observa la asimetrı́a de las ondas de choque en la sección
divergente de la tobera para valores de NPR muy bajos, efecto que ha sido reportado experimentalmente por otros autores. Al realizar simulaciones con dominio tridimensional no se
logra establecer el ancho del dominio adecuado debido a la falta de mayores recursos computacionales. Sin embargo, las estadı́sticas de la turbulencia mantienen el comportamiento de
las simulaciones bidimensionales. Al imponer una condición de presión oscilante a la entrada
se observa un incremento en la turbulencia principalmente en la sección de la tobera donde
inicia la parte divergente, despues de la garganta. El análisis del efecto de la compresibilidad
en la turbulencia muestra que este se puede despreciar para el caso de estudio. La hipótesis
de Morkovin no se cumple para este caso dado que al aplicar la transformada de Van Driest
el comportamiento del flujo compresible turbulento no se ajusta a uno incompresible similar.
Las curvas de lo valores de los RMS muestran un comportamiento tı́pico. En forma similar a
lo observado por otros autores, el aumento de la sección divergente de la tobera lleva a una
mitigación de la turbulencia en esta sección.
Palabras clave: Propulsión. Estadı́sticas de Turbulencia. Flujo Compresible. Tobera
De Laval. .
x
Abstract
A numerical study is performed of some statistics of the turbulence of a compressible flow
passing through a Laval nozzle with a oscillating pressure input condition. To do this, the
open source software OpenFOAM is used. Validation of the supersonic flow solver rhoCentralFoam is made with similar conditions to those reported in experimental work. The numerical
model with a two-dimensional domain and the initial and boundary conditions that are closer to those reported experimentally is design. Validation of this model against the data
reported shows variations below 1 % for critically expanded flow condition. Simulations of
over-expanded flow conditions shows greater variation in the extent that decreases the value
of NPR. The asymmetry of the shock waves in the diverging section of the nozzle for very
low values of NPR is observed, an effect that has been reported in experiments by other
authors. In the simulations with three-dimensional domain is not possible to establish the
appropriate domain width due to the lack of greater computational resources. However, the
statistics of the turbulence maintain the behaviour of two-dimensional simulations. By imposing a boundary oscillating pressure condition in the inlet, increased turbulence is observed
mainly in the section of the nozzle where the diverging section begins, after throat. The
analysis of the effect of compressibility in the turbulence shows that this can be neglected
for this study case. The hypothesis of Morkovin does not hold for this case since applying
Van Driest transform the behaviour of compressible turbulent flow does not conform to one
similar incompressible. The curves of the RMS values show a typical behaviour. Similar to
that observed by other authors, increasing the diverging section of the nozzle leads to mitigation of turbulence in this section.
keywords: Propulsion. Turbulence Statistics. Compressible Flow. De Laval Nozzle. .
Contenido
Agradecimientos
VII
Resumen
IX
Lista de sı́mbolos
XIX
1. Introducción
2. Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
2.1. Principios Fı́sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Propulsión de Cohetes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Ducto Propulsivo - Tobera De Laval . . . . . . . . .
2.1.3. Oscilación de la presión en la cámara de combustión .
2.1.4. Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Propulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Ducto Convergente-Divergente . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Oscilación de la presión: . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Ecuaciones de flujo turbulento: . . . . . . . . . . . .
2.3. Métodos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Método de los Volúmenes Finitos . . . . . . . . . . .
2.3.2. Propulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Modelos de Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Validación del Modelo Computacional
3.1. Validación del Solucionador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Especificación del problema y parámetros del caso de validación. . . .
3.1.2. Validación de los valores obtenidos frente a los valores teóricos. . . . .
3.2. Validación del Modelo Computacional para la Geometrı́a tobera De Laval. .
3.2.1. Especificación del problema y parámetros del caso. . . . . . . . . . .
3.2.2. Estudio de independencia de malla para condiciones de diseño del ducto.
3.2.3. Validación frente a valores experimentales . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
4.1. Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia . . . . . . . . . . .
4.2. Comparación con la Ley de la Pared en flujos incompresibles . . . . . . . . .
4.3. Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Contenido
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4.4. Perfiles de los valores de RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Correlaciones de dos puntos en la dirección spanwise . . . . . . . . .
4.5.2. Comparación de las simulaciones en tres dimensiones con los valores
experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia . . . . . . .
4.5.4. Comparación con la Ley de la Pared en flujos incompresibles . . . . .
4.5.5. Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.6. Perfiles de los valores de RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición
Presión Oscilante a la Entrada
5.1. Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia . . .
5.2. Comparación con la Ley de la Pared en flujos incompresibles .
5.3. Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Perfiles de los valores de RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Conclusiones
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de Frontera de
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A. Descomposición de Reynolds de las Ecuaciones de Navier-Stokes Utilizando Promedios de Favre
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Bibliografı́a
108
Lista de Figuras
2-1. Motor cohete de propelente lı́quido. Tomado de [4] . . . . . . . . . . . . . . .
2-2. Motor cohete de propelente sólido. Tomado de [4] . . . . . . . . . . . . . . .
2-3. Comportamiento de una tobera convergente-divergente para diferentes NPR.
Los casos del a al h muestran la tobera trabajando en régimen sobre-expandido;
el caso j muestra el régimen crı́ticamente expandido; el caso k muestra el régimen sub-expandido. Tomado de [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2-4. Diagrama simplificado donde se muestran dos periodos de combustión inestable. La lı́nea de cadena muestra la operación de no darse estas inestabilidades.
Como se puede observar el tiempo de quemado es menor en el caso en que se
presenten estas oscilaciones. Tomado de [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2-5. Perfil de velocidad turbulento el interior de la capa lı́mite. Tomado de [11] .
2-6. Presiones que actuan en las superficies internas y externas del motor cohete.
Tomado de [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2-7. Procedimiento para el cálculo del empuje. Tomado de [12] . . . . . . . . . .
2-8. Comportamiento de las diferentes variables a lo largo del eje de la tobera según
las ecuaciones del proceso isoentrópico cuasiunidimensional. Tomado de [3] .
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3-1. (a) Comparación de presiones en la pared de la tobera. (b) Comparación de
los valores de eficiencia del empuje. Los puntos indican los valores para las
simulaciones, la lı́nea horizontal muestra el valor reportado experimentalmente. 34
3-2. Onda de choque asimétrica para simulación con NPR = 2.008 . . . . . . . . 35
4-1. Secciones transversales en las que se analiza el comportamiento de las propiedades del flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-2. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y 100,000 celdas en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-3. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y 232,000 celdas en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-4. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y 387,000 celdas en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-5. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-6. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-7. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 5.423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lista de Figuras
4-8. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 3.014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-9. RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 2.008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-10.RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 1.255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-11.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y 100,000 celdas en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-12.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y 232,000 celdas en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-13.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y 387,000 celdas en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-14.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
4-15.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.037
4-16.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 5.423
4-17.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 3.014
4-18.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 2.008
4-19.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 1.255
4-20.Espesor de desplazamiento δ ∗ y espesor de la cantidad de movimiento θ, a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de celdas en el dominio
4-21.Número de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento Reδ∗ y número
de Reynolds con respecto al espesor de la cantidad de movimiento Reθ , a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de celdas en el dominio
4-22.(a) Espesor de desplazamiento δ ∗ y (b) espesor de la cantidad de movimiento
θ, a los largo de la sección divergente para diferentes valores de NPR . . . .
4-23.(a) Número de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento Reδ∗ y (b)
Número de Reynolds con respecto al espesor de la cantidad de movimiento
Reθ , a los largo de la sección divergente para diferentes valores de NPR . . .
4-24.Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos puntos
para la componente de la velocidad en la dirección x1 . . . . . . . . . . . . . .
4-25.Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos puntos
para la componente de la velocidad en la dirección x2 . . . . . . . . . . . . . .
4-26.Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos puntos
para la componente de la velocidad en la dirección x3 . . . . . . . . . . . . . .
4-27.Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos puntos
para la presión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-28.Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos puntos
para la densidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-29.Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos puntos
para la temperatira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-30.RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 1ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-31.RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 2ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lista de Figuras
4-32.RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 3ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-33.RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 4ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-34.RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 5ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-35.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 1ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-36.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 2ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-37.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 3ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-38.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 4ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-39.(a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 5ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-40.Espesor de desplazamiento δ ∗ y espesor de la cantidad de movimiento θ, a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de anchos del dominio
en la dirección spanwise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-41.Número de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento Reδ∗ y número
de Reynolds con respecto al espesor de la cantidad de movimiento Reθ , a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de anchos del dominio
en la dirección spanwise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-42.RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para las simulaciones con longitud de dominio en la dirección
spanwise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5-1. Comparación de la posición de la onda de choque incidente sobre la pared.
Los cı́rculos corresponden a los valores reportados por Toufique Hasan[9], los
cuadrados corresponden a las simulaciones del presente trabajo. . . . . . . .
5-2. Comparación de la posición de la onda de choque normal (Mach stem). Los
cı́rculos corresponden a los valores reportados por Toufique Hasan[9], los cuadrados corresponden a las simulaciones del presente trabajo. . . . . . . . . .
5-3. Puntos de medición de datos en la señal oscilante de la presión. . . . . . . .
5-4. Presión en la pared para 4 fracciones de ciclo de oscilación de la presión. . .
5-5. Cintas. Nomenclatura:+ 0 , × 1/2π , ∗ π y 2 3/2π . . . . . . . . . . . . . .
5-6. RMS de Ma y Mach turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5-7. U + en función de y + y Uc+ en función de y + . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5-8. Espesor de desplazamiento y espesor de la cantidad de momento en flujo
compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5-9. Espesor de desplazamiento y espesor de la cantidad de momento en diferentes
posiciones a lo largo del eje axial, para diferentes fases de oscilación. Análisis
bajo un enfoque de flujo incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lista de Figuras
5-10.Números de Reynolds respecto a el espesor de desplazamiento y espesor de la
cantidad de momento en flujo incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5-11.Número de Reynolds de fricción y Esfuerzo cortante en la pared . . . . . . . 99
5-12.RMS Temperatura, presión y densidad. Nomenclatura:+ 0 , × 1/2π , ∗ π y
2 3/2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5-13.RMS componentes de la velocidad. Nomenclatura:+ 0 , × 1/2π , ∗ π y 2 3/2π103
Lista de Tablas
3-1. Solucionadores para flujo compresible [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-2. Izquierda: Configuración de la cuña. Derecha: Malla computacional en el dominio usado para el flujo supersónico sobre una cuña. . . . . . . . . . . . . .
3-3. Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-4. Valores de variación del ángulo de la onda de choque (θw ) . . . . . . . . . . .
3-5. Valores de variación del número de Mach aguas abajo M a2 . . . . . . . . . .
3-6. Valores de variación de la relación de presion (p2 /p∞ ). . . . . . . . . . . . . .
3-7. Valores de variación de la relación de temperatura (T2 /T∞ ). . . . . . . . . .
3-8. Izquierda: Dimensiones de la tobera. Derecha: Discretización del dominio, ambos según Hunter[15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-9. Izquierda: Discretización del dominio. Derecha: detalle de la sección de la tobera.
3-10.Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-11.Estudio de Independencia de Malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-12.Comparación de las discretizaciones del dominio. . . . . . . . . . . . . . . . .
3-13.Caracterı́sticas de las dos discretizaciones del dominio. . . . . . . . . . . . .
3-14.Validación de curvas de presión en la pared para NPR = 8.037 (arriba) y NPR
= 5.423 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-15.Validación de curvas de presión en la pared para NPR = 3.014 (arriba) y NPR
= 2.008 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-16.Validación de curvas de presión en la pared para NPR = 1.255 (arriba) y
validación de eficiencia para diferentes NPRs (abajo) . . . . . . . . . . . . .
3-17.Movimiento y asimetrı́a de las ondas de choque para simulación con NPR =
2.008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-1. Comportamiento en las secciones transversales de diferentes posiciones de la
parte divergente de la tobera para las siguientes propiedades (de arriba a
abajo): número de Mach (M a), presión (p/p), temperatura (T /T ) y densidad
(ρ/ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-2. Comportamiento del número de Mach (M a), la presión (p/p), la temperatura
(T /T ) y la densidad (ρ/ρ) para diferentes NPRs en la sección transversal de
diferentes posiciones de la parte divergente de la tobera. . . . . . . . . . . .
4-3. Gráficas del gradiente de densidad (contornos en blanco y negro) sobreimpuestas sobre el campo de presión (color), para diferentes valores de NPR. .
4-4. Parámetros de la Ley Logarı́tmica para las simulaciones del estudio de independencia de malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
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43
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54
xviii
Lista de Tablas
4-5. Comportamiento del número de Reynolds de fricción (Reτ ) y el esfuerzo cortante en la pared normalizado con el valor de la garganta (τw /τw,o ) a lo largo
de la parte divergente de la tobera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-6. Comportamiento del número de Reynolds de fricción (Reτ ) y el esfuerzo cortante en la pared normalizado con el valor de la garganta (τw /τw,o ) a lo largo
de la parte divergente de la tobera para diferentes valores de NPR. . . . . .
4-7. RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para diferentes cantidades de celdas. . . . . . . . . . . . . . . .
4-8. RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo y normal
a la pared en secciones de la parte divergente de la tobera, para diferentes
cantidades de celdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-9. RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para diferentes valores de NPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-10.RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para diferentes valores de NPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-11.RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo y perpendicular a la pared en secciones de la parte divergente de la tobera, para diferentes
valores de NPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-12.RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo y perpendicular a la pared en secciones de la parte divergente de la tobera, para diferentes
valores de NPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-13.Comparación de curvas de presión en la pared y eficiencia para simulaciones
en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-14.Comportamiento del número de Reynolds de fricción (Reτ ) y el esfuerzo cortante en la pared normalizado con el valor de la garganta (τw /τw,o ) a lo largo
de la parte divergente de la tobera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-15.RMS de cada una de las componentes de la velocidad en secciones de la parte
divergente de la tobera, para las simulaciones con longitud de dominio en la
dirección spanwise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
63
65
66
67
68
69
70
75
84
87
Lista de sı́mbolos
Sı́mbolos con letras latinas
Sı́mbolo
Término
A
Área
a
Velocidad del sonido
dij
Tensor esfuerzo cortante
e
Energı́a especı́fica
F
Empuje
f
Frecuencia de oscilación
h
Entalpı́a
k
Conductividad térmica
M
Número de Mach
m
Masa
ṁ
Flujo másico
p
Presión
R
Constante especı́fica del gas
Sij
Tensor rata de deformación
T
Temperatura
t
Tiempo
U
Velocidad
q
Flujo de calor
Abreviaturas
Abreviatura
Término
NPR
Relación de presión en tobera
1. Introducción
Los sistemas actuales de propulsión de cohetes se basan exclusivamente en métodos termodinámicos para convertir la energı́a contenida en un combustible en la energı́a cinética que
desarrolla el impulso. En los sistemas motor-cohete, esta transfomación de energı́a se lleva a
cabo gracias a la forma caracterı́stica de los allı́ utilizados, y ductos conocidos como toberas
De Laval. En ellas la energı́a acumulada en el combustible y liberada gracias a su combustión
se convierte en empuje debido a la dinámica propia de los flujos compresibles, en este caso,
los gases resultantes de la combustión moviéndose a alta velocidad.
El aprovechamiento de este principio ha llevado al diseño y construcción de los cohetes que
han permitido el inicio de la carrera espacial por parte de las naciones que cuentan con
los recursos para ello. Durante los últimos cincuenta años la humanidad ha sido testigo de
logros como la llegada del primer ser humano a la luna, el fortalecimiento de los medios de
comunicación gracias a la cada vez más extensa red de satelites que orbitan la Tierra, la
ampliación del conocimiento del planeta y del espacio gracias a las imagenes satelitales, etc.,
todos estos logros han sido alcanzados con dispositivos tipo cohete, y los cuales se basan
en el principio mencionado. Esto ha promovido una continua investigación en la forma de
aumentar la eficiencia (y disminución de las pérdidas) de los motores-cohete.
En Colombia este tipo de tecnologı́a ha tenido problemas en su desarrollo, debido principalmente al conflicto armado de los últimos cincuenta años. Sin embargo, algunos investigadores
han podido avanzar lentamente en el entendimiento y experimentación de los principios básicos de la coheterı́a de propelente sólido. Dentro de estos avances se encuentran las tesis de
maestrı́a realizadas por los ingenieros Carlos Duque y Diego Garzón en la Universidad de
los Andes. Como resultado de las tesis mencionadas se logró diseñar, construir y probar un
pequeño motor cohete.
En la actualidad uno de los tópicos que son objeto de una profunda y extensa investigación
es el fenómeno de oscilación que se presenta al interior de la cámara de combustión. A pesar
de que este se conoce y se ha estudiado desde hace más de cuarenta años ([1] [2]), no se
tiene un entendimiento completo de las causas de estas oscilaciones. Además de poner en
peligro la estructura del cohete y de las instalaciones cercanas, dichas oscilaciones alteran
la distribución del empuje en el tiempo, lo cual afecta el diseño de la misión para la cual se
está usando el cohete.
La investigación en el área de propulsión de cohetes se realiza actualmente desde dos enfoques
complementarios:
Experimentación con modelos a escala natural o escala reducida, con combustión de
2
1 Introducción
propelente o con gases frı́os (aire o nitrógeno a temperatura atmosférica). Dentro de
las ventajas que ofrece este enfoque está el poder analizar el comportamiento real del
sistema con todas las variables asociadas. La mayor desventaja de este enfoque es la
limitada capacidad de obtener información de lo que pasa al interior de la cámara de
combustión y de la tobera, debido principalmente a las altas presiones, temperaturas
y velocidades que se presentan; por ello se suelen realizar experimentos simplificados
con gases frı́os. Otra de las desventajas más notorias son los altos costos de estos
experimentos.
Simulaciones numéricas con modelos computacionales que aprovechan la comprensión
matemática de los procesos fı́sicos que se desarrollan dentro del motor-cohete. El entendimiento a priori de lo que sucede en el sistema es esencial para su simulación. Dentro
de las ventajas podemos señalar la capacidad de extraer y analizar la información de
cualquiera de las variables del sistema, la principal desventaja es la dependencia total
del conocimiento y experticia que tenga el investigador sobre el sistema, y la cantidad
de recurso computacional disponible.
Como se dijo anteriormente, y como se observa en la gran mayorı́a de artı́culos publicados
sobre el tema, los dos enfoques se suelen usar de forma complementaria, ya sea realizando
experimentos que permitirán verificar y ajustar modelos computacionales que ayudan a tratar de entender lo que sucede dentro del flujo, o haciendo pruebas numéricas para obtener
un rango de parámetros válidos para diseñar los experimentos.
El presente estudio busca caracterizar el flujo turbulento compresible que pasa a través de
un ducto convergente-divergente especı́fico, con y sin oscilaciones en la presión prescritas a
la entrada de este. Para lo anterior se realiza un modelo computacional del sistema el cual
es validado en múltiples etapas con datos experimentales publicados. Una vez validado, se
analizan algunas variables de turbulencia para diferentes condiciones de operación de la tobera y valores de entrada de presión oscilante.
El documento que se presenta a continuación se divide en las siguientes secciones: en el
capı́tulo 2 se plantea y se explica el comportamiento del sistema fı́sico, los modelos matemáticos con los cuales se describe este y los métodos numéricos utilizados; en el capı́tulo
3 se describe el modelo computacional utilizado para las simulaciones y se presenta la validación; en el capı́tulo 4 se presentan las caracterı́sticas del flujo turbulento compresible para
la condición de diseño y para condiciones de flujo sobre-expandido en la tobera usada; en el
capı́tulo 5 se presentan las caracterı́sticas del flujo turbulento compresible para la condición
de presı́on oscilante a la entrada de la tobera usada; en el capı́tulo 6 se presentan la conclusiones de esta investigación, ası́ como las recomendaciones para futuros desarrollos en esta
área.
2. Modelo Matemático y Numérico del
Sistema Fı́sico
Los tres elementos esenciales para la simulación numérica de una suceso natural son (1) el
entendimiento de los principios fı́sicos que estan actuando, (2) el modelo matemático que
describe el comportamiento de estos principios fı́sicos, y (3) los métodos numéricos diseñados
para poder solucionar el modelo matemático. A continuación se describirán cada uno de estos
elementos utilizados en la presente investigación.
2.1.
Principios Fı́sicos
2.1.1.
Propulsión de Cohetes
La propulsión de cohetes abarca todos aquellos sistemas que producen empuje expulsando
material almacenado, el cual se suele llamar propelente. El principio básico del funcionamiento de estos sistemas es la Segunda Ley de Movimiento de Newton, la cual para este
caso puede expresarse como la reacción que experimenta la estructura del cohete debido a
la expulsión de materia a alta velocidad.
Clasificación de los Motores Cohete
Los sistemas propulsivos se pueden clasificar de acuerdo al tipo de fuente de energı́a (quı́mica, nuclear o solar), su función (la etapa, control de altitud, control orbital, etc.), el tipo de
vehı́culo (aeronave, misil, despegue asistido, vehı́culo espacial, etc.), el tamaño, el tipo de
propelente, el tipo de construcción, ó el método de producir empuje [3].
Según su fuente de energı́a se definen:
Energı́a Quı́mica: la energı́a se sumistra de la reacción exotérmica de un combustible.
Energı́a Nuclear: la energı́a se extrae de la reacción nuclear controlada resultante de la
fisión de isótopos fisibles.
Energı́a Solar: la energı́a se obtiene de la radiación solar directamente.
Una vez definidas las fuentes de energı́a, los motores cohete se pueden clasificar también
según el método de producir empuje. El método más usado en la actualidad es la expansión
termodinámica de un gas, donde la energı́a interna de este se convierte en energı́a cinética
de un flujo de escape, y el empuje se produce en la superficie interna del motor expuesta a
4
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
la presión de estos gases.
Dentro de los diferentes tipos de motores cohete que usan energı́a quı́mica y una expansión
termodinámica para generar el empuje los que más se usan en la actualidad son los de propelente lı́quido y los de propelente sólido. En los primeros un combustible y un oxidante en
estado lı́quido son suministrados a la cámara de combustión donde se realiza una reacción
exotérmica (Figura 2-1). En los segundos el combustible y el oxidante estan combinados en
forma sólida dentro de la cámara de combustión (Figura 2-2).
Figura 2-1.: Motor cohete de propelente lı́quido. Tomado de [4]
Figura 2-2.: Motor cohete de propelente sólido. Tomado de [4]
2.1.2.
Ducto Propulsivo - Tobera De Laval
Una vez liberada la energı́a del propelente a traves de la combustión del mismo dentro de la
cámara, los gases a alta temperatura y alta presión salen del motor pasando por un ducto
propulsivo de forma definida, el cual se conoce como tobera De Laval. La geometrı́a de esta
tobera es básicamente la de un ducto convergente-divergente, en donde el gas proveniente
de la cámara a baja velocidad es acelerado en la sección convergente hasta llegar a la velocidad local del sonido, y luego continua la aceleración de los gases en la sección divergente a
velocidades supersónicas.
La relación entre la presión de estancamiento en la cámara y la presión atmosférica instantánea se conoce como la relación de presión en la tobera (NPR, por sus siglas en ingles
Nozzle Pressure Ratio). Todo motor cohete se diseña para un único valor de NPR (tobera
de geometrı́a fija), sin embargo, a medida que el cohete asciende por la atmósfera la presión
2.1 Principios Fı́sicos
5
externa va disminuyendo, haciendo que este trabaje a diferentes condiciones de NPR, y por
tanto en puntos de operación, generalmente, de menor eficiencia.
Cuando el NPR de operación es igual al de diseño, la presión de los gases a la salida de la tobera es igual a la presión del medio que rodea al motor, el flujo es supersónico y está totalmente
expandido. Esta condición se denomina régimen crı́ticamente expandido. Esta condición se
presenta de manera esquemática en el caso j de la Figura 2-3.
Si el NPR de trabajo esta por encima del valor de diseño, la presión de los gases a la salida de
la tobera es superior a la presión del medio que rodea al motor, el flujo es supersónico pero
la tobera es fı́sicamente demasiado pequeña para que el fluido se expanda totalmente. En
este caso la presión de los gases de escape iguala la presión externa en algún punto despues
de la salida de la tobera, generando por tanto una pérdida de eficiencia. Esta condición suele
llamarse régimen sub-expandido, y se puede apreciar en el caso k de la Figura 2-3.
Para un NPR de trabajo inferior al de diseño, la presión de los gases a la salida de la tobera
es inferior a la presión del medio que rodea al motor, la tobera es fı́sicamente demasiado
larga para que el fluido se expanda totalmente, y una recompresión del fluido se da afuera de la tobera a través de una série de ondas de choque. Este mecanismo irreversible de
compresión genera una pérdida de eficiencia. Este régimen se conoce como externamente
sobre-expandido, y se puede ver en los casos g y h de la Figura 2-3.
Cuando el NPR de trabajo esta muy por debajo del de diseño la recompresión se da a través
de una onda de choque en el interior de la sección divergente de la tobera. Esta condición suele
llamarse régimen internamente sobre-expandido, y se puede ver en el caso d de la Figura 2-3.
2.1.3.
Oscilación de la presión en la cámara de combustión
Cuando se presenta combustión inestable en motores cohete de propelente sólido la presión
al interior de la cámara oscila en un rango entre el 5 % y el 30 %. Estas oscilaciones causan un
aumento en el calor transferido a la paredes del motor, en la rata de quemado y en el empuje,
a su vez el tiempo de operación disminuye. El cambio en la curva de empuje en función del
tiempo causa alteraciones significativas en la trayectoria de vuelo, lo cual en casos extremos
puede llevar a abortar la misión del cohete (Figura 2-4).
Dentro de los trabajos experimentales realizados, Ballereau et. al. [5] reporta frecuencias de
oscilación entre 15 Hz y 20 Hz, Fabignon et. al. [6] entre 12 Hz y 16 Hz, Tengli et. al. [7] entre
54.29 Hz y 55.17 Hz, y Mason et. al. [8] entre 20 Hz y 22 Hz. Todos los trabajos anteriores se
realizaron con geometrı́as de tobera diferentes a la del presente trabajo. El trabajo numérico
de Toufique Hasan [9], el cual usa la misma geometrı́a del presente, utilizó frecuencias entre
50 Hz y 200Hz, aunque no justifica la selección de estos valores.
Dado lo anterior, resulta claro que fenómenos de oscilación en la cámara tienen efectos, gene-
6
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
Figura 2-3.: Comportamiento de una tobera convergente-divergente para diferentes NPR.
Los casos del a al h muestran la tobera trabajando en régimen sobre-expandido;
el caso j muestra el régimen crı́ticamente expandido; el caso k muestra el
régimen sub-expandido. Tomado de [3]
2.1 Principios Fı́sicos
7
Figura 2-4.: Diagrama simplificado donde se muestran dos periodos de combustión inestable. La lı́nea de cadena muestra la operación de no darse estas inestabilidades.
Como se puede observar el tiempo de quemado es menor en el caso en que se
presenten estas oscilaciones. Tomado de [3]
ralmente negativos, en términos del empuje total, impulso especı́fico, tiempos de operación,
y en general desempeño del motor-cohete.
2.1.4.
Turbulencia
Se entiende por turbulencia aquel movimiento de un fluido que se caracteriza por poseer
una vorticidad tridimensional aparentemente aleatória y caótica. Igualmente, muchos investigadores han reconocido otras caracterı́sticas fı́sicas presentes en todo flujo turbulento:
alta sensibilidad a las condiciones iniciales, la presencia de un rango muy grande de escalas
temporales y espaciales, niveles elevados de difusión y disipasión, intermitencia espacial y
temporal, entre otras [10].
Existen dos tipos distintivos y muy generales de flujos turbulentos: flujos internos o confinados y flujos externos. Ejemplos de flujos internos o confinados son tuberias, canales y ductos;
ejemplos de flujos externos son chorros y olas. Para un flujo confinado totalmente desarrollado, donde se asume la condición de no deslizamiento en la pared, el esfuerzo cortante en
la misma es proporcional al gradiente de la velocidad,
∂u .
(2-1)
τw = µ
∂y w
Para caracterizar las capas que se presentan en un flujo desarrollado (figura 2-5) se define
una velocidad caracterı́stica llamada velocidad de fricción,
r
uτ =
τw
,
ρ
(2-2)
8
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
Figura 2-5.: Perfil de velocidad turbulento el interior de la capa lı́mite. Tomado de [11]
y una longitud caracterı́stica,
y∗ =
ν
.
uτ
(2-3)
Con la velocidad y la longitud caracterı́stica se pueden definir las unidades adimensionales
de velocidad,
u
u+ = ,
(2-4)
uτ
y las unidades adimensionales de pared:
y+ =
yuτ
.
ν
(2-5)
Con respecto a la Figura 2-5, la cual presenta el perfil de velocidad turbulento, se pueden
distinguir tres regiones o capas principales al interior de la capa lı́mite. La primera capa es
llamada capa viscosa. En esta los esfuerzos viscosos predominan sobre los esfuerzos inerciales
y el perfil de velocidad es lineal (u+ = y + ). La siguiente se denomina capa intermedia, la
cual conecta fı́sica y matemáticamente la capa viscosa con la capa inercial o logarı́tmica
(u+ = κ1 ln(y + ) + B). En esta última capa los efectos viscosos son despreciables y se da la
conección con la región lejana.
Esta descripción del perfil de velocidad y de las capas presentes en este para un flujo sobre
una pared recibe el nombre de Ley de la Pared en la teorı́a clásica de la turbulencia.
2.2 Modelo Matemático
9
Figura 2-6.: Presiones que actuan en las superficies internas y externas del motor cohete.
Tomado de [3]
2.2.
Modelo Matemático
2.2.1.
Propulsión
Matemáticamente la Segunda Ley de Movimiento de Newton se puede expresar,
F=
dm
U,
dt
(2-6)
dm
para el caso de un motor cohete F es el empuje sobre este,
y U son respectivamente el fludt
jo másico y la velocidad del material expulsado. Se debe tener en cuenta que esta ecuación es
válida solamente cuando la presión de salida del motor cohete iguala la presión del ambiente.
La presión en los alrededores del motor cohete da lugar a un segundo término en la ecuación
para el cálculo del empuje. Este se puede obtener integrando todas las presiones que actuan
en un plano normal al eje de la tobera. La ecuación del empuje para un instante determinado
es (según la Figura 2-6),
dm
U + (p2 − p3 ) A2 n̂,
(2-7)
dt
donde A2 es el área de la salida de la tobera (como se muestra en la figura 2-6) y n̂ es el
vector normal al plano de salida de la tobera [3].
F=
En el presente trabajo, para la medición de la eficiencia del empuje, se sigue el procedimiento
establecido por Papamoschou et. al. [12], el cual se describe a continuación. El empuje en
una tobera es igual a la integral de las componentes axiales de las fuerzas que actuan en
las paredes internas y externas de esta y de la cámara de combustión. Se tomaron solo las
fuerzas debidas a la presión.
Z
e
(p − pa )sinθds
F =
(2-8)
o
Donde s es la coordenada a lo largo de la superficie de la tobera (Figura 2-7), pa es la presión
externa a la tobera la cual es constante para nuestras simulaciones, y θ es el ángulo local de
10
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
Figura 2-7.: Procedimiento para el cálculo del empuje. Tomado de [12]
la superficie.
Esta integral se puede dividir en dos partes: la contribución de la presión aguas arriba del
punto de diseño, y la contribución de la misma aguas abajo de dicho punto:
Z e
Z d
(p − pa )sinθds
(2-9)
(p − pa )sinθds +
F =
d
o
La primera integral representa el empuje ideal, el cual es equivalente al momento transferido
por unidad de área de un flujo crı́ticamente expandido:
Z d
Fi =
(p − pa )sinθds = ṁUd
(2-10)
o
Donde ṁ es el flujo másico y Ud es la velocidad de diseño. Por lo tanto:
Z e
(p − pa )sinθds
F = ṁUd +
(2-11)
d
y la eficiencia del empuje se puede expresar como,
Z e
F
1
=1−
(p − pa )sinθds
Fi
ṁUd d
(2-12)
La rata de flujo másico se calcula con respecto a las condiciones del flujo en la tobera:
p0
ṁ = At λ 1
a0
λ+1
2
λ+1
1−λ
(2-13)
√
donde a0 = γRT0 es la velocidad del sonido en la cámara de combustión, γ es el coeficiente
de dilatación adiabática, p01 es la presión en la cámara de combustión, T0 es la temperatura
del gas en la cámara de combustión y At es el área de la garganta de la tobera. La velocidad
de diseño es:
r
1−γ
2 Ud = a0
(2-14)
1 − NP R γ
γ−1
La integral se realiza desde el punto ”d”, donde p = pa , y termina en la salida de la tobera.
2.2 Modelo Matemático
2.2.2.
11
Ducto Convergente-Divergente
Modelo cuasiunidimensional - isoentrópico
El análisis termodinámico de un flujo compresible pasando por una tobera convergentedivergente permite entender el funcionamiento de esta. La mayorı́a de libros de termodinámica técnica y de mecánica de fluidos simplifican este análisis bajo los siguientes supuestos [3]:
1. El gas es homogéneo e invariante en su composición a lo largo de la tobera.
2. No hay fricción en el flujo, por lo cual el proceso se considera reversible.
3. No hay transferencia de calor con el entorno, por lo cual el proceso es adiabático.
4. El flujo de los gases es estacionario y constante.
5. El gas puede ser considerado un gas ideal dado las altas temperaturas y altas presiones
a las cuales está sometido.
6. La velocidad de los gases a la salida de la tobera es en la dirección axial de la misma.
7. La velocidad del gas es uniforme a través de cualquier sección transversal al eje de la
tobera.
Estas simplificaciones permiten que se pueda usar el modelo matemático de un proceso
isoentrópico cuasiunidimensional. El análisis matemático del proceso de flujo en la tobera
bajo los anteriores supuestos arroja las siguientes ecuaciones para el comportamiento de las
variables a lo largo de la tobera , la variación de la velocidad,
−1
dA
dU
=
,
2
U
(1 − M ) A
(2-15)
dp
γM 2 dA
=
,
p
(1 − M 2 ) A
(2-16)
dT
(γ − 1) M 2 dA
=
,
T
(1 − M 2 ) A
(2-17)
la variación de la presión,
la variación de la temperatura,
donde M es el número de Mach, y p, U y T , como anteriormente se planteó, son la presión,
velocidad y temperatura.
Comportamiento de las diferentes variables a lo largo del eje de la tobera según las ecuaciones planteadas se puede aprecia en la Figura 2-8.
12
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
Figura 2-8.: Comportamiento de las diferentes variables a lo largo del eje de la tobera según
las ecuaciones del proceso isoentrópico cuasiunidimensional. Tomado de [3]
2.2 Modelo Matemático
13
Leyes de Conservación - Ecuaciones de Navier-Stokes
Se sabe que un flujo compresible moviendose a un número de Mach bajo y números de Reynolds altos (de forma que el número de Knudsen se mantiene por debajo de 10−2 ) obedece
las leyes de la mecánica del medio continuo.
El número de Mach es una medida de velocidad relativa que se define como la relación entre
la velocidad del flujo y la velocidad del sonido en este. El número de Reynolds es un factor
adimensional que relaciona las fuerzas inerciales con las fuerzas viscosas del flujo. El número
de Knudsen es una medida adimensional definida como la proporción entre la longitud del
camino libre molecular promedio y una escala de longitud fı́sica representativa.
Cuando la proporción dada por el número de Knudsen está por debajo de un valor dado, el
comportamiento del flujo puede ser descrito en términos de sus propiedades macroscópicas
como son presión, densidad y velocidad. Este comportamiento puede ser determinado completamente por las leyes de conservación, junto con ecuaciones constitutivas y un conjunto
de condiciones de frontera.
Las ecuaciones del modelo matemático que describen el comportamiento del flujo a través de
la tobera son (en notación tensorial): la ecuación de continuidad, la cual expresa el principio
de conservación de masa para flujo compresible,
∂ρ ∂ρUj
+
= 0;
∂t
∂xj
(2-18)
las ecuaciones de momentun, las cuales plantean el principio de conservación de la cantidad
de momento para flujo compresible y viscoso,
ρ
∂Ui
∂τij
∂Ui
+ ρUj
=
∂t
∂xj
∂xj
(2-19)
donde τij es el tensor de esfuerzo que representa las fuerzas de superficie, las fuerzas de
flotación ası́ como otras fuerzas de cuerpo se suelen despreciar en casos de flujos a alta
velocidad, este se puede representar,
τij = −pδij + dij ,
(2-20)
donde δ es el operador delta de Kronecker, y dij es el tensor de esfuerzo cortante, dado por
∂ui ∂uj
2 ∂uk
dij = µ
+
−
δij .
(2-21)
∂xj
∂xi
3 ∂xk
Para un flujo Newtoniano e isotrópico el tensor esfuerzo cortante se puede escribir como,
dij = λSkk δij + 2µSij ,
(2-22)
2
donde µ es la viscosidad dinámica, λ = µ00 − µ, µ00 es la viscosidad de masa y Sij es el
3
tensor rata de deformación:
1 ∂ui ∂uj
Sij =
+
.
(2-23)
2 ∂xj
∂xi
14
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
Por lo tanto la ecuación constitutiva de esfuerzo para un flujo Newtoniano es,
1
00
τij = −pδij + µ Skk δij + 2µ Sij − Skk δij ,
3
(2-24)
con lo cual la ecuación 2-19 puede ser re-escrita como
ρ
∂ui
∂p
∂dij
∂ui
+ ρuj
=−
+
.
∂t
∂xj
∂xi
∂xj
(2-25)
La ecuacion de energı́a la cual plantea el principio de conservación de la cantidad de energı́a
para flujo compresible y viscoso,
∂
1 2
∂qi
1 2
∂
∂τij ui
ρ
e+ V
−
,
(2-26)
e+ V
+ ρuj
=
∂t
2
∂xj
2
∂xj
∂xi
donde V 2 = u2i . El lado izquierdo de la ecuación representa la rata de cambio de la energı́a
total por unidad de volumen de una partı́cula de fluido, y el lado derecho de la ecuación es la
suma de la rata de trabajo hecha sobre el flujo por las fuerzas de superficie y la rata de calor
agregado por conducción. El trabajo realizado por las fuerzas de cuerpo es despreciado porque los efectos del flotación no suelen ser importantes en flujos a alta velocidad. Ası́ mismo
las diferencias de temperatura se asumen que son suficientemente pequeñas para despreciar
la transferencia de calor por radiación.
La energı́a total es la suma de la energı́a interna e y la energı́a cinética
1 2
V .
2
El primer término de la derecha en la ecuación de conservación de energı́a es la rata de
trabajo realizada por las fuerzas de superficie, y la cual se puede describir como:
∂τij ui
∂τij
∂ui
= ui
+ τij
∂xj
∂xj
∂xj
(2-27)
La primera parte del lado derecho de la igualdad proviene de las pequeñas diferencias en el
esfuerzo en lados opuestos del elemento diferencial de fluido, y contribuye a incrementar la
energı́a cinética general del movimiento del flujo. La segunda parte se asocia con pequeñas
diferencias de velocidad en lados opuestos del elemento diferencial de fluido, y representa la
rata de trabajo utilizada para deformar este sin cambiar la velocidad general. Este último
término es el único que contribuye a incrementar la energı́a interna.
q es el flujo de calor por conducción que entra del elemento infinitesimal de fluido. Este
contribuye al cambio de enerı́a interna y no aporta energı́a cinética. Se asume que le flujo de
calor se da según la ley de Fourier:
qj = −k
∂T
.
∂xj
(2-28)
Esta es una ecuación constitutiva que relaciona el flujo de calor con el gradiente de temperatura válida unicamente para conducción. k es la conductividad térmica la cual es una
2.2 Modelo Matemático
15
propiedad del fluido y depende de la temperatura y de la presión.
En muchas aplicaciones es conveniente expresar la ecuación de energı́a en términos de la
entalpı́a h, donde h = e + p/ρ, o la entalpı́a total h0 :
1
h0 = h + V 2
2
(2-29)
Usando la ecuación de continuidad se puede escribir una expresión para la conservación de
la entalpı́a total:
∂h0
∂p ∂qi
∂dij ui
∂h0
+ ρuj
=
−
+
(2-30)
ρ
∂t
∂xj
∂t ∂xi
∂xj
Podemos ver que la entalpı́a total puede variar a través de la acción de la transferencia de
calor, variaciones de presión inestables, o difusión de la energı́a cinética turbulenta.
La ecuación anterior se puede simplificar para obtener una ecuación para la entalpı́a:
ρ
∂h
∂h
∂p
∂p
∂qi
∂ui
+ ρuj
=
+ uj
−
+ dij
∂t
∂xj
∂t
∂xj
∂xi
∂xj
(2-31)
Dp
∂p
∂p
=
+ uj
la cual es la derivada total o material de la presión, y la
Dt
∂t
∂xj
ecuación de la Ley de Fourier, tendrı́amos:
Dp
∂
∂h
∂h
∂T
∂ui
+ ρuj
=
−
,
(2-32)
ρ
k
+ dij
∂t
∂xj
Dt ∂xi
∂xi
∂xj
Reemplazando
la cual es la expresión común para la estimación de la energı́a.
Ecuaciones constitutivas:
Junto con las ecuaciones de conservación planteadas para flujo compresible, es necesario
establecer ecuaciones constitutivas las cuales relacionan variables termodinámicas del flujo.
Las temperaturas y presiones de las simulaciones del presente trabajo se mantienen en rangos
en los que el flujo se puede considerar como gas ideal (Factor de compresibilidad Z ∼
= 1),
para los cuales la ecuación de estado es,
p = ρRT,
(2-33)
donde R es la constante especı́fica del gas a simular.
De forma similar se puede seleccionar la Ley de Sutherland la cual relaciona la viscosidad
dinámica y la temperatura absoluta para gases ideales en un rango de temperaturas desde
100K a 1900K,
3/2
T
Tref + S
µ = µref
,
(2-34)
Tref
T +S
16
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
kg
, Tref = 273,15K y S = 110,4K son valores de referencia partidonde µref = 1,716x10−5 m.s
culares para cada gas, en este caso se muestran los del aire.
En el presente trabajó las velocidades del flujo se mantienen en los rango subsónico (0,3 <
M a < 1) y supersónico (1 < M a < 5), por lo que se consideró que no se presenta disociación
molecular ni ionización del gas.
2.2.3.
Oscilación de la presión:
Para modelar matemáticamente la oscilación de la presión se usa una función coseno como
condición de frontera a la entrada:
poscilante = NPR pa (1 ± Cos(2πf t)) ,
(2-35)
donde pa es la presión ambiental en los alrededores del ducto, y f es la frecuencia de oscilación
deseada.
2.2.4.
Ecuaciones de flujo turbulento:
El comportamiento turbulento del flujo se presenta en un amplio rango de escalas espaciales
y temporales. Diferentes enfoques analı́ticos y numéricos han buscado reducir el nivel de
complejidad de este fenómeno considerando solamente las propiedades estadı́sticas de los
campos escalares y vectoriales del flujo. De esta forma, las ecuaciones de movimiento quedan
escritas en términos de las magnitudes de los promedios.
Para el análisis estadı́stico de la turbulencia se suele usar la descomposición de Reynolds,
también llamada promedios de Reynolds, para separar una parte fluctuante del promedio
temporal. Matemáticamente se describe de la siguiente forma:
f = f + f0
(2-36)
donde f 0 es la fluctuación con respecto al promedio temporal.
Al aplicar la descomposición de Reynolds a las ecuaciones de conservación las expresiones
resultantes contienen más incógnitas que ecuaciones, lo cual se conoce como el problema de
cierre (closure problem, en ingles). El proceso de cerrar el sistema de ecuaciones se denomina
Modelado de la turbulencia.
Los promedios que se requieren para estas ecuaciones se pueden encontrar por promedio
ensamble (ensemble average en inglés) (para flujos en los que se presentan grandes variaciones temporales) o por promedios temporales (para flujos donde no se presentan grandes
variaciones temporales). La definición de promedio ensamble es,
N
1 X
ˆ
f ≡ lı́m
nfn ,
N →∞ N
1
(2-37)
2.3 Métodos Numéricos
17
donde N es la cantidad de puntos tomados. En el caso en el que el flujo se estadı́sticamente
estable es posible usar la hipótesis de ergodicidad para reemplazar los promedios generales
por promedios temporales. La definición de promedios temporales es:
Z
1 t+T
f ≡ lı́m
f dt
(2-38)
T →∞ T t
Aplicando la descomposición de Reynolds con promedios temporales a las ecuaciones de
conservación éstas quedan de la siguiente manera: la ecuación de continuidad,
∂ρ
∂
+
ρuj + ρ0 u0j = 0,
∂t ∂xj
(2-39)
las ecuaciones de momentum,
∂
∂
∂
∂p
+
ρuj + ρ0 u0j +
ρui uj + ui ρ0 u0j = −
τ ij − uj ρ0 u0i − ρu0i u0j − ρ0 u0i u0j .
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
(2-40)
También se suele utilizar, en especial para flujo compresible, promedios ponderados con
respecto a la densidad, más conocidos como promedios de Favre,
f = f˜ + f 00
(2-41)
ρf
es el promedio ponderados con respecto a la densidad y f 00 es la fluctuación
donde f˜ =
ρ
con respecto al promedio anterior.
Para el presente trabajo no se utilizaron promedios de Favre para realizar la descomposición
de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes. Esto debido a que estos no estan implementados en el solucionador del software empleado. Una modificación del algoritmo de este
solucionador para aplicar dichos promedios estaba por fuera del alcance del presente trabajo. En el Anexo A se presenta, solo a nivel informativo, la descomposición de Reynolds con
promedios de Favre a las ecuaciones de conservación.
2.3.
Métodos Numéricos
El método de discretización utilizado en la simulaciones de este trabajo fue el de volúmenes
finitos, el cual se explica brevemente a continuación.
2.3.1.
Método de los Volúmenes Finitos
Las ecuaciones de Navier Stokes en forma integral obtenidas para un volumen de control
fijo en el espacio están expresadas en forma conservativa. Esto permite evitar dificultades
numéricas que se dan en algunos flujos como los que presentan ondas de choque. Esta forma
también permite expresar las ecuaciones de continuidad, momento y energı́a bajo una misma
18
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
forma genérica.
ZZZ
ZZ
ZZZ
ZZ
→
− →
−
∂
U dΩ +
F · dS =
Qv dΩ +
QS dS
(2-42)
∂t
Ω
S
Ω
S
Donde U representa una variable que puede ser acumulada dentro del volumen de control,
→
−
dΩ es el diferencial de volumen, y dS es el diferencial de superficie. F representa el flujo
a través de la frontera asociado con la variable U que tiende a incrementar o disminuir la
cantidad de la misma. Qv representa todas las posibles fuentes de U dentro del dominio, y
QS representa todas las posibles fuentes de U en la frontera.
→
−
→
−
En el caso de la ecuación de continuidad U es ρ, F es ρ V y Qv = QS = 0.
ZZZ
ZZ
→
− →
−
∂
ρdΩ +
ρV · d S = 0
(2-43)
∂t
Ω
S
Las ecuaciones de momento en las tres direcciones principales serı́an:
ZZZ
ZZ
ZZZ
ZZ
→
−
→
−
∂
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(ρu)dΩ +
(ρu V ) · d S =
(ρfx )dΩ +
(−p→
n · i + σn →
n · i + σs →
m · i )dS
∂t
Ω
S
Ω
S
(2-44)
ZZ
ZZZ
ZZ
ZZZ
→
−
→
−
∂
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(−p→
n · j + σn →
(ρfy )dΩ +
n · j + σs →
(ρv V ) · d S =
m · j )dS
(ρv)dΩ +
∂t
S
Ω
S
Ω
(2-45)
ZZZ
ZZ
ZZZ
ZZ
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
∂
→
−
→
−
→
−
(ρw)dΩ +
(ρw V ) · d S =
(ρfz )dΩ +
(−p n · k + σn n · k + σs m · k )dS
∂t
Ω
S
Ω
S
(2-46)
→
−
−
donde n es un vector unitario normal a la superficie de control infinitesimal dS y →
m es
un vector unitario tangente a la superficie apuntando en la dirección del esfuerzo cortante
viscoso.
La primera componente de izquierda a derecha de estas ecuaciones representa la rata de
cambio en el tiempo del momento debida a fluctuaciones inestables de las propiedades del
flujo dentro del volumen de control, el término que le sigue a la derecha representa el flujo
neto de momento a través de la superficie S. Los términos a la derecha de la igualdad representan las fuerzas que actuan sobre el flujo a medida que pasa por el volumen de control.
El primero de ellos a la izquierda representa las fuerzas de cuerpo, mientras que el último
a la derecha representa las componentes de las fuerzas de superficie compuestas por fuerzas
debidas a la presión y a la viscosidad.
La forma integral de la ecuación de energı́a quedarı́a:
ZZZ
ZZ
ZZZ
ZZ
− →
→
− →
−
−
→
−
→
−
→
−
∂
→
− →
→
− − →
−
−
(Et )dΩ+
(Et V )·d S =
(ρ q̇ +ρ f · V )dΩ+
(− q̇ c ·→
n −p−
n · V +σn →
n · V +σs →
m· V )dS
∂t
Ω
S
Ω
S
(2-47)
→
−
Donde el vector q̇ representa la rata volumétrica de adición de calor por unidad de masa,
→
−
y q̇ c representa el vector de conducción de calor.
2.3 Métodos Numéricos
19
Para poder discretizar estas ecuaciones por el método de volumenes finitos es necesario
dividir el dominio fı́sico en una malla de celdas. Los dos tipos de mallas más usados son
estructuradas y no estructuradas. En las primeras los puntos de la malla estan en las intersecciones de las familias de lı́neas. Las segundas estan formadas por la combinación de
celdas triangulares y cuadrilaterales, y los puntos de la malla no se identifican con lı́neas
coordenadas. Mallas estructuradas se suelen usar para geometrı́as sencillas, mientras que
para geometrı́as complejas se usan, generalmente, mallas no estructuradas.
Considerando un volumen de control Ωij y evaluando la ecuación 2-42 sobre este volumen
tendrı́amos:
ZZZ
∂
∂
U dΩ = (Uij Ωij )
(2-48)
∂t
∂t
Ω
ZZ
X →
− →
−
→
− →
−
(F · S )
(2-49)
F · dS =
S
lados
ZZZ
Qv dΩ = (Qv )ij Ωij
(2-50)
X
(2-51)
Ω
ZZ
QS dS =
S
(QS )ij Sij
lados
La ecuación 2-42 discretizada quedarı́a:
X →
X
− →
−
∂
(Uij Ωij ) +
( F · S ) = (Qv )ij Ωij +
(QS )ij Sij
∂t
lados
lados
2.3.2.
(2-52)
Propulsión
Para el cálculo de la eficiencia del empuje en las simulaciones numéricas se tomo la ecuación
2-12 y se reescribio en forma discreta:
Z e
e
1 X
F
1
(pn − pa )sinθn ∆sn
(2-53)
(p − pa )sinθds ≡ 1 −
=1−
Fi
ṁUd d
ṁUd n=d
Donde n es la superficie de cada celda localizada en la frontera definida como la pared de la
tobera. Los valores de ṁ y Ud se calculan con las ecuaciones 2-13 y 2-14 respectivamente.
2.3.3.
Modelos de Turbulencia
Tal como se mencionó anteriormente, el modelado de la turbulencia se usa para cerrar el
sistema de ecuaciones resultante de aplicar la descomposición de Reynolds a las ecuaciones
de Navier-Stokes. Cuando se modela la totalidad del sistema a simular se usan los métodos
llamados RANS (por la sigla en ingles de Reynolds Average Navier Stokes).
La principal ventaja de los métodos RANS es el bajo requerimiento computacional. La principal desventaja es que los resultados se dan promediados en el tiempo.
20
2 Modelo Matemático y Numérico del Sistema Fı́sico
Sin embargo, una discretización espacial y temporal muy fina permitirı́a capturar el comportamiento turbulento del flujo directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. Esto evitarı́a
la necesidad de usar la descomposición de Reynolds, y con ella, el problema del cierre de las
ecuaciones. Estos métodos se conocen como DNS (por la sigla en ingles de Direct Numerical
Simulation).
En forma contraria a los métodos RANS, DNS exige un alto requerimiento computacional,
por lo que los estudios se deben limitar a geometrı́as sencillas y número de Reynolds relativamente bajos. La ventada de los métodos DNS es que se obtiene la totalidad de la información
de la turbulencia hasta las escalas de disipación viscosa, asociadas a la escala de Kolmogorov,
y la cual puede ser hasta 3 órdenes de magnitud más pequeña que la escala caracterı́stica
del fenómeno.
Un método intermedio entre RANS y DNS es hacer simulación completa las ecuaciones de
Navier-Stokes para las escalas grandes de la turbulencia, y para las escalas pequeñas utilizar
un modelo. Estos métodos se denominan LES (por la sigla en ingles de Large Eddy Simulation).
En el presente trabajo se utilizó una malla fina sin modelo de turbulencia en las simulaciones con dominio en dos dimensiones. A pesar de no ser un método DNS, se capturó la
información suficiente para caracterizar el flujo turbulento compresible simulado. Para las
simulaciones con el dominio en tres dimensiones se utilizó un método LES con el modelo de
subgrilla de Smagorinsky.
Por simplicidad se muestra a continuación la obtencion de las ecuaciones del método LES con
modelo de subgrilla de Smagorinsky para un flujo incompresible. Partiendo de las ecuaciones
de continuidad y momento respectivamente,
∇·U=0
(2-54)
Ut + U · ∇U = −∇P + ν∆U
(2-55)
se aplica la descomposición de Reynolds,
U(x, t) = ũ(x, t) + u0 (x, t)
(2-56)
donde ũ es el promedio ensamblado de la variable, y u0 es la fluctuación con respecto al
promedio. Aplicando esta descomposición a la ecuación de continuidad tendrı́amos,
∇ · U = 0 = ∇ · (ũ + u0 )
(2-57)
donde podemos deducir las siguientes relaciones
∇ · ũ = 0
(2-58)
∇ · u0 = 0
(2-59)
2.3 Métodos Numéricos
21
A continuación aplicamos la descomposición a la ecuación de momento,
∂ ũ
g = −∇p̃ + ν∆ũ
+ ∇ · (UU)
∂t
(2-60)
el segundo término de la parte izquierda de la igualdad se puede expandir de la siguiente
forma,
0 )(ũ + u0 )
g = ∇ · (ũ + ug
∇ · (UU)
(2-61)
donde esto representa,

0
0
0g
0
0g
0
)
(ũi + ug
)(
ũ
+
u
)
(
ũ
+
u
)(
u
˜
+
u
)
(
ũ
+
u
)(
u
˜
+
u
i
i
j
i
k
i
i
i
j
i
k


g
0
0
0
0
0
0
0
g
g
g

(ũ + u )(ũ + u ) =  (u˜j + uj )(ũi + ui ) (u˜j + uj )(u˜j + uj ) (u˜j + uj )(u˜k + u0k ) 

0g
0
0g
0
0
0
g
(u˜k + uk )(ũi + ui ) (u˜k + uk )(u˜j + uj ) (u˜k + uk )(u˜k + uk )
(2-62)
Para la presente explicación solo tomamos el primer término de la matriz mostrada el cual
equivale a,
0
0
0 0
g
(ũi + u0ig
)(u˜j + u0j ) = ũg
˜j + ũg
˜j + ug
(2-63)
iu
i uj + ui u
i uj ,

estos términos agrupados se suelen conocer como tensor de esfuerzo de Leonard
Lij ≡ ũg
˜j − ũi u˜j ,
iu
(2-64)
0
˜0
Cij ≡ ũg
i uj + ũi uj ,
(2-65)
0 0
Rij ≡ ug
i uj .
(2-66)
tensor de esfuerzo de Cross
tensor de esfuerzo de Reynolds
A partir de las definiciones anteriores el modelo de subgrilla de Smagorinsky es
τSGS,ij ≡ Lij + Cij + Rij ,
(2-67)
reemplazando este término en la ecuación de continuidad,
∂ ũ
+ ∇ · (ũũ) = −∇p̃ + ν∆ũ − ∇ · τSGS .
∂t
(2-68)
Smagorinsky planteó que el modelo se subgrilla se puede considerar proporcional al tensor
rata de deformación,
τSGS = −2νSGS S̃,
(2-69)
donde νSGS = (Cs ∆)2 |S̃| es la viscosidad de los vórtices, Cs es la constante de Smagorinsky
y ∆ es el filtro de subgrilla.
Una vez presentado los principios fı́sicos del sistema, el modelo matemático que describe el
comportamiento de estos, y los métodos numéricos con los que se soluciona el modelo matemático, se procedió a realizar la validación del modelo computacional, la cual se presenta
en el siguiente capı́tulo.
3. Validación del Modelo Computacional
Para las simulaciones del presente trabajo se decidió utilizar el software de código abierto
OpenFOAM, el cual es ampliamente utilizado para investigaciones en el área de la mecánica
de fluidos computacional (CFD siglas en ingles de Computational Fluid Dynamics). Este
software está basado en el método de los volúmenes finitos descrito en el capı́tulo anterior.
En particular, en el presente trabajo se utilizaron subrutinas dedicadas a la solución de las
ecuaciones de conservación para flujos compresibles. En la siguientes secciones se presentan
la selección del solucionador más adecuado para el presente trabajo y detalles del modelo
computacional utilizado.
3.1.
Validación del Solucionador
Se entiende por solucionador cualquier software usado para modelar, analizar o calcular
(numérica o simbólicamente), y al final resolver, un problema matemático. En el caso particular del software CFD los solucionadores tienen como objetivo resolver problemas de la
dinámica de fluidos bajo la modelación de la mecánica del medio continuo.
En el caso de flujo compresible se usan dos estratégias en métodos numéricos para la solución
de las ecuaciones que describen el comportamiento fı́sico de flujos en régimen compresible: el
primero se denomina basado en presión, y el segundo basado en densidad. En ambos métodos
la velocidad es obtenida de la ecuación de momento. En el caso basado en densidad, se usa
la ecuación de continuidad para obtener la densidad, mientras que la presión se obtiene de la
ecuación de estado. Por su parte, en el método basado en presión, la presión total se extrae
solucionando una ecuación de corrección la cual se obtiene mediante la manipulación de las
ecuaciones de continuidad y momento.
Dentro de las múltiples aplicaciones para las cuales OpenFOAM tiene solucionadores, los
que se usan para modelar y resolver flujo compresible se listan en la Tabla 3-1.
De las descripciones presentadas en la Tabla 3-1 podemos extraer dos solucionadores apropiados para modelar flujo compresible a alta velocidad, rhoCentralFoam y sonicFoam. El
método usado en el solucionador sonicFoam usa la presión y la velocidad como variables
dependientes en un algoritmo PISO (siglas en ingles de Pressure Implicit with Splitting of
Operators). Por su parte, rhoCentralFoam usa un método basado en densidad con los esquemas upwind-centrales planteados por Kurganov y Tadmor [14].
Para validar y seleccionar el solucionador a usar en el presente estudio, se hicieron simu-
3.1 Validación del Solucionador
23
Solucionador
Descripción
rhoCentralFoam
Solucionador de flujo compresible basado en densidad el
cual usa los esquemas upwind-centrales planteados por
Kurganov y Tadmor.
rhoPimpleFoam
Solucionador transitorio para flujo compresible, laminar
o turbulento, para aplicaciones HVAC y aplicaciones similares.
rhoSimplecFoam
Solucionador SIMPLEC de estado estacionario para flujos compresibles, laminares o turbulentos, con modelado
de la turbulencia RANS.
rhoSimpleFoam
Solucionador SIMPLE de estado estacionario para flujos
compresibles, laminares o turbulentos, con modelado de
la turbulencia RANS.
sonicFoam
Solucionador transitorio para flujo transonico o supersonico, laminar o turbulento, de un gas compresible
Tabla 3-1.: Solucionadores para flujo compresible [13].
laciones para el caso de flujo supersónico sobre una cuña tal como se muestra en la figura
izquierda de la tabla 3-2. La ventaja de utilizar este caso es que el mismo cuenta con solución
analı́tica. En particular, la ecuación de esta solución para el ángulo de la onda de choque es,
tanθw = 2cotθs
2
sin2 θs − 1
M∞
),
2 (λ + cos2θ ) + 2
M∞
s
(3-1)
en tanto que la relación de presiones entre la entrada y la salida, se puede determinar como:
p2
2λ
2
=1+
(M∞
sin2 θs − 1),
p∞
λ+1
(3-2)
para la relación de densidades entre la entrada y la salida, como
2
ρ2
(λ + 1)M∞
sin2 θs
=
,
2 sin2 θ + 2
ρ∞
(λ − 1)M∞
s
(3-3)
para la relación de temperaturas entre la entrada y la salida,
T2
p2 ρ 1
=
T∞
p1 ρ 2
y finalmente para el número de Mach a la salida,
s
2
1 + λ−1
M∞
sin2 θs
1
2
M2 =
2 sin2 θ − λ−1
sin(θs − θw ) λM∞
s
2
(3-4)
(3-5)
24
3 Validación del Modelo Computacional
Tabla 3-2.: Izquierda: Configuración de la cuña. Derecha: Malla computacional en el dominio usado para el flujo supersónico sobre una cuña.
donde θs es el ángulo de la cuña, θw es el ángulo de la onda de choque, M∞ es el número
de Mach del flujo en la corriente que incide sobre la cuña. Todos los subı́ndices 2 indican
se miden despues de la onda de choque como se muestra en la figura izquierda de la tabla 3-3.
La calidad de los resultados obtenidos con cada solucionador se determinó a partir de los
niveles de precisión con que cada uno predijo el ángulo de la onda de choque (θs ) y las
condiciones del flujo aguas abajo para un ángulo de cuña dado (θw ).
3.1.1.
Especificación del problema y parámetros del caso de
validación.
Dominio de la solución:
Se utilizó un dominio bidimensional discretizado con 50,100 volumenes, y extendido en la
dirección vertical para abarcar la totalidad de la onda de choque para números de Mach
menores. Se puede observar la forma del dominio en la figura derecha de la tabla 3-2. El
ángulo de la cuña se establece similar al de la tobera selecciona para el presente trabajo en
su sección divergente (θw = 11) .
Propiedades termodinámicas del flujo simulado:
Se
√ usa un modelo termo-fı́sico de gas normalizado en el cual la velocidad de sonido c =
γRT = 1 m/s, de tal forma que las velocidades son equivalentes al número de Mach. En
forma similar la presión y la temperatura son normalizadas. Se simula aire en condiciones
de gas ideal con coeficiente de dilatación adiabática: λ = 1,4.
3.1 Validación del Solucionador
25
Condiciones iniciales:
Se establece presión atmosférica y temperatura normalizadas p = 1 kg/m s2 y T = 1 K. Estas
condiciones solo se aplicaron al caso de prueba. Para realizar la validación se toman siete
valores diferentes de velocidad del flujo:
U1 = (1,65 0 0)m/s
U2 = (1,75 0 0)m/s
U3 = (2,00 0 0)m/s
U4 = (2,25 0 0)m/s
U5 = (2,50 0 0)m/s
U6 = (3,00 0 0)m/s
U7 = (3,50 0 0)m/s
Vale la pena resaltar que, como se indicó de manera breve anteriormente, al ser velocidad
normalizada por la velocidad local del sonido, cada valor de velocidad equivale al número de
Mach.
Condiciones de frontera:
Las condiciones en las fronteras del dominio se muestran en la tabla 3-3.
Fronteras del dominio
Entrada
velocidad
presión
temperatura
mismos valores de
condiciones iniciales
p = 1 kg/m
T =1K
s2
Salida
Arriba y abajo
Cuña
∇U · n̂ = 0
plano de simetrı́a
deslizante
waveTransmissive
plano de simetrı́a
∇p · n̂ = 0
∇T · n̂ = 0
plano de simetrı́a
∇T · n̂ = 0
Tabla 3-3.: Condiciones de frontera.
Solucionadores:
Tal como se determinó los solucionadores de OpenFOAM a validar fueron rhoCentralFoam
y sonicFoam.
26
3 Validación del Modelo Computacional
3.1.2.
Validación de los valores obtenidos frente a los valores teóricos.
En la Tablas 3-4, 3-5, 3-6 y 3-7 se pueden observar las variaciones porcentuales de los resultados obtenidos frente a los valores calculados con las ecuaciones de la solución analı́tica.
La gráfica que acompaña a cada tabla muestra los puntos de la simulación con cada solucionador, y la solución analı́tica como una lı́nea continua.
M aı́nf
rhoCentralFoam
sonicFoam
1.65
-0.01 %
4.70 %
1.75
-0.12 %
2.67 %
2
-0.43 %
1.71 %
2.25
-0.69 %
1.66 %
2.5
-0.62 %
1.64 %
3
-0.72 %
1.81 %
3.5
-1.02 %
2.81 %
Tabla 3-4.: Valores de variación del ángulo de la onda de choque (θw )
Observando los valores de las tablas 3-4 a la 3-7 se distingue una clara diferencia en la
predicción de los valores de las variables: en el caso del solucionador rhoCentralFoam la
variación frente a la solución analı́tica esta por debajo del 1 %, mientras que el solucionador
sonicFoam arroja diferencias entre 1 % y 7 %. De esta forma, se seleccionó como solucionador
principal rhoCentralFoam, para las simulaciones numéricas de este trabajo, independiente
del tratamiento de la turbulencia en cada uno de los casos estudiados.
3.1 Validación del Solucionador
M aı́nf
rhoCentralFoam
sonicFoam
1.65
0.05 %
-6.74 %
1.75
0.04 %
-2.00 %
2
0.05 %
-2.27 %
2.25
0.06 %
-2.30 %
2.5
0.06 %
-2.50 %
3
0.09 %
-3.47 %
3.5
0.11 %
-4.37 %
Tabla 3-5.: Valores de variación del número de Mach aguas abajo M a2 .
M aı́nf
rhoCentralFoam
sonicFoam
1.65
-0.03 %
6.31 %
1.75
-0.04 %
3.83 %
2
-0.04 %
2.39 %
2.25
-0.03 %
1.87 %
2.5
-0.09 %
1.90 %
3
-0.02 %
2.05 %
3.5
0.01 %
2.34 %
Tabla 3-6.: Valores de variación de la relación de presion (p2 /p∞ ).
27
28
3 Validación del Modelo Computacional
M aı́nf
rhoCentralFoam
sonicFoam
1.65
0.00 %
3.62 %
1.75
-0.01 %
2.75 %
2
-0.01 %
2.44 %
2.25
-0.01 %
2.58 %
2.5
-0.03 %
2.95 %
3
0.02 %
3.89 %
3.5
-0.02 %
5.29 %
Tabla 3-7.: Valores de variación de la relación de temperatura (T2 /T∞ ).
3.2 Validación del Modelo Computacional para la Geometrı́a tobera De Laval.
3.2.
29
Validación del Modelo Computacional para la
Geometrı́a tobera De Laval.
En el presente proyecto de estudia el desempeño de un ducto propulsivo tipo tobera De
Laval. La geometrı́a especı́fica se seleccionó con base en un trabajo experimental realizado
por Hunter[15] el cual ha sido tomado como caso base para otros estudios numéricos [9][16].
El NPR de diseño del ducto seleccionado es de 8,78, el número de Mach a la salida es de
2,07 para un número de Reynolds de 3,2 × 106 . El ángulo de la pared a la salida es de 11
grados. Tanto la longitud de la sección convergente como la de la sección divergente equivalen
exactamente a dos veces el ancho de la garganta. El radio de expansión es de Ae /At = 1, 797.
Los experimentos se realizaron con aire seco a Ta = 294,44K. El flujo másico de aire en los
experimentos fue hasta de 6,8kg/s
3.2.1.
Especificación del problema y parámetros del caso.
Domı́nio de la solución:
Se diseñó un dominio bidimensional siguiendo las medidas utilizadas para los experimentos
y pruebas numéricas en Hunter[15] las cuales se muestran en la tabla 3-8.
Tabla 3-8.: Izquierda: Dimensiones de la tobera. Derecha: Discretización del dominio, ambos
según Hunter[15].
La designación de las direcciones principales de los ejes coordenados se hace siguiendo la
figura de la izquierda de la tabla 3-8: la dirección x es en la misma en la que se desplaza el
fluido, la dirección y es en normal a x y normal a la pared de la tobera localmente.
30
3 Validación del Modelo Computacional
El dominio se ha extendido aproximadamente 30 veces el ancho de la garganta de la tobera
en la dirección x, 25 veces en y en ambas direcciones. Todo lo anterior respecto al origen de
coordenadas establecido en la entrada de la tobera.
A diferencia de lo realizado por Hunter, en este trabajo se utilizó un dominio completo,
y no partido por la lı́nea de simetrı́a horizontal (ver figuras de las tablas 3-8 y 3-9). Dadas las caracterı́sticas geométricas del dominio, se optó por una enmallado tipo estructurado.
Tabla 3-9.: Izquierda: Discretización del dominio. Derecha: detalle de la sección de la tobera.
Condiciones iniciales:
En todo el dominio se establecieron condiciones iniciales que concuerdan con lo reportado
por Hunter[15] en los experimentos que realizó:
U = (8,601 0 0)m/s
p = 102387,1458 kg/m
s2
T = 294,44 K
Condiciones de frontera:
En la frontera del dominio a la entrada de flujo en la tobera (Entrada en la figura de la
tabla 3-9) se escogieron condiciones de presión total y temperatura total que concuerdan
con las condiciones reportadas experimentalmente por Hunter[15]. Al inicio de las simulaciones se impone una condición de presión total incremental. Esta inicia desde la presión
ambiente hasta la deseada (según el NPR de la simulación) en un tiempo de 2 milésimas de
segundo. Esto permitió evitar fuertes gradientes locales de presión, los cuales pueden generar ondas de choque. Tales ondas de choque se reflejan en la sección convergente de la tobera.
3.2 Validación del Modelo Computacional para la Geometrı́a tobera De Laval.
31
En las simulaciones se utilizaron las condiciones de frontera tipo uniformTotalPressure y
totalTemperature, disponibles en OpenFOAM. En particular, con tales condiciones de frontera, OpenFOAM calcula automáticamente los valores de velocidad en esta frontera según
la realción p0 = p + 12 ρ|U|2 , donde p0 es la presión total.
En la frontera denominada Entrada Ambiente (tabla 3-9) se establecen condiciones de entrada subsónica, haciendolas coincidir con los valores dador por Hunter[15]: U = (8,601 0 0)m/s,
p = 102387,1458 kg/m s2 y T = 294,44 K.
En las fronteras denominadas Ambiente y Salida (tabla 3-9) se escoge una condición que
evita la reflexión de las ondas de choque. Se decidió usar una condición de frontera denominada waveTransmissive disponible en OpenFOAM. Para la temperatura y la velocidad se
establecen condiciones de flujo totalmente desarrollado indicando que el gradiente de estas
es cero (∇T · n̂ = 0 y ∇U · n̂ = 0). Para lo anterior OpenFOAM dispone de una condición
denominada zeroGradient.
En las fronteras del dominio que actuan como Paredes (tabla 3-9) se imponen condiciones
de no deslizamiento para la velocidad (U = (0 0 0)m/s), condición adiabática para la temperatura (∇T · n̂ = 0) y de gradiente cero para la presión (∇p · n̂ = 0).
Un resumen de las condiciones de frontera seleccionadas se puede observar en la tabla 3-10.
Condición para
Condición para
Condición para
Frontera
Velocidad
Presión
Temperatura
Entrada
Se calcula según
la presión total
presión total con rampa de incremento
temperatura
T0 = 294,44 K
Salida
∇U · n̂ = 0
no reflectiva p =
102387,1458 kg/m s2
∇T · n̂ = 0
Ambiente
∇U · n̂ = 0
no reflectiva p =
102387,1458 kg/m s2
∇T · n̂ = 0
Entrada
Ambiente
∇U · n̂ = 0
no reflectiva p =
102387,1458 kg/m s2
∇T · n̂ = 0
Paredes
U = (0 0 0)m/s
∇p · n̂ = 0
∇T · n̂ = 0
total
Tabla 3-10.: Condiciones de frontera.
Solucionador:
Siguiendo lo establecido en la sección anterior, el solucionador utilizado en todas las simulaciones es rhoCentralFoam.
32
3 Validación del Modelo Computacional
Propiedades termodinámicas:
El fluido a simular es aire y, tal como se indicó en el capı́tulo anterior, se asume comportamiento de gas ideal para este. El coeficiente de dilatación adiabática para este fluido es
λ = 1,4. En forma similar,se usa un modelo termo-fı́sico que aplica la ley de Sutherland para
el cálculo de la viscosidad cinemática.
3.2.2.
Estudio de independencia de malla para condiciones de diseño
del ducto.
Para el estudio de independencia de malla se analizó el comportamiento de la curva de presión a lo largo de la pared de la tobera, y la eficiencia del empuje. Se inicia con un dominio
que contiene una cantidad de celdas cercana a lo usado por Toufique Hasan[9]. A continuación se hicieron simulaciones con mayor cantidad de celdas. En total se probaron tres casos
con 110140, 232680 y 387800 celdas.
La variación de la presión en la pared superior, en la pared inferior, y de la eficiencia del
empuje se muestran en la tabla 3-11 para discretizaciones del dominio con mayor cantidad
de volúmenes. Dado que se trabajó con un dominio completo, a diferencia de lo realizado
por Hunter[15] y otros trabajos, se tuvo especial atención en el comportamiento de estas
propiedades en la pared superior y en la pared inferior de manera independiente.
Variación de la Presión
Volúmenes
y
+
Pared Superior
Pared Inferior
Variación del empuje
110,140
66.5
232,680
61.1
0.27 %
0.28 %
0.0064 %
387,800
46.5
0.12 %
0.12 %
0.0034 %
Tabla 3-11.: Estudio de Independencia de Malla.
Para las cantidades de celdas utilizadas en la discretización del dominio se observa que la
variación de la presión y de la eficiencia del empuje están por debajo del 1 %. En la tabla
también se muestran los valores de y + de la primera celda desde la pared en la garganta para
cada una de las mallas del estudio.
Para mirar el comportamiento del sistema para una malla refinada solo en la pared de la
tobera se corrió una simulación con 246,640 volumenes y un y + ∼
= 6 de la primera celda desde
la pared en la garganta (figura 3-13). El resultado fue una variación de 0.72 % y 0.73 % en
3.2 Validación del Modelo Computacional para la Geometrı́a tobera De Laval.
33
la presión en la pared superior e inferior respectivamente, y de 0.0571 % en el empuje.
100,140 elementos
246,640 elementos
Tabla 3-12.: Comparación de las discretizaciones del dominio.
El estudio de indepencencia de malla concluye que incrementar la cantidad de volumenes
en la discretización del dominio por encima de 110,140 no incrementará significativamente
la calidad de la respuesta de la presión en las paredes y de la eficiencia del empuje, para el
caso bidimensional.
Sin embargo, vale la pena aclarar que esto no es igualmente válido para otras propiedades
del estudio. Por ejemplo, como se mostrará más adelante, para valores de NPR muy por
debajo del NPR de diseño, la presencia de asimetrı́as en las ondas de choque dentro de la
sección divergente de la tobera es fuertemente afectada por el número de celdas disponibles
para resolver la posición de las ondas de choque, y la interacción de estas con la capa lı́mite.
3.2.3.
Validación frente a valores experimentales
En la figura 3-1 (a) se muestra la comparación de los valores de presión de la simulaciones
frente a los valores experimentales reportados por Hunter[15] para NPR = 8,78 (NPR de
34
3 Validación del Modelo Computacional
Cantidad de
Cantidad de elementos
Elementos
en la dirección
∆y
Dominio
normal a la pared
(10−6 m)
100,140
50
34
30
246,640
150
1.2
6
y+
Tabla 3-13.: Caracterı́sticas de las dos discretizaciones del dominio.
diseño de la tobera). Como se puede observar se obtuvo una muy buena aproximación del
modelo numérico usado en el presente trabajo, con respecto a los valores experimentales.
Figura 3-1.: (a) Comparación de presiones en la pared de la tobera. (b) Comparación de
los valores de eficiencia del empuje. Los puntos indican los valores para las
simulaciones, la lı́nea horizontal muestra el valor reportado experimentalmente.
En la figura 3-1 (b) se puede observar la comparación de los valores de la eficiencia del
empuje de las simulaciones frente al valor experimental reportado. A pesar de que los valores
de las simulaciones no se ajustan a lo reportado, la diferencia es apenas de 1.18 %, lo cual
se consideró aceptable para el presente estudio.
A continuación se realizaron simulaciones con cinco valores de NPR reportados experimentalmente, estos fueron: NPR=1.255, NPR=2.008, NPR=3.014, NPR=5.423 y NPR=8.037.
Para estos también se realizaron pruebas de validacion de las curvas de presión en la pared
y la eficiencia del empuje. Estas simulaciones se realizaron con el dominio discretizado con
246,640 volumenes y un y + ∼
= 6 de la primera celda desde la pared en la garganta (figura
3-13).
3.2 Validación del Modelo Computacional para la Geometrı́a tobera De Laval.
35
Figura 3-2.: Onda de choque asimétrica para simulación con NPR = 2.008
Las figuras de las tablas 3-14, 3-15 y 3-16 muestran la comparación de las curvas de presión
reportadas experimentalmente contra los datos obtenidos en las simulaciones.
Se observó (Figuras de las tablas 3-15 y 3-16) que hay una diferencia entre las curvas de
presión de la pared superior y de la pared inferior para los valores de NPR 2.008 y 3.014.
Este comportamiento no se reporta en las simulaciones numéricas realizadas por Hunter[15]
ni por Toufique Hasan[9], ni por otros trabajos que usan la misma geometrı́a de dominio y
condiciones iniciales y de frontera como el de Balabel[17].
Se sabe que este comportamiento es tı́pico de las toberas convergentes-divergentes como se
puede observar en los experimentos realizados por Papamoschou[12]. Según el trabajo de
Papamoschou, la capa lı́mite se separa asimétricamente en un rango entre 1,5 < N P R < 2,4
para toberas convergentes-divergentes con una relación de áreas entre la salida y la garganta
e
de A
> 1,4, tal como la usada en el presente estudio.
At
La figura 3-2 presenta una vista amplificada de las ondas de choque en los isocontornos del
gradiente de densidad, y el campo de presión en color. Se puede observar la asimetrı́a entre
las ondas de choque incidentes en cada una de las paredes de la tobera.
Las figuras de la tabla 3-17 muestran las ondas de choque en la sección divergente de la
36
3 Validación del Modelo Computacional
tobera en diez instantes de tiempo sucesivos de la simulación para NPR = 2.008. Como
ya se mencionó, se presenta asimetrı́a de las ondas de choque incidentes en las paredes.
Papamoschou[12] observó en sus experimentos que esta asimetrı́a tiende a una de las dos
paredes (variando en cada experimento) y se queda inclinada hacia esta pared. Esto se puede
observar, de manera exitosa, en las figuras desde t = 0,0294 hasta t = 0,0298.
3.2 Validación del Modelo Computacional para la Geometrı́a tobera De Laval.
37
Tabla 3-14.: Validación de curvas de presión en la pared para NPR = 8.037 (arriba) y NPR
= 5.423 (abajo)
38
3 Validación del Modelo Computacional
Tabla 3-15.: Validación de curvas de presión en la pared para NPR = 3.014 (arriba) y NPR
= 2.008 (abajo)
3.2 Validación del Modelo Computacional para la Geometrı́a tobera De Laval.
39
Tabla 3-16.: Validación de curvas de presión en la pared para NPR = 1.255 (arriba) y
validación de eficiencia para diferentes NPRs (abajo)
40
3 Validación del Modelo Computacional
Tabla 3-17.: Movimiento y asimetrı́a de las ondas de choque para simulación con NPR =
2.008
4. Caracterı́sticas del Flujo Turbulento
Compresible en la Sección Divergente
En el presente capı́tulo se presenta el análisis de comportamiento turbulento del flujo compresible en la tobera seleccionada. En primer lugar se analizan las simulaciones realizadas
para el estudio de independencia del malla presentado en el capı́tulo 3, las cuales se realizaron a la condición de diseño (NPR = 8.78). A continuación se hace un estudio similar con
las simulaciones en condición sobre-expandida que se presentaron en el el capı́tulo 3 (NPR
= 1.255, 2.008, 3.014, 5.423, 8.037 y 8.780).
Figura 4-1.: Secciones transversales en las que se analiza el comportamiento de las propiedades del flujo.
A continuación se presentan y analizan los resultados de una simulación en condición de
diseño aplicando una condición de entrada de presión oscilante. Por último, se presenta el
análisis de simulaciones en tres dimensiones.
Dado que el perfil de la tobera convergente-divergente es variable a lo largo de la dirección del
flujo, se decidió seleccionar secciones transversales para la toma de datos de las caracterı́sticas del flujo turbulento. La sección de mayor interés en la tobera es la sección divergente, al
menos desde el punto de vista de formación de ondas de choque, ası́ como de la aparición de
fenómenos tales como separación de capa lı́mite entre otros.
42
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Por esta razón se seleccionaron unas posiciones fijas, a lo largo del eje de la tobera para el
estudio de las caracterı́sticas turbulentas del flujo en la sección divergente. Estas secciones
son: x/xt = 1,1, x/xt = 1,3, x/xt = 1,5, x/xt = 1,7 y x/xt = 1,9, tal como se muestra en la
figura 4-1.
En primer lugar se analizó el comportamiento del número de Mach, la presión, la temperatura y la densidad. Los últimos tres han sido normalizados por el valor promedio de cada
propiedad en la sección transversal estudiada.
En las gráficas de la tabla 4-1 se muestran los resultados para tres tamaños de mallas diferentes, (110,140 celdas, 232,680 celdas y 387,800 celdas) para el NPR de diseño. Estos tamaños
de malla corresponden a los usados en el estudio de independencia de malla presentado en
el capı́tulo 3.
En las gráficas de la tabla 4-2 se muestran los resultados de las mismas variables para las
simulaciones en condición sobre-expandida a valores de NPR = 1.255, 2.008, 3.014, 5.423,
8.037 y 8.780. Como se esperaba las gráficas para el número de Mach en la sección más
cercana a la garganta (x/xt = 1,1) colapsan. A medida que las secciones avanzan en la parte
divergente de la tobera se va observando como los casos más sobre-expandidos tienen separación de la capa lı́mite (NPR = 1.255 en x/xt = 1,3 y NPR = 2.008 en x/xt = 1,5).
Para la presión, la temperatura y la densidad tenemos un comportamiento común en la región cercana a la pared (y/h → 0) para los diferentes NPR. Sin embargo, en la región central
de la tobera (y/h → 1) se observan variaciones debidas a la fluctuación de la densidad en
esta región. Tales fluctuaciones se aprecian en las figuras de la tabla 4-3.
4.1.
Estudio del efecto de la compresibilidad en la
turbulencia
Según la hipótesis de Morkovin la dinámica del comportamiento de la capa lı́mite en un flujo
compresible se aproxima al comportamiento de la misma en un flujo incompresible siempre
y cuando el número de Mach fluctuante (MRM S ) se mantenga por debajo de 0.3 [18].
Esto se puede entender también como un efecto bajo de la compresibilidad del flujo sobre
su comportamiento turbulento. Si la hipótesis de Morkovin es valida, el flujo compresible se
puede estudiar como si fuera incompresible, teniendo en cuenta el efecto de la variación local
de la densidad.
Se realizó un estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia. Para esto se obtuvo
el comportamiento del número de Mach fluctuante. Tal cantidad se calcula como la raiz
media cuadrática (conocida como RMS, siglas del término en ingles Root Mean Square) de
4.1 Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia
43
Tabla 4-1.: Comportamiento en las secciones transversales de diferentes posiciones de la
parte divergente de la tobera para las siguientes propiedades (de arriba a abajo):
número de Mach (M a), presión (p/p), temperatura (T /T ) y densidad (ρ/ρ) .
44
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Tabla 4-2.: Comportamiento del número de Mach (M a), la presión (p/p), la temperatura
(T /T ) y la densidad (ρ/ρ) para diferentes NPRs en la sección transversal de
diferentes posiciones de la parte divergente de la tobera.
4.1 Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia
45
NPR = 8.780
NPR = 8.037
NPR = 5.423
NPR = 3.014
NPR = 2.008
NPR = 1.255
Tabla 4-3.: Gráficas del gradiente de densidad (contornos en blanco y negro) sobreimpuestas
sobre el campo de presión (color), para diferentes valores de NPR.
46
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-2.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y 100,000 celdas en el dominio
las fluctuaciones del número de Mach,
MRM S =
p
M 02.
(4-1)
Un término alternatico que se puede utilizar para determinar tal efecto es el número de Mach
turbulento (Mt ). El Mt se define como el RMS de la velocidad dividido por el promedio de
la velocidad del sonido local,
p
U 02
.
(4-2)
Mt =
a
Las gráficas 4-2 (100k celdas), 4-3 (232k celdas) y 4-4 (387k celdas) muestran el comportamiento de estos números de Mach para las estaciones seleccionadas en la sección divergente
de la tobera y NPR de diseño.
Como se puede observar en las gráficas 4-2, 4-3 y 4-4 todos los valores de los números
de Mach descritos están por debajo de 0.3, lo cual indica que las fluctuaciones de la turbulencia no tienen un efecto de compresibilidad que cambie las propiedades locales de la misma.
Para las simulaciones con diferentes NPRs se realizó un estudio de compresibilidad similar.
Se recuerda que las simulaciones para diferentes NPR se realizaron con una discretización
de dominio que concentra más celdas en la región cercana a la pared (figura 3-13).
Las figuras 4-5, 4-6, 4-7, 4-8, 4-9 y 4-10 muestran el comportamiento del RMS del número
de Mach (MRM S ) y del número de Mach turbulento (Mt ) para cada uno de los valores de
NPR simulados.
4.1 Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia
47
Figura 4-3.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y 232,000 celdas en el dominio
Figura 4-4.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y 387,000 celdas en el dominio
48
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Como se puede observar las gráficas para cada sección de la tobera colapsan y los valores
están muy por debajo de 0.3, lo cual indica que las fluctuaciones de la turbulencia no son
afectadas por efectos de compresibilidad que cambien las propiedades globales de la misma.
En la región más cercana a la pared (y/δ → 0) se tiene un pico en todas las gráficas el cual
es debido al fuerte gradiente de velocidad que se da por la condición de no deslizamiento
impuesta en las paredes de la tobera. Este pico incrementa su valor en la medida que disminuye el NPR indicando que los efectos de la compresibilidad en la turbulencia son más
incluyentes para gradientes de presión más bajos.
La figura 4-7 que muestra los resultados para NPR = 5.423 presenta un comportamiento
diferente a las de los demás valores. Las figuras de las siguientes secciones para este valor de
NPR muestran una tendencia similar. En particular, las curvas de los RMS de las variables
analizadas (MRM S y Mt en la figura 4-7, TRM S /T pRM S /p y ρRM S /ρ en las figuras de la tabla
4-9; y Ux,RM S Uy,RM S en las figuras de la tabla 4-11) muestran el mismo comportamiento:
valores muy grandes en la sección cercana a la garganta y un descenso abrupto aproximadamente en el 60 % de la capa lı́mite para todas las secciones en la parte divergente de la tobera.
Dado que en las simulaciones con los demás valores de NPR no se presenta este comportamiento, y que el valor de NPR = 5.423 está alejado de los demás valores analizados (como se
puede apreciar en la figura de eficiencia de empuje en la tabla 3-16), se propone la hipótesis
de que este comportamiento es propio de los valores de NPR cercanos a 5.423 en la tobera
seleccionada. Dentro de las recomendaciones del presente trabajo se plantea estudiar este
comportamiento.
Del estudio de compresibilidad se concluyó inicialmente que el comportamiento de la capa
lı́mite en el flujo compresible del presente trabajo se aproxima al comportamiento de la misma en un flujo incompresible en condiciones de flujo similares.
Vale la pena resaltar que, sin embargo, la divergencia de la geometrı́a altera las principales
caracterı́sticas de la capa lı́mite en comparación con otros flujo canónicos, como por ejemplo,
el de un canal turbulento, como se mostará a continuación.
4.1 Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia
49
Figura 4-5.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78
Figura 4-6.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.037
50
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-7.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 5.423
Figura 4-8.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 3.014
4.1 Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia
51
Figura 4-9.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 2.008
Figura 4-10.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 1.255
52
4.2.
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Comparación con la Ley de la Pared en flujos
incompresibles
Es ampliamente aceptado que la hipótesis de Morkovin no aplica a flujos bajo la influencia de gradientes de presión longitudinal favorables o adversos [19]. Para poder definir si
esta hipótesis es válida en las simulaciones del presente trabajo, se compararon las gráficas
de la magnitud de la velocidad adimensional en unidades de pared (U + ). Este análisis se
realizó tanto con como sin consideración del efecto de la variación local de la densidad.
Se graficó el comportamiento de la velocidad en unidades de pared (normalizada por la
velocidad de fricción) con respecto a la distancia normal a la pared en unidades de pared
(y + ). Al mismo tiempo se graficó la velocidad normalizada usando la transformada de Van
Driest.
Z u 12
ρ
du.
(4-3)
Uc =
ρw
0
La Transformada de Van Driest permite ponderar la densidad en el flujo compresible (observese que para flujo incompresible el factor ρρw es igual a 1). Esta velocidad se normaliza
también con la velocidad de fricción y se grafica con respecto a la distancia normal a la pared
en unidades de pared (y + ) de forma similar.
Estudios numéricos como los de [19], [20], [21] han mostrado que al aplicar esta transformación a simulaciones con flujos supersónicos sin gradientes de presión las curvas de Uc+
en función de y + cumplen con los parámetros de la Ley de la Pared introducida por Von
Karman y Prandtl.
En las figuras 4-11, 4-12 y 4-13 se muestran las gráficas descritas en los párrafos anteriores
para las simulaciones del estudio de independencia de malla del capı́tulo 3. Se trazan en estas
las lı́neas para U + = y + y para la Ley Logarı́tmica siguiendo los lineamientos de la Ley de
la Pared para flujos incompresibles.
Se observa en las figuras 4-11, 4-12 y 4-13 que el tamaño de las celdas más cercanas a
la pared no permite captar información del comportamiento turbulento del flujo en la capa
viscosa.
En el caso de las gráficas de U + se logra observar una sección (en la capa inercial y + ∼
= 100)
donde las curvas cumplen la Ley Logarı́tmica. Esta sección va descendiendo en la medida
que se aumenta la cantidad de celdas con las que se discretiza el dominio. Los valores de los
parámetros de la Ley Logarı́tmica para esta sección se listan en la tabla 4-4.
En el caso de las gráficas de Uc+ las curvas se alejan de lo descrito en la Ley de la Pared.
Para las simulaciones con diferentes NPR se realizó igualmente la comparación con la Ley
de la Pared en flujos incompresibles. Valores de NPR bajos significan gradientes favorables
4.2 Comparación con la Ley de la Pared en flujos incompresibles
53
Figura 4-11.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y 100,000 celdas en el dominio
Figura 4-12.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y 232,000 celdas en el dominio
54
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Celdas
k
B
110, 140
0.1
30
232,680
0.088
15
387,800
0.065
-15
Tabla 4-4.: Parámetros de la Ley Logarı́tmica para las simulaciones del estudio de independencia de malla.
Figura 4-13.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y 387,000 celdas en el dominio
de presión longitudinal bajos. Por lo anterior se esperarı́a que la hipótesis de Morkovin fuera
válida para simulaciones con NPR bajos.
Para poder definir si esta hipótesis es válida en las simulaciones con diferente NPR, se compararon las gráficas de la magnitud de la velocidad adimensional (U + ) teniendo en cuenta y
sin tener en cuenta el efecto de la variación local de la densidad.
Se graficó el comportamiento de la velocidad adimencionalizada por la velocidad de fricción
u
(U + = u∗
donde u∗ es la velocidad de fricción) con respecto a la distancia normal a la
pared en unidades de pared (y + ). Al mismo tiempo se graficó la velocidad afectada por la
transformada de Van Driest (Uc+ = Uu∗c ).
Las figuras 4-14, 4-15, 4-16, 4-17, 4-18 y 4-19 muestran las gráficas descritas en los párrafos anteriores. Se trazan en estas las lı́neas para U + = y + y para la Ley Logarı́tmica (k=0.4
4.3 Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
55
Figura 4-14.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y B=4.7) siguiendo los lineamientos de la Ley de la Pared para flujos incompresibles.
Como se puede observar en estas gráficas el comportamiento es muy similar a lo observado
en las simulaciones con NPR de diseño. Cabe aclarar que la discretización del dominio con
mayor cantidad de celdas en el estudio de independencia de malla tenı́a 387k celdas, en
las simulaciones para los diferentes valores de NPR se usó una malla de 246k celdas. Por
este motivo las gráficas de la figura 4-14 empiezan en y + ∼
= 12, mientras que las
= 12 y U + ∼
+ ∼
+ ∼
de la figura 4-13 empiezan en y = 40 y U = 40 a pesar de estar simulando el mismo NPR.
En las figuras 4-14 a la 4-19 se observa que al ir disminuyendo el valor de NPR el punto
donde empiezan las curvas se acerca al origen. Esto indica que con la misma malla se capta mejor el comportamiento de la turbulencia en la región cercana a la pared para NPR bajos.
En forma similar a lo obtenido en las simulaciones con NPR de diseño para estas gráficas,
la transformada de Van Driest falla al tratar de aproximar el comportamiento del flujo compresible al de uno homógo en el rango de flujo incompresible.
4.3.
Comportamiento de Reδ∗, Reθ y Reτ
A continuación se analizaron los números de Reynolds medidos con respecto al espesor de
desplazamiento de la capa lı́mite (δ ∗ ) y al espesor de la capa lı́mite basado en la cantidad
de movimiento (θ).
56
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-15.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.037
Figura 4-16.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 5.423
4.3 Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
57
Figura 4-17.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 3.014
Figura 4-18.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 2.008
58
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-19.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 1.255
El espesor de desplazamiento de la capa lı́mite se puede interpretar como la diferencia entre
el grosor de la capa lı́mite y el espesor de una corriente que tuviese la misma velocidad que
la corriente exterior y transportase la misma masa de fluido (caudal) que la capa lı́mite real.
Para un flujo compresible el espesor de desplazamiento de la capa lı́mite es
Z δ
ρ(y)U (y)
∗
dy,
δ =
1−
ρe Ue
0
(4-4)
donde δ es el grosor de la capa lı́mite y Ue y ρe son la velocidad y la densidad en la corriente
exterior respectivamente. El número de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento
de la capa lı́mite es
Ue δ ∗
Reδ∗ =
,
(4-5)
νe
donde νe es la viscosidad cinemática en la corriente exterior.
El espesor de la capa lı́mite basado en la cantidad de movimiento se puede interpretar como el espesor de una corriente fluida que tenga la misma velocidad que la corriente exterior,
y la misma cantidad de movimiento que la debida a la fuerza de arrastre de la capa lı́mite real.
Para un flujo compresible el espesor de la cantidad de movimiento de la capa lı́mite es
Z δ
ρ(y)U (y)
U (y)
θ=
1−
dy.
(4-6)
ρe Ue
Ue
0
El número de Reynolds con respecto al espesor de la cantidad de movimiento de la capa
4.3 Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
59
Figura 4-20.: Espesor de desplazamiento δ ∗ y espesor de la cantidad de movimiento θ, a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de celdas en el dominio
lı́mite es
Ue θ
.
(4-7)
νe
En las figuras 4-20 se muestra el comportamiento de δ ∗ y θ a lo largo de la sección divergente de la tobera para las simulaciones con mallas de 100k, 232k y 387k celdas. Como se
observa en estas gráficas, los espesores representados por δ ∗ y θ aumentan en la medida que
va avanzando la sección divergente de la tobera. Esto indica que la cantidad de masa de
fluido y la cantidad de movimiento en la capa lı́mite aumentan en la misma dirección.
Reθ =
Los valores negativos que presenta θ cerca a la garganta se deben a las fuerte fluctuación de
la densidad en esta sección.
En las figuras 4-21 se muestra el comportamiento de los número de Reynolds Reδ∗ y Reθ a
lo largo de la sección divergente de la tobera para las simulaciones del estudio de independencia de malla del capı́tulo 3. Como se puede observar los números de Reynolds aumentan
proporcionalmente al aumento del espesor de desplazamiento de la capa lı́mite y del espesor
de la cantidad de movimiento de la capa lı́mite.
El número de Reynolds de fricción Reτ relaciona las fuerzas inerciales en la capa lı́mite
(velocidad de fricción y grosor de capa lı́mite) con las fuerzas viscosas
uτ δ
.
(4-8)
ν
La tabla 4-5 muestra el comportamiento del número de Reynolds de fricción a lo largo de
la parte divergente de la tobera. Como se observa las gráficas para las simulaciones de 232k
Reτ =
60
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-21.: Número de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento Reδ∗ y número de Reynolds con respecto al espesor de la cantidad de movimiento Reθ , a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de celdas en el dominio
celdas y 387k celdas colapsan y el valor de Reτ se mantiene alrededor de 900. Al igual que
para el espesor de la cantidad de movimiento de la capa lı́mite, cerca a la garganta las fluctuaciones de la densidad y del esfuerzo cortante en la pared (tabla 4-5) hacen que los valores
de Reτ oscilen fuertemente.
Las figuras 4-22 muestran el comportamiento del espesor de desplazamiento y del espesor
de la cantidad de movimiento para las simulaciones con diferentes valores de NPR. Como
se puede observar el comportamiento del espesor de desplazamiento es ascendente en la dirección en que aumenta la sección divergente de la tobera. Este mismo comportamiento se
observa para las simulaciones con el NPR de diseño, sin embargo, en las de NPR diferentes
las curvas estan dos ordenes de magnitud por debajo. Esta diferencia se debe a la mayor
cantidad de celdas en la capa lı́mite de las simulaciones para diferentes NPR (3-13)
También se observa que para la simulación de NPR = 5.423 la curva del grosor de desplazamiento disminuye. Este comportamiento también debe ser analizado en el estudio recomendado como continuación del presente trabajo.
A diferencia del espesor de desplazamiento, la tendencia de las curvas del espesor de la cantidad de movimiento es a disminuir en la medida que aumenta la sección divergente de la
tobera. Esto es contrario a lo observado en las simulaciones con el NPR de diseño y se puede
atribuir al mayor refinamiento de la malla en la sección cercana a las paredes.
Las figuras 4-23 muestran el comportamiento los númerod de Reynolds con respecto al es-
4.3 Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
61
Tabla 4-5.: Comportamiento del número de Reynolds de fricción (Reτ ) y el esfuerzo cortante
en la pared normalizado con el valor de la garganta (τw /τw,o ) a lo largo de la
parte divergente de la tobera.
pesor de desplazamiento y al espesor de la cantidad de movimiento de la capa lı́mite, para
las simulaciones con diferentes valores de NPR. Estas siguen el comportamiento del espesor
de desplazamiento y del espesor de la cantidad de movimiento respectivamente.
En todas las figuras de esta sección se muestran los valores de las variables a lo largo de la
sección transversal. Para aquellos valores de NPR en los que se presenta separación de capa
lı́mite, solo se presenta la gráfica hasta el punto donde se da esta separación.
Las figuras de la tabla 4-6 muestran el comportamiento del número de Reynolds de fricción
y del esfuerzo cortante en la pared para las simulaciones con diferentes valores de NPR. El
primero (Reτ ) muestra un comportamiento similar al presentado en las simulaciones del estudio de independencia de malla. Sin embargo, el valor promedio en este caso es de Reτ ∼
= 970
lo cual se puede atribuir a la mayor cantidad de celdas presentes en la capa lı́mite en estas
simulaciones.
Para la figura del esfuerzo cortante en la pared, las gráficas colapsan y muestran la misma
tendencia que el de las simulaciones que se realizaron para el NPR de diseño.
62
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-22.: (a) Espesor de desplazamiento δ ∗ y (b) espesor de la cantidad de movimiento
θ, a los largo de la sección divergente para diferentes valores de NPR
Figura 4-23.: (a) Número de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento Reδ∗ y (b)
Número de Reynolds con respecto al espesor de la cantidad de movimiento
Reθ , a los largo de la sección divergente para diferentes valores de NPR
4.3 Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
63
Tabla 4-6.: Comportamiento del número de Reynolds de fricción (Reτ ) y el esfuerzo cortante
en la pared normalizado con el valor de la garganta (τw /τw,o ) a lo largo de la
parte divergente de la tobera para diferentes valores de NPR.
64
4.4.
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Perfiles de los valores de RMS
Las figuras de la tabla 4-7 muestran los valores de los RMS de la temperatura, la densidad
y la presión para las simulaciones con el NPR de diseño, en las diferentes secciones transversales de las parte divergente de la tobera.
Las figuras de la tabla 4-8 muestran los valores de los RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo y normal a la pared, para las simulaciones del estudio de
independencia de malla, en las diferentes secciones transversales de las parte divergente de
la tobera.
Se observa en todas estas gráficas que la cantidad de celdas utilizadas no permite capturar
el comportamiento de las fluctuaciones de todas estas propiedades del flujo.
Las figuras de las tablas 4-9 y 4-10 muestran los valores de los RMS de la temperatura, la
densidad y la presión para las simulaciones con diferentes valores de NPR, en las diferentes
secciones transversales de las parte divergente de la tobera.
Las figuras de las tablas 4-11 y 4-12 muestran los valores de los RMS de las componentes de
la velocidad en la dirección del flujo y normal a la pared, para las simulaciones con diferentes
valores de NPR, en las diferentes secciones transversales de las parte divergente de la tobera.
En estas figuras se puede observar un pico en la región cercana a la pared, comportamiento
tı́pico de los valores de RMS en simulaciones de flujo compresible. Para todas las figuras las
curvas de RMS en las secciones x/xt > 1,5 colapsan, y estan por debajo de las secciones
cercanas a la garganta. Esto indica que la turbulencia se reduce en la medida en que aumenta
la sección divergente de la tobera. Resultados similares han sido observados por trabajos que
han utilizado DNS para simular flujo compresible en toberas [19].
En las figuras para las simulaciones donde se presenta separación de capa lı́mite solo se presentan curvas en secciones transversales donde este fenómeno no se está presentando.
En las figuras para NPR = 5.423 se presenta un comportamiento diferente al de los demás
valores. Esto se analizó en la sección del estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia.
4.4 Perfiles de los valores de RMS
65
Tabla 4-7.: RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para diferentes cantidades de celdas.
66
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Tabla 4-8.: RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo y normal a la
pared en secciones de la parte divergente de la tobera, para diferentes cantidades
de celdas.
4.4 Perfiles de los valores de RMS
67
Tabla 4-9.: RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para diferentes valores de NPR.
68
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Tabla 4-10.: RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para diferentes valores de NPR.
4.4 Perfiles de los valores de RMS
69
Tabla 4-11.: RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo y perpendicular a la pared en secciones de la parte divergente de la tobera, para diferentes
valores de NPR.
70
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Tabla 4-12.: RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo y perpendicular a la pared en secciones de la parte divergente de la tobera, para diferentes
valores de NPR.
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
4.5.
71
Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento
para el NPR de diseño en simulaciones
tridimensionales
Una vez estudiadas las caracterı́sticas del flujo turbulento para los diferentes casos descritos
en un modelo computacional bidimensional, se procedió a extender el alcance de este para
simular procesos turbulentos tridimensionales.
Se decidió utilizar condiciones de frontera cı́clicas en aquellas que delimitan la nueva dimensión del modelo (la cual se llamará spanwise en adelante), lo cual permite tratarlas como si
estuvieran fı́sicamente conectadas. El uso de condiciones de frontera cı́clicas se puede justificar si la longitud del dominio en la dirección spanwise se escoge de tal forma que incluya
los eddies más grandes en el flujo. Para esto, esta longitud se ajusta para asegurar que las
fluctuaciones turbulentas no esten correlacionadas en una separación igual a la mitad de la
longitud spanwise en esta misma dirección [22].
4.5.1.
Correlaciones de dos puntos en la dirección spanwise
Para realizar el estudio de la longitud del dominio tridimensional en la dirección spanwise,
se diseñaron simulaciones con las mismas condiciones del modelo bidimensional validado,
pero incrementando sistemáticamente la longitud en esta dirección. Como parámetro para la
normalización de esta longitud se tomo el ancho de la garganta de la tobera ht . Los dominios
diseñados van desde 1 ht hasta 5 ht .
En las figuras 4-24, 4-25 y 4-26 se puede ver el comportamiento de la correlación de dos
puntos de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo (x), en la dirección normal a la pared (y) y en la dirección spanwise (z), respectivamente. Cada figura muestra el
promedio de las correlaciones a lo largo de todo el ducto convergente-divergente. Ası́ mismo,
cada figura muestra las correlaciones para la celda más cercana a la pared (y + = 10) y para
una celda en la capa lı́mite (y + = 165).
En las figuras 4-27, 4-28 y 4-29 se puede ver el comportamiento de la correlación de dos
puntos de la presión, la densidad y la temperatura, respectivamente.
Como se puede observar en las figuras mencionadas en los párrafos anteriores, la cantidad
de celdas utilizadas en las dirección spanwise no fue la suficiente para lograr establecer la
longitud del dominio mı́nima para que las fluctuaciones turbulentas no esten correlacionadas
en una separación igual a la mitad de esta longitud en dicha direcció. Un aumento de la
cantidad de celdas en la direeción nombrada fue prohibitivo computacionalmente.
72
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-24.: Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos
puntos para la componente de la velocidad en la dirección x1 .
Figura 4-25.: Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos
puntos para la componente de la velocidad en la dirección x2 .
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
73
Figura 4-26.: Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos
puntos para la componente de la velocidad en la dirección x3 .
Figura 4-27.: Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos
puntos para la presión.
74
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-28.: Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos
puntos para la densidad.
Figura 4-29.: Promedio espacial a lo largo de todo el ducto de las correlaciones de dos
puntos para la temperatira.
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
4.5.2.
75
Comparación de las simulaciones en tres dimensiones con los
valores experimentales
Para las simulaciones en tres dimensiones realizadas se realizó también la comparación con
los valore experimentales reportados por Hunter[15]. Las figuras de la tabla 4-13 muestran
dichos resultados.
Tabla 4-13.: Comparación de curvas de presión en la pared y eficiencia para simulaciones
en tres dimensiones.
La gráfica de la izquierda muestra la comparación de las curvas de presión en la pared. Estas
gráficas colapsan sobre la gráfica de los valores experimentales.
La gráfica de la derecha muestra los puntos de eficiencia de empuje para simulaciones realizadas con diferentes longitudes de dominio en la dirección spanwise. Como se puede observar
la variación de la eficiencia de empuje está por debajo de 0.5 % en todos los casos.
76
4.5.3.
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia
Las figuras 4-30, 4-31, 4-32, 4-33 y 4-34 muestran el MRM S y el Mt para las simulaciones
con longitud de dominio en la dirección spanwise de 1, 2, 3, 4 y 5 anchos de garganta respectivamente. Como se observa en estas gráficas todos los valores estan por debajo de 0.3,
lo cual indica un efecto despreciable de la compresibilidad sobre la turbulencia.
Figura 4-30.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 1ht
Se puede ver también en estas figuras que los valores de MRM S y de Mt disminuyen en la
medida que se aumenta el tamaño del dominio en la dirección spanwise, con lo cual se puede
plantear la conclusión de que los efectos de la compresibilidad son menores en la medida en
que el tamaño del dominio en la dirección spanwise es mayor. Sin embargo, para establecer
esta conclusión se deben realizar simulaciones aumentando la cantidad de elementos en esta
dirección hasta que las fluctuaciones no esten correlacionadas.
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
77
Figura 4-31.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 2ht
Figura 4-32.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 3ht
78
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-33.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 4ht
Figura 4-34.: RMS del número de Mach (MRM S ), y número de Mach turbulento (Mt ) para
NPR = 8.78 y ancho de dominio = 5ht
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
4.5.4.
79
Comparación con la Ley de la Pared en flujos incompresibles
Las figuras 4-35, 4-36, 4-37, 4-38 y 4-39 muestran las gráficas de la velocidad adimensionalizada en unidades de pared (U + ) y la misma despues de aplicar la transformada de Van
Driest (Uc+ ), para las simulaciones con longitud de dominio en la dirección spanwise de 1, 2,
3, 4 y 5 anchos de garganta respectivamente.
Figura 4-35.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 1ht
Como se puede observar no hay cambio significativo en estas gráficas al aumentar la longitud
nombrada. Se puede concluir que las curvas de velocidad adimensionalizada en unidades de
pared no se ve afectada por la longitud de dominio en la dirección spanwise.
80
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-36.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 2ht
Figura 4-37.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 3ht
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
81
Figura 4-38.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 4ht
Figura 4-39.: (a) U + en función de y + y (b) Uc+ en función de y + , ambas para NPR = 8.78
y ancho de dominio = 5ht
82
4.5.5.
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
En la figura 4-40 se puede observar el espesor de desplazamiento y el espesor de la cantidad
de movimiento, para las simulaciones con longitud de dominio en la dirección spanwise de
1, 2, 3, 4 y 5 anchos de garganta respectivamente.
Figura 4-40.: Espesor de desplazamiento δ ∗ y espesor de la cantidad de movimiento θ, a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de anchos del dominio
en la dirección spanwise
Las curvas del espesor de desplazamiento y el espesor de la cantidad de movimiento para
diferentes longitudes en el dirección spanwise colapsan y aumentan en la medida en que
aumenta la sección divergente de la tobera. Un comportamiento similar se observó en las
simulaciones para el NPR de diseño con diferente cantidad de celdas en la discretización del
dominio (Figura 4-20).
Sin embargo, en las figuras similares para diferentes NPR (Figura 4-22) se observó un comportamiento diferente como se detalló en secciones anteriores. La malla utilizada para las
simulaciones tridimensionales tienen una discretización del dominio similar en el plano x − y
a la utilizada para las simulaciones bidimensionales del NPR de dieño. Esto explica porque
las gráficas del espesor de desplazamiento y del espesor de la cantidad de movimiento se
asemajan más a las del estudio de independencia de malla que a las de diferentes NPR.
La figura 4-41 presenta el númeri de Reynolds respecto al espesor de desplazamiento Reδ∗
y respecto al espesor de la cantidad de movimiento Reθ , para las simulaciones con longitud
de dominio en la dirección spanwise de 1, 2, 3, 4 y 5 anchos de garganta respectivamente. El
comportamiento de estos sigue el comportamiento de las gráficas de la figura 4-40.
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
83
Figura 4-41.: Número de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento Reδ∗ y número de Reynolds con respecto al espesor de la cantidad de movimiento Reθ , a lo
largo de la sección divergente para diferente cantidad de anchos del dominio
en la dirección spanwise
Las figuras de la tabla 4-14 muestran el número de Reynolds de fricción Reτ y el esfuerzo
cortante en la pared normalizado con el valor de la garganta τw /τw,o , para las simulaciones
con longitud de dominio en la dirección spanwise de 1, 2, 3, 4 y 5 anchos de garganta respectivamente.
Las gráficas de Reτ colapsan y mantienen un valor promedio de 800. Su comportamiento es
muy similar al presentado para el NPR de diseño (Tabla 4-5) y para diferentes valores de
NPR (Tabla 4-6). Un comportamiento similar se observa en la gráfica de τw /τw,o frente a la
presentada para el NPR de diseño (Tabla 4-5) y para diferentes valores de NPR (Tabla 4-6).
84
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Tabla 4-14.: Comportamiento del número de Reynolds de fricción (Reτ ) y el esfuerzo cortante en la pared normalizado con el valor de la garganta (τw /τw,o ) a lo largo
de la parte divergente de la tobera.
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
4.5.6.
85
Perfiles de los valores de RMS
La figura 4-42 muestran las gráficas para los valores de los RMS de la temperatura, la densidad y la presión para las simulaciones con longitud de dominio en la dirección spanwise de
1, 2, 3 y 4 anchos de garganta respectivamente.
La columna de figuras de la izquierda muestra las curvas de TRM S /T , la columna central
muestra ρRM S /ρ, y la columna de la derecha muestra pRM S /p. La primera fila de figuras
equivale a la simulación con longitud de dominio en la dirección spanwise de 1 ancho de
garganta, la segunda fila de figuras a 2 anchos de garganta, y ası́ sucesivamente.
Para la gráficas de ρRM S /ρ y pRM S /p se puede observar que las fluctuaciones de la densidad
disminuyen en la medida en que avanza la posición en la sección divergente de la tobera partiendo de la garganta y hacia la salida de la misma. Para estas e incluyendo TRM S /T , todas
las gráficas colapsan a partir de la mitad de la capa lı́mite indicando un comportamiento
isotrópico de las fluctuaciones de la densidad, la presión y la temperatura en esta sección.
Las figuras de la tabla 4-8 muestran los valores de los RMS de las componentes de la velocidad en la dirección del flujo (Ux,RM S ), normal a la pared (Uy,RM S ) y spanwise (Uz,RM S ),
para las simulaciones con longitud de dominio en la dirección spanwise de 1, 2, 3 y 4 anchos
de garganta respectivamente.
La columna de figuras de la izquierda muestra las curvas de Ux,RM S , la columna central muestra Uy,RM S , y la columna de la derecha muestra Uz,RM S . La primera fila de figuras equivale
a la simulación con longitud de dominio en la dirección spanwise de 1 ancho de garganta, la
segunda fila de figuras a 2 anchos de garganta, y ası́ sucesivamente.
En estas figuras se puede observar un pico en la región cercana a la pared, comportamiento
tı́pico de los valores de RMS en simulaciones de flujo compresible. Para todas las figuras las
curvas de RMS en las secciones x/xt > 1,5 colapsan, y estan por debajo de las secciones
cercanas a la garganta. Esto indica que la turbulencia se reduce en la medida en que aumenta
la sección divergente de la tobera. Resultados similares han sido observados por trabajos que
han utilizado DNS para simular flujo compresible en toberas [19].
86
4 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible en la Sección Divergente
Figura 4-42.: RMS de la temperatura, densidad y presión en secciones de la parte divergente
de la tobera, para las simulaciones con longitud de dominio en la dirección
spanwise.
4.5 Estudio de las caracterı́sticas del flujo turbulento para el NPR de diseño en
simulaciones tridimensionales
87
Tabla 4-15.: RMS de cada una de las componentes de la velocidad en secciones de la parte
divergente de la tobera, para las simulaciones con longitud de dominio en la
dirección spanwise.
5. Caracterı́sticas del Flujo Turbulento
Compresible para Condición de
Frontera de Presión Oscilante a la
Entrada
En este capı́tulo se presenta el análisis de las simulaciones del flujo turbulento compresible
que pasa por el ducto convergente-divergente seleccionado, y bajo una condición de presión
oscilante a la entrada del dominio. Las simulaciones se realizaron con un dominio bidimensional discretizado con 232k celdas.
Inicialmente se escogieron cuatro frecuencias: 50 Hz, 100 Hz, 150 Hz y 200 Hz y una amplitud
de 1 NPR variando entre NPR = 2 y NPR = 3, siguiendo el trabajo numérico realizado por
Toufique Hasan[9]. Como se observó en el capı́tulo 3, en el régimen de NPR seleccionado
el ducto trabaja en modo sobre-expandido con presencia de ondas de choque en la sección
divergente de la tobera
La figura 5-1 muestra el desplazamiento de la onda de choque incidente sobre la pared, en
función del NPR en un ciclo de oscilación. Los resultados presentados por Toufique Hasan[9]
se indican en las lı́neas con cı́rculos, los resultados del presente trabajo en las lı́neas con
cuadrados.
En la figura 5-2 se muestra el desplazamiento de la onda de choque frontal en el eje de la
tobera. Los resultados presentados por Toufique Hasan[9] se indican en las lı́neas con cı́rculos, los resultados del presente trabajo en las lı́neas con cuadrados.
Como se puede observar en las figuras mencionadas, el modelo de este trabajo captura parte
del comportamiento del ciclo de histéresis reportado por Toufique Hasan[9]. Sin embargo,
las curvas del presente trabajo se encuentran desplazadas con respecto a las de la referencia.
Algunos puntos se desvı́an del comportamiento general, lo cual se explica por la presencia de
las asimetrı́as entre las ondas de choque en las dos paredes que el presente modelo es capaz
de capturar. Se cree que este comportamiento no fue observado por Toufique Hasan[9] dado
que las simulaciones de tal trabajo se realizaron usando solo medio dominio computacional,
tomando como plano de simetrı́a la lı́nea horizontal del eje de la tobera. En el presente trabajo se tomo el dominio completo.
Dado que el efecto de las ondas de choque sobre la capa lı́mite turbulenta se salı́a del alcance
89
Figura 5-1.: Comparación de la posición de la onda de choque incidente sobre la pared.
Los cı́rculos corresponden a los valores reportados por Toufique Hasan[9], los
cuadrados corresponden a las simulaciones del presente trabajo.
del presente trabajo, se decidió escoger una frecuencia y rango de oscilación de la presión
que no estuvieran en un modo trabajo sobre-expandido de la tobera.
Para las pruebas adicionales, se realizó una nueva selección de frecuencia y amplitud de las
oscilaciones, con base en los trabajos experimentales realizados por [6][7][8]. De los valores
reportados se escogió una frecuencia de 100 Hz y una amplitud del 1 % de la presión de operación. Se observó que estas oscilaciones de la presión se presenta principalmente a valores
de NPR cercanos a los de diseño del motor cohete.
El análisis de las caracterı́sticas del flujo turbulento se realizó midiendo y promediando las
variables necesarias en cuatro puntos de fase de la onda de la señal oscilante de presión a la
entrada. Siendo la fase completa de una oscilación equivalente a 2π, los cuatro puntos seleccionados se tomaron fracciones de un periodo de oscilación en P 1 = 0, P 2 = 12 π, P 3 = π y
90
5 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición de Frontera de
Presión Oscilante a la Entrada
Figura 5-2.: Comparación de la posición de la onda de choque normal (Mach stem). Los
cı́rculos corresponden a los valores reportados por Toufique Hasan[9], los cuadrados corresponden a las simulaciones del presente trabajo.
P 4 = 23 π, tal como se muestra en la figura 5-3.
En primer lugar se revisó la curva de presión en la pared de la tobera (figura 5-4). Es claro
que en la sección convergente de la tobera se mantiene el comportamiento presentado en las
simulaciones para NPR de diseño y validado contra los valores experimentales de Hunter[15]
(figura 3-1). Sin embargo, en la sección divergente se puede observar una variación frente
a dichos valores. En la figura de la derecha de 5-4 se muestra un detalle de la presión en
la pared solo en la primera mitad de la sección divergente. No se puede deducir un patron
entre las diferentes fases analizadas, al menos desde el punto de vista de la presión en la pared.
En las gráficas de la figura 5-5 se muestra el número de Mach (M a) (primera fila), la presión
(p/p) (segunda fila), la temperatura (T /T ) (tercera fila) y la densidad (ρ/ρ) (cuarta fila),
las últimas tres normalizadas por el valor promedio en el corte transversal. Por columnas las
91
Figura 5-3.: Puntos de medición de datos en la señal oscilante de la presión.
figuras representan cada uno de los puntos, a lo largo del eje axial, de la sección divergente
de la tobera como se mostró en la figura 4-1.
Similar a lo observado en la figura 5-4 la presión presenta la variación a lo largo de toda la
sección divergente. Se observa que esta variación disminuye con respecto al promedio local
en la medida que x/xt aumenta. También se puede ver que estas variaciones se presentan
solo en la región cercana a la pared.
La densidad presenta un comportamiento similar al de la presión. Para la temperatura la
variación es menor con respecto al promedio local. En las gráficas del número de Mach la
variación es casi imperceptible. Es importante anotar, sin embargo, que para las condiciones
de oscilación prescrita, los perfiles siempre colapsan por encima de y/h = 0,4, independientemente de la fase.
92
5 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición de Frontera de
Presión Oscilante a la Entrada
Figura 5-4.: Presión en la pared para 4 fracciones de ciclo de oscilación de la presión.
93
Figura 5-5.: Cintas. Nomenclatura:+ 0 , × 1/2π , ∗ π y 2 3/2π
94
5.1.
5 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición de Frontera de
Presión Oscilante a la Entrada
Estudio del efecto de la compresibilidad en la
turbulencia
En las gráficas de la figura 5-6 muestran el comportamiento del RMS del número de Mach
(MRM S gráficas de la columna izquierda) y del número de Mach turbulento (Mt gráficas de
la columna derecha). Por filas, las figuras representan los cortes transversales de la sección
divergente de la tobera como se mostró en la figura 4-1.
Todos los valores de MRM S y de Mt se mantienen por debajo de 0.3, indicando que los efectos
de la compresibilidad son mı́nimos desde el punto de vista de la turbulencia. Sin embargo,
comparando estas gráficas con las del caso sin oscilaciones de presión (figura 4-4) se observa
un aumento de un orden de magnitud en todos los valores. También se observan múltiples
picos en la mitad de la capa lı́mite más alejada de la pared. Estos picos no se observaron en
las gráficas del caso sin oscilaciones.
5.1 Estudio del efecto de la compresibilidad en la turbulencia
Figura 5-6.: RMS de Ma y Mach turbulento
95
96
5.2.
5 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición de Frontera de
Presión Oscilante a la Entrada
Comparación con la Ley de la Pared en flujos
incompresibles
La figura 5-7 muestra los valores de la velocidad adimensionalizada en unidades de pared
(U + ) para tres secciones transversales de las parte divergente de la tobera. Se observa que las
curvas en las tres secciones mostradas no colapsan y describen parte de la Ley Logarı́tmica
en y + ∼
= 100.
Figura 5-7.: U + en función de y + y Uc+ en función de y +
En las tres secciones las cuatro curvas de U + parecen seguir un movimiento oscilatorio
independiente de la oscilación de la presión impuesta. En x/xt = 1,1 la velocidad adimensionalizada desciende de f = 0π hasta f = π, y asciende en f = 3/2π. Por su parte, en
x/xt = 1,5 esta misma velocidad asciende de f = 0π hacia f = 1/2π, desciende en f = π
y vuelve ascender en f = 3/2π. Por último, en x/xt = 1,9 U + desciende de f = 0π hacia
f = π, y vuelve asciende hasta f = 3/2π.
5.3 Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
5.3.
97
Comportamiento de Reδ∗, Reθ y Reτ
En la figura 5-8 se presenta el espesor de desplazamiento y el espesor de la cantidad de
movimiento a lo largo de toda la sección divergente de la tobera. Las cuatro curvas para
cada fase del ciclo de oscilación se han superpuesto en cada gráfica.
Figura 5-8.: Espesor de desplazamiento y espesor de la cantidad de momento en flujo
compresible
Para la figura del espesor de desplazamiento no se observa ningún patron oscilatorio distinguible. La tendencia parece ser continua con una media cercana a cero. Sin embargo, al
graficar el mismo factor pero sin tener en cuenta el efecto de la densidad, esto es
Z δ
U (y)
∗
δ =
1−
dy,
(5-1)
Ue
0
como se presenta en la figura 5-9, las curvas para el espesor de desplazamiento presentan el
comportamiento incremental observado en el capı́tulo anterior. Este análisis es justificable
dada la baja o casi nula afectación del flujo por efectos de compresibilidad (mencionado
anteriormente).
Para el flujo turbulento compresible en la sección divergente el espesor de desplazamiento con
respecto a la rata de flujo másico presenta un comportamiento promedio continuo y cercano
a cero. El mismo espesor con respecto a la rata de flujo volumétrico tiene un comportamiento
incremental en la medida que avanza la sección divergente de la tobera. En ambos análisis
la oscilación de la presión impuesta genera fluctuaciones en las curvas para todos los puntos
de la fase estudiados, aunque no hay una clara distinción de los efectos de las oscilaciones en
cada fase. Los resultados de cada fase parecen superponerse unos sobre otros en las diferentes
98
5 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición de Frontera de
Presión Oscilante a la Entrada
Figura 5-9.: Espesor de desplazamiento y espesor de la cantidad de momento en diferentes
posiciones a lo largo del eje axial, para diferentes fases de oscilación. Análisis
bajo un enfoque de flujo incompresible
posiciones x/xt
En la figura 5-10 se muestran los números de Reynolds con respecto al espesor de desplazamiento y al espesor de la cantidad de movimiento, estos últimos con base en la rata de flujo
volumétrico. Ambos siguen la tendencia de la figura 5-9. Según estos parámetros el flujo es
turbulento en estos espesores a partir del 20 % de la sección divergente.
En la figura 5-11 se presenta el comportamiento del número de Reynolds de fricción (Reτ ) y
el esfuerzo cortante en la pared normalizado con el valor en la garganta (τw /τw,0 ), a lo largo
de toda la sección divergente de la tobera.
Para Reτ se tienen valores que varı́an alrededor de 1000 en toda la sección divergente. El
esfuerzo cortante en la pared muestra en promedio un descenso similar al observado en las
simulaciones analizadas en el capı́tulo 3. En los valores de ambas gráficas la oscilación de la
presión impuesta genera fluctuaciones en las curvas para todos los puntos de la fase estudiados.
5.3 Comportamiento de Reδ∗ , Reθ y Reτ
99
Figura 5-10.: Números de Reynolds respecto a el espesor de desplazamiento y espesor de
la cantidad de momento en flujo incompresible
Figura 5-11.: Número de Reynolds de fricción y Esfuerzo cortante en la pared
100
5.4.
5 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición de Frontera de
Presión Oscilante a la Entrada
Perfiles de los valores de RMS
La figura 5-12 muestran las gráficas para los valores de los RMS de la temperatura, la densidad y la presión para la simulación con condición de frontera oscilante.
La columna de figuras de la izquierda muestra las curvas de TRM S /T , la columna central
muestra ρRM S /ρ, y la columna de la derecha muestra pRM S /p. La primera fila de figuras
equivale a la sección transversal de la parte divergente de la tobera en x/xt = 1,1, la segunda fila a x/xt = 1,5 y la tercera fila a x/xt = 1,9.
Para todos los casos mostrados de TRM S /T , ρRM S /ρ y pRM S /p los valores estan un orden
de magnitud por encima de lo observado en simulaciones sin la oscilación de la presión impuesta. Esto es similar a lo que se analizó para el RMS del número de Mach y el número de
Mach turbulento en la figura 5-6.
En las tres propiedades mostradas se observa un alejamiento del comportamiento tı́pico de
las gráficas de RMS, donde se suele tener un pico cercano a la pared y un valle plano en la
mitad de la capa lı́mite más alejada de la pared (como lo presentado en el capı́tulo anterior).
Es el presente caso se observan picos y valles distribuidos no uniformemente a lo ancho de
toda la capa lı́mite. De la mano con lo analizado en la figura 5-5, estos picos y valles tienen
mayor amplitud para ρRM S /ρ y pRM S /p, y menores para TRM S /T .
Todas las gráficas de la figura 5-12 parecen tener un movimiento oscilatorio independiente
de la oscilación de la presión impuesta, siguiendo el análisis realizado en la figura 5-7.
A diferencia de lo presentado en el capı́tulo anterior para simulaciones sin oscilación de la
presión a la entrada, en las gráficas de TRM S /T , ρRM S /ρ y pRM S /p no se observa claramente
que las fluctuaciones de estas propiedades disminuyan en la medida en que avanza la posición
en la sección divergente de la tobera partiendo de la garganta y hacia la salida de la misma.
La figura 5-13 muestra los valores de los RMS de las componentes de la velocidad en la
dirección del flujo (Ux,RM S ) y normal a la pared (Uy,RM S ), para la simulación con condición
de frontera oscilante. La columna de figuras de la izquierda muestra las curvas de Ux,RM S ,
la columna de la derecha muestra Uy,RM S . La primera fila de figuras equivale a la sección
transversal de la parte divergente de la tobera en x/xt = 1,1, la segunda fila a x/xt = 1,5 y
la tercera fila a x/xt = 1,9.
De forma similar a las gráficas de RMS de temperatura, densidad y presión, los valores del
RMS de las componentes de la velocidad estan un orden de magnitud por encima de los
resultados presentado para las simulaciones sin la condición de presión oscilante. Las curvas
de Ux,RM S muestran aproximandamente un comportamiento tı́pico (pico cerca a la pared
y valle plano alejado de ella), indicando que las fluctuaciones de velocidad del flujo en la
dirección principal del movimiento de este se ven menos afectadas por la condición de presión oscilante. Las curvas del RMS de la componente de la velocidad normal a la pared no
5.4 Perfiles de los valores de RMS
101
muestran este comportamiento tı́pico. Sin embargo, se alcanza a distinguir una disminución
de la dispersión de estas fluctuaciones en la medida en que avanza la sección divergente de
la tobera.
De forma similar a lo ya expuesto, las gráficas de la figura 5-13 parecen tener un movimiento
oscilatorio independiente de la oscilación de la presión impuesta.
102
5 Caracterı́sticas del Flujo Turbulento Compresible para Condición de Frontera de
Presión Oscilante a la Entrada
Figura 5-12.: RMS Temperatura, presión y densidad. Nomenclatura:+ 0 , × 1/2π , ∗ π y
2 3/2π
5.4 Perfiles de los valores de RMS
103
Figura 5-13.: RMS componentes de la velocidad. Nomenclatura:+ 0 , × 1/2π , ∗ π y 2 3/2π
6. Conclusiones
El objetivo principal de este trabajo fue determinar mediante un modelo computacional la
respuesta operacional de un flujo compresible turbulento en un ducto convergente-divergente,
y evaluar el efecto de prescribir una condición de presión oscilante a la entrada.
Mediante un número de experimentos numéricos se hizo la evaluación de varios solucionadores de flujo compresible disponibles en OpenFOAM. Al evaluar la exactitud de las
predicciones de posición de las ondas de choque, ası́ como de los perfiles de temperatura,
presión y número de Mach en la región posterior a la onda de choque, se decidió usar como
base del modelo computacional del presente trabajo el solucionador tipo rhoCentraFOAM.
En particular, las predicciones obtenidas mediante este algoritmo, presentaron siempre un
margen de error, respecto a los valores teóricos esperados, inferior al 1 %.
El primer modelo computacional evaluado en el presente trabajo, como se discutió en el
capı́tulo 3, consistió de un dominio bidimensional del ducto convergente-divergente seleccionado. Un proceso de validación centrado en aspectos como los perfiles de presión en la pared
a lo largo del ducto, y de los valores de eficiencia de empuje, para varios NPR, indicó que
el modelo estaba siendo exitoso en reproducir los resultados experimentales y numéricos de
otros autores, con errores menores al 1 %. Dado que la condición de flujo era claramente turbulenta, se requirió decidir acerca del uso o no de algún modelo de turbulencia. A diferencia
de lo empleado por otros autores, en el presente trabajo se decidió optar por un elevado nivel
de discretización del dominio, particularmente en la región cercana a las paredes, con el fin
de resolver los fenómenos más importantes en las regiones de capa lı́mite.
A pesar de que el modelo logra captar exitosamente el comportamiento de perfiles de presión
y eficiencia del empuje, ası́ como aspectos tales como puntos de separación de capa lı́mite,
perfiles de presión a lo largo de la tobera, posición de las ondas de choque dentro de la
sección divergente, entre varios otros, el modelo no logro capturar de manera totalmente
satisfactoria otros aspectos fuertemente relacionados con la dinámica de flujo en la región
cercana a la pared. En particular, los perfiles de velocidad turbulento solo fueron resueltos a
partir de la posición y + ≈ 10. De esta manera fue claro que el modelo del presente trabajo
no fue capaz de captar aspectos originados en la capa viscosa.
El modelo computacional se validó para diferentes valores de NPR en el régimen sobreexpandido para la tobera seleccionada. Se observó que para aquellos valores de NPR muy
inferiores al de diseño, el punto de separación de la capa lı́mite y de los valores de la presión
en las paredes despues de este punto diferian ligeramente de lo reportado en los trabajos
experimentales usados como referencia. Esto parece indicar que el nivel de refinamiento de la
105
malla seleccionado para la región cercana a las paredes no fue el suficiente para capturar la
interacción entre las ondas de choque y las fluctuacione en la capa lı́mite. Esto explicarı́a las
diferencias apreciadas con respecto a los resultados experimentales. No obstante, es importante resaltar que para los demás valores de NPR el modelo computacional fue exitoso en la
predicción de los aspectos asociados con la posición del punto de separación de la capa lı́mite.
La gran mayorı́a de estudios computacionales de este tipo de ductos se han realizado asumiendo un comportamiento simétrico alrededor de la lı́nea central de la tobera. Esto ha permitido
que tales trabajos realicen análisis con relativamente bajos requerimientos computacionales. Precisamente por este enfoque, tales modelos no permiten observar comportamientos
asimétricos del flujo. En el presente trabajo, a diferencia de dichos estudios, el modelo computacional se construyó con base en el dominio completo de estudio. Esto permitió capturar el
comportamiento asimétrico de las ondas de choque en el interior de la sección divergente de
la tobera para los casos más sobre-expandidos. Mas aun, se pudo apreciar que dicho efecto
asimétrico presentaba un comportamiento altamente dinámico, mostrando oscilaciones en la
posición y variaciones en la forma de las ondas de choque presentes. Este aspecto es también
inexistente en estudios de dominio reducido.
El estudio de compresibilidad para las simulaciones con NPR de diseño y aquellas en el
régimen sobre-expandido, mostró que las fluctuaciones de la turbulencia no son afectadas
por efectos de compresibilidad que cambien significativamente las propiedades globales de
la misma. A esta misma conclusión se llegó realizando este estudio para las simulaciones
tridimensionales y las que tuvieron una condición de presión oscilante a la entrada.
Con el fin de determinar si la hipótesis de Morkovin era aplicable al flujo estudiado, se determinaron los perfiles de velocidad normalizados en unidades de pared, usando la transformada
de Van Driest como mecanismo de ponderacion de las fluctuaciones de densidad. Los perfiles
de velocidad obtenidos mediante esta metodologı́a distaron del comportamiento observado
en el flujo incompresible. Por ejemplo, aún cuando se pudo distinguir una región de tipo
logarı́tmico en tales perfiles, los valores de las constantes de ajuste fueron muy diferentes a
los observados comunmente en flujos incompresibles. De esta forma se concluyó que para las
condiciones de flujo presentes en el ducto convergente-divergente, es inapropiado tratar de
realizar análisis de caracteristı́cas turbulentas siguiendo el enfoque de flujo incompresible.
Lo mismo se pudo observar en todas las simulaciones con NPR de diseño, en aquellas en
régimen sobre-expandido, ası́ como en todas las simulaciones tridimensionales.
Se analizó el espesor de desplazamiento y el espesor de la cantidad de movimiento para todas las simulaciones del presente trabajo. Para las simulaciones con NPR de diseño, aquellas
en el régimen sobre-expandido y las de tres dimensiones, la tendencia de estos factores es
a aumentar en la medida que aumenta la sección divergente de la tobera. Los números de
Reynolds que se calcularon con respecto a estas cantidades siguen la misma tendencia. Para
las simulaciones con condición de presión oscilante a la entrada, el espesor de desplazamiento medido con respecto al flujo másico presenta un comportamiento promedio continuo y
cercano a cero. Al calcular el espesor de desplazamiento medido con respecto al flujo vo-
106
6 Conclusiones
lumétrico se observó la misma tendencia de los casos sin esta condición a la entrada.
Los valores del número de Reynolds de fricción presentan una tendencia general (para todas
las simulaciones) a aumentar en el primer 40 % de la sección divergente de la tobera, y luego
a disminuir en la sección restante. El valor medio de este factor para las simulaciones con
NPR de diseño fue de 900, en la simulaciones con régimen sobre-expandido fue de 970, en
las de tres dimensiones fue de 800, y para las simulaciones que tuvieron una condición de
presión oscilante a la entrada fue de 1000.
En todas las simulacione el esfuerzo cortante en la pared tuvo un comportamiento similar, un
máximo en la garganta de la tobera, y disminuyendo en la medida en que avanza la sección
divergente de la tobera. Al llegar a la salida de la tobera el esfuerzo cortante en este punto
es aproximandamente el 40 % del que se presentaba en la garganta.
Los valores de los RMS calculados muestran un comportamiento tı́pico (un pico cercano a
la pared y un valle plano en la mitad de la capa lı́mite más lejana de la pared), esto para las
simulaciones en el régimen sobre-expandido y las de tres dimensiones. En estos casos se pudo
observar una disminución de las fluctuaciones de las variables analizadas en la medida en que
se estudiaban posiciones en la tobera que se alejaban de la garganta. Para las simulaciones
que tuvieron una condición de presión oscilante a la entrada los valores de los RMS estuvieron un orden de magnitud por encima de los mismos factores para casos sin oscilación. Esto
se puede entender como una amplificación de la turbulencia por la oscilación de la presión
impuesta a la entrada. Esta amplificación fue más fuerte en las fluctuaciones de la presión,
de la densidad y de la componente de la velocidad normal a la pared. La amplificación es
menos notoria en las fluctuaciones de la temperatura, y menor aún en las fluctuaciones del
número de Mach y de la componente de la velocidad en la dirección en que se mueve el fluido.
A. Descomposición de Reynolds de las
Ecuaciones de Navier-Stokes
Utilizando Promedios de Favre
Al aplicar la descomposición de Reynolds con promedios de Favre a las ecuaciones de conservación éstas quedan de la siguiente manera: la ecuación de continuidad,
∂ρ ∂ρu˜j
+
= 0,
∂t
∂xj
(A-1)
∂p
∂
∂ρũi ∂ρũi u˜j
=−
+
+
τ ij − ρu00i u00j ,
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
(A-2)
las ecuaciones de momentum,
para la ecuación de energı́a tomamos la ecuación de entalpı́a total:
1
h0 = h + ui ui
2
y aplicando los promedios tendrı́amos,
h̃0 = h̃ +
1 ρui ui
,
2 ρ
(A-3)
(A-4)
ampliando los términos,
1
1 ρu00i u00i
h̃0 = h̃ + ũi ũi +
,
2
2 ρ
(A-5)
donde h̃0 = ρh0 /ρ y h̃ = ρh/ρ. Usando los conceptos dados para la ecuación de energı́a en
la sección anterior tendrı́amos,
∂ρh̃0 ∂ρũj h̃0
∂p
∂
+
=
+
−ρu00j h000 + ui dij − qj
∂t
∂xj
∂t ∂xj
La entalpı́a total se expande en términos de la velocidad y la densidad,
!
00 00
1
ρu
u
h000 = h00 + ũi u00i +
u00i u00i − i i ,
2
ρ
(A-6)
(A-7)
y finalmente,
∂ρh̃o ∂ρũj h̃0
∂p
∂
+
=
+
∂t
∂xj
∂t ∂xj
1 00 00 00
∂
00 00
00
ũi dij + ui dij − ũi ρui uj − ρui ui uj −
qj + ρu00j h00 .
2
∂xj
(A-8)
Bibliografı́a
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