Solución a un problema Parcial 1 mayo 2016

Vamos a obtener la solución del punto 1b). El problema era:
Si un consumidor tiene preferencias que pueden ser descriptas mediante la función:
u (x1, x2)= (x1ρ + x2ρ)1/ρ , donde 0≠ ρ < 1,
a) Obtenga las condiciones de primer orden del problema de minimización del gasto.
b) Obtenga las demandas hicksianas de ambos bienes, a saber la solución de x1 y x2 en términos de los parámetros del problema de minimización.
c) Las funciones hicksianas ¿verifican la homogeneidad de grado 0 y la concavidad en ambos precios?
Respuesta al punto b:
Construimos la lagrangiana L (x1, x2, λ) = p1 x1 +p2 x2 – λ [(x1ρ + x2ρ) 1/ρ – u] y obtenemos las
condiciones de primer orden siguientes
∂ L /∂x1 = p1 – λ (x1ρ + x2ρ)(1/ρ)-1 x1ρ-1= 0
∂ L /∂x2 = p2 – λ (x1ρ + x2ρ)(1/ρ)-1 x2ρ-1= 0
∂ L /∂λ = (x1ρ + x2ρ)1/ρ – u = 0
Eliminando λ de las dos primeras ecuaciones, se tiene
x1 = x2 (p1/p2)1/(ρ-1)
(x1ρ + x2ρ)1/ρ – u = 0
Obsérvese que aún no se ha llegado a las funciones de demanda, donde las cantidades deben
estar expresadas en términos de precios y de utilidad u. Sustituyendo la primera de estas
ecuaciones en la segunda:
u = [x2ρ (p1/p2)ρ/(ρ-1) + x2ρ]1/ρ = x2 [(p1/p2)ρ/(ρ-1)+ 1]1/ρ
Despejando x2,
x2 = u [(p1/p2)ρ/(ρ-1)+ 1]-1/ρ. Ésta es la función hicksiana del bien 2: x2 = x2h (p1, p2, u).
Hay una sustitución que podemos hacer para simplificar el resultado: r ≡ ρ/(ρ-1) y así tenemos:
x1 = u (p1r +p2r)(1/r)-1 p1r-1
x2 = u (p1r +p2r)(1/r)-1 p2r-1
que es el sistema de funciones de demanda completo.
Aunque no se pidió, también podemos calcular la función de gasto:
e (p1, p2, u) = p1 x1 (p1, p2, u) +p2 x2 (p1, p2, u)=
= u p1 (p1r +p2r)(1/r)-1 p1r-1 + p2 (p1r +p2r)(1/r)-1 p2r-1 =
= u p1 (p1r +p2r) (p1r +p2r)(1/r)-1