distribución

Las distribuciones
binomial, normal
y de Poisson
CAPITULO 7
Wmmr
L A D I S T R I B U C I O N
B I N O M I A L
Si p es la probabilidad de que cualquier evento ocurra en un solo ensayo (denominada
probabilidad de éxito) y q = 1 - p es la probabilidad de que no ocurra en un solo ensayo
(denominada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad de que el evento ocurra
exactamente X veces en /V ensayos (es decir, X éxitos y N - X fracasos) está dada por
donde X= 0, 1, 2,..., N; N\ = N(N- l ) ( / V - 2 ) • ••• 1, y 0! = 1 por definición (véase el problema 6.34).
EJEMPLO 1
La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es
2) (2) (2)
"iT^G) 6 4
=
utilizando la fórmula (7) con N =6, X=2y p = q=\.
EJEMPLO 2
La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es
' 6 Y i y4 n, ^ 6 - 4 ^ ^ i f r i Y " % ^ 6 y i y ^ "
6
V/ 2
4
12
6 [2
6
[2
=
i5 _6_ _i
H
64
32
+
+
64
64
La distribución de probabilidad discreta (7) se denomina distribución binomial yaque
paraX = 0, 1, 2,..., /V corresponde a términos sucesivos de la fórmula binomial o <
binomial,
donde 1, (*), (?),... se denominan coeficientes binomiales.
1- ~-.Z
Z
~
•
EJEMPLO 3
LOS distribuciones
binomial,
(+f
q
P
normal
y de
Poisson
Q ^ + Qy
4
= +
g
q
4
3
2
2
+ Q
3
q
P
'+ /
4
= q + 4q p + 6q p + 4qp + p
La distribución (1) también se denomina distribución de Bernoulli, debido a que James
Bernoulli la descubrió a finales del siglo xvn. En la tabla 7-1 se incluyen algunas de la
propiedades de la distribución binomial.
T a b l a 7-1
Distribución binomial
Media
fi = Np
2
a — Npq
Varianza
a =
Desviación estándar
Coeficiente momento de asimetría
v'Npq
q-p
Q
3
=
VNpq
Coeficiente momento de curtosis
«4
=3+
Npq
EJEMPLO 4
En 100 lanzamientos de una moneda la media de caras es /x = Np = (100)(i) = 50, que es el numere
esperado de caras, en 100 lanzamientos. La desviación estándar es a= VÑp~q = V(100)(i)(i) = 5.
LA
D I S T R I B U C I O N
N O R M A L
Uno de los ejemplos más importantes de una distribución de probabilidad continua es la distribución normal, curva normal o distribución gaussiana. Se define por medio de la ecuación
Y
=
_J_
e
-l/2(*-„)V
(
Jj
ovlir
donde p. = media, a = desviación estándar, TT= 3.14159- • • y e - 2.71828- • -. El área total
limitada por la curva (3) y el eje X es 1; por consiguiente, el área bajo la curva entre dos
ordenadas X = a y X - b, donde a < b, representa la probabilidad de que X esté entre a y b.
Esta probabilidad se denota por Pr{a < X < b).
Cuando la variable X está expresada en unidades estándar [z = (X - pS)/a], la ecuación
(3) se reemplaza por la denominada/orma estándar
Y = 4=e~
W2z2
V2n
(4)
En tal caso, se dice que z está normalmente distribuida, con media 0 y varianza 1. La figura
7-1 es una gráfica de esta curva normal estandarizada. Muestra que las áreas incluidas entre
z - - 1 y +1, z = - 2 y +2 y z - -3 y +3 son iguales, respectivamente, a 68.27%, 95.45% y
99.73% del área total, que es 1. La tabla del apéndice I I indica las áreas bajo esta curva,
limitadas por las ordenadas en z = 0 y cualquier valor positivo de z. A partir de esta tabla se
puede encontrar el área entre cualesquiera 2 ordenadas, usando la simetría de la curva respecto de z = 0.
Algunas propiedades de la distribución normal dadas por la ecuación (3) se incluyen en
la tabla 7-2.
Distribución
de Poisson
•
1 5 9
0.4_ y
F I G U R A 7-1
/
0.3
0.20.1-
i"—
-3
—i
-2
-1
0
-68.27%-95.45%-99.73%-
T a b l a 7-2
Distribución normal
Media
P
Varianza
a
Desviación estándar
a
2
Coeficiente momento de asimetría
Q
3
=0
Coeficiente momento de curtosis
0:4
=3
Desviación media
R E L A C I Ó N
Y
E N T R E
D I S T R I B U C I Ó N
ay/ïpn = 0.7979(7
D I S T R I B U C I Ó N
B I N O M I A L
N O R M A L
Si N es grande y si ni p ni q se acercan a cero, la distribución binomial puede ser muy
aproximada a la distribución normal, con una variable estandarizada dada por
_ X
-Np
y/Ñpq
La aproximación mejora al incrementarse N y en el caso límite es exacta; esto se muestra en
las tablas 7-1 y 7-2, donde está claro que conforme N aumenta, la asimetría y la curtosis de
la distribución binomial se acercan a las de la distribución normal. En la práctica, la aproximación es muy buena si tanto Np como Nq son mayores que 5.
MP
D I S T R I B U C I Ó N D E
P O I S S O N
La distribución de probabilidad discreta
p(X)
=^
-
A- = 0 , 1 , 2 , . . .
donde e = 2.71828- • • y X es una constante dada, se denomina distribución de Poiatm.
debido a que Siméon-Denis Poisson la descubrió a inicios del siglo xxx. El valor de plt
puede calcularse con la tabla del apéndice V I I I (que proporciona los valores de e" p a n
diversos valores de X) o por medio de logaritmos.
Algunas de las propiedades de la distribución de Poisson se incluyen ea h i a ü t "
CAPÍTULO
7
•
L o s distribuciones
binomial,
normal
Tabla 7-3
y de
Poisson
Distribución de Poisson
Media
fj = X
Varianza
2
<x = A
a= \/Â
Desviación estándar
R E L A C I Ó N
Y
Coeficiente momento de asimetría
Q
Coeficiente momento de curtosis
Q =
E N T R E
3
= l/v/Â
4
L A D I S T R I B U C I Ó N
L A D I S T R I B U C I Ó N
D E
3 + 1/A
B I N O M I A L
P O I S S O N
En la distribución binomial (7), si N es grande y la probabilidad p de ocurrencia de un
evento se acerca a 0, de tal manera que q = 1 - p se acerca a 1, entonces el evento se
denomina suceso raro o inusual. En la práctica se debe considerar que un evento es raro si
el número de ensayos es de por lo menos 50 (7V> 50), mientras que Np es menor que 5. En
tal caso, la distribución binomial (7) se aproxima estrechamente a la distribución de Poisson
(5), con \ = Np. Esto se comprueba comparando las tablas 7-1 y 7-3, ya que, al poner X =
Np, q ~ 1 y p = 0 en la tabla 7-1, se obtienen los resultados de la tabla 7-3.
Como hay una relación entre la distribución binomial y la distribución normal, se deduce que también existe una relación entre la distribución de Poisson y la distribución normal.
De hecho, se puede demostrar que la distribución de Poisson se aproxima a una distribución
normal con variable estandarizada (X - X y v T conforme se incrementa indefinidamente.
D I S T R I B U C I O N
M U L T I N O M I A L
Si los eventos E ,E ,...,E
pueden ocurrir con probabilidades p¡,p ,...,p ,
respectivamente,
entonces la probabilidad de q u e £ „ E ,E ocurran
X X ,...,
X , veces, en ese orden, es
{
2
K
2
2
K
U
TV!
x
lp
x \x \...x \* *
x
2
K
2
K
K
x
x
Pk
(6)
~'~ '
donde X + X +...+ X = N. Esta distribución, que es una generalización de la distribución
binomial, se denomina distribución multinomial, puesto que la ecuación (6) es el término
general en la expansión multinomial (p + p + • • • + p ) .
l
2
K
N
{
EJEMPLO 5
2
K
Si un dado se lanza 12 veces, la probabilidad de obtener 1, 2, 3,4, 5 y 6 puntos exactamente dos veces
cada uno es
12!
( 1VV1 V f 1YY1 f ( 1YY1V
2!2!2!2!2!2!l 6 I {6 ( 6
6) \6) l 6 I
El número esperado de veces queis,,^
mente.
A J U S T E
E ocurrirán enNensayos es Np , Np ,...,Np , respectivaK
D E D I S T R I B U C I O N E S
D I S T R I B U C I O N E S
1925
= 0.00344
559872
t
T E Ó R I C A S
D E F R E C U E N C I A
2
K
A
M U E S T R A L E S
Cuando se tiene cierta indicación de la distribución de una población por medio de razonamiento probabilístico o de otro tipo, suele ser posible ajustar dichas distribuciones teóricas
(también llamadas distribuciones modelo o esperadas) a distribuciones de frecuencia obte-
Problemas
resueltos
•
161
nidas a partir de una muestra de la población. El método consiste, en general, en usar la
media y la desviación estándar de la muestra para calcular la media y la desviación estándar
de la población (véanse los problemas 7.31, 7.33 y 7.34).
Para comprobar la bondad de ajuste de las distribuciones teóricas, se utiliza la prueba
chi-cuadrada (explicada en el capítulo 12). En un intento por determinar si una distribución
normal representa un buen ajuste para ciertos datos, es conveniente usar papel milimétrico.
como se le suele llamar (véase el problema 7.32).