Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 (c) 2013 Leandro Marı́n, Francisco J. Vera, Gema M. Dı́az 25 Nov 2013 - 1 Dic 2013 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Módulos y Distancias Introducción En los capı́tulos anteriores hemos desarrollado el álgebra lineal sobre cuerpos arbitrarios. Muchos de nuestros ejemplos incluı́an los cuerpos finitos. Dentro de un cuerpo finito no hay una relación de orden, puesto que la relación de orden que tenı́amos en Z se ha perdido al no respetar la relación de congruencia. En este capı́tulo vamos a tratar propiedades métricas de los espacios vectoriales, por lo que necesitamos tener una noción de distancia. Por lo tanto en este tema vamos a utilizar sólo espacios vectoriales sobre R. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Módulos y Distancias Producto Escalar de dos Vectores Producto Escalar Sean u = (u1 , u2 , · · · , un ), v = (v1 , v2 , · · · , vn ) dos vectores de Rn . Llamaremos producto escalar de u y v y lo representaremos por hu, v i = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn . Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Módulos y Distancias Representación Matricial del Producto Escalar Si utilizamos columnas, es decir, u = u1 u2 .. . yv = v1 v2 .. . vn un podemos representar el producto escalar como el producto de las siguientes matrices: v1 v2 u1 u2 · · · un . = u ⊤ v .. vn Si estuviéramos utilizando vectores fila la transpuesta estarı́a al otro lado. Esta representación matricial será útil para hacer algunos cálculos de forma compacta. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Módulos y Distancias Primeras Propiedades del Producto escalar Aunque sea una obviedad, fijémonos que el producto escalar de dos vectores es un número, no un vector. El producto escalar es conmutativo, es decir, hu, v i = hv , ui. Además, si cualquiera de los dos vectores es 0, se tiene que el producto es 0, h0, v i = 0 = hu, 0i. El producto escalar es lineal en las dos variables, hu + u ′ , v i = hu, r i + hu ′ , v i y hαu, v i = αhu, v i y también en la otra variable. Todas estas son propiedades muy sencillas de comprobar sin mas que aplicar la defición. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Módulos y Distancias Norma de un Vector Producto Escalar Sea u ∈ Rn . Llamaremos norma de u a kuk = p hu, ui. La norma del vector 0 es siempre 0. Recı́procamente, si kuk = 0, entonces tendrı́amos que u12 + u22 + · · · + un2 = 0 y esta es una suma de números mayores o iguales que cero, en cuanto uno de ellos dejase de ser 0, la suma total no podrı́a ser nunca 0. √ Si calculamos la norma de kλuk obtenemos λ2 kuk, lo cual parece λkuk, pero la raiz cuadrada la tenemos que tomar siempre positiva, por lo tanto si λ es negativo, hay que cambiar de signo. Tenemos pues que kλuk = |λ|kuk. En particular kuk = k − uk para cualquier vector u. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Módulos y Distancias Norma de un Vector Distancias Sean u, v ∈ Rn . Llamaremos distancia entre u y v a d(u, v ) = ku − v k. La distancia entre dos vectores es 0 si y sólo si ku − v k = 0 y esto sucede únicamente cuando u = v . La distancia de u a v es igual que la de v a u, porque u − v = (−1)(v − u) y por tanto ku − v k = kv − uk. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Módulos y Distancias Desigualdad Triangular Dados dos vectores, su suma se puede hacer gráficamente como la concatenación de los dos, es decir, poner uno y después el otro. Si medimos las longitudes de todos los vectores involucrados, tenemos que ku + v k ≤ kuk + kv k. Si aplicamos esto a distancias, tenemos que d(u, v ) ≤ d(u, w ) + d(w , v ) para cualquier vector w . Estas relaciones se conocen como desigualdad triangular, porque indican que la suma de dos de los lados de un triángulo, es siempre mayor o igual que el tercero. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Ángulos y Perpendicularidad Desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad de Cauchy-Schwarz Sean u, v ∈ Rn , entonces |hu, v i| ≤ kukkv k. Si u y v son vectores no nulos, de esta desigualdad podemos hu,v i deducir que −1 ≤ kukkv k ≤ 1. A este número se le llama coseno del ángulo formado por dichos vectores. Si llamamos α a este ángulo, podemos escribir hu, v i = cos(α)kukkv k Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Ángulos y Perpendicularidad Vectores Ortogonales Hemos visto que el producto escalar de cualquier vector por el 0 es 0, pero podemos encontrar vectores que no son cero, pero que su producto es 0. Un ejemplo inmediato es [ 1 0 ] 0 1 = 0. También se puede conseguir sin ceros, [ 1 −1 ] 1 1 = 0. Cuando tengamos dos vectores (no nulos) u y v tales que hu, v i = 0, diremos que son ortogonales. Eso sucede cuando el coseno del ángulo formado por ellos es de 90 grados o π/2 radianes, es decir, son vectores perpendiculares. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Ángulos y Perpendicularidad Complemento Ortogonal Complemento Ortogonal Sea W un subespacio de Rn , llamaremos complemento ortogonal de W al subespacio W ⊥ = {v ∈ Rn : hv , w i = 0 ∀w ∈ W }. Es decir, es el espacio de los vectores que son perpendiculares a todos los del espacio W . Por ejemplo, si tenemos una recta en el plano, su complemento ortogonal es su recta perpendicular. El el espacio tridimensional, el ortogonal de una recta es un plano, y el ortogonal a un plano es una recta. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Ángulos y Perpendicularidad Propiedades del Espacio Ortogonal El único vector que está en la intersección W ∩ W ⊥ es el vector 0. dim(W ) + dim(W ⊥ ) = n. W ⊥⊥ = W . ⊥ 0⊥ = Rn y (Rn ) = 0. Si V ⊆ W entonces W ⊥ ⊆ V ⊥ (V + W )⊥ = V ⊥ ∩ W ⊥ (V ∩ W )⊥ = V ⊥ + W ⊥ Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Ángulos y Perpendicularidad Espacio Ortogonal y la Operación ⊥ En el tema de espacios vectoriales introdujimos una operación ⊥ para matrices, pero no le dimos nombre. Dijimos que tenı́a alguna relación con la perpendicularidad. Ahora estamos en condiciones de ver qué es esa operación. Vamos a empezar viendo unos ejemplos. Consideremos los puntos de R3 que cumplen la ecuación x + y − z = 0. Esto es un subespacio dado en forma implı́cita, pero también lo podemos escribir como el conjunto de puntos que cumplen x 1 1 −1 y = 0 z . O lo que es lo mismo, los vectores perpendiculares a (1, 1, −1). Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Ángulos y Perpendicularidad Espacio Ortogonal y la Operación ⊥ II Esto sucede para cualquier número de ecuaciones. Cuando calculamos KerM, lo que realmente calculamos es el conjunto de vectores que son ortogonales con las filas de M. Por lo tanto, calcular ⊥ sobre matrices, nos da el espacio ortogonal. PERO SOLO EN ESPACIOS VECTORIALES SOBRE LOS NÚMEROS REALES. No existe la perpendicularidad en cuerpos finitos. Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21 Producto Escalar Ángulos y Perpendicularidad Ejemplo La ecuación x + y = 0 en Z22 es una recta. Pero el vector (1, 1) está en esa recta. Es decir, si aplicáramos las reglas del ortogonal sobre los números reales, tendrı́amos que (1, 1) es ortogonal a sı́ mismo, lo cual es imposible para un vector no nulo. Ası́ que mucho cuidado, no se puede hablar de producto escalar en cuerpos finitos, sólo en números reales. Pero en números reales, sı́ funciona.