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Álgebra y Geometrı́a Analı́tica
Binomio de Newton. Demostración por Inducción
Recordemos, el binomio de Newton afirma que:
n µ ¶
X
n n−k k
(a + b) =
a
b .
k
k=0
n
Demostración:
p(n) : (a + b)n =
Consideremos la función proposicional
¡n¢
Pn
k=0
k
an−k bk , probe-
mos en primera instancia que p(1) es verdadera.
i) p(1) : (a + b)1 =
P1
k=0
¡1¢
k
a1−k bk . Tomememos el segundo miembro de esta igual-
dad y tratemos de llegar al primer miembro:
¡¢
¡¢
P1 ¡1¢ 1−k k
b = 10 a1 b0 + 11 a0 b1 = 1a + 1b = a + b = (a + b)1 , ya que
k=0 k a
¡1¢ ¡1¢
= 1 = 1.
0
ii) Supongamos que p(h) es verdadera, la cual representa la hipótesis Inductiva, o
sea:
h µ ¶
X
h h−k k
a
b ,
p(h) : (a + b) =
k
k=0
h
finalmente,
iii) Probemos que p(n) es verdadera para n = h + 1, ocupando la hipótesis inductiva.
Debemos probar que se cumple la siguiente igualdad:
h+1
(a + b)
¶
h+1 µ
X
h + 1 h+1−k k
=
a
b ,
k
k=0
Dem.:
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Segundo Semestre 2005
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Prof. Magister Osmar Vera
Álgebra y Geometrı́a Analı́tica
(a + b)h+1 = (a + b) · (a + b)h
h µ ¶
h µ ¶
X
X
h h−k k
h h−k k
= a·
a
b +b·
a
b
k
k
k=0
k=0
µ
¶
h
h
X µh¶
X h
h−k+1 k
ah−k bk+1
=
a
b +
k
k
{z
} |k=0
{z
}
|k=0
(1)
(2)
Tengamos en cuenta que en la primera igualdad se aplica la propiedad del producto de potencias de igual base. En la otra se ocupó la hipótesis inductiva, y la
distributividad de la suma respecto del producto, y en la última se introducen
los factores a y b respectivos dentro de las sumatorias, ya que no dependen del
subı́ndice de la sumatoria.
Ahora vamos a desdoblar ambas sumas (1) y (2) del siguiente modo: en (1) le
quitamos el primer término y sumamos desde k = 1 hasta h y en (2) le quitamos
el último término y sumamos desde k = 0 hasta k = h − 1
µ ¶
h µ ¶
h h+1 0 X h h+1−k k
a
b
a b +
(1) =
k
0
k=1
µ ¶
h−1 µ ¶
X
h 0 h+1
h h−k k+1
ab
a
b
+
(2) =
h
k
k=0
Tengamos en cuenta que
¡h¢
0
=
¡h+1¢
0
y que
¡h¢
h
=
¡h+1¢
. En la suma (2) necesitah+1
mos sumar desde 1, razón por lo cual hacemos un cambio de variable, llamando
k + 1 = j, de donde cuando k = 0 =⇒ j = 1, y cuando k = h − 1 =⇒ j = h.
Mientras que en la suma (1) podemos cambiar sin problemas la letra la k que
es muda por la j. Luego de estos cambios,
µ
¶
¶
h µ ¶
h µ
h + 1 h+1 0 X h h+1−j j X
h
(1) + (2) =
a b +
a
b +
ah−(j−1) bj +
0
j
j−1
j=1
j=1
µ
¶
h + 1 0 h+1
+
ab
h+1
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Finalmente se tiene que
µ
¶
¶
h µ ¶
h µ
h + 1 h+1 0 X h h+1−j j X
h
=
a b +
a
b +
ah+1−j bj +
0
j
j−1
j=1
j=1
µ
¶
h + 1 0 h+1
+
ab
h+1
h+1
(a + b)
Observar ahora que el inicio y el final de ambas sumas es el mismo, además
tienen la misma parte literal, sólo son distintos los coeficientes combinatorios,
entonces es posible juntar ambas sumas del siguiente modo
h+1
(a+b)
¶
µ ¶ µ
¶i
¶
µ
µ
h
h
h + 1 h+1 0 X h h
h + 1 0 h+1
h+1−j j
+
=
a b+
a
b+
ab ;
j
j
−
1
0
h
+
1
j=1
|
{z
}
(3)
sabemos (3)=
¡h+1¢
j
, entonces se tiene que:
µ
h+1
(a + b)
¶
¶
µ
¶
h µ
h + 1 h+1 0 X h + 1 h+1−j j
h + 1 0 h+1
=
a b +
a
b +
ab
.
0
j
h+1
j=1
|
{z
}
Ph+1 h+1 h+1−j j
a
b
(
)
j=0
j
O sea se tiene probado que p(h + 1) es verdadera,
h+1
(a + b)
=
¶
h+1 µ
X
h+1
j=0
j
ah+1−j bj
Al ser verdadera p(h + 1), se tiene que p(n) es verdadera para cualquier n ≥ 0,
n entero. ¥
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