El espacio Rn 1 Noción de Ángulo en Rn Sean x, y ∈ R n

El espacio Rn
1
Noción de Ángulo en Rn
Sean x, y ∈ Rn . Consideremos la proyección ortogonal del vector Y sobre el vector X
Denotemos por u a este vector proyección.
Según la figura debe ocurrir que U = λX para algun λ ∈ R. Tenemos entonces que
(Y − u) · X = 0
⇒ (Y − λX · X) = 0
⇒ Y · X − λX · X = 0
Y ·X
⇒
=λ
X ·X
Por lo tanto
U=
Y ·X
X
X ·X
Definición 1. Sean x, y ∈ Rn (no ortogonales) la proyección ortogonal de Y sobre X es el vector
P Ry→x =
Y ·X
X
X ·X
Ahora bien tenemos que
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según la figura
kuk
kY k
Y ·X X
cos α =
⇒ cos α =
⇒ cos α =
⇒ cos α =
X·X
kY k
Y ·X kXk
X·X
kY k
(Y · X)kXk
kXk2 kY k
⇒ cos α =
Por lo tanto
α = cos−1
Y ·X
kXkkY k
Y ·X
kXkkY k
Otras normas en Rn
Definimos k k1 : Rn → R por k k1 = |x1 | + . . . + |xn |
i) Dado que ∀ x ∈ R
∀ x̄ ∈ Rn . Por demostrar k k1 es una norma en Rn
|x| ≥ 0, se tiene k k1 = |x1 | + . . . + |xn | ≥ 0
∀ x̄ ∈ Rn
ii) Si α ∈ R y x̄ = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , entonces
kαx̄k
= |αx1 | + . . . + |αxn |
= |α||x1 | + . . . + |α||xn |
= |α|(|x1 | + . . . + |xn |)
= |α|kx̄k ∀ x̄ ∈ Rn
iii) Si x̄ = (x1 , . . . , xn ) y ȳ = (y1 , . . . , yn ) son elementos de Rn
kx̄ + ȳk
= |x1 + y1 | + . . . + |xn + yn |
≤ |x1 | + |y1 | + . . . + |xn | + |yn |
= |x1 | + . . . + |xn | + . . . + |y1 | + . . . + |yn |
= kx̄k1 + kȳk1
Si kx̄k1 = 0
⇒ |x1 | + . . . + |xn | = 0 y como cada |xi | ≥ 0 i = 1, . . . , n
entonces |x1 | + . . . + |xn | = 0
⇒ |xi | = 0 i = 1, . . . , n
∴ x̄ = 0
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Consideremos ahora la función k k∞ : Rn → R dada por
k k∞ = máx{|x1 |, . . . , |xn |}
∀ x ∈ Rn
Proposición.- La función k k∞ : Rn → R es una norma en Rn , que se denomina norma del máximo o
norma cúbica.
Demostración :
1. Puesto que |xi | ≥ 0 i = 1, . . . , n
entonces
máx{|x1 |, . . . , |xn |} ≥ 0
es decir
kx̄k∞ ≥ 0
n
2. Sea α ∈ R y x̄ ∈ R . Se tiene entonces que
kαx̄k = máx{|αx1 |, . . . , |αxn |} = máx{|α||x1 |, . . . , |α||xn |}
Supongamos ahora que
|xiα | = máx{|x1 |, . . . , |xn |}
∴
∴
∴
por
|xiα | ≥ |xi |
∀ i = 1, . . . , n
|α||xiα | ≥ |α||xi |
∀ i = 1, . . . , n
|αxiα | ≥ |αxi |
∀ i = 1, . . . , n
lo que
|α||xiα | = |αxi | = máx{|αx1 |, . . . , |αxn |} = máx{|α||x1 |, . . . , |α||xn |}
es decir
|α| máx{|x1 |, . . . , |xn |} = máx{|αx1 |, . . . , |αxn |} = máx{|α||x1 |, . . . , |α||xn |}
∴ |α|kx̄k∞ = kαx̄k∞
3. kx̄ + ȳk∞ = máx{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |}
Sea
|x1 α + y1 α| ≤ máx{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |}
como
|x1 α + y1 α| ≤ |x1 α| + |y1 α|
se tiene que
máx{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |} ≤ |x1 α| + |y1 α|
pero por definición de
máx{|x1 |, . . . , |xn |}
máx{|y1 |, . . . , |yn |}
también se tiene que
|x1 α| ≤ máx{|x1 |, . . . , |xn |}
|y1 α| ≤ máx{|y1 |, . . . , |yn |}
luego
máx{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |} ≤ máx{|x1 |, . . . , |xn |} + máx{|y1 |, . . . , |yn |}
o sea
kx̄ + ȳk∞ ≤ kx̄k∞ + kȳk∞
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4. kx̄k∞ = 0
sea
⇒
máx{|x1 |, . . . , |xn |} = 0
|xα | = máx{|x1 |, . . . , |xn |}
entonces
|xα | = 0
∴ xα = 0
y como xi ≤ |xα | ∀ i entonces x = 0
La relación entre las normas es
kxk∞ ≤ kxk ≤ kxk1 ≤ nkxk
Demostración. Sea |xk | = máx{|x1 , ..., |xn ||}
Se tiene entonces
q
q
|xk | = x2k ≤ x21 + ... + x2n = kxk
∴ kxk∞ ≤ kxk
Ahora bien
2
2
(kxk) = (|x1 | + ... + |xn |) ≤
n
X
i=1
X
|xi |2 + 2
2
2
|xi ||xj | = (|x1 | + ... + |xn |) = (kxk1 )
i≤i≤j≤n
2
2
⇒ (kxk) ≤ (kxk1 )
⇒ kxk ≤ kxk1
También si suponemos que |xj | = máx{|x1 |, ..., |xn |} entonces
kxk1 = |x1 | + ... + |xn | ≤ |xj | + ... + |xj | = n|xj | = n máx{|x1 |, ..., |xj |} = nkxk∞
por lo que
kxk1 ≤ nkxk∞
Otra relación entre las normas es
kxk∞ ≤ kxk ≤
√
nkxk∞
Demostración. suponemos que |xj | = máx{|x1 |, ..., |xn |}
Se tiene entonces
q
q
|xj | = x2j ≤ x21 + ... + x2j + ... + x2n = kxk
Por tanto
kxk∞ ≤ kxk
Por otro lado suponemos que |xj | = máx{|x1 |, ..., |xn |} y tenemos
q
q
q
√
kxk = x21 + ... + x2j + ... + x2n ≤ x2j + ... + x2j + ... + x2j = n(x2j ) = nkxk∞
por lo tanto
kxk ≤
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√
nkxk∞
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Otra relación es
kxk1 ≤
√
nkxk
Demostración.
kxk1 = |x1 | + ... + |xn | = (1, ..., 1) · (|x1 |, ..., |x1 |) ≤ k(1, ..., 1)kkxk =
por lo tanto
kxk1 ≤
√
√
nkxk
nkxk
El Espacio Metrico Rn
El concepto de k k (norma) nos da una noción de distancia, el tener una noción de distancia en R o más
generalmente en Rn , es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.
Definición 2. Sea E un espacio vectorial, la función d : E ×E → E que a cada par de elementos x, y ∈ E
le asocia el número d(x, y) que satisface
1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
2) d(x, y) = d(y, x)
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
Consideremos la noción común de distancia entre dos puntos en R3 .
Si x̄ = (x1 , x2 , x3 )
ȳ = (y1 , y2 , y3 )
p
kx̄ − ȳk = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2
Esta distancia la denominamos métrica euclidiana y la generalizamos en Rn en la siguiente definición.
Definición: Sean x̄ = (x1 , . . . , xn ) y ȳ = (y1 , . . . , yn ) elementos cualesquiera de Rn definimos la distancia
euclidiana entre ellos como
d(x̄, ȳ) = kx̄ − ȳk =
p
(x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2
La función d : Rn × Rn → R se denomina distancia o métrica euclidiana.
Proposición: Para cualesquiera vectores x̄, ȳ, z̄ Rn se tiene:
i. d(x̄, ȳ) ≥ 0
ii. d(x̄, ȳ) = d(ȳ, x̄)
iii. d(x̄, ȳ) ≤ d(x̄, z̄) + d(z̄, ȳ)
iv. d(x̄, ȳ) = 0
⇒
x̄ = ȳ
Demostración :
1. Como d(x, y) = kx̄ − ȳk ≥ 0 entonces d(x̄, ȳ) ≥ 0 tambien si d(x, y) = 0
0 ⇒ x̄ = ȳ
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⇒
kx̄ − ȳk =
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2. d(x̄, ȳ) = kx̄ − ȳk = kx̄ − ȳk = kȳ − x̄k = d(ȳ, x̄)
3. d(x̄, ȳ) = kx̄ − ȳk = kx̄ − z̄ + z̄ − ȳk ≤ kx̄ − z̄k + kz̄ − ȳk = d(x̄, z̄) + d(z̄, ȳ)
0 a=b
Métrica discreta.- Demostrar que la metrica definida por d(a, b) =
satisface los axiomas
1 a 6= b
de métrica
Demostración :
1. Sean a, b Rn entonces d(a, b) = 1 ó d(a, b) = 0 ∴ d(a, b) ≥ 0
2. Sean a, b Rn Si ā 6= b̄ d(ā, b̄) = 1 y si b̄ 6= ā d(b, a) = 1 ∴ d(a, b) = 1 = d(b, a)
Ahora bien si a = b entonces d(a, b) = 0 = d(b, a)
∗
* Si a = b entonces b = a por lo tanto d(b, a) = 0
3. Sean ā, b̄, c̄ Rn ā 6= b̄ 6= c̄
d(ā, b̄) = 1, d(b̄, c̄) = 1 y
d(ā, c̄) = 1
∴
d(a, c) = 1 ≤ 1 + 1 = d(a, b) + d(b, c)
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