6.
6.1.
Espacios Euclı́deos
Producto escalar. Ortogonalidad. Ortog de Gram-Schmidt
Dados dos vectores x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)
de Rn, su producto escalar es
hx, yi = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.
Propiedades del producto escalar de Rn.
1. hx, yi = hy, xi
2. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi
3. hλx, yi = λhx, yi
4. hx, xi = kxk2 ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0
5. cos(x, y) =
hx,yi
kxk kyk
6. x, y son perpendiculares ⇐⇒ hx, yi = 0
Definición: un espacio euclı́deo es un espacio vectorial E sobre R que posee una aplicación
h·, ·i : E × E −→ R,
que llamaremos producto escalar, con las siguientes
propiedades:
1. Simétrica: hx, yi = hy, xi;
2. Distributiva: hx + y, zi = hx, zi + hy, zi;
3. hλx, yi = λhx, yi;
4. hx, xi > 0 para todo x 6= 0.
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Ejemplo: por C([a, b]) denotamos el conjunto de funciones continuas en el intervalo [a, b]. Este conjunto
con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por un escalar forma un espacio vectorial. En
este espacio vectorial se puede considerar el siguiente
producto escalar:
Z b
hf, gi =
f (t)g(t)dt.
a
Definición: la longitud (o norma) de un vector x ∈ E
en el espacio euclı́deo es
p
kxk := hx, xi.
Definición: un vector x ∈ E se dice que es unitario
si kxk = 1.
Definición: dados x, y ∈ E, definimos el coseno del
ángulo formado entre ellos como:
hx, yi
cos α :=
.
kxk kyk
Definición: dos vectores x, y ∈ E son ortogonales
si hx, yi = 0.
Ejemplo: en C([a, b]), las funciones
1, cos t, sent, cos 2t, sen2t, . . .
son ortogonales entre sı́.
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Proposición: Si los vectores x1, . . . , xn ∈ E \ {0}
son ortogonales entre sı́, entonces son linealmente independientes.
Desigualdad triangular:
kx + yk ≤ kxk + kyk.
Dem.
kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi
= kxk2 + 2hx, yi + kyk2
≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2.
Definición: En un espacio euclı́deo E una base ortogonal es una base donde los vectores son ortogonales entre sı́. Una base ortonormal es una base
ortogonal cuyos vectores son unitarios.
Método de ortogonalización de Gram-Schmidt
Sea {x1, x2, x3} una base de un espacio euclı́deo E.
Entonces podemos encontrar una base ortonormal en
E como sigue. Primero encontramos una base ortogonal {y1, y2, y3} y después los haremos unitarios para
conseguir una base ortonormal:
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1. Definimos y1 := x1;
2. Sea y2 := x2 + αy1. Queremos encontrar un α ∈ R
para el que y2 sea ortogonal a y1:
0 = hy2, y1i = hx2 + αy1, y1i = hx2, y1i + αhy1, y1i,
entonces
hx2, y1i
.
2
ky1k
3. Sea y3 := x3 + α2y2 + α1y1. Queremos encontrar
α1, α2 ∈ R para los que y3 sea ortogonal a y1 e y2:
α=−
0 = hy3, y1i = hx3, y1i + α2hy2, y1i + α1hy1, y1i,
entonces
α1 = −
hx3, y1i
;
2
ky1k
además
0 = hy3, y2i = hx3, y2i + α2hy2, y2i + α1hy1, y2i,
entonces
hx3, y2i
α2 = −
.
ky2k2
4. Si hubiese x4, x5, . . . seguirı́amos de forma análoga.
5. {y1, y2, y3} forma una base ortogonal. Finalmente
{ kyy11k , kyy22k , kyy33k } forma una base ortonormal.
4
6.2.
Aplicaciones simétricas. Diagonalización ortogonal.
Definición:
• f es aplicación simétrica si aplic. lineal tal que
hf (x), yi = hx, f (y)i para todo x, y ∈ E.
• A es matriz simétrica si A = At.
• A es matriz ortogonal si A At = Id.
• A es diagonalizable ortogonalmente si existe
una matriz ortogonal Q tal que
QtAQ = D
donde D es diagonal.
Teorema: la matriz asociada a una aplicación simétrica en una base ortonormal es simétrica.
Teorema: una matriz A es diagonalizable ortogonalmente ⇐⇒ A es simétrica.
Proceso de diagonalización ortogonal
Sea A una matriz simétrica:
1. Encontrar los autovalores λ1, . . . λs de A.
2. Encontrar una base para cada espacio V (λi) =
ker(A − λiI).
3. Para cada espacio V (λi), encontrar una base ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt.
4. la matriz Q posee por columnas los vectores hallados en el apartado anterior.
5
0
