Derivadas de una función real de dos variables reales

Derivadas de una función real de dos variables reales
Derivada respecto de un vector. Derivadas direccionales. Derivadas parciales.
Sea z=f(x,y) una función definida en un subconjunto DR2 y sea P=(x,y)D. Si
queremos estudiar la variación de f en el punto P del plano afín euclídeo R2, no queda
más remedio que elegir una dirección en P para medirla.




Sea u un vector del plano vectorial euclídeo R2:

f ( P  hu )  f ( P )
, se denomina derivada de f en el
Cuando exista y sea finito el lím
h 0
h

punto P respecto del vector u .

Si además u =1, entonces el límite anterior se denomina derivada direccional de f en


P y en la dirección del vector u . Se designa por f ’(P, u ).


Si u =(1,0)= i , se denomina simplemente derivada parcial de f respecto de la
variable x. Se designa f x (P) , o bien,
f x (P) =

f
(P) . Es decir:
x
f(P  h(1,0))  f(P)
f(x  h, y)  f(x, y)
f
.
(P) = lím
 lím
h 0
h 0
x
h
h


Análogamente si u =(0,1)= j , se denomina derivada parcial de f respecto de la
variable y. Se designa f y (P) , o bien,
f y (P) =
f
(P) . Es decir:
y
f(P  k (0,1)) - f(P)
f(x, y  k ) - f(x, y)
f
.
 lím
(P) = lím
k

0
k

0
k
k
y
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1
Derivadas de una función real de dos variables reales
Interpretación geométrica:
En particular para el punto P(a,b) tenemos que:
f x (P) =
f
f((a,b)  h(1, 0))  f(a,b)
f(a  h,b)  f(a,b)
.
(a,b) = lím
 lím
h 0
h 0
x
h
h
Fijado el plano y=b intersección con la superficie z=f(x,y) obtenemos una curva plana:
f x (P) mide la pendiente en el punto (a,b) de la curva intersección de la superficie
z=f(x,y) con el plano y=b, perpendicular al eje OY que pasa por (a,b). Es decir, f x (P) da
idea de la variación (positiva o negativa) de z con respecto a x en un entorno del punto
(a,b) cuando la y permanece constante e igual a b.
En las dos figuras siguientes se aprecian dos posibles situaciones, una correspondiente a
una función z creciente en el punto (a,b) con respecto a x, una vez fijada y=b (gráfica de
la izquierda) otra con z decreciente con respecto a x en el punto (a,b), fijada y=b (gráfica
de la derecha).
Análogamente, f y (P) =
f
f((a,b)  k (0,1)) - f(a,b)
f(a,b  k ) - f(a,b)
.
(a,b) = lím
 lím
k 0
k 0
k
k
y
Fijado el plano x=a intersección con la superficie z=f(x,y) obtenemos una curva plana:
fy (P) mide la pendiente en el punto (a,b) de la curva intersección de la superficie
z=f(x,y) con el plano x=a, perpendicular al eje OX que pasa por (a,b). Es decir, fy (P) da
idea de la variación (positiva o negativa) de z con respecto a y en un entorno del punto
(a,b) cuando la x permanece constante e igual a a.
Como en el caso anterior, las dos figuras siguientes se aprecian dos posibles situaciones,
una correspondiente a una función z creciente en el punto (a,b) con respecto a y, una vez
fijada x=a (gráfica de la izquierda) otra con z decreciente con respecto a x en el punto
(a,b), fijada x=a (gráfica de la derecha).
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2
Derivadas de una función real de dos variables reales
Gradiente de una función en un punto
Si están definidas las derivadas parciales de una función z=f(x,y) en un punto
P=(a,b)D, se denomina vector gradiente de f en el punto P, o simplemente gradiente




 f

f
de f en P, y se designa f(P) , al vector f(P) =  (P), (P)   f x (P) i  f y (P) j .
y
 x

Derivadas parciales de orden superior
Sea la función z=f(x,y). Si existen las derivadas parciales en todo su dominio, o al
menos en una parte de él, pueden definirse las funciones fx, fy, donde existan, como
funciones de x e y. Se obtienen así cuatro derivadas parciales de segundo orden que
designaremos:
  f   2 f
.
 f xx , o bien,
 
x  x  x 2

f x  x

f y x  f yx , o bien, x  yf   xfy .

f x  y
  f   2 f
 f xy , o bien,
.
 
y  x  yx
f y y
  f   2 f
 
.
 f yy , o bien,
y  y  y 2
2



Teorema de las derivadas mixtas, o de Schwarz.
Si la función z=f(x,y) y sus derivadas parciales fx, fy,.fxy, fyx, están definidas y son
continuas en un entorno de un punto (xo,yo), entonces se verifica que:
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Derivadas de una función real de dos variables reales
 2f
 2f
(x o , y o ) 
(x o , y o )
yx
xy
Las reglas de la cadena
1. Sea una función z=f(x,y) que tiene derivadas parciales continuas fx, fy, en (x,y) y
x  x ( t )
sean dos funciones 
diferenciables en t. Entonces la función compuesta
 y  y( t )
z  f x ( t ), y( t )  es diferenciable en t y se verifica que:
dz f dx f dy 
 dx dy 


 f x ( t ), y( t )    , 
dt x dt y dt
 dt dt 
2. Supongamos ahora una función z=f(x,y) que tiene derivadas parciales continuas
 x  x ( u , v)
fx, fy, en (x,y) y sean dos funciones 
. La función compuesta
 y  y( u , v)
z  f x (u, v), y(u, v)  es una función de u y v en los puntos donde está definida,
verificándose además que si x e y tienen derivadas parciales continuas respecto
de u y v, entonces existen las derivadas parciales de f respecto de u y v que vienen
dadas por las expresiones:
 z z x z y
 u  x u  y u


 z  z x  z y
 v x v y v
De manera análoga se podrían definir las reglas de la cadena para funciones de tres o más
variables.
Aplicación de la 1ª regla de la cadena al cálculo de derivadas direccionales
Sea una superficie z=f(x,y) definida en un subconjunto DR2 y P(xo,yo)D. Dado




un vector unitario u  u 1 , u 2   u 1 i  u 2 j tal que u  1 , queremos calcular la derivada

direccional de la superficie z en el punto P y en la dirección de u .
x  x o  tu 1

La recta afín determinada por P y u tiene como ecuaciones paramétricas 
 y  y o  tu 2
Aplicando la 1ª regla de la cadena.
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Derivadas de una función real de dos variables reales

 z 
  dz 
 z  dx  z  dy  z 
f ’(P, u )=     
   u 1    u 2  z(P)  u 1 , u 2 
  
 dt  P  x  P dt  y  P dt  x  P
 y  P
ya que
dy
dx
 u1 ,
 u2
dt
dt
Recordemos que la aplicación correcta de la regla de la cadena nos exige que existan las
derivadas parciales y sean continuas en el punto P.
Ejercicio:
Hallar la derivada direccional de la función f(x,y)=x2y3 en P=(2,1) y en la dirección del
  
vector v  i  j
 
Solución: f ’(P, u )= z(P)  u 1 , u 2  . En primer lugar hallamos las coordenadas de un


 v
1  1 
1
i
j  u1 
 u2.
vector unitario en la dirección de v , que será u   
v
2
2
2
Por
otro
lado



 f f 
f
f
 2 xy 3 ,3x 2 y 2,1 =(4,12)
 2 xy 3 y
 3x 2 y 2  f (2,1)   , 
x
y
 x y  2,1
 
 1 1  16
 =
8 2.
Luego f ’(P, u )= z(P)  u 1 , u 2  =(4,12) 
,
2
 2 2
Derivación de funciones implícitas
Algunas superficies del espacio de tres dimensiones se pueden representar
mediante ecuaciones cartesianas de la forma F(x,y,z)=0. Se dice que dicha ecuación es
una ecuación implícita de la superficie.
A veces, es posible despejar de la ecuación anterior una de las variables en función de las
otras dos, obteniéndose una o varias ecuaciones de la forma z=f(x,y), pero en general,
esto no siempre es posible.
Ejemplos:
1.-La ecuación implícita: x 2  y 2  z 2  1 describe un elipsoide. Despejando z vemos
que
el
elipsoide
también
viene
definido
por
las
ecuaciones
explícitas
z  1  x 2  y 2

.

2
2
z   1  x  y
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Derivadas de una función real de dos variables reales
2.- La superficie descrita por la ecuación implícita y 2  xz  z 2  e z  4  0 , no se
puede representar por una, o varias, ecuaciones explícitas.
En F(x,y,z)=0 consideramos la variable z dependiente de las variables x e y. Es decir,
z=f(x,y):
0  Fx, y, z   Fx, y, f ( x, y)   G ( x, y)
Si DR2 es el dominio de F, entonces en D:
G F
G F
.

0

x x
y y
Aplicando la segunda regla de la cadena a la función implícita F se obtiene:
x
y
 F
 x  0 
 F

0
 y
F
x
F
y
dx F

dx z
dy F

dy z
z F F


x x z
z F F


y y z
z
x
z
y
F

 z   x
F
 x
z


F
 z
y
 
F
 y
z

Ejercicio:
Considerando z=f(x,y), hallar el gradiente del hiperboloide 3x2+4y2-5z2+1=0 en P(1,2,2).
F
F

 f

f
y
z
z

x
Solución: f(P) =  (P), (P)  . Ahora bien

,

F
F
y
x
y
 x

z
z
F(x,y,z)=3x2+4y2-5z2+1=0
F
F
F
 6x ,
 8y ,
 10z ,
x
y
z
luego
z 6 x z 8 y


,

x 10z y 10z

 6 8   3 2
f(P) =  ,    , 
 20 20   10 5 
Plano tangente a una superficie en un punto
Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie S definida en un subconjunto DR2 y
Po(xo,yo)D. Designamos por zo=f(xo,yo) y por P0 (xo,yo,zo) el punto correspondiente en
la superficie S.
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Derivadas de una función real de dos variables reales
Cuando exista, el plano tangente  a la superficie S en el punto P0, contiene a todas las
rectas tangentes a la superficie por dicho punto. En particular,  contiene a las rectas
tangentes en las direcciones de los ejes x e y respectivamente, cuyas ecuaciones son:
f

(P0 )x  x 0 
z  z 0 
rx  
x
 y  y 0
,
f

(P0 )y  y 0 
z  z 0 
y
ry  
x  x
0

La ecuación cartesiana del plano tangente , puede escribirse en forma explícita :
z=ax+by+c.
Como P0 (xo,yo,zo)   z0=ax0+by0+c  c= z0-ax0-by0 , luego z=ax+by+z0-ax0-by0 
  z-z0=a(x-x0)+b(y-y0). Ahora bien, ha de verificarse que las rectas tangentes rx y ry
estén contenidas en el plano, luego:
f
f

rx    x (P0 )  x  x 0   a  x  x 0   b  y0  y0   a  x  x 0   a  x (P0 )
.

ry  π  f (P0 )  y  y0   a  x 0  x 0   b  y  y0   b  y  y0   b  f (P0 )
y
y

Sustituyendo en  se obtiene:
  z  z0 
f
P0 x  x 0   f P0 y  y 0  (I)
y
x
Otra forma para la ecuación del plano tangente
Si escribimos la superficie S en forma implícita F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, entonces
aplicando la derivación de funciones en forma implícita :
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Derivadas de una función real de dos variables reales

 F 
 f P    x 
 F 
 x 0
 z  P0

sustituyendo en la ecuación del plano tangente se obtiene:

 F 
 f
 y 
 P0   

 y
 F z 

 P0

 F 
 F 
 y 
 x 


  z  z 0  
x
x


0
 F  y  y 0  
 F 
 z 
 z  P0

P
0


 F 
 F 
 F 
    x  x 0     y  y 0     z  z 0   0  FP0   P0 X  0 (II)
 z  P0
 x  P0
 y  P0
Teorema
Si P0 (x0,y0,z0) es un punto de la superficie S definida por la función z=f(x,y) y las
derivadas parciales
f f
existen y son continuas en Po(x0,y0), entonces existe el plano
,
x y
tangente a la superficie S en el punto P0 (x0,y0,z0) siendo su ecuación de la forma (I) ó
(II).
Recta normal a una superficie
Si P0 (x0,y0,z0) es un punto de la superficie S, definida por la función z=f(x,y),
donde existe el plano tangente , entonces existe la recta normal a S en P0 (x0,y0,z0) y es la
recta perpendicular al plano tangente por P0. Sus ecuaciones paramétricas son:

 f 
x  x 0   x   t
  P0


 f 

 y  y 0     t (1)
 y  P0


z  z 0  t

o bien,

 F 
x  x 0     t
 x  P0


 F 

 y  y 0     t
 y  P0


z  z   F   t
0

 z  P0

Ejercicio.
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xy2+3x-z2=4 en el punto P(2,1,-2)
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Derivadas de una función real de dos variables reales
Solución: Sea F(x,y,z)=xy2+3x-z2-4, entonces:


 F F F 
F (P)=  , ,   y 2  3,2xy,2z
 x y z  P


P
 4,4,4  plano
tangente,
luego
su

ecuación es: F (P)  PX =0  4(x-2)+4(y-1)+4(z+2)=0  x+y+z=1.
Aproximación lineal. Diferencial de una función de dos variables
Si una función z=f(x,y) es continua y tiene derivadas parciales
f f
continuas
,
x y
en un punto Po(x0,y0) de su dominio, entonces la superficie tiene un plano tangente en P0
(x0,y0,z0), donde z0=f(x0,y0), de ecuación:
z  z0 
f
P0 x  x 0   f P0 y  y 0  .
y
x
En las proximidades de (x0,y0,z0) la superficie y el plano están próximos una al otro, por
tanto, podemos utilizar los valores del plano para aproximar los de la función. Es decir:
f
P x  x 0   f P0 y  y 0  .
z  f ( x , y)  f ( x 0 , y 0 ) 

 x 0
y
z0
Designemos por T(x,y)  f ( x 0 , y 0 ) 
f
P0 x  x 0   f P0 y  y 0  (ecuación del
y
x
plano tangente).
El plano tangente T(x,y) va a desempeñar para las funciones de dos variables, el mismo
papel que juega la recta tangente como aproximación para las funciones de una sola
variable; permitiendo estimar en muchos casos, de manera sencilla, valores de f en puntos
(x,y) próximos a (x0,y0).
A continuación, la pregunta que debemos hacernos es ¿Cuál sería la exactitud de esta
aproximación?
Sin demostrar admitiremos el teorema del valor medio para funciones de dos variables
que dice que si f tiene derivadas parciales continuas en un entorno E del punto (x0,y0)
entonces:
f ( x , y)  f ( x 0 , y 0 ) 
f
P0 x  x 0   f P0 y  y 0   1 x  x 0    2 y  y 0  ,
y
x
siendo 1, 2 infinitésimos en (x0,y0)   1 x  x 0    2 y  y 0  es un infinitésimo en
(x0,y0) y
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Derivadas de una función real de dos variables reales


f
P0 x  x 0   f P0 y  y 0   1 x  x 0    2 y  y 0  =,
f ( x , y )  f ( x 0 , y 0 ) 
x
y



T ( x , y)
siendo  el error cometido.
Se verifica que si existen las derivadas parciales de segundo orden de la función f, son
  2 f  2 f  2 f 
continuas en el entorno E y M  máx 
,
,
 , entonces
( x , y )E  x 2 xy y 2 



1
M x  x 0  y  y 0
2
2 .
La aproximación lineal de una función de dos variables nos sugiere cómo extender el
concepto de diferencial a las mencionadas funciones de dos variables:

P  P0  v
 
Sea P(x,y) un punto de un entorno E del punto P0(x0,y0). Si v  P0 P  x  x 0 , y  y 0  ,
entonces
z0




f ( x , y)  f ( x 0 , y 0 )  T ( x , y)  f ( x 0 , y 0 ) = f (P0 )  x  x 0 , y  y 0  

z 0  f (P0 )  x  x 0 , y  y 0 
Definición
Se dice que la función z=f(x,y) es diferenciable en el punto P0(x0,y0) si y solo si
su incremento total en dicho punto (al pasar del punto P0 a P) se puede escribir en la
forma:
z 0  f ( x , y )  f ( x 0 , y 0 ) 
f
P0 x  x 0   f P0 y  y 0   O( v ) ()
x
y
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Derivadas de una función real de dos variables reales


 

 z 0  f (P0 )  x  x 0 , y  y 0   O( v) siendo v  P0 P  x  x 0 , y  y 0  y O( v) un

infinitésimo de orden mayor que v , es decir:



f (P)  f (P0 )  f (P0 )  v
O ( v)
0.
  lím

lím
v 0 v
v 0
v
Condición necesaria de diferenciabilidad
Para que f sea diferenciable en un punto P0(x0,y0) es necesario que existan las
derivadas parciales de f en dicho punto.
Ahora bien téngase en cuenta que puede que existan las derivadas parciales en P0 pero
que la función no sea diferenciable en dicho punto. Es decir puede ocurrir que:


f (P)  f (P0 )  f (P0 )  v
0

lím
v 0
v
Condición suficiente de diferenciabilidad
Si existen las derivadas parciales de z=f(x,y) en un entorno del punto P0(x0,y0) y
son continuas en el punto P0, entonces f es diferenciable en P0.
Definición
Se llama diferencial total, o simplemente diferencial, de una función z=f(x,y) y
se designa dz, o bien, df a la expresión.
dz 

f
f
dx 
dy  f  dx, dy 
x
y
NOTA:
Cuando usamos la diferencial para aproximar el incremento de la función en un punto

P0(x0,y0), entonces (dx,dy)= x  x 0 , y  y 0   v . Se designa z  dz v (P0 )  df v (P0 ) .
Proposición
Si una función es diferenciable entonces existe la derivada direccional en cualquier
dirección.
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Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS
11
Derivadas de una función real de dos variables reales
 
Teniendo en cuenta que P(x,y) y P0(x0,y0) y v  P0 P  x  x 0 , y  y 0  la expresión ()
se puede escribir:




z 0  f (P)  f (P0 )  f (P0 )  v  O( v) (). Si dividimos por v
tenemos:


f (P)  f (P0 ) 
v O ( v)
 f (P0 )     .

v
v
v


 v


 
Llamando u   y si v  h  v  hu ( u vector unitario en la dirección de v ).
v


O(v)
Cuando v  h  0    0
v

f(P)  f(P0 )

f ( P  hu )  f ( P )
 f' (P0 , u) que es la derivada direccional de
= lím

lím
v
h 0
h
v 0

f en P0 y en la dirección u . Por tanto:



v
f ' (P0 , u )  f (P0 )  
v
Propiedades del Gradiente de una función en un punto
1. Si el gradiente de f es el vector nulo entonces la derivada direccional de f en
cualquier dirección es cero.

2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por f(P) . El valor

máximo de la derivada direccional es f(P) .

3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por f(P) . El valor

mínimo de la derivada direccional es  f(P) .
4. El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.
  F   F   F  

5. F  P0    Fx ( P0 ), Fy ( P0 ), Fz ( P0 )      ,   ,    es un vector del
  x  P  y  P  z  P 
0
0 
0

espacio normal a la superficie de nivel que pasa por P.
Proposición
Si f es diferenciable en el punto P(x,y) entonces f es continua en P.
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Derivadas de una función real de dos variables reales

En efecto si en () hacemos que v  0  f ( P)  f (P0 )  0  lím f (P)  f (P0 ) ,
v 0

sea cual sea el vector v  R2.
Ejercicios:
1. Hallar la diferencial total para z=xcosy-ycosx
Solución:
dz 
f
f
dx 
dy =(cosy+ysenx)dx+(-xseny-cosx)dy=(cosy+ysenx)dx-(xseny+cosx)dy.
x
y
2. Dada la función f(x,y)= x 2  y 2 , se pide:
a)
Calcular f(1,2) y f(1.05,2.1) y hallar z.
b)
Usar la diferencial total dz para obtener una aproximación de z
Solución:
a) f(1,2)= 12  2 2  5  2.23607
f(1.05,2,1)=
(1.05) 2  (2.1) 2  5.4504  2.33461. Luego
z= f(1.05,2,1)- f(1,2)=0.09854.
b) dz 
x
f
f
dx 
dx 
dy =
x
y
x2  y2
y
x2  y2
dy .
dx  1.05  1  0.05
Sustituyendo (x,y)=(1,2) y 
, entonces
dy  2.1  2  0.1
dz=
1
5
(0.05) 
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2
5
(0.1)  0.11180
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