Problema 1: Diseño del Filtro Digital Pasabajos (LP) de Butterworth

Solución del TPNº 6
Problema 1:
Diseño del Filtro Digital Pasabajos (LP) de Butterworth
|H(ω)|
Especificaciones:
A
A1
fcd = 1KHz
Atenuación > 10 dB a la fa = 2KHz
(fa = frecuencia de atenuación)
A2
0
ωc
ωa
Paso 1) Se desea obtener un filtro digital con las características de atenuación dadas.
Por lo tanto para obtener el prototipo pasabajos digital debemos convertir todas las
frecuencias digitales a analógicas mediante la relación
(
)
(
)
Paso 2) Encontrar el orden n del filtro analógico Butterworth.
La atenuación para el filtro Butterworth viene dada por la expresión
[
(
) ] , de donde se puede despejar el orden n del filtro:
(
)
(
(
(
)
)
)
Debo tomar el número entero superior, para asegurar que la atenuación sea la requerida
(At >10dB), por lo tanto tomamos: n = 2
Paso 3) Obtener de la tabla los coeficientes del filtro analógico Butterworth
normalizado correspondiente al orden n calculado, en este caso para n = 2.
( )
√
Si no se dispone de tablas, se puede encontrar los polos de Butterworth como
la expresión
( )
(
)(
) (
)
(
)
, con k = 1, 2,…, 2n, y armar
, solamente con los polos que yacen en el semiplano izquierdo del plano s.
ω
Solución del TPNº 6
Paso 4) Reemplazar s en la función H(s) obtenida, por la correspondiente función de
transformación bilineal. En este caso es un pasabajos analógico a un pasabajos digital:
(LP-LP)
(
)
;
con
Y se obtendrá el filtro digital deseado.
Cálculos:
( )
(
)
[
(
)
(
)
(
)
√
(
)
(
(
)
√ [
(
√
)
]
√
(
)
)(
)
(
)
(
)
(
)
[
es
)
)
)
√
;
(
(
(
Siendo
]
; y
√
]
√
Reemplazando obtenemos la función transferencia del filtro digital deseado:
(
)
Y el FD normalizado, con B1= 1, resulta:
(
)
Solución del TPNº 6
Problema 2:
Diseño del Filtro Digital Pasabajos (LP) de Butterworth
|H(ω)|
A
Especificaciones:
fcd = 2KHz
A1
Atenuación > 10 dB hasta la fa = 1KHz
(fa = frecuencia de atenuación)
A2
0
ω a ωc
ω c ωa
(Filtro Pasa altos)
(Prototipo pasa bajos)
Paso 1) Se desea obtener un filtro digital HP con las características de atenuación
iguales a las del Ejercicio 1. Por lo tanto podemos usar el mismo prototipo pasa bajos
analógico.
Paso 2) Ya que el prototipo debe ser pasa-bajos, se usa la característica de atenuación
igual que en el Ejercicio 1, o sea que las frecuencias de corte y atenuación se deben usar
(
)
invertidas al calcular la relación ωaA /ωcA en la ecuación:
(
(La frecuencia angular de corte ωcA =2 1KHz, y la de atenuación ωcA =2 2KHz
)
)
Entonces el orden n del filtro analógico Butterworth es n = 2.
Paso 3) Los coeficientes del filtro analógico Butterworth normalizado correspondiente
para n = 2 son los mismos del Ejercicio 1:
( )
√
Paso 4) Reemplazar s en la función H(s) obtenida, por la correspondiente función de
transformación bilineal. En este caso es un pasa-bajos analógico a un pasa-altos digital:
(
(LP-HP)
)
;
con
Y se obtendrá el filtro digital deseado.
Cálculos:
( )
(
)
[
(
√
)
]
√ [
(
)
]
ω
Solución del TPNº 6
(
Siendo
)
(
)
(
)
(
)
(
√
)
(
(
)(
)
(
)
(
√
)
(
es
(
)
(
)
)
[
√
;
)
; y
√
]
√
Reemplazando obtenemos la función transferencia del filtro digital deseado:
(
)
Y el FD normalizado, con B1= 1, resulta:
(
)