Madrid - MasMates

Derivadas
Selectividad CCNN Madrid
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
1. [2014] [JUN-A] Calcular justificadamente: a) lim
1-2x-ex+sen(3x)
x2
x0
a+ln(1-x) si x < 0
2. [2014] [JUN-B] Dada la función f(x) =
x2e-x
si x  0
; b) lim
x
5x2+2 (x-6)
x2-1 (2x-1)
(donde ln denota logaritmo neperiano) se pide:
a) Calcular lim f(x) y lim f(x).
x
x-
b) Calcular el valor de a para que f(x) sea continua en todo .
c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f', donde sea posible.
3. [2013] [EXT-A] Dada la función f(x) =
27
4
+
, se pide:
x-4 2x+2
a) Hallar las asíntotas de su gráfica.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión.
c) Esbozar la gráfica de la función.
4. [2013] [EXT-B] Dada la función f(x) = e1/x, se pide:
a) Calcular lim f(x), lim f(x) y estudiar la existencia de lim f(x).
x+
x-
x0
b) Esbozar la gráfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimeinto y decrecimiento de f(x) y sus asíntotas.
5. [2013] [JUN-A] Dada la función f(x) =
x3
(x-3)2
, se pide:
a) Hallar las asíntotas de su gráfica.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2.
6. [2012] [EXT-A] Dada la funcion f(x) =
3x+A
si x  3
, se pide:
-4+10x-x si x > 3
a) Hallar el valor de A para que f(x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor de A?
b) Hallar los puntos en los que f'(x) = 0.
c) Hallar el maximo absoluto y el mnimo absoluto de f(x) en el intervalo [4,8].
2
7. [2012] [JUN-A] Hallar a, b, c de modo que la funcion f(x) = x3+ax2+bx+c alcance en x = 1 un maximo relativo de valor 2, y tenga
en x = 3 un punto de inflexion.
8. [2012] [JUN-B] Dadas las funciones f(x) =
3x+ln(x+1)
2
x -3
, g(x) = (ln x)x, h(x) = sen(-x), se pide:
a) Hallar el dominio de f(x) y el lim f(x).
x+
b) Calcular g'(e).
c) Calcular, en el intervalo (0,2), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los
extremos relativos de h(x).
9. [2011] [EXT-B] Dada la función f(x) =
e1/x si x < 0
k
si x = 0
hallar el valor de k para que f sea continua en x = 0. Justificar la
cosx-1
si x > 0
senx
respuesta.
10. [2011] [JUN-A] a) Calcular el siguiente límite:
17 de julio de 2015
lim
x+
x
x+ x
.
Página 1 de 5
Derivadas
Selectividad CCNN Madrid
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
b) Demostrar que la ecuación 4x5+3x+m = 0 solo tiene una raíz real, caulquiera que sea el número m. Justificar la respuesta
indicando qué teoremas se usan.
ax4+1
, se pide:
x3
a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos
en los que f tiene un extremo relativo.
b) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a = 1.
c) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.
11. [2011] [JUN-B] Dada la función f(x) =
12. [2010] [EXT-A] Calcular los límites: lim (1+arctan x)a/x ; lim
3x+2ex
x 7x+5ex
x0
.
13. [2010] [EXT-B] Los puntos P(1,2,1), Q(2,1,1) y A(a,0,0) con a > 3, determinan un plano  que corta a los semiejes positivos de OY y
OZ en los puntos B y C respectivamente. Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y elorigen
de coordenadas tenga volumen mínimo.
x2+2
, se pide:
x2+1
a) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x).
b) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de f(x).
c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f(x).
d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas y = x+2, x = 1.
14. [2010] [JUN-A] Dada la función: f(x) =
xlnx
si x > 0
, donde ln x significa logaritmo neperiano de x, se pide:
2x
x+k si x  0
a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en .
b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1.
15. [2010] [JUN-B] Dada la función: f(x) =
ln(1+ax)-bx
si 1+ax > 0 y x  0
x2
, se pide:
1
si
x=0
2
a) Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la función f es continua en x = 0.
b) Para a = b = 1 estudiar si la función es derivable en x = 0, aplicando la definición de derivada.
16. [2009] [EXT-A] Dada la función f(x) =
17. [2009] [EXT-B] a) Dada la función f(x) =
x
1-x2
, hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta
tangente sea 1.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 0.
c) Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2. Demostrar que existe al
menos un punto c en el intervalo (0,2) tal que g'(c) = 1.
18. [2008] [JUN-A] Estudiar los siguientes límites:
(a) lim ex-x2 .
x+
(b) lim
x+
4x+5x
3x+6x
17 de julio de 2015
Página 2 de 5
Derivadas
Selectividad CCNN Madrid
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
19. [2008] [JUN-A] Obtener los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función:
f(x) = x ln(x)
2
siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x.
20. [2007] [JUN-A] Se considera la función f(x) = x2+m, donde m>0 es una constante.
a) Para cada valor de m hallar el valor de a>0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto a,f(a) pase por el origen de
coordenadas.
b) Hallar el valor de m para que la recta y = x sea tangente ala gráfica de f(x).
21. [2007] [JUN-B] Dibujar la gráfica de la función f(x) =
|x|
indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y
2-x
asíntotas.
3x+2
22. [2006] [EXT-A] a) Calcular los valores de a y b para que la función f(x) =
si
x<0
2
x +2a·cosx si 0  x <  sea continua para todo valor
ax2+b
si
x
de x.
b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior.
23. [2006] [JUN-A] a) Dibujar la gráfica de la función f(x) =
2x
indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y
x+1
asíntotas.
b) Demostrar que la sucesión an=
2n
es monótona creciente.
n+1
c) Calcular lim n2 an+1-an .
x
1
, se pide:
x
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto a,f(a) , para a > 0.
b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en a) con los dos ejes coordenados.
c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima.
24. [2005] [EXT-A] Dada la función f(x) =
x2
donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1, hallar un punto a,f(a) tal
x-1
que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX.
25. [2005] [EXT-B] Dada la función f(x) = ln
26. [2005] [JUN-B] Calcular los siguientes límites:
a) lim
x
x2+x -
x2-x .
b) lim x arctg ex x

.
2
27. [2004] [EXT-A] Sabiendo que una función f(x) tiene como derivada f'(x) = (x-4)2 x2-8x+7 :
a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
b) Hallr los máximos y mínimos relativos de f.
c) ¿Es el punto x = 4 un punto de inflexión de f? Justificar razonadamente la respuesta.
28. [2004] [JUN-A] Calcular la base y la altura del triángulo isosceles de perímetro 8 y área máxima.
17 de julio de 2015
Página 3 de 5
Derivadas
Selectividad CCNN Madrid
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
29. [2004] [JUN-B] Dada la función f(x) = 1-x2, se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a,f(a) , donde 0 < a < 1.
b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivcamente.
c) Determiar el valor de a  (0,1) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P a,f(a) es el doble de la distancia entre el
punto B y P a,f(a) .
30. [2003] [JUN-A] Calcular los siguientes límites (donde "ln" significa logaritmo neperiano):
ln cos(3x)
4+x - 4-x
b) lim
a) lim
4x
x0 ln cos(2x)
x0
31. [2003] [JUN-B] a) Dibujar la gráfica de la función g(x) = ex-x.
1
b) Calcular el dominio de definición de f(x) =
y su comportamiento para x 8 y x -8.
ex-x
c) Determinar (si existen) los máximos y mínimos absolutos de f(x) en su dominio de definición.
32. [2002] [EXT-A] Se considera la función real de variable real definida por f(x) =
3
x-2 si x  2
x(x-2) si x < 2
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad.
b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (3,1).
33. [2002] [EXT-B] Sea f(x) una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f(0) =
1; f(1) = 2; f'(0) = 3; f'(1) = 4. Se pide:
a) Calcular g'(0), siendo g(x) = f x+f(0) .
b) Calcular lim
2 f(x) 2-f(x+1)
x0
ex-1
34. [2001] [EXT-B] Sea P(x) un polinomio de grado 4 tal que:
i) P(x) es una función par.
ii) Dos de sus raíces son: x = 1, x = - 5.
iii) P(0) = 5.
Se pide:
a) Hallar sus puntos de inflexiñon.
b) Dibujar su gráfica.
35. [2001] [JUN-B] a) Determinar los extremos relativos de la función f(x) = x2-4x+2. Dibujar su gráfica.
b) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).
36. [2000] [EXT-A] Sea la función f(x) = 2x + sen2x.
a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo.
b) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos.
37. [2000] [EXT-A] Dados tres números reales cualesquiera r1, r2, r3, hallar el número real x que minimiza la función:
D(x) = r1-x
2
+ r2-x
2
+ r3-x 2.
38. [2000] [JUN-A] Sea f(x) = ax3+bx2+cx+d un polinomio que cumple f(1) = 0, f'(0) = 2, y tiene dos extremos relativos para x = 1 y
x = 2.
a) Determinar a, b, c y d.
b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
17 de julio de 2015
Página 4 de 5
Derivadas
Selectividad CCNN Madrid
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
39. [2000] [JUN-B] a) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0,4] que tenga al
menos un máximo relativo en el punto (2,3) y un mínimo relativo en el punto (3,4).
b) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado?
Soluciones
6. a) 8; deriv: -{3} b) 5 c) max: (5,21); min: (8,12) 7. -9, 15, -5 8. a)
3
,1
2

,1 ; min:
2
3,+ ; 3 b) 1 c) (,0); max:
9. 0 10. a) 1 11. a) 3; max: -1; min: 1 b) x
Y
3
X
-1
-2
1 2 3 4
= 0; y = x c)
-3
3 Y
1
2
12. ea;
5
9
13.
2
3
14. a) crec: (0,+) b) 
c)
3
X d)
1
-1
-2
1 2 3
12+
4
15. a) 0 b) (0,0), (1,0) c) y =
1
1
x2
2
16. a) a=b=1 b) si
-4
17. a) (0,0), - 3,
3
,
2
3,
- 3
2
b) y = x 18. (a) + (b) 0 19. max:
1
e2
; min: 1 ; p.i:
1
e
20. a)
m b)
1
4
5 Y
3
1
21.
22. a) 1, 2 b) derivable en
X
-5 -3 -1 1 3 5 7
-3
Y
3
-{0} 23. a) Dom: -{1}. Crec: . Asint: x = -1, y = 2.
1
-3
-1
-2
X
c) 2 24. a) x+a2y-2a = 0 b) 2a,0 , 0,
2
a
c) 1 25. (2,ln4) 26. a) -1 b) no 27. a) crec:
1 2 3
3
(-,1)(7,+) b) max: 1; min: 7 c) si 28.
8 4 3
,
3
3
29. a) 2ax+y-a2-1 = 0 b) A 0,a2+1 , B
a2+1
2a
,0
c)
2
2
30. a)
9
1
b)
31. a)
4
8
2
1
-2 -1
1
max: (0,1) 32. a) Cont: ; der: -{2} b) y =
1
x 33. a) 2 b) 8 34. a) 1 b)
3
35. a) min: (2,-2)
-1
Y
b) ;
X
1
1
;
c)
e8-8 e-8+8
1 2
Y
X
1 2 3
b) y = -2x+1; y = 6x-23 36. a) no b)
-2
crec: ; sin extremos; p.inf:
17 de julio de 2015
r1+r2+r3
1 -3
-5

k 37.
38. a) ,
, 2,
b) 1: max; 2: min. 39. b) 5
3 2
6
2
3
Página 5 de 5