Guía y Tarea 6 - Universidad de Chile

Termodinámica 2005
G ONZALO G UTIERREZ
PABLO M OYA F UENTES
Universidad de Chile, Facultad de Ciencias,
Departamento de Fı́sica, Santiago, Chile
Guı́a 6
Martes 27 de Septiembre 2005
Tarea 6 : 3-13-15-21-26-32
Entrega: Viernes 7 de Octubre
1.
Fluido ideal de Van der Waals
1. Encuentre la relación entre el volumen y la temperatura de un fluido ideal de van der Waals
en una expansión cuasi-estática adiabática (es decir, en una expansión isentrópica, con ðQ =
T dS = 0, o S = constante).
2. 2 moles de de CO2 , inicialmente a una temperatura de 0◦ C, ocupan un volumen igual a
45 litros. Luego, el gas se expande adiabática y cuasiestáticamente hasta que la temperatura
cae a −50◦ C. Encuentre la presión inicial del gas, ası́ como la presión y el volumen final
que ocupa el gas. Asuma que el CO2 puede ser representado por un fluido ideal de Van der
Waals con constantes:
Gas
CO2
Cl2
a Pa m6
0.401
0.659
b × 10−6 m3
42.7
56.3
c
3.5
2.8
Cuadro 1: Constantes de Van der Waals para algunos gases
¿A que presión aproximada el término (−a/v 2 ) en la ecuación de estado de Van der Waals
puede hacer una corrección del 10 % a la presión a temperatura ambiente?
3. En una máquina particular un gas es comprimido en el golpe inicial del pistón. Mediciones
de la temperatura instantánea, llavada a cabo durante la compresión, revela que la temperatura aumenta de acuerdo con :
η
V
T0 ,
T =
V0
donde T0 y V0 son la temperatura y el volumen iniciales, y η es una constante. El gas se
comprime al volumen V1 (donde V1 < V0 ). Asuma que el gas es un fluido de Van der Waals,
el proceso es cuasiestático y η = −1/2.
a) Calcule el trabajo W hecho sobre el gas.
b) Calcule el cambio en energı́a ∆U del gas.
c) Calcule la transferencia de calor Q al gas (a través de los muros del cilindro) usando los
resultados de 3a y 3b.
Muestre que sus resultados para ∆U y para W (y entonces para Q) se reducen a los resultados
correspondientes a un gas ideal monoatómico cuando las constantes de van der Waals a y b
van a cero, y c = 32 . Recuerde que ln(a + x) ' x, para un x pequeño.
1
Gas
(ideal)
Hg
h
A
Figura 1: Termómetro de gas ideal a volumen constante.
4. Considere un gas de Van der Waals contenido en un “termómetro de gas ideal a volumen
constante” como indica la Figura 1
a) Asumiendo que se sabe por adelantado que el gas obedece una ecuación de estado
de van der Waals, muestre que el conocimiento de dos temperaturas de referencia le
permite a uno evaluar las constantes de van der Waals a y b.
b) Sabiendo las constantes a y b, muestre que entonces el aparato puede ser usado como
un termómetro, para medir cualquier otra temperatura.
c) Muestre que el conocimiento de tres temperaturas de referencia le permite a uno determinar cuando un gas satisface la ecuación de estado de van der Waals, y si esto ocurre,
le permite a uno medir cualquier otra temperatura.
5. Un mol de un gas ideal monoatómico y un mol de Cl2 están contenidos en un cilindro rı́gido y están separados por un pistón interno movible. Si los gases están a una temperatura
de 300 K se observa que el pistón está precisamente en el centro del cilindro. Encuentre la
presión de cada gas. Trate el Cl2 como un gas de van der Waals (vea el cuadro 1).
2.
Radiación Electromagnética
6. Los cosmólogos consideran el universo como una cavidad electromagnética conteniendo radiación que ahora está a una temperatura de 2.7 K. ¿Cuál será la temperatura de la radiación
cuando el volumen del universo sea el doble del valor presente? Asuma que la expansión es
isentrópica (siendo esto una predicción no obvia de los cálculos del modelo cosmológico).
7. Suponiendo que la radiación electromagnética que rellena el universo está en equilibrio a
T = 2,7 K, ¿cuál es la presión asociada con esta radiación? Exprese la respuesta tanto en
pascales como en atmósferas.
8. La densidad de materia (primariamente átomos de hidrogeno) el el espacio intergaláctico es
tal que su contribución a la presión es del orden de 10−23 Pa.
a) ¿Cuál es la densidad de materia aproximada (en atomos/m3 ) en el espacio intergalactico?
b) ¿Cuál es la razón entre la energı́a cinética de la materia y la energı́a de radiación en el
espacio intergaláctico? (Recuerde los problemas 6 y 7)
c) ¿Cuál es la razón entre la energı́a de la materia total (es decir, la suma de la energı́a
cinética más la energı́a relativista mc2 ) y la energı́a de radiación en el espacio intergaláctico?
2
9. Un cuerpo negro esférico de radio r a temperatura T está rodeado por un cascarón esférico,
delgado y concéntrico de radio R. El cascarón se puede considerar negro en la superficie
interna como en la externa. Muestre que el factor con que el cascarón reduce la tasa de enfriamiento del de cuerpo negro está dada por la expresión
aR2
,
(R2 + br2 )
y encuentre el valor numérico de los coeficientes a y b. Considere el vacı́o el espacio entre el
cascarón y el cuerpo.
10. El flujo de radiación solar sobre la superficie de la Tierra es aproximadamente de 0.1. W/cm2 .
Encuentre la temperatura del Sol asumiendo que es un cuerpo negro.
11. Considere el Sol y la Tierra como cuerpos negros. Considere también que el espacio entre
ellos es vacı́o y que el calor transferido por los océanos y la atmósfera a la Tierra es tan efectivo como para mantener la temperatura de la superficie de la Tierra constante. La temperatura
del Sol es TS = 6000 K, el radio de la Tierra es RE = 6 × 108 cm, el radio del Sol es RS = 7 ×
101 0 cm y la distancia Sol–Tierra es d = 1.5 × 101 3 cm.
Encuentre la temperatura de la Tierra.
Encuentre la fuerza de la radiación sobre la Tierra.
Compare los resultados anteriores con los correspondientes a un asteroide perfectamente negro, esférico de radio R = 0.1 cm moviéndose en una órbita perfectamente circular
de radio d alrededor del Sol.
12. Haciendo aproximaciones razonables estime la temperatura de la superficie de Neptuno.
Desprecie cualquier posible fuente interna de calor. ¿Que aproximaciones debe hacer acerca
de la superficie y atmósfera del planeta? El radio de Neptuno es 2.2 × 104 km y la distancia
media Neptuno–Sol es de 4.5 × 109 km.
13. Demuéstrese que para la radiación del cuerpo negro:
i) P V 4/3 = const, si el proceso es isentrópico.
ii)
S
V
= 43 bT 3
iii) cp = ∞
3.
Banda elástica
14. Para el modelo de la banda elástica, calcule el cambio fraccional en (L − L0 ) que resulta por
un incremento δT en la temperatura, a tensión constante. Exprese el resultado en términos
de la longitud y la temperatura.
15. Una banda elástica es estirada en una cantidad dL, a T constante. Calcule la transferencia de
calor ðQ a la banda elástica. También calcule el trabajo realizado. ¿Comó se relacionan estas
cantidades y por qué?
16. Si se encontrara que la energı́a de una banda elástica no estirada crece cuadráticamente con
T , de modo que la ecuación (U = cL0 T ) tuviese que ser cambiada por U = cL0 T 2 , ¿requerirı́a
la ecuación
L − L0
T = bT
, L0 < L < L1 ,
L1 − L0
alguna alteración? Nuevamente encuentre la ecuación fundamental de la banda elástica.
3
17. La ecuación de estado de un cilindro elástico ideal es
L
L2
T = KT
− 02 ,
L0
L
siendo K una constante, y L0 , longitud correspondiente a la tensión nula, función solo de
T . Demuéstrese que si el cilindro se estira reversible e isotérmicamente desde L = L0 hasta
L = 2L0 :
a) El calor transferido es
5
Q = −KT L0 1 − α0 T
2
donde α0 , coeficiente de dilatación lineal a tensión nula, viene expresado por
α0 =
1 dL0
.
L0 dT
b) La variación de energı́a interna es
∆U =
5
KT 2 L0 α0 .
2
18. Se define el módulo de Young isotérmico Y como
L ∂T
,
Y =
A ∂L T
donde A es la sección del hilo. Demuéstrese que, en el caso de una sustancia elástica ideal
cuya ecuación de estado está dada en el problema (17),
a)
∂U
∂L
= AY α0 T .
T
b)
4.
19.
∂U
∂T
= Lα0 T .
T
Capacidades calóricas y otras derivadas
a) Muestre que para el gas ideal simple multicomponente
cv = c̄R
α = 1/T
κT = 1/P
y
c̄ 1
c̄ + 1 P
cP = (c̄ + 1)R ,
κs =
donde
c̄ =
r
X
cj xj =
j=1
r
1 X
cj Nj .
N j=1
b) ¿Cuál es el valor de c̄ para un gas ideal monoatómico?
4
c) Usando los valores encontrados en la parte (19a), corrobore las ecuaciones (cP = cv +
T V α2
T V α2
N κT ) y (κT = κs + N cp ).
20. Un mol de gas obedece a la ecuación de estado de van der Waals
P =
RT
a
−
V −b V2
con a y b constantes. Si su energı́a interna por mol está dada por u = cT − a/V (donde V es
el volumen molar, a es la constante de la ecuación de estado y c una constante), calcular las
capacidades calóricas molares cv y cP .
21. Se ha encontrado que el coeficiente de dilatación térmica α de cierto lı́quido está dado por
α = A − BP , donde A y B son constantes.
a) Expresar dV en términos de α y κT (κT es el coeficiente de compresibilidad isotérmica).
b) Calcular (∂κT /∂T )P .
c) Calcular (∂κT /∂V )P .
22. Una ecuación de estado aproximada de un gas real a presiones moderadas, ideada para tener
en cuenta el tamaño finito de las moléculas, es P (v − b) = RT , donde R y b son constantes.
Demuéstrese que:
a)
α=
1/T
;
1 + bP/RT
κT =
1/P
.
1 + bP/RT
b)
23. Una ecuación de estado aproximada de un gas real a presiones moderadas es P v = RT (1 +
B/v), donde R es una constante y B función solamente de T . Demuéstrese que:
a)
α=
1 v + B + T (dB/dT )
;
T
v + 2B
b)
κT =
1
1
.
P 1 + BRT /P v 2
∂T
24. Corrobore la ecuación ( ∂V
= − ∂P
∂S V,N ) para un gas ideal simple multicomponentes,
S,N
mostrando que tanto el lado izquierdo como el derecho de la ecuación son iguales a −T /c̄V
(donde c̄ fue definida en el problema 19).
25. Calcule el coeficiente de expanción α y la compresibilidad isotérmica κT en términos de P y
v para un sistema con la ecuación de estado de van der Waals.
26. Calcule cP , cv , κs , y κT para un sistema con ecuación fundamental
S=
R2
v0 θ
1/3
(N V U )1/3 .
Con estos valores corrobore la validez de las ecuaciones cP = cv +
5
T V α2
N κT
y κ T = κs +
T V α2
N cp
.
27. De las ecuaciones
cP = cv +
T V α2
N κT
κT = κs +
T V α2
N cp
y
muestre que
cP /cv = κT /κs .
28. Una ecuación fundamental simple que exhibe algunas de las propiedades cualitativas de un
sólido cristalino tı́pico es
2
u = Aeb(v−v0 ) s4/3 es/3R ,
donde A, b, y v0 son constantes positivas.
a) Muestre que tal sistema satisface el teorema de Nernst.
b) Muestre que cv es proporcional a T 3 a temperaturas bajas. Esto es comunmente observado (y fue explicado por P. Debye por un análisis mecánico estadı́stico en 1912).
c) Muestre que a temperaturas altas cv → 3kB . Este es el “valor de equipartición”, que es
observado y que puede ser explicado con un análisis mecánico estadı́stico.
d) Muestre que para presión cero el coeficiente de expansión térmica en este modelo se
anula —un resultado que es incorrecto—. Indicación: Calcule el valor de v a P = 0.
29. Aquı́ es dada la densidad del mercurio a varias temperaturas en g/cm3 .
13.6202 (−10 ◦ C) 13.5217 (30 ◦ C)
13.3283 (110 ◦ C)
◦
◦
13.5955 (0 C)
13.4973 (40 C)
13.1148 (200 ◦ C)
◦
◦
13.5708 (10 C)
13.4729 (50 C)
12.8806 (300 ◦ C)
◦
◦
13.5462 (20 C)
13.3522 (100 C) 12.8572 (310 ◦ C)
◦
Calcule α a 0 C, a 45 ◦ C, a 105 ◦ C, y a 305 ◦ C.
¿Se deberı́a marcar la caña de un termómetro mercurio-vidrio con divisiones iguales para
intervalos de temperaturas iguales si el coeficiente de expansión térmica del vidrio se asume
como extrictamente constante?
30. Para un material particular cP , α, y κT pueden ser representados empiricamente por series
de potencias en la vecindad de (T0 , P0 ), como sigue
cP = c0P + Ac τ + Bc τ 2 + Dc p + Ec p2 + Fc τ p
α = α0 + Aα τ + Bα τ 2 + Dα p + Eα p2 + Fα τ p
κT = κ0T + Aκ τ + Bκ τ 2 + Dκ p + Eκ p2 + Fκ τ p ,
donde
τ ≡ T − T0 ;
p ≡ P − P0 .
Encuentre explicitamente el volumen molar como una función de T y de P en la vecindad
de (T0 , P0 ).
31. Calcule la entropı́a molar s(T, P0 ) para una presión fija P0 y para temperatura T en la vecindad de T0 . Asuma que cP , α, y κT son dados en la vecindas de (T0 , P0 ) como en el problema
anterior, y suponga que s(T0 , P0 ) es conocido.
32. La ecuación de estado de una sustancia elástica ideal viene dada por
L
L2
T = KT
− 02 ,
L0
L
siendo K una constante y L0 (valor de L para tensión nula) función solamente de la temperatura.
6
a) Demuéstrese que el módulo de Young isotérmico (ver problema (17)) viene dado por
KT
L
2L2
Y =
+ 20 .
A
L0
L
b) Pruébese que el módulo de Young isotérmico para tensión nula es
Y0 =
3KT
A
c) Demuéstrese que el coeficiente de dilatación lineal α = 1/L(∂L/∂T )T está dado por
α = α0 −
T
1 L3 /L30 − 1
= α0 −
,
AY T
T L3 /L30 + 2
siendo α0 el valor del coeficiente de dilatación térmica para tensión nula, o sea
α0 =
1 dL0
.
L0 dT
d) Supóngase para cierta muestra de caucho los valores siguientes: T = 300 K, K =1.33
× 103 dina/grado, A =1 mm2 y α0 = 5 × 10−4 grado−1 . Calcúlense T, Y y α para los
siguientes valores de L/L0 : 0.5 , 1.0 , 1.5 , 2.0. Hállese gráficamente como dependen T,
Y y α de la razón L/L0
33. Calcule la transferencia de calor a un sistema particular si 1 mol es tomado de (T0 , P0 ) a
(2T0 , 2P0 ) a lo largo de una lı́nea recta en el plano T –P . Es sabido que para este sistema:
α(T, P ) = α
0
T
T0
12
, donde α0 es una constante
cP (T, P ) = c0P
, una constante
κ0T
, una constante.
κT (T, P ) =
∂T
Indicación: Use la relación (∂s/∂P )T = −(∂v/∂T )P , análoga a las ecuaciones ( ∂V
=
S,N
∂P
− ∂S V,N )
∂
∂
1
P
a ( ∂V
T U,N = ∂U T V,N ) (y que serán sistemáticamente derivadas más adelante), para
establecer que ðQ = T ds = cP dT − T vα dP .
7