Problemas Adicionales

Problemas de Probabilidad y Estadı́stica 61.09
Curso 23, primer cuatrimestre de 2009
Sebastian Grynberg
9 de marzo de 2009
“Uno es el sol, uno el mundo,
sola y única es la luna;
ansı́, han de saber que Dios
no crió cantidá ninguna.
El ser de todos los seres,
sólo formó la unidá;
lo demás lo ha criado el hombre
después que aprendió a contar”
(Martı́n Fierro)
1
Índice
1. Nociones básicas
1.1. Urnas y bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Monedas y dados . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Caminos, palabras y paseos . . . . . . . . . . . .
1.4. Naipes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana)
1.6. Conjuntos geométricos . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Dı́gitos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Simulación de experimentos aleatorios . . . . . .
1.9. Tiempos de espera y espacios discretos infinitos .
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2. Variables aleatorias
2.1. Función de distribución . . . . . . .
2.2. Descomposición de Jordan . . . . . .
2.3. Construcción de variables aleatorias
2.4. Esperanzas . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Desigualdad de Chebychev . . . . . .
2.6. Transformación de variables . . . . .
2.7. Truncamientos . . . . . . . . . . . .
2.8. Densidades generalizadas . . . . . .
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3. Modelos multivariados
3.1. Modelos discretos . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Modelos continuos . . . . . . . . . . . . .
3.4. Lı́nea de regresión y esperanza condicional
3.5. Cálculos por condicionales. . . . . . . . .
3.6. Mı́nimos y estadı́sticos de orden . . . . . .
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4. Procesos aleatorios
4.1. Distribución binomial . .
4.2. Distribución geométrica .
4.3. Distribución Pascal . . . .
4.4. Cuentas con exponenciales
4.5. Procesos de Poisson . . .
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5. Distribución Normal y Teorema Central del Lı́mite
5.1. La distribución normal estandar . . . . . . . . . . . . .
5.2. Cuentas con Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Ley débil de los grandes números para enayos Bernoulli
5.4. Teorema de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Teorema Central del Lı́mite . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.
1.1.
Nociones básicas
Urnas y bolas
1. Una urna contiene tres bolas: una roja, una verde, y una azul. Considerar el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de la urna, reponerla en la urna y extraer
nuevamente una bola de la urna. Describir el espacio muestral correspondiente. Si en cada
extracción todas las bolas en la urna tienen la misma posibilidad de ser extraı́das, cuál es la
probabilidad de cada punto del espacio muestral?
2. Repetir el Ejercicio 1 cuando la segunda bola se extrae sin reponer la primera.
3. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas verdes. En cada paso se extrae una bola al azar, si
es verde se la reemplaza en la urna por una bola roja. Sea N la cantidad de pasos necesarios
para extraer una bola roja. Para cada n ∈ N calcular la probabilidad pn := P(N = n).
4. En una urna hay una bola verde y dos bolas rojas. En cada paso se extrae una bola al
azar y se la repone junto con otra del mismo color.
(a) Calcular la probabilidad de que al finalizar el segundo paso la urna contenga dos bolas
verdes y tres rojas.
(b) Si al finalizar el segundo paso la urna contiene dos bolas verdes y tres rojas, ¿cuál es la
probabilidad de que en el primer paso se haya extraı́do una bola roja?
5. Dos bolas se pintan de rojo o de verde, independientemente y con probabilidad 1/2 para
cada color, y se colocan en una urna.
(a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cuál es la probabilidad de que la otra bola sea
roja?
(b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cuál es la probabilidad de que la otra sea
roja?
1.2.
Monedas y dados
6. Tres jugadores lanzan una moneda equilibrada cada uno. Si se observan resultados distintos, el juego termina. Si no, comienzan de nuevo y vuelven a lanzar sus monedas. ¿Cuál es la
probabilidad de que el juego termine en la primera ronda de lanzamientos?
7. Se arrojan dos dados.
(a) Cuál es la probabilidad que al menos uno de los resultados haya sido el 6?
(b) Si los resultados son diferentes, cuál es la probabilidad de que al menos uno sea el 6?
(c) Si al menos uno resultó el 6. Cuál es la probabilidad que la suma de ambos supere 8?
8. Lucas arroja seis veces un dado y gana si obtiene al menos un as. Monk arroja doce veces
un dado y gana si obtiene al menos dos aces. ¿Cuál de los dos tiene la mayor probabilidad de
ganar?
3
9. ¿Cuál de las siguientes apuestas es la más conveniente: apostar a que se obtiene al menos
un as en cuatro tiros de un dado o apostar a que se obtiene al menos un doble as en 24 tiros
de dos dados?
10. Lucas utiliza el siguiente sistema para jugar a la moneda: apuesta $ 1 a que saldrá cara. Si
gana, se retira. Si pierde, duplica la apuesta y entonces cualquiera sea el resultado, se retira.
¿Cuál es la probabilidad que se retire como ganador? ¿Por qué este sistema no es usado por
todo el mundo?
11. Se tienen dos monedas. Una moneda está cargada con probabilidad p1 de salir cara y
la otra con probabilidad p2 . Se puede optar por una de las siguientes estrategias: la primera
consiste en elegir una moneda al azar y arrojarla dos veces; la segunda consiste en arrojar
ambas monedas. El juego se gana si salen dos caras, en caso contrario se pierde. ¿Cuál de las
dos estrategias es más conveniente?.
12. Harvey “dos caras” tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una
moneda al azar la arroja al aire dos veces consecutivas. Si el primer resultado fue cara, cuál
es la probabilidad de que el segundo también lo haya sido.
13. Harvey “dos caras” tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una
moneda al azar la arroja al aire y sale cara.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una de las monedas normales?
(b) Harvey arroja la misma moneda por segunda vez y de nuevo sale cara. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea una de las monedas normales?
(c) Harvey arroja la misma moneda por tercera vez y de nuevo sale ceca. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una de las monedas normales?
1.3.
Caminos, palabras y paseos
14. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hasta
C (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos está bloqueado con probabilidad 0.2
independientemente de los demás. Hallar la probabilidad de que exista un camino abierto
desde A hasta B sabiendo que no hay ningún camino abierto desde A hasta C.
A
B
C
15. ¿Cuántas palabras distintas pueden formarse permutando las letras de la palabra “manzana” y cuántas permutando las letras de la palabra “aiaiiaiiiaiiii”?
16. La figura siguiente representa el mapa de una localidad turı́stica de 40 manzanas situada
en la costa atlántica.
4
H
Q
C
P
Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado
en el punto P , es una sucesión de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la
izquierda o hacia abajo (ver la figura). Se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto
de pescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos).
(a) Calcular la probabilidad de pasar por el quiosco de diarios y revistas situado en el punto
Q.
(b) Sabiendo que se pasó por el café situado en el punto C, hallar la probabilidad de haber
pasado por el quiosco de diarios y revistas.
17. El experimento consiste en permutar aleatoriamente la letras C, H, Q, P . Demostrar que
los eventos “C precede a H” y “Q precede a P ” son independientes.
1.4.
Naipes
18. De un mazo de 52 naipes se extrae uno al azar. Demostrar que el palo del naipe es
independiente de su valor numérico.
19. [Ejemplicio sobre juego de poker] En el juego de poker son posibles las siguientes
manos, que se listaran en orden creciente de conveniencia. En las definiciones la palabra valor
se refiere a A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 o 2. Esta sucesión también describe el rango relativo
de los naipes, con una excepción: una A puede verse como un 1 para usarlo en una escalera.
(a) un par: dos naipes de igual valor más tres naipes con diferentes valores
J♠ J♦ 9♥ Q♣ 3♠
(b) dos pares: dos pares más un naipe de diferente valor
J♠ J♦ 9♥ 9♣ 3♠
(c) terna: tres naipes del mismo valor y dos naipes de diferentes valores
J♠ J♦ J♥ 9♣ 3♠
(d) escalera: cinco naipes con valores consecutivos
5♥ 4♠ 3♠ 2♥ A♣
5
(e) color: cinco naipes del mismo palo
R♣ 9♣ 7♣ 6♣ 3♣
(f) full: una terna y un par
J♠ J♦ J♥ 9♣ 9♠
(g) poker: cuatro naipes del mismo valor y otro naipe
J♠ J♦ J♥ J♣ 9♠
(h) escalera de color: cinco naipes del mismo palo con valores consecutivos
A♣ R♣ Q♣ J♣ 10♣
Este ejemplo se llama escalera real.
Calcular las probabilidades de todas las manos de poker. Con los valores obtenidos construya una tabla. No se olvide de la mano perdedora.
Ilustración a modo se sugerencia. Para
calcular las probabilidades de las manos de
52
poker comenzamos observando que hay 5 = 2598960 formas distintas de elegir 5 naipes de
un mazo de 52. El cálculo de probabilidades se reduce a calcular la cantidad de formas distintas
en que puede ocurrircadamano. Calcularemos algunas para ilustrar las ideas principales.
3
Primero elegimos el valor para el par (13 formas),
(a) un par: 13 · 42 · 12
3 · 4 = 1098240.
después les asignamos los palos ( 42 formas), luego elegimos tres valores para las otras cartas
3
( 12
3 formas) y finalmente les asignamos los palos (4 formas). Por lo tanto, la probabilidad
1098240
de obtener un par es 2598960 ≈ 0.42257.
(d) escalera: 10 · 45 = 10240. Una escalera puede empezar con una carta mayor o igual
que 5, hay 10 posibilidades. Una vez que los valores fueron determinados, hay 45 formas de
asignar los palos. Esta forma de contar considera a la escalera de color como escalera. Si se
quieren excluir las escaleras de color, los palos pueden asignarse en 45 − 4 maneras. Por lo
10200
tanto, la probabilidad de obtener una escalera que no sea de color es 2598960
≈ 0.0039246.
4
4
(f) full: 13 · 3 · 12 · 2 = 3744. Primero elegimos el valor para la terna (que puede hacerse
de 13 formas), después les asignamos palos ( 43 formas), luego elegimos el valor para el par (12
formas), finalmente asignamos les asignamos palos ( 42 formas). Por lo tanto, la probabilidad
3744
≈ 0.0014406.
de obtener full es 2598960
20. Cuatro personas juegan un juego en el que cada una recibe 13 cartas. ¿Cuántas manos
son posibles?
21. Un mazo de 52 naipes se divide aleatoriamente en 4 pilas de 13 naipes cada una. Calcular
la probabilidad de que cada pila contenga un as.
1.5.
Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana)
22. En un estacionamiento hay 12 lugares ordenados en fila. Lucas observa que hay 8 autos
estacionados y 4 lugares vacı́os adyacentes entre sı́. Dado que hay cuatro lugares vacı́os, el
orden observado podrı́a considerarse como el resultado de un ordenamiento aleatorio?
6
23. Un vecino de Lucas recibió doce multas por estacionamiento prohibido. Todas las multas
fueron emitidas los martes o jueves entre las 23:00 y las 5:00 hs.
(a) Se justifica que alquile un estacionamiento nocturno sólo para los martes y jueves?
(b) El hecho de que ninguna de las doce multas fue emitida un domingo, constituye evidencia
suficiente de que no se emiten multas los domingos?
24. La encargada del edificio donde viven Lucas y otras 40 personas echa a rodar un rumor.
A la mañana temprano se lo dice a una vecina, quien a su vez lo repite a una tercera, etcétera.
En cada paso el emisor del rumor elige al azar al receptor entre los restantes 40 habitantes
del edificio.
(a) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin retornar a la encargada
que lo originó.
(b) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin que ninguna persona lo
reciba más de una vez.
25. Lucas tiene cinco sacos idénticos, cada uno con dos bolsillos. Todos los sacos salvo uno
tienen un paquete de cigarillos en cada bolsillo. El saco restante tiene un paquete de cigarrillos
en un bolsillo y una cajita de fósforos en el otro. Lucas elige un saco al azar y sale a trabajar.
En la parada del colectivo mete la mano en un bolsillo y saca un paquete de cigarrillos. ¿Cuál
es la probabilidad de que pueda fumar mientras espera el colectivo?
26. Lucas vive en un barrio donde el 40 % de los trabajos de plomerı́a los realiza Oscar. El
30 % de los vecinos del barrio no está conforme con el trabajo de los plomeros y se queja, pero
Oscar recibe quejas del 50 % de su clientela barrial. Si Lucas no está conforme con un trabajo
de plomerı́a, cuál es la probabilidad de que sea cliente de Oscar?
27. Tres panaderı́as producen el 20 %, 30 % y 50 % de las facturas que se consumen en el
barrio donde vive Lucas. La probabilidad de que una factura contenga insectos es 0.04, 0.03 y
0.02 para cada una de las panaderı́as, respectivamente. Mientras saborea una esponjosa bola
de fraile una vecina de Lucas muerde una crujiente cucaracha. ¿Cuál es la probabilidad de
que la haya comprado en la panaderı́a más popular del barrio?
1.6.
Conjuntos geométricos
28. Dardos. Considere un juego de dardos de blanco circular Ω de radio 1 centrado en el
origen del plano: Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}.
(a) Un tirador lanza un dardo y se clava en el blanco. Sea r la distancia desde el centro del
blanco hasta el punto de impacto. Hallar la probabilidad de que a < r < b, donde a y b son
dos números reales tales que 0 < a < b < 1.
(b) Suponga que el blanco está dividido en las siguientes zonas
i−1 p 2
i
2
Ai = (x, y) :
< x +y ≤
,
i = 1, 2, 3, 4, 5,
5
5
que permiten clasificar a cada tirador en las siguientes categorı́as: sobresaliente, muy bueno,
7
bueno, regular, malo dependiendo de si el dardo hace impacto en la zona 1, 2, 3, 4, 5, respectivamente. Hallar la probabilidad de que un tirador se clasifique en cada una de las clases.
(c) Un tirador lanza un dardo y se clava en el semicı́rculo superior del blanco. Hallar la
probabilidad de que sea sobresaliente.
(d) Construya una división del blanco en zonas Bi , 1 ≤ i ≤ 5, similar a la del inciso anterior
para que las 5 categorı́as resulten equiprobables.
(e) Si un tirador es sobresaliente para un blanco divido en las zonas Bi , qué probabilidad
tiene de ser sobresaliente para un blanco dividido en las zonas Ai .
29. Problema del encuentro. Dos estudiantes se citan en un bar entre las 12 y las 13 hs. El
primero que llega espera al segundo durante un cuarto de hora, después de lo cual se va. Cada
estudiante elige al azar el tiempo de llegada al bar.
(a) Hallar la probabilidad de que se produzca el encuentro.
(b) Si consiguieron encontrarse, cuál es la probabilidad de que el segundo haya llegado al bar
después de las 12 : 45?
1.7.
Dı́gitos aleatorios
30. Hallar la probabilidad pk de que en una muestra de k dı́gitos aleatorios no haya dos iguales.
1√
Estimar el valor numérico de p10 usando la fórmula de Stirling (1730): n! ∼ e−n nn+ 2 2π.
31. Considerar los primeros 1000 decimales del número π. Hay 200 grupos de cinco dı́gitos.
Contar la cantidad de grupos en los que los 5 dı́gitos son diferentes e indicar la frecuencia
relativa del evento considerado. Comparar el resultado obtenido con la probabilidad de que
en una muestra de 5 dı́gitos aleatorios no haya dos iguales.
32. Se sortea un número al azar dentro del intervalo [0, 1]. Hallar la probabilidad de que el
número 7 sea uno de sus dı́gitos.
1.8.
Simulación de experimentos aleatorios
33. Simulación de experimentos aleatorios. Sea Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } el espacio muestral
correspondiente a un experimento aleatorio. Suponga que cada punto ωk ∈ Ω tiene asignada
la probabilidad pk . Usando un número aleatorio U , uniformemente distribuido dentro del
intervalo [0, 1], se define el mecánismo aleatorio siguiente
X :=
n
X
k=1
k1 {Lk−1 < U ≤ Lk } ,
P
donde L0 := 0 y Lk := ki=1 pi , para k ≥ 1. Demostrar que, identificando cada punto ω ∈ Ω
con su correspondiente subı́ndice, el mecánismo aleatorio X es adecuado para simular los
resultados del experimento aleatorio considerado.
8
34. Mediante diez mil simulaciones estimar la probabilidad de que al arrojar 4 dados equilibrados la suma de los resultados sea menor que 16. Comparar la estimación obtenida con el
valor verdadero de la probabilidad.
35. Método de Monte Carlo. Se elige al azar un punto (X, Y ) dentro del cuadrado de vértices
(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua cualquiera.
(a) Hallar la probabilidad del evento A = {Y ≤ f (X)}.
(b) Mediante diez mil simulaciones, estimar la probabilidad de A cuando f (x) =
2
√1 e−x /2 .
2π
(c) Tratar de generalizar los resultados obtenidos.
1.9.
Tiempos de espera y espacios discretos infinitos
36. * Tres jugadores a, b, c se turnan en un juego, tal como el ajedrez, de acuerdo a las
siguientes reglas. Al inicio juegan a y b y c queda afuera. El perdedor es reemplazado por c y
en el segundo partido el ganador juega con c mientras que el perdedor queda afuera. El juego
continua de este modo hasta que un jugador ganas dos veces seguidas, y se convierte en el
ganador del juego. Para simplificar omitimos la posibilidad de empates en juegos individuales.
Los resultados posibles de nuestro juego se indican en el siguiente esquema:
aa, acc, acbb, acbaa, acbacc, acbacbb, acbacbaa, . . .
bb, bcc, bcaa, bcabb, bcabcc, bcabcaa, bcabcabb, . . .
(*)
Además, es posible que ningún jugador gane dos veces seguidas, lo que significa que el juego
continua indefinidamente de acuerdo con alguno de los siguientes patrones
acbacbacbacb . . . ,
bcabcabcabca . . . .
(**)
El espacio muestral correspondiente a nuestro “experimento” ideal se define por (∗) y (∗∗) y es
infinito. Es claro que los puntos muestrales pueden disponerse en una sola sucesión tomando
tomando primero los dos puntos de (∗∗) y continuando con los puntos de (∗) ordenados del
siguiente modo: aa, bb, acc, bcc, . . .
Atribuimos a cada punto de (∗) que contiene exactamente k letras probabilidad 1/2k (En
otras palabras, aa, bb tienen probabilidad 1/4, acb tiene probabilidad 1/8, etc.)
(a) Muestre que las probabilidades de los puntos en (∗) suman la unidad, por consiguiente
los dos puntos de (∗∗) reciben probabilidad cero.
(b) Muestre que la probabilidad que a gane es 5/14. La probabilidad de que b gane es la
misma, y c tiene probabilidad 2/7 de ganar.
(c) La probabilidad de que ninguna decisión se alcance en o antes del k-ésimo turno es 1/2k−1
37. Por qué motivo es imposible definir una distribución uniforme sobre espacios muestrales
discretos infinitos.
9
2.
Variables aleatorias
2.1.
Función de distribución
1. Dada la función de distribución de una variable aleatoria X, indicar como se calculan las
siguientes probabilidades
P(a ≤ X ≤ b),
P(a ≤ X < b),
P(a < X < b).
2. Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución FX (x) = P(X ≤ x) tiene gráfico
de forma
1
FX(x)
2/3
1/3
0
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
Calcular
P(−2 < X ≤ 2),
P(−2 ≤ X ≤ 2),
P(−2 ≤ X < 2),
P(−2 < X < 2).
3. Se tiene una moneda cargada con probabilidad de salir “cara” p = 3/4. Hallar y graficar
la función de distribución de la cantidad de caras observadas en cinco lanzamientos de dicha
moneda.
4. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas verdes. En cada paso se extrae una bola al azar y
si es verde se la reemplaza en la urna por una roja. Hallar y graficar la función de distribución
de la cantidad de pasos necesarios para sacar una bola roja.
5. Fiabilidad y distribuciones Weibull. Sea T la duración del tiempo de trabajo sin fallas de
un sistema electrónico cuya función intensidad de fallas λ(t) es de la forma
λ(t) = (αβ)tβ−1 1{t > 0},
donde α, β > 0.
10
(a) Hallar la función de distribución y la función densidad de probabilidades de T
(b) Comparar e interpretar probabilı́sticamente los gráficos de las densidades que se obtienen
cuando α = 1 y β = 1, 2, 3, 4.
6. Se usa el siguiente mecanismo aleatorio para producir una variable aleatoria X. Se tira una
moneda honesta. Si sale cara, ponemos X = 0. Si sale ceca, sorteamos un número aleatorio,
u, distribuido uniformemente en el intervalo [0, 1] y ponemos X = u. Hallar la función de
distribución de X.
2.2.
Descomposición de Jordan
7. Descomponer, en parte discreta y parte continua, la función de distribución considerada
en el ejercicio 2.
8. Descomponer, en parte discreta y parte continua, la función de distribución obtenida en
el ejercicio 6.
2.3.
Construcción de variables aleatorias
9. Construir un mécanismo aleatorio para simular la duración del tiempo de trabajo sin fallas
de un sistema electrónico cuya función intensidad de fallas es λ(t) = 1{t > 0}.
10. Construir un mécanismo aleatorio para simular la duración del tiempo de trabajo sin
fallas de un sistema electrónico cuya función intensidad de fallas es λ(t) = 3t2 1{t > 0}.
11. Normal estandar.
(a) Demostrar que la función ϕ : R → R definida por ϕ(x) =
densidad de probabilidades.
2
√1 e−x /2
2π
es una función
(b) Sea Φ(x) la función integral de ϕ(x) definida por
Z x
1
2
√ e−t /2 dt.
Φ(x) :=
2π
−∞
Consultando algún libro de Probabilidad y Estadı́stica (o recurriendo a un software adecuado)
construir una tabla de valores de Φ(x) para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
(c) Sea p ∈ (0, 1). El número xp que resuelve la ecuación Φ(x) = p se llama el cuantil de nivel
p de la distribución normal. Construir una tabla de cuantiles para p = 0.5; 0.75; 0.9; 0.95;
0.99; 0.995; 0.999.
(d) Construir un mecánismo aleatorio para simular valores de una variable aleatoria X cuya
función de distribución sea Φ(x) y simular diez de sus valores.
12. Construir un dado equilibrado
13. Construir un dado cargado tal que la probabilidad de observar el valor i sea (7 − i)/21,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
11
14. Construir una variable aleatoria X cuya función de distribución sea la del ejercicio 2.
2.4.
Esperanzas
15. Un libro sobre juegos recomienda la siguiente estrategia para ganar en la ruleta. Se juega
un peso al rojo. Si sale rojo (cuya probabilidad es 18/37), el jugador debe tomar su ganancia
y retirarse de la mesa. Si no sale rojo (cuya probabilidad es 19/37), debe apostar un peso al
rojo en cada uno de las dos tiradas siguientes y abandonar la mesa. Sea X la “ganancia” del
jugador cuando abandona la mesa.
(a) Hallar y graficar la función de distribución de X
(b) Calcular E[X].
(c) ¿Qué opina de la estrategia recomendada?
16. Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el conjunto {1, 2, . . . , n}.
Esto es P(X = x) = n1 para cada x = 1, 2, . . . , n. Hallar las expresiones de E[X] y V(X)
utilizando las identidades siguientes
n
X
i=1
n(n + 1)
i=
,
2
n
X
i=1
i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
17. Sea X la variable aleatoria construida en el ejercicio 14. Calcular E[X].
18. Sea X una variable aleatoria a valores en el conjunto {1, 2, 3} tal que E[X] = 2. Hallar
los valores de pi = P(X = i), i = 1, 2, 3 que maximizan la varianza de X.
2.5.
Desigualdad de Chebychev
19. Suponga que E[X] = 0 y V(X) = 1. Cuánto de grande puede ser P(|X| ≥ 3)?
20. La cantidad de artı́culos producidos semanalmente por una fábrica es una variable aleatoria X de media 50.
(a) Qué puede decirse sobre la probabilidad de que X ≥ 75?
(b) Si la varianza de X es 25, qué puede decirse sobre P(40 < X < 60)?
2.6.
Transformación de variables
21. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua con función densidad de probabilidades f (x). Hallar la expresión de la función densidad de probabilidades de Y = |X|.
22. El tiempo, t, en horas, que se tarda en reparar una PC es una variable aleatoria con
distribución uniforme sobre el intervalo (0, 4).
√ El costo en mano de obra de reparación depende
del tiempo utilizado y es igual a 120 + 90 t. Hallar la función de distribución del costo en
mano de obra de reparar una PC y calcular su media.
12
23. Se quiebra una vara en un punto al azar. Calcular la probabilidad de que la longitud de
la pieza más larga sea mayor que el doble de la longitud de la pieza mas corta.
24. Sea sortea U un número al azar sobre el intervalo [0, 1]. Hallar la distribución del primer
dı́gito de U .
25. Sea λ > 0. Demostrar que si X ∼ Exp(λ), entonces Y = [X] + 1 ∼ Geom(p), para algún
p ∈ (0, 1) que depende de λ.
26. El precio de uso de un teléfono público es de 20 centavos por pulso. Los pulsos se cuentan
cada dos minutos o fracción. Suponga que las llamadas tienen duración exponencial de media
3 minutos. Hallar la media y la varianza del costo de cada llamada.
2.7.
Truncamientos
27. La longitud de los peces de una laguna (en cm.) tiene densidad
f (x) = cx(20 − x)1{0 < x < 20}.
Un biólogo quiere estimar f y para ello captura peces con una red, cuyas mallas dejan escapar
los peces menores de 3 cm.. Hallar la densidad que obtiene el biólogo.
28. Sea N una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p.
(a) Hallar la función de probabilidad de la variable N truncada al conjunto N ≥ n.
(b) Mostrar que N |N ≥ n ∼ (n − 1)+Geom(p).
29. Sea T una variable aleatoria con distribución exponencial de intensidad λ > 0.
(a) Hallar la función densidad de la variable T truncada al conjunto T ≥ t0 .
(b) Mostrar que T |T ≥ t0 ∼ t0 +Exp(λ).
30. Sea T una variable aleatoria con distribución exponencial de intensidad λ > 0.
(a) Hallar la función densidad de la variable T truncada al conjunto T ≤ t0 .
(b) Calcular E[T |T ≤ t0 ].
2.8.
Densidades generalizadas
31. Sea X la variable aleatoria construida en el 14.
(a) Hallar la densidad generalizada de X.
(b) Calcular E[X] y V(X).
32. Sea T la duración del tiempo de trabajo sin fallas de un sistema electrónico cuya función
intensidad de fallas es λ(t) = 1{t > 0}.
(a) Hallar y graficar la función de distribución de T ∗ := min(T, 1).
13
(b) Hallar la densidad generalizada de T ∗ .
(c) Calcular E[T ∗ ] y V(T ∗ ).
33. Sea X una variable aleatoria caracterizada por la siguiente densidad de probabilidades
generalizada
1
1
fX (x) = kx1{3 < x < 9} + δ3 (x) + δ10 (x)
4
4
(a) Hallar el valor de k.
(b) Hallar la función de distribución de X.
(c) Calcular E[X] y V(X).
34. Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución es
2
1
2x + 1
F (x) =
1{−1 ≤ x < 0} +
1 {0 ≤ x < 1/2}
4
2
2x + 5
1 {1/2 ≤ x < 1} + 1{x ≥ 1}.
+
8
(a) Graficar la función F (x).
(b) ¿En qué puntos de R la variable X concentra masa positiva?
(c) Dar una expresión explı́cita para la densidad generalizada de X.
(d) Calcular E[X] y V(X).
14
3.
3.1.
Modelos multivariados
Modelos discretos
1. Se arrojan dos dados piramidales con los números 1, 2, 3, 4 en sus caras. Sea X el mayor
de los resultados observados e Y la suma. Hallar la distribución conjunta de (X, Y ); las
distribuciones marginales de X e Y y la distribución condicional de Y dada X.
2. De un mazo de cartas de Poker se extraen repetidamente cartas con reposición. Sean X
e Y los números de extracciones en que salen el primer corazón y el primer trébol.
(a) ¿X e Y , son variables independientes?
(b) Hallar las distribuciones marginales de X e Y .
3. Se arrojan dos dados equilibrados. Sean X el resultado del primer dado e Y el resultado
del segundo. Hallar la distribución de X + Y .
4. Sean X1 y X2 variables aleatorias con distribución Bernoulli de parámetros 1/2 y 1/3
respectivamente tales que Cov(X1 , X2 ) = 0. Mostrar que las variables X1 y X2 son independientes.
5. El experimento consiste en ubicar aleatoriamente tres bolas en tres urnas. Sean N la
cantidad de urnas ocupadas y Xi la cantidad de bolas en la urna i, i = 1, 2, 3.
(a) Calcular Cov(N, X1 ) y Cov(X1 , X2 ).
(b) Calcular V(X1 + X2 ).
6. En una urna hay una 3 bolas de distinto color. El experimento aleatorio consiste en lo
siguiente: se extrae una bola, se registra el color observado y se repone la bola en la urna. Se
realizan 6 experimentos. Sean Xi , i = 1, 2, 3 las variables aleatorias definidas por
Xi := 1{ si el color i está en la muestra observada}.
(a) Hallar Cov(Xi , Xj ).
(b) Sea N := X1 + X2 + X3 . Hallar E[N ] y V ar(N ).
(c) Cuál es el significado de la variable N ?
7. Una rata está atrapada en un laberinto. Puede elegir una de tres direcciones: Este (E),
Norte (N) o Sur (S). Si va para el Este se perderá en el laberinto y luego de 4 minutos volverá a
su posición inicial; si va para el Norte volverá a su posición inicial luego de 7 minutos; si va
para el Sur saldrá del laberinto luego de 3 minutos. Hallar la esperanza del tiempo que demora
en salir del laberinto, suponiendo que en cada intento la rata elige las direcciones E, N y S
con probabilidades 0.3, 0.5 y 0.2, respectivamente.
8. Sean X1 , X2 las variables aleatorias definidas en el ejercicio 6. Hallar la recta de regresión
de X2 basada en X1 .
15
9. Se lanza una moneda honesta 6 veces y se observan X =“la cantidad de caras” e Y =“la
cantidad de cecas”. Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación de X e Y .
10. Se lanzan dos dados equilibrados. Sea X el resultado del primero e Y el resultado del
segundo. Hallar la función de probabilidades y el valor esperado del mı́nimo entre X e Y .
3.2.
Mezclas
11. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 6 kilos.
Se van agregando bolsas en una balanza hasta que el peso supere 5 kilos.
(a) Hallar la función de probabilidad y la media de la cantidad final de bolsas en la balanza.
(b) Hallar la función de distribución y la media del peso final ası́ obtenido.
12. En una urna hay 4 bolas verdes y 6 bolas rojas. El peso de las bolas verdes tiene
distribución exponencial de media 25 gramos, y el de las rojas exponencial de media 35
gramos. Sea X el peso de una bola elegida al azar de la caja.
(a) Hallar la función de distribución de X.
(b) Sabiendo que la bola elegida pesa 30 gramos, hallar la probabilidad de que la bola elegida
sea roja.
3.3.
Modelos continuos
13. Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta f (x, y). Demostrar que X e Y
son independientes si y solo si existen funciones g y h tales que f (x, y) = g(x)h(y).
14. Dadas dos variables aleatorias X1 , X2 , uniformes e independientes sobre el intervalo [1, 2],
se construyen un cuadrado de lado X1 y un cı́rculo de radio X2 . Calcular la probabilidad de
que el área del cuadrado supere el área del cı́rculo.
15. Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribución uniforme sobre el intervalo [0, 1]. Una vara de longitud 1 se quiebra en dos puntos cuyas distancias a una de
sus puntas son X e Y . Calcular la probabilidad que las tres piezas puedan usarse para construir un triángulo. (“Παντ òς τ ̺ιγ ώνoυ αί δ ύo πλευ̺αὶ τ η̃ς λoιπ η̃ς µείζoν ές είσι π άντ η
µετ αλαµβαν óµεναι” Euclides, (-300). Elementos de Geometrı́a)
16. Sean a, b y c variables aleatorias independientes con distribución U[0, 1]. Hallar la probabilidad de que ax2 + 2bx + c no tenga raı́ces reales.
17. Sean X e Y variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas sobre el
intervalo [−1, 1]. Hallar la función densidad de (a) X + Y , (b) X − Y , (c) |X − Y |, (d)
XY , (e) mı́n{X, Y 3 }, (f ) máx{X, Y 3 }.
18. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas sobre el
intervalo [0, 1]. Hallar la función densidad de X + Y .
16
19. Sea Λ la región del plano (de área 1/2) limitada por el cuadrilatero de vértices (0, 0),
(1, 1), (0, 21 ), ( 12 , 1) y el triángulo de vértices ( 12 , 0), (1, 0), (1, 21 ). Sea (X, Y ) un punto aleatorio
con distribución uniforme sobre Λ.
(a) Hallar las distribuciones marginales de X y de Y .
(b) Hallar la función densidad de probabilidades de X + Y .
20. Sea (X, Y ) con distribución uniforme en el cuadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Sea
h(x, y) = 1 y ≤ e−2x
Hallar la media y la varianza de U := h(X, Y ).
21. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribución uniforme en el cuarto del cı́rculo de radio
1 centrado en (0, 0) contenido en primer cuadrante.
(a) Hallar la densidad marginal de X.
(b) Hallar la densidad condicional de Y dado que X = 1/2.
√
(c) Hallar la función distribución de Z = X 2 + Y 2 .
22. Un tirador arroja un dardo a un blanco circular de radio 3. En cada tiro tiene probabilidad
1/5 de errar al blanco. Cuando acierta al blanco, el dardo se clava en un punto uniformemente
distribuı́do en el cı́rculo. Si acierta al blanco se le asigna un puntaje igual a la distancia entre
el punto donde se clavó el dardo y el centro del blanco. Si le erra, el puntaje asignado es 4.
Hallar la función de distribución y la esperanza del puntaje asignado.
23. Sea (X, Y ) un punto aleatorio del plano con densidad conjunta f (x, y). Hallar la densidad
conjunta y las densidades marginales de sus coordenadas polares.
24. Oscilaciones armónicas aleatorias. Distribución de Rayleigh. Hallar las densidades de la
amplitud y de la fase de las oscilaciones armónicas aleatorias con frecuencia determinada
X(t) = A sen ωt + B cos ωt, si los coeficientes A y B son variables aleatorias independientes
con distribución normal N (0, 1).
25. Sean X e Y variables aleatorias independientes, con distribución exponencial de intensidad λ > 0.
(a) Hallar la densidad conjunta de U = X + Y , V = X/Y y mostrar que son independientes.
(b) Calcular E[V ].
3.4.
Lı́nea de regresión y esperanza condicional
26. Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta
f (x, y) = xe−x(x+y) 1{x ≥ 0, y ≥ 0}.
(a) Hallar y gráficar la lı́nea de regresión µ(x) := E[Y |X = x] de Y sobre X
17
(b) Hallar la esperanza condicional de Y dada X.
27. Sea (X, Y ) un punto uniformemente distribuido sobre el semicı́rculo superior de radio 1
centrado en el origen Λ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}.
(a) Hallar y gráficar la lı́nea de regresión µ(x) := E[Y |X = x] de Y sobre X
(b) Hallar la esperanza condicional de Y dada X.
28. Sea (X, Y ) un punto uniformemente distribuido sobre el triángulo de vértices (0, 0),
(3, 0), (3, 4).
(a) Hallar y gráficar la lı́nea de regresión µ(x) := E[Y |X = x] de Y sobre X
(b) Hallar la esperanza condicional de Y dada X.
3.5.
Cálculos por condicionales.
29. Se arroja un dado 100 veces. Sean X e Y las cantidades de resultados pares e impares
respectivamente. Hallar la esperanza condicional E[Y |X] y el valor de Cov(X, Y ).
30. Una televidente quiere participar de un concurso y realiza llamadas al canal de televisión.
El tiempo entre llamadas es una variable exponencial de media 50 segundos. Por cada llamada
la probabilidad de comunicarse con el programa es 1/6. Hallar la esperanza y la función de
distribución del tiempo que tiene que esperar para comunicarse con el programa.
31. Una partı́cula suspendida en agua es bombardeada por moleculas en movimiento térmico
y recibe (por segundo) una cantidad de impactos cuya distribución es Poisson de media 10.
Por cada impacto la partı́cula se mueve un milı́metro hacia la derecha con probabilidad 3/4 o
un milı́metro hacia la izquierda con probabilidad 1/4. Hallar la posición media de la partı́cula
al cabo de un segundo.
32. Pedro, Pablo y Lucas trabajan como mecanógrafos en una imprenta. La cantidad de
errores que comete Pedro al tipear un escrito es una variable aleatoria Poisson de media 2.6;
si lo tipea Pablo la cantidad de errores es una variable aleatoria Poisson de media 3; y si
lo tipea Lucas es una variable aleatoria Poisson de media 3.4. Cuando llega un manuscrito
a la imprenta la probabilidad de que lo reciba cualquiera de los tres es la misma. Sea X la
cantidad de errores en un manuscrito tipeado. Hallar E[X] y V(X).
33. La cantidad de clientes que entran en una tabaquerı́a tiene distribución Poisson de
media 10. La cantidad de dinero que gasta cada cliente está distribuida uniformemente sobre
el intervalo (0, 100). Hallar la media y la varianza de la cantidad de dinero que recibe el
tabaquero.
3.6.
Mı́nimos y estadı́sticos de orden
34. Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias exponenciales independientes de intensidades
λ1 , λ2 , . . . , λn , respectivamente.
18
(a) Hallar la distribución de U := mı́n{X1 , X2 , . . . , Xn }.
(b) Calcular P(U = Xi ).
35. Sean X1 , X2 , X3 variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con distribución común exponencial de intensidad λ. Hallar la densidad conjunta y las densidades
marginales de las variables T1 := X(1) , T2 := X(2) − X(1) , T3 := X(3) − X(2) . Sugerencia:
por razones de simetrı́a el problema se reduce a considerar el caso en que X1 < X2 < X3 .
Utilizando integrales calcular P(X1 > t1 , X2 − X1 > t2 , X3 − X2 > t3 ).
36. Lucas, Pedro y Pablo entran a un banco y encuentran dos ventanillas libres. Los tres
tiempos de servicio son variables aletorias independientes con la misma distribución exponencial. Los primeros en ser atendidos son Lucas y Pedro. Pablo deberá esperar a que alguno de
los dos termine su trámite.
(a) Hallar la probabilidad de que Pablo no sea el último en salir del banco.
(b) Hallar la distribución del tiempo que tarda Pablo en salir del banco.
(c) Hallar la distribución del tiempo que tarda en salir del banco el último de los tres.
19
4.
4.1.
Procesos aleatorios
Distribución binomial
1. La probabilidad de acertar a un blanco es 1/5. Se disparan 10 tiros independientemente.
(a) Calcular la probabilidad de que el blanco reciba al menos dos impactos.
(b) Calcular la probabilidad condicional de que el blanco reciba al menos dos impactos,
suponiendo que recibió al menos uno.
2. Se tira un dado 6 veces. Calcular la probabilidad de obtener
(a) al menos un as,
(b) exactamente un as,
(c) exactamente dos aces.
3. Qué tan larga debe ser una sucesión de dı́gitos aleatorios para que la probabilidad de que
aparezca el dı́gito 7 sea por lo menos 9/10?
4. La probabilidad de acertar a un blanco es 1/5.
(a) Se disparan 9 tiros independientemente. Hallar la cantidad más probable de impactos
recibidos por el blanco.
(b) Se disparan 10 tiros independientemente. Hallar la cantidad más probable de impactos
recibidos por el blanco.
5. El 1 % de los individuos de una población es zurdo. Estimar la probabilidad de encontrar
4 zurdos entre 200 individuos. (Sugerencia: usar el desarrollo de Taylor:
P al menos
xn
ex = ∞
.)
n=0 n!
6. Un libro de 500 páginas contiene 500 errores. Estimar la probabilidad de que la página 1
contenga al menos tres errores.
4.2.
Distribución geométrica
7. Calcular la probabilidad de que en una sucesión de dı́gitos aleatorios el dı́gito 7 no aparezca
jamás.
8. Lucas está completamente borracho y perdido en Parque Chas. Con probabilidad 1/5 elige
un camino que lo lleva a su casa en 45 minutos y con probabilidad 4/5 elige un camino circular
y vuelve a su punto de partida en 20 minutos. Cada vez que retorna al punto de partida vuelve
a elegir uno de los dos caminos con las mismas probabilidades dadas anteriormente. Hallar la
esperanza del tiempo que demora Lucas en llegar a su casa.
9. Se tirará un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea N la cantidad de tiradas necesarias
y sea M la cantidad de cuatros obtenidos.
(a) Calcular E[M ].
20
(b) Calcular Cov(N, M ).
10. Chocolatines Jack lanza una colección de muñequitos con las figuras de los personajes
de Kung Fu Panda: Panda, Tigre, Mono, Grulla y Mantis. Cada vez que Lucas compra un
chocolatı́n es igualmente probable que obtenga alguno de los personajes. Sea N la cantidad
de chocolatines que Lucas debe comprar hasta completar la colección, hallar E[N ] y V ar(N ).
Interprete los resultados.
11. Un juego de azar comienza tirando un par de dados. Si la suma de los dados es 2, 3, o
12 el jugador pierde. Si es 7 o 11, el jugador gana. Si es otro número s, el jugador continua
tirando los dados hasta que la suma sea 7 o s. (Por ejemplo, si la suma es 5, el jugador
continua tirando hasta que la suma sea 5 o 7). Si es 7, el jugador pierde, si es s el jugador
gana. Sea R la cantidad de tiradas en el juego de azar. Hallar
(a) E[R];
(b) la probabilidad de que el jugador resulte ganador en el tiro n + 1, n ≥ 1, si al comienzo
del juego la suma de los dados resultó s, para algún s ∈
/ {2, 3, 7, 11, 12};
(c) la probabilidad de que el jugador resulte ganador, si el juego terminó en el tiro n + 1,
n ≥ 1;
(d) La probabilidad de que el jugador resulte ganador.
4.3.
Distribución Pascal
12. Se arroja repetidamente un dado. Calcular la probabilidad de que el tercer as salga en
el séptimo tiro.
13. Monk y Lucas disputan la final de un Campeonato de Ajedrez. El primero que gane 6
partidas (no hay tablas) resulta ganador. La duración de cada partida (medida en horas) es
una variable aleatoria cuya función densidad de probabilidad es
t−1
f (t) =
1{1 ≤ t ≤ 3}.
2
La probabilidad de que Lucas gane cada partida depende de la duración de la misma. Si dura
menos de 2 horas, gana con probabilidad 3/4; si no, gana con probabilidad 1/2. ¿Cuál es la
probabilidad de que Lucas gane el Campeonato en la octava partida?
4.4.
Cuentas con exponenciales
14. Sean T1 y T2 variables aleatorias independientes exponenciales de parámetro 2. Sean
T(1) = mı́n(T1 , T2 ) y T(2) = máx(T1 , T2 ). Hallar la esperanza y la varianza de T(1) y de T(2) .
15. Lucas entra en un banco que tiene dos cajas independientes. Pablo está siendo atendido
por el cajero 1 y Pedro por el cajero 2. Lucas será atendido tan pronto como Pedro o Pablo
salgán de la caja. El tiempo, en minutos, que demora el cajero i en completar un servicio es
una variable aleatoria exponencial de media 23−i , i = 1, 2. Hallar
21
(a) la probabilidad de que Pablo sea el primero en salir;
(b) la probabilidad de que Pablo sea el último en salir.
16. Una lámpara tiene una vida, en horas, con distribución exponencial de parámetro 1. Un
jugador enciende la lámpara y, mientras la lámpara está encendida, lanza un dado equilibrado
de quince en quince segundos. Hallar el número esperado de 3’s observados hasta que la
lámpara se apague.
17. Suma geométrica de exponenciales independientes. Sean T1 , T2 , . . . una sucesión de variables aleatorias independientes
identicamente distribuidas con ley exponencial de intensidad
PN
λ. Se define T = i=1 Ti , donde N es una variable aleatoria con distribución geométrica de
parámetro p, independiente de las variables T1 , T2 , . . . . Hallar la distribución de T . (Sugerencia: Utilizar la fórmula de probabilidad total condicionando a los posibles valores de N y el
desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial.)
18. * En la fila de un cajero automático hay personas que esperan realizar una operación; cada
vez que una persona termina su operación, la siguiente comienza la suya. Las personas son
impacientes, e independientemente de lo que hagan las demás, cada una espera solamente un
tiempo exponencial de tasa 1; luego del cual si no ha comenzado su operación se retira de la fila.
Por otra parte, los tiempos consumidos en cada operación son independientes y exponenciales
de tasa 10. Suponga que una persona está utilizando el cajero. Hallar la probabilidad de que
la octava persona en la fila realice su operación.
4.5.
Procesos de Poisson
19. A un quiosco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 30 por
hora.
(a) Hallar la probabilidad de que en media hora lleguen exactamente 15 clientes.
(b) Hallar la probabilidad de que el tiempo de espera entre la octava y la decima llegada
supere los 5 minutos.
20. Sea {N (t), t ≥ 0} un proceso de Poisson de tasa 8. Sea T el tiempo de espera hasta el
cuarto evento. Hallar
(a) E[T ].
(b) E[T |N (1) = 2].
(c) E[N (4) − N (2) |N (1) = 3].
21. En un sistema electrónico se producen fallas de acuerdo con un proceso de Poisson de
tasa 2.5 por mes. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuando ocurran 196
fallas. Hallar la media y la varianza del tiempo de uso del sistema.
22. Un servidor recibe clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 4 clientes
por hora. El tiempo de trabajo (en minutos) consumido en cada servicio es una variable
aleatoria con distribución exponencial de media 5. Sabiendo que durante la primera hora el
22
servidor recibió menos de 3 clientes, hallar la función densidad de probabilidad (generalizada)
del tiempo de trabajo consumido por el servidor y el valor medio de dicho tiempo.
23. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La máquina corta el alambre en la primer
falla antes de los 50 metros o a los 50 metros si no hay fallas antes.
(a) Hallar la función de distribución de la longitud de los rollos de alambre.
(b) Hallar la media de la longitud de los rollos de alambre.
Adelgazamiento
24. Ocurren choques de acuerdo con proceso de Poisson de intensidad 1 por segundo; independientemente cada choque hace que un sistema falle con probabilidad 1/2. Sea T el tiempo
en que falla el sistema. Hallar la distribución de T , E[T ] y V ar(T ).
25. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La máquina corta el alambre en la primer
falla detectada después de los 50 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9.
(a) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.
(b) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos que miden más de 100 metros.
26. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La máquina detecta cada falla con probabilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 100 metros o a los
100 metros si no se detectan fallas antes.
(a) Hallar la media de la longitud de los rollos de alambre.
(b) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.
27. A un banco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 20 por
hora. En forma independiente de los demás, cada cliente realiza un depósito con probabilidad
1/4 o una extracción con probabilidad 3/4.
(a) Si el banco abre sus puertas a las 10:00, cuál es la probabilidad de que el segundo depósito
se efectué pasadas las 10:30?
(b) Cada depósito (en pesos) se distribuye como una variable U[100, 900] y cada extracción
como una variable U[100, 500]. Si un cliente realiza una operación bancaria de 200 pesos, cuál
es la probabilidad de que se trate de un depósito?
Superposición y competencia
28. Un contador recibe impulsos de dos fuentes independientes, A y B. La fuente A genera
impulsos de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 3, mientras que la fuente B genera
impulsos siguiendo un proceso de Poisson de tasa 5. Suponga que el contador registre todo
impulso generado por las dos fuentes.
23
(a) Sea N (t) el número de impulsos registrado por el contador hasta el tiempo t, t > 0
(N (0) = 0). Explique por qué {N (t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson (basta una explicación
intuitiva). Cuál es la tasa?
(b) Cuál es la probabilidad de que el primer impulso registrado sea de la fuente A?
(c) Dado que exactamente 100 impulsos fueron contados durante la primer unidad de tiempo,
cuál es la distribución de la cantidad emitida por la fuente A?
Distribución condicional de los tiempos de llegada
29. A un banco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 10 por
hora. Suponga que dos clientes llegaron durante la primer hora. Cuál es la probabilidad de
que
(a) ambos lleguen durante los primeros 20 minutos?
(b) al menos uno llegue durante los primeros 20 minutos?
Proceso de Poisson Compuesto
30. Una partı́cula suspendida en agua es bombardeada por moleculas en movimiento térmico
de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 10 impactos por segundo. Cuando recibe
un impacto la partı́cula se mueve un milı́metro hacia la derecha con probabilidad 3/4 o un
milı́metro hacia la izquierda con probabilidad 1/4. Trancurrido un minuto, cuál es la posición
media de la partı́cula?
31. Familias de argentinos migran a Italia de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 4
por semana. Si el número de integrantes de cada familia es independiente y puede ser 2, 3, 4, 5
con probabilidades respectivas 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. ¿Cuál es el valor esperado del número de
argentinos que migran a Italia durante un perı́odo fijo de 15 semanas?
32. Un servidor recibe clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 4 clientes
por hora. El tiempo de trabajo (en minutos) consumido en cada servicio es una variable
aleatoria U[1, 9]. Al cabo de 8 horas, cuál es el tiempo medio de trabajo consumido por todos
los servicios?
33. A una estación de trenes llegan personas de acuerdo con un proceso de Poisson de
intensidad 50 por minuto. El tren parte a los 20 minutos. Sea T la cantidad total de tiempo que
esperaron todos aquellos que subieron al tren. Hallar E[T ] y V(T ). (Sugerencia: Condicionar
al valor de N (20) = cantidad de llegadas en 20 minutos y usar la fórmula de probabilidad
total.)
34. Sea S(t) el precio de un seguro a tiempo t. Un modelo para el proceso {S(t), t ≥ 0}
supone que el precio se mantiene constante hasta que ocurre un “sobresalto”, en ese momento
el precio se multiplica por un factor aleatorio. Sea N (t) la cantidad de “sobresaltos” a tiempo
t, y sea Xi el i-ésimo factor multiplicativo, entonces el modelo supone que
N (t)
S(t) = S(0)
Y
i=1
24
Xi
Q
donde 0i=1 Xi = 1. Suponga que los factores son variables exponenciales independientes de
tasa 1/2; que {N (t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson de tasa 1, independiente de los Xi ; y
que S(0) = 1.
(a) Hallar E[S(t)] (Sugerencia: Usar la fórmula de probabilidad total condicionando a los
posibles valores de N (t) y el desarrollo en serie de Taylor de la exponencial.)
(b) Hallar E[S 2 (t)].
25
5.
5.1.
Distribución Normal y Teorema Central del Lı́mite
La distribución normal estandar
1. Sea X ∼ N (0, 1) una variable aleatoria con distribución normal estandar.
(a) Usando una tabla calcular P(−0.43 < X < 1.32), P(1.28 < X < 1.64) y P(|X| < 1.64).
(b) Usando una tabla resolver las siguientes ecuaciones P(X < a) = 0.1, P(X > b) = 0.2,
P(|X| < c) = 0.95.
2. Sea X ∼ N (0, 1) una variable aleatoria con distribución normal estandar. Estimar las
siguientes probabilidades P(Z < 4); P(Z < 5); P(4 < Z < 5).
3. Log-Normal. Sea Y = eX donde X ∼ N (0, 1). Hallar la función densidad de Y .
4. Chi-cuadrado. Sea Y = X 2 donde X ∼ N (0, 1).
(a) Hallar la función densidad de Y .
(b) Probar que X e Y son incorrelacionadas pero no independientes.
5.2.
Cuentas con Normales
5. El diámetro de un cable eléctrico tiene distribución normal de media 2 cm. y varianza
0.0016. El cable se considera defectuoso si la diferencia entre el diámetro y la media supera
0.05
(a) Hallar la probabilidad de que el diámetro supere los 2.1 cm.
(b) Hallar la probabilidad de obtener un cable defectuoso.
6. Para modelar el precio del kilo de asado se usa una variable aleatoria con distribución
normal de media 5 dólares y varianza 4. ¿Qué puede decirse de semejante modelo?
7. La vida en horas de una lámpara tiene una distribución normal de media 100 horas. Si un
comprador exige que por lo menos el 90 % de ellas tenga una vida superior a las 80 horas, cuál
es el valor máximo que puede tomar la varianza manteniendo siempre satisfecho al cliente?
8. En un control de calidad de hormigón se extraen 3 probetas al azar. Cada una es probada
para su resistencia a la compresión. Una probeta pasará la prueba si resiste por lo menos una
carga axial de 5500 kg. La resistencia a la rotura de la probetas puede ser modelada por una
distribución normal de media µ = 7340 y desvı́o σ = 1050 kg. La especificación requiere que
las 3 probetas pasen la prueba para que el lote sea aceptado. El contratista prepara un lote
cada dı́a.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer lote rechazado sea el preparado el quinto dı́a?
(b) El contratista puede mejorar la mezcla llevando la media de la distribución anterior a 8250
kg. y reduciendo además el coeficiente de variación (σ/µ) en un 10 % respecto del anterior.
¿Cuál serı́a entonces la probabilidad de que le sea rechazado por lo menos un lote en 10 dı́as?
26
9. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la función densidad conjunta
y las funciones densidad marginales de W = X − Y y Z = X + Y . ¿Qué se puede concluir?
10. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la función de densidad
conjunta y las funciones de densidad marginales de W = 2X − 3Y y Z = 3X + 2Y y mostrar
que W y Z son independientes.
11. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Calcular P(X ≤ 0|X − Y = 1)
5.3.
Ley débil de los grandes números para enayos Bernoulli
12. Hallar el tamaño muestral para estimar una proporción p, de forma tal que el error de
la estimación sea menor que 0.01 con probabilidad por lo menos igual a 0.95.
5.4.
Teorema de De Moivre-Laplace
13. La probabilidad de que un tirador haga impacto en el blanco en un disparo es 1/2.
(a) Estimar la probabilidad de que en 12 disparos el tirador consiga impactar exactamente 6
veces al blanco.
(b) Estimar la probabilidad de que en 12 disparos el tirador haga impacto en el blanco por
lo menos 6 veces.
(c) Comparar las estimaciones obtenidas con los resultados exactos.
14. Repita el Ejercicio anterior cuando la probabilidad de que el tirador haga impacto en el
blanco en un disparo es 1/3.
15. Suponga que Sn tiene distribución Binomial(n, p) donde los parámetros n y p se describen
más abajo. Calcular P(Sn = k), k = 1, 2, . . . , 25 por la fórmula exacta y por las siguientes
aproximaciones
1. Aproximación por la densidad normal:
1
ϕ
P(Sn = k) ∼ p
np(1 − p)
2. Corrección por continuidad:
P(Sn = k) = P (k − 1/2 < Sn < k + 1/2) ≈ Φ
k − np
p
np(1 − p)
k − np + 1/2
p
np(1 − p)
!
!
−Φ
k − np − 1/2
p
np(1 − p)
!
Comparar (por gráficos) cuán buenas son las aproximaciones y cuán necesaria es la corrección
por continuidad de acuerdo con los valores de n y p.
Utilizar n = 5, 8, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 200 y p = (0.05)s, s = 1, 2, . . . , 10.
16. Hallar el tamaño muestral para estimar una proporción p, de forma tal que el error de
la estimación sea menor que 0.01 con probabilidad por lo menos igual a 0.95. Comparar con
el Ejercicio 12.
27
17. Dos aerolı́neas A y B ofrecen idéntico servicio para viajar de Buenos Aires a San Pablo.
Suponga que compiten por la misma población de 400 clientes, cada uno de los cuales elige
una aerolı́nea al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la lı́nea A tenga más clientes que sus
210 asientos?
18. Una excursión dispone de 100 plazas. La experiencia indica que cada reserva tiene una
probabilidad 0.1 de ser cancelada a último momento. No hay lista de espera. Se supone que
los pasajeros hacen sus reservas individualmente, en forma independiente. Se desea que la
probabilidad de que queden clientes indignados por haber hecho su reserva y no poder viajar
sea ≤ 0.01. Calcular el número máximo de reservas que se pueden aceptar.
19. Lucas apuesta a que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad de “caras”
observadas diferirá de 50 en 4 o más. ¿Cuál es la probabilidad de Lucas pierda su apuesta?
5.5.
Teorema Central del Lı́mite
20. Se lanza un dado hasta que la suma de los resultados observados sea mayor que 300.
Calcular aproximadamente la probabilidad de que se necesiten al menos 80 lanzamientos.
21. 432 números se redondean al entero más cercano y se suman. Suponiendo que los errores
individuales de redondeo se distribuyen uniformemente sobre el intervalo (−0.5, 0.5), aproximar la probabilidad de que la suma de los números redondeados difiera de la suma exacta en
más de 6.
22. El valor de las facturas en un supermercado se redondea descontándole los decimales. Si
se realizan 500 facturas, ¿cuál es la probabilidad de que el monto de descuentos sea superior
a 240 pesos?
23. En un sistema electrónico se producen fallas de acuerdo con un proceso de Poisson de
tasa 2.5 por mes. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuando ocurran 196
fallas. Calcular (aproximadamente) la probabilidad de que el sistema sea cambiado antes de
los 67.2 meses.
24. Un astronauta debe permanecer 435 dı́as en el espacio y tiene que optar entre dos
alternativas. Utilizar 36 tanques de oxı́geno de tipo A o 49 tanques de oxigeno de tipo B.
Cada tanque de oxı́geno de tipo A tiene un rendimiento de media 12 dı́as y desvı́o 1/4. Cada
tanque de oxı́geno de tipo B tiene un rendimiento de media de 8, 75 dı́as y desvı́o 25/28.
Qué alternativa es la más conveniente?
25. Una máquina selecciona ciruelas y las separa de acuerdo con el diámetro x (medido en
cm.) de cada una. Las de diámetro superior a 4 cm. se consideran de clase A y las otras de
clase B. El diámetro de cada ciruela es una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. El
peso (medido en gramos) de cada ciruela depende de su diámetro y es x3 . Si las cajas pesan
100 gramos, estimar la probabilidad de que una caja con 100 ciruelas de tipo A pese más de
9.6 kilos.
28
26. Lucas y Monk palean arena cargando un volquete. La probabilidad de que una palada
sea de Monk es 0.4 y la probabilidad de que sea de Lucas es 0.6. El volumen en decı́metros
cúbicos de la palada de Lucas es una variable aleatoria uniforme entre 1 y 3, y el de la palada
de Monk es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 4. ¿Cuántas paladas son necesarias para
que la probabilidad de que el volquete tenga más de 4 metros cúbicos de arena supere 0.9?
27. El peso W (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir daños estructurales
es una variable aleatoria con distribución normal de media 1400 y desvı́o 100. El peso (en
toneladas) de cada camión de arena es una variable aleatoria de media 20 y desvı́o 0.25.
¿Cuántos camiones de arena debe haber, como mı́nimo, sobre el tablero del puente para que
la probabilidad de que ocurran daños estructurales supere 0.1?
29