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PRÁCTICAS CON DERIVE
NUM.de MATRÍCULA
28
FECHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APELLIDOS /Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PC
PRÁCTICA CUATRO. FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES POLINÓMICAS
Dado un entero n ≥ 0, la función f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−2 x2 + an−1 x + an se llama
FUNCIÓN POLINÓMICA de grado n. Los números reales ai se llaman coeficientes,a0 6= 0 se denomina
coeficiente principal.
I. Funciones polinómicas de grado 2. Parábolas.
Completar la siguiente tabla:
P 1(x) = x2 + x + 1
P 2(x) = x2 + x + 1/4
P 3(x) = x2 + x − 1/2
Gráfica de P 1
Gráfica de P 2
Gráfica de P 3
Raı́ces de P 1(x) = 0
(Resolver/Expresión)
Raı́ces de P 2(x) = 0
(Resolver/Expresión)
Raı́ces de P 3(x) = 0
(Resolver/Expresión)
Puntos de corte con OX de P 1
Puntos de corte con OX de P 2
Puntos de corte con OX de P 3
Completar cuadrados
P 1(x) =
Completar cuadrados
P 2(x) =
Completar cuadrados
P 3(x) =
Vértice de P 1
Transformación aplicada
a P 1(x) para obtener
Vértice de P 2
P 2(x) =
Vértice de P 3
P 3(x) =
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II. Funciones polinómicas de grado 3.Cúbicas.
* Sea
Q(x) = x3 + bx2 + cx + d
1. Expresar la relación entre los coeficientes para que la cúbica tenga un único punto de tangencia
horizontal, es decir, sea siempre creciente.
RELACIÓN
2. Dibujar dos cúbicas bajo las condiciones anteriores dando valores distintos al coeficiente b.
Q1(x) =
Q2(x) =
3. ¿Qué transformaciones debes aplicar a Q1(x) para obtener Q2(x)?
Funciones inversas
Se dice que una función es INYECTIVA sı́ y sólo sı́ no existen dos puntos en los que la función toma
el mismo valor, es decir, ninguna recta horizontal corta a la gráfica de la función más de una vez.
Si una función f (x) es inyectiva, se define LA FUNCIÓN INVERSA DE f , simbolizada por f −1 , como
la única función definida en la imagen de f que verifica
f (f −1 (x)) = x
∀x ∈ Imagen de f
f −1 (f (x)) = x
∀x ∈ Dominio de f
y por tanto, se verifica
Las gráficas de f y f −1 son SIMÉTRICAS respecto de la recta y = x.
Derive dispone de una función que calcula la función inversa a una función dada:
INVERSE(expresión de la función,variable)
1. Hallar y dibujar, si es posible, la función inversa de Q1(x).
Q1−1(x) =
Observa la simetrı́a con respecto a la recta
y=x
2. Hallar y dibujar, si es posible, la función inversa de f (x) = x3 − x + 1.
f −1 (x) =
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III. Funciones trigonométricas.
Funciones definidas en DERIVE
SIN(x)
Seno de x
ASIN(x)
Arcoseno
CSC(x) =
1
sen x
Cosecante
COS(x)
Coseno de x
ACOS(x)
Arcocoseno
SEC(x) =
1
cos x
Secante
TAN(x)
Tangente
ATAN(x)
Arcotangente
COT(x) =
1
tg x
1. Dibuja las funciones
a)
f (x) = sen x,
g(x) = 3 sen x,
Cotangente
h(x) = sen(3x)
La transformación que se aplica a f para obtener g es
g(x) =
Relaciona los perı́odos y amplitudes de ambas funciones.
b) La transformación que se aplica a f para obtener h es
h(x) =
Relaciona los perı́odos y amplitudes de ambas funciones.
2. Dibuja la gráfica de la función f (x) = sen x + cos x. Simplifica la expresión (Opciones/Ajustes
de Modo/Simplificación/Trigonometrı́a: Collect )
f (x) = sen x + cos x =
Perı́odo de f =
3. * Dibuja la función
Perı́odo de g=
4. * Dibuja la función
Perı́odo de h=
Amplitud de f =
g(x) = sen x + cos(2x)
Estudiar la paridad de g.
h(x) = sen x cos(2x)
Estudiar la paridad de h.
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IV. Funciones exponenciales y logarı́tmicas.
Funciones definidas en DERIVE. Simplifica las funciones hiperbólicas:
EXP(x)
Exponencial de base e
LN(x)
Logaritmo Neperiano
SINH(x) =
Seno hiperbólico
ASINH(x) =
Argumento Seno hiperbólico
COSH(x) =
Coseno hiperbólico
ACOSH(x) =
Argumento Coseno hiperbólico
TANH(x) =
Tangente hiperbólica
ATANH(x) =
Argumento Tangente hiperbólica
LOG(x, a)
1. Sean
Logaritmo en base a
f (x) = ex
g(x) = ln x
loga x = b
⇐⇒ x = ab
se verifica:
f ◦g(x) =
Dom (f ◦g) =
Img (f ◦g) =
g◦f (x) =
Dom (g◦f ) =
Img (g◦f ) =
2. * Razonar si las siguientes igualdades son ciertas, compruébalo analı́tica y gráficamente:
a)
2
ln(e−x ) = eln(−x
b) ln(x3 ) = 3 ln x
c) ln(x2 ) = 2 ln x
2)
PRÁCTICAS CON DERIVE
3. * Dado un número real a verificando
a)
Las funciones
b) Las funciones
4. Dada la función
a)
f (x) =
x
1
a
,
f (x) = log1/a x,
0<
1
<1<a
a
g(x) = ax
son simétricas respecto a
g(x) = loga x
f (x) = 3x. Determinar la función:
Simétrica respecto al eje de ordenadas
h(x) =
b) Simétrica respecto al eje de abcisas
h(x) =
c) Simétrica respecto a la recta y = x
h(x) =
5. Dada la función
a)
son simétricas respecto a
2
f (x) = e−x . Dibujar su gráfica.
Estudiar el dominio e imagen de f .
Dom (f ) =
Img (f ) =
b) Estudiar su paridad e indicar las simetrı́as de la gráfica de f .
c) Determina el punto máximo de la función.
d ) Dibuja las ası́ntotas a la curva y escribr sus ecuaciones:
V. Otras Funciones Elementales
Valor Absoluto
ABS(x) = |x| =
(
x si x ≥ 0
−x si x < 0
Dom (|x|) =
Img (|x|) =
1. Dibuja la función f (x) = |x|. Determina y dibuja la función que:
a) desplaza la gráfica de f dos unidades a la izquierda
g1 (x) =
b) desplaza la gráfica de f dos unidades hacia arriba
g2 (x) =
c) desplaza la gráfica de f tres unidades a la derecha y una unidad hacia abajo
g3 (x) =
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PRÁCTICAS CON DERIVE
2. * Dibuja las gráficas de f (x) = x2 +x−6 y de g(x) = |x2 +x−6| . ¿Qué transformación
se realiza en la gráfica de f para obtener g? Expresa g como composición de las funciones f
y valor absoluto.
g(x) =
3. * Dibuja las gráficas de f (x) = x2 −10x+25 y de g(x) = x2 −10|x|+25 . ¿Qué transformación se realiza en la gráfica de f para obtener g? Expresa g como composición de las
funciones f y valor absoluto. Estudia la paridad de g.
g(x) =
Funciones Máximo y Mı́nimo
Derive dispone de las funciones máximo y mı́nimo, definidas como
|x − y| x + y
+
2
2
1. Comprueba la definiciones anteriores.
2. Dibuja las gráficas de las funciones
MAX(x, y) =
f (x) = x2 − 2x − 2,
g(x) = x − 1,
MIN(x, y) =
x + y |x − y|
−
2
2
hM (x) = máx{f (x), g(x)},
∀x, y ∈ IR
hm (x) = mı́n{f (x), g(x)}
3. Determina el dominio y la imagen de las funciones del apartado anterior.
Dom (f ) =
Img (f ) =
Dom (g) =
Img (g) =
Dom (hM ) =
Img (hM ) =
Dom (hm ) =
Img (hm ) =
* Parte Entera y funciones similares Busca en la ayuda de Derive información sobre Funciones
Continuas a Trozos. Utilizando las funciones descritas en la ayuda, determina y dibuja la gráfica
de:
1. Parte entera de x
[x] =mayor entero menor o igual que x
[x] =
Dom ([x]) =
Img ([x]) =
2. f (x) = x − [x] =
Dom (f ) =
3. Distancia de x al entero más próximo
Dom (d) =
Img (f ) =
d(x) =
Img (d) =
4. f y d son funciones periódicas, determina para cada una de ellas cúal es su perı́odo.
Perı́odo (f ) =
Perı́odo (d) =
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PRÁCTICAS CON DERIVE
* Hipérbolas
Dibuja la gráfica de
f (x) =
1
x
.
1. Calcula
Dom (f ) =
Img (f ) =
2. Halla la ası́ntota horizontal y la ası́ntota vertical de f
Ası́ntota Horizontal de f ≡
Ası́ntota Vertical de f ≡
3. Describe las simetrı́as de la gráfica de f .
4. Determina y dibuja la familia de hipérbolas que tienen las mismas ası́ntotas que f .(Para
dibujar unas cuantas puedes utilizar la función VECTOR)
5. Determina la expresión de una hipérbola cuyas ası́ntotas sean las rectas
x = −5,
y=0
f1 (x) =
6. Describe las simetrı́as de la gráfica de f1 .
7. Determina la expresión de una hipérbola cuyas ası́ntotas sean las rectas
x = 0,
y=3
x = 4,
y = −2
f2 (x) =
8. Describe las simetrı́as de la gráfica de f2 .
9. Determina la expresión de una hipérbola cuyas ası́ntotas sean las rectas
f3 (x) =
10. Describe las simetrı́as de la gráfica de f3 .
11. ¿Qué transformación en el plano relaciona las gráficas de f, f1 , f2 , f3 ?