Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal Publicações Matemáticas Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal 2a edição Pablo Amster Universidad de Buenos Aires Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) impa Copyright © 2009 by Pablo Amster Direitos reservados, 2009 pela Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz Publicações Matemáticas • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau Saldanha The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez Teoria dos Corpos – Otto Endler Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. Dias Carneiro e Salvador Addas Zanata Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito – Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J. Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione e Daniel Victor Tausk Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino Distribuição: IMPA - E-mail: [email protected] - http://www.impa.br ISBN: 978-85-244-0285-2 i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 1 i Prefacio El presente libro constituye una introducción elemental a la aplicación de métodos topológicos en el análisis no lineal. Por simplicidad, estudiaremos únicamente problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, aunque las mismas ideas se pueden emplear también para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. En el capı́tulo 1 se brindan algunas ideas básicas que involucran técnicas topológicas en dimensión finita, tales como el teorema de Bolzano (y su generalización a Rn ), o el teorema de punto fijo de Brouwer. En particular, se demuestra la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones por medio del denominado método de shooting, ası́ como del operador de Poincaré, para problemas periódicos. En el capı́tulo 2 se muestran algunas aplicaciones del conocido teorema de la contracción, debido a Banach, para la obtención de soluciones de ciertos problemas mediante un operador de punto fijo apropiado. En el capı́tulo 3 se demuestra el teorema de Schauder, que puede pensarse como una extensión del teorema de Brouwer a espacios de dimensión infinita. El capı́tulo siguiente está dedicado a desarrollar uno de los métodos más conocidos para la resolución de problemas de contorno: el método de super y subsoluciones. A modo de ejemplo, se muestra su utilidad para la resolución de ciertos problemas clásicos, como la ecuación del péndulo forzado. En el capı́tulo 5 se presenta una extensión elemental del teorema de Schauder, conocida como teorema de Schaefer, que puede verse como un caso particular de los teoremas de continuación de Leray-Schauder. Algunas de estas ideas aparecen también en el capı́tulo siguiente, en donde se expone el tradicional método de Newton, y se lo combina con un argumento de continuación. Una versión más general de los métodos de contin1 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page i uación se introduce a partir de los capı́tulos 7 y 8, en donde se define el grado de Brouwer y su extensión a dimensión infinita, dada por el grado de Leray-Schauder. Finalmente, en el capı́tulo 9 veremos algunas aplicaciones a ciertos problemas denominados resonantes, en los que el operador lineal asociado no es inversible y en consecuencia no pueden ser tratados, en forma directa, mediante un operador de punto fijo. El libro incluye además un apéndice, en donde se repasan algunos aspectos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias y se brindan algunas ideas adicionales. El texto está basado en las notas de los cursos Análisis no lineal: métodos topológicos (Universidad de Buenos Aires, 2007) y Métodos topológicos en el análisis no lineal (Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rı́o de Janeiro, 2009). Quiero expresar mi profundo agradecimiento a todas aquellas personas que colaboraron con esta publicación; en especial, a los alumnos de los cursos mencionados, que con su entusiasmo me motivaron a revisar y ampliar aquel lejano e imperfecto manuscrito. Pablo Amster, marzo de 2009 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page i Índice general Introducción 1. Métodos topológicos: ideas elementales 1.1. El método de “shooting” . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operador de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Un ejemplo en R2 : el ı́ndice de una curva . . . . . . . 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Teorema de valores intermedios y método de shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Operador de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5 9 10 15 15 16 17 2. El teorema de Banach 19 2.1. Métodos de punto fijo. El teorema de Banach . . . . . 19 2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. El teorema de Schauder 27 3.1. Un ejemplo de Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. El teorema de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4. El método de super y subsoluciones 39 4.1. Introducción: un caso particular . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1. Un método iterativo . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2. Super y subsoluciones - Caso general . . . . . . . . . . 45 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page i ÍNDICE GENERAL 4.2.1. Acotaciones para la derivada. Condición de Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Otras condiciones de contorno. Un ejemplo clásico 4.2.3. Pequeña digresión: principio del antimáximo . 4.3. Intervalos no acotados - Método diagonal . . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Método diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 51 56 59 60 64 5. El teorema de Leray-Schauder: un caso particular 66 5.1. El teorema de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6. El método de Newton 6.1. Método de Newton . . . . . . . . 6.2. Método de Newton-continuación 6.3. Cuasilinealización . . . . . . . . . 6.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 83 84 88 7. El grado de Brouwer 90 7.1. Teorı́a de grado topológico. Definición y propiedades . 90 7.2. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8. El grado de Leray-Schauder 104 8.1. El grado de Leray-Schauder. Definición . . . . . . . . . 104 8.2. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9. Problemas resonantes 9.1. Condiciones de Landesman-Lazer . . . . . . . . . . 9.2. Generalización a sistemas. Condición de Nirenberg 9.3. Una condición geométrica . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Resonancia en un autovalor de orden superior. . . 9.5. Algunos resultados preliminares . . . . . . . . . . . 9.6. Teorema de Lazer-Leach generalizado . . . . . . . 9.6.1. Un ejemplo sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 111 117 121 122 123 126 129 132 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page i ÍNDICE GENERAL 10.Apéndice 10.1. Repaso de ecuaciones diferenciales ordinarias 10.2. La ecuación lineal de segundo orden . . . . . 10.3. La función de Green . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Desigualdades de Poincaré y Wirtinger . . . . 10.5. El teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . 10.5.1. Una demostración elemental . . . . . . 10.5.2. El teorema fundamental del álgebra . 10.5.3. La demostración de Milnor y Rogers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 134 136 138 139 142 143 144 146 i i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 1 i Introducción En este trabajo se presentan algunas de las ideas y métodos topológicos básicos del análisis no lineal. Por simplicidad, nos limitaremos a considerar la aplicación de tales métodos a problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias, aunque las mismas ideas se pueden emplear para estudiar diversas ecuaciones no lineales en derivadas parciales. Para comprender la importancia de los métodos topológicos, vamos a comenzar describiendo una situación que se puede estudiar mediante los llamados métodos variacionales. Por ejemplo, el siguiente problema para una ecuación (no lineal) de segundo orden, con condiciones de Dirichlet: ½ 00 u (t) − u(t) = f (t, u) (1) u(0) = u(1) = 0, en donde f : [0, T ] × R → R es continua. La idea en este caso es simple: se propone la siguiente funcional, definida en algun conjunto apropiado, Ju = Z 1 0 u(t)2 u0 (t)2 + + F (t, u(t)) dt, 2 2 Ru en donde F (t, u) = 0 f (t, s) ds. Un espacio “razonable” para trabajar este problema es el espacio de Sobolev H01 (0, 1) := {u : [0, 1] → R absolutamente continua : u0 ∈ L2 (0, 1), u(0) = u(1) = 0 }, 1 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 2 i 2 Introducción que es un espacio de Hilbert para el producto interno dado por hu, vi = Z 1 u0 (t)v 0 (t) + u(t)v(t) dt. 0 Resulta entonces inmediato ver que J es diferenciable, y vale: DJ(u)(ϕ) = Z 1 u0 (t)ϕ0 (t) + u(t)ϕ(t) + f (t, u(t))ϕ(t) dt 0 De esta forma, si u es un punto crı́tico de J (es decir, DJ(u) ≡ 0), entonces resulta una solución débil del problema (1). El sentido de “solución débil” se hace claro, pues si u ∈ H01 (0, 1) es un punto crı́tico de J que además tiene una segunda derivada en L2 (0, 1), entonces se puede integrar por partes el primer término de DJ(u)(ϕ) para obtener: Z 1 [−u00 (t) + u(t) + f (t, u(t))] ϕ(t) dt = 0. 0 Como esta igualdad vale para toda ϕ en H, que es denso en L2 (0, 1), se deduce que −u00 (t) + u(t) + f (t, u(t)) = 0. En otras palabras, una solución “clásica” del problema es también solución débil, aunque el enunciado recı́proco, si bien es cierto en este caso, no vale en un contexto más general. Un caso de sencilla resolución se da por ejemplo cuando f es una función acotada (o, más en general, sublineal): de ser ası́, podemos pensar intuitivamente que J se comporta como una parábola, y empleando argumentos usuales del análisis funcional es fácil ver que alcanza un mı́nimo absoluto. Sin embargo, si por ejemplo f depende también de u0 , entonces el problema pierde su estructura variacional; esto quiere decir que sus soluciones no pueden obtenerse como puntos crı́ticos de una funcional. En tal caso, una forma alternativa para probar la existencia de soluciones está dada por los llamados métodos topológicos. El presente trabajo está dedicado a presentar y desarrollar algunos de dichos métodos. A fines de simplificar la exposición, y centrar la atención más en las técnicas que en los problemas especı́ficos, nos i i i i i i i Introducción “apunte˙impa 2009/11/19 page 3 i 3 dedicaremos a estudiar principalmente el problema semilineal de segundo orden u00 (t) = f (t, u, u0 ) (2) con condiciones de Dirichlet u(0) = u0 , u(T ) = uT . En algunas secciones consideraremos también otras condiciones de contorno importantes, como las periódicas, que permiten presentar ciertos casos elementales de aquella clase de problemas llamados resonantes. En la medida de lo posible se ha optado por el modo de resolución más simple y que requiera menor cantidad de conocimientos previos: en particular, se ha evitado casi por completo el uso de los espacios de Sobolev, de modo que el texto pueda comprenderse con un conocimiento básico de los espacios de funciones continuas y eventualmente del espacio de funciones L2 . Algunos comentarios involucran aspectos algo más avanzados, pero en general pueden ser omitidos. En ocasiones, un mismo problema se resuelve más de una vez, por diferentes métodos: eso permite ir “mejorando” las condiciones que garantizan la existencia de soluciones a medida que se cuenta con herramientas topológicas más poderosas. La ecuación (2) con distintas condiciones de contorno fue estudiada por diversos autores, a partir del trabajo original de Picard [33], por medio del conocido método de aproximaciones sucesivas. En 1922, Hamel [12] obtuvo resultados más precisos en el caso especial de la ecuación del péndulo forzado (ver también [19], [20]). La aplicación de métodos topológicos a esta clase de problemas tiene su origen histórico en el método de shooting, introducido en 1905 por Severini [36], hasta llegar al planteo mucho más general, que emplea métodos más sofisticados tales como la teorı́a de grado de Leray-Schauder, que veremos en el capı́tulo 8. Una breve historia del problema de Dirichlet para la ecuación de segundo orden y los métodos de resolución puede consultarse por ejemplo en [21]. En el apéndice se brindan algunas ideas adicionales, y un repaso de los principales temas de ecuaciones diferenciales ordinarias que se emplean a lo largo del trabajo. i i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 4 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 5 i Capı́tulo 1 Métodos topológicos: ideas elementales 1.1. El método de “shooting” En esta sección desarrollaremos una idea muy sencilla, que se corresponde con el origen histórico de la aplicación de herramientas topológicas al análisis no lineal. A modo de ejemplo, consideremos el problema de Dirichlet para la ecuación de segundo orden: ½ 00 u = f (t, u) (1.1) u(0) = u(1) = 0. Supongamos que la función f : [0, 1] × R → R es continua, y localmente Lipschitz en la variable u, lo cual garantiza que para cualquier valor λ ∈ R el problema de valores iniciales ½ 00 u = f (t, u) (1.2) u(0) = 0, u0 (0) = λ tiene una única solución uλ definida en cierto intervalo (maximal) no trivial Iλ = [0, M ), con M = M (λ) ∈ (0, +∞]. En general, no se puede garantizar que M (λ) > 1 (es decir, que el intervalo Iλ llegue hasta el 1), aunque sobre el conjunto {λ : M (λ) > 1} la función 5 i i i i i i i 6 “apunte˙impa 2009/11/19 page 6 i [CAP. 1: MÉTODOS TOPOLÓGICOS: IDEAS ELEMENTALES λ 7→ uλ (1) resulta continua. Esto se debe a la dependencia continua respecto de los valores iniciales. Es claro que estamos buscando un valor de λ para el cual uλ (1) esté definido y valga 0; en virtud de la continuidad antes mencionada, alcanza con encontrar un intervalo Λ = [λ− , λ+ ] tal que uλ (1) exista para todo λ ∈ Λ, y además uλ− (1) ≤ 0 ≤ uλ+ (1), o viceversa. Por ejemplo, si f es acotada, entonces por el ejercicio (4b) de la sección 10.1 las soluciones de (1.2) están definidas en todo el intervalo [0, 1]. Además, integrando la ecuación vale: u0λ (t) =λ+ Z t f (s, uλ (s)) ds. 0 Esto dice que si λ > kf k∞ entonces u0λ (t) ≥ λ − tkf k∞ > 0 para t ≤ 1. De esta forma, uλ es creciente, y resulta uλ (1) > 0. Del mismo modo, para λ < −kf k∞ se obtiene que uλ (1) < 0, lo que permite deducir que uλ (1) = 0 para algún λ ∈ [−kf k∞ , kf k∞ ] Observación El resultado anterior se prueba de la misma forma para el caso no variacional, con f = f (t, u, u0 ). A modo de ejemplo, veamos que en algunos casos es posible asegurar la existencia de más de una solución. Para ello, consideremos nuevamente el problema (1.1), y supongamos que f es continua, acotada y de clase C 1 respecto de u. Además, supondremos que f (t, 0) = 0, ∂f (t, 0) ∈ (−4π 2 , −π 2 ) ∂u para todo t ∈ [0, 1]. Es fácil ver que la función φ : R → R dada por φ(λ) = uλ (1) es diferenciable, y como u ≡ 0 es solución, se deduce que φ(0) = 0. Además, por el ejemplo anterior sabemos que φ(−λ) < 0 < φ(λ) para λ > kf k∞ . Vamos a probar que φ0 (0) < 0, lo que garantiza que el problema tiene al menos tres soluciones (una de ellas es la solución trivial). i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 7 i 7 [SEC. 1.1: EL MÉTODO DE “SHOOTING” En efecto, si pensamos a u como función de λ y t, entonces la ∂u función wλ (t) := ∂λ (λ, t) satisface ∂f (t, uλ (t))wλ (t) wλ00 (t) = ∂u wλ (0) = 0, wλ0 (0) = 1. ½ Como u0 ≡ 0, se deduce que φ0 (0) = w0 (1), donde w0 es la única solución del problema ½ 00 ∂f (t, 0)w0 (t) w0 (t) = ∂u w0 (0) = 0, w00 (0) = 1. Ahora emplearemos el siguiente principio de comparación de Sturm: Si u00 (t) = q(t)u(t) y v 00 (t) = q̃(t)v(t), con q, q̃ continuas tales que q > q̃, y a < b son dos ceros consecutivos de u, entonces v se anula en (a, b). Para probar esto, basta suponer que u > 0 en (a, b), y si por ejemplo ocurre que v > 0 en (a, b), entonces multiplicando las igualdades anteriores por v y u respectivamente, y luego integrando por partes, se obtiene: ¯b Z ¯ u v¯ − 0 a − Z b 0 0 u (t)v (t) dt = a b 0 0 u (t)v (t) dt = a Z Z b q(t)u(t)v(t) dt, a b q̃(t)u(t)v(t) dt. a Restando ambas ecuaciones, resulta ¯b Z b ¯ (q(t) − q̃(t))u(t)v(t) dt > 0. u v¯ = 0 a a Por otra parte, u0 (a) ≥ 0 ≥ u0 (b), lo que es absurdo. Podemos aplicar este resultado a las funciones v1 (t) = sen(πt), v2 (t) = sen(2πt), i i i i i i i 8 “apunte˙impa 2009/11/19 page 8 i [CAP. 1: MÉTODOS TOPOLÓGICOS: IDEAS ELEMENTALES que satisfacen: v100 = −π 2 v1 , v200 = −4π 2 v2 . ∂f Como ∂u (t, 0) < −π 2 , se deduce que w0 se anula en (0, 1). Por otra ∂f parte, como ∂u (t, 0) > −4π 2 , entonces w1 no puede anularse más de una vez en (0, 1); entonces se anula exactamente una vez, y ello ocurre en el intervalo ( 21 , 1). Como w00 (0) > 0, se deduce que w0 (1) < 0, lo que prueba que φ0 (0) < 0. Vale la pena destacar que los resultados anteriores emplean un teorema topológico muy elemental: el teorema de Bolzano, o de los valores intermedios. Pero resulta claro que la misma idea puede aplicarse si (1.1) es un sistema, en donde f : [0, 1] × Rn → Rn , o también para f : [0, 1] × R2n → Rn , con f dependiente también de u0 , asumiendo que es Lipschitz en (u, u0 ). En este caso, el dato inicial de la derivada en 0 es un vector λ ∈ Rn . Si suponemos como antes que f es acotada, el resultado se deduce también en forma inmediata, pero usando ahora un teorema bastante menos trivial, el de valores intermedios generalizado a Rn : Teorema Sea f = (f1 , . . . , fn ) : [−1, 1]n → Rn continua tal que para todo i = 1, . . . , n y todo x tal que xi = 0 vale: fi (−ei + x) ≤ 0 ≤ fi (ei + x). Entonces existe algún x ∈ [−1, 1]n tal que f (x) = 0. Este resultado fue enunciado por Poincaré en 1884, aunque luego se conoció como teorema de Miranda, quien probó en 1940 que es equivalente al teorema de Brouwer (y en definitiva, ambos enunciados equivalen al axioma de completitud de los números reales): Teorema (Brouwer) Sea B la bola unitaria de Rn y sea f : B → B continua. Entonces existe x ∈ B tal que f (x) = x. En el apéndice se da una demostración sencilla de este teorema, basada en el artı́culo [34]. Sobre la equivalencia con el teorema de Poincaré-Miranda (ver ejercicio 4, en la sección 1.4.2) y otros resultados similares, puede consultarse por ejemplo el artı́culo [13]. i i i i i i i [SEC. 1.2: OPERADOR DE POINCARÉ “apunte˙impa 2009/11/19 page 9 i 9 Como veremos más adelante, se extiende de manera apropiada a espacios de Banach, cosa que nos resultará útil para obtener algunos resultados de existencia de soluciones para ciertas ecuaciones. Pero incluso la versión en Rn sirve para resolver por ejemplo algunos problemas periódicos, según se muestra en la próxima sección. 1.2. Operador de Poincaré Intentaremos resolver bajo ciertas hipótesis el problema periódico ½ 0 u = f (t, u) (1.3) u(0) = u(1), en donde f : [0, 1] × Rn → Rn es continua y localmente Lipschitz en u. Como en el método de shooting, la idea consiste en resolver el problema de valores iniciales para cierto dato λ ∈ Rn , y buscar algún λ adecuado para que la solución obtenida sea solución de (1.3). Más concretamente, definimos uλ como la única solución del problema ½ 0 u = f (t, u) u(0) = λ. Luego, si uλ (t) existe hasta t = 1, eso nos permite a su vez definir P (λ) = uλ (1). Esta función P , llamada operador de Poincaré, está definida en cierto subconjunto A ⊂ Rn y toma valores en Rn . En general, no es posible determinar el conjunto A con exactitud, aunque por ejemplo alcanza con saber que contiene a cierto subconjunto compacto y convexo K tal que P (λ) ∈ K para todo λ ∈ K. En efecto, el teorema de Brouwer garantiza en este caso que P tiene un punto fijo λ ∈ K, y en consecuencia uλ es solución de (1.3). Veamos un ejemplo en donde el teorema puede aplicarse: Proposición Sea f : [0, 1] × Rn → Rn continua y localmente Lipschitz en u tal que f (t, u) · u < 0 para |u| = R, en donde · y | | denotan respectivamente el producto interno y la norma usuales de Rn , y R es una constante positiva. Entonces el problema (1.3) tiene al menos una solución u tal que kuk∞ ≤ R. i i i i i i i 10 “apunte˙impa 2009/11/19 page 10 i [CAP. 1: MÉTODOS TOPOLÓGICOS: IDEAS ELEMENTALES Demostración. Sea λ ∈ Rn tal que |λ| ≤ R, y supongamos que uλ está definida hasta cierto valor T . Veamos que |uλ (t)| ≤ R para t ∈ [0, T ]. En efecto, si llamamos ψ(t) := |u(t)|2 , entonces ψ 0 (t) = 2u(t) · u0 (t) = 2u(t) · f (t, u(t)). Esto dice que si |u(t)| = R (y ψ(t) = R2 ), entonces ψ 0 (t) < 0; en otras palabras, si ψ(0) = λ2 < R2 , entonces no puede crecer hasta tomar el valor R2 , mientras que si |λ| = R, entonces ψ decrece en un entorno del 0, y luego no puede volver a crecer hasta R2 . En primer lugar, esto garantiza que entonces uλ puede extenderse hasta T = 1, pues en caso contrario (ver apéndice, sección 10.1) deberı́a tender a infinito o “explotar” cuando t se aproxima a cierto valor T ∗ < 1, lo que es absurdo. Por otra parte, tomando T = 1 vemos que P envı́a a la bola (cerrada) de radio R en sı́ misma, de donde se concluye que tiene allı́ al menos un punto fijo. 1.3. Un ejemplo en R2 : el ı́ndice de una curva En esta sección veremos una aplicación de una herramienta topológica de gran utilidad para resolver ciertas ecuaciones que pueden reducirse a un problema en el plano: el ı́ndice de una curva. Estudiaremos el problema u00 + g(u) = p(t), u(0) = u(1) = 0 en donde g satisface la siguiente condición: lı́m |u|→∞ g(u) = +∞. u (1.4) Los problemas de este tipo se denominan superlineales; a continuación probaremos que existen infinitas soluciones. i i i i i i i [SEC. 1.3: UN EJEMPLO EN R2 : EL ÍNDICE DE UNA CURVA “apunte˙impa 2009/11/19 page 11 i 11 Para ello, en primer lugar conviene hacer una observación básica en relación a las integrales curvilı́neas. Si γ : [0, 1] → C es una curva continua que no pasa por el origen, y además γ(0), γ(1) ∈ R, entonces: µ ¶ Z 1 1 1 Re dz ∈ Z. 2πi γ z 2 En efecto, si γ(0) = γ(1), la anterior integral no es otra cosa que el ı́ndice de la curva respecto del 0, cuyo valor es un número entero. Si γ(1) = −γ(0), entonces por medio de la homotopı́a h(t, λ) = λγ(t) + (1 − λ) |γ(0)| γ(t) |γ(t)| se deduce que la integral vale k2 , con k entero impar. El caso general se reduce ahora a cualquiera de estos dos, agregándole a la curva un segmento [a, b] ⊂ R − {0}, sobre el cual el valor de la integral es una constante imaginaria. Este simple hecho tiene una aplicación directa a las ecuaciones de segundo orden: supongamos en primer lugar que tenemos una solución del problema u00 = f (t, u, u0 ), u(0) = u(1) = 0, y consideremos la curva γ definida en el plano de fases (u0 , u), identificado con el plano complejo: γ(t) = u0 (t) + iu(t). Por la condición de Dirichlet, γ(0) y γ(1) son números reales, que corresponden respectivamente a los valores de u0 en 0 y 1. En consecuencia, si de alguna forma logramos probar que γ no pasa por el origen decir, que u y u0 no se anulan simultáneamente), el valor ³ (es R 1 ´ k 1 Re 2πi γ z dz = 2 nos brinda información cualitativa acerca de u; por ejemplo, proporciona una cota inferior para la cantidad de ceros de u en [0, 1]. En efecto, la curva comienza sobre el eje horizontal, y cada medio giro que efectúa agrega por lo menos un cero a u; de esta forma, se tiene: ]{ceros de u} ≥ |k| + 1. i i i i i i i 12 “apunte˙impa 2009/11/19 page 12 i [CAP. 1: MÉTODOS TOPOLÓGICOS: IDEAS ELEMENTALES El interés de esta observación reside en que el número k puede expresarse fácilmente como una integral en términos de u, de la siguiente manera: k = Re µ 1 πi Escribiendo Z γ0 γ γ 1 dz z ¶ = 1 Im π µZ γ 1 dz z ¶ = 1 π Z 1 Im 0 γ0γ |γ|2 , resulta claro que 1 π 1 k= u0 (t)2 − u(t)u00 (t) dt u(t)2 + u0 (t)2 1 π 1 = u0 (t)2 − u(t)f (t, u(t), u0 (t)) dt. u(t)2 + u0 (t)2 = Z Z 0 0 µ γ 0 (t) γ(t) ¶ dt. En realidad, este resultado no debe sorprender si se piensa ´ el ³ 0 que u integrando es igual a la derivada de la función − arctan u . En efecto, al asumir que γ no pasa por el origen, en particular estamos diciendo que hay sólo un número finito de ceros, y son simples. Si a < b son dos ceros consecutivos de u, se tiene que lı́m t→a+ En consecuencia, Z b a u0 (t) u0 (t) = +∞ = − lı́m . u(t) t→b− u(t) u0 (t)2 − u(t)u00 (t) dt = arctan u(t)2 + u0 (t)2 µ u0 u ¶¯ ¯a ¯ b = arctan(+∞) − arctan(−∞) = π. Finalmente, si 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 son todos los ceros de u, entonces Z 1 0 k−1 Z tj+1 X u0 (t)2 − u(t)u00 (t) dt = 2 0 2 u(t) + u (t) j=0 tj u0 (t)2 − u(t)u00 (t) dt = kπ. u(t)2 + u0 (t)2 Pero más allá de la posibilidad de estimar la cantidad de ceros de una solución ya conocida, veamos que en realidad este ı́ndice permite, i i i i i i i [SEC. 1.3: UN EJEMPLO EN R2 : EL ÍNDICE DE UNA CURVA “apunte˙impa 2009/11/19 page 13 i 13 en determinados casos, probar la existencia de soluciones con cierto número pre-establecido de ceros. Por simplicidad, vamos a verlo con un ejemplo concreto como u00 + u3 = p(t), u(0) = u(1) = 0, aunque se puede llegar a conclusiones similares si se reemplaza u3 por cualquier g que satisfaga (1.4). En realidad, sólo vamos a dar las ideas principales; los detalles quedarán como ejercicio. Paso 1: Sea uλ la única solución del problema de valores iniciales u00λ + u3λ = p(t), uλ (0) = 0, u0λ (0) = λ, definida en algún intervalo [0, T ] con T > 0. Vamos a probar una acotación que es fundamental para todo el desarrollo posterior. Para ello, llamemos R a la norma de u en el sentido del espacio C 1 ([0, T ]), es decir: R = máx{kuλ k∞ , ku0λ k∞ }. Afirmación: existe una constante r > 0 independiente de T , de modo tal que para R À 0 y 0 ≤ t ≤ T vale: uλ (t)2 + u0λ (t)2 ≥ Rr . Para ver esto, alcanza con integrar la ecuación de la siguiente manera: multiplicamos por u0λ de ambos lados, y entonces Z t u0λ (t)2 uλ (t)4 λ2 p(s)u0λ (s) ds. + = + 2 4 2 0 Como λ2 ≤ R2 , para R grande y t ∈ [0, T ] resulta: uλ (t)4 λ2 R4 ≤ + cR ≤ R2 < donde c := kpkL1 . 4 2 4 En consecuencia, existe t0 tal que R = |u0λ (t0 )|, y de la igualdad anterior se deduce que λ2 R2 ≤ + cR. 2 2 i i i i i i i 14 “apunte˙impa 2009/11/19 page 14 i [CAP. 1: MÉTODOS TOPOLÓGICOS: IDEAS ELEMENTALES Luego, para cierto R0 independiente de T se cumple que si 2 R ≥ R0 vale por ejemplo que λ2 ≥ R2 . Fijemos un valor r < 1, entonces para aquellos valores de t tales que uλ (t)2 < Rr , se obtiene: u0λ (t)2 2 = λ +2 Z t 0 p(s)u0λ (s) ds− uλ (t)4 R2 − R2r ≥ −2cR > Rr 2 2 para R grande. Esto implica que u0λ (t)2 + uλ (t)2 > Rr para todo t ∈ [0, T ]. Paso 2: uλ esta definida en [0, 1]: para |λ| ≥ R0 , a partir de los cálculos anteriores vale que si u está definida en [0, T ] para T ≤ 1 y R := kukC 1 ([0,T ]) , entonces R2 ≤ 2λ2 . Esto dice que al extender uλ a la √derecha de T , su norma no puede aumentar más allá del valor 2λ, de donde el resultado se deduce en forma inmediata. Paso 3: Para |λ| À 0, la función 1 I(λ) := π = 1 π Z 1 0 Z 1 0 u0λ (t)2 − uλ (t)u00λ (t) dt uλ (t)2 + u0λ (t)2 u0λ (t)2 + uλ (t)4 − uλ (t)p(t) dt uλ (t)2 + u0λ (t)2 está bien definida, y es continua. Además, el integrando es positivo, y usando la desigualdad obtenida en el paso 1 se verifica que I(λ) → +∞ para |λ| → ∞. Luego, existe cierto k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces la ecuación I(λ) = k tiene al menos dos soluciones. Notemos, además, que la curva u0λ + iuλ gira en sentido anti-horario y no vuelve hacia atrás: esto dice que existen por lo menos dos soluciones del problema que tienen exactamente k + 1 ceros en [0, 1]. i i i i i i i 15 [SEC. 1.4: EJERCICIOS 1.4. 1.4.1. 1. “apunte˙impa 2009/11/19 page 15 i Ejercicios Teorema de valores intermedios y método de shooting Probar que la ecuación del péndulo forzado con fricción u00 + au0 + b sin(u) = p(t), (1.5) en donde p es una función continua, admite al menos una solución para cualquier dato de Dirichlet u(0) = u0 , u(T ) = uT . ¿Puede decirse lo mismo para las condiciones periódicas u(0) = u(T ), 2. u0 (0) = u0 (T )? Sea f : [0, 1] × Rn → Rn una función globalmente Lipschitz en u con constante L suficientemente pequeña. Probar que el problema de Dirichlet ½ 00 u = f (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 tiene solución única. Deducir que si f es de clase C 1 respecto de u y vale que ¯ ¯ ¯ ∂f ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ui (t, u)¯ ≤ ci con ci suficientemente pequeño para i = 1, . . . , n, entonces el problema tiene solución única. 3. Sea f : [0, 1] × Rn → Rn continua y globalmente Lipschitz en u tal que para cada t fijo la función u 7→ f (t, u) es creciente. Probar que el problema ½ 00 u = f (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 tiene solución (que además es única). i i i i i i i 16 4. “apunte˙impa 2009/11/19 page 16 i [CAP. 1: MÉTODOS TOPOLÓGICOS: IDEAS ELEMENTALES Consideremos el problema u00 + f (u) = 0, u(0) = u(1) = 0 (1.6) en donde por simplicidad supondremos Rque f : [0, +∞) → R es u continua y positiva. Luego, si F (u) = 0 f (s) ds, entonces F es estrictamente creciente en u. Una solución u de (1.6) se dice positiva si u > 0 en (0, 1). a) Probar que toda solución positiva tiene un único punto crı́tico, que resulta ser un máximo. b) Probar que toda solución positiva es simétrica respecto de t = 12 . c) Probar que (1.6) tiene una solución positiva u tal que kuk∞ = M si y sólo si Z d) 1.4.2. 1. 2. M 0 du p F (M ) − F (u) = √ 2 . 2 Deducir un resultado de existencia y unicidad de soluciones positivas para f (u) = uα , con α > 0. ¿Es posible probar esto en forma directa? Teorema de Brouwer a) Sea f : [a, b] → R continua tal que [a, b] ⊂ f ([a, b]). Probar que f tiene al menos un punto fijo. b) Mostrar con un ejemplo que el resultado anterior no vale para n > 1. Más concretamente, encontrar R ⊂ R2 rectángulo cerrado y f : R → R2 continua sin puntos fijos tal que R ⊂ f (R). Probar que el teorema de Brouwer es equivalente al hecho de que no existen retracciones de Rn a la esfera unitaria, es decir: no existe r : Rn → S n−1 continua tal que r(x) = x para todo x ∈ S n−1 . i i i i i i i 17 [SEC. 1.4: EJERCICIOS 3. “apunte˙impa 2009/11/19 page 17 i Sea γ : [0, 1] → R2 una curva continua cerrada simple, y sean U = int(γ), f : U → R2 continua con f 6= 0 sobre γ. Probar que si el ı́ndice I(f ◦ γ, 0) de la curva f ◦ γ es distinto de 0, entonces f se anula en U . b) Probar el Teorema de Brouwer en el plano. Sugerencia: considerar gλ (z) = z − λf (z) y aplicar (3a). c) Probar el Teorema de valores intermedios generalizado, para el caso del plano: si f = (f1 , f2 ) : [−1, 1]2 → R2 es continua, y verifica a) f1 (−1, y) ≤ 0 ≤ f1 (1, y) para todo y ∈ [−1, 1], f2 (x, −1) ≤ 0 ≤ f2 (x, 1) para todo x ∈ [−1, 1], entonces f tiene al menos un cero. 4. Probar en Rn que el teorema de Brouwer es equivalente al teorema de valores intermedios generalizado. 5. Probar en Rn que el teorema de Brouwer es equivalente al siguiente enunciado: si f : RN → RN es continua y existe una constante M tal que |f (x) − x| ≤ M para todo x, entonces f tiene al menos un cero. 6. Sea φ : S n−1 → Rn continua con φ(x) 6= 0 para todo x ∈ S n−1 , φ . Probar que son y sea ψ : S n−1 → S n−1 dada por ψ = |φ| equivalentes: a) b) 1.4.3. 1. Toda extensión continua de φ a la bola unitaria se anula en algún punto. ψ es homotópicamente no trivial (es decir, no existe una homotopı́a continua h : S n−1 × [0, 1] → S n−1 tal que h(·, 0) = ψ y h(·, 1) = constante). Operador de Poincaré Probar que el problema periódico 0 x = ϕ(t) + y − x3 y 0 = ψ(t) − y 5 + 4xy x(0) = x(1), y(0) = y(1) i i i i i i i 18 “apunte˙impa 2009/11/19 page 18 i [CAP. 1: MÉTODOS TOPOLÓGICOS: IDEAS ELEMENTALES con ϕ, ψ : [0, 1] → R continuas tiene al menos una solución. 2. Sea f : R × Rn → Rn continua y localmente Lipschitz en x. Supongamos además que f es T -periódica en t y sublineal en x, es decir: f (t + T, x) = f (t, x) f (t, x) =0 |x| |x|→∞ lı́m para todo (t, x), uniformemente en t. Probar que el problema x0 + x = f (t, x) tiene al menos una solución T -periódica x : R → Rn . 3. Sean f, g : [0, T ] × R2 → R continuas y localmente Lipschitz en (x, y) ∈ R2 . Supongamos además: a) |f (t, x, y)| ≤ M para (t, x, y) ∈ [0, T ] × R2 → R. b) |g(t, x, y)| ≤ C(x) para (t, x, y) ∈ [0, T ] × R2 → R, en donde C es una función continua. c) Existe R > 0 tal que f (t, x, y) ≥ 0 ≥ f (t, −x, y) para todo (t, x, y) tal que x ≥ R, y g(t, x, y) ≥ 0 ≥ g(t, x, −y) para todo (t, x, y) tal que y ≥ R. Probar que el problema 0 x = f (t, x, y) y 0 = g(t, x, y) x(0) = x(T ), y(0) = y(T ) tiene al menos una solución. Verificar, además, que las anteriores desigualdades para f y g se pueden invertir (una de ellas, o las dos). i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 19 i Capı́tulo 2 El teorema de Banach 2.1. Métodos de punto fijo. El teorema de Banach En el capı́tulo previo hicimos uso del conocido teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, que dice: Teorema Sean Ω ⊂ R × Rn un abierto, (t0 , x0 ) ∈ Ω y f : Ω → Rn una función continua y localmente Lipschitz en x. Entonces existe un δ > 0 tal que el problema de valores iniciales ( x0 = f (t, x) (2.1) x(t0 ) = x0 tiene una única solución definida en [t0 − δ, t0 + δ]. La demostración clásica está dada por el llamado método de Picard de aproximaciones sucesivas, que consiste en construir la sucesión x0 (t) ≡ x0 Z t f (s, xn (s))ds, xn+1 (t) = x0 + t0 19 i i i i i i i 20 “apunte˙impa 2009/11/19 page 20 i [CAP. 2: EL TEOREMA DE BANACH y mostrar que para algún δ > 0, xn está bien definida y converge uniformemente en [t0 − δ, t0 + δ] a cierta función x. Luego, resulta claro que x es una solución de (2.1), pues vale que: x(t) = x0 + Z t f (s, x(s))ds. t0 La unicidad se deduce fácilmente a partir por ejemplo del lema de Gronwall (ver ejercicio 2 de la sección 10.1). En su tesis doctoral de 1917, S. Banach mostró que el método de Picard es en realidad un caso particular de un resultado que mucho más general: el llamado lema de la contracción, o también teorema de punto fijo de Banach. Recordemos que una función entre dos espacios métricos es una contracción cuando es (globalmente) Lipschitz con constante menor que 1. En otras palabras, T : X → Y es una contracción si existe α < 1 tal que dY (T x, T y) ≤ αdX (x, y) para todo par de elementos x, y ∈ X. Teorema (Banach) Sea X un espacio métrico completo, y sea T : X → X una contracción. Entonces T tiene un único punto fijo x̂. Además, x̂ puede calcularse en forma iterativa a partir la sucesión xn+1 = T (xn ), comenzando en cualquier x0 ∈ X. Este sencillo resultado se prueba en forma inmediata: inductivamente, es claro que d(xn+1 , xn ) ≤ αn d(x1 , x0 ). Entonces d(xn+k , xn ) ≤ n+k−1 X j=n d(xj+1 , xj ) ≤ n+k−1 X αj d(x1 , x0 ), j=n lo que prueba que {xn } es una sucesión de Cauchy. y es fácil ver que su lı́mite x̂ es punto fijo de T . La unicidad es trivial, pues si T (x) = x entonces d(x, x̂) = d(T (x), T (x̂)) ≤ αd(x, x̂). La cota que proporciona la serie geométrica permite calcular tam- i i i i i i i [SEC. 2.1: MÉTODOS DE PUNTO FIJO. EL TEOREMA DE BANACH “apunte˙impa 2009/11/19 page 21 i 21 bién la velocidad a la cual la sucesión converge a x̂: en efecto, d(xn , x̂) = lı́m d(xn , xn+k ) ≤ lı́m k→∞ k→∞ ≤ n+k−1 X d(xj+1 , xj ) j=n αn d(x1 , x0 ). 1−α Pero vale la pena mencionar una demostración aun más elemental del teorema, debida a Richard Palais [32], que no requiere conocer siquiera la suma de la serie geométrica: para x, y cualesquiera, vale d(x, y) ≤ d(x, T (x)) + d(T (x), T (y)) + d(y, T (y)), y en consecuencia (1 − α)d(x, y) ≤ d(x, T (x)) + d(y, T (y)). Tomando x = xn , y = xm , se deduce que d(xn , xm ) ≤ 1 [d(T n (x0 ), T n (x1 )) + d(T m (x0 ), T m (x1 ))] 1−α αn + αm d(x0 , x1 ). 1−α Esto prueba que la sucesión es de Cauchy, y también la convergencia lineal de la sucesión: es decir, la cota que obtuvimos anteriormente, αn d(x1 , x0 ). d(xn , x̂) ≤ 1−α El lema de la contracción permite dar una demostración directa del teorema de existencia y unicidad local. En efecto, el operador “evidente” para buscar un punto fijo es Z t f (s, x(s)) ds. T x(t) = x0 + ≤ 0 Sólo necesitamos encontrar un espacio métrico completo X tal que T : X → X esté bien definido y resulte una contracción. Consideremos δ̂, r > 0 tales que [t0 − δ̂, t0 + δ̂] × Br (x0 ) ⊂ Ω. Sean M y L respectivamente el máximo y la constante de Lipschitz de la función f en dicho conjunto, y tomemos como espacio X a la i i i i i i i 22 “apunte˙impa 2009/11/19 page 22 i [CAP. 2: EL TEOREMA DE BANACH bola cerrada de radio r centrada en x0 , pero ahora dentro del espacio C([t0 − δ, t0 + δ], Rn ) para cierto δ ≤ δ̂ conveniente: X = {x : [t0 − δ, t0 + δ] → Br (x0 ) continua}, provisto de la métrica usual d(x, y) = máx t∈[t0 −δ,t0 +δ] |x(t) − y(t)|. Es claro que T : X → C([t0 − δ, t0 + δ], Rn ) está bien definido, y además ¯Z t ¯ ¯ ¯ ¯ |T x(t) − x0 | = ¯ f (s, x(s))ds¯¯ ≤ M δ. t0 r entonces X resulta invariante, es decir: Luego, si elegimos δ ≤ M T (X) ⊂ X. Por otro lado, para x, y ∈ X se tiene: ¯ ¯Z t ¯ ¯ ¯ (f (s, x) − f (s, y))ds¯¯ ≤ δLd(x, y). d(T x, T y) = máx ¯ t∈[t0 −δ,t0 +δ] t0 De esta forma, si además δ < ción. 1 L entonces T : X → X es una contrac- Observación Notemos que el teorema realmente garantiza que la solución x obtenida es única en el intervalo [t0 − δ, t0 + δ]: en efecto, si y fuera otra solución definida en algún entorno de t0 , entonces valdrı́a, para cierto δ ∈ (0, δ] que |y(t)| ≤ r cuando t ∈ [t0 − δ, t0 + δ]. Pero si ahora redefinimos el espacio X con este nuevo valor δ, T va a resultar una contracción allı́, lo que dice que x = y en [t0 − δ, t0 + δ]. Esto permite asegurar que x = y en cualquier intervalo que contenga a t0 en el cual ambas soluciones estén definidas. El teorema de Banach se puede aplicar también a problemas de contorno como (1.1) o, un poco más en general, con una condición no homogénea u(0) = u0 , u(1) = u1 . La idea es la siguiente: para v ∈ C([0, 1]) fija, consideremos el problema lineal ( u00 = f (t, v) (2.2) u(0) = u0 u(1) = u1 , i i i i i i i [SEC. 2.1: MÉTODOS DE PUNTO FIJO. EL TEOREMA DE BANACH “apunte˙impa 2009/11/19 page 23 i 23 que, si pedimos f continua, tiene solución única u ∈ C 2 ([0, 1]). De esta forma, el operador T : C[0, 1] → C[0, 1] dado por T v = única solución de (2.2) está bien definido. Más aun, dados v1 , v2 ∈ C[0, 1] y ui = T vi , se tiene: (u1 − u2 )00 = f (t, v1 ) − f (t, v2 ) (u1 − u2 )(0) = (u1 − u2 )(1) = 0 Rt Observemos también que (u1 − u2 )(t) = 0 (u1 − u2 )0 (s)ds, de donde resulta ||u1 − u2 ||∞ ≤ ||u01 − u02 ||∞ . Además, por el teorema de Rolle existe t0 tal que (u1 − u2 )0 (t0 ) = 0, Rt entonces podemos escribir (u1 − u2 )0 (t) = t0 (u1 − u2 )00 (s)ds, y en consecuencia: ||u01 − u02 ||∞ ≤ ||u001 − u002 ||∞ . Luego, ||u1 − u2 ||∞ ≤ ||f (·, v1 ) − f (·, v2 )||∞ . Si f es Lipschitz en u con constante L, para todo t vale: |f (t, v1 (t)) − f (t, v2 (t))| ≤ L|v1 (t) − v2 (t)| ≤ Lkv1 − v2 k∞ . En particular, si L < 1 entonces T resulta una contracción. En consecuencia, existe una (única) solución del problema. Observación El resultado previo vale también para un sistema de ecuaciones de segundo orden. Observación Se pueden obtener cotas más precisas si se trabaja en el espacio L2 (0, 1). En efecto, si v1 , v2 ∈ L2 (0, 1), y ui = T vi para i = 1, 2, resulta: 1 ku1 − u2 kL2 ≤ ku01 − u02 kL2 . π Esta es la llamada desigualdad de Poincaré (ver sección 10.4). Por otro lado, Z 1 0 2 (u1 − u2 )0 (s)(u1 − u2 )0 (s)ds = k(u1 − u2 ) kL2 = 0 i i i i i i i 24 “apunte˙impa 2009/11/19 page 24 i [CAP. 2: EL TEOREMA DE BANACH − Z 1 0 (u1 − u2 )00 (s)(u1 − u2 )(s)ds ≤ k(u1 − u2 )00 kL2 ku1 − u2 kL2 . Ası́ tenemos que k(u1 − u2 )0 kL2 ≤ 1 k(u1 − u2 )00 kL2 , π y ku1 − u2 kL2 ≤ L 1 00 ku1 − u002 kL2 ≤ 2 kv1 − v2 kL2 . 2 π π Luego, basta pedir que L < π 2 . El inconveniente de este enfoque es que en principio, no queda claro cómo se define T v si v es un elemento de L2 . Sin embargo, eso puede hacerse apropiadamente, pues si f es Lipschitz entonces f (·, v) ∈ L2 (0, 1), y entonces es posible integrarla dos veces para obtener una solución u del problema (2.2). Es claro que u no es necesariamente una función de clase C 2 , aunque resulta C 1 y además u0 es absolutamente continua, con u00 ∈ L2 (0, 1): esta clase de funciones define un nuevo espacio de Sobolev llamado H 2 (0, 1), que más adelante nos será de utilidad. Una consecuencia del teorema de Banach es la siguiente: Teorema Sea X un espacio métrico completo, y supongamos que T : X → X es tal que T n es una contracción, en donde T n (x) = T ◦ T ◦ · · · ◦ T (x) (n veces). Entonces T tiene un único punto fijo. La demostración es sencilla: si x es el único punto fijo de T n , entonces T n (T (x)) = T (T n (x)) = T (x). Por unicidad, resulta T (x) = x. Además, si y es punto fijo de T , entonces tiene que ser también punto fijo de T n , y en consecuencia y = x. Una aplicación tı́pica de este resultado es la prueba de que si f es Lipschitz en u con cierta constante que no depende de u sobre cierta “franja” [a, b] × Rn , entonces las soluciones del problema de valores iniciales están definidas en todo el intervalo [a, b]. Más precisamente: i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 25 i 25 [SEC. 2.2: EJERCICIOS Proposición Sea f : [a, b] × Rn → Rn una función continua, globalmente Lipschitz en x con constante L. Entonces, la única solución del problema ( x0 = f (t, x) x(t0 ) = x0 para cualquier (t0 , x0 ) ∈ (a, b) × R está definida en todo [a, b]. En realidad, este resultado puede verse como una aplicación directa del lema de Gronwall (ver ejercicio 2 de la sección 10.1), pero si pensamos como antes en el operador T : C([a, b], Rn ) → C([a, b], Rn ) dado por Z t T x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, t0 se tiene que |T n+1 x(t) − T n+1 ¯Z t ¯ ¯ ¯ n n ¯ y(t)| = ¯ [f (s, T x(s)) − f (s, T y(s))]ds¯¯ t0 ≤L Z t a |T n x − T n y|(s)ds. En particular, para n = 0 resulta Z t |x(s) − y(s)| ds ≤ L(t − a)kx − yk∞ . |T x(t) − T y(t)| ≤ L a Por inducción, se deduce que |T n x(t) − T n y(t)| ≤ Ln (t − a)n kx − yk∞ , n! n y luego kT n x − T n yk∞ ≤ (b − a)n Ln! kx − yk∞ para todo n. Por lo tanto, T n es una contracción para n suficientemente grande. ¤ 2.2. 1. Ejercicios Probar que el teorema de Banach no vale en general para cualquier operador T : X → X tal que d(T x, T y) < d(x, y) para todo x, y ∈ X, x 6= y. i i i i i i i 26 “apunte˙impa 2009/11/19 page 26 i [CAP. 2: EL TEOREMA DE BANACH ¿Qué ocurre cuando X es compacto? 2. Probar que si f : [0, T ] × R2n → Rn es continua y Lipschitz en (u, u0 ) con constante L suficientemente pequeña, entonces el sistema ½ 00 u = f (t, u, u0 ) u(0) = u0 , u(T ) = uT tiene solución única. Especificar el valor de L. 3. Definir un esquema de aproximaciones sucesivas de Picard para el problema anterior. 4. Sea X un espacio métrico completo, y sea T : X → X tal que d(T (x), T (y)) ≤ G(d(x, y)) si d(x, y) ≤ R en donde G : [0, R] → [0, R) es continua y satisface: G es creciente. G(r) < r para r > 0. a) Probar que el esquema de aproximaciones sucesivas dado por un+1 = T (un ) converge a un punto fijo de T para cualquier u0 tal que d(T (u0 ), u0 ) < R. b) Probar que el punto fijo obtenido en (4a) es único. c) Encontrar un ejemplo de f = f (t, u) que no cumpla las hipótesis del ejercicio 2, pero igualmente el problema u00 = f (t, u), u(0) = u0 , u(T ) = uT tenga solución única. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 27 i Capı́tulo 3 El teorema de Schauder 3.1. Un ejemplo de Kakutani El teorema de Brouwer, cuyo enunciado hemos visto en el capı́tulo 1, vale para cualquier conjunto homeomorfo a la bola unitaria B ⊂ Rn ; en particular, vale para cualquier conjunto cerrado, acotado y convexo en un espacio normado de dimensión finita. En la siguiente sección veremos una extensión de este resultado para espacios de dimensión infinita; sin embargo, el siguiente ejemplo de Kakutani de 1943 muestra que es preciso pedir alguna condición adicional para f . Por simplicidad, consideremos el espacio H := L2 (−π, π) provisto eint 1 de la base ortonormal usual {en }n∈Z en donde en (t) = √ . 2π Definamos ahora la aplicación lineal T à X n∈Z x n en ! := X xn en+1 , n∈Z 1 Recordemos que toda f ∈ L2 (−π, π) admite un (único) desarrollo en serie de P Fourier dado por S(t) = n∈Z xn en , en donde xn := hf, en i. La igualdad f = S significa que la serie converge a f en el sentido de L2 . Además, vale la identidad P de Parseval: kf k2L2 = n∈Z x2n 27 i i i i i i i 28 “apunte˙impa 2009/11/19 page 28 i [CAP. 3: EL TEOREMA DE SCHAUDER que resulta una isometrı́a. Luego, la función f : H → H dada por f (x) = 1 − kxk e0 + T x 2 es continua; además, si kxk ≤ 1 vale kf (x)k ≤ 1 − kxk + kxk ≤ 1; 2 es decir, f (B1 (0)) ⊂ B1 (0). Veremos que, sin embargo, f no tiene puntos fijos en la bola unitaria. Supongamos que f (x̃) = x̃ para cierto x̃ ∈ B1 (0), entonces claramente x̃ 6= 0. Además, kx̃k < 1, pues en caso contrario se tendrı́a que T (x̃) = x̃, lo quePes absurdo pues el único punto fijo de T es el 0. Escribiendo x̃ = xn en , por ser x̃ = f (x̃) resulta x̃ − T x̃ = 1 − kx̃k e0 , 2 es decir: X n∈Z (xn − xn−1 )en = 1 − kx̃k e0 . 2 Por la unicidad de la serie, se deduce que ½ 0 si n 6= 0 xn − xn−1 = 1−kx̃k si n = 0. 2 En consecuencia . . . x−2 = x−1 6= x0 = x1 = x2 . . . , P 2 lo que también es absurdo, pues xn = kx̃k2 < ∞. En la siguiente sección veremos que el teorema de Brouwer puede extenderse para espacios de dimensión infinita, si se agrega a f la condición de ser compacta. 3.2. El teorema de Schauder Antes de enunciar el teorema de Schauder, veamos una motivación sencilla. Consideremos una vez más el problema de valores iniciales i i i i i i i 29 [SEC. 3.2: EL TEOREMA DE SCHAUDER ( “apunte˙impa 2009/11/19 page 29 i x0 = f (t, x) x(t0 ) = x0 , (3.1) pero ahora supongamos únicamente que f : Ω ⊂ R×Rn → Rn es continua. Un resultado conocido, debido a Peano, dice que el problema (3.1) tiene al menos una solución definida en un entorno de t0 . Esto puede demostrarse por ejemplo de la siguiente manera (los detalles quedan como ejercicio): 1. Considerar K = [t0 − δ̂, t0 + δ̂] × Br (x0 ) ⊂ Ω y, empleando el teorema de Weierstrass, elegir pn polinomios tales que pn → f uniformemente en K. Extendiendo a pn adecuadamente más allá de K, podemos suponer que pn : R × Rn → Rn es una función de clase C 1 , con sup (t,x)∈R×Rn |pn (t, x)| ≤ M para cierto M independiente de n. 2. Para cada n resolvemos el problema ( x0n = pn (t, xn ) xn (t0 ) = x0 , que tiene una única solución xn , definida en todo R. 3. Escribiendo xn (t) = x0 + Z t pn (s, xn ) ds, t0 para |t − t0 | ≤ δ ≤ δ̂ resulta: |xn (t) − x0 | ≤ δM. r En particular, podemos elegir δ ≤ M , de modo que resulte (t, xn (t)) ∈ K. Por otra parte, ¯ ¯Z ¯ ¯ t+h ¯ ¯ pn (s) ds¯ ≤ M |h|, |xn (t + h) − xn (t)| ≤ ¯ ¯ ¯ t i i i i i i i 30 “apunte˙impa 2009/11/19 page 30 i [CAP. 3: EL TEOREMA DE SCHAUDER de donde se ve que el conjunto A = {xn : n ∈ N} es acotado y equicontinuo en el espacio C([t0 − δ, t0 + δ], Rn ). Por el teorema de Arzelá-Ascoli, A es compacto; luego, existe una subsucesión {xnj } que converge uniformemente a cierta función continua x : [t0 − δ, t0 + δ] → Rn . De las igualdades Z t pnj (s, xnj )ds xnj (t) = x0 + t0 para t ∈ [t0 − δ, t0 + δ] se deduce que Z t f (s, x(s))ds, x(t) = x0 + t0 de donde x resulta una solución del problema. Sin embargo, el resultado anterior se demuestra en forma mucho más directa por medio del siguiente teorema: Teorema (Schauder) Sea E un espacio normado, y sea C ⊂ E un conjunto convexo, cerrado y acotado. Supongamos que T : C → C es una función continua tal que T (C) es compacto. Entonces T tiene al menos un punto fijo. Demostración. Sea k ∈ N. Por la compacidad de T (C), podemos elegir x1 , x2 , . . . , xn ∈ T (C) ⊂ C tales que T (C) ⊂ n [ B1/k (xj ). j=1 Sea Ck ⊂ C la cápsula convexa del conjunto {x1 , x2 , . . . , xn }, y definamos la función Jk : T (C) → Ck , dada por Jk (y) = n X j=1 dist(y, T (C) − Bj ) xj , Pn i=1 dist(y, T (C) − Bi ) en donde Bj = B1/k (xj ). Es claro que Jk está bien definida, porque si y ∈ T (C), entonces y ∈ Bj para algún j, y d(y, T (C) − Bj ) > 0. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 31 i 31 [SEC. 3.2: EL TEOREMA DE SCHAUDER Por otro lado, si y ∈ / Bj vale d(y, T (C) − Bj ) = 0, de donde se deduce que para todo j resulta: d(y, T (C) − Bj )ky − xj k ≤ 1 d(y, T (C) − Bj ). k En consecuencia, kJk (y)−yk ≤ k1 para todo y ∈ T (C), y en particular kJk T (x) − T xk ≤ k1 para todo x ∈ C. Además, por el teorema de Brouwer Jk ◦ T |Ck : Ck → Ck tiene al menos un punto fijo zk . Por compacidad, {T zk } admite una subsucesión {T zkj } que converge a cierto z ∈ T (C) ⊂ C, y kzkj − T zkj k = k(Jkj ◦ T )(zkj ) − T zkj k ≤ 1 → 0. kj Se deduce que zkj → z, y por continuidad T z = lı́mj→∞ T zkj = z. Observación La prueba anterior además muestra, en general, que si T : C → F es un operador continuo tal que T (C) es compacto, en donde C ⊂ E es cualquier conjunto cerrado y acotado y F es un espacio normado, entonces T puede aproximarse por operadores de rango finito. Más precisamente: para todo ε > 0 existe Tε : C → F tal que kTε −T k < ε y dim(Im(T )) < ∞. Veamos ahora cómo se puede aplicar el teorema de Schauder al problema (3.1): es suficiente con tomar, para δ > 0 y R > 0 convenientes, E = C([t0 −δ, t0 +δ], Rn ), y el subconjunto (convexo, cerrado y acotado) C ⊂ E dado por C = {x ∈ E : kx − x0 k ≤ R}. El operador de punto fijo va a ser, nuevamente: Z t f (s, x(s)) ds. T x(t) = x0 + t0 Veamos que si δ es suficientemente pequeño, T está bien definido en C, y además T (C) ⊂ C. i i i i i i i 32 “apunte˙impa 2009/11/19 page 32 i [CAP. 3: EL TEOREMA DE SCHAUDER En efecto, si K := [t0 − δ̂, t0 + δ̂] × BR (x0 ) ⊂ Ω, existe cierta constante M tal que |f (t, x)| ≤ M para (t, x) ∈ K. Eligiendo δ ≤ δ̂, se cumple que si x ∈ C entonces (t, x(t)) ∈ K, y ¯ ¯Z t ¯ ¯ f (s, x) ds¯¯ ≤ δM. |T x(t) − x0 | = ¯¯ t0 R De esta forma, basta tomar δ ≤ mı́n{δ̂, M }. Como antes, la compacidad de T (C) es consecuencia inmediata del teorema de Arzelá-Ascoli, escribiendo ¯ ¯Z ¯ ¯ t+h ¯ ¯ f (s, x) ds¯ ≤ |h|M. |T x(t + h) − T x(t)| = ¯ ¯ ¯ t Hace falta probar también que T es una función continua, pero esto es muy fácil por tratarse de un operador integral: por ejemplo, si xn → x en C (vale decir, uniformemente), entonces f (·, xn ) → f (·, x) uniformemente, de donde ¯ ¯Z t ¯ ¯ ¯ f (s, xn ) − f (s, x) ds¯¯ ≤ δkf (·, xn )−f (·, x)k∞ . |T xn (t)−T x(t)| = ¯ t0 Como el término de la derecha tiende a cero para n → ∞, el resultado queda demostrado. Veamos otra aplicación, al problema de segundo orden con condiciones de Dirichlet ( u00 = f (t, u) (3.2) u(0) = u0 , u(1) = u1 donde f : [0, 1] × Rn → Rn es continua y por ejemplo sublineal: f (t, u) =0 u |u|→∞ lı́m uniformemente en t. Un poco más en general, podemos suponer directamente que vale |f (t, u)| ≤ A|u| + B para ciertas constantes A, B > 0, con A suficientemente pequeña. Notemos que este problema se puede resolver por el método de shooting, en el caso de que f sea localmente Lipschitz i i i i i i i [SEC. 3.2: EL TEOREMA DE SCHAUDER “apunte˙impa 2009/11/19 page 33 i 33 en la variable u. Sin embargo, si f es solamente continua, el método de shooting no se puede aplicar. Vamos a resolver el problema empleando el teorema de Schauder. Por simplicidad, trabajaremos en C([0, 1]) aunque, al igual que en el capı́tulo anterior, es posible obtener mejores cotas para A si se trabaja en el espacio L2 (0, 1). Dada v ∈ C([0, 1]) fija, ya sabemos que el problema lineal ( u00 = f (t, v) u(0) = u0 , u(1) = u1 tiene una única solución u, lo que nos permite definir como en el capı́tulo previo el operador T : C([0, 1]) → C([0, 1]) dado por T v = u. Buscamos un punto fijo de T ; para ello, veamos en primer lugar que es un operador compacto: T es una función continua. T envı́a conjuntos acotados en conjuntos pre-compactos (es decir, de clausura compacta). Para comprobar esto, recordemos las estimaciones del capı́tulo previo: si w es una función en C 2 ([0, 1]) que se anula en los extremos, entonces kwk∞ ≤ kw0 k∞ ≤ kw00 k∞ . Luego, si vn → v uniformemente, resulta: kT vn − T vk∞ ≤ k(T vn )00 − (T v)00 k∞ = kf (·, vn ) − f (·, v)k∞ → 0, lo que prueba que T es continua. Además, si por ejemplo consideramos ul (t) = (u1 − u0 )t + u0 la función lineal que pasa por (0, u0 ) y (1, u1 ), entonces para kvk∞ ≤ R, como T v y ul valen lo mismo en los extremos se obtiene: kT v − ul k∞ ≤ k(T v)0 − u0l k∞ ≤ k(T v)00 − u00l k∞ = kf (·, v)k∞ ≤ MR , en donde MR es el máximo (que depende sólo de R y los datos de Dirichlet) de la función |f (t, u)| sobre la franja {(t, u) ∈ R2 : 0 ≤ t ≤ 1, |u| ≤ R}. i i i i i i i 34 “apunte˙impa 2009/11/19 page 34 i [CAP. 3: EL TEOREMA DE SCHAUDER Por el teorema de Arzelá-Ascoli, se deduce que T (BR (0)) tiene clausura compacta: en efecto, resulta claramente un conjunto equiacotado, y para v ∈ BR (0) por las desigualdades anteriores se ve que k(T v)0 k∞ ≤ MR + ku0l k∞ = MR + |u1 − u0 |. Luego |T v(t + h) − T v(t)| = |(T v)0 (ξ).h| ≤ (MR + |u1 − u0 |)|h|, lo que prueba la equicontinuidad. Esto muestra que T resulta un operador continuo y compacto para cualquier f continua, cosa que nos será de utilidad para otros problemas más generales. Pero bajo nuestras hipótesis especı́ficas, las acotaciones pueden precisarse aun más: en efecto, es claro que MR ≤ AR + B, de modo que si kvk∞ ≤ R obtenemos kT vk∞ ≤ kul k∞ + MR ≤ máx{|u0 |, |u1 |} + AR + B. De esta forma, si A < 1 y R≥ B + máx{|u0 |, |u1 |} , 1−A vale que T (BR (0)) ⊂ BR (0), y el teorema de Schauder asegura la existencia de una solución u del problema con kuk∞ ≤ R. Observación Vale la pena observar que, si bien el operador anterior resulta compacto para cualquier f continua, la existencia de un convexo cerrado y acotado que sea invariante por T no está garantizada sin poner alguna hipótesis adicional sobre f . A modo de ejemplo, consideremos el problema u00 + π 2 u = sen(πt), u(0) = u(1) = 0, (3.3) donde f (t, u) = sen(πt) − π 2 u es lineal en u, pero el problema no tiene solución. En efecto, multiplicando la ecuación por sen(πt) y luego integrando por partes el primer término, se obtiene Z π Z π Z π 0= u sen(πt)00 dt + π 2 u dt = sen2 (πt) dt > 0, 0 0 0 lo que es absurdo. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 35 i 35 [SEC. 3.3: EJERCICIOS También hemos mencionado el hecho de que se puede obtener una cota mejor para A si se busca un punto fijo directamente en L2 (0, 1); sin embargo, para f arbitraria no siempre es posible trabajar en este espacio. Más aun, para v ∈ L2 (0, 1), nada permite asegurar siquiera que f (·, v) sea integrable. 3.3. 1. Ejercicios Sea l2 el espacio definido por l2 := {x := (xn )n∈N ∈ RN : X n∈N x2n < ∞} provisto de la norma usual dada por sX kxk := x2n . n∈N Definimos T : B1 (0) ⊂ l2 → l2 dado por ³p ´ T (x) = 1 − kxk2 , x1 , x2 , . . . . Probar que T es continua, T (B1 (0)) ⊂ ∂B1 (0), pero T no tiene puntos fijos. 2. a) Probar usando el teorema de Schauder que la ecuación del péndulo forzado con fricción u00 + au0 + b sin(u) = p(t), en donde p es una función continua, admite al menos una solución para cualquier dato de Dirichlet u(0) = u0 , u(T ) = uT . ¿Puede decirse lo mismo para las condiciones periódicas u(0) = u(T ), u0 (0) = u0 (T )? i i i i i i i 36 “apunte˙impa 2009/11/19 page 36 i [CAP. 3: EL TEOREMA DE SCHAUDER Sugerencia: obtener acotaciones similares a las empleadas en este capı́tulo, pero ahora para el operador lineal dado por Lu = u00 + au0 . Comparar con el ejercicio 1 de la sección 1.4.1. b) Probar que si b es suficientemente pequeño, entonces la solución es única, y se puede obtener en forma iterativa comenzando en cualquier función u1 ∈ C([0, T ]) a partir de los problemas lineales ½ 00 un+1 + au0n+1 = p(t) − b sin un u(0) = u0 , u(T ) = uT . c) Más en general, probar la existencia de soluciones para el problema del ejercicio 2 del capı́tulo 2, pero suponiendo que en vez de ser Lipschitz la función f verifica: |f (t, x, y)| ≤ A|x| + B|y| + C para ciertas constantes adecuadas. ¿Qué se puede decir acerca del orden de convergencia? 3. Sea f : [0, 1]×Rn → Rn continua y sublineal, y sea ϕ ∈ C([0, 1]) tal que ϕ(t) ≥ 0 para todo t. Probar que el problema ½ 00 u − ϕ(t)u = f (t, u, u0 ) u(0) = u0 , u(1) = u1 . tiene al menos una solución. Sugerencia: encontrar acotaciones análogas a las empleadas en el problema (3.2) para el operador lineal Lu := u00 − ϕu. 4. Condición de Hartman-Nagumo a) Sean f : [0, 1] × Rn → Rn continua y R > 0 tales que f (t, u) · u ≥ 0 para u ∈ Rn con |u| = R. Probar que el problema de Dirichlet ½ 00 u = f (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 con |u0 |, |u1 | ≤ R tiene al menos una solución. Sugerencia: probar que el problema u00 = f (t, P u) u(0) = u0 , u(1) = u1 , i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 37 i 37 [SEC. 3.3: EJERCICIOS en donde Pu = ½ u u R. |u| si |u| ≤ R si |u| > R, tiene al menos una solución u. Luego, definir r(t) = |u(t)|2 y verificar que r(t) ≤ R para todo t. b) Sea f : [0, 1] × R2n → Rn continua tal que ¡ ¢ |f (t, u, v)| ≤ c 2u · f (t, u, v) + |v|2 + K para |u| ≤ R y ciertas constantes c, K con 2cR < 1. Probar que existe M > 0 tal que si u verifica u00 = f (t, u, u0 ), y kuk∞ ≤ R, entonces ku0 k∞ ≤ M . Sugerencia: usando la representación de Green (ver sección 10.3), deducir que 0 u (t) = u(1) − u(0) + con ∂G (t, s) = ∂t Z 1 0 ½ ∂G (t, s)f (s, u(s), u0 (s)) ds, ∂t s s−1 si t > s si t < s. Entonces |u0 (t)| ≤ |u(1) − u(0)| Z t Z 1 00 + (1 − s)(cr (s) + K) ds + s(cr 00 (s) + K) ds, 0 t donde r es como antes. Integrando por partes, se obtiene la acotación deseada. c) 5. Deducir un resultado de existencia para el problema ½ 00 u = f (t, u, u0 ) u(0) = u0 , u(1) = u1 . Consideremos el problema del péndulo forzado con rozamiento del ejercicio (2a), con b = 1 y T < π, y escribamos p(t) = p0 (t) + c en donde p0 : [0, T ] → R tiene promedio 0. i i i i i i i 38 “apunte˙impa 2009/11/19 page 38 i [CAP. 3: EL TEOREMA DE SCHAUDER a) Probar que el problema tiene solución única en C([0, T ]) para cualquier dato de Dirichlet. Comparar con el ejercicio (2b). Sugerencia: emplear la acotación para el operador Lu = u00 + au0 obtenida en (2a). b) Para r ∈ [0, 2π] y c ∈ [−1, 1], definir ur,c ∈ C([0, T ]) como la única solución del problema con ur,c (0) = ur,c (T ) = r. Probar que la aplicación (r, c) 7→ ur,c es continua. c) Sea φ : [0, 2π] × [−1, 1] → R dada por φ(r, c) = 1 T Z T 0 sen[ur,c (t)] dt − c. Probar que para todo r existe algún c tal que φ(r, c) = 0. Deducir que la ecuación tiene soluciones periódicas para algún c. d) Probar que si la ecuación no tiene soluciones periódicas para c 6= c0 , entonces toda solución del problema u00 + au0 + sen u = p0 (t) + c0 que verifica u(0) = u(T ) es periódica. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 39 i Capı́tulo 4 El método de super y subsoluciones 4.1. Introducción: un caso particular Además de las aplicaciones directas del teorema de Schauder que hemos visto en el capı́tulo previo, veremos ahora las nociones básicas de un método clásico de resolución de ecuaciones conocido como método de super y subsoluciones, que fue introducido por ScorzaDragoni en 1931 [35]. Se trata de una de las herramientas fundamentales del análisis no lineal, que a grandes rasgos permite obtener soluciones que se encuentran entre dos funciones α y β (respectivamente, una subsolución y una supersolución del problema). Para una descripción más general del método aplicado a ecuaciones ordinarias de segundo orden con condiciones de Dirichlet o periódicas, puede consultarse por ejemplo [6]. Vamos a comenzar una vez más con la ecuación de segundo orden u00 = f (t, u); en tal caso diremos que las funciones suaves α y β son respectivamente una subsolución y una supersolución de la ecuación si se cumple: α00 ≥ f (t, α), β 00 ≤ f (t, β). Además, si queremos resolver el problema de Dirichlet, entonces pedi39 i i i i i i i 40 “apunte˙impa 2009/11/19 page 40 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES remos también: α(0) ≤ u0 ≤ β(0), α(1) ≤ u1 ≤ β(1). Probaremos que si existen α y β una sub y una supersolución ordenadas, es decir, tales que α ≤ β, entonces el problema tiene al menos una solución u, con α ≤ u ≤ β. A fines de entender la idea del método, resolvamos en primer lugar una situación simple, que se produce cuando f es decreciente respecto de u. En tal caso, la existencia de una solución se obtiene en forma directa del teorema de Schauder, aplicado al mismo operador compacto T : C([0, 1]) → C([0, 1]) que empleamos en los capı́tulos previos. Vale la pena observar que, en general, el resultado no vale sin asumir la existencia de un par (α, β), como lo muestra el problema lineal que vimos en (3.3), u00 + π 2 u = sen(πt), u(0) = u(1) = 0, donde f (t, u) = sen(πt) − π 2 u es decreciente en u. En cambio, si se supone que existe un par (α, β) consistente en una sub y una supersolución ordenadas, entonces puede considerarse el conjunto cerrado, convexo y acotado al de aquellas funciones que están entre α y β, es decir: C = {u ∈ C([0, 1]) : α(t) ≤ u(t) ≤ β(t) para todo t}. Probaremos que este conjunto es invariante por T ; vale decir, que T (C) ⊂ C. La prueba de que C cumple las otras hipótesis requeridas por el teorema de Schauder es la misma que hemos efectuado en el capı́tulo anterior. Si v ∈ C y u = T v, entonces siendo f decreciente en la segunda coordenada vale: u00 = f (t, v) ≤ f (t, α) ≤ α00 . En otras palabras, la función u − α es cóncava, por ser (u − α)00 ≤ 0. Pero además (u − α)(0) = u0 − α(0) ≥ 0 y (u − α)(1) = u1 − α(1) ≥ 0, de donde se concluye que u − α ≥ 0 en todo [0, 1]. De la misma forma se prueba que u − β ≤ 0, y en consecuencia u ∈ C. i i i i i i i [SEC. 4.1: INTRODUCCIÓN: UN CASO PARTICULAR “apunte˙impa 2009/11/19 page 41 i 41 El caso anterior nos da una buena pista para resolver la situación en un contexto más general: si el término de la derecha no es decreciente en u... podemos intentar buscar una forma de que lo sea. Obviamente, para eso hace falta restarle una función continua apropiada ϕ creciente en u, de modo tal que los anteriores argumentos puedan repetirse. En principio, si queremos reemplazar a f (t, u) por f (t, u) − ϕ(u), el operador de punto fijo se definirá a partir del problema: u00 − ϕ(u) = f (t, v) − ϕ(v), u(0) = u0 , u(1) = u1 . Es fácil demostrar (por ejemplo, si ϕ es globalmente Lipschitz entonces basta aplicar el ejercicio (3) de la sección 1.4.1) que el operador T : v 7→ u está bien definido y es compacto. Para nuestros fines, alcanza con tomar ϕ(u) = λu para algún λ ≥ 0. El inconveniente es que en general no existe un valor λ tal que f (t, u)−λu sea una función decreciente en u para todo t; sin embargo, como nuestro objetivo es únicamente comprobar que T (C) ⊂ C, entonces alcanzará con pedir que para cada t fijo la función f (t, u) − λu sea decreciente en u cuando α(t) ≤ u ≤ β(t). De este modo, si por ejemplo f es de clase C 1 respecto de u, basta elegir λ ≥ 0 tal que ∂f (t, u) λ ≥ máx K ∂u en donde K = {(t, u) ∈ R2 : 0 ≤ t ≤ 1, α(t) ≤ u ≤ β(t)}. En tal caso, para cada t fijo se tiene que ¶ µ ∂f (t, ξ) − λ (u − v) ≥ 0 [f (t, u) − λu] − [f (t, v) − λv] = ∂u si α(t) ≤ v ≤ u ≤ β(t). De un modo análogo al caso que vimos, con λ = 0, el operador T que a cada v asigna la única solución u del problema u00 − λu = f (t, v) − λv, u(0) = u0 , u(1) = u1 está bien definido y es compacto; veamos ahora que si α ≤ v ≤ β entonces α ≤ u ≤ β. En principio, resulta u00 − λu = f (t, v) − λv ≤ f (t, α) − λα, i i i i i i i 42 “apunte˙impa 2009/11/19 page 42 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES de donde (u − α)00 − λ(u − α) ≤ 0. (4.1) A diferencia del caso anterior ahora no se puede argumentar que u−α es cóncava; sin embargo se puede aplicar un resultado más general, que es un caso elemental del denominado principio del máximo: Proposición (Principio del máximo, caso particular): Si w es una función suave que satisface w00 − λw ≥ 0, w(0), w(1) ≤ 0 para cierto λ ≥ 0, entonces w ≤ 0 en [0, 1]. Este hecho puede demostrarse de maneras diferentes; vamos a ver dos pruebas sencillas, que pueden resultar útiles para luego generalizar el principio a otros casos. 1. Supongamos que w 6≤ 0; entonces existe t0 ∈ (0, 1) tal que w(t0 ) > 0 y además w(t0 ) es máximo. Resulta entonces 0 ≥ w 00 (t0 ) ≥ λw(t0 ) > 0, lo que es absurdo. 2. Sea I + = {t ∈ [0, 1] : w(t) > 0}. Como w(0), w(1) ≤ 0, vale w = 0 en ∂I + , y además: Z (w00 (t) − λw(t))w(t) dt 0≤ + I Z Z =− w0 (t)2 dt − λ w(t)2 dt ≤ 0. I+ I+ Luego I + w0 (t)2 + λw(t)2 dt = 0 lo cual prueba que I + tiene medida 0. Como w es continua, se deduce que I + es vacı́o. R Observación Vale la pena notar que la primera demostración no comprende en realidad el caso λ = 0, aunque se la puede adaptar convenientemente. Sin embargo, esto no vale para otras condiciones de contorno como Neumann o periódicas, pues w puede ser constante. Tampoco vale si se supone que la desigualdad w 00 − λw ≥ 0R vale únicamente en casi t todo punto: por ejemplo, si w(t) = t2 +t−4 0 C(s) ds, en donde C es i i i i i i i [SEC. 4.1: INTRODUCCIÓN: UN CASO PARTICULAR “apunte˙impa 2009/11/19 page 43 i 43 la función de Cantor, entonces w(0) = w(1) = 0 y w 00 = 2 en casi todo punto. Esto implica que w 00 ≥ λu en [0, 1] para λ > 0 suficientemente pequeño, y sin embargo w 0 (0) = 1, de modo que w 6≤ 0. Volviendo al problema, a partir de la desigualdad (4.1) el principio del máximo nos permite concluir que α−u ≤ 0, y de un modo análogo se prueba también que u − β ≤ 0. Ejemplo A modo de ejemplo, consideremos el siguiente problema con p continua: ( u00 − u3 = p(t) u(0) = u0 u(1) = u1 En realidad, se trata de un caso particular de una situación fácil de resolver mediante el teorema de Schauder, en la cual la no-linealidad f (t, u) = −u3 es decreciente respecto de u. Este hecho, como veremos más adelante, garantiza la existencia y unicidad de soluciones. Pero podemos ver ahora que la demostración de existencia es aun más inmediata si se emplea el método de super y subsoluciones: en efecto, alcanza con tomar α ≡ −M y β ≡ M , con M una constante positiva tal que −M ≤ u0 , u1 ≤ M y además −M 3 ≤ p(t) ≤ M 3 para todo t. Vale la pena destacar que si cambiamos el signo del término no lineal −u3 , la situación es muy distinta: se trata de un caso particular de un problema superlineal que -como vimos en el capı́tulo 1- tiene infinitas soluciones. ¤ 4.1.1. Un método iterativo Veremos ahora que en la situación anterior, si se supone la existencia de una subsolución α y una supersolución β del problema, con α ≤ β, y que f es de clase C 1 respecto de u, puede obtenerse una solución del problema entre α y β en forma iterativa. Como se verá, los argumentos que permiten asegurar que la sucesión definida converge a una solución del problema son elementales, y no requieren hacer uso del teorema de Schauder. i i i i i i i 44 “apunte˙impa 2009/11/19 page 44 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES Fijemos como antes una constante λ ≥ 0 tal que λ ≥ todo t ∈ [0, 1] y todo u ∈ [α(t), β(t)], y consideremos: U0 (t) = α(t), Un+1 la única solución del problema lineal 00 Un+1 − λUn+1 = f (t, Un ) − λUn , ∂f ∂u (t, u) para Un+1 (0) = u0 , Un+1 (1) = u1 . En otras palabras, Un+1 = T (Un ), donde T es el operador definido en la sección previa. Un hecho sorprendente es que puede probarse que esta sucesión de ‘aproximaciones sucesivas’ converge, a pesar de que T no tiene por qué ser una contracción. Más precisamente, vamos a probar que α = U0 ≤ U1 ≤ U2 ≤ . . . ≤ β. Esto dice que {Un } converge (puntualmente) a cierta función u, que como veremos resulta ser solución del problema. El razonamiento es inductivo: dado que α es subsolución, alcanza con probar que U1 es una subsolución que verifica α ≤ U1 ≤ β. En primer lugar, veamos que α ≤ U1 : en efecto, a partir de la definición (y por ser α una subsolución) sabemos que U100 − λU1 = f (t, α) − λα ≤ α00 − λα. Además, como U1 ≥ α en los extremos del intervalo por el principio del máximo se deduce que U1 ≥ α en [0, 1]. Por otra parte, siendo f (t, u) − λu decreciente en u, vale: U100 − λU1 = f (t, α) − λα ≥ f (t, U1 ) − λU1 . Luego, U1 es subsolución (recordemos que U1 (0) = u0 y U1 (1) = u1 ). Finalmente, U100 − λU1 = f (t, α) − λα ≥ f (t, β) − λβ, y nuevamente por el principio del máximo se concluye que U1 ≤ β. Resulta entonces que {Un } es una sucesión de subsoluciones que converge en forma creciente a cierta función u, con α ≤ u ≤ β. Por el teorema de Dini, resulta que en realidad Un → u uniformemente, i i i i i i i [SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL “apunte˙impa 2009/11/19 page 45 i 45 y a partir de la definición de Un se ve entonces que Un00 → f (·, u) uniformemente. Más aun, podemos escribir Z tZ s λ(Un+1 (r) − Un (r)) + f (r, Un (r)) dr ds Un+1 (t) = u0 + an+1 t + 0 0 para cierta an+1 . Por la convergencia uniforme, el término integral RtRs converge a 0 0 f (r, u(r)) dr ds, y como el término de la izquierda también converge, se deduce que an → a para cierta constante a. Luego Z Z s t f (r, u(r)) dr ds, u(t) = u0 + at + 0 0 lo que prueba que u es de clase C 2 , y u00 = f (t, u). La condición de borde se cumple, por el simple hecho de que Un (t) → u(t) para todo t. Vale la pena observar que si se define la misma recurrencia, pero comenzando en U0 = β, se obtiene una sucesión decreciente de supersoluciones que converge a una solución. Sin embargo, esta solución no es necesariamente la misma que la obtenida al comenzar en α. En la próxima sección veremos que la existencia de al menos una solución entre una sub y una supersolución α ≤ β puede probarse si se asume únicamente que f es continua. 4.2. Super y subsoluciones - Caso general Como hemos visto, el teorema de Schauder permite obtener soluciones de un problema de Dirichlet para la ecuación de segundo orden, bajo la hipótesis de que existen α ≤ β una sub y una supersolución del problema. Sin embargo, el método empleado se basa en la posibilidad de restar a la no linealidad f = f (t, u) un término lineal λu, para transformarla, para cada t fijo, en una función decreciente en u cuando u ∈ [α(t), β(t)]. Esta propiedad vale en casos como el que vimos, con f de clase C 1 respecto de u, o más en general si f es localmente Lipschitz, pero no siempre. A continuación veremos que puede probarse un teorema de existencia pidiendo únicamente que f sea continua. La idea consiste en definir un problema asociado al problema original, que se resuelve fácilmente por medio del teorema de Schauder, i i i i i i i 46 “apunte˙impa 2009/11/19 page 46 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES cuyas soluciones resultan en realidad soluciones del problema original en el conjunto {u ∈ C([0, 1]) : α ≤ u ≤ β}. Esto nos dará también una pauta sobre cómo plantear el problema en un caso todavı́a más general, en el que f depende también de u0 . Dado que buscamos soluciones entre α y β, resulta conveniente definir una función de “truncamiento” P : [0, 1] × R → R, de la siguiente manera: si α(t) ≤ u ≤ β(t) u α(t) si α(t) > u P (t, u) = β(t) si u > β(t). Entonces podemos fijar una constante λ > 0 y resolvemos en primer lugar el problema u00 − λu = f (t, P (t, u)) − λP (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 . (4.2) Como el término de la derecha de la ecuación es acotado, sabemos por el ejercicio (3) del capı́tulo 3 que (4.2) tiene al menos una solución u. Veremos que α ≤ u ≤ β, lo que garantiza que P (t, u(t)) = u(t), y entonces u es solución del problema original. Supongamos por ejemplo que u 6≤ β; luego u − β alcanza un valor máximo positivo en cierto t0 . Por las condiciones de borde, debe ser t0 ∈ (0, 1). Además, P (t0 , u(t0 )) = β(t0 ), y entonces u00 (t0 ) − λu(t0 ) = f (t0 , β(t0 )) − λβ(t0 ) ≥ β 00 (t0 ) − λβ(t0 ). Luego (u − β)00 (t0 ) > 0, lo que es absurdo. De la misma forma se deduce que u ≥ α. 4.2.1. Acotaciones para la derivada. Condición de Nagumo En esta sección aplicaremos el método de super y subsoluciones para resolver un problema de Dirichlet más general: ½ u00 = f (t, u, u0 ) u(0) = u0 , u(1) = u1 , (4.3) i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 47 i 47 [SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL en donde f : [0, 1] × R2 → R es una función continua. Como antes, supondremos que α ≤ β son funciones suaves que satisfacen α00 ≥ f (t, α, α0 ), α(0) ≤ u0 ≤ β(0), β 00 ≤ f (t, β, β 0 ), α(1) ≤ u1 ≤ β(1). La dificultad reside en el hecho de que ahora no es posible, como en el caso anterior, trabajar en el espacio de funciones continuas: si queremos definir un operador de punto fijo apropiado -de un modo similar al que ya vimos, fijando una función v en el término no lineal dado por f - necesitamos un espacio funcional en el que los elementos sean funciones derivables. Un espacio posible es C 1 ([0, 1]), en el que la norma se define como kukC 1 = máx{kuk∞ , ku0 k∞ } o alguna equivalente. Pero para aplicar el teorema de Schauder en este espacio debemos encontrar una región invariante que sea convexa, cerrada y acotada para esta nueva norma. Esto requiere obtener estimaciones para la derivada: más precisamente, lo que haremos es encontrar una solución del problema en la región C = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : α ≤ u ≤ β, ku0 k∞ ≤ R} para cierto R adecuado. Si tomamos a la demostración anterior como inspiración, podemos intentar buscar en primer lugar una solución de un problema “truncado”: dado λ > 0, planteamos u00 − λu = f (t, P (t, u), Q(u0 )) − λP (t, u), en donde P es como antes y v R Q(v) = −R u(0) = u0 , u(1) = u1 , si |v| ≤ R si v > R si v < −R para un cierto valor R > 0 a ser establecido más adelante. Nuevamente, como el término derecho de la ecuación está acotado, es fácil ver empleando el teorema de Schauder -ahora en el espacio C 1 ([0, 1])que este problema tiene al menos una solución u. Vamos a mostrar que bajo ciertas hipótesis adicionales sobre f , puede asegurarse como antes que en realidad u es solución del problema original. i i i i i i i 48 “apunte˙impa 2009/11/19 page 48 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES El comienzo es exactamente igual que en el caso anterior: si por ejemplo la función u − β alcanza un valor máximo positivo en cierto t0 ∈ (0, 1), entonces P (t0 , u(t0 )) = β(t0 ). Para aplicar la definición de supersolución y terminar la cuenta igual que en el caso previo, hace falta poder garantizar que Q((u0 (t0 )) = β 0 (t0 ). Pero notemos que t0 es punto crı́tico de u − β, de modo que u0 (t0 ) = β 0 (t0 ). Entonces nuestra primera restricción para R será: R ≥ máx{kα0 k∞ , kβ 0 k∞ }. De este modo, podemos asegurar que Q en realidad no “trunca” al valor u0 (t0 ) = β 0 (t0 ), y en consecuencia α ≤ u ≤ β. Pero esto no es suficiente: también necesitamos probar que resulta ku0 k∞ ≤ R. Para ello, impondremos a f una condición que es una ligera variante de otra, conocida en la literatura como condición de Nagumo [25]. Vamos a pedir que sobre el conjunto E = {(t, u, v) : t ∈ [0, 1], α(t) ≤ u ≤ β(t), |v| ≤ R} (4.4) |f (t, u, v)| ≤ ψ(|v|), (4.5) valga: en donde ψ es una función apropiada. Veamos qué quiere decir “apropiada” en este caso. Nuestra intención es probar que la solución u del problema anterior verifica que |u0 (t)| < R para todo t; si esto no ocurriera, y tuvieramos por ejemplo que u0 (t) ≥ R para algún valor de t, entonces resultarı́a de utilidad saber que para cierta r ≥ 0 independendiente de u se tiene que r < u0 (t) < R para t entre ciertos valores t0 < t1 , con u0 (t0 ) = r y u0 (t1 ) = R o viceversa, Ahora bien, el único valor que podemos asegurar que la función u0 efectivamente alcanza, es el que proporciona el teorema de valor medio: u(1) − u(0) = u0 (ξ) para algún ξ. Entonces basta elegir r = |u(1)−u(0)|, e imponer una nueva condición: que R sea estrictamente mayor que r. Para terminar de “deducir” la condición de Nagumo, observemos también que si s = u0 (t) obtenemos: Z R r ¯ Z t1 ¯ ¯ Z t1 ¯ ¯ ¯ ¯ f (t, u, u0 ) ¯¯ u00 (t) ds ¯ ¯ ¯ = dt = dt¯ . ψ(s) ¯ t0 ψ(u0 (t)) ¯ ¯ t0 ψ(u0 (t)) i i i i i i i [SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL “apunte˙impa 2009/11/19 page 49 i 49 Además, como ya probamos que α ≤ u ≤ β, y para t ∈ (t0 , t1 ) vale r < u0 (t) < R, entonces (t, u, u0 ) ∈ E y se cumple: Z R r ds ≤ ψ(s) Z t1 t0 ψ(u0 (t)) dt = t1 − t0 < 1. ψ(u0 (t)) Un razonamiento análogo se puede hacer en el caso u0 (t) ≤ −R; de esta forma, hemos encontrado una condición apropiada para f , que se expresa en la siguiente proposición: Proposición (Condición de Nagumo): Sean r = |u1 − u0 | y R > máx{kα0 k∞ , kβ 0 k∞ , r}, y supongamos que f cumple la condición (4.5) sobre el conjunto E definido en (4.4) para cierta ψ tal que Z R ds ≥ 1. ψ(s) r Entonces toda solución u del problema u00 = f (t, u, Q(u0 )), u(0) = u0 , u(1) = u1 con α ≤ u ≤ β verifica: ku0 k∞ < R. En particular, u00 = f (t, u, u0 ). Corolario Sean α ≤ β una sub y una supersolución de (4.3), y supongamos que f cumple las hipótesis de la proposición anterior. Entonces (4.3) tiene al menos una solución u tal que α ≤ u ≤ β y ku0 k∞ < R. Ejemplo Una situación tı́pica en la que la condición de Nagumo se verifica, es aquella en la que f es subcuadrática respecto de u0 . En realidad, basta pedir |f (t, u, v)| ≤ cv 2 + d para α(t) ≤ u ≤ β(t) en donde c es una constante suficientemente pequeña. En efecto, se tiene que µ r ¶¸ · Z +∞ 1 c π dv =√ − arctan r >1 2+d cv 2 d dc r i i i i i i i 50 “apunte˙impa 2009/11/19 page 50 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES si c ¿ 1, y la condición se cumple tomando R suficientemente grande. Vale la pena mencionar que la condición de que c sea pequeño puede evitarse, si se efectúa una acotación algo más precisa (ver ejercicio 8, sección 4.4). ¤ Observación En [26], el autor observa que la presencia de un par de super y subsoluciones ordenadas no es suficiente para garantizar la existencia de una solución para el problema de Dirichlet. El siguiente ejemplo proviene de un comentario más general, debido a Habets y Pouso [11]. Consideremos el problema à !0 u0 (t) p = u(t) + 2 1 + u0 (t)2 con condición de Dirichlet u(0) = u(T ) = 0. Es claro que α = −3 y β = 3 son, respectivamente, √ una sub y una super solución del problema. Sin embargo, para T > 2 no existen soluciones. En efecto, es fácil verificar que una solución del problema debe tener energı́a E constante, donde E=p 1 1 + u0 (t)2 + (u(t) + 2)2 . 2 Por la condición de Dirichlet, en este caso resulta E > 2. Por otro lado, veamos que la solución no puede estar definida en un intervalo √ de longitud mayor que 2. En efecto, como E es mayor que 1, resulta que u 6= −2 a lo largo del intervalo, y luego u > −2. Sea t0 el mı́nimo absoluto de u; entonces para t > t0 vale (llamando s = u(t)): Z u(t) Z t E − (s + 2)2 /2 p dt = ds. t − t0 = 1 − (E − (s + 2)2 /2)2 u(t0 ) t0 Tomando w = w(s) = E − (s + 2)2 /2, resulta 0 < w ≤ 1, y (s + 2)2 = 2(E − w) ≥ 2. Luego Z w(u(t0 )) Z 1 w w 1 p √ √ t − t0 = dw. dw ≤ √ 2 2 1 − w2 2(E − w) 1 − w w(u(t)) 0 i i i i i i i [SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL Este último término vale obtiene t0 − t ≤ hay soluciones. √1 . 2 “apunte˙impa 2009/11/19 page 51 i 51 √1 ; 2 de la misma forma, para t < t0 se √ En consecuencia, si T > √22 = 2, entonces no Claramente, lo que falla en este ejemplo es que la condición de Nagumo no se cumple. Notemos, en efecto, que la ecuación equivale a ¡ ¢3/2 u00 (t) = (u(t) + 2) 1 + u0 (t)2 , de donde se ve que la no-linealidad es cúbica en u0 . µ ¶0 0 El operador √ u (t)0 2 es bien conocido en la literatura: se 1+u (t) trata del operador de curvatura media, que proviene de la ecuación general para una hipersuperficie dada por el gráfico de una función u : Ω ⊂ Rn → R con curvatura media H: div 4.2.2. µ ∇u √ 1 + ∇u2 ¶ = nH. Otras condiciones de contorno. Un ejemplo clásico En esta sección presentaremos una aplicación del método de super y subsoluciones a un problema periódico. Es fácil comprobar (ver ejercicio 2, sección 4.4) que el método funciona igual que para el problema de Dirichlet, empleando como antes funciones de truncamiento, o haciendo uso del siguiente principio del máximo asociado a estas nuevas condiciones (la demostración queda como ejercicio): i i i i i i i 52 “apunte˙impa 2009/11/19 page 52 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES Proposición Sean λ > 0 y u una función periódica que satisface u00 − λu ≥ 0 en [0, T ]. Entonces u ≤ 0 en [0, T ]1 . Como hemos mencionado, el resultado no vale si λ = 0 pues, entre otras cosas, el principio del máximo implica unicidad: si un operador L cumple el principio del máximo, el problema lineal Lu = ϕ tiene a lo sumo una solución. Vamos a aplicar el método de super y subsoluciones para demostrar un teorema de existencia de soluciones T -periódicas de la ecuación del péndulo forzado con rozamiento: u00 + au0 + sen u = p(t) (4.6) Por simplicidad, vamos a suponer que p es una función continua, aunque el resultado vale más en general. Por ejemplo, si p es un elemento de L2 (0, T ), entonces se obtienen soluciones en el espacio de Sobolev H 2 (0, T ) mencionado en el capı́tulo (2). Un resultado conocido, que se demuestra por medio de argumentos variacionales, dice que si a = 0 entonces el problema tiene solución cuando p = 0, donde p denota el promedio de p: p := 1 T Z T p(t) dt. 0 Por otra parte, es fácil ver que si p es grande, el problema no tiene solución: integrando la ecuación, si u es una solución T -periódica resulta: Z T Z T sen u(t) dt = p(t) dt, 0 0 de donde se concluye que |p| ≤ 1. Estas observaciones motivan a escribir al término forzante p en la forma p = p0 + c, en donde p0 = 0 y la constante c es el promedio de p; de este modo, el problema que estudiaremos es: u00 + au0 + sen u = p0 (t) + c. (4.7) 1 En realidad, el resultado también vale si en vez de suponer que u es periódica se pide únicamente que u(0) = u(T ), u0 (0) ≥ u0 (T ) i i i i i i i [SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL “apunte˙impa 2009/11/19 page 53 i 53 Empleando el teorema de Schauder y el método de super y subsoluciones probaremos el siguiente teorema: Teorema [9] Sea p0 una función continua tal que p0 = 0. Entonces existen números d(p0 ) y D(p0 ), con −1 ≤ d(p0 ) ≤ D(p0 ) ≤ 1, tales que (4.7) tiene al menos una solución T -periódica si y sólo si c ∈ [d(p0 ), D(p0 )]. Observación Este resultado generaliza un resultado probado en [4] por métodos variacionales para a = 0. De acuerdo con lo mencionado anteriormente, en este caso puede probarse que existen soluciones para c = 0, es decir: d(p0 ) ≤ 0 ≤ D(p0 ). Para el problema con fricción (a 6= 0) el teorema asegura, en primer lugar, que el conjunto de valores de c para los cuales hay solución es no vacı́o. Para ciertos casos, esto ya lo vimos en el ejercicio (5c) del capı́tulo previo; sin embargo, aun si a = 0, hasta el momento no se sabe si existe o no alguna función p0 para la cual d(p0 ) = D(p0 ). Cuando esto ocurre, se dice que el problema es singular: se demostró que el conjunto de funciones para las que vale d(p0 ) < D(p0 ) es abierto y denso en L2 (0, T ), pero el problema general permanece irresuelto. En el ejercicio (5d ) del capı́tulo previo se ve también que, en ciertos casos particulares, si el problema es singular entonces las soluciones periódicas forman un continuo; esto ha sido probado en forma más general por Ortega y Tarallo. Más concretamente, en [30] se demuestra (para a = 0) que los siguientes enunciados son equivalentes: (i) d(p0 ) = D(p0 ). (ii) Para todo r ∈ R existe una única solución T -periódica ur para p = p0 tal que ur (0) = r. (iii) Existe una curva continua r → ur tal que lı́m ur (t) = ±∞ r→±∞ uniformemente en t. Aunque el problema general es difı́cil, es posible dar algunas condiciones concretas sobre p0 que garantizan que el intervalo de valores i i i i i i i 54 “apunte˙impa 2009/11/19 page 54 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES para los cuales hay solución no se reduce a un punto. Por ejemplo, si kp0 k∞ < 1 esto es evidente: en efecto, en tal caso kp0 + ck∞ ≤ 1 para c en algún entorno del 0, y tomando α = π2 , β = 3π 2 resulta: α00 + aα0 + sen α = 1 ≥ p0 + c, β 00 + aβ 0 + sen β = −1 ≤ p0 + c. Luego, el método de super y subsoluciones asegura que el problema tiene al menos una solución entre π2 y 3π 2 . Otro ejemplo de condiciones concretas para que el problema sea no singular se ve más adelante, en el ejercicio 7, sección 4.4. Demostración del Teorema: Sea I(p0 ) := {c ∈ R : (4.7) tiene alguna solución T -periódica}. Por el método de super y subsoluciones, se ve en primer lugar que I(p0 ) es un intervalo: si c1 , c2 ∈ I(p0 ) son tales que c1 < c2 , tomamos u1 y u2 soluciones respectivas para c1 y c2 . Entonces para c ∈ [c1 , c2 ] se tiene que u001 + au01 + sen u1 ≤ p0 + c ≤ u002 + au02 + sen u2 . En consecuencia, u1 y u2 son respectivamente una super y una subsolución del problema. El inconveniente es que nada permite asegurar que u1 y u2 estén ordenadas; sin embargo, por la periodicidad del problema es claro que podemos reemplazar a u1 por u1 + 2kπ, en donde k ∈ Z es suficientemente grande, de modo que valga u1 ≥ u2 (esto es posible porque u1 y u2 son continuas). Empleando el teorema de Schauder, veremos ahora que I(p0 ) es no vacı́o y compacto. Para ello, observemos nuevamente que si u es una solución T -periódica de (4.7), entonces c tiene que ser igual al promedio de la función sen u(t). Esto nos motiva a considerar el siguiente problema integro-diferencial: u00 + au0 + sen u = p0 (t) + c(u), u(0) = u(T ) = r (4.8) RT en donde c(u) = T1 0 sen u(t) dt. Como la parte no lineal de este problema es acotada, una aplicación del teorema de Schauder análoga a la empleada para el problema (3.2) con f sublineal, nos dice que i i i i i i i [SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL “apunte˙impa 2009/11/19 page 55 i 55 para todo r ∈ R existe al menos una solución u de (4.8). Integrando, se ve que u satisface: Z T Z T 00 0 c(u) dt. (u + au + sen u) dt = 0 0 Por definición de c(u) y por ser u(T ) = u(0), se deduce que Z T 0 0 u (T ) − u (0) = u00 (t) dt = 0; 0 vale decir: u es T -periódica. Luego, podemos pensar directamente: I(p0 ) = {c(u) : u es solución de (4.8) para algún r}, de donde se prueba que I(p0 ) es no vacı́o2 . Más aun, si u es solución de (4.8) para algún r, entonces u + 2π es solución para r + 2π, y vale c(u) = c(u + 2π). De esta forma, I(p0 ) = {c(u) : u es solución de (4.8) para algún r ∈ [0, 2π]}. Para ver la compacidad, supongamos que un es solución de (4.8) para algún rn ∈ [0, 2π]. Por medio de estimaciones a priori similares las que ya vimos (cf. con el ejercicio (2a) del capı́tulo previo), existe una constante C tal que kun − rn k∞ ≤ Cku00n + au0n kL2 , ku0n k∞ ≤ Cku00n + au0n kL2 . Pero la sucesión {u00n + au0n } está claramente acotada; en consecuencia, el teorema de Arzelá-Ascoli dice que existe una subsucesión {unj } que converge uniformemente a cierta función u. Es claro, además, que c(unj ) → c(u). Por otra parte, también la sucesión {u00nj } está acotada para la norma infinito, y nuevamente el teorema de ArzeláAscoli nos dice que existe una subsucesión {unjk } tal que {u0nj } conk verge uniformemente a cierta función continua v. Escribiendo un (t) = 2 En particular, si I(p ) = {c } para cierto c , se obtiene un continuo de 0 0 0 soluciones periódicas para p = p0 + c0 . i i i i i i i 56 “apunte˙impa 2009/11/19 page 56 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES Rt un (0) + 0 u0n (s) ds y tomando lı́mite sobre la subsucesión, vemos que Rt u(t) = u(0) + 0 v(s) ds, de donde se deduce que u es de clase C 1 y u0 = v. Finalmente, a partir de la ecuación u00n + au0n + sen un = p0 + c(un ) se ve que u00nj converge uniformemente a cierta función continua w. k Rt Escribiendo ahora u0n (t) = u0n (0) + 0 u00n (s) ds deducimos que u es de clase C 2 y resulta solución del problema (4.8). Esto prueba que I(p0 ) es compacto. 4.2.3. Pequeña digresión: principio del antimáximo Como vimos, uno de los principales argumentos en el método de super y subsoluciones consiste en la aplicación del principio del máximo, del que vimos dos demostraciones diferentes. Pero vale la pena pensarlo también en términos de la función de Green definida en el apéndice: si u00 − λu = ϕ, entonces: u(t) = [u(1) − u(0)]t + u(0) + Z 1 G(t, s)ϕ(s) ds. 0 De esta manera, es fácil comprobar que el principio del máximo es consecuencia inmediata del hecho (cuya demostración queda como ejercicio) de que la función de Green es negativa: de esta forma, si ϕ ≥ 0 y u(0), u(1) ≤ 0 entonces u(t) ≤ 0 para t ∈ [0, 1]. Esto da lugar a una observación interesante, que vale por ejemplo para el problema periódico. En primer lugar, notemos que el problema u00 + λu = 0 tiene soluciones T -periódicas no triviales únicamente ¢2 ¡ para cierto k ∈ N0 . Entonces es fácil ver que para cuando λ = 2kπ T ¡ 2π ¢2 0<λ< T el problema u00 + λu = ϕ(t) tiene para toda ϕ una única solución T -periódica, que se puede expresar en la forma u(t) = Z T Gλ (t, s)ϕ(s)ds, 0 i i i i i i i 57 [SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL en donde Gλ es la función de Green dada por ´ ³ √ √ √1 σ cos[ λ(t − s)] + sen[ λ(t − s)] 2 λ ³ ´ Gλ (t, s) = √ √ √1 σ cos[ λ(t − s)] − sen[ λ(t − s)] 2 λ con “apunte˙impa 2009/11/19 page 57 i si t ≥ s si t < s, (4.9) √ sen( λT ) √ . σ= 1 − cos( λT ) ¡ π ¢2 Un simple cálculo muestra que si además λ < 2T , vale Gλ ≥ 0; en consecuencia, se obtiene el siguiente resultado, conocido como principio del anti-máximo para el problema periódico de segundo orden: Principio del anti-máximo. Si u es T -periódica y satisface u00 + ¡ π ¢2 λu ≥ 0 para 0 < λ < 2T , entonces u ≥ 0. Entre otras cosas, este principio nos dice que en ciertos casos es posible obtener obtener soluciones de un problema periódico en presencia de una supersolución β y una subsolución α periódicas, pero en orden inverso, es decir: β ≤ α. La condición que pediremos para f es evidente, si tenemos en cuenta el rango de valores para los que se cumple el principio del anti-máximo: Proposición Sea f : [0, T ] × R → R continua, y sean α ≥ β funciones T periódicas tales que α y β son respectivamente una subsolución y una supersolución del problema u00 = f (t, u). Si para cada t ∈ [0, T ] la función u 7→ f (t, u) + λu es creciente para β(t) ≤ u ≤ α(t), en donde ¡ π ¢2 λ satisface 0 < λ < 2T , entonces existe al menos una solución T -periódica u del problema con β ≤ u ≤ α. La demostración es inmediata: alcanza con definir el operador de punto fijo dado por T v = u, con u la única solución T -periódica del problema u00 + λu = f (t, v) + λv. Por la hipótesis, usando el principio del anti-máximo se ve que si β ≤ v ≤ α entonces β ≤ u ≤ α y el resultado se deduce del teorema de Schauder. También puede efectuarse la demostración definiendo el método iterativo que vimos en 4.1.1. Notar que si f es de clase C 1 respecto de i i i i i i i 58 “apunte˙impa 2009/11/19 page 58 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES u, entonces la condición de la proposición anterior equivale a pedir: ¡ π ¢2 ∂f > − 2T mı́nK ∂u , en donde K = {(t, u) : 0 ≤ t ≤ T, β(t) ≤ u ≤ α(t)}. A modo de ejemplo, podemos volver a considerar la ecuación del péndulo forzado u00 + au0 + sen u = p(t). Como vimos, si −1 ≤ p ≤ 1, entonces el método de super y subsoluciones permite encontrar fácilmente una solución T -periódica entre α = π2 y β = 3π 2 . Pero este nuevo resultado permite ver que si T es pequeño entonces existe una segunda solución entre β = − π2 y α = π2 . En efecto, por ejemplo para el caso a = 0 basta pedir ¡ π ¢2 para − π2 ≤ u ≤ π2 , lo que obviamente equivale a − cos u > − 2T π decir: T < 2 . En general, la existencia de una segunda solución ha sido probada por ejemplo en [23]. Para el caso no variacional, en [9] se ha demostrado que si c pertenece al interior del intervalo [d(p0 ), D(p0 )] entonces el problema tiene al menos dos soluciones para p = p0 + c. Lo que mostramos con este ejemplo es que en esta situación especı́fica en que −1 ≤ p ≤ 1 y T es pequeño, el resultado se puede probar por métodos elementales. 3 En rigor, la segunda solución para p y T cualesquiera se puede obtener empleando un método más general de super y subsoluciones, en el que α y β no están necesariamente ordenadas (ver por ejemplo [6]). Vale la pena señalar que este método requiere indefectiblemente alguna condición en los términos de la ecuación: por ejemplo, si consideramos el problema u00 + 4u = sen(2t) u(0) = u(π) = 0, entonces multiplicando ambos términos por sen(2t) se ve que no hay soluciones, a pesar de que α = sen(t) y β = − sen(t) son respectivamente una sub y una supersolución, en este caso en orden inverso: α ≥ β. 3 Cabe aclarar que el problema tiene en realidad infinitas soluciones, pues si u es solución entonces u + 2π también. Por eso, cuando decimos que existen dos soluciones distintas nos referimos a soluciones que no difieren en un múltiplo de 2π. i i i i i i i [SEC. 4.3: INTERVALOS NO ACOTADOS - MÉTODO DIAGONAL 4.3. “apunte˙impa 2009/11/19 page 59 i 59 Intervalos no acotados - Método diagonal Consideremos ahora el problema ½ 00 u = f (t, u) t ∈ (0, +∞) u(0) = u0 , u(∞) = u∞ , (4.10) donde u(∞) = lı́m u(t). t→+∞ y supongamos que α, β ∈ C 2 ([0, +∞)) son respectivamente una sub y una supersolución del problema, lo que en este caso significa: α00 ≥ f (t, α), α(0) ≤ u0 ≤ β(0), β 00 ≤ f (t, β), α(∞) = β(∞) = u∞ . Vamos a introducir un argumento diagonal, que demostrará la existencia de una solución de (4.10). Teorema Sean α y β como antes, y supongamos que α ≤ β. Entonces el problema (4.10) tiene al menos una solución u tal que α ≤ u ≤ β. Demostración. Para cada N ∈ N, consideremos el siguiente problema de Dirichlet en el intervalo acotado [0, N ]: ½ u00 = f (t, u) t ∈ (0, N ) ) u(0) = u0 , u(N ) = α(N )+β(N . 2 (4.11) Por los resultados que ya vimos para un intervalo acotado, existe al menos una solución uN de (4.11) tal que α|[0,N ] ≤ uN ≤ β|[0,N ] . Para M fijo y N ≥ M , definimos ϕN (t) = Entonces uN (M ) − u0 t + u0 . M ° ° °(uN − ϕN )00 ° ∞ ≤ c̄ L (0,M ) i i i i i i i 60 “apunte˙impa 2009/11/19 page 60 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES para cierta constante c̄ que depende solamente de M (pues uN está entre α y β). Luego, kuN − ϕN kC 2 ([0,M ]) está acotada por cierta constante cM independiente de N . Por el teorema de Arzelá-Ascoli, es fácil comprobar que existe una subsucesión de {uN }N ≥M que converge en [0, M ], para la norma C 1 . Vamos a proceder de la siguiente manera: tomemos M = 1 y elijamos una subsucesión, a la que volveremos a llamar {uN }, que converge en C 1 ([0, 1]) a cierta función u1 . Repitiendo el procedimiento para M = 2, 3, . . ., podemos suponer que uN |[0,M ] converge a cierta función uM en el sentido de la norma C 1 . A partir de la construcción, se ve que uM +1 |[0,M ] = uM ; de este modo, la función u : [0, +∞) → R dada por u(t) = uM (t) si 0 ≤ t ≤ M está bien definida. Además, u(0) = u0 , y u00N converge uniformemente en [0, M ] a f (t, u). Entonces para t ≤ M ≤ N podemos escribir Z tZ s uN (t) = u0 + u0N (0)t + u00N (r) drds, 0 0 y tomando lı́mite obtenemos u(t) = u0 + u0 (0)t + Z tZ 0 s f (r, u) drds. 0 De esta forma, u es una solución de la ecuación en [0, +∞), y claramente cumple las condiciones de contorno. 4.4. 1. Ejercicios Probar que el problema ½ 0 u = u4 + cos(t) − 1 u(0) = u(2π) tiene al menos una solución u tal que sen t ≤ u(t) ≤ sen t + 2 para todo t ∈ [0, 2π]. 2. Desarrollar el método de super y subsoluciones para la ecuación u00 = f (t, u) con f continua, bajo condiciones i i i i i i i 61 [SEC. 4.4: EJERCICIOS a) “apunte˙impa 2009/11/19 page 61 i Periódicas: u(0) − u(T ) = u0 (0) − u0 (T ) = 0. b) De Neumann: u0 (0) = u0 , u0 (T ) = uT . c) De Sturm-Liouville: a0 u(0) + b0 u0 (0) = c0 , aT u(T ) + bT u0 (T ) = cT . ¿Qué condiciones deben cumplir a0 , aT , b0 y bT ? d) Algunas condiciones no lineales, por ejemplo: u0 (0) = g0 (u(0)) u0 (T ) = gT (u(T )), con g0 , gT : R → R funciones continuas. 3. Probar que el problema u00 = p(t) + u5 + g(t, u0 ) con p : [0, T ] → R y g : [0, T ] × R → R continuas y g acotada tiene al menos una solución T -periódica. 4. Desarrollar un método iterativo análogo al de la sección 4.1.1 para otras condiciones de contorno. ¿Puede decirse algo acerca del orden de convergencia? 5. Probar que la ecuación del péndulo forzado admite soluciones T periódicas para kpk∞ ≤ 1. 6. a) Sea g : R → R continua y periódica con perı́odo Tg , y sean u1 y u2 funciones T -periódicas tales que u00i + au0i + g(ui ) = p(t) + ci , con c1 ≤ 0 ≤ c2 . Probar que el problema u00 + au0 + g(u) = p(t) tiene al menos una solución T -periódica. ¿Vale el resultado si p ∈ L2 (0, T )? i i i i i i i 62 “apunte˙impa 2009/11/19 page 62 i [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES b) Sea p ∈ L2 (0, T ), y sea Ig (p) el conjunto de todos los valores c ∈ R tales que el problema u00 + au0 + g(u) = p(t) + c tiene al menos una solución T -periódica. Deducir de (a) que Ig (p) es un intervalo acotado. ¿Es cerrado? ¿Es no vacı́o? 7. En la situación del Teorema de la sección 4.2.2, escribir u = v + P0 , en donde P0 es la única solución del problema P000 + aP00 = p0 , P0 (0) = P0 (T ), P 0 = 0. Como p0 = 0 vale: P00 (0) = P00 (T ). a) Probar que |c(v + P0 ) − c(v + P0 )| ≤ T −1/2 kv − vkL2 . b) Usando que kv − vkL2 ≤ verificar que kv 0 kL2 ≤ T 0 2 2π kv kL y que v(T ) = v(0), T 00 kv + av 0 kL2 . 2π En consecuencia: |c(v + P0 ) − c(v + P0 )| ≤ 2 c) T 2π ¶2 := M Siendo d(p0 ) el mı́nimo valor de c(u) sobre el conjunto X de soluciones de (4.8) para algún r, deducir que d(p0 ) = mı́n c(u) = u∈X d) µ mı́n c(v+P0 ) ≤ v+P0 ∈X inf v+P0 ∈X c(v+P0 )+M. Como (4.8) tiene soluciones con promedio arbitrario, concluir que d(p0 ) ≤ inf c(r + P0 ) + M = M − M (P0 ), r∈R i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 63 i 63 [SEC. 4.4: EJERCICIOS donde M (P0 ) = 1 h³ T Z T cos P0 (t) dt 0 ´2 ³ Z + T sen P0 (t) dt 0 ´2 i1/2 . De modo análogo, ver que D(p0 ) ≥ M (P0 ) − M . e) 8. Obtener en forma explı́cita una condición suficiente para que valga d(p0 ) < 0 < D(p0 ). Consideremos la ecuación u00 = f (t, u, u0 ), con f : [0, T ] × R2 → R continua tal que |f (t, u, v)| ≤ c(u)(1 + v 2 ) para cierta función c : R → R+ continua. Probar que para todo k > 0 existe R = R(k) tal que si u es una solución tal que |u(t)| ≤ k en [0, T ] entonces |u0 (t)| ≤ R. Deducir un resultado de existencia análogo al de la sección 4.2.1. Sugerencia: si u0 6= 0 en (t0 , t1 ) y por ejemplo u0 (t0 ) = 0, escribir a t como función de u y definir u0 = u(t0 ), p(u) = u0 (t) y q = p2 . Entonces dq ≤ 2c(1 + q(u)), q(u0 ) = 0, dy de donde se deduce una cota para q. Analizar por separado el caso en que u0 no se anula en [0, T ], empleando el teorema de Lagrange. Deducir un resultado de existencia de soluciones para el problema de Dirichlet. 9. Probar que la ecuación u00 (t) + u0 (t)2 = −1 con condición de Dirichlet u(0) = u(T ) = 0 no tiene solución para T ≥ π. ¿Contradice esto el ejercicio anterior? i i i i i i i 64 [CAP. 4: EL MÉTODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES 4.4.1. 1. “apunte˙impa 2009/11/19 page 64 i Método diagonal Probar que el problema 00 u = u3 + u u(0) = u0 , lı́mt→+∞ u(t) = 0 tiene al menos una solución. ¿Puede haber más de una? 2. Sea f : [0, +∞) × R → R continua tal que f (t, u)sgn(u) ≥ 0 para |u| À 0. Supongamos además que para todo M > 0 existe ϕM ∈ L1 (0, +∞) tal que |f (t, u)| ≤ ϕM (t) para |u| ≤ M . Probar que el problema 00 u = f (t, u) u0 (0) = u0 , lı́mt→+∞ u0 (t) = 0 tiene al menos una solución. 3. Generalizar el método diagonal para f = f (t, u, u0 ). 4. Generalizar el método de super y subsoluciones y el método diagonal para un sistema de ecuaciones de segundo orden. 5. a) Sean c > 0 y ϕ : [0, +∞) → R continua tal que ϕ(t) → 0 exponencialmente para t → +∞, es decir: |ϕ(t)| ≤ M e−rt para ciertas constantes M, r > 0. Probar que el problema lineal ½ 00 u − cu = ϕ(t) u(0) = u0 , u(+∞) = 0. tiene solución única para todo u0 ∈ R. b) Consideremos f : [0, +∞) × R → R una función continua y sean α, β : [0, +∞) → R tales que α ≤ β, α00 ≥ f (t, α), β 00 ≤ f (t, β), α(+∞) = β(+∞) = 0. Supongamos además que para cierto c > 0 se cumple que f (t, α) − cα → 0 y f (t, β) − cβ → 0 exponencialmente para t → +∞, y que para cada t la función u 7→ f (t, u) − cu es decreciente en i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 65 i 65 [SEC. 4.4: EJERCICIOS el conjunto {u : α(t) ≤ u ≤ β(t)}. Definimos u1 = α, e inductivamente un+1 como la única solución del problema u00n+1 − cun+1 = f (t, un ) − cun , un+1 (0) = u0 , un+1 (+∞) = 0 para cierto valor u0 ∈ [α(0), β(0)]. Probar que un converge a una solución del problema ½ 00 u = f (t, u) u(0) = u0 , u(+∞) = 0. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 66 i Capı́tulo 5 El teorema de Leray-Schauder: un caso particular En este capı́tulo veremos una extensión del teorema de Schauder que tiene importantes aplicaciones a los problemas no lineales. Comencemos por un ejemplo, a partir del problema (3.2) que ya hemos estudiado, pero ahora supondremos que para todo t la función f es continua y creciente en u. Como vimos, en este caso la existencia de soluciones se puede probar de un modo sencillo si se asumen hipótesis más fuertes: por ejemplo, en el ejercicio (3) de la sección 1.4.1 se propone demostrar la existencia (y unicidad) de soluciones suponiendo que f es globalmente Lipschitz. Vamos a ver que en realidad esta hipótesis no hace falta: en algún sentido, probaremos un resultado del tipo “unicidad implica existencia”. Esto no pasa de ser un comentario informal, aunque vagamente podrı́a pensarse como una versión no lineal de la alternativa de Fredholm. O bien, en un contexto más elemental, del resultado que dice: si T : Rn → Rn es lineal e inyectiva, entonces es suryectiva. Veamos entonces, en primer lugar, la unicidad. Si u y v son dos 66 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 67 i 67 Capı́tulo 5: El teorema de Leray-Schauder soluciones del problema, como f es creciente vale: (u − v)00 (u − v) = [f (t, u) − f (t, v)](u − v) ≥ 0 Además, u − v se anula en los extremos, y al integrar por partes se obtiene: Z 1 Z 1 00 [(u − v)0 ]2 dt. (u − v) (u − v) dt = − 0≤ 0 0 Luego u − v es constante, y por la condición de borde resulta u = v. Daremos ahora dos ideas diferentes para resolver el problema; cada una de ellas nos va a dar nuevas herramientas topológicas que pueden ser de utilidad para otros casos. 1) Un argumento “de continuación”: La idea consiste en agregar un parámetro λ ∈ [0, 1] a la ecuación, ( u00 = λf (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 y empleando el hecho de que sabemos resolver el problema para λ = 0, tratar de llegar de alguna manera al caso que nos interesa, con λ = 1. Como veremos, esto es apenas el ejemplo más elemental de una homotopı́a, pero puede generalizarse para diversas situaciones. En este problema particular, es suficiente con emplear el simple hecho de que el intervalo [0, 1] es conexo, y probar: 1. Si hay solución para λ < 1, entonces hay solución para λ + ε, con ε suficientemente pequeño. 2. Si hay solución para λ − ε, con ε suficientemente pequeño, entonces hay solución para λ. Si logramos probar estas dos afirmaciones, entonces el conjunto de valores de λ ∈ [0, 1] para los que hay solución es abierto y cerrado, y además no vacı́o pues contiene al 0, de donde resulta que es todo el intervalo [0, 1]. Más precisamente, se puede probar el siguiente resultado, que queda como ejercicio: Si para λ < 1 y para toda ϕ continua el problema ( u00 = λf (t, u) + ϕ(t) u(0) = u0 , u(1) = u1 i i i i i i i 68 “apunte˙impa 2009/11/19 page 68 i [CAP. 5: EL TEOREMA DE LERAY-SCHAUDER: UN CASO PARTICULAR tiene solución, entonces para |ε| pequeño el problema ( u00 = (λ + ε)f (t, u) + ϕ(t) u(0) = u0 , u(1) = u1 tiene solución para toda ϕ continua. Esto se obtiene por medio del teorema de Schauder, definiendo para cada v fijo u = T v como la solución (única, por ser f creciente) del problema u00 = λf (t, u) + εf (t, v) + ϕ(t), u(0) = u0 , u(1) = u1 . Puede probarse que T es compacto, y si ε es pequeño entonces hay un conjunto invariante apropiado. 2) Acotaciones “a priori”: como hemos visto, para poder aplicar el teorema de Schauder no sólo hace falta definir un operador compacto T en cierto espacio apropiado, sino también encontrar un conjunto (convexo, cerrado y acotado) que sea invariante por T . Esto no siempre es fácil, aunque en muchos casos resulta de gran ayuda encontrar estimaciones a priori para las soluciones. Ello significa que, en muchos casos, antes de saber si existe alguna solución es posible encontrar una cota superior para su norma. Veamos cómo esto puede hacerse en nuestro ejemplo. Si u es una solución de (3.2), entonces llamando ul a la recta que une los puntos (0, u0 ) y (1, u1 ), por ser f creciente en u se tiene: (u − ul )00 (u − ul ) = (f (t, u) − f (t, ul ))(u − ul ) + f (t, ul )(u − ul ) ≥ f (t, ul )(u − ul ). Integrando ambos miembros obtenemos: k(u − ul )0 k2L2 ≤ − Z 1 0 f (t, ul )(u − ul ) dt ≤ ku − ul kL2 kf (·, ul )kL2 . Luego, por la desigualdad de Poincaré (ver apéndice, sección 10.4) dada por ku − ul kL2 ≤ π1 ku0 − u0l kL2 , se concluye que ku0 − u0l kL2 ≤ 1 kf (·, ul )kL2 , π i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 69 i 69 [SEC. 5.1: EL TEOREMA DE LERAY-SCHAUDER y en definitiva kuk∞ ≤ kul k∞ + 1 kf (·, ul )kL2 := R. π Notemos que R sólo depende de los datos del problema; esto dice que si vamos a trabajar en el espacio C([0, 1]), entonces no tiene sentido buscar soluciones fuera de la bola de radio R. A continuación veremos cómo, refinando un poco el argumento de punto fijo, se puede obtener una ventaja de esto para encontrar soluciones del problema. 5.1. El teorema de Leray-Schauder En la sección previa hemos mostrado una forma de resolver el problema (3.2) por medio de un argumento de continuación. Además, vimos que las posibles soluciones de (3.2) están “acotadas a priori”: existe un R > 0 tal que si u es solución de (3.2) entonces kuk∞ ≤ R. Esto dice que todos los posibles puntos fijos del operador compacto T : C([0, 1]) → C([0, 1]) dado como en los capı́tulos previos por T v = u, con u la única solución del problema lineal u00 = f (t, v) u(0) = u0 , u(1) = u1 se encuentran en la bola de radio R. Sin embargo, no vale en general que T (BR (0)) ⊂ BR (0), de modo que el teorema de Schauder no se puede aplicar directamente. Vamos a esbozar un argumento intuitivo, que nos va a dar una manera de resolver el problema; más aun, nos permitirá formular una extensión del teorema de Schauder. La idea es la siguiente: como sabemos que las soluciones se encuentran en la bola de radio R, podemos definir otro operador compacto T ∗ de la siguiente forma: ½ Tu si kT uk∞ ≤ R T ∗u = R T u si kT uk∞ > R. kT uk∞ Por definición, la imagen de T ∗ está contenida BR (0); en particular, esto implica que T ∗ tiene un allı́ punto fijo u. Veremos que es i i i i i i i 70 “apunte˙impa 2009/11/19 page 70 i [CAP. 5: EL TEOREMA DE LERAY-SCHAUDER: UN CASO PARTICULAR posible elegir el valor de R con un poco más de cuidado, de modo tal que se pueda asegurar que kT uk∞ ≤ R: en otras palabras, que u es en realidad punto fijo de T . Para lograr esto, veamos en primer lugar qué ocurre si se tiene un punto fijo u ∈ BR (0) del operador T ∗ que no es punto fijo de T : en tal caso, debe ser kT uk∞ > R, y u = T ∗u = R T u. kT uk∞ R ∈ (0, 1); de En otras palabras, resulta u = λT u para λ := kT uk ∞ esta forma, la existencia de un punto fijo de T quedará garantizada si logramos encontrar R de modo tal que todas las soluciones de la ecuación u = λT u con λ ∈ (0, 1] estén acotadas “a priori” por R. En este ejemplo particular, esto puede hacerse prácticamente del mismo modo que en el caso λ = 1: la única diferencia consiste en que si u = λT u, entonces u00 = λ(T u)00 = λf (t, u), u(0) = λT u(0) = λu0 , u(1) = λT u(1) = λu1 . Llamemos ahora ul,λ a la recta que une (0, λu0 ) con (1, λu1 ), se tiene que λ ku0 − u0l,λ kL2 ≤ kf (·, ul,λ )kL2 , π y como f es continua vale kuk∞ ≤ máx{|u0 |, |u1 |} + 1 sup kf (·, ul,λ )kL2 := R < ∞. π λ∈[0,1] Podemos observar que, más allá de resolver el problema (3.2), el procedimiento anterior aplicado para un operador T cualquiera permite probar el siguiente teorema: Teorema (Leray-Schauder, caso particular) Sea E un espacio de Banach y T : E → E un operador compacto. Si existe R > 0 tal que Si x = λT x para cierto λ ∈ [0, 1] ⇒ kxk < R, entonces T tiene al menos un punto fijo. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 71 i 71 [SEC. 5.2: EJERCICIOS Observación El resultado anterior es conocido también como Teorema de Schaefer. Como mencionamos (y según veremos más adelante), el hecho de agregar un parámetro λ a la ecuación puede interpretarse en cierto contexto adecuado como una homotopı́a entre dos funciones F y G. El teorema de Schaefer corresponde al caso más sencillo, que es el de una homotopı́a lineal: h(x, λ) = F (x) + λ(G(x) − F (x)); la versión general del teorema surgirá en forma inmediata cuando definamos el denominado grado de Leray-Schauder. 5.2. 1. Ejercicios Sea f : [0, T ] × R → R una función continua y decreciente en u. a) Probar que la aplicación T : C([0, T ]) × R2 → C 2 ([0, T ]) que a cada (p, u0 , uT ) le hace corresponder la única solución del problema u00 + f (t, u) = p(t) u(0) = u0 , u(T ) = uT está bien definida y es continua. ¿Qué relación tiene esto con el ejercicio 3 de la sección 1.4.1? b) Probar que si se piensa T : C([0, T ]) × R2 → C([0, T ]), entonces T es compacta (es decir: es continua, y envı́a conjuntos acotados en conjuntos de clausura compacta). c) Dada p ∈ C([0, T ]), probar que el conjunto S(p) = {u ∈ C 2 ([0, T ]) : u00 + f (t, u) = p(t)} es homeomorfo a R2 . Interpretar este hecho como una generalización del resultado conocido para la ecuación lineal u00 + ϕ(t)u = p(t) con ϕ ≤ 0. ¿Cómo es S(p) en este caso? 2. a) Sea f˜ : [0, T ] × R → R una función continua y creciente en u, y sea ũ una función que verifica ũ00 = f˜(t, ũ) ũ(0) = ũ0 , ũ(1) = ũ1 . i i i i i i i 72 “apunte˙impa 2009/11/19 page 72 i [CAP. 5: EL TEOREMA DE LERAY-SCHAUDER: UN CASO PARTICULAR Probar que existe ε > 0 tal que si kf − f˜k∞ < ε, |u0 − ũ0 | < ε, |u1 − ũ1 | < ε entonces el problema u00 = f (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 (5.1) tiene al menos una solución. ¿Es única? b) Expresar el resultado de (2a) en términos de la topologı́a del conjunto {(f, u0 , u1 ) : (5.1) tiene solución} ⊂ C([0, T ] × R) × R2 . i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 73 i Capı́tulo 6 El método de Newton 6.1. Método de Newton En el capı́tulo 4 hemos probado la validez un método iterativo que permite, asumiendo que existe una sub y una supersolución α ≤ β de cierto problema, construir una sucesión monótona que converge a una solución. El argumento tiene varias ventajas: por un lado, la iteración es fácil de definir, pues sólo consiste en resolver en cada paso un problema lineal. Para la ecuación de segundo orden u00 = f (t, u) (por ejemplo, con condiciones de Dirichlet), una vez que se conoce un el problema que se debe resolver en el siguiente paso es: u00 − λu = f (t, un (t)) − λun . Más aun, la representación de Green que se da en el apéndice muestra que un+1 puede expresarse en la forma un+1 (t) = l(t) + Z 0 1 G(t, s)[f (s, un (s)) − λun (s)] ds, (6.1) en donde G es la función de Green asociada al problema y l es una función lineal que depende solamente de los datos de contorno (en particular, G y l no dependen de un ). Esto da una forma directa de definir la sucesión por medio de una integral. Además, la prueba de la convergencia de un a una solución del problema es sencilla, y no requiere emplear siquiera teoremas de punto fijo como el de Schauder. 73 i i i i i i i 74 “apunte˙impa 2009/11/19 page 74 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON Sin embargo, este método iterativo tiene la desventaja de que no permite estimar el error. En general, para esto es necesario imponer alguna condición más fuerte sobre f ; por ejemplo, el método de aproximaciones sucesivas de Picard que vimos en el capı́tulo 2 garantiza la convergencia lineal, a condición de que f sea globalmente Lipschitz en u con constante suficientemente pequeña. A continuación veremos un método que permite, bajo hipótesis adecuadas, asegurar la convergencia cuadrática. En realidad, se trata simplemente de una generalización del conocido método de Newton, que se emplea para hallar ceros de una función F de una variable, n) por medio de la iteración un+1 = un − FF0(u (un ) . Intentaremos extender este método a problemas del tipo u00 = f (t, u), u(0) = u0 , u(1) = u1 , (6.2) para lo cual vamos a pensar a las soluciones como ceros de la aplicación F (u) := u00 − f (·, u) en algún espacio funcional adecuado. Al igual que en el método de Newton para una función en R, deberemos pedir condiciones sobre las “derivadas” de F ; esto nos va a llevar a pensarla como una aplicación diferenciable en el sentido habitual de Fréchet: Definición Sean X e Y espacios normados, y sean A ⊂ X un abierto, y F : A → Y una función. Se dice que F es diferenciable en x0 ∈ A si existe una transformación lineal continua DF (x0 ) : X → Y tal que F (x) − F (x0 ) = DF (x0 )(x − x0 ) + R(x), con R(x) kx−x0 k → 0 para x → x0 . Más aun, si F es diferenciable en todo punto de A, entonces se tiene una nueva aplicación DF : A → L(X, Y ), en donde L(X, Y ) := {T : X → Y : T es lineal y continua}. Recordemos que L(X, Y ) es un nuevo espacio normado, cuya norma se define por kT k := sup kT (x)kY . kxkX =1 Esto motiva las siguientes definiciones: dada F : A → Y diferenciable, i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 75 i 75 [SEC. 6.1: MÉTODO DE NEWTON 1. Si DF : A → L(X, Y ) es continua, entonces F se dice de clase C 1. 2. Si DF : A → L(X, Y ) es difenciable en x0 ∈ A, entonces F se dice dos veces diferenciable en x0 . En el último caso, la diferencial D(DF )(x0 ) : X → L(X, Y ) es una aplicación lineal y continua; vale decir, un elemento de L(X, L(X, Y )). Sin embargo, se la puede interpretar de otro modo a partir del hecho, fácil de probar, de que si F es dos veces diferenciable en x0 entonces para todo y, z ∈ X resulta: D(DF )(x0 )(y)(z) = D(DF )(x0 )(z)(y). Esto generaliza el resultado conocido para funciones dos veces diferenciables de Rn quen dice que la matriz hessiana es simétrica; en particular, permite definir a la diferencial segunda como una aplicación bilineal simétrica (y continua) de X × X en Y : D2 F (x0 )(y, z) := D(DF )(x0 )(y)(z). De la misma forma que antes, si F : A → Y es dos veces diferenciable, entonces podemos pensar a D 2 F como una aplicación de A en el espacio L2 (X, Y ) de aplicaciones bilineales, simétricas y continuas de X × X en Y , provisto de la la norma usual kBk := sup kxkX =kykX =1 kB(x, y)kY . Si D2 F : A → L2 (X, Y ) es continua para esta norma, entonces F se dice de clase C 2 . Obviamente estas definiciones pueden generalizarse aun más; sin embargo, para desarrollar el método de Newton y demostrar la convergencia cuadrática en un contexto abstracto será suficiente considerar funciones de clase C 2 . Vamos a probar el siguiente caso particular del desarrollo de Taylor: Teorema (Desarrollo de Taylor de orden 1, y expresión del resto) Sean A, X, Y como antes, F : A → Y de clase C 2 , y sean x, y ∈ A tales que el segmento [x, y] := {ty +(1−t)x : t ∈ [0, 1]} está contenido en A. Entonces vale la fórmula F (y) − F (x) = DF (x)(y − x) + R(y), i i i i i i i 76 “apunte˙impa 2009/11/19 page 76 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON en donde R satisface: kR(y)kY ≤ 1 M ky − xk2X 2 con M = máx kD2 F (ξ)k. ξ∈[x,y] Observación En la fórmula anterior, el máximo se alcanza, porque [x, y] es un compacto. Demostración. Obviamente, podemos suponer Y 6= {0}, pues el caso Y = {0} es trivial. En primer lugar, veamos que la fórmula vale para Y = R. En tal caso, si ϕ(t) = ty + (1 − t)x tenemos (usando la regla de la cadena): F (y) − F (x) − DF (x)(y − x) = F ◦ ϕ(1) − F ◦ ϕ(0) − (F ◦ ϕ)0 (0). Por la expresión del resto de Lagrange para funciones de una variable, sabemos que el último término es igual a 21 (F ◦ ϕ)00 (c), en donde c ∈ (0, 1). Un simple cálculo muestra que entonces F (y)−F (x)−DF (x)(y −x) = 1 2 D F (x+c(y −x))[y −x, y −x]. (6.3) 2 Luego kF (y) − F (x) − DF (x)(y − x)kY ≤ 1 2 kD F (x + c(y − x))k.ky − xk2X , 2 lo que prueba la tesis. Si ahora tenemos Y 6= {0} cualquier espacio normado, tomando ψ ∈ Y ∗ sabemos que para ψ ◦ F vale una fórmula análoga a (6.3), para cierto c = c(ψ). Como ψ es lineal, empleando la regla de la cadena resulta inmediato que ³ ´ 1 ³ ´ ψ F (y)−F (x)−DF (x)(y−x) = ψ D2 F (x+c(y−x))[y−x, y−x] . 2 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 77 i 77 [SEC. 6.1: MÉTODO DE NEWTON Llamando z = F (y)−F (x)−DF (x)(y−x), podemos elegir ψ ∈ Y ∗ tal que ψ(z) = kzkY y además kψk = 1 (esto es una aplicación elemental del teorema de Hahn-Banach). En consecuencia ° ° 1 kψk °(D2 F (x + c(y − x))[y − x, y − x]° . Y 2 ° 2 ° Como °(D F (x + c(y − x))[y − x, y − x]° ≤ M kx − yk2 , el resultaY do se deduce entonces. kzkY = ψ(z) ≤ Antes de desarrollar el método de Newton abstracto, vale la pena volver a nuestro problema (6.2) y calcular la diferencial de la función F (u) := u00 − f (·, u). En este caso, los elementos del espacio X deben ser funciones dos veces derivables en algún sentido; una posibilidad serı́a elegir X = C 2 ([0, 1]) provisto de la norma usual kukC 2 := máx{kuk∞ , ku0 k∞ , ku00 k∞ }. Sin embargo, para obtener mejores estimaciones resulta más conveniente el espacio de Sobolev H 2 (0, 1) = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u0 absolutamente continua, u00 ∈ L2 (0, 1)} con la norma (proveniente de un producto interno) dada por ¡ ¢1/2 kukH 2 := kuk2L2 + ku0 k2L2 + ku00 k2L2 . En cualquiera de los dos casos, si F es diferenciable entonces su diferencial en u aplicada a un elemento ϕ está dada por el lı́mite DF (u)(ϕ) = lı́m h→0 = ϕ00 − lı́m h→0 F (u + hϕ) − F (u) h f (·, u + hϕ) − f (·, u) . h De esta forma, si pedimos que f sea de clase C 1 respecto de u, es fácil ver que F también resulta de clase C 1 , y vale: DF (u)(ϕ) = ϕ00 − ∂f (·, u)ϕ. ∂u i i i i i i i 78 “apunte˙impa 2009/11/19 page 78 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON Finalmente, si f es de clase C 2 respecto de u, entonces F es de clase C 2 , y vale: ∂2f D2 F (u)(ϕ, ψ) = − 2 (·, u)ϕψ. ∂u Veamos ahora el método de Newton, en principio para una aplicación cualquiera F : X → Y de clase C 2 , en donde X es un espacio de Banach. De acuerdo con el método conocido para X = Y = R, vamos a comenzar en cierto u0 ∈ X y definir un+1 = un − DF (un )−1 (F (un )). (6.4) Es claro que esta definición exige, tal como ocurre en el método clásico, tener una región en la que DF (u) sea un operador inversible, y asegurarse de que la sucesión {un } no “escapa” de dicha región. Para el problema (6.2), esto se transformará en una condición concreta en términos de f . Por otra parte, (6.4) se puede escribir en la forma DF (un )(un+1 − un ) = −F (un ) (6.5) y restando la igualdad análoga para un resulta: DF (un )(un+1 − un ) = −[F (un ) − F (un−1 ] − DF (un−1 )(un − un−1 )]. Por la expresión del resto de Taylor, tenemos que kDF (un )(un+1 − un )kY ≤ Mn kun − un−1 k2X , 2 en donde Mn es la norma de la diferencial segunda evaluada en cierto valor intermedio ξ ∈ [un−1 , un ]. Luego, si Cn = kDF (un )−1 k, se deduce: C n Mn kun+1 − un kX ≤ kun − un−1 k2X . 2 Ahora supongamos que existen constantes C y M tales que Cn ≤ C, Mn ≤ M para todo n. (6.6) En tal caso, se prueba inductivamente la siguiente estimación: kun+1 − un kX ≤ µ CM 2 ¶2n −1 n ku1 − u0 k2X = A2 n −1 ku1 − u0 kX , i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 79 i 79 [SEC. 6.1: MÉTODO DE NEWTON en donde A = CM 2 ku1 −u0 kX . De esta forma, la convergencia (cuadrática) de la sucesión estará garantizada si A < 1, lo que significa que u0 debe estar cerca de una solución. En efecto, siendo u1 = u0 − DF (u0 )−1 (F (u0 )) resulta ku1 − u0 kX ≤ kDF (u0 )−1 (F (u0 ))kX ≤ kDF (u0 )−1 k.kF (u0 )kY , lo que en cierta forma dice que kF (u0 )kY tiene que ser pequeño. Obviamente, una manera de lograr que valga (6.6) consiste en pedir directamente que para todo u la diferencial DF (u) sea inversible, con kDF (u)−1 k ≤ C, y además kD 2 F (u)k ≤ M . Sin embargo, estas hipótesis pueden debilitarse. Por ejemplo, supongamos que para cierto R > 0 sabemos que DF (u) es inversible en BR (u0 ), y además C := sup kDF (u)−1 k < ∞ u∈BR (u0 ) M := sup u∈BR (u0 ) kDF 2 (u)k < ∞. Los cálculos anteriores nos aseguran que, si se puede probar que un ∈ BR (u0 ) para todo n, entonces la convergencia está garantizada cuando A < 1. Vamos a poner una condición que permita asegurar que valen las condiciones anteriores y además kun − u0 kX ≤ R para todo n. En primer lugar, observemos que si u1 , · · · , un ∈ BR (u0 ), resulta: kun+1 − u0 kX ≤ n X j=0 kuj+1 − uj kX ≤ ku1 − u0 kX n X A2 j −1 j=0 1 ku1 − u0 kX . 1−A En consecuencia, si se cumple que ku1 − u0 kX < (1 − A)R, entonces A < 1 y un ∈ BR (u0 ) para todo n. Teniendo en cuenta las anteriores acotaciones, una condición suficiente para que esto ocurra es: µ ¶ CM R CkF (u0 )kY 1 + < R. (6.7) 2 ≤ i i i i i i i 80 “apunte˙impa 2009/11/19 page 80 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON Ası́ planteada, la condición (6.7) es difı́cil de verificar pues las constantes C y M dependen de R. Sin embargo, tiene una aplicación muy concreta que será de utilidad en la próxima sección. La idea consiste simplemente en mostrar que si se conoce una solución u0 de determinado problema, entonces el método de Newton permite encontrar una solución de cierto problema “perturbado”. Más concretamente, dados F de clase C 2 y u0 un cero de F se puede definir Fε := F + εφ para cierta φ y ver que bajo condiciones adecuadas el problema Fε (u) = 0 tiene solución para ε > 0 suficientemente pequeño. En efecto, supongamos como antes que DF (u) es inversible para u ∈ BR (u0 ), con C, M < ∞. Pedimos que φ también sea de clase C 2 , tal que sup u∈BR (u0 ) kDφ(u)k := Cφ < ∞ sup u∈BR (u0 ) kD2 φ(u)k := Mφ < ∞. Por otra parte, recordemos que el subconjunto de operadores inversibles es abierto en L(X, Y ); más precisamente, es fácil probar que si T es inversible y kBk < kT 1−1 k , entonces T + B es inversible, y se cumple: kT −1 k k(T + B)−1 k ≤ . 1 − kT −1 k.kBk Tomando T = DF (u) y B = εDφ(u), entonces para u ∈ BR (u0 ) vale kT −1 k ≤ C, y kBk ≤ εCφ ; de esta forma, si tomamos ε < Cφ1C resulta C que DFε (u) es inversible y además kDFε (u)−1 k ≤ 1−εC := Cε . φC Además, sup kD2 Fε (u)k ≤ M + εMφ := Mε . u∈BR (u0 ) Buscamos ahora que se cumpla una desigualdad análoga a (6.7) para la función Fε . Pero esto es evidente si ε es pequeño, pues para ε → 0 se ve que Cε → C, Mε → M y Fε (u0 ) = εφ(u0 ) → 0. Vamos a aplicar lo anterior al problema (6.2). Si f es de clase C 2 respecto de u entonces la iteración de Newton se define por medio de la siguiente sucesión de problemas: ½ 00 ∂f (t, Un )(Un+1 − Un ), Un+1 = f (t, Un ) + ∂u (6.8) Un+1 (0) = u0 , Un+1 (1) = u1 . i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 81 i 81 [SEC. 6.1: MÉTODO DE NEWTON Esto resulta en forma inmediata a partir de (6.5) y la fórmula para la diferencial de F (u) = u00 − f (·, u) antes calculada. Sin embargo, para que la sucesión esté bien definida debemos pedir que DF (Un ) sea inversible. En realidad, alcanza con pedir solamente que (6.8) tenga solución única; más adelante veremos que a veces basta incluso con asegurar que (6.8) tiene al menos una solución. Ahora bien, el problema (6.8) es lineal, del tipo u00 − µ(t)u = ξ(t), ∂f con µ(t) = ∂u (t, Un ); como vimos, una manera de garantizar que ∂f (t, Un ) ≥ 0 1 . tiene solución única consiste en pedir que ∂u Bajo esta hipótesis, es fácil verificar del mismo modo que en el capı́tulo 5 que el operador lineal Ln w := w00 − ∂f (t, Un )w ∂u verifica la estimación kw 0 kL2 ≤ π1 kLn wkL2 para cualquier w tal que w(0) = w(1) = 0. Esto nos va a resultar de utilidad, pues si restamos las ecuaciones correspondientes a Un+1 y Un obtenemos: Ln (Un+1 − Un ) = f (t, Un ) − f (t, Un−1 ) − ∂f (t, Un−1 )(Un − Un−1 ). ∂u En consecuencia, existe un valor intermedio ξn (t) tal que Ln (Un+1 − Un ) = 1 ∂2f (t, ξn (t))(Un − Un−1 )2 . 2 ∂u2 Notemos que para esta aplicación especı́fica no es preciso usar el desarrollo de Taylor para operadores en espacios de Banach: lo que estamos usando es la expresión usual del resto de Lagrange para f , para cada t fijo. Por otra parte, para asegurar la convergencia de Un podemos mejorar un poco las condiciones que pedimos en nuestro anterior planteo “abstracto”: esto se debe esencialmente al hecho de que alcanzarı́a con probar por ejemplo la convergencia uniforme de Un , y luego deducir que el limite U es de clase C 2 y resulta solución ∂f (t, Un ) ≥ c para cierta constante c > −π 2 . En realidad alcanza con menos: ∂u Esto se debe a que el primer autovalor del operador −u00 para el problema de Dirichlet en [0, 1] es justamente π 2 : de esta forma, se obtienen acotaciones a priori ∂f similares a las del capı́tulo 3, para el operador u00 − ∂u (·, Un ). 1 i i i i i i i 82 “apunte˙impa 2009/11/19 page 82 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON del problema. En este aspecto, el procedimiento coincide con lo que hemos hecho para el método iterativo del capı́tulo 4. En virtud de las estimaciones anteriores, si para todo t y todo n ∂2f vale que | ∂u 2 (t, ξn (t))| ≤ M para cierta M , entonces 0 − Un0 kL2 ≤ kUn+1 1 M kLn (Un+1 − Un )kL2 ≤ k(Un − Un−1 )2 kL2 π 2π y en consecuencia kUn+1 − Un k∞ ≤ M kUn − Un−1 k2∞ . 2π Inductivamente, kUn+1 − Un k∞ ≤ A2 donde A = M 2π kU1 n −1 kU1 − U0 k∞ , − U0 k∞ . Por otra parte, U100 − ∂f (t, U0 )(U1 − U0 ) = f (t, U0 ), ∂u de donde 1 1 kL0 (U1 − U0 )k∞ = kU000 − f (·, U0 )k∞ := E0 . π π Esto da una condición suficiente para que el método funcione: si ¯ 2 ¯ ¯∂ f ¯ ∂f ¯ (t, u) ≥ 0, ¯ 2 (t, u)¯¯ ≤ M para t ∈ [0, 1], y |u − U0 (t)| ≤ R, ∂u ∂u (6.9) y además µ ¶ MR E0 1 + ≤ R, 2π kU1 − U0 k∞ ≤ entonces Un converge en C([0, 1]) en forma cuadrática a una función U tal que kU − U0 k∞ ≤ R. Según mencionamos, se puede probar (queda como ejercicio) que U es una solución del problema. A modo de comentario final, observemos que si las condiciones que se piden en (6.9) valen para toda u (y no sólo en una bola de radio R), entonces la convergencia está garantizada siempre que U0 se encuentre suficientemente cerca de la solución. Vale la pena señalar que en este caso ya sabı́amos de antemano que dicha solución existe y es única, pues f es decreciente (ver capı́tulo 5). i i i i i i i 83 [SEC. 6.2: MÉTODO DE NEWTON-CONTINUACIÓN 6.2. “apunte˙impa 2009/11/19 page 83 i Método de Newton-continuación El método de Newton presentado en la sección anterior tiene la limitación de que, además de imponer condiciones muy restrictivas para f , para poder asegurar la convergencia pueda asegurarse es preciso que la iteración comience suficientemente cerca de la solución. En ciertos casos, no es fácil garantizar esto; veremos ahora un método que combina el método de Newton con el de continuación, definiendo una homotopı́a de parámetro λ ∈ [0, 1] con un problema cuya solución es conocida. De esta forma, conociendo una solución uλ para cierto valor de λ, podemos aplicar el método de Newton y ası́ obtener soluciones para λ + ε. Los resultados de la sección previa sobre el problema “perturbado” permiten decir que si ε es suficientemente pequeño, la sucesión converge cuando se comienza la iteración en uλ . Para la ecuación abstracta F (u) = 0, la idea consiste en definir una homotopı́a h : X × [0, 1] → Y de clase C 2 , de modo tal que h(·, 1) = F , y h(·, 0) := F0 sea cierta función de la cual conocemos algún cero. El caso más sencillo está dado obviamente por la homotopı́a lineal h(u, λ) = λF + (1 − λ)F0 . De esta forma, si conocemos un cero de Fλ := h(·, λ), eso nos permitirá por medio del método de Newton, buscar una solución de Fλ+ε (u) = 0. Para la homotopı́a lineal, esto consiste simplemente en resolver el problema Fλ (u) + ε(F (u) − F0 (u)) = 0, que corresponde a lo desarrollado en la sección previa, tomando en particular φ = F − F0 . Veamos a grandes rasgos el ejemplo concreto correspondiente al anterior problema de Dirichlet, para el cual la homotopı́a toma la siguiente forma: u00 = λf (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 . (6.10) Para λ = 0, obviamente conocemos la (única) solución de este problema. Supongamos ahora que tenemos una solución uλ de (6.10) para cierto λ < 1, e intentemos resolver el problema para λ + ε ≤ 1 con ε suficientemente pequeño. La iteración de Newton que comienza en i i i i i i i 84 “apunte˙impa 2009/11/19 page 84 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON U0 = uλ está dada ahora por los problemas ³ ( ´ ∂f 00 = (λ + ε) f (t, Un ) + ∂u Un+1 (t, Un )(Un+1 − Un ) , Un+1 (0) = u0 , Un+1 (1) = u1 . (6.11) Los cálculos son exactamente iguales que antes (podemos acotar directamente λ + ε por 1), asumiendo que (6.9) vale para cierto R. La diferencia es que ahora la cota para E0 es una función de ε: como U0 = uλ , que es solución de (6.10), entonces U000 = λf (t, U0 ), y (U1 − U0 )00 − (λ + ε) ∂f (t, U0 )(U1 − U0 ) = (λ + ε)f (t, U0 ) − U000 ∂u = εf (t, U0 ). Luego ε kf (·, U0 )k∞ , π y de esta forma (no importa cuánto vale R) la sucesión converge si ε es pequeño; más concretamente: µ ¶ MR ε kf (·, U0 )k∞ 1 + ≤ R. π 2π kU1 − U0 k∞ ≤ Lo anterior asegura que siempre que valga (6.9) en un entorno de uλ , entonces existe una solución del problema para λ+ε; luego, existe una sucesión 0 = λ 0 < λ1 < λ2 < . . . para los cuales se puede construir una solución uλi . Sin embargo, el valor de ε depende de uλ ; en consecuencia, a menos que se pueda probar que el paso dado por ε no decrece demasiado rápidamente, no hay forma de asegurar que el valor λ = 1 se alcanza. 6.3. Cuasilinealización En esta sección veremos un argumento de cuasilinealización para el problema (6.2), que combina el método de Newton con el de super y subsoluciones. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 85 i 85 [SEC. 6.3: CUASILINEALIZACIÓN Supongamos que f es de clase C 2 respecto de la variable u, y sean α ≤ β como en el capı́tulo 4. La idea es definir una iteración que consiste en resolver en cada paso un problema cuasi-lineal, aunque después de probar que la sucesión ası́ definida se encuentra en la región {u ∈ C([0, 1]) : α ≤ u ≤ β} se verá que en realidad la iteración es la misma que la definida por la linealización de Newton. Bajo ciertas hipótesis adicionales, esto permite probar entonces la convergencia cuadrática. Vamos a comenzar en U0 := α, y pediremos además que f sea ∂2f cóncava como función de u, es decir: ∂u 2 ≤ 0 (si comenzamos en U0 := β, debemos pedir que f sea convexa). Al igual que en el método de super y subsoluciones, tomemos ∂f λ ≥ 0 tal que λ ≥ ∂u (t, u) para cada t ∈ [0, 1] y u ∈ [α(t), β(t)]. Pero a diferencia de antes, el problema que resolveremos ahora es ½ 00 ∂f (t, α)[P (t, u) − α] u − λu = f (t, α) − λP (t, u) + ∂u (6.12) u(0) = u0 , u(1) = u1 en donde P es la función de truncamiento definida en el capı́tulo 4. Una vez más, el teorema de Schauder asegura que este problema tiene al menos una solución, que cumple ¶ µ ∂f 00 (t, α) − λ [P (t, u) − α] ≤ f (t, α) − λα, u − λu = f (t, α) − λα + ∂u y entonces u ≥ α. Por otra parte, para cualquier y podemos escribir f (t, y) = f (t, α) + ∂f (t, α)(y − α) + R(y), ∂u 2 ∂ f y la condición ∂u 2 ≤ 0 implica que R(y) ≤ 0. En particular, si tomamos y = P (t, u) obtenemos: u00 − λu = f (t, P (t, u)) − λP (t, u) − R(P (t, u)) ≥ f (t, β) − λβ ≥ β 00 − λβ, lo que prueba que u ≤ β. Finalmente, sabiendo ya que α ≤ u ≤ β, se cumple en realidad que u00 = f (t, α) + ∂f (t, α)(u − α) = f (t, u) − R(u) ≥ f (t, u), ∂u i i i i i i i 86 “apunte˙impa 2009/11/19 page 86 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON lo que implica que u es subsolución. Llamando U1 a esta solución u, tenemos que α := U0 ≤ U1 ≤ β, y Uj es una subsolución para j = 0, 1. De esta forma, podemos repetir el argumento para obtener una sucesión α = U 0 ≤ U1 ≤ U2 ≤ · · · ≤ β en donde Un es subsolución del problema, y además ½ 00 ∂f Un+1 = f (t, Un ) + ∂u (t, Un )(Un+1 − Un ), Un+1 (0) = u0 , Un+1 (1) = u1 (6.13) Observación Notemos que el argumento de cuasilinealización requiere en cada paso redefinir la función de truncamiento, pues se vuelve a poner en el lugar de α a la subsolución Un . Vemos ası́ que finalmente la iteración no es otra que la de Newton; sin embargo, la prueba de la convergencia de Un es diferente, y emplea en forma esencial argumentos de monotonı́a. Como Un converge puntualmente a cierta función u, por el teorema de Dini sabemos la convergencia es uniforme. Esto permite probar (tal como hicimos en 4.1.1) que u es solución del problema. Vale la pena observar que no hubiera sido correcto definir la sucesión directamente a partir de (6.13), ya que nada garantiza de antemano que dicho problema pueda resolverse. Una forma de asegurar esto serı́a pidiendo (ver nota 1 de este capı́tulo) que ∂f (t, u) ≥ c > −π 2 . ∂u (6.14) Veamos ahora que, para este nuevo método, la condición (6.14) permite probar la convergencia cuadrática. Vale la pena recordar que en el método de Newton se pide también que la derivada segunda de f esté acotada, condición que ahora no va a hacer falta. Más aun, la propia condición (6.14) puede debilitarse: alcanza con pedir que valga únicamente para todos los (t, u) ∈ [0, 1] × R tales que α(t) ≤ u ≤ β(t). En efecto, llamando εn := u − Un al error n-ésimo, resulta εn ≥ 0, y además ε00n = f (t, u) − f (t, Un−1 ) − ∂f (t, Un−1 )(Un − Un−1 ), ∂u i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 87 i 87 [SEC. 6.3: CUASILINEALIZACIÓN εn (0) = εn (1) = 0. Por consiguiente, ε00n − ∂f ∂f (t, Un−1 )εn =f (t, u) − f (t, Un−1 ) − (t, Un−1 )(u − Un−1 ) ∂u ∂u 1 ∂2f = (t, ξn (t))ε2n−1 . 2 ∂u2 ∂f (t, Un−1 ) ≥ c > −π 2 ; entonces podemos definir Por hipótesis, ∂u φn como la única solución del problema φ00n − cφn = 1 ∂2f (t, ξn (t))εn−1 2 2 ∂u2 que verifica φn (0) = φn (1) = 0. Entonces ε00n − cεn = ε00n − ∂f (t, Un−1 )εn + ∂u µ ¶ ∂f (t, Un−1 ) − c εn ≥ φ00n − cφn , ∂u y por el principio del máximo se deduce que εn ≤ φn . Además, Z 1 00 kφn kL2 kφn − cφn kL2 ≥ − φn (φ00n − cφn ) ≥ kφ0n k2L2 , 0 de donde se deduce que kφ0n kL2 ≤ 1 00 π kφn − cφn kL2 . Luego φn ≤ kφ0n kL2 ≤ Kkε2n−1 kL2 ≤ Kkεn−1 k2∞ , 2 ∂ f 1 en donde K = 2π sup ∂u 2 (t, v), para t ∈ [0, 1] y α(t) ≤ v ≤ β(t). En definitiva, hemos probado el siguiente resultado: Teorema (Método de cuasilinealización) Sea f : [0, T ]×R → R continua y de clase C 2 respecto de u, y sean α ≤ β respectivamente una sub y una supersolución del problema 6.2. ∂2f Supongamos además que ∂u 2 (t, u) ≤ 0 para todo t ∈ [0, 1] y todo u tal que α(t) ≤ u ≤ β(t). Entonces la sucesión (no necesariamente única) definida anteriormente converge a una solución del problema. Si además vale (6.14) para todo t ∈ [0, 1] y α(t) ≤ u ≤ β(t), entonces la convergencia es cuadrática. i i i i i i i 88 “apunte˙impa 2009/11/19 page 88 i [CAP. 6: EL MÉTODO DE NEWTON 6.3.1. Ejercicios 1. Generalizar los métodos desarrollados en este capı́tulo para otras condiciones de contorno. 2. ¿En qué casos es posible aplicar los métodos desarrollados en este capı́tulo a la ecuación del péndulo? 3. Consideremos el problema de cuarto orden u(4) + g(t, u, u00 ) = p(t), (6.15) en el que por simplicidad se supone que g es continua, y de clase C 2 respecto de u y u00 . Supongamos que existen funciones suaves α y β tales que α(4) + g(·, α, α00 ) ≤ p, β (4) + g(·, β, β 00 ) ≥ p y α00 − Kα ≥ β 00 − Kβ para cierta constante K > 0. Además, supongamos que ∂g ∂g (t, u, v) + K 00 (t, u, v) + K 2 ≤ 0 ∂u ∂u para (t, u, v) ∈ C, donde C es el conjunto de todos los elementos (t, u, v) ∈ [0, T ] × R2 tales que α(t) ≤ u ≤ β(t), α00 (t) − Kα(t) ≥ v − Ku ≥ β 00 (t) − Kβ(t). a) Probar que (6.15) tiene al menos una solución T -periódica u con α ≤ u ≤ β. Sugerencia: probar el siguiente principio del máximo: √ sean λ, µ > 0 tales que λ2 ≥ 4µ, y sean K ± = Entonces, si u es periódica y satisface λ± λ2 −4µ . 2 u(4) − λu00 + µu ≥ 0, i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 89 i 89 [SEC. 6.3: CUASILINEALIZACIÓN tambien verifica: u00 − K ± u ≤ 0. b) En particular, u ≥ 0. Desarrollar un método de cuasilinealización (y verificar la convergencia) para encontrar una solución T -periódica de u(4) − 2u00 + u5 = p(t) en donde kpk∞ es suficientemente pequeño. Sugerencia: probar con α < 0 < β constantes. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 90 i Capı́tulo 7 El grado de Brouwer 7.1. Teorı́a de grado topológico. Definición y propiedades Vamos a ver ahora algunos aspectos de una importante noción topológica definida por Brouwer: la teorı́a de grado, que a grandes rasgos puede pensarse como un “conteo algebraico” de los ceros de una función continua. Primero definiremos el grado para aplicaciones en Rn , y en el próximo capı́tulo veremos su extensión para ciertos operadores en espacios de Banach (grado de Leray-Schauder). Comenzaremos con una situación bien conocida, que nos permitirá definir el grado para n = 2. Sea Ω ⊂ C un abierto acotado, al que por simplicidad supondremos simplemente conexo, y cuya frontera γ := ∂Ω es una curva continua (orientada positivamente). Dada una función f : Ω → C analı́tica, tal que f 6= 0 en γ, se tiene la siguiente fórmula, que es un caso particular del teorema de los ceros y polos, y cuenta los ceros de f (con su multiplicidad): 1 2πi Z γ f 0 (z) dz = # { ceros de f en Ω} f (z) (7.1) Llamando d(f, Ω) a esta integral, podemos hacer algunas primeras observaciones: 90 i i i i i i i [SEC. 7.1: TEORÍA DE GRADO TOPOLÓGICO. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES 1. Si f = Id y 0 ∈ / ∂Ω, entonces ½ 1 d(f, Ω) = 0 “apunte˙impa 2009/11/19 page 91 i 91 si 0 ∈ Ω si 0 ∈ /Ω 2. Si d(f, Ω) 6= 0, entonces f se anula en Ω. Este hecho, completamente trivial para f analı́tica, va a transformarse en la propiedad fundamental (y para nada trivial) del grado cuando extendamos la definición para el caso en que f sea solamente continua. 3. Invariancia por homotopı́a: supongamos que f y g son homotópicas, es decir, que existe h : Ω × [0, 1] → C continua tal que h(z, 0) = f (z) y h(z, 0) = g(z), con h(z, λ) 6= 0 para z ∈ ∂Ω. Entonces d(f, Ω) = d(g, Ω). 4. d(f, Ω) depende solamente del valor de f restringida a ∂Ω. En virtud de la definición anterior, esto es una nueva trivialidad porque dos funciones analı́ticas que coinciden en una curva son iguales; sin embargo, vale la pena verlo como una consecuencia directa de 3. En efecto, si f y g coinciden en ∂Ω, entonces podemos definir la homotopı́a lineal h(z, λ) = λf (z) + (1 − λ)g(z), cuyo valor para z ∈ ∂Ω es f (z) = g(z) 6= 0. De este modo, d(g, Ω) está definido, y vale igual a d(f, Ω). En realidad, para que la invariancia por homotopı́a tenga sentido en el contexto anterior, podrı́a pensarse que hace falta pedir que hλ := h(λ, ·) sea una función analı́tica para todo λ, de modo que d(hλ , Ω) esté definido por medio de una integral como en (7.1) para todo λ. Sin embargo, esto no es ası́; más aun, entender esto en detalle es lo que nos permitirá extender la definición de la función d para cualquier función continua. En efecto, basta observar que Z 0 Z 1 f (z) 1 1 dz = dz = I(f ◦ γ, 0); 2πi γ f (z) 2πi f ◦γ z en otras palabras, d no es otra cosa que el ı́ndice de la curva f ◦ γ respecto del origen. Pero este ı́ndice está definido para cualquier curva continua, con la única condición de que no pase por el 0. i i i i i i i 92 “apunte˙impa 2009/11/19 page 92 i [CAP. 7: EL GRADO DE BROUWER De esta forma, para f : Ω → R continua tal que f 6= 0 en ∂Ω definimos el número d(f, Ω) := I(f ◦γ, 0). Es fácil ver que las propiedades 2 y 3 (y en consecuencia, también 4) siguen valiendo. En lo que sigue extenderemos esta definición para cualquier función continua f : Ω → Rn , en donde Ω ⊂ Rn es un abierto acotado. Por conveniencia, definiremos más en general para cualquier y ∈ Rn − f (∂Ω), el grado d(f, Ω, y), que será un número entero que (intuitivamente) cuenta el número de soluciones en Ω de la ecuación f (x) = y. En el caso n = 2, si Ω es como antes, resulta evidente que la definición adecuada es d(f, Ω, y) = I(f ◦ γ, y). Pero este ı́ndice es igual al de la función f − y respecto del 0; por eso vamos a definir en general d(f, Ω, y) = d(f − y, Ω, 0). (7.2) De acuerdo con esta definición, la primera de las propiedades anteriores cobrarı́a la siguiente forma: ½ 1 si y ∈ Ω d(Id, Ω, y) = (7.3) 0 si y ∈ /Ω Finalmente, teniendo en cuenta una vez más lo que ocurre para n = 2, una de las propiedades que vamos a pedir que cumpla el grado es la aditividad: si Ω1 y Ω2 son disjuntos y f : Ω1 ∪ Ω2 → Rn no toma el valor y sobre ∂Ω1 ∪ ∂Ω2 , entonces d(f, Ω1 ∪ Ω2 , y) = d(f, Ω1 , y) + d(f, Ω2 , y). Observemos en primer lugar que la definición para el caso n = 1 es inmediata, si pretendemos que se cumplan las propiedades antes enumeradas. Alcanza con definirlo para el caso en que Ω es un intervalo; la extensión al caso general es obvia a partir de la regla de aditividad 1 . En efecto, dados Ω = (a, b) y f : [a, b] → R una función continua tal que f (a), f (b) 6= 0, en virtud de la propiedades 3 y (7.3), es claro que cuando f (a) < 0 < f (b) debe valer deg(f, Ω, 0) = 1. Por otra parte, si sgn(f (a)) = sgn(f (b)), entonces f es homotópica a una función que no se anula, y en consecuencia debe ser deg(f, Ω, 0) = 0. Finalmente, observemos que es “razonable” pensar que si f (a) > 0 > f (b) 1 Notar que al ser Ω un abierto acotado, la condición f 6= 0 sobre ∂Ω implica que f sólo puede tener raı́ces en un número finito de componentes conexas de Ω. De esta forma, al sumar el grado de f sobre dichas componentes conexas, resulta una suma finita. i i i i i i i [SEC. 7.1: TEORÍA DE GRADO TOPOLÓGICO. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES “apunte˙impa 2009/11/19 page 93 i 93 entonces debe valer deg(f, Ω, 0) = −1: por ejemplo, podemos observar que eso es lo que ocurre en el caso n = 2 cuando f (z) = z, que invierte la orientación del espacio: si 0 ∈ Ω, entonces Z Z 1 1 1 1 dz = − dz = −1. 2πi γ z 2πi γ z A partir de esta “definición” del grado para n = 1, podemos intentar una generalización para n > 1. En primer lugar veamos, todavı́a con n = 1, qué ocurre cuando f es de clase C 1 , y por ejemplo f (a) < 0 < f (b). En tal caso, si f no tiene ceros múltiples, entonces tiene un número finito e impar de ceros en (a, b); más aun, si x0 es el primero de ellos, entonces f 0 (x0 ) > 0, y luego los signos de la derivada en cada una de las sucesivas raı́ces se van alternando. Un razonamiento análogo se puede hacer cuando f (a) > 0 > f (b), y también cuando f (a) y f (b) tienen el mismo signo. De esta forma, el grado puede pensarse directamente como la suma de los signos de la derivada sobre el conjunto f −1 (0). Esto explica por qué el grado no “cuenta” realmente la cantidad de ceros; una función puede tener muchos ceros, pero los signos se van compensando uno a uno de modo que el grado es (en el caso n = 1) finalmente 0, 1 o −1. Obviamente, una función continua no tiene por qué cumplir lo anterior, aunque siempre puede aproximarse por funciones suaves. Pero incluso una función suave puede tener raı́ces múltiples; en particular, puede tener ceros que no son aislados. La idea consiste en mostrar que de cualquier forma se aproxima por funciones “buenas” como las anteriores. En términos más precisos, lo que esta “bondad” significa es que el 0 es un valor regular: para cada x ∈ f −1 (0) se tiene que f 0 (x) 6= 0. Esto implica que las raı́ces de f en Ω son simples, y obviamente finitas, pues f no se anula en ∂Ω. Más en general, para Ω ⊂ Rn y f : Ω → Rm de clase C 1 se dice que y ∈ Rm es un valor regular de f cuando para todo x ∈ f −1 (y) la diferencial Df (x) : Rn → Rm es suryectiva (obviamente, esto requiere que m ≤ n). Los valores que no son regulares se denominan crı́ticos. De la definición se desprende tautológicamente que si y ∈ / f (Ω), entonces y es un valor regular. En base a las observaciones previas para el caso n = 1, dado Ω ⊂ Rn abierto acotado y f : Ω → Rn de clase C 1 tal que 0 es valor i i i i i i i 94 “apunte˙impa 2009/11/19 page 94 i [CAP. 7: EL GRADO DE BROUWER regular y 0 ∈ / f (∂Ω), se define el grado de Brouwer X sgn(Jac(f (x))) deg(f, Ω, 0) = x∈f −1 (0) en donde Jac(f (x)) denota el determinante jacobiano Jac(f (x)) = det(Df (x)). Cabe observar que el grado está bien definido por tratarse de una suma finita: en efecto, como 0 es un valor regular el teorema de la función inversa asegura que para cada preimagen del 0 existe un entorno sobre el cual f es inyectiva. Además, f −1 (0) es compacto, y como dichos entornos son disjuntos se deduce que f sólo puede anularse en finitos puntos. También resulta evidente a partir de esta definición que si deg(f, Ω, 0) 6= 0 entonces f se anula en Ω. A continuación veremos algunas propiedades que nos permitirán extender la definición al conjunto de funciones continuas que no se anulan en ∂Ω. Más en general, vamos a definir como antes deg(f, Ω, y) = deg(f − y, Ω, 0) si f es de clase C 1 tal que f 6= y sobre ∂Ω y además y es valor regular de f , para luego extender el grado a la clase de funciones “admisibles” A(y) := {f ∈ C(Ω, Rn ) : f 6= y sobre ∂Ω}. En primer lugar, observemos que este conjunto es abierto: Lema Si f ∈ A(y) y g ∈ C(Ω, Rn ) satisface kg − f k∞ < dist(y, f (∂Ω)), entonces g ∈ A(y). Demostración. Dado x ∈ ∂Ω, es claro que |g(x) − y| ≥ |f (x) − y| − |g(x) − f (x)| > 0. El siguiente resultado es el conocido Teorema de Sard, que tiene varias aplicaciones importantes. Daremos una demostración particular para el caso n = m; la prueba general puede hallarse por ejemplo en [24]. Vale la pena mencionar que en algunos textos, como [5] y i i i i i i i [SEC. 7.1: TEORÍA DE GRADO TOPOLÓGICO. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES “apunte˙impa 2009/11/19 page 95 i 95 [27], se define el grado empleando únicamente este caso particular; aquı́ usaremos también el caso n = m + 1. Lema (Teorema de Sard) Sean m ≤ n y f ∈ C ∞ (Ω, Rm ). Entonces el conjunto de valores crı́ticos de f tiene medida 0. En particular, el conjunto de valores regulares es denso en Rm . Demostración. Consideremos m = n. Escribiendo a Ω como una unión numerable de cubos, basta probar la propiedad para el caso en que Ω es un cubo de lado L. Dividiendo a cada lado de Ω en N partes iguales, se obtienen N n cubos de lado L/N ; además, si x y x0 pertenecen a uno de esos cubos y x0 es un punto crı́tico, se tiene: f (x) − f (x0 ) = Df (x0 )(x − x0 ) + R(x) ¡ L ¢2 , y además Im(Df (x0 )) ⊂ H en donde |R(x)| ≤ c1 |x − x0 |2 ≤ c1 N hiperplano de Rm . Por otra parte, |Df (x0 )(x − x0 )| ≤ kDf (x0 )k.|x − x0 | ≤ c2 L . N De esta forma, f (x) − f (x0 ) ∈ C, en donde C es un cilindro isométrico ¡ L ¢2 L para yε=C N a B×[−ε, ε], con B ⊂ Rm−1 una bola de radio C N cierta constante C. Notemos que C puede elegirse de modo uniforme para los N n cubos; luego, como el conjunto V C de valores crı́ticos se cubre por la imagen de aquellos cubos que contienen algún punto crı́tico, se deduce que µ ¶n−1 µ ¶2 L L C n Ln+1 →0 M edida(V C) ≤ N n C C = N N N para N → ∞. ∞ Como consecuencia del teorema de Sard, el conjunto Creg (Ω, Rm ) de funciones de clase C ∞ para las que 0 es un valor regular resulta un subconjunto denso de C(Ω, Rm ): Lema (densidad) ∞ Creg (Ω, Rm ) es denso en C(Ω, Rm ). i i i i i i i 96 “apunte˙impa 2009/11/19 page 96 i [CAP. 7: EL GRADO DE BROUWER Demostración. Dada f ∈ C(Ω, Rm ) y ε > 0, por el teorema de Weierstrass y el lema anterior podemos tomar f˜ ∈ C ∞ (Ω, Rm ) tal que kf˜ − f k∞ < 2ε , y un valor y ∈ Rm que sea valor regular de f˜ y tal que |y| < 2ε . Entonces g = f˜ − y es de clase C ∞ y tiene al 0 como valor regular. Lema Sea f : Ω → Rn de clase C 1 tal que 0 es valor regular y f 6= 0 sobre ∂Ω. Entonces existe un entorno V del 0 tal que si y ∈ V entonces y es valor regular de f , f 6= y en ∂Ω y además deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, 0). Demostración. Si 0 ∈ / Im(f ), el resultado es trivial por ser f (∂Ω) cerrado. Si f −1 (0) = {x1 , · · · , xk } por el teorema de la función inversa existe Uj entorno conexo de xj y Vj entorno de 0 tales que f : Uj → Vj es un difeomorfismo de clase C 1 . Luego, basta tomar V = k \ j=1 Vj − f (Ω − k [ Uj ). j=1 En efecto, es claro que para cada y ∈ V el cardinal de f −1 (y) es exactamente k, y como el signo del jacobiano es constante en cada Uj , el resultado queda probado. El siguiente lema prueba que deg(f, Ω, 0) es localmente constante ∞ en A(0) ∩ Creg (Ω, Rn ). Lema ∞ ∞ Sea f ∈ A(0) ∩ Creg (Ω, Rn ). Si g ∈ Creg (Ω, Rn ) verifica que kg − f k∞ < dist(0, f (∂Ω)), entonces g 6= 0 en ∂Ω, y además vale deg(g, Ω, 0) = deg(f, Ω, 0). Demostración. Para λ ∈ [0, 1], definimos h(x, λ) := λg(x) + (1 − λ)f (x). i i i i i i i [SEC. 7.1: TEORÍA DE GRADO TOPOLÓGICO. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES “apunte˙impa 2009/11/19 page 97 i 97 Entonces h(x, λ) 6= 0 para x ∈ ∂Ω. Por el lema previo, existe un entorno V tal que y es valor regular de f y g para todo y ∈ V , y el grado de f y g respecto de y es el mismo que el grado en 0. Por el lema de Sard, existe z ∈ V valor regular de h, y entonces reemplazando f, g y h por f − z, g − z y h − z, podemos suponer directamente que 0 es valor regular también para h. Consideremos el conjunto C = h−1 (0) ⊂ Ω × [0, 1]. Por el teorema de la función implı́cita, cada componente conexa de C es una curva regular, localmente parametrizada por una función (x(t), λ(t)). Es claro, además, que si una de estas componentes no es una curva cerrada, entonces tiene dos extremos, que tienen que estar en Ω × {0} o en Ω × {1}. En consecuencia, su primera coordenada corresponde a un cero de f o un cero de g. Por otra parte, si x0 es un cero de f o de g entonces (x0 , 0) o (x0 , 1) es un cero de h. De esta forma, alcanza con analizar lo que ocurre en aquellas componentes conexas no cerradas de C: más precisamente, veremos que si una de ellas une los puntos (x0 , r0 ) y (x1 , r1 ), con r0 = 0, 1 (podemos suponer r0 ≤ r1 ) entonces: 1. Si r0 = 0 y r1 = 1, entonces sgn(Jac(f (x0 ))) = sgn(Jac(g(x1 ))). 2. Si r0 = r1 = 0, entonces sgn(Jac(f (x0 ))) = −sgn(Jac(f (x1 ))). 3. Si r0 = r1 = 1, entonces sgn(Jac(g(x0 ))) = −sgn(Jac(g(x1 ))). De esta forma, se verifica que deg(f, Ω, 0) = deg(g, Ω, 0), pues cada cero de f que se conecta con uno de g por medio de una componente conexa de C aporta el mismo signo al cálculo del grado, y para los ceros de f o de g que pertenecen a una misma componente conexa los signos se compensan, y no aportan al grado. Basta ver el caso 1; los otros dos son análogos. Llamemos Cx0 ,x1 a la componente conexa que une x0 con x1 , que es una curva que entra por Ω × {0} y sale por Ω × {1}. En cada punto P la curva Cx0 ,x1 tiene un vector tangente TP = (x0 (t), λ0 (t)) para cierta parametrización (local) (x, λ). Además, se puede elegir TP siguiendo una orientación fija de la curva, de forma tal que la matriz de R(n+1)×(n+1) cuyas primeras n filas son las de Dh(P ) ∈ Rn×(n+1) y la última fila es TP , tenga determinante con signo constante. Si por ejemplo pensamos a Cx0 ,x1 recorrida desde Ω × {0} hasta Ω × {1}, es claro que puede pensarse T(x0 ,0) = (x0 (0), 1), T(x1 ,1) = (x0 (1), 1), en donde directamente i i i i i i i 98 “apunte˙impa 2009/11/19 page 98 i [CAP. 7: EL GRADO DE BROUWER se considera la parametrización (x(λ), λ)). Notar que esto puede hacerse cerca de λ = 0 y de λ = 1 justamente porque Df (x0 ) y Dg(x1 ) son inversibles, y Dh(x, λ) = (λDg(x) + (1 − λ)Df (x), [f (x) − g(x)] t ). De esta forma, tenemos que el determinante de la matriz ¶ µ Df (x0 ) −g(x0 )t M0 := x0 (0) 1 tiene el mismo signo que el de µ Dg(x1 ) M1 := x0 (1) f (x1 )t 1 ¶ . Por otra parte, derivando la igualdad h(x(λ), λ) = 0 por regla de la cadena se obtiene que Df (x0 )x0 (0)t = g(x0 )t , por lo que µ Df (x0 ) x0 (0) −g(x0 )t 1 ¶ µ Df (x0 ) . 0 0 1 ¶ = µ Df (x0 )2 g(x0 ) −g(x0 )t 1 ¶ , que es definida positiva. Esto dice que el signo de Jac(f (x0 )) es el mismo que el del determinante de M0 . De modo análogo se ve que sgn(Jac(g(x1 ))) = sgn(det(M1 )), lo que concluye la demostración. Completaremos ahora la definición de grado de Brouwer, en base a los resultados obtenidos anterioremente. En el capı́tulo próximo extenderemos esta definición a operadores de la forma I − K, con K compacto, en espacios de Banach (grado de Leray-Schauder). Como ya vimos, el grado deg(f, Ω, y) está bien definido y es localmente constante en aquel subconjunto de A(y) compuesto por aquellas funciones de clase C ∞ para las que y es valor regular. Esto indica que el grado es constante en las componentes conexas de dicho subconjunto, y empleando el lema de densidad, se obtiene una función continua (localmente constante) definida en A(y). En efecto, dada f ∈ A(y) y ε < 41 dist(y, f (∂Ω)), basta definir deg(f, Ω, y) como el ∞ grado de cualquier función g ∈ y + Creg (Ω, Rn ) tal que kf − gk∞ < ε. i i i i i i i [SEC. 7.1: TEORÍA DE GRADO TOPOLÓGICO. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES “apunte˙impa 2009/11/19 page 99 i 99 Es fácil ver que esta función está bien definida y es localmente constante. En otras palabras, tenemos el siguiente: Teorema Sea Ω ⊂ Rn un abierto acotado, y sea y ∈ Rn . Entonces existe una (única) función continua deg(·; Ω, y) : A(y) → Z llamada grado de Brouwer, con las siguientes propiedades: 1. Normalización: Si y ∈ Ω, entonces deg(id, Ω, y) = 1. 2. Invariancia por traslaciones: deg(f, Ω, y) = deg(f − y, Ω, 0). 3. Aditividad: Si Ω1 y Ω2 son subconjuntos abiertos y disjuntos de Ω, entonces si y ∈ / f (Ω − (Ω1 ∪ Ω2 )) vale: deg(f, Ω, y) = deg( f |Ω1 , Ω1 , y) + deg( f |Ω2 , Ω2 , y). 4. Escisión: Si Ω1 es un subconjunto abierto de Ω, y ∈ / f (Ω − Ω1 ), entonces deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω1 , y). 5. Solución: Si deg(f, Ω, y) 6= 0, entonces y ∈ f (Ω) (más aun, f (Ω) es un entorno de y). 6. Invariancia por homotopı́a: Si h : Ω × [0, 1] → Rn es continua y se verifica que h(x, λ) 6= y para x ∈ ∂Ω, λ ∈ [0, 1] (7.4) entonces deg(h(·, λ), Ω, y) es independiente de λ ∈ [0, 1]. Más aun, puede reemplazarse y por una función continua y : [0, 1] → Rn , tal que (7.4) siga valiendo. i i i i i i i 100 “apunte˙impa 2009/11/19 page 100 i [CAP. 7: EL GRADO DE BROUWER Demostración. La definición es clara a partir de los párrafos previos al teorema; las propiedades 1 y 2 se desprenden en forma inmediata de la definición. Lo mismo ocurre con la propiedad 3, que se verifica ∞ cuando f − y ∈ Creg (Ω, Rn ) y en consecuencia vale para cualquier f ∈ A(y). Notemos también que si Ω = ∅ entonces el grado de la única función posible (vacı́a) debe ser 0; de esta forma, la propiedad 4 se deduce de la anterior tomando Ω2 = ∅. Veamos ahora la propiedad 5: si y ∈ / f (Ω), tomando Ω1 = ∅ en la propiedad anterior resulta deg(f, Ω, y) = 0, lo que es absurdo. Por otra parte, como A(y) es abierto en C(Ω, Rn ), entonces existe ε > 0 tal que si z ∈ Rn verifica que |z| < ε, entonces f + z ∈ A(y). Como el grado es continuo, si ε es suficientemente pequeño, vale que deg(f + z, Ω, y) 6= 0; de esta forma, y − z pertenece a la imagen de f para todo z ∈ Bε (0). Finalmente, para la propiedad 6 basta observar que la función λ 7→ deg(h(·, λ), Ω, y) es continua, y como Z es discreto entonces resulta constante. Observación Resulta inmediato extender la definición de grado a un espacio normado V de dimensión finita: en efecto, alcanza con tomar un isomorfismo ψ : V → Rn , y dada f : Ω ⊂ V → V continua tal que f 6= y en ∂Ω se define deg(f, Ω, y) = deg(ψ ◦ f ◦ ψ −1 , ψ(Ω), ψ(y)). Queda como ejercicio verificar que esta definición es independiente de ψ. 7.2. Algunas aplicaciones Una aplicación inmediata de la definición del grado topológico de Brouwer es, precisamente, el teorema que lleva su nombre: Teorema Toda f : B 1 (0) → B 1 (0) continua tiene al menos un punto fijo. i i i i i i i [SEC. 7.2: ALGUNAS APLICACIONES “apunte˙impa 2009/11/19 page 101 i 101 Demostración. Si f tiene algún punto fijo en ∂B1 (0), el resultado vale. Supongamos entonces que f (x) 6= x para x ∈ ∂B1 (0), y veamos que la función g(x) = x − f (x) se anula en B1 (0): en efecto, basta definir la homotopı́a h(x, λ) = λg(x) + (1 − λ)x = x − λf (x). Si h(x, λ) = 0 para x ∈ ∂B1 (0), resulta x = λf (x), de donde λ|f (x)| = 1. Luego λ = 1 y f (x) = x, lo que es absurdo. De esta forma, f resulta homotópica a la función identidad, de donde deg(f, B, 0) = 1. También resulta muy sencillo probar en forma directa el teorema de Poincaré-Miranda que vimos en el primer capı́tulo: Teorema Sea f = (f1 , . . . , fn ) : [−1, 1]n → Rn continua tal que para todo i = 1, . . . , n vale: sgn(xi )fi (x) ≥ 0 para todo x tal que |xi | = 1, o bien sgn(xi )fi (x) ≤ 0 para todo x tal que |xi | = 1. Entonces existe algún x ∈ [−1, 1]n tal que f (x) = 0. Demostración. Componiendo con un isomorfismo de Rn si hace falta, podemos suponer que para todo j y todo x ∈ C := [−1, 1]n vale que fj (x) ≤ 0 si xj = −1 y fj (x) ≥ 0 si xj = 1. También podemos suponer que f no se anula sobre el borde de C, y definir la homotopı́a h(x, λ) = λx + (1 − λ)f (x). Como antes, supongamos que h se anula para cierto λ y cierto x = (x1 , . . . , xj−1 , ±1, xj+1 , . . . , xn ) ∈ ∂C. Entonces λxj + (1 − λ)fj (x) = 0, y como fj (x).xj ≥ 0 se deduce que λ = 0. Pero entonces f (x) = 0, lo que es absurdo; de esta forma, f es homotópica a la identidad y el resultado queda probado. i i i i i i i 102 “apunte˙impa 2009/11/19 page 102 i [CAP. 7: EL GRADO DE BROUWER Veamos ahora una aplicación directa a las ecuaciones diferenciales: empleando el grado de Brouwer, daremos una condición explı́cita para la existencia de soluciones del problema periódico u0 = f (t, u), u(0) = u(1), (7.5) en donde f : [0, 1] × Rn → Rn es una función continua y localmente Lipschitz en u. Supongamos que Ω ⊂ Rn es un abierto acotado tal que Ω está contenido en el dominio del operador de Poincaré; vale decir: si u0 ∈ Ω, entonces la única solución u del problema de valores iniciales u0 = f (t, u), u(0) = u0 (7.6) está definida en [0, 1]. En tal caso, recordemos que se define P (u0 ) = u(1), y si u0 es un punto fijo de P entonces u es solución del problema periódico. Vamos a definir una homotopı́a, de modo que se pueda calcular el grado de la aplicación F (u0 ) := u0 − P (u0 ) de un modo sencillo. Por ejemplo, podemos pensar en mover en forma continua el punto final del intervalo definiendo de un modo más general la función Fλ = Id − Pλ , con Pλ (u0 ) = u(λ), en donde u es como antes la solución de (7.6). Sin embargo, en este caso se tiene que F0 ≡ 0, para la cual el grado no está definido. Pero una pequeña variación de esta idea permitirá obtener condiciones apropiadas para la existencia de soluciones. La idea es definir la homotopı́a dada por ( u0 −Pλ (u0 ) si λ 6= 0 λ h(u0 , λ) = −f (0, u0 ) si λ = 0. Es claro que el valor de h(u0 , 0) está elegido de forma tal que h resulte continua: en efecto, para cualquier λ > 0 se tiene que h(u0 , λ) = u0 (ξ) = f (ξ, u(ξ)) para cierto ξ ∈ (0, λ), de donde la continuidad es clara. Por otra parte, si se verifica que h(u0 , λ) 6= 0 para u0 ∈ ∂Ω, entonces el grado de h(·, λ) está definido, y es constante: en tal caso, deg(F1 , Ω, 0) = deg(h(·, 1), Ω, 0) = deg(h(·, 0), Ω, 0) = (−1)n deg(f (0, ·), Ω, 0). En consecuencia, tenemos el siguiente resultado: i i i i i i i [SEC. 7.2: ALGUNAS APLICACIONES “apunte˙impa 2009/11/19 page 103 i 103 Proposición Sea f : [0, 1] × Rn → Rn continua y localmente Lipschitz en u, y sea Ω ⊂ Rn un abierto acotado tal que para todo u0 ∈ Ω la única solución de (7.6) está definida en [0, 1]. Supongamos además que 1. Pλ (u0 ) 6= u0 para λ ∈ (0, 1) y u0 ∈ ∂Ω. 2. f (0, u0 ) 6= 0 para u0 ∈ ∂Ω. 3. deg(f (0, ·), Ω, 0) 6= 0. Entonces el problema periódico (7.5) tiene al menos una solución. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 104 i Capı́tulo 8 El grado de Leray-Schauder 8.1. El grado de Leray-Schauder. Definición En este capı́tulo extenderemos la definición del grado topológico para aplicaciones definidas en la clausura de un abierto acotado Ω ⊂ E, en donde E es un espacio de Banach. Sin embargo, por medio de un argumento similar al de Kakutani que vimos en el capı́tulo 3, es fácil ver que tal definición no es posible para una aplicación cualquiera; por este motivo, nos limitaremos a considerar operadores de la forma I −K, en donde K : Ω → E es compacto. Recordemos que en tal caso, K puede aproximarse por operadores de rango finito: más precisamente, dado ε > 0 existe un operador Kε : Ω → E continuo tal que Im(Kε ) ⊂ Vε con Vε un subespacio de dimensión finita, y kK(x) − Kε (x)k < ε para todo x ∈ Ω 1 . La definición del grado de Leray-Schauder se basa en aproximar al operador I − K por medio de un operador (I − Kε )|Vε , en donde Kε es una ε-aproximación de K de rango finito, con ε suficientemente pequeño. Para esto, debemos probar que la definición no depende del 1 Ver la observación que sigue al teorema de Schauder, en el capı́tulo 3. 104 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 105 i 105 [SEC. 8.1: EL GRADO DE LERAY-SCHAUDER. DEFINICIÓN operador Kε elegido, propiedad que se desprende del siguiente lema: Lema Sean Ω ⊂ Rn un abierto acotado, sea m < n y f : Ω → Rm una función continua. Definimos g : Ω → Rn dada por g(x) = x − f (x), en donde se piensa directamente a Rm como un subespacio de Rn por medio de la identificación (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0). Entonces para y ∈ Rm tal que y ∈ / g(∂Ω) se verifica: deg(g, Ω, y) = deg( g|Ω∩Rm , Ω ∩ Rm , y). (8.1) Demostración. Observemos en primer lugar que el término derecho de (8.1) está bien definido, pues la restricción de g a Ω ∩ Rm tiene imagen en Rm . Basta probar la igualdad para el caso en que f es de clase C 1 , con y un valor regular para g. Notemos que si g(x) = y ∈ Rm , entonces como f (x) ∈ Rm también vale que x ∈ Rm . Esto dice que g −1 (y) ⊂ Ω ∩ Rm , y luego las preimágenes de y para g coinciden con los de su restricción a Rm . Por otra parte, escribiendo g(x) = g(x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) = (x1 − f1 (x), . . . , xm − fm (x), xm+1 , . . . , xn ) resulta, para x ∈ Rm : ³ ´ à ∂f i Im − ∂x (x) j Dg(x) = 1≤i,j≤m 0 − ³ ∂fi ∂xj (x) ´ m<j≤n In−m ! en donde Ij denota la matriz identidad de Rj×j . Además, para la restricción de g a Rm , la matriz diferencial es el bloque superior izquierdo de la matriz anterior, a partir de lo cual el resultado es evidente. A partir de ahora, consideraremos E un espacio de Banach, Ω ⊂ E un abierto acotado y K : Ω → E un operador compacto. El siguiente resultado es una consecuencia inmediata de la compacidad: i i i i i i i 106 “apunte˙impa 2009/11/19 page 106 i [CAP. 8: EL GRADO DE LERAY-SCHAUDER Lema Si K(x) 6= x para todo x ∈ ∂Ω, entonces inf kx − K(x)k > 0. x∈∂Ω Demostración. Por contradicción, supongamos que K(xn ) − xn → 0 para ciertos xn ∈ ∂Ω. Tomando una subsucesión, podemos suponer que xn converge a cierto valor x ∈ ∂Ω, y por la continuidad de K se deduce que Kx = x, lo que es absurdo. El grado de Leray-Schauder (en y = 0) se define entonces de la siguiente manera: Definición Sean Ω y E como antes, K : Ω → E compacto tal que Kx 6= x sobre ∂Ω, y sea ε < 12 inf x∈∂Ω kx − Kxk. Definimos degLS (I − K, Ω, 0) = deg((I − Kε )|Vε , Ω ∩ Vε , 0), en donde Kε es una ε-aproximación de K con Im(Kε ) ⊂ Vε y dim(Vε ) < ∞. Para ver que la definición es independiente de la aproximación elegida, supongamos que tenemos dos ε-aproximaciones Kε y K̃ε , cuyas imágenes están contenidas respectivamente en los subespacios de dimensión finita Vε y Ṽε . Por el lema de la página previa, si V = Vε + Ṽε se tiene que deg((I − Kε )|Vε , Ω ∩ Vε , 0) = deg((I − Kε )|V , Ω ∩ V, 0), deg((I − K̃ε )|Ṽε , Ω ∩ Ṽε , 0) = deg((I − K̃ε )|V , Ω ∩ V, 0). Por otra parte, identificando V con Rn para n adecuado, la elección de ε permite ver que I − K̃ε pertenece a la misma componente conexa de A(0) que I − Kε , lo que prueba que tienen el mismo grado. Por ejemplo, basta con definir la homotopı́a h(x, λ) = λ(I − Kε ) + (1 − λ)(I − K̃ε ) i i i i i i i [SEC. 8.2: ALGUNAS APLICACIONES “apunte˙impa 2009/11/19 page 107 i 107 que claramente no se anula en el borde de Ω ∩ V . De esta forma, deg((I − Kε )|V , Ω ∩ V, 0) = deg((I − K̃ε )|V , Ω ∩ V, 0), y la independencia queda demostrada. Las propiedades del grado de Leray-Schauder son análogas a las del grado de Brouwer, y quedan como ejercicio. En particular, la invariancia por homotopı́a requiere la hipótesis adicional de que h tenga la forma h(·, λ) = I − Kλ , con Kλ compacto. 8.2. Algunas aplicaciones Veamos algunas aplicaciones de la teorı́a de grado de Leray-Schauder: en primer lugar, queda como ejercicio “evidente” probar nuevamente el teorema de Schauder. Pero también podemos dar nuevas demostraciones para algunos de los resultados ya obtenidos por medio del teorema de Schauder. A modo de ejemplo, veamos otra vez el problema de Dirichlet ½ 00 u = f (t, u) u(0) = u0 , u(1) = u1 en donde f : [0, 1] × R → R continua y sublineal 2 . Resulta claro que conviene aquı́ establecer una homotopı́a con el problema u00 = 0, para el cual sabemos calcular su única solución; de este modo, podemos definir Fλ (v) = v − Kλ (v), en donde el operador (compacto) Kλ : C([0, 1]) → C([0, 1]) se define como Kλ (v) = u, única solución del problema lineal ½ 00 u = λf (t, v) u(0) = u0 , u(1) = u1 Notemos que si Fλ (u) = 0, entonces para l(t) = (u1 − u0 )t + u0 la recta que une (0, u0 ) y (1, u1 )) resulta ku − lk∞ ≤ k(u − l)00 )k∞ ≤ kf (·, u)k∞ ≤ εkuk∞ + A. 2 Como en ejemplos anteriores, sólo usaremos el hecho de que |f (t, u)| ≤ ε|u|+A para ciertas constantes ε y A apropiadas. En este caso, alcanzará con pedir ε < 1 (o bien ε < π 2 , si trabajamos en L2 (0, 1)). i i i i i i i 108 “apunte˙impa 2009/11/19 page 108 i [CAP. 8: EL GRADO DE LERAY-SCHAUDER En consecuencia, kuk∞ ≤ A + klk∞ , 1−ε y tomando R mayor que esta última cantidad se ve que Fλ (u) 6= 0 para u ∈ ∂BR (0) ⊂ C([0, 1]). Esto dice que el grado de Fλ en BR (0) está bien definido y es independiente de λ; por otra parte, el grado de F0 es muy fácil de calcular. En efecto, es claro que K0 (v) = l para toda v, de donde F0 (u) = u − l, y la ε-aproximación es obviamente el mismo K0 , pues claramente Im(K0 ) es el subespacio de dimensión 1 dado por V = hli. Por otra parte, si u = cl para cierto c ∈ R, entonces F0 (u) = cl − l = (c − 1)l; de esta forma, F0 |V se identifica con la función ϕ : R → R dada por ϕ(x) = x − 1. Si pedimos además R > klk∞ , entonces claramente deg(F0 , BR (0), 0) = deg(ϕ, (− R R , ), 0) = 1, klk∞ klk∞ lo que prueba que deg(F1 , BR (0), 0) = 1 y en consecuencia F1 se anula en BR (0). Veamos un ejemplo algo diferente, un sistema de segundo orden con condiciones de borde no lineales: 00 u = f (t, u) u0 (0) = g(u(0)), (8.2) 0 u (1) = h(u(1)). Supondremos que f : [0, 1] × Rn → Rn , g, h : Rn → Rn son funciones continuas. Para el caso Dirichlet hemos demostrado por medio de Schauder la existencia de soluciones cuando f cumple la condición de Hartman: f (t, u) · u > 0 para |u| = R. (8.3) A modo de ejercicio, veremos un resultado similar para este nuevo problema: Proposición Supongamos que f cumple (8.3), y además g(u) · u ≥ 0 ≥ h(u) · u i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 109 i 109 [SEC. 8.2: ALGUNAS APLICACIONES para |u| = R. Entonces el problema (8.2) tiene al menos una solución u tal que kuk∞ ≤ R. Sugerencia: para cada v ∈ C([0, 1], Rn ), A, B ∈ Rn y λ ∈ [0, 1] considerar Kλ (v, A, B) = u, la única solución de u00 = λf (t, v) u(0) = A, u(1) = B. Definir ahora Fλ : C([0, 1], Rn ) × R2n → C([0, 1], Rn ) × R2n dada por Fλ (u, A, B) = (u − Kλ (u, A, B), (Fλ )2 (u, A, B), (Fλ )3 (u, A, B)) , donde (Fλ )2 (u, A, B) = λ[Kλ (u, A, B)0 (0) − g(A)] − (1 − λ)A, (Fλ )3 (u, A, B) = λ[Kλ (u, A, B)0 (1) − h(B)] + (1 − λ)B. Verificar que si (u, A, B) ∈ ∂Ω, con Ω = {(u, A, B) : kuk∞ < R, |A| < R, |B| < R}, entonces Fλ (u, A, B) 6= 0, y comprobar que deg(F0 , Ω, 0) 6= 0. Resolución: En realidad, existen diversas formas de plantear este problema como un problema de punto fijo. Siguiendo la sugerencia, buscaremos un cero de F1 en el conjunto Ω = {(u, A, B) : kuk∞ < R, |A| < R, |B| < R}. A fines de aplicar la teorı́a de grado, veamos en primer lugar que si (u, A, B) ∈ ∂Ω, entonces Fλ (u, A, B) 6= 0. Podemos suponer que esto es cierto para λ = 1, pues si F1 (u, A, B) = 0 entonces u es solución del problema. Supongamos entonces que (u, A, B) ∈ ∂Ω, y además Fλ (u, A, B) = 0 para cierto λ ∈ [0, 1). La primera coordenada de Fλ nos dice que u00 = λf (t, u), u(0) = A, u(1) = B. Se deduce que kuk∞ = R, de modo que existe un valor t0 tal que |u(t0 )| = R y la función ϕ(t) := |u(t)|2 alcanza allı́ su máximo absoluto. Separemos el argumento en tres casos: i i i i i i i 110 1. “apunte˙impa 2009/11/19 page 110 i [CAP. 8: EL GRADO DE LERAY-SCHAUDER Si t0 ∈ (0, 1), entonces 0 ≥ ϕ00 (t0 ) = 2[u0 (t0 ) · u0 (t0 ) + u(t0 ) · u00 (t0 )] ≥ 2u(t0 ) · u00 (t0 ). A partir de la hipótesis hecha para f , el último término es positivo, lo que es absurdo. 2. Si t0 = 0, entonces ϕ tiene un máximo en 0 y luego decrece; de esta forma, ϕ0 (0) ≤ 0. Esto dice que u0 (0) · u(0) ≤ 0. Como u(0) = A, y además λ[u0 (0)−g(A)]−(1−λ)A = 0, multiplicando por A se obtiene: λ[u0 (0) · u(0) − g(A) · A] − (1 − λ)R2 = 0. En consecuencia, como el primer término es menor o igual que cero, se deduce que λ = 1, lo que es absurdo. 3. Si t0 = 1, se procede en forma análoga al caso anterior. Para concluir la demostración, observemos que K0 (u, A, B) = l, en donde l es la recta dada por l(t) = (B − A)t + A, de modo que F0 (u, A, B) = (u − l, −A, B). De esta forma, el grado de F0 respecto de Ω es igual al grado de F0 restringida al subespacio V = hli × R2n , que se identifica con la aplicación ψ : R × R2n → R × R2n dada por ψ(r, A, B) = (r − 1, −A, B). Luego degLS (F0 , Ω, 0) = ±1, y la prueba está completa. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 111 i Capı́tulo 9 Problemas resonantes 9.1. Condiciones de Landesman-Lazer En este capı́tulo veremos la aplicación de las técnicas de teorı́a de grado a la resolución de ciertos problemas, denominados resonantes. A partir de los diversos ejemplos que hemos presentado, podemos observar que muchos problemas del análisis no lineal pueden escribirse en la forma Lu = N u en donde L es un operador diferencial lineal definido en algún espacio funcional adecuado, y N es un operador no lineal, que en general involucra a derivadas de orden menor. Este es el caso de la ecuación de segundo orden u00 (t) = f (t, u(t), u0 (t)), (9.1) con diferentes condiciones de contorno. Si el operador L es inversible, el problema se dice no resonante. Por ejemplo, esto ocurre si se considera la ecuación anterior bajo condiciones de Dirichlet; en tal caso, se reduce al problema de punto fijo u = L−1 N u, para cuya resolución se pueden utilizar teoremas de punto fijo, o la teorı́a de grado de Leray-Schauder. Cuando el operador L no es inversible, el problema se denomina resonante. Esto ocurre, por ejemplo, si a la ecuación (9.1) se le 111 i i i i i i i 112 “apunte˙impa 2009/11/19 page 112 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES ponen condiciones de Neumann o periódicas, para las cuales el operador lineal Lu = u00 tiene núcleo no trivial (más precisamente, el conjunto de funciones constantes). Este es un caso de resonancia en el primer autovalor, denominación que proviene del siguiente planteo: consideremos el problema de autovalores −u00 = λu con condiciones periódicas u0 (0) = u0 (T ). u(0) = u(T ), Entonces es fácil ver que los autovalores son λk = µ 2kπ T ¶2 k ∈ N0 . De esta forma, el primer autovalor es λ0 = 0, que tiene como espacio de autofunciones asociadas a las constantes. Cabe observar que el problema es más sencillo para k = 0 que en el caso de resonancia en algún autovalor de orden superior, es decir: u00 + λk u = f (t, u, u0 ) con k > 0. Esto se debe esencialmente a dos aspectos: por un lado, para k > 0 las autofunciones asociadas ya no tienen signo constante, y eso requiere un cuidado mayor en algunos de los cálculos que efectuaremos. Pero la mayor dificultad reside en el hecho de que los autovalores de orden k > 0 ya no son necesariamente simples: por ejemplo, para el problema periódico el espacio de√autofunciones √ asociadas a λk es el generado por las funciones cos( λk t) y sen( λk t), que tiene dimensión 2. Sobre este problema hablaremos un poco más adelante, ası́ como de la extensión de estos resultados a sistemas de ecuaciones. En un trabajo clásico, E. Landesman y A. Lazer [14] obtuvieron un resultado de existencia para un problema elı́ptico con condiciones de Dirichlet, que para el caso de una ecuación ordinaria con condiciones periódicas y resonancia en el primer autovalor puede adaptarse de la siguiente forma: i i i i i i i [SEC. 9.1: CONDICIONES DE LANDESMAN-LAZER “apunte˙impa 2009/11/19 page 113 i 113 Teorema (Landesman-Lazer) Supongamos que p ∈ C([0, T ]) y que g ∈ C(R) es acotada y tiene lı́mites en ±∞. Entonces la ecuación resonante u00 + g(u) = p(t) admite una solución T -periodica si g(−∞) < p := 1 T Z T p(t) dt < g(+∞). (9.2) 0 Además, si g satisface que: g(−∞) < g(x) < g(+∞) ∀x ∈ R entonces (9.2) es también necesaria. Observación La necesidad de la condición (9.2) es clara: si u es una solución T RT periódica del problema, por integración se obtiene que 0 g(u(t)) dt = RT p(t) dt. Como la imagen de u es un subconjunto compacto de R, 0 RT se deduce que g(−∞) < T1 0 p(t) dt < g(+∞). Observación El resultado anterior vale también si se invierten las desigualdades en (9.2). Vamos a demostrar el resultado anterior en un contexto algo más amplio: consideremos el problema periódico 00 u + g(t, u) = 0 u(0) = u(T ), (9.3) 0 u (0) = u0 (T ), en donde g : [0, T ] × R → R es una función continua y acotada. A fines de obtener condiciones de Landesman-Lazer apropiadas para este problema, definamos los siguientes lı́mites: lı́m sup g(t, u) := gs± (t) (9.4) u→±∞ i i i i i i i 114 “apunte˙impa 2009/11/19 page 114 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES y lı́m inf g(t, u) := gi± (t). u→±∞ (9.5) Obviamente, en el caso del Teorema de Landesman-Lazer, se tiene que gs± = gi± = g(±∞) − p, de modo que el siguiente resultado es más general: Teorema Si o Z Z T 0 gs+ (t)dt <0< T 0 gs− (t)dt <0< Z Z T 0 T 0 gi− (t)dt (9.6) gi+ (t)dt, (9.7) entonces el problema (9.3) tiene al menos una solución. Demostración. Consideremos el espacio C([0, T ]), y el subespacio D := {u ∈ C 2 ([0, T ]) : u(0) = u(T ), u0 (0) = u0 (T )}. Notemos que el operador L : D → C([0, T ]) no es inversible, pues ker(L) = R, aunque admite un operador inverso a derecha K, que resulta compacto. En efecto, un sencillo cálculo (y también el hecho de que L es simétrico respecto del producto escalar de L2 ) muestra que Im(L) = {ϕ ∈ C([0, T ]) : ϕ = 0}. Luego, se puede definir K : Im(L) → C([0, T ]) como el operador dado por Kϕ = u, en donde u es la única solución del problema 00 u =ϕ u(0) = u(T ) u0 (0) = u0 (T ) u = 0. La compacidad de K se deduce de modo similar a los otros casos que vimos, empleando ahora la desigualdad de Wirtinger y el teorema de Arzelá-Ascoli. Observemos entonces que para λ > 0, el problema ½ 00 u + λg(t, u) = 0 (9.8) u(0) = u(T ), u0 (0) = u0 (T ) i i i i i i i [SEC. 9.1: CONDICIONES DE LANDESMAN-LAZER “apunte˙impa 2009/11/19 page 115 i 115 es equivalente al problema de punto fijo u = u − g(·, u) − λK(g(·, u) − g(·, u)), (9.9) En efecto, si u es solución de (9.8) integrando la ecuación resulta g(·, u) = 0, y u = u − λKg(·, u). Recı́procamente, si u es solución de (9.9) entonces u00 = −λ(g(·, u) − g(·, u)). Además, tomando promedio en ambos términos de (9.9), se ve que u = u − g(·, u), y luego g(·, u) = 0. En consecuencia, basta probar que (9.9) tiene solución para λ = 1. Por otra parte, observemos que si λ = 0 entonces (9.9) es equivalente a la igualdad g(·, u) = 0 para cierto u ∈ R. A partir de lo anterior, vamos a considerar la aplicación dada por h i Fλ (u) = u − u − g(·, u) − λK(g(·, u) − g(·, u)) . Afirmamos que F1 (u) = 0 para algún u, lo que corresponde a una solución del problema original. Para ello, probaremos: 1. Fλ (u) 6= 0 para kuk∞ À 0 y λ ∈ [0, 1]. 2. degLS (F0 , BR , 0) = ±1 para cierto R suficientemente grande, donde BR ⊂ C([0, T ]) es la bola de radio R centrada en el origen. Observemos que una vez demostradas 1 y 2, el resultado se sigue a partir de la invariancia por homotopı́a del grado de Leray-Schauder. Veremos únicamente el caso en que vale (9.6), pues el otro es análogo. A fines de probar la propiedad 1, supongamos en primer lugar que tenemos Fλn un = 0, con kun k∞ → ∞ y λn ∈ (0, 1]. Entonces u00n + λn g(t, un ) = 0, y un es T -periódica. Por otro lado, podemos escribir un = un + vn , y entonces kvn k∞ ≤ ckvn00 k∞ = cku00n k∞ ≤ ckg(·, un )k∞ ≤ M i i i i i i i 116 “apunte˙impa 2009/11/19 page 116 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES para cierta constante M . Se deduce que un → ∞. Tomando una subsucesión, podemos suponer por ejemplo que un → +∞. Por el lema de Fatou resulta Z T Z T 0 = lı́m sup g(t, un )dt = lı́m sup g(t, vn + un )dt n→∞ ≤ Z 0 n→∞ T lı́m sup g(t, vn + un )dt ≤ n→∞ 0 0 Z T 0 gs+ (t)dt, lo que es absurdo. La misma conclusión se obtiene si un → −∞. Por otra parte, si F0 un = 0, para cierta sucesión {un } que verifica RT kun k∞ → ∞, entonces un ∈ R y 0 g(t, un )dt = 0. Aplicando otra vez Fatou, se llega como antes a un absurdo. Finalmente, calculemos para R À 0 el grado de Leray-Schauder degLS (F0 , BR , 0). Como la imagen de F0 − Id está contenida en R, de acuerdo con la definición del grado de Leray-Schauder alcanza con calcular el grado de Brouwer degB (F0 |R , BR ∩ R, 0). Más aun, F0 |R se RT identifica con la aplicación φ : R → R dada por φ(r) = 0 g(t, r)dt. Nuevamente, por Fatou vemos que lı́m sup φ(r) ≤ r→+∞ Z T g + (t)dt < 0, 0 lı́m sup φ(r) ≥ r→−∞ Z T g − (t)dt > 0; 0 de esta forma, φ(R) < 0 < φ(−R) para R À 0, y en consecuencia degB (F0 |R , BR ∩ R, 0) = −1 para R grande. Observación Vale la pena observar que en el caso (9.7) el grado de φ es 1. Esto refleja dos situaciones diferentes que se producen cuando se resuelve el problema por métodos variacionales: en el caso (9.7) se demuestra que la funcional es coerciva, y alcanza un mı́nimo, mientras que para (9.6) se obtiene un punto crı́tico que es del tipo punto silla. i i i i i i i [SEC. 9.2: GENERALIZACIÓN A SISTEMAS. CONDICIÓN DE NIRENBERG 9.2. “apunte˙impa 2009/11/19 page 117 i 117 Generalización a sistemas. Condición de Nirenberg En la sección previa vimos que un problema resonante como la ecuación u00 +g(u) = p(t) con u periódica admite solución si se asumen las condiciones de Landesman-Lazer g(−∞) < p < g(+∞) o g(+∞) < p < g(−∞). Vamos a ver ahora la generalización de este resultado al caso de un sistema: supondremos entonces que g : RN → RN es continua y acotada, y p ∈ C([0, T ], RN ). A fines de encontrar la generalización apropiada, vamos a reescribir las condiciones clásicas de Landesman-Lazer (caso N = 1) de la siguiente forma. En primer lugar, observemos que los lı́mites g(±∞) pueden interpretarse como una extensión continua de g a la recta extendida. Conviene pensar, para v = ±1, en el valor gv dado por gv := lı́m g(s.v). s→+∞ Desde este punto de vista, las condiciones de Landesman-Lazer (cualquiera de ellas) dicen que gv 6= p para v en la esfera 0-dimensional S 0 := {1, −1}, lo que permite definir la aplicación θ : S 0 → S 0 dada −p por θ(v) = |ggvv −p| . Pero en realidad dicen algo más: no sólo que θ está bien definida, sino que además su grado (como aplicación de la esfera en sı́ misma) es distinto de 0. Vale la pena entender esto un poco mejor, pues nos dará la pauta para entender el caso N > 1. En general, el grado de una aplicación continua θ : S N −1 → S N −1 , en donde S N −1 es la esfera unidad de RN , puede definirse fácilmente empleando homologı́a. Sin embargo, en el marco del capı́tulo 7 podemos observar simplemente que dada una función continua ψ : S N −1 → S N −1 , cualquier función continua f : B1 (0) → RN que extienda a ψ va a tener el mismo grado de Brouwer respecto del 0. De esta forma, el grado de ψ se define como el grado de alguna de sus extensiones continuas. i i i i i i i 118 “apunte˙impa 2009/11/19 page 118 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES En el caso anterior con N = 1, las condiciones de LandesmanLazer muestran que toda extensión continua de θ al intervalo [−1, 1] tiene que anularse, con lo cual el resultado es trivial. En este contexto, el siguiente resultado puede verse como una generalización natural del teorema de Landesman-Lazer. Se trata de una adaptación de un teorema más abstracto de Nirenberg, para sistemas del tipo elı́ptico. Teorema Sea g : RN → RN continua y acotada, y supongamos que los lı́mites radiales gv := lı́mr→+∞ g(rv) existen y son uniformes respecto de v ∈ S N −1 . Supongamos, además, que: gv 6= p := 1 T RT 0 p(t)dt para todo v ∈ S N −1 . El grado de la aplicación θ : S N −1 → S N −1 dada por θ(v) = gv − p |gv − p| es distinto de 0. Entonces el problema u00 + g(u) = p(t) 0<t<T (9.10) tiene al menos una solución T -periódica. Vamos a demostrar directamente un resultado más general, que en realidad no requiere la condición de existencia de lı́mites radiales. En primer lugar, observemos que en el caso N = 1 con g acotada, el mismo razonamiento de antes permite mostrar una condición suficiente (más débil que la de Landesman-Lazer) para la existencia de soluciones: g(−x) < p < g(x) para x ≥ R0 (o viceversa) (9.11) para algún R0 > 0. En particular, esto incluye el caso de las llamadas vanishing nonlinearities: si p = 0, el problema tiene soluciones cuando vale (9.11), incluso si g(±∞) = 0. i i i i i i i [SEC. 9.2: GENERALIZACIÓN A SISTEMAS. CONDICIÓN DE NIRENBERG “apunte˙impa 2009/11/19 page 119 i 119 Notemos que la condición de que g sea acotada es, en cierto sentido, esencial: si consideramos por ejemplo la ecuación u00 + u = sen t, se ve que no hay soluciones 2π-periódicas, aunque (9.11) se cumple. De todas formas, es posible evitar la condición de que g sea acotada de diversas maneras: por ejemplo, si valen las desigualdades de (9.11) en el sentido inverso, o si g es acotada solamente de un lado. Estos dos casos quedan como ejercicio; a continuación mostraremos un resultado que incluye también el caso en que g es sublineal. Vale la pena repasar nuestra demostración anterior, en la que uno de los principales pasos consistió en obtener cotas a priori para las soluciones periódicas del problema u00 = λ(p − g(u)) con λ ∈ (0, 1]. Haciendo uso una vez más de la desigualdad de Wirtinger, se ve que T T ku0 kL2 ≤ ku00 kL2 ≤ kp − g(u)kL2 . 2π 2π En consecuencia, si kuk∞ = R deducimos que ku − uk∞ ≤ ´ T 3/2 ³ kpkL2 + T 1/2 GR := ΓR 2π (9.12) donde GR = sup|u|≤R |g(u)|. De este modo, si GR y kpkL2 son suficientemente pequeños respecto de R, podemos concluir que |u| es grande, y ku − uk∞ is comparativamente pequeño. Por ejemplo, si ΓR < R2 , entonces |u(t)| ≥ |u| − ku − uk∞ ≥ R − 2ΓR > 0. Por otro lado, cuando integramos la ecuación resulta: Z T Z T g(u(t)) dt. p(t) dt = 0 0 Luego, inf R−2ΓR ≤x≤R g(x) ≤ p ≤ sup g(x) R−2ΓR ≤x≤R si u > 0, y inf −R≤x≤2ΓR −R g(x) ≤ p ≤ sup g(x) −R≤x≤2ΓR −R i i i i i i i 120 “apunte˙impa 2009/11/19 page 120 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES en caso contrario. En consecuencia, la condición (9.11) puede en realidad debilitarse de la siguiente manera: g(−x) < p < g(x) para x ∈ IR (o viceversa) (9.13) para algún R > 0, donde IR := [R − 2ΓR , R] ⊂ R+ . En [29] Ortega y Sánchez dieron un interesante ejemplo que muestra que la generalización de este resultado para N > 1 no es inmediata. Más precisamente, se presenta un sistema para el cual no hay soluciones, aunque valen las siguientes condiciones para cierto R > 0: g(u) 6= p para |u| ≥ R. El grado de la aplicación θR : S N −1 → S N −1 dada por θR (v) = g(Rv) − p |g(Rv) − p| es distinto de 0. La existencia de soluciones para sistemas en los que no vale la condición de Nirenberg fue analizada por ejemplo en [31]. En este caso, las hipótesis para gv se reemplazan por otras análogas para el g(u)−p ; de esta forma, los lı́mites radiales de g podrı́an ser cociente |g(u)−p| iguales a p para algunos puntos (quizás todos) de la esfera unidad, o podrı́an incluso no existir. Una situación más general se estudia en [2], en donde la existencia de soluciones se deduce de una condición generalizada de Nirenberg, pero local: no se pide que existan lı́mites radiales sobre toda la esfera, sino sobre un cubrimiento de ella, y en ciertas direcciones. En cualquier caso, todos estos resultados requieren un comportamiento especı́fico de la no-linealidad (acotada) g : RN → RN en el infinito. Probaremos ahora un teorema algo más general, que contiene a todos los resultados mencionados y puede verse como una extensión de (9.13) para N > 1. En particular, no se asume ningún comportamiento especı́fico de g en el infinito. i i i i i i i 121 [SEC. 9.3: UNA CONDICIÓN GEOMÉTRICA 9.3. “apunte˙impa 2009/11/19 page 121 i Una condición geométrica Sea Γ definida como antes por (9.12). En primer lugar, proponemos la siguiente condición de crecimiento para g: ΓR+R < R (9.14) para algún R > R. Como dijimos, esto incluye el caso en que g es sublineal: más en general, si |g(u)| ≤ a|u| + b con a < Tπ2 , entonces (9.14) ¢ ¡ 2π se cumple tomando R = αR con α ∈ 1, aT 2 − 1 y R suficientemente grande. La primera condición del teorema de Nirenberg será reemplazada por la siguiente condición geométrica: p∈ / co(g(BR (v)) (9.15) para cada v ∈ RN tal que |v| = R. Aquı́ co(X) denota la cápsula convexa de un subconjunto X ⊂ RN . Teorema Supongamos que valen las condiciones (9.14) y (9.15) para ciertas constantes R > R > 0. Además, supongamos que degB (g − p, BR (0), 0) 6= 0. (9.16) Entonces el problema (9.10) admite al menos una solución T -periódica. Observación Según mencionamos, este resultado puede ser interpretado como una extensión de la condición (9.13), en el sentido de que depende únicamente del comportamiento de g sobre la corona A := {u : R − R ≤ |u| ≤ R + R} ⊂ RN . Vale la pena observar también que la condición (9.15) no puede ser reemplazada por esta otra, más débil: g 6= p en BR (v) ∀v tal que |v| = R. Esta diferencia no se percibe en el caso N = 1, pues allı́ la condición (9.13) implica (9.15), y contiene además a la condición (9.16). i i i i i i i 122 “apunte˙impa 2009/11/19 page 122 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES En particular, es fácil verificar que el resultado de Nirenberg se sigue como una consecuencia inmediata del Teorema 9.3. 9.3.1. to Demostración Sea E = {u ∈ C([0, T ]) : u(0) = u(T )}, y consideremos el conjunΩ := {u ∈ E : ku − uk∞ < R, |u| < R}. De acuerdo a lo ya visto, es suficiente comprobar que: 1. u00 6= λ(p − g(u)) para u ∈ ∂Ω y 0 < λ ≤ 1. 2. g(u) 6= p para u ∈ RN ∩ ∂Ω. 3. degB (g − p, RN ∩ Ω, 0) 6= 0. Como RN ∩ Ω = BR (0), las dos últimas condiciones se desprenden en forma directa de las hipótesis. Además, si u00 = λ(p − g(u)) para cierto λ ∈ (0, 1] y u ∈ ∂Ω, se deduce que ku − uk∞ ≤ ´ T 3/2 ³ kpkL2 + T 1/2 GR+R = ΓR+R < R. 2π Luego |u| = R, y u(t) ∈ B r (u) para cierto r < R, para cada t ∈ [0, T ]. A partir de la condición (9.15) y la versión geométrica del teorema de Hahn-Banach, existe un hiperplano H = hwi⊥ que separa p y el conjunto compacto y convexo co(g(B r (u)); en otras palabras, hg(A + u), wi ≥ hp, wi + µ para cierta constante µ > 0 y todo |A| ≤ r. Integrando la ecuación, se ve que Z 1 T g(A(t) + u) dt = p, T 0 donde A(t) := u(t) − u. Entonces 1 0= T Z T 0 hg(A(t) + u) − p, wi dt ≥ µ, i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 123 i 123 [SEC. 9.4: RESONANCIA EN UN AUTOVALOR DE ORDEN SUPERIOR. lo que es absurdo. ¤ Observación A la luz del teorema anterior, podemos examinar más en detalle el ejemplo de Ortega y Sánchez de [29]. Se trata de una no-linealidad acotada g : R2 → R2 , con deg(g, BR , 0) 6= 0, para la cual los autores construyen una función p de promedio 0 de modo tal que el problema u00 + g(u) = p no tiene soluciones T -periódicas. Por conveniencia, g se escribe en notación compleja de la siguiente forma: z . g(z) = eiRe(z) p 1 + |z|2 De acuerdo a lo que hemos visto, existe un valor R = R(p) tal que si u es T -periódica y satisface u00 + λg(u) = λp para λ ∈ (0, 1], entonces ku − uk∞ < R. Ahora bien, si consideramos |z| À R, para u ∈ BR (z) se tiene u z p 'p . 2 1 + |u| 1 + |z|2 Sin embargo, si R > π , la función eiRe(u) toma en B (z) valores R 2 en un rango de ángulos que excede a π, de modo que g(BR (z)) no puede mantenerse dentro de un mismo semiplano. En otras palabras, la condición (9.15) no se cumple. Podemos observar también que, una vez fijada p, el valor de R es el mismo si ahora consideramos la no-linealidad Re(z) z . gρ (z) = ei ρ p 1 + |z|2 Sin embargo, ahora se ve que para ρ suficientemente grande el efecto de la rotación puede evitarse: basta considerar ρ > 2R π y el teorema anterior vale tomando R À 0. 9.4. Resonancia en un autovalor de orden superior. Condición de Lazer-Leach En esta sección estudiaremos la existencia de soluciones de un problema algo diferente al anterior: u00 + m2 u + g(u) = p(t) 0 < t < 2π (9.17) i i i i i i i 124 “apunte˙impa 2009/11/19 page 124 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES bajo condiciones periódicas: u(0) = u(2π), u0 (0) = u0 (2π). (9.18) El valor m 6= 0 es entero, p ∈ L2 (0, 2π), y la no-linealidad g es, como antes, continua. Se trata nuevamente de un problema resonante aunque, como mencionamos al comienzo del capı́tulo, el núcleo del operador lineal asociado Lm u := u00 + m2 u sobre el espacio de las funciones 2πperiódicas ya no es el subespacio de funciones constantes. En términos más precisos, esta situación es conocida en la literatura como resonancia en un autovalor de orden superior: según mencionamos, los números λm = m2 con m = 0, 1, . . . corresponden a los autovalores del problema −u00 = λu bajo condiciones 2π-periódicas. El caso m = 0 es el que ya estudiamos: si el promedio de p se encuentra entre los lı́mites de g en ±∞, entonces hay solución. Notemos que el promedio p puede pensarse como la proyección del término forzante p sobre el núcleo del operador lineal L0 , que consiste en el subespacio (unidimensional) de las funciones constantes. A diferencia del caso anterior, cuando m 6= 0 se hace preciso trabajar con un núcleo que es 2-dimensional, más precisamente: Ker(Lm ) = {α cos(mt) + β sin(mt) : α, β ∈ R} := Vm . En consecuencia, serı́a razonable esperar para esta nueva situación un teorema análogo al de Landesman-Lazer, expresado en términos de la proyección de p sobre Vm o, equivalentemente, en términos de los m-ésimos coeficientes de Fourier de p. En 1969, D.E. Leach y A. Lazer mostraron que, en efecto, eso es lo que ocurre (ver [15]): i i i i i i i [SEC. 9.4: RESONANCIA EN UN AUTOVALOR DE ORDEN SUPERIOR. “apunte˙impa 2009/11/19 page 125 i 125 Teorema (Condiciones de Lazer-Leach) Sea g ∈ C(R) acotada, con lı́mites en infinito g(±∞), y sean αp , βp los m-ésimos coeficientes de Fourier de p. Entonces, si q 2 (9.19) αp2 + βp2 < |g(+∞) − g(−∞)| , π el problema (9.17)-(9.18) tiene al menos una solución 2π-periódica. Es posible obtener una extensión inmediata del teorema de LazerLeach si la cantidad |g(+∞) − g(−∞)| es reemplazada por ginf (+∞) − gsup (−∞) o bien ginf (−∞) − gsup (+∞), donde ginf y gsup son respectivamente los lı́mites inferior y superior de g. Como hicimos para el teorema de Nirenberg, vamos a demostrar directamente un caso más general, que no requiere un comportamiento asintótico especı́fico: en particular, podrı́a ocurrir que g tuviera el mismo lı́mite en ±∞, o directamente que dicho lı́mite no existiera. Las condiciones son comparables a (9.13): más precisamente, vamos a definir para R y ε > 0, ciertos intervalos no-triviales + IR,ε = [aR,ε , bR,ε ], − IR,ε = [−bR,ε , −aR,ε ], y las funciones C = C(R, ε), ϕ = ϕ(ε), con ϕ(ε) → 2 para ε → 0, tales que si q ϕ(ε) inf+ g(u) − sup g(u) − C(R, ε) > αp2 + βp2 π u∈IR,ε u∈I − (9.20) R,ε o q ϕ(ε) inf− g(u) − sup g(u) − C(R, ε) > αp2 + βp2 , π u∈IR,ε u∈I + R,ε (9.21) i i i i i i i 126 “apunte˙impa 2009/11/19 page 126 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES entonces el problema (9.17)-(9.18) tiene al menos una solución. En particular, si g es acotada, podrá verse que aR,ε → +∞ y C(R, ε) → 0 para R → +∞ y ε → 0; en consecuencia, las hipótesis de nuestro teorema se satisfacen bajo las condiciones de Lazer-Leach: q 2 [lı́m inf g(u) − lı́m sup g(u)] > αp2 + βp2 π u→+∞ u→−∞ o 9.5. q 2 [lı́m inf g(u) − lı́m sup g(u)] > αp2 + βp2 . π u→−∞ u→+∞ Algunos resultados preliminares Sea H el espacio de funciones 2π-periódicas y absolutamente continuas con derivada en L2 , © ª 1 H = Hper (0, 2π) := u ∈ H 1 (0, 2π) : u(0) = u(2π) ¡ ¢1/2 provisto de la norma usual kuk := kukH 1 = kuk2L2 + ku0 k2L2 ,y sea © ª 2 (0, 2π) := u ∈ H ∩ H 2 (0, 2π) : u0 (0) = u0 (2π) . D = Hper Consideremos además el operador Lm : D → L2 (0, 2π) definido anteriormente, y su núcleo Vm , que puede describirse del siguiente modo: Vm := Ker(Lm ) = {uw : w = (α, β) ∈ R2 }, donde uw (t) := α cos(mt) + β sin(mt). Por conveniencia, definimos J : R2 → Vm como el isomorfismo dado por J(w) = uw . Los coeficientes m-ésimos de Fourier de una función u ∈ L1 (0, 2π) serán denotados respectivamente por αu y βu , vale decir: Z 1 2π αu = u(t) cos(mt) dt, π 0 Z 1 2π βu = u(t) sen(mt) dt. π 0 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 127 i 127 [SEC. 9.5: ALGUNOS RESULTADOS PRELIMINARES Además, si w(u) = (αu , βu ), entonces la proyección ortogonal P de L2 (0, 2π) sobre Vm puede escribirse como Pu = J(w(u)) = uw(u) . Es inmediato ver (por simple cálculo, o -nuevamente- usando el hecho de que Lm es simétrico respecto del producto interno de L2 ) que la imagen de Lm es el complemento ortogonal de Vm : Z 2π n R(Lm ) = ϕ ∈ L2 (0, 2π) : ϕ(t) cos(mt) dt 0 = Z 2π 0 o ϕ(t) sin(mt) dt = 0 . En consecuencia, podemos definir un inverso a derecha K : R(L) → H del operador Lm , dada por Kϕ = u, donde u ∈ D es la única solución 2π-periódica del problema ½ 00 u + m2 u = ϕ Pu = 0. Por otra parte, se puede obtener la siguiente estimación: Lema Para cada u ∈ D vale: ku − Puk ≤ kLm (u)kL2 . Demostración. Sea w = u − Pu, entonces Lm (u) = Lm (w). Escribiendo el desarrollo de Fourier X 1 a0 √ [an cos(nt) + bn sin(nt)] , w= √ + 2π n∈N−{m} π resulta kw00 + m2 wk2L2 = (a0 m2 )2 + ≥ a20 + X n∈N−{m} X n∈N−{m} ¢ ¡ (n2 − m2 )2 a2n + b2n ¢ ¡ (1 + n2 ) a2n + b2n = kwk2L2 + kw0 k2L2 . i i i i i i i 128 “apunte˙impa 2009/11/19 page 128 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES Observación Como ku00 kL2 ≤ kLm (u)kL2 + m2 kukL2 ≤ (1 + m2 )kLm (u)kL2 , se deduce fácilmente que K es compacto. Esto puede verse empleando el teorema de Arzelá-Ascoli, o directamente a partir del hecho, fácil de verificar, de que la inmersión H 2 (0, 2π) ,→ H es compacta. Vamos a introducir la siguiente notación. Para R > 0, definimos las constantes |g(u)|, MR = sup √ |u|≤ 2πR √ γR = kpkL2 + MR 2π. Además, para ε > 0 sean √ (R − γR )ε aR,ε = p − 2πγR , π(1 + m2 ) bR,ε = mı́n ½ √ √ R 2πR, √ + 2πγR π ¾ y los intervalos + IR,ε = [aR,ε , bR,ε ], − IR,ε = [−bR,ε , −aR,ε ]. Finalmente, consideremos los conjuntos Iε = {t ∈ [0, 2π] : | cos(mt)| < ε} Jε+ = {t ∈ [0, 2π] : cos(mt) > ε} Jε− = {t ∈ [0, 2π] : cos(mt) < −ε} y las funciones ξ(ε) = ϕ(ε) = Z Jε+ C(R, ε) = Z Iε | cos(mt)| dt cos(mt) dt = − à Z cos(mt) dt Jε− ! p ξ(ε) γR 2(1 + m2 ) + MR π m(R − γR ) i i i i i i i [SEC. 9.6: TEOREMA DE LAZER-LEACH GENERALIZADO “apunte˙impa 2009/11/19 page 129 i 129 Observación √ 2 A partir de √ la definición, se ve que ϕ(ε) = 2 1 − ε → 2, y 2 ξ(ε) = 4(1 − 1 − ε ) → 0 cuando ε → 0. Más aun, si g es acotada resulta aR,ε → +∞ para R → +∞, y C(R, ε) → 0 cuando R → +∞ y ε → 0. 9.6. Teorema de Lazer-Leach generalizado Con la notación introducida en la sección previa, podemos establecer el siguiente resultado de existencia: Teorema Supongamos aR,ε > 0, y que una de las condiciones (9.20) o (9.21) se cumple para algún R y algún ε > 0. Entonces (9.17)-(9.18) admite al menos una solución u ∈ H 1 (0, 2π) tal que kukH 1 < R. Demostración. Supondremos que vale (9.20); el otro caso es análogo. Para λ ∈ [0, 1], consideremos de modo similar al del caso Landesman-Lazer el operador Fλ : H → H dado por Fλ u = u − Tλ u, donde el operador (compacto) Tλ se define por: ¡ ¢ Tλ u = Pu + P(p − g(u)) + λK p − g(u) − P(p − g(u)) . Observemos que, para λ > 0, u es un cero de Fλ si y sólo si u ∈ D, y Lm (u) = λ(p − g(u)). En efecto, si Fλ u = 0 resulta u = Tλ u ∈ D, y aplicando P en ambos términos se deduce que = 0. Además, como Lm P ≡ ¡ P(p−g(u)) ¢ 0 entonces Lm (u) = λLm K p − g(u) = λ(p − g(u)). Recı́procamente, si Lm (u) = λ(p − g(u)) y u ∈ D, entonces Z 2π Z 2π u(t)Lm ϕ(t) dt = 0 Lm u(t)ϕ(t) dt = 0 0 para toda ϕ en el núcleo de Lm . En consecuencia P(p − g(u)) = 0, de donde u = Pu + λK(p − g(u)) = Tλ u. Vamos a probar que F1 tiene al menos un cero. En primer lugar, veamos que Fλ no se anula sobre ∂BR (0): de esta manera, la i i i i i i i 130 “apunte˙impa 2009/11/19 page 130 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES demostración se reduce a probar que el grado de Leray-Schauder degLS (F0 , BR (0), 0) es distinto de 0. Consideremos primero el caso λ ∈ (0, 1]. Si kuk = R, entonces √ kuk∞ ≤ 2πR. Luego, si Lm (u) = λ(p − g(u)) resulta √ ku − PukH 1 ≤ kp − g(u)kL2 ≤ kpkL2 + MR 2π = γR . Además, si ϕ ∈ Ker(Lm ) entonces 0= 1 λ Z 2π Lm u(t)ϕ(t) dt = 0 1 λ Z 2π 0 [p(t) − g(u(t))]ϕ(t) dt. Por conveniencia, escribamos Pu = ρ cos(mt−ω), con ω ∈ [0, 2π). Entonces Z Z 1 2π eiω 2π αp +iβp = g(u(t))eimt dt = g(ρ cos(mt)+θ(t))eimt dt, π 0 π 0 (9.22) ω ω ) − Pu(t + m ). Por otra parte, notemos que donde θ(t) = u(t + m R − γR ≤ kPukH 1 = ρk cos(mt)kH 1 = ρ y p π(1 + m2 ) R2 ≥ kuk2L2 = ku − Puk2L2 + kPuk2L2 ≥ ρ2 π. Esto implica que p R − γR π(1 + m2 ) R ≤ρ≤ √ . π Observemos ahora que Z Z 2π 0 2π g(ρ cos(mt) + θ(t)) sen(mt) dt = 0 µ ¶ θ0 (t) g(ρ cos(mt) + θ(t)) sen(mt) − dt ρm Z 2π θ0 (t) g(ρ cos(mt) + θ(t)) dt + ρm 0 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 131 i 131 [SEC. 9.6: TEOREMA DE LAZER-LEACH GENERALIZADO lo que permite obtener la cota ¯ √ ¯Z 2π ¯ ¯ 2πMR 0 ¯ g(ρ cos(mt) + θ(t)) sen(mt) dt¯¯ ≤ kθ kL2 ¯ ρm 0 p πγR MR 2(1 + m2 ) . ≤ m(R − γR ) R 2π Por otra parte, podemos dividir el término 0 g(u(t)) cos(mt) dt en tres integrales sobre los conjuntos Iε y Jε± , para obtener las estimaciones: ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ MR ξ(ε), g(ρ cos(mt) + θ(t)) cos(mt) dt ¯ ¯ Iε Z Z Jε+ g(ρ cos(mt) + θ(t)) cos(mt) dt ≥ inf+ g(u)ϕ(ε) Jε− g(ρ cos(mt) + θ(t)) cos(mt) dt ≤ sup g(u)ϕ(ε). u∈IR,ε − u∈IR,ε En consecuencia, a partir de (9.22) se deduce: q π αp2 + βp2 ≥ ϕ(ε) inf+ g(u) − sup g(u) u∈IR,ε − u∈IR,ε p πγR MR 2(1 + m2 ) −MR ξ(ε) − , m(R − γR ) lo cual contradice (9.20). Finalmente, si F0 u = 0 resulta u = Pu, y los mismos cálculos de antes valen para θ = 0. Luego, u ∈ / ∂BR (0). Podemos concluir que el grado de Leray-Schauder de Fλ en 0 está definido sobre BR (0), y degLS (F1 , BR (0), 0) = degLS (F0 , BR (0), 0). Además, por la definición de grado y el hecho de que F0 u = u − P(u + p − g(u)), se ve que degLS (F0 , BR (0), 0) = degB (F0 |Vm , BR (0) ∩ Vm , 0). i i i i i i i 132 “apunte˙impa 2009/11/19 page 132 i [CAP. 9: PROBLEMAS RESONANTES Notemos que si u ∈ Vm , entonces F0 u = P(g(u) − p); de esta forma, si escribimos p como antes u = ρ cos(mt − ω) con ω ∈ [0, 2π) se ve que kukH 1 = ρ π(1 + m2 ). Luego, degLS (F0 , BR (0), 0) puede calcularse como el ı́ndice I(φ, 0), donde φ : [0, 2π] → C es la curva definida por Z 1 2π φ(ω) = g(ρ cos(mt − ω))eimt dt − zp , π 0 con ρ = √ R 2 y zp = αp + iβp . Más aun, I(φ, 0) = I(zp + φ, zp ), π(1+m ) y Z 1 2π zp + φ(ω) = g(ρ cos(mt − ω))eimt dt π 0 Z eiω 2π = g(ρ cos(mt))eimt dt. π 0 Los mismos cálculos anteriores considerando θ = 0 permiten probar que ¯Z 2π ¯ ¯ ¯ imt ¯ g(ρ cos(mt))e dt¯¯ ¯ 0 ≥ ϕ(ε) inf+ g(u) − sup g(u) − MR ξ(ε). u∈IR,ε − u∈IR,ε De esta desigualdad y la hipótesis (9.20) se sigue fácilmente que I(φ, 0) = ±1, lo cual completa la demostración. 9.6.1. Un ejemplo sencillo q Dada p ∈ L2 (0, 2π), fijemos una constante c tal que 4c αp2 + βp2 π > y cierto M > c. Vamos a definir una función continua g : R → R tal que |g(u)| ≤ M para todo u ∈ R; luego, podremos considerar √ MR = M para todo R ≥ 0. Sean R > γR = kpkL2 + 2πM suficientemente grande, y ε > 0 suficientemente pequeño tales que: 2cϕ(ε) q 2 C(R, ε) < − αp + βp2 . π i i i i i i i [SEC. 9.6: TEOREMA DE LAZER-LEACH GENERALIZADO “apunte˙impa 2009/11/19 page 133 i 133 Agrandando R si es necesario, podemos suponer que √ (R − γR )ε p > 2πγR . 2 π(1 + m ) En consecuencia, basta con definir cualquier función continua g con kgk∞ ≤ M , tal que g(u)sgn(u) > c √ R √ (R − γR )ε para p − 2πγR ≤ u ≤ √ + 2πγR . 2 π π(1 + m ) Por ejemplo, si p ∈ Ker(Lm ) (i.e. αp = βp = 0), podemos considerar una función g que satisfaga g(u)sgn(u) > 0 para u À 0 y g(u) → 0 para |u| → ∞, para la cual las condiciones de Lazer-Leach no se cumplen, siempre que la tasa de convergencia a 0 sea suficientemente pequeña. En efecto, por simplicidad supongamos que g(u)sgn(u) se comporta como |u|−r cuando |u| À 0 para cierto r ∈ (0, 1), y definamos R = ε1k , con k ∈ (1, 2]. Entonces aR,ε → +∞ para ε → 0, y inf+ g(u) − sup g(u) = O(εkr ). u∈IR,ε − u∈IR,ε Además, ξ(ε) = O(ε2 ), y luego C(R, ε) = O(εk ). Como kr < k, tomando ε pequeño, vemos que la condición (9.20) se verifica. i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 134 i Capı́tulo 10 Apéndice 10.1. 1. Repaso de ecuaciones diferenciales ordinarias Sean Ω ⊂ R × Rn un abierto, (t0 , x0 ) ∈ Ω y f : Ω → Rn una función continua, localmente Lipschitz en x. Entonces el problema ½ 0 x = f (t, x) x(t0 ) = x0 admite una (única) solución x : [t0 − δ, t0 + δ] → Rn para cierto δ > 0. Dar una cota inferior para δ. 2. Lema de Gronwall: Sean u, v : [t0 , t1 ] → R≥0 continuas tales que Z t u(s)v(s) ds u(t) ≤ α + t0 para todo t y cierto α ≥ 0. Entonces u(t) ≤ αe Rt t0 v(s) ds 134 i i i i i i i [SEC. 10.1: REPASO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 3. “apunte˙impa 2009/11/19 page 135 i 135 Dependencia continua: Sean Ω, (t0 , x0 ) ∈ Ω, f como en el ejercicio 1, y consideremos un punto (t̃0 , x̃0 ) ∈ Br (t0 , x0 ) para r > 0 suficientemente pequeño. Probar que la solución x̃ del problema ½ 0 x̃ = f (t, x̃) x̃(t̃0 ) = x̃0 verifica |x̃(t) − x(t)| ≤ αeL|t−t0 | para ciertas constantes α = α(t̃0 , x̃0 ), L ≥ 0, y t cerca de t0 , en donde α verifica: α(t̃0 , x̃0 ) → 0 para (t̃0 , x̃0 ) → (t0 , x0 ). 4. a) b) c) Sean Ω, (t0 , x0 ) ∈ Ω, f como en el ejercicio 1, y sea K ⊂ Ω un compacto. Probar que si una solución de x0 = f (t, x) definida en [t0 , t1 ) no se puede extender hasta t1 , entonces existe δ > 0 tal que (t, x(t)) ∈ / K para t ∈ (t1 − δ, t1 ). Concluir que si [t0 , t1 ] × Rn ⊂ Ω entonces |x(t)| → ∞ para t → t− 1. Probar que si f : [t0 , t1 ]×Rn → Rn es continua, localmente Lipschitz en x y tiene crecimiento a lo sumo lineal en x (es decir, |f (t, x)| ≤ a|x| + b), entonces toda solución del problema x0 = f (t, x) puede extenderse a todo el intervalo [t0 , t1 ]. Sea f : [t0 , t1 ] × Rn → Rn continua y globalmente Lipschitz en x con constante L, y consideremos el operador T : C([t0 , t1 ], Rn ) → C([t0 , t1 ], Rn ) definido por Z t f (s, x(s)) ds. T x(t) = x0 + t0 Probar que para x, y ∈ C([t0 , t1 ], Rn ) se tiene: kT n x − T n yk ≤ (t1 − t0 )n Ln kx − yk, n! en donde T n = T ◦ . . . ◦ T (n veces). Deducir que si n es grande, T n es una contracción. ¿Tiene esto alguna relación con el ejercicio (4b)? i i i i i i i 136 [CAP. 10: APÉNDICE 10.2. 1. “apunte˙impa 2009/11/19 page 136 i La ecuación lineal de segundo orden Probar que el problema u00 (t) + a(t)u0 (t) + b(t)u(t) = ψ(t) con a, b, ψ : [0, T ] → R continuas, es equivalente a la ecuación Lu = ϕ(t), en donde Lu(t) = (−p(t)u0 (t))0 + q(t)u(t) para ciertas q, ϕ : [0, T ] → R continuas y cierta p : [0, T ] → R>0 de clase C 1 . 2. Sea L como en el ejercicio anterior, y sea {u1 , u2 } una base de soluciones del problema homogéneo Lu = 0. Probar que w = p(u1 u02 − u2 u01 ) es una constante no nula. 3. Sean L, u1 , u2 y w como antes, y sea ϕ : [0, T ] → R una función continua. Probar que todas las soluciones de la ecuación Lu = ϕ son de la forma u = c1 u1 + c2 u2 , con Z 1 t c1 = k 1 + u2 (s)ϕ(s) ds, w 0 Z 1 t c2 = k 2 − u1 (s)ϕ(s) ds. w 0 4. Sea L como antes. Probar que si el problema de Dirichlet Lu = 0, u(0) = u(T ) = 0 admite solamente la solución trivial, entonces el problema no homogéneo Lu = ϕ, u(0) = u0 , u(T ) = uT tiene una única solución para cualquier ϕ continua y cualquier dato de borde (u0 , uT ) ∈ R2 . Obtener conclusiones similares para las condiciones de Neumann u0 (0) = u0 , u0 (T ) = uT i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 137 i 137 [SEC. 10.2: LA ECUACIÓN LINEAL DE SEGUNDO ORDEN y periódicas u0 (0) = u0 (T ). u(0) = u(T ), 5. Sea L como antes, con q ≥ 0. Probar que para toda función continua ϕ el problema Lu = ϕ, u(0) = u0 , u(T ) = uT , tiene solución única. ¿Puede decirse lo mismo para las condiciones de Neumann o periódicas? 6. Sea L como antes, y sea f : [0, T ] × R → R continua y creciente en u. Probar que el problema Lu = f (t, u), u(0) = u0 , u(T ) = uT tiene a lo sumo una solución. 7. Desigualdad de Poincaré: existe una constante c tal que si u : [0, T ] → R es absolutamente continua con u(0) = u(T ) = 0, entonces kukL2 (0,T ) ≤ cku0 kL2 (0,T ) . Comentario: veremos en 10.4 que la constante óptima es c = 8. T π. Desigualdad de Wirtinger: existe una constante c tal que si u : [0, T ] → R es absolutamente continua con u(0) = u(T ) y u0 (0) = u0 (T ), entonces ku − ukL2 (0,T ) ≤ cku0 kL2 (0,T ) RT en donde u es el promedio de u, dado por u := T1 0 u(t) dt. T Comentario: en este caso, la constante óptima es c = 2π . 9. Probar que existe una constante c tal que si u0 es absolutamente continua y u0 (t0 ) = 0 para algún t0 entonces ku0 kL∞ (0,T ) ≤ cku00 kL2 (0,T ) . Generalizar para un operador L como antes. i i i i i i i 138 “apunte˙impa 2009/11/19 page 138 i [CAP. 10: APÉNDICE 10.3. La función de Green En esta sección veremos que, en ocasiones, la única solución de un problema lineal Lu = ϕ se puede expresar en términos de un operador integral (el inverso de L), aplicado a ϕ. Vamos a encontrar esta expresión por medio de un cálculo directo cuando se trata el problema lineal ( u00 = ϕ(t) u(0) = u(T ) = 0. En efecto, podemos escribir Z Z t ϕ(s)ds = c + u0 (t) =c + 0 T χ[0,t) (s)ϕ(s)ds, 0 y entonces u(t) = Z tµ c+ 0 =ct + =ct + =ct + Z Z Z T Z T ¶ χ[0,r) (s)ϕ(s)ds dr 0 χ[0,t (r) 0 T ϕ(s) 0 T µZ µZ T 0 T ¶ χ[0,r) (s)ϕ(s)ds dr ¶ χ[0,t) (r)χ[s,T ] (r)dr ds 0 ϕ(s)ψ(t, s)ds, 0 donde ψ(t, s) = ½ 0 t−s t≤s s < t. Además, como u(T ) = 0, vale: Z Z 1 T 1 T c=− ϕ(s)ψ(α, s)ds = − ϕ(s)(T − s)ds. T 0 T 0 Luego u(t) = Z T G(t, s)ϕ(s)ds, 0 i i i i i i i [SEC. 10.4: DESIGUALDADES DE POINCARÉ Y WIRTINGER “apunte˙impa 2009/11/19 page 139 i 139 en donde ( − Tt (T − s) G(t, s) = − Ts (T − t) t≤s t > s. La función G : [0, T ]2 → R se denomina función de Green del problema. 1. Deducir una expresión similar para condiciones de Dirichlet no homogéneas. 2. Generalizar para condiciones de Neumann y periódicas. 3. Generalizar para un operador L como en los ejercicios anteriores, y calcular explı́citamente la función de Green para el caso Lu = u00 − λu, con λ > 0. 10.4. Desigualdades de Poincaré y Wirtinger En muchas de las aplicaciones que hemos visto resulta de gran importancia la llamada desigualdad de Poincaré: kukL2 ≤ T 0 ku kL2 . π Esta fórmula es válida para cualquier función u del espacio de Sobolev mencionado en la introducción: H01 (0, T ) := {u : [0, T ] → R absolutamente continua : u(0) = u(T ) = 0, u0 ∈ L2 (0, 1)}. En el ejercicio 7 se propone la existencia de “alguna” constante c que permite acotar la norma de u mediante la norma de su derivada; veremos ahora una idea informal (aunque esencialmente válida) que permite demostrar que la constante óptima para esta desigualdad es Tπ , mediante argumentos sencillos. Por simplicidad, trataremos únicamente el caso T = 1, la versión más general se obtiene fácilmente mediante un rescale del intervalo. i i i i i i i 140 “apunte˙impa 2009/11/19 page 140 i [CAP. 10: APÉNDICE Supongamos que queremos minimizar la funcional Z 1 I(u) = u0 (t)2 dt 0 definida sobre H01 (0, 1), sujeta a la condición J(u) = 1, con Z 1 u(t)2 dt. J(u) = 0 Es posible probar que I restringida al conjunto {u : J(u) = 1} alcanza un mı́nimo absoluto u1 , que además resulta una función suave. En tal caso, por la teorı́a de multiplicadores de Lagrange1 existe un número λ1 tal que DI(u1 ) = λ1 DJ(u1 ), es decir: Z 1 Z 1 0 0 u1 (t)ϕ (t) dt = λ1 u1 (t)ϕ(t) dt 0 0 para toda ϕ. Integrando por partes el término de la izquierda, obtenemos: Z 1 (u001 (t) + λ1 u1 (t))ϕ(t) dt = 0 0 Además, como la igualdad vale para toda ϕ, entonces u001 + λ1 u1 = 0. Pero esta ecuación es √ fácil de resolver: como u1 se anula en 0, tiene que ser u1 (t) = asen( λ1 t) en donde a es una constante apropiada R1 de modo que valga 0 u1 (t)2 dt = 1. Por otra parte, u1 (1) = 0, de √ donde λ1 = kπ. Finalmente, observemos que Z 1 Z 1 Z 1 I(u1 ) = u01 (t)2 dt = − u001 (t)u1 (t) dt = λ1 u1 (t)2 dt = λ1 . 0 0 0 Entonces, como u1 es un mı́nimo absoluto, se deduce que k = 1, es decir: λ1 = π 2 . De esta forma, Z 1 mı́n u0 (t)2 dt = π 2 , kukL2 =1 1 Este 0 hecho es consecuencia inmediata del Teorema de la función implı́cita i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 141 i 141 [SEC. 10.4: DESIGUALDADES DE POINCARÉ Y WIRTINGER en donde el mı́nimo se toma sobre el espacio H01 (0, 1). Esto dice que si u ∈ H01 (0, 1) es distinta de 0, entonces tomando w = kuku 2 vale L R1 0 2 2 w (t) ≥ π , o equivalentemente 0 Z 1 0 u0 (t)2 ≥ π 2 kuk2L2 , como querı́amos demostrar. En realidad, existe una demostración mucho más elemental, que es la siguiente: dado u ∈ C 1 ([0, 1]) tal que u(0) = 0, definimos φ(t) = u2 (t)cotg(πt), que resulta continua en [0, 21 ], y φ(0) = 0. Entonces φ0 (t) = 2u(t)u0 (t)cotg(πt) − πu2 (t)(1 + cotg2 (πt)) = µ u0 (t) √ π ¶2 −πu2 (t)− µ √ u0 (t) πu(t)cotg(πt) − √ π ¶2 ≤ u0 (t)2 −πu2 (t). π Integrando, resulta ¯1/2 Z ¯ ≤ 0 = φ¯ 0 1/2 0 u0 (t)2 − πu2 (t) dt, π de donde sale que Z 1/2 u2 (t) dt ≤ 0 1 π2 Z 1/2 u0 (t)2 dt. 0 En forma análoga se prueba que si u(1) = 0, entonces Z 1 1/2 u2 (t) dt ≤ 1 π2 Z 1 u0 (t)2 dt, 1/2 y sumando las dos desigualdades cuando u(0) = u(1) = 0 se obtiene el resultado. El caso general para u absolutamente continua se deduce en forma inmediata del hecho (bastante elemental) de que C01 ([0, 1]) es denso en H01 (0, 1). i i i i i i i 142 “apunte˙impa 2009/11/19 page 142 i [CAP. 10: APÉNDICE Cabe aclarar que, aunque parece más complicada, la otra “demostración” es mucho más general, pues se aplica a otros operadores lineales diferentes de u00 . Los anteriores argumentos pueden modificarse para probar también que la constante óptima para la desigualdad de Wirtinger (ver T . el ejercicio 8 de la sección 10.2) es 2π 10.5. El teorema de Brouwer Como vimos en el capı́tulo 7, el teorema de Brouwer se demuestra en forma inmediata a partir de la teorı́a de grado. Sin embargo, existen diversas demostraciones directas, algunas más complicadas que otras. Por ejemplo, si se conoce el lenguaje de la homologı́a, la demostración se desprende en forma inmediata del hecho de que no existen retracciones de Rn (o de la bola unitaria) en la esfera: en efecto, si f : B1 (0) → B1 (0) es continua y sin puntos fijos, se puede construir una retracción de la siguiente manera: para cada x tomamos la semirrecta que sale de f (x) y pasa por x, y definimos r(x) como el punto donde dicha semirrecta corta a S n−1 . Esta función es claramente continua, y deja fijos a los puntos de la esfera, lo que es absurdo. Pero vale la pena observar que existen demostraciones aun más sencillas. El caso n = 1 es claramente trivial, pues el resultado equivale al teorema de Bolzano. Para n = 2 se puede argumentar de muchas maneras distintas. Aquı́ el hecho de que no hay retracciones se prueba de un modo mucho más directo, recurriendo únicamente al grupo fundamental: si hubiera una retracción, deberı́a existir un epimorfismo del π1 del plano, que es trivial, al de la circunferencia, que es Z. La dificultad en el caso n > 2 es que justamente el π1 de la esfera ahora es también trivial. Como sea, hay argumentos todavı́a más elementales. En primer lugar, para n = 2 vale la pena mencionar aquella demostración que emplea un resultado combinatorio de la teorı́a de juegos: el teorema de Brouwer se deduce en forma casi inmediata a partir del teorema del HEX, que a grandes rasgos dice, simplemente, que todo juego de HEX tiene un ganador (ver [10]). También se puede probar el teorema de Brouwer en el plano i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 143 i 143 [SEC. 10.5: EL TEOREMA DE BROUWER usando herramientas de variable compleja, aunque este procedimiento no difiere mucho del que empleamos en la construcción del grado en el capı́tulo 7. Veamos ahora otra prueba, que emplea únicamente el teorema de Green. En realidad, nuestra demostración consiste en probar que no hay retracciones de clase C 2 , y repitiendo la construcción anterior esto dice que el teorema de Brouwer vale para funciones de clase C 2 . Pero usando el teorema de aproximación de Weierstrass es muy fácil pasar luego al caso general: si f : B1 (0) → B1 (0) es continua, existen qn : B1 (0) → R2 polinomios tales que kqn − f k∞ ≤ n1 . Observemos n que kqn k∞ ≤ n+1 n ; luego, si definimos pn := n+1 , se deduce que pn : B1 (0) → B1 (0), y pn → f uniformemente. Como pn es de clase C ∞ , tiene un punto fijo xn ; por otra parte, existe una subsucesión xnj que converge a cierto x ∈ B1 (0). Luego f (xnj ) → f (x), y además f (xnj )−xnj = f (xnj )−pnj (xnj ) → 0, de donde se ve que f (x)−x = 0. Cabe aclarar que nuestra demostración de que no hay retracciones de B1 (0) en S 1 puede extenderse para dimensión mayor, empleando la versión general del teorema de Stokes, o el teorema de Gauss. A modo de corolario del método empleado, probaremos también el teorema fundamental del Algebra. 10.5.1. Una demostración elemental Dada f : A → R2 de clase C 2 , f (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) tal que f (S 1 ) ⊂ S 1 , en donde A es cualquier entorno de S 1 , definimos d(f ) := = Z S1 Z S1 (uvx − vux , uvy − vuy ) · dl u(vx dx + vy dy) − Z v(ux dx + uy dy). S1 Se cumplen las siguientes propiedades: R 1. d(id) = 2. Si f : B1 (0) → S 1 es de clase C 2 , entonces d(f ) = 0. S1 (−y dx + x dy) = 2π. i i i i i i i 144 “apunte˙impa 2009/11/19 page 144 i [CAP. 10: APÉNDICE Demostración: como u2 + v 2 ≡ 1, se deduce que (ux , vx ) y (uy , vy ) son linealmente dependientes. Por otra parte, (uvy − vuy )x − (uvx − vux )y = 2(ux vy − uy vx ) ¶ µ ux uy = 0, = 2det vx vy y el resultado se deduce del teorema de Green. 3. Si f y g son de clase C 2 definidas en un entorno de S 1 tales que f (S 1 ) ⊂ S 1 , g(S 1 ) ⊂ S 1 y f = g sobre S 1 , entonces d(f ) = d(g). Demostración: si f = (u, v) y g = (ũ, ṽ), entonces las componentes tangenciales de ∇u y ∇v coinciden con las de ∇ũ y ∇ṽ. Más concretamente, si parametrizamos S 1 por medio de una curva c(t) se tiene que u ◦ c = ũ ◦ c y v ◦ c = ṽ ◦ c, y luego ∇u(c(t)) · c0 (t) = ∇ũ(c(t)) · c0 (t), ∇v(c(t)) · c0 (t) = ∇ṽ(c(t)) · c0 (t). En otras palabras, ux dx+uy dy = ũx dx+ũy dy, vx dx+vy dy = ṽx dx+ṽy dy, de donde el resultado es inmediato. Como conclusión, se deduce que no puede haber una retracción f : B1 (0) → S 1 de clase C 2 , pues en tal caso por la propiedad 2 tiene que ser D(f ) = 0. Pero f = id sobre S 1 , y luego por 3 y 1 vale: d(f ) = d(id) 6= 0, lo que es absurdo. 10.5.2. El teorema fundamental del álgebra Una aplicación sencilla de la función d definida en la sección previa permite probar el teorema fundamental del álgebra. Para ello, conviene escribir a una función f = (u, v) definida en un entorno de S 1 como la función de la variable compleja z = x + iy dada por f (z) = u(x, y) + iv(x, y). En tal caso, es fácil ver que la función µ ¶n z f (z) = |z| i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 145 i 145 [SEC. 10.5: EL TEOREMA DE BROUWER es de clase C ∞ , y vale d(f ) = 2πn. Esto es claro, por ejemplo, si escribimos a f en coordenadas polares, f (r cos ω, r sen ω) = (cos nω, sen nω). Ahora veremos que la función d es continua, en un sentido apropiado: Teorema Sea f : A → R2 de clase C 2 , en donde A es un entorno de S 1 . Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si φ : A → R2 es de clase C 2 y vale kφk∞ < δ, kDφk∞ < δ, entonces |d(f + φ) − d(f )| < ε. La demostración de este resultado es inmediata a partir de la definición de d, y del hecho de que ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ F · dl¯ ≤ kF k∞ .L(γ), ¯ ¯ γ en donde L(γ) es la longitud de la curva γ. Podemos esbozar entonces una demostración del teorema fundamental del álgebra de la siguiente forma (los detalles quedan como ejercicio): dado un polinomio P mónico de grado n, podemos escribirlo en la forma P (z) = z n + Q(z), en donde Q tiene a lo sumo grado n − 1. Si P no tiene raı́ces, entonces definimos para R > 0 la función P (Rz) 2 g(z) = |P (Rz)| , que resulta de clase C . Por otra parte, si consideramos por ejemplo |z| ≥ 12 y hacemos tender R a infinito, vemos que tanto g como sus derivadas parciales tienden (de modo uniforme) respectivamente a f y sus derivadas ³ ´n parciales, en donde f es la función z antes definida por f (z) = |z| . Esto dice que d(g) tiende a 2πn. Por otra parte, por la propiedad 2 de la sección anterior vale d(g) = 0, lo que es absurdo. Vale la pena observar que la misma demostración es válida para funciones más generales, para los cuales los métodos habituales de variable compleja no pueden aplicarse directamente. Por ejemplo, se puede deducir el teorema fundamental del álgebra generalizado, para un polinomio en z y z, del tipo X P (z, z) = z n + ajk z j z k , j+k≤n−1 que no es una función analı́tica. i i i i i i i 146 “apunte˙impa 2009/11/19 page 146 i [CAP. 10: APÉNDICE Observación A partir de lo visto en el capı́tulo 7, es evidente que para una aplicación f : B1 (0) → R2 suave tal que f (S 1 ) ⊂ S 1 la “misteriosa” función d es equivalente al grado de f . En efecto, empleando la no1 = f (z). Luego, tación compleja, para z ∈ S 1 vale f (z) Z Z 2π 1 1 1 f (γ(t))(f ◦ γ)0 (t) dt dz = 2πi f ◦γ z 2πi 0 Z 2π h i 1 Im f (γ(t))(f ◦ γ)0 (t) dt = 2π 0 Z 1 (uvx − vux ) dx + (uvy − vuy ) dy. = 2π γ deg(f, B1 (0), 0) = Sin embargo, esta prueba directa del teorema de Brouwer que hemos dado no requiere hacer uso de la invariancia por homotopı́a de la integral compleja. 10.5.3. La demostración de Milnor y Rogers Veamos ahora otra demostración elemental del teorema de Brouwer, válida para Rn : la de Milnor-Rogers. A partir de lo antes comentado, es suficiente ver que no existen retracciones de clase C 1 de la bola unitaria B en la esfera S n−1 . En efecto, si f : B → S n−1 es de clase C 1 tal que f (x) = x sobre n−1 S , podemos definir, para t ∈ [0, 1], ft (x) = (1 − t)x + tf (x) = x + t(f (x) − x). Es claro que para todo x vale |ft (x)| ≤ 1, y si x ∈ S n−1 entonces ft (x) = x. Por otra parte, g(x) := f (x) − x es de clase C 1 , y entonces existe una constante c tal que |g(x) − g(y)| ≤ c|x − y| para x, y ∈ B. En consecuencia, si t < 1c la función ft es inyectiva, pues si ft (x) = ft (y) entonces t |x − y| = t|g(x) − g(y)| ≤ |x − y|. c Veamos que si t es suficientemente pequeño, entonces ft es también suryectiva. En efecto, observemos en primer lugar que para cierto i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 147 i 147 [SEC. 10.5: EL TEOREMA DE BROUWER t0 ∈ (0, 1c ) vale que si t ≤ t0 entonces la diferencial Dft = I + tDg es inversible para todo x. Por el teorema de la función inversa, esto implica que ft (B) es abierto para todo t ≤ t0 . Supongamos que ft (B) 6= B, y tomemos z ∈ B tal que z ∈ / ft (B). Uniendo a z con cualquier punto de ft (B) por medio de un segmento, se deduce la existencia de algún y ∈ B ∩ ∂(ft (B)). Si xk ∈ B es una sucesión tal que ft (xk ) → y, por compacidad podemos suponer que converge a cierto x, y luego ft (x) = y. Como ft es inyectiva y vale la identidad sobre S n−1 , entonces x ∈ B. Pero por otra parte, ft (x) ∈ ft (B), lo que contradice el hecho de que y es un punto de la frontera. Definamos ahora la aplicación Z Z φ(t) := det(Dft (x)) dx = φ(t) = det(I + tDg(x)) dx. B B Claramente, φ es un polinomio en t pero además, como ft es un difeomorfismo cuando t ≤ t0 , por la fórmula de cambio de variables se deduce que φ es constantemente igual al volumen de B. En particular, φ(1) > 0. Pero f1 = f , y a partir de la igualdad |f (x)| = 1 se deduce que para j = 1, . . . , n vale h∂j f (x), f (x)i = 0. Luego f (x) ∈ ker(Df (x)), y en particular esto muestra que det(Df (x)) = 0 para todo x ∈ B. En consecuencia, φ(1) = 0, lo que es absurdo. Para concluir, veamos la siguiente generalización obvia del teorema, para el caso de cualquier conjunto homeomorfo a la bola unitaria: h : B → K es un homeomorfismo y f : K → K es continua, la aplicación h−1 ◦ f ◦ h : B → B es continua, y entonces tiene un punto fijo x. Luego, y = h(x) es un punto fijo de f . En particular, podemos tomar como K a cualquier conjunto compacto y convexo en un espacio normado de dimensión finita. i i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 148 i i i i i i i “apunte˙impa 2009/11/19 page 149 i Bibliografı́a [1] Amann, H. Ordinary Differential Equations. An Introdution to Nonlinear Analysis. Walter de Gruyter Berlin. New York (1990). [2] P. Amster and P. De Nápoli: Landesman-Lazer type conditions for a system of p-Laplacian like operators. J. Math. Anal. and Appl. 326, No 2 (2007) 1236-1243. [3] Brown, R. F. A Topological Introduction to Nonlinear Analysis. Birkhaüser. Boston - Basel - Berlin. (1993). [4] Castro Castro, A. Periodic solutions of the forced pendulum equation. Diff. Equations (1980), 149-60. [5] Cronin, J. Fixed Point and Topological degree in Nonlinear Analysis. Mathematical Survey. Number 11 American Mathematical Society, 190. Providence, Rhode Island. (1964). [6] De Coster, C. and Habets, P. 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