tema 10 - IES La Nía

VECTORES
MATEMÁTICAS II
TEMA 10 :VECTORES EN EL ESPACIO
1. Coordenadas de un punto en el espacio
Vamos a estudiar el espacio R3 . Sus elementos son puntos, que representaremos
mediante tres coordenadas. Para ello necesitamos fijar un sistema de referencia, formado
por un punto y una base del espacio vectorial R3 (tres vectores L.I).
Fijamos un punto O (origen) y, partiendo de él, los tres vectores
r r r
→
→
independientes: más sencillos de R3 {O; i , j , k }, e1 = (1,0,0) = i ,
→
→
e2 = (0,1,0) = j
→
→
y e3 = (0,0,1) = k , (base canónica de R3 ), tres
vectores de la misma longitud, que tomaremos como unidad, y
perpendiculares entre sí (una base ortonormal):
Dado un punto cualquiera P del espacio tridimensional
→
R3 , consideramos el vector OP , que siempre se podrá expresar como combinación lineal de
→
→
→
→
r r r
i , j , k del siguiente modo: OP = x1 i + x2 j + x3 k , decimos entonces que las coordenadas
del punto P en este sistema de referencia son P(x1,x2,x3).
De este modo, la descripción
analítica de los puntos del espacio se
reducirá a la de los vectores.
→
→
→
→
Por ejemplo, en este caso OP = 2 i + 3 j + 5 k
Las rectas X,Y, Z que pasan por el origen y son paralelas a los vectores de la base se llaman
ejes de coordenadas:
a) eje X: (x,0,0)
b) eje Y: (0,y,0)
c) eje Z:(0,0,z)
Los planos XY, XZ, YZ se llaman planos
coordenados:
a) plano XY: (x,y,0)
b) plano XZ: (x,0,z)
c) plano YZ: (0,y,z)
1/7
IBR – IES LA NÍA
VECTORES
MATEMÁTICAS II
Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho
regiones llamadas octantes. El octante en el que las tres
coordenadas de un punto son positivas se denomina primer
octante. No hay un acuerdo para denominar a los otros siete
octantes.
2. Componentes de un vector determinado por dos puntos
• Las componentes del vector determinado por dos puntos
P(xp,yp,zp) y Q(xq,yq,zq), se obtienen:
→
PQ = (x q − x p , y q − y p , z q − z p )
(extremo menos origen)
Ejemplo: Las coordenadas de P y Q son P(-1,3,4) y Q(0,-2,-3). Determina las componentes
→
→
de los vectores PQ y QP .
3. Punto medio de un segmento
Para calcular las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P(xp,yp,zp) y
Q(xq,yq,zq), observamos que:
→
→
PQ = 2 PmP
(xq-xp, yq-yp, zq-zp)=2(xM-xp, yM-yp, zM-zp)
xq-xp=2xM-2xp
yq-yp=2yM-2yp
zq-zp=2zM-2zp
xM=(xq+xp)/2
yM=(yq+yp)/2
zM=(zq+zp)/2
 x p + xq y p + yq z p + z q
,
,
2
2
 2
Luego: PM(P,Q)= 



Ejercicios:
→
1º) Dados los puntos A(7,2,-1) y B(1,6,-3), determina las componentes del vector libre AB .
¿Cuál será el extremo si el origen es l punto C(3,4,-5).
2/7
IBR – IES LA NÍA
VECTORES
MATEMÁTICAS II
Halla las coordenadas de los puntos M, N y P que dividen el segmento de extremos A y
B en cuatro partes iguales.
2º) ¿Están alineados los puntos: a) A(-1,0,2) B(2,3,-1) C(-7,-2,4)
b) A(-1,0,2) B(2,1,1) C(-7,-2,4) ?
3º) Sean A(1,3,5), B(2,1,4) y C(-3,0,1) tres vértices consecutivos de un paralelogramo.
Calcula las coordenadas del cuarto vértice, D, y las del centro del paralelogramo.[(-4,2,2)
y (-1,3/2,3]
4º) Halla el simétrico de A(1,-7,4) respecto de P(5,3,1). [(9,13,-2)]
5º) Determina un punto entre A y B que esté a mitad de distancia de A(1,7,11) que de
B (4,−2,17) .
6º) Halla las coordenadas de los puntos A, B, C y D que dividen el segmento de extremos
M(1,2,3) y N(6,-3,8) en cinco partes iguales.[(2,1,4), (3,0,5), (4,-1,6), (5,-2,7)]
7º) Dados los puntos A(0,1,-3), B(3,-4,2), halla las coordenadas de los puntos R y S que
dividen al segmento AB en tres partes iguales.
4. Producto escalar de vectores
El producto escalar para vectores del plano puede definirse también para vectores del
r r
r r
r
r
espacio: V ⋅ W = V ⋅ W ⋅ cos α siendo α el ángulo formado por V y W .
r
Diremos que V
ángulo de 90º:
y
r
r
r r
W . son ortogonales, y lo representaremos como V ⊥ W , cuando formen un
r
r
r
r r
r r
Si V ≠ 0 y W ≠ 0 : V ⊥ W ↔ α = ang (V ,W ) = 90º ↔ cos α = 0 ↔ V ⋅ W = 0
r r
r
Los vectores i , j y k son ortogonales dos a dos.
Expresión analítica del producto escalar de dos vectores:
Vamos a ver otra expresión para el producto escalar de dos vectores que nos permita usar
sus componentes.
r
r
r
r
r
r
Si V = (v1 , v 2 , v3 ) y W = ( w1 , w2 , w3 ) también se podrán expresar como V = v1i + v 2 j + v3 k y
r
r
r
r
W = w1i + w2 j + w3 k
r r
r
r
r
r
r
r
r r
r r
r r
V ⋅ W = (v1i + v 2 j + v3 k ) ⋅ ( w1i + w2 j + w3 k ) = v1 ⋅ w1 ⋅ i ⋅ i + v1 ⋅ w2 ⋅ i ⋅ j + v1 ⋅ w3 ⋅ i ⋅ k +
r r
r r
r r
r r
r r
r r
+ v 2 ⋅ w1 ⋅ j ⋅ i + v 2 ⋅ w2 ⋅ j ⋅ j + v 2 ⋅ w3 ⋅ j ⋅ k + v3 ⋅ w1 ⋅ k ⋅ i + v3 ⋅ w2 ⋅ k ⋅ j + v3 ⋅ w3 ⋅ k ⋅ k
r r r
como los vectores i , j y k son ortogonales dos a dos, todos los productos escalares son 0
r r
r r r r
excepto i ⋅ i = 1 ⋅ 1 ⋅ cos 0º = 1 = j ⋅ j = k ⋅ k
r r
V ⋅ W = v1 ⋅ w1 + v 2 ⋅ w 2 + v 3 ⋅ w 3
3/7
IBR – IES LA NÍA
VECTORES
MATEMÁTICAS II
5. Aplicaciones del producto escalar
r
1) Módulo de un vector: Si V es un vector cualquiera
r r r r
r2
r
r r
V ⋅V = V ⋅ V ⋅ cos 0º = V → V = + V ⋅ V = + v12 + v 22 + v 32
Notar que coincide gráficamente con una aplicación doble
del teorema de Pitágoras:
• Vector unitario: Llamaremos vector unitario a aquel que
tenga módulo 1.
r
r r
Los vectores i , j y k son unitarios.
2) Ángulo entre dos vectores:
r r
r
r
Recordando la expresión del producto escalar de dos vectores: V ⋅W = V ⋅ W ⋅ cos α ,
podemos despejar el cosα
r r
v ⋅ w + v ⋅ w + v3 ⋅ w3
V ⋅W
cos α = r r = 1 1 r2 r2
V ⋅W
V ⋅W
Ejercicios:
8º) Comprueba si las diagonales AC’ y A’C del cubo de la figura se cortan
perpendicularmente [No]
r
r
9º) Calcula el ángulo que forman los vectores V = (1,2,3), W = (2,−1,4)
[45,58º]
r
10º) Halla un vector ortogonal a v = (−3,1, −1) y de módulo 5 unidades.
r
r
r
11º) Sean U = (−2, 2,1) , V = (3, x, x) y W = ( y, 3, −3)
r
r
r
r
a) Calcula x e y sabiendo que U es ortogonal a V y que V es ortogonal a W [2 y 0]
r
r
r r
r
b) Halla U , V y W y el ángulo que forman U y W .[76,37º]
r
12º) Determina un vector unitario paralelo v = (2, −2,1) y otro que sea ortogonal a él.
r
13º) Halla qué ángulos forma el vector v = (2, −3,1) con los ejes de coordenadas. [57,69º;
143,3º; 74,5º]
6. Producto vectorial de vectores
El producto escalar de dos vectores, como su nombre indica, es un no real. Vamos a definir a
continuación un producto entre vectores que dará como resultado otro vector.
r
r
r
r
Si U = ( u1 ,u 2 ,u 3 ) y V = ( v1 ,v 2 ,v3 ) definimos el producto vectorial de U y V como:
4/7
IBR – IES LA NÍA
VECTORES
MATEMÁTICAS II
→
→
→
i
j
k
r r r r
U × V = U ∧ V = u1 u 2
v1 v 2
u3
v3
El resultado es efectivamente un vector: si desarrollamos el determinante por la primera
fila
r r u
U ×V = 2
v2
u 3 → u1 u 3 → u1
.i−
. j+
v3
v1 v3
v1
u2 →
.k
v2
Propiedades:
1. El módulo del vector resultante al hacer el producto
vectorial de dos vectores es el producto de sus
módulos, por el seno del ángulo que forman:
r r
r r
U × V = U .V .senα
r
r
2. La dirección es ortogonal a los vectores U y V . (Es
r
r
fácil comprobar que el producto escalar de U y V
r r
con U ∧ V es 0).
r
r
r
r
3. No es conmutativo: U ∧ V = − V ∧ U
r
r
4. Si U y V son LD su producto vectorial es 0.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
5. i × j = k , j × k = i , k × i = j
Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores:
1. Cálculo de un vector ortogonal a dos vectores dados.
r
r
Ejemplo: Calcula un vector ortogonal a u = (1, 2, −3) y v = (5, −1, 4)
2. Interpretación geométrica : Área del paralelogramo
r
r
Sean a y b dos vectores linealmente independientes y
consideremos el paralelogramo ABCD construido sobre
ellos:
r r
Llamamos α al ángulo formado por a y b .
r r r r
a × b = a ⋅ b ⋅ sen α = AB ⋅ AD ⋅ sen α 


h
como : sen α =
→ AD ⋅ sen α = h 
AD

r r
→ a × b = AB ⋅ h = área del paralelogramo
r r
Luego: “El módulo del producto vectorial de a y b coincide con el área del paralelogramo
construido sobre ellos”
5/7
IBR – IES LA NÍA
VECTORES
MATEMÁTICAS II
Ejercicios:
r
r
r
14º) Dados los vectores u = (1, 4, −8), v = (1, −1, 0) y w = (2,1, −1) , se pide:
r r r r
a)
(u × v ) ⋅ ( v × w)
b)
r r r
r r r
u , v × w y (u × w) × v
15º) Calcula los vectores unitarios ortogonales a los vectores (2,-2,3) y (3,-3,2).
 2 2  − 2 − 2 
,
,0 , 
,
,0  ]
2
2
2
2



r
r
16º) v =(2,l,-3), w =(l,-2,l), halla las componentes de un vector ortogonal a ambos y de
[ 
módulo 5.
17º) Sabiendo que A(1,3,-5), B(7,2,-1) y C(3,-3,1) son tres vértices consecutivos de un
paralelogramo, halla el área del paralelogramo ABCD y el área del triángulo ABC.
[ 2 566 ; 566 ]
7. Producto mixto de tres vectores
r r
r
Llamamos producto mixto de tres vectores U ,V y W , al número real:
r r r
r r r
U , V , W  = U ⋅ (V × W )


Es decir, el producto mixto de tres vectores es igual al producto escalar del primero por el
producto vectorial de los otros dos. Notar que efectivamente el resultado es un no real por
ser la última operación un producto escalar.
* Expresión analítica del producto mixto
r r
r
r
r
r
r
r
Si tenemos las componentes de los tres vectores U = u1i + u2 j + u3k , V = v1i + v2 j + v3k ,
r
r
r
r
W = w1i + w2 j + w3 k
r v
r r r
r r r
r
r
U , V , W  = U ⋅ (V × W ) = (u1i + u2 j + u3 k ).  2


 w2
= u1 ⋅
v2
v3
w2
w3
− u2 ⋅
v1
w1
v3
v
+ u3 ⋅ 1
w3
w1
v3 r v1
i−
w3
w1
u1
v2
= v1
w2
w1
u2
v2
w2
u3
v3 r v1
j+
w3
w1
(
v2 r 
k=
w2 
r r r
v3 = det U ,V ,W
w3
)
» Interpretación geométrica:
Vamos a comprobar que el valor absoluto del producto mixto de
r r
r
tres vectores U ,V y W es igual al volumen del paralelepípedo
que tiene por aristas esos tres vectores.
(Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas bases son
paralelogramos, iguales y paralelos dos a dos: V = Sb ⋅ h )
6/7
IBR – IES LA NÍA
VECTORES
MATEMÁTICAS II
r r r
r r r
r r r
U , V , W  = U ⋅ (V × W ) = U ⋅ V × W ⋅ cos α


r r
V × W = área de la base=S

r r r
r
h
 → U , V , W  = S ⋅ h = Volumen
cosα = r → h = U cos α 
U

Luego, para calcular el volumen de un paralelepípedo fijamos uno
de los vértices, calculamos los vectores correspondientes a las tres aristas que concurren en
ese vértice, y se calcula el producto mixto de esos tres vectores.
En cuanto al orden de los vectores, cabe decir que éste sólo influye en el signo del producto
mixto. Como estamos calculando volúmenes, tomaremos siempre el signo positivo.
Volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D;
Sabemos que el volumen del tetraedro (pirámide triangular) es
1/3 del volumen del prisma triangular, y éste 1/2 del volumen del
paralelepípedo.
→
→
→
Luego: Vt=l/6Vp=l/6[ AB, AC , AD ]
Ejercicios:
18º) Calcula el volumen del paralelepípedo ABCDEFGH sabiendo que A(1,2,2), B(1,-2,3),
D(1,-1,1) y E(2,-1,0). [7 u3]
19º) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A(3,5,7), B(l,0,-l) C(7,-l,4) y D(ll,4,-6).
20º) ¿Son coplanarios los puntos: A(-7,-2,5), B(0,2,0), C(-9,3,8), D(l,21,4)?
7/7
IBR – IES LA NÍA