Answers to Identities Worksheet – Chapter 5 1. 2. 3. 1 tan sec sin

Answers to Identities Worksheet – Chapter 5
1 + tan 2 x
sin 2 x + cos 2 x
sec 2 x
=
1
2
sec x = sec 2 x
1.
sec 2 x =
2.
1 − cos θ
sin θ
=
sin θ
1 + cos θ
sin θ 1 − cos θ
=
g
1 + cos θ 1 − cos θ
sin θ (1 − cos θ )
=
(1 + cos θ )(1 − cos θ )
sin θ (1 − cos θ )
=
1 − cos 2 θ
sin θ (1 − cos θ )
=
sin 2 θ
1 − cos θ 1 − cos θ
=
sin θ
sin θ
3.
sec x + 1 1 + cos x
=
sec x − 1 1 − cos x
1
1+
sec x
=
1
1−
sec x
sec x
1
+
= sec x sec x
sec x
1
−
sec x sec x
sec x + 1
= sec x
sec x − 1
sec x
sec x + 1
sec x
=
sec x − 1
sec x
sec x + 1 sec x + 1
=
sec x − 1 sec x − 1
4.
csc x − cos x cot x = sin x
1
⎛ cos x ⎞
− cos x ⎜
⎟=
sin x
⎝ sin x ⎠
1
cos 2 x
−
=
sin x sin x
1 − cos 2 x
=
sin x
sin 2 x
=
sin x
sin x = sin x
5.
sin 2 α − cos 2 α = 1 − 2 cos 2 α
(1 − cos 2 α ) − cos 2 α =
1 − cos 2 α − cos 2 α =
1 − 2 cos 2 α = 1 − 2 cos 2 α
6.
cos x
cos x
+
= 2sec x
1 + sin x 1 − sin x
cos x ⎛ 1 + sin x ⎞
⎛ 1 − sin x ⎞ cos x
+
g⎜
⎜
⎟g
⎟=
⎝ 1 − sin x ⎠ 1 + sin x 1 − sin x ⎝ 1 + sin x ⎠
(1 − sin x) cos x
cos x(1 + sin x)
+
=
(1 − sin x)(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x)
cos x(1 − sin x)
cos x(1 + sin x)
+
=
(1 − sin x)(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x)
cos x(1 − sin x) + cos x(1 + sin x)
=
(1 − sin x)(1 + sin x)
cos x(1 − sin x + 1 + sin x )
=
1 − sin 2 x
cos x(2)
=
cos 2 x
2 cos x
=
cos 2 x
2
=
cos x
2sec x = 2sec x
1 − cos 2α
sin 2α
1 − (cos 2 α − sin 2 α )
=
sin 2α
(1 − cos 2 α ) + sin 2 α
=
sin 2α
2
sin α + sin 2 α
=
sin 2α
2sin 2 α
=
sin 2α
2sin 2 α
=
2sin α cos α
2 sin 2 α
=
2 sin α cos α
sin α
=
cos α
tan α = tan α
7.
tan α =
8.
cos 2 z =
1
(1 + cos 2 z )
2
1
= (1 + cos 2 z − sin 2 z )
2
1
= (1 − sin 2 z + cos 2 z )
2
1
= (cos 2 z + cos 2 z )
2
1
= (2 cos 2 z )
2
1
= ( 2 cos 2 z )
2
cos 2 z = cos 2 z
9.
sin 2 β = 2 cot β sin 2 β
⎛ cos β
= 2⎜
⎝ sin β
⎞ 2
⎟ sin β
⎠
⎛ cos β ⎞ 2
= 2⎜
⎟ sin β
⎜ sin β ⎟
⎝
⎠
= 2 cos β sin β
= 2sin β cos β
sin 2 β = sin 2 β
10.
tan x tan ½ x = sec x − 1
tan x
1 − cos x
=
1 + cos x
tan xg 1 − cos x
=
1 + cos x
tan xg 1 − cos x 1 − cos x
g
=
1 + cos x
1 − cos x
tan xg (1 − cos x) 2
1 − cos 2 x
tan xg(1 − cos x)
=
=
sin 2 x
sin x 1 − cos x
g
=
cos x sin x
sin x 1 − cos x
g
=
cos x sin x
1 − cos x
=
cos x
1
cos x
−
=
cos x cos x
cos x
sec x −
=
cos x
sec x − 1 = sec x − 1
11.
tan ½ A = csc A − cot A
1 − cos A
=
1 + cos A
1 − cos A
=
1 + cos A
1 − cos A 1 + cos A
g
=
1 + cos A 1 + cos A
1 − cos 2 A
=
1 + cos A
sin 2 A
=
1 + cos A
sin A
=
1 + cos A
sin A 1 − cos A
g
=
1 + cos A 1 − cos A
sin A(1 − cos A)
=
1 − cos 2 A
sin A (1 − cos A)
=
sin 2 A
(1 − cos A)
=
sin A
1
cos A
−
=
sin A sin A
csc A − cot A = csc A − cot A
12.
cos(θ − 90°) = sin θ
cos θ cos 90° + sin θ sin 90° =
cos θ g0 + sin θ g1 =
s in θ = sin θ
13.
sin( y + 30°) + cos( y + 60°) = cos y
sin y cos 30° + cos y sin 30° + cos y cos 60° − sin y sin 60° =
sin y g
sin y g
3
1
1
3
+ cos y g + cos y g − sin y g =
2
2
2
2
3
1
1
3
+ cos y g + cos y g − sin y g
=
2
2
2
2
1
1
cos y + cos y =
2
2
cos y = cos y
sin(θ + α ) sin(θ − α ) = sin 2 θ − sin 2 α
14.
(sin θ cos α + cos θ sin α )(sin θ cos α − cos θ sin α ) =
(sin θ cos α ) 2 − (cos θ sin α ) 2 =
sin 2 θ cos 2 α − cos 2 θ sin 2 α =
sin 2 θ (1 − sin 2 α ) − (1 − sin 2 θ ) sin 2 α =
sin 2 θ − sin 2 θ sin 2 α − sin 2 α + sin 2 θ sin 2 α =
sin 2 θ − sin 2 α = sin 2 θ − sin 2 α
15.
cot 2 x − cos 2 x = cot 2 x cos 2 x
cos 2 x
g(1 − sin 2 x)
sin 2 x
cos 2 x − cos 2 x sin 2 x
=
sin 2 x
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
=
−
sin 2 x
sin 2 x
=
=
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
−
sin 2 x
sin 2 x
cot 2 x − cos 2 x = cot 2 x − cos 2 x