Problemas de Métodos Matemáticos II

(d) El precio de venta unitario cuando el beneficio es máximo.
Problemas de Métodos Matemáticos II
TEMA 1: Optimización: una variedad especial del análisis de equilibrio
1. Supongamos que el coste total de fabricación de x artı́culos viene dado
por la función C(x) = 3x2 + x + 48 u.m.
(a) ¿ Cual es el coste de fabricación de 20 artı́culos?.
(b) ¿ Cual es el coste de fabricación del vigésimo artı́culo?.
(c) Exprésese el coste de fabricación medio por artı́culo como función
de x.
(d) ¿ Para qué valor de x es mı́nimo el coste medio?.
(e) ¿ Para qué valor de x es el coste medio igual al coste marginal?.
2. Dadas las funciones de ingreso y de coste total de una empresa:
−11 2
235
28
54 x + 108 x − 27 para
3
= 4 x + 1 para 2 ≤ x ≤ 5
I(x) =
C(x)
2≤x≤5
3. La función de ingresos totales de una empresa es:
18
−6 3
q + 3 q 2 − 2q + 100
106
10
con q > 100 y la función de costes totales es:
C(q) =
5. En un taller se fabrica una pieza de un motor con una máquina. Se ha
calculado que cada vez que se arranca la máquina comporta un coste
de 5.000 pts independientemente del número de piezas fabricadas; que
el material y la mano de obra para hacer una pieza tiene un coste de
250 pts y que el coste de almacenamiento de x piezas viene dado por
la expresión 0.5x2 . Calcular el número de piezas que se han de hacer
cada vez que se arranca la máquina de manera que el coste unitario
sea el mı́nimo posible.
6. Determinar las funciones de coste marginal para cada una de las funciones de costes medios:
(a) CM (Q) = 1.5Q + 4 +
siendo x la producción de la empresa en miles de unidades, determı́nese
la producción para obtener el máximo beneficio.
I(q) =
4. Un detallista ha comprado varias cajas de vino importado. A medida que el vino se añeja, su valor aumenta inicialmente, pero llega
un momento en que el vino pasa su mejor edad y su valor declina.
Supongamos que dentro de t años el valor marginal de una caja sea
53 − 10t u.m. y 3t u.m. el gasto total de almacenamiento por caja.
¿ Cuándo deberá vender el detallista el vino para alcanzar el máximo
beneficio?. Explı́quese por qué no es necesario conocer el precio de
compra del vino para responder a la pregunta anterior.
2 2
q − 24q + 11.000
102
Si q es el número de unidades vendidas, se pide:
(a) El coste e ingreso marginales.
(b) La cantidad, q, que maximiza el ingreso marginal.
(c) La cantidad, q, que produce un beneficio máximo y calcular dicho
beneficio.
1
(b) CM (Q) =
(c) CM (Q) =
46
Q
160
2
Q + 5 − 3Q + 2Q
18
Q + 0.1 + 0.5Q
7. Dada la función de la demanda de una empresa Q − 90 + 2P = 0 y su
función de coste promedio:
CP = Q2 − 39.5Q + 120 +
125
Q
determı́nese el nivel de producción que:
(a) maximiza los ingresos totales
(b) minimiza los costes marginales
(c) maximiza los beneficios.
8. Un productor tiene la posibilidad de discriminar entre el mercado interno y el externo en un producto cuyas demandas respectivas son:
2
Q1 = 21 − 0.1P1
Q2 = 50 − 0.4P2
Coste total = 2.000+10Q, en donde Q = Q1 +Q2 , ¿qué precio cobrará
el productor para maximizar sus beneficios:
(a) con discriminación entre los mercados
(b) sin discriminación?.
(c) Compárese el diferencial de beneficios entre la discriminación y
la no discriminación.
√
9. Deducir la fórmula de Taylor
√ para f (x) = x + 25 con n = 1 y usarla
para dar una estimación de 25.01.
10. Desarrollando por la fórmula de McLaurin, ver que:
ln(cos(x)) ≈ −
x2
x2
(1 + )
2
6
11. Dada la función f (x) = x−sin(x), demostrar mediante el desarrollo de
3
2
c 4
McLaurin adecuado que f (x) = x3! (1 − x20 + cos
840 x ), donde 0 < c < 1.
12. Desarrollar, por la fórmula de Taylor de grado 2n y en el punto x 0 = 0,
la función f (x) = ex/a − e−x/a , con a 6= 0.
3