Función estrictamente creciente

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
I.E.S. “Albariza”
R E P R E S EN T AC I ÓN G R Á F IC A D E FU NC I O N E S
0. Estudio y Gráfica de una función
La gr áf i c a d e u n a fu n c i ón est á f or mad a p o r el co n ju n to de p u n t o s (x , y)
c u an d o x var í a en el d o min i o D.
G r áf i c a (f ) = {(x, f (x)) / x D}
1 . Do min i o d e u na f u n ci ó n .
2 . Si met rí a.
3 . Per io d ic i d ad.
4 . Pun t o s d e c or te c o n l o s ej es.
5 . A sí nt o t as.
6 . Ramas p ar ab ó lic as.
7 . Cr ec i mi en to y Dec r ec i mi en t o .
8 . Máxi mo s y míni mo s.
9 . Con c avi d ad y co n vexi d ad .
1 0 . Pun t o s d e in flexi ó n .
1. Dominio de una función
E l d o mi ni o d e un a f u n c ió n
el emen t o s q u e ti enen i magen .
est á f o r mad o p or t o dos
D = {x  / f (x)}
los
1 . 1 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón p o li n ó mi c a : 
1 . 2 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón r ac i o n al : f (x)= P/Q  - {men o s val o r es Q (x)= 0 }.
1 . 3 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón r ad i c al d e índ i c e i mp ar : .
1 . 4 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón r ad i c al d e índ i c e p ar :
E l d o mi ni o est á fo r mad o p o r t o d o s l o s val o r es q u e h ac en q u e el
r ad i c an do sea mayo r o i gu al q u e c er o.
;
;
;
;
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
I.E.S. “Albariza”
1 . 5 . Do mi ni o d e l a f u n ci ó n l o garí t mi c a : t o d o s lo s val o r es q u e h ac en q u e
el r ad i c and o sea ma yo r q u e c er o .
;
1 . 6 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón exp on en c i al : D = 
1 . 7 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón s eno : D =  .
1 . 8 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón co sen o : D =  .
1 . 9 . Do min i o d e op er ac i o n es c o n f un c i on es
;
;
2. Simetría de una función
2 . 1 . Si met r í a PA R (O Y) : f (- x) = f (x)
2 . 2 . Si met r í a I MPA R ( r esp ec t o al or i gen ):
f (- x) = - f (x)
3 . - P e r i o d i c i d a d d e F u n c i o n es
Un a f un c ió n e s p erió d i c a cu an do :
La f un ció n se re p it e d e T en T, sien d o T el p er ío d o .
E n e l caso de la fu nció n se no T = 2 π
4. Puntos de corte con los ejes
4 . 1 . Pu n to s d e c o rte c o n el ej e O X : (x,0 )
4 . 2 . Pu n to s d e c o rte c o n el ej e O Y : (0 ,y)
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
I.E.S. “Albariza”
5.
A s í n t o t a s : rec t as a l as c u al es l a f u n c i ó n
i n d efi n id amen t e si n l l egar nu n c a a co r tar l as .
( )
5 . 1 . A sí n t ot as h or izo n t al es (A H):
5.2.
a son los
f u n cion e s
5.3.
se
va
ac er c an d o
( )
A sí n t ot as ver t ic al es (A V) :
p un t o s qu e n o p er t en ec en al d o mi n io d e l a f un c i ó n (en la s
racio n ales).
A sí n t ot as o bl i cu as (A O ) : y= mx+ n ;
( )
( )Do n d e :
y
;
6. Ramas parabólicas
La s r amas p ar ab ó li cas se e stu d ian só lo si:
( )
6 . 1 . Rama p ar ab ó l i ca en l a di r ec c ió n d el ej e O Y :
( )
E st o q u iere d e cir qu e la gráf ica se comp o rta co mo un a paráb o la
d e e je ve rt ical.
6 . 2 . Rama p ar ab ó l i ca en l a di r ec c ió n d el ej e O X :
( )
E st o q u iere d e cir qu e la gráf ica se comp o rta co mo un a paráb o la
d e e je ho rizo nt al.
7. Crecimiento y decrecimiento
7 . 1 . C r ec i mi ent o en u n p u nt o : f '(a) > 0
7 . 2 . Dec r ec i mi en to en u n p u nt o : f '(a) < 0
7 . 3 . I nt er val o s d e cr ec i mi en t o y d ec r eci mi en t o
P a r a h allar e l c r ecimi en t o y d ec r ec i mi en t o se gu ire mo s lo s sigu ie n t es
p a so s:
1 . Der i var l a fu n ci ón .
2 . Ob t en er l as r aí c es d e l a d er i vad a pr imer a, h ac emo s: f '(x) = 0 .
3 . F o r mamo s i n t er val o s ab i er t o s c o n los c er o s (raíce s) d e l a d er i vad a
p r i mer a y lo s p u nt os d e di sc o nt in u id ad (si lo s hu b ie se )
4 . T o mamo s u n val o r d e c ad a in t er val o , y h al l amo s el si gn o q u e
t i en e en l a d eri vad a p ri mer a.
Si f '(x) > 0 es cr ec i en t e.
Si f '(x) < 0 es d ec r ec i ent e.
5 . E s cr ib i mo s l o s i nt er val o s d e cr ec i mien t o y d ecr ec i mi en to .
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
I.E.S. “Albariza”
8 . E x t r e m os r e l at i v o s : M á x i m os y m í n i m o s
Par a q u e exi st an ext r emo s r el at i vo s en u n a f u nc i ón se h an d e c u mp l ir l as
s i gu i en t es d o s c o n di c i on es:
a ) f '(x 0 ) = 0; b) Si f ''( x 0 ) ≠ 0 .
8 . 1 . Máxi mo s r el ativo s : a ) f '( x 0 ) = 0 ; b) Si f ''( x 0 ) < 0 .
La f un ció n p asa d e cr ec i en t e a d ec r ec i en t e .
8 . 2 . Mí n i mo s r el ativo s : a ) f '(x 0 ) = 0 ; b) Si f ''( x 0 ) > 0 .
La función pasa de dec rec i en t e a cr ec i en t e .
9 . C o n c a v i d a d y c o n v ex i d a d :
Convexa:  Si f ''(a) > 0 ;
Cóncava:  Si f''(a) < 0
Par a h al l ar l o s i n t erval o s d e c on c avi d ad y c o n vexi d ad , t endr emo s q u e:
1 . Reso l ve r f ’ ’ (x)= 0 y c al c u l amo s su s r aíc es.
2 . Fo r ma r i n t er val os ab i er t o s c o n l o s cer o s (r aí c es) d e l a f ’ ’ (x) y l o s
p u n to s d e d i sco n ti nu i d ad (si l o s h u bi ese).
3 . T o mar u n val o r d e c ad a i n t er val o , y h al l amo s el si gn o q u e t i en e
en l a d eri vad a segu n d a :
Si f ''(x) > 0 es c o n vexa.
Si f ''(x) < 0 es c ó nc ava .
4 . E scr ib i r lo s i n t erval o s
1 0 . P u n t os d e i n fl e x i ó n d e u n a f u n c i ó n
Si f ’ ’ (a) = 0 y f ’’ ’ (a) ≠ 0  x = a es un Punto de inflexión:
P a r a h allar lo s pu n to s d e i n fl exi ó n , se gu ire mo s lo s sigu ie nte s p aso s:
1 . Reso l vemo s f ’’ (x)= 0 y c al cu l amo s sus r aí c es.
2 . C al c u l amo s en f ’ ’ ’ (x) el si gn o q u e t o man en el l a l o s c er o s d e
d er i vad a segu n d a y si: f '''(x) ≠ 0 T en emo s u n p un t o d e i n flexi ó n .
3 . C al cu l amo s l a i magen (en l a f u n ci ó n ) d el p u nt o d e i nf l exi ó n .
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
I.E.S. “Albariza”
E J E R C I C I OS R E S UE L T O S D E R E P R E SE N T A CI Ó N D E F U NC I O N E S
1. Representar la siguiente función:
Dominio:
Simetría:
Puntos de corte con los ejes:
con OX:
; con
OY:
Asíntotas
Asíntota horizontal:
Asíntotas verticales:
Asíntota oblicua:
;
;
Crecimiento y decrecimiento
;
Decreciente: (1,3)
Creciente:
Mínimos: (3, 27/4)
Concavidad y convexidad:
;
:
Puntos de inflexión: (0,0)
;
:
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
2.
I.E.S. “Albariza”
Representar la siguiente función:
Dominio: D= - {0} ;
Simetría:
;
No presenta simetría.
Puntos de corte con los ejes:
con OX:
;
con OY:
No tiene puntos de corte con los ejes
Asíntotas:
A.H.:
A.V.:
Crecimiento y decrecimiento
;
Máximo y mínimos: N o e xi st e n e xt re mo s locale s .
Co n c avi d ad y co n vexi d ad
;
;
Puntos de inflexión: (-1/2, e-2)
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
I.E.S. “Albariza”
3. Representar la siguiente función:
Dominio: D= ;
Simetría:
; No pre se nt a sime t ría .
Pu n t o s d e c or t e c on l o s ej es :
co n O X :
c o n OY :
A sí nt o t as :
A sí nt o t a h o ri z o nt al :
No h ay así nt o t as ver t i c al es n i o bl i cu as .
Cr ec i mi en t o y d ec r ec i mi en t o :
;
Máximos: (2,e-2)
Co n c avi d ad y co n vexi d ad A L CO NT RA RIO
;
Puntos de inflexión: (3,2e-3)
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Profesor: Fernando Ureña Portero
I.E.S. “Albariza”
4. Representar la siguiente función:
Dominio: x>0 ; D= (0,+) ; Simetría:
; N o p re se n t a sime tr ía .
Pu n t o s d e c or t e c on l o s ej es :
Pu n t o s
de
c or t e c o n
O X : ; (1, 0 )
Pu n t o d e c or t e c on O Y :
A sí nt o t as :
A sí nt o t a h o ri z o nt al :
A sí nt o t as ver ti c al es :
Cr ec i mi en t o y d ec r ec i mi en t o
; Creciente: (0,e); Decreciente: (e, )
Máximos: (e, e-1)
Co n c avi d ad y co n vexi d ad
;
Puntos de inflexión: (
) ; Representación gráfica.