Master en Economia Macroeconomia II 1 El Modelo de Crecimiento

Master en Economia
Macroeconomia II
Profesor: Danilo Trupkin
Problem Set 4
1
El Modelo de Crecimiento Optimo Estocastico
Considere el modelo de crecimiento con incertidumbre, tal como fue descripto en clase.
Es decir, suponga que el agente representativo elige la secuencia {ct , kt+1 }∞
t=0 de modo de
maximizar
E0
∞
X
β t ln(ct )
t=0
s.a.
kt+1 = At ktα − ct
ln At = ρA ln At−1 + ξ t ; ξ t ∼ i.i.d.N (0, σ 2 )
k0 > 0, A0 > 0 dados
1. Escriba la Bellman equation del problema.
2. Halle e interprete la ecuacion de Euler del problema.
3. Muestre que V (kt , At ) = E + F ln kt + G ln At es solucion del problema, donde E, F, y
G son constantes que debe hallar a traves del metodo de coeficientes indeterminados.
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Un Modelo RBC Simplificado con Shocks Tecnologicos
Aditivos
Considere una economia con poblacion constante de agentes con horizonte infinito. El
P 1 t
u(ct ),
agente representativo maximiza su lifetime utility esperada descripta por ∞
t=0 1+ρ
ρ > 0. Asuma que la funcion de utilidad instantanea es u(ct ) = ct − θc2t , θ > 0, suponiendo
que c se encuentra siempre en el rango donde u0 (c) > 0.
El output es lineal en capital, mas un shock aditivo: yt = Akt + et . No hay depreciacion;
entonces kt+1 = kt + yt − ct , y asumimos que la tasa de interes es A = ρ. Finalmente, el
shock sigue un proceso AR(1) : et = ρe et−1 + ξ t , donde −1 < ρe < 1 y los ξ t son shocks
i.i.d. de media cero.
1. Encuentre la condicion de primer orden que relaciona ct con ct+1 esperado (la ecuacion
de Euler).
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2. Haga un guess para el consumo que tenga la forma ct = α + βkt + γet . Dado este
guess, halle kt+1 como funcion de kt y et .
3. Que valores deberian tener los parametros α, β, y γ para que la ecuacion de Euler se
satisfaga para todos los valores de kt y et ?
4. Cuales son los efectos de un shock de un solo periodo a ξ sobre los senderos de y, k,
y c? Es decir, considere el efecto que tiene el shock sobre las variables endogenas del
problema, considerando ξ > 0 para t = 1 y ξ = 0 para t > 1.
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Un Modelo RBC con Utilizacion Variable del Capital
Considere, nuevamente, una economia con poblacion constante de agentes con horizonte
P∞ t
infinito, donde el agente representativo maximiza el valor esperado de
t=0 β u(ct , lt ),
0 < β < 1. Asuma u(ct , lt ) = ln ct + ηlt , η > 0, lt + ht = 1, donde lt y ht son las asignaciones
de ocio y trabajo, respectivamente.
El output, por otro lado, tiene la forma yt = At (st kt )α ht1−α . Es decir, ahora la produccion depende de las horas de trabajo, ht , y de los servicios del capital, st kt , donde s
es la tasa variable de utilizacion del stock de capital k. Asuma, ademas, que la tasa de
depreciacion es variable, y toma la forma δ(st ) = δ 0 svt , δ 0 > 0, v > 1 (la depreciacion es
creciente y convexa en la intensidad de uso del capital). En ese sentido, ahora la ecuacion
de movimiento del capital se define como kt+1 = it + (1 − δ 0 svt )kt . Finalmente, el shock
sigue un proceso autorregresivo definido por ln At = ρA ln At−1 + ξ t , donde 0 < ρA < 1 y
los ξ t son shocks i.i.d. de media cero.
Para resumir, el problema (sin firmas) seria maximizar
E0
∞
X
β t (ln ct + ηlt )
t=0
sujeto a
ct + it = At (st kt )α h1−α
t
it = kt+1 − (1 − δ 0 svt )kt
ln At = ρA ln At−1 + ξ t ; ξ t ∼ i.i.d.N (0, σ 2 )
k0 > 0, A0 > 0 dados
1. Escriba el lagrangiano de este problema, y encuentre las condiciones necesarias de
primer orden. Note que ahora se introduce una variable adicional de control, st , de
modo que el problema es tambien encontrar una condicion optima para la depreciacion
del capital.
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2. Interprete tanto la condicion de optimo de la intensidad de uso del capital (la condicion
de primer orden respecto a st ), como la ecuacion de Euler que resulta del problema.
3. Escriba las expresiones de steady state.
4. Asigne valores a los parametros del modelo, y escriba el sistema resultante en matlab
de modo de hallar las funciones de impulso-respuesta que se derivan del modelo.
Interprete brevemente. Nota: el objetivo aqui no es calibrar el modelo, sino mas bien
simular el mismo de manera de tener una “idea” de como se comporta la economia
ante los shocks.
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