Problemas

Matemáticas.
PROBLEMAS. 1
1. Ordenar el siguiente conjunto de números racionales:
{
11 17 3
1, , ,
5 8 4
}
.
2. Probar que entre dos números racionales distintos hay otro número racional. Deducir que
hay innitos racionales intermedios.
Ayuda: Usar que suma y producto de números racionales da por resultado otro número racional.
3. Intercalar 5 números racionales entre
2
3
y 87 .
4. Probar que si α es un número racional y β es un número irracional, entonces α + β es
irracional y αβ es también irracional si α ̸= 0.
Ayuda: la misma del ejercicio 2.
5. Encontrar dos números irracionales, α, β , tales que α + β y αβ sean racionales.
√
√
√
+ 4−
6. Probar que el número 4 +
Ayuda: Elevar el número al cuadrado.
63
2
√
63
2
es un número entero. ¾De qué número se trata?
7. Un punto se mueve con velocidad constante por el perímetro de un cuadrado de vértices
A, B, C y D, y otro punto tiene el mismo movimiento uniforme de ida y vuelta sobre la diagonal
AC . Probar que si los dos móviles parten simultáneamente de A, entonces no volverán a
encontrarse.
Ayuda: Determinar los tiempos en que cada uno de los móviles pasa por los vértices.
8. En N se dene la operación a ⋆ b = a + b + ab. Probar que tiene las propiedades conmutativa
y asociativa. En cambio, la operación a⋆b = a+ 1b , denida ahora en el conjunto de los números
racionales positivos, no tiene ninguna de las dos propiedades.
9. Demostrar que para a ∈ R se tienen las siguientes implicaciones:
a > 1 =⇒ a2 > a
0 < a < 1 =⇒ a2 < a.
¾Valen las implicaciones recíprocas?
10. Demostrar que para todo número real x se cumple
|x2
1
1
1
+
≤ .
+ 3| |x| + 6
2
Ayuda: Hallar el valor más pequeño que puede alcanzar cada denominador.
11. Hallar todos los números reales x que cumplen:
(a)
(x + 3)(x − 4)
<0
x3 − 2x2 − 3x
(b) |3x − 1| > |3x − 4|.
1
12. Hallar el supremo y el ínmo de los siguientes conjuntos:
A = [1, 4]
B = {1, 2, 3, π}
C = {x ∈ R : x2 + 4x − 5 < 0}
{
}
1
n
D =
(−1) + : n ∈ N .
n
Solución: Es x2 + 4x − 5 = (x + 5)(x − 1). Para que un producto sea negativo uno cualquiera
de los factores debe ser positivo y el otro negativo. En este caso esto se da sólo si −5 < x < 1.
Luego C = (−5, 1) y sup(C) = 1, inf(C) = −5. Es sup(D) = max(D) = 23 , inf(D) = −1 pero
este ínmo no es un mínimo de D.
13. Sean A y B dos conjuntos de números reales no vacíos tales que A ⊂ B . Probar que si
B está acotado superiormente (resp. acotado inferiormente), entonces A también lo está, y
además
sup(A) ≤ sup(B)
(resp. inf(A) ≥ inf(B)).
Solución: Supongamos que B está acotado superiormente. Se tiene que b ≤ sup(B) para todo
b ∈ B . Luego a ≤ sup(B) para todo a ∈ A, es decir, sup(B) es una cota superior de A.
Luego, como sup(A) es la menor de las cotas superiores de A, sigue que sup(A) ≤ sup(B). La
demostración es análoga en el caso de que B esté acotado inferiormente.
14. Sean A y B dos conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Probar que A ∪ B está
acotado y que se verica
sup(A ∪ B) = max{sup(A), sup(B)}
inf(A ∪ B) = min{inf(A), inf(B)}.
Solución: A ∪ B está acotado superiormente por la mayor de sendas cotas de A y B . Luego
max{sup(A), sup(B)} es una cota superior de esa unión. Supongamos, sin pérdida de generalidad, max{sup(A), sup(B)} = sup(A). Si c < sup(A), entonces c no puede ser cota superior de
A y por lo tanto tampoco de A∪B . Luego sup(A∪B) = max{sup(A), sup(B)}. La demostración
de la otra igualdad es análoga.
15. Sean A y B dos conjuntos no vacíos de números reales, y sea
C = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}.
Probar que si A y B están acotados superiormente (resp. acotados inferiormente), entonces C
está acotado superiormente (resp. acotado inferiormente), y además
(resp. inf(C) = inf(A) + inf(B)).
sup(C) = sup(A) + sup(B)
Aplicar la propiedad anterior para calcular el supremo y el ínmo del conjunto
{
M=
}
1
1
+ : m, n ∈ N .
m n
Solución: Supongamos que A y B están acotados superiormente. Como x+y ≤ sup(A)+sup(B)
para todo x ∈ A y todo y ∈ B , sigue que
sup(C) ≤ sup(A) + sup(B).
(1)
Fijemos un x arbitrario en A. Luego y ≤ sup(C) − x para todo y ∈ B . De aquí, sup(B) ≤
sup(C) − x, es decir, x ≤ sup(C) − sup(B). Como x es arbitrario, se deduce que sup(A) ≤
2
sup(C) − sup(B), o sea sup(A) + sup(B) ≤ sup(C). De (1) y esta desigualdad se concluye
que sup(C) = sup(A) + sup(B). El otro caso se demuestra análogamente. Se tiene sup(M ) =
max(M ) = 2, inf(M ) = 0.
∑
16. Exprese las siguientes sumas mediante la notación de sumatoria
:
(a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16.
(b) 1 − 3 + 9 − 27 + 81 − 243.
(c)
2
3
+ 34 + 45 + 56 + 67 + · · · +
n
n+1
.
17. Demostrar por inducción las siguientes fórmulas:
(a)
n
∑
i2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Solución: Comprobamos la fórmula para n = 1. Suponemos ahora que la fórmula es
cierta para n y probamos que también es cierta para n + 1. Es decir, debemos probar que
n+1
∑
i2 =
i=1
(n + 1)(n + 1 + 1)(2(n + 1) + 1)
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
. Como
6
6
n+1
∑
(
i2 =
i=1
n
∑
)
i2
+ (n + 1)2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2 ,
6
(2)
la demostración se reduce a comprobar que esta última expresión es igual a
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
.
6
Esto se hace mediante operaciones elementales. Observar que en la segunda igualdad de
(2) se usa la hipótesis inductiva de que la fórmula es válida para n.
(b)
n
∑
i=1
i3 =
n2 (n + 1)2
4
(c) 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2
(d) 2 + 4 + · · · + 2n = n(n + 1).
17. Se observa que
1
1
=
2
2
(
)(
)
1
1
1
1−
1−
=
2
3
3
(
)(
)(
)
1
1
1
1
1−
1−
1−
=
2
3
4
4
1−
..
.
Deducir una ley general y demostrarla por inducción completa.
3
Matemáticas.
PROBLEMAS. 2
1. (a) Probar que los vectores de R3 (0, 1, 1) y (0, 2, 3)
Ayuda: Se plantea la ecuación
solución es a = b = 0.
son linealmente independientes.
a(0, 1, 1) + b(0, 2, 3) = 0, a, b ∈ R, y debe probarse que la única
(b) Probar que S1 = S2 , donde S1 = ⟨(0, 1, 1), (0, 2, 3)⟩ y S2 = ⟨(0, 1, 0), (0, 0, 1)⟩.
Solución: Es fácil ver que tanto (0, 1, 1) como (0, 2, 3) son combinaciones lineales de (0, 1, 0) y
(0, 0, 1), es decir, ambos vectores pertenecen a S2 . Luego, como S2 es un subespacio, se deduce
que S1 ⊆ S2 . Pero como S1 y S2 tienen dimensión 2, necesariamente es S1 = S2 .
2. Sean S1 y S2 dos subespacios de R3 , dim S1 = dim S2 = 2. Probar que S1 ∩ S2 ̸= 0.
Probar además que dim (S1 ∩ S2 ) = 2 si y sólo si S1 = S2 . Interpretar geométricamente estos
resultados.
Solución: Si S1 ∩ S2 = 0, entonces la suma S1 + S2 es directa y resultaría que su dimensión es
2 + 2 = 4. Esto es contradictorio ya que esa suma está contenida en R3 , que tiene dimensión 3.
Ambos subespacios son planos que pasan por el origen. Si no son iguales, entonces intersecan
en una recta.
3. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Sean S = ⟨V1 , . . . , Vr ⟩ y T = ⟨B1 , . . . , Bs ⟩
subespacios de V , donde r + s = n. Demostrar que si ⟨V1 , . . . , Vr , B1 , . . . , Bs ⟩ es un sistema
libre, entonces V = S ⊕ T .
4. En R4 considere los subespacios
S = ⟨(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0)⟩ y T = ⟨(1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)⟩.
Mostrar que R4 = S ⊕ T .
5. Sea S = ⟨B1 , . . . , Br ⟩. Demostrar que una base de S es un subconjunto maximal de vectores
linealmente independientes de {B1 , . . . , Br }.
Solución: Si los r vectores que generan a S son linealmente independientes, entonces
{B1 , . . . , Br } es una base de S . Supongamos, sin pérdida de generalidad, que {B1 , . . . , Bs },
con s < r, es un conjunto maximal de vectores linealmente independientes. Es fácil ver entonces que todo Bj , con s < j ≤ r, es una combinación lineal de B1 , . . . , Bs . Luego {B1 , . . . , Bs }
también genera a S y por consiguiente es una base de S .
6. Probar que una intersección de hiperplanos es un subespacio distinto al propio espacio, y
recíprocamente, todo subespacio distinto al propio espacio es intersección de hiperplanos.
Solución: En un espacio de dimensión n, un hiperplano es un subespacio de dimensión n −
1. Intersección de subespacios es un subespacio. Luego, en particular, una intersección de
hiperplanos es un subespacio, que obviamente no puede ser el propio espacio. Sea {B1 , . . . , Br }
una base de un subespacio propio S del espacio, es decir, r < n. Si r = n − 1, entonces ya el
4
mismo S es un hiperplano. Si 1 ≤ r < n − 1, entonces podemos extender esta base a una base
del propio espacio agregando n − r vectores Br+1 , . . . , Bn . Se construyen así n − r hiperplanos,
cada uno de ellos generado por n − 1 vectores del conjunto {B1 , . . . , Bn }, donde se ha quitado
uno de los vectores agregados. Es fácil ver que S resulta ser la intersección de estos n − r
hiperplanos. La demostración es análoga cuando S = {0}.
7. Sea φ : V 7→ V una aplicación lineal biyectiva, donde dim V = n. Sea M la matriz asociada
a φ con respecto a dos bases jadas de V . Probar que las n columnas de M son vectores
linealmente independientes de Rn .
8. Dadas las matrices


4 3 2
A= 7 6 3 
2 9 8

y

3 2 1
B =  4 3 2 ,
6 7 4
calcular A + B , AB , A2 B , BA y 2A + 3B .
9. Efectuando operaciones matriciales obtener x1 y x2 como función de t1 y t2 si
x1
x2
y1
y2
z1
z2
=
=
=
=
=
=
3y1 − y2
−2y1 + 5y2
z1 − 2z2
z2
3t1
−t1 + t2 .
10. Sea φ : R3 7→ R3 el endomorsmo denido por
φ(a1 , a2 , a3 ) = (a1 + a2 , a2 + a3 , a3 − a1 ).
(a) Encontrar la matriz asociada a φ con respecto a las bases canónicas de R3 .
(b) Calcular φ (3, 7, −4).
(c) Hallar bases del núcleo y de la imagen de φ.
11. Sea φ : V 7→ W una aplicación lineal. Probar que si el sistema {B1 , . . . , Br } es ligado en
V , entonces el sistema {φ(B1 ), . . . φ(Br )} es ligado en W . Si además φ es inyectiva, entonces
φ lleva un sistema libre en V a un sistema libre en W . Por lo tanto un isomorsmo lleva bases
a bases.
5
Matemáticas.
PROBLEMAS. 3
1. Comprobar si los siguientes vectores constituyen una base de R4 :
(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 4), (0, 0, 0, 2).
En caso armativo obtener las componentes de los siguientes vectores con respecto a la base
anterior:
(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).
2. Comprobar si el vector de R4
(2, 14, −3, 7) pertenece al subespacio
⟨(1, 4, −5, 2), (1, 2, 3, 1)⟩.
3. Sea S = ⟨(1, 2, 1), (0, −1, 0), (2, 0, 2)⟩. Obtener una base de este subespacio de R3 .
4. Calcular la dimensión del subespacio de R4 generado por los siguientes vectores:
(1, 2, 0, −1), (2, 1, −1, 0), (9, 3, 7, 10), (3, 0, 2, 4).
Determinar una base de este subespacio. ¾Pertenece el vector (2, 7, −3, −7) a ese subespacio?
5. Sea {B1 , B2 , B3 } una base de un espacio vectorial V . Sean
V1 = B1 + B2 − B3 ,
V2 = B1 − B2 + B3 ,
V3 = B1 + 5B2 − 5B3 .
¾Es {V1 , V2 , V3 } una base de V ? Sea φ : V 7→ V el endomorsmo dado por
φ(B1 ) = V1 ,
φ(B2 ) = V2 ,
φ(B3 ) = V3 .
Determinar la matriz asociada a φ con respecto a la base dada al principio en dominio y
codominio de φ y hallar su rango. Obtener bases de N ú φ e Im φ.
Solución: La matriz asociada a φ con respecto a la base {B1 , B2 , B3 } tienepor columnas a 
las
1
1
1
1 −1
5 .
−1
1 −5
Tiene rango 2; por consiguiente sus tres columnas son linealmente dependientes y {V1 , V2 , V3 }
no puede ser una base de V . Una base de Im φ puede ser {V1 , V2 }, que sí son linealmente
independientes. Una base del Nú φ es −3B1 + 2B2 + B3 ya que (−3, 2, 1) es una solución del
sistema homogéneo correspondiente a la matriz asociada a φ.
componentes de V1 , V2 , V3 con respecto a la base dada. Luego esta matriz es 
6. Hallar las soluciones, si existen, de los siguientes sistemas de ecuaciones (en cada caso se da
la matriz ampliada):
(a)


1 −2
1
1
2
 3
0
2 −2 −8 


 0
4 −1 −1
1 
−1
6 −2
0
7
6
(b)

(c)


1 −2
1
1
2
 3
0
2 −2 −8 


 0
4 −1 −1
1 
5
0
3 −1 −3
1
 0

 4
0
(d)
0
1
0
4
2
0
5
0
0
2
0
5
3
0
6
0
0
3
0
6

1
0 

0 
1


1
1 4
 2 −3 7 
3
2 8
(e)


1
1 −1 0
 4 −1
5 0 
6
1
3 0
(f)

(g)

(h)
(

1
2 −1 0
 3 −3
2 0 
−1 −11
6 0

1
2 −1
2
 2
3
5
5 
−1 −3
8 −1
1 1 −1
2 3
3 2
1 −1 5
7
)
.
Matemáticas.
PROBLEMAS. 4
1. Si A y B son matrices cuadradas de orden dos, probar que la traspuesta de su suma es la
suma de las traspuestas. La traspuesta de su producto es el producto, en orden inverso, de las
traspuestas de las matrices.
2. Sea Mn el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n. En los siguientes casos
determinar si el conjunto S es subespacio de Mn . En caso armativo dar una base de S .
(a) S : conjunto de las matrices diagonales
(b) S : conjunto de la matrices triangulares superiores
(c) S : conjunto de las matrices simétricas
(d) S : conjunto de las matrices denidas positivas
(
(e) S = {A ∈ M2 : A =
(
(f) S = {A ∈ M2 : A =
a b
−b c
)
a 1+a
0
0
a, b, c ∈ R}
,
)
,
a ∈ R}.
Ayuda: Los ejemplos de (a), (b), (c) y (e) son subespacios. Los otros dos, no.
3. Para una matriz cuadrada probar que la suma con su traspuesta es una matriz simétrica.
4. Determine todas las matrices A de M2 que satisfacen A2 = O, donde O es la matriz nula
de M2 . ¾Forman estas matrices un subespacio de M2 ?
Solución: Sea |A| el determinante de A. Como 0 = |A2 | = |A|2 , las dos las de A deben ser
linealmente dependientes, es decir, una de ellas es múltiplo de la otra. Sean (a, b) y (ca, cb)
la primera y segunda las de A, respectivamente. La condición A2 = O determina las cuatro
ecuaciones a(a + cb) = 0, b(a + cb) = 0, ac(a + cb) = 0 y bc(a + cb) = 0. De la segunda
ecuación sigue que o bien b = 0 o a + cb = 0. Si b = 0, entonces de la primera ecuación se
deduce que a = 0 y por lo tanto también a + cb = 0. Luego esta última condición es necesaria
2
2
y suciente
para que
(
) A = O. En denitiva, las matrices A que satisfacen A = O son de la
forma
−cb b
−c2 b cb
, con b y c números reales arbitrarios. No son un subespacio de M2 porque
la suma de dos matrices de esta forma puede no ser de la misma forma.
5. Determine si los siguientes sistemas de vectores son linealmente independientes:
(a) En R2 ,
{(1, 2), (−1, −3)} y {(−3, 2), (1, 0), (4, −5)}
(b) En R3 , {(2, −1, 4), (4, −2, 8)} y {(−3, 4, 2), (7, −1, 3), (1, 1, 8)}
{(
(c) En M2 ,
2 0
3 4
) (
) (
) (
)}
−3 −2
1
0
11
2
,
,
,
.
7
1
−1 −3
−5 −5
8
6. Compruebe que las siguientes aplicaciones entre los espacios vectoriales que se indican son
lineales y obtenga en cada caso su núcleo e imagen. Halle la matriz asociada a cada aplicación
lineal con respecto a la base canónica del espacio.
(a) φ : R2 7→ R2 ,
φ(x1 , x2 ) = (x1 , 0)
(b) φ : R3 7→ R2 ,
φ(x1 , x2 , x3 ) = (x3 , x2 )
(c) φ : R2 7→ R,
φ(x1 , x2 ) = x1 + x2
(d) φ : R4 7→ R2 ,
φ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x3 , x2 + x4 )
(
)
1 2
(e) φ : M2 →
7 M2 , φ(A) = AB , donde B =
0 1
(f) φ : M2 7→ M2 ,
φ(A) = A + traspuesta de A.
Solución de (f): Llamemos tr(A) a la traspuesta de la matriz A. Tenemos
φ(A + B) = A + B + tr(A + B) = A + tr(A) + B + tr(B) = φ(A) + φ(B).
Además, φ(cA) = cA + tr(cA) = cA + c tr(A) = c(A + tr(A))
. Luego
φ es
) lineal.
)
(
( = c(φ(A))
0 1
1 0
, B3 =
, B2 =
La base canónica de M2 es {B1 , B2 , B3 , B4 }, donde B1 =
(
)
(
0 0
)
0 0
0 0
0 0
. Es φ(B1 ) = B1 + tr(B1 ) = 2B1 , φ(B2 ) = B2 + tr(B2 ) = B2 + B3 ,
y B4 =
0 1
1 0
φ(B3 ) = B3 + tr(B3 ) = B2 + B3 y φ(B4 ) = B4 + tr(B4 ) = 2B4 . Luego la matriz asociada a φ
es


2 0 0 0
 0 1 1 0 


 0 1 1 0 .
0 0 0 2
Esta matriz tiene rango 3. Sus dos primeras y cuarta columnas son linealmente independientes.
Luego una base de Imφ es {2B2 , B2 + B3 , B4 }. Una solución linealmente independiente del
sistema homogéneo correspondiente a la matriz asociada es (0, −1, 1, 0). Por lo tanto una base
del Núφ es B3 − B2 .
7.
(a) Si A y B son matrices que se pueden multiplicar entonces probar que rango de AB ≤
min{rango de A, rango de B}
Solución: Sean φA y φB dos aplicaciones lineales que tienen a A y B por matrices asociadas, respectivamente. Entonces AB es la matriz asociada a la composición φA ◦ φB .
La aplicación φA actúa sobre la imagen de φB . Luego la dimensión de la imagen de
φA ◦ φB = φA (ImφB ), que es precisamente el rango de AB , tiene que ser menor o igual
que la dimensión de ImφB , que es el rango de B , y también menor o igual que la dimensión de ImφA , que es el rango de A.
(b) Si A, B y C son matrices cuadradas, donde A es no singular, entonces probar que rango
de AB = rango de B y rango de CA = rango de C .
Solución: Con la misma notación del apartado anterior, tenemos que φA actúa sobre la
imagen de φB , cuya dimensión es el rango de B . Como A es no singular se deduce que φA
9
es una aplicación biyectiva. Luego la dimensión de la imagen de φA ◦ φB = φA (ImφB ),
que es el rango de AB , es igual a la dimensión de ImφB , el rango de B . La otra igualdad
se prueba de manera análoga.
8. Calcule los siguientes determinantes:
2 1
2 0 3 −1 , 4 1
1 1
1 −2 4 −1 1 2 0
0
1
1 3 0 3 2 1
,
2 −1
1 0 0 4 1 2
3
1
2 5 3 1 5 7
−5 0 0 0
7 2 0 0
,
−9 4 1 0
96 2 3 1
.
9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

 

3 1 −1 0
2 −1
1 1
 1 1
1 0 , 1
3 −2 0  ,
0 1 −1 0
4 −3
1 2

 
1
2 −3
5 10
4
1
1
1 1
 1 −1

1 −4 −1 1 
2 −3 0 
.
, 2

 2
1
1
1 0 
1
3
5 0   1
−1 −1 −1
1 4
1
1 −1 −1 2

10. Determine una base del subespacio de R3 dado por el sistema de ecuaciones lineales que se
indica:
(a)
x1 + x 2 + x3 = 0
x1 − x2 = 0
x 2 + x3 = 0
(b)
2x1 − 3x2 + x3 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
(c)
2x1 + 7x2 = 0
x1 − 2x2 + x3 = 0
(d)
2x1 − 3x2 + x3
x1 + x 2 − x3
3x1 + 4x2
5x1 + x2 + x3
10
=
=
=
=
0
0
0
0.
11. Sea S un subespacio de un espacio euclídeo. Pruebe que un vector del espacio es ortogonal
a S si y sólo si es ortogonal a una base de S .
12. Sea S un subespacio de dimensión 2 de E 4 ,
S = ⟨(1, −1, 0, 1), (2, 0, −2, 0)⟩
(a) Encuentre una base de S ⊥
(b) Describa a S mediante un sistema homogéneo de ecuaciones
(c) Encuentre una base ortonormal de E 4 que contenga a dos vectores de S .
Solución: El subespacio S ⊥ consiste de los vectores (x1 , x2 , x3 , x4 ) que satisfacen
x1 − x2 + x4 = 0
2x1 − 2x3 = 0
Una base de este subespacio es {(0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)}.
Como S = (S ⊥ )⊥ , sigue que S consiste de los vectores (x1 , x2 , x3 , x4 ) que satisfacen
x2 + x 4 = 0
x1 + x2 + x 3 = 0
Por denición de S ⊥ , cualquier vector de este subespacio es ortogonal a todo vector de S .
Encontramos ahora dos vectores ortogonales de S . Uno de ellos es (1, −1, 0, 1). Para obtener
el otro consideramos el vector (1, −1, 0, 1) + a(2, 0, −2, 0) y hallamos el valor de a que anula
el producto escalar de este último vector con (1, −1, 0, 1). Así concluimos que (1, −1, 0, 1) y
(−2, −1, 3, 1) están en S y son ortogonales. Procediendo análogamente llegamos a que (0, 1, 0, 1)
y (2, 1, 2, −1) están en S ⊥ y son ortogonales. Entonces
{(1, −1, 0, 1), (−2, −1, 3, 1), (0, 1, 0, 1), (2, 1, 2, −1)}
es una base ortogonal de E 4 . Una base ortonormal se obtiene multiplicando cada vector por el
inverso de su norma.
13. Halle una base ortogonal para los subespacios de E 3 obtenidos en el ejercicio 10.
14. Indique cuáles de las siguientes matrices simétricas son denidas positivas:

 
1 2 1
 2 0 3 ,
1 3 2

 
1 −1
0
 −1
2 −1  , 
0 −1
3
 
1
0 0
1 0


0 −2 0 , 0 5
0
0 1
0 0
 
2 1 −1
2
1 1
0 , 1
−1 0
2
−3

0
0 ,
2

1 −3
2
0 .
0
1
15. Encuentre una base ortonormal de R3 con respecto al producto escalar dado por las matrices
del ejercicio anterior que son denidas positivas, suponiendo que se las considera referidas a la
base canónica de R3 . Exprese ese mismo producto escalar mediante una matriz diagonal.
11
Matemáticas.
PROBLEMAS. 5
1. Si A es una matriz triangular, cuál es su polinomio característico y cuáles son sus autovalores?
2. Encuentre el polinomio característico, los autovalores y las bases para los autoespacios de
las siguientes matrices.
) (
) (
1 2
3 2
−2
,
,
3 2
−1 0
1

 
 
4 0 1
1 −3 3
3
 −2 1 0  ,  3 −5 3  ,  2
−2 0 1
6 −6 4
1
(
) (
1 4
,
2 3
 
1 1
1


4 2 ,
1
1 3
−1
−7
2
)
,

2
2
2 −1  .
1
4
3. Encuentre los autovalores y autovectores de las siguientes matrices. Demuestre que los
autovectores forman un espacio de dimensión 1.

 
1 1 0
1 1 1
 0 1 1 ,  0 1 1 .
0 0 1
0 0 1

4. Halle los autovalores y una base para los autoespacios de las siguientes matrices.



0
−1 0
1
 0
 −1 3
0 , 
 0
−4 13 −1
1
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0 
.
1 
0
5. Halle los autovalores y una base para los autoespacios de las siguientes matrices.
) (
1
,
2

 
−1
2
2
3
 2


2
2 ,
0
−3 −6 −6
0
(
2 4
5 3
2
−2
) (
,
3 2
−2 3
 
2
1
−1


1
2 ,
−3
1 −1
−3
)
,

4 −2
4
0 .
1
3
6. Sea A una matriz cuadrada. Demuestre que los autovalores de A⋆ (traspuesta de A) son los
mismos que los de A.
Solución: Es consecuencia de que el determinante de una matriz cuadrada coincide con el
determinante de su traspuesta.
7. Sea M una matriz no singular. Si λ es un autovalor de M , demuestre que λ ̸= 0 y que λ−1
es un autovalor de M −1 .
Solución: Sea φM la aplicación lineal que tiene a M como matriz asociada. Como M es no
singular, φM es biyectiva. Por denición de autovalor se tiene que existe un autovector A de
12
φM tal que φM (A) = λA. Luego λ no puede ser cero porque A ̸= O y φM es automorsmo.
−1
Aplicando la inversa φ−1
M en la igualdad anterior se obtiene que A = λφM (A). Es decir,
−1
−1
φ−1
es un autovalor de φ−1
M (A) = λ A, y en consecuencia λ
M y A es también un autovector
−1
de φM .
8. Sea V el espacio vectorial sobre R generado por las funciones de R en R, x 7→ sen x, x 7→ cos x.
Tiene la derivada (considerada como una aplicación de V en V ) autovectores en V ?. Si es así,
cuáles son?
Solución: El espacio V consiste de todas las funciones de la forma a sen x + b cos x, con a y
b números reales arbitrarios. Si D es la aplicación lineal derivada tenemos (que D(sen
) x) =
0 sen x + cos x, D(cos x) = −sen x + 0 cos x. Luego la matriz asociada es
0 −1
1
0
. Su
polinomio característico es λ2 + 1, que no tiene ningún autovalor real. Por lo tanto la derivada
no tiene autovectores en este espacio.
9. Sea φ un endomorsmo en un espacio V de dimensión n. Supongamos que existe una base
de autovectores en V que consta de n autovalores distintos. Muestre que todo autovector de φ
es un múltiplo escalar de algún vector de la base antedicha.
Solución: Sea {B1 , B2 , . . . , Bn } una base de autovectores de φ con autovalores λ1 , λ2 , . . . , λn ,
respectivamente. Supongamos que estos autovalores son distintos entre sí, y sea A = a1 B1 +
a2 B2 +. . .+an Bn un autovector de φ , o sea φ (A) = λA para algún real λ. Luego λA = φ (A) =
a1 φ (B1 ) + a2 φ (B2 ) + . . . + an φ (Bn ) = a1 λ1 B1 + a2 λ2 B2 + . . . + an λn Bn . Usando el desarrollo
de λA como combinación lineal de la base queda
a1 (λ1 − λ)B1 + a2 (λ2 − λ)B2 + . . . + an (λn − λ)Bn = O.
Luego todos los coecientes deben ser iguales a cero. Como A es un autovector, no todos los ai
pueden ser nulos. Supongamos a1 ̸= 0. Se deduce que λ = λ1 . Esto implica que λ ̸= λi para
i ̸= 1. Luego ai = 0 para i ̸= 1. Se concluye que A = a1 B1 .
10. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Pruebe que los autovalores de AB son
los mismos que los de BA.
Solución: Sean φ A y φ B los endomorsmos con matrices asociadas A y B , respectivamente.
Luego φ A ◦ φ B tiene a AB por matriz asociada. Sea λ un autovalor de AB . Esto es,
(φ A ◦ φ B )(V ) = λV para algún autovector V . Si aplicamos φ B a esta igualdad, queda
(φ B ◦ φ A )(φ B (V )) = λφ B (V ).
Luego λ es también un autovalor de φ B ◦ φ A , con autovector φ B (V ). Es decir, λ es también
un autovalor de BA. La prueba de que un autovalor de BA lo es también de AB es análoga.
11. Halle el máximo y el mínimo, sobre la esfera unitaria, de las formas cuadráticas asociadas
a las siguientes matrices.

 

1 −1
0
2 −1
0
 −1
2 −1  ,  −1
2 −1  .
0 −1
1
0 −1
2
Solución: Una matriz simétrica M es diagonalizable. En el caso de orden 3, la forma cuadrática
13
asociada es la función F : R3 7→ R dada por
F (x, y, z) = (x

y

x
z) M  y  .
z
El máximo y mínimo sobre la esfera unitaria de la forma cuadrática asociada están entre sus
autovectores de norma 1. Se corresponden al mayor y menor autovalor, respectivamente.
Los autovectores ortonormales de la primera matriz son
1
√ (1, −2, 1),
6
1
√ (−1, 0, 1) y
2
1
√ (1, 1, 1),
3
correspondientes a los autovalores 3, 1 y 0, respectivamente. El primer autovector es un
máximo,
un mínimo.
son
√ matriz √
√ y el tercero,
√ Los autovectores ortonormales de la segunda
1
1
1
(1, − 2, 1), √2 (−1, 0, 1) y 2 (1, 2, 1), correspondientes a los autovalores 2 + 2, 2 y 2 − 2,
2
respectivamente. El primer autovector es un máximo, y el tercero, un mínimo.
12. Halle el máximo y el mínimo, sobre la circunferencia unitaria, de la función
f : R2 7→ R, f (x, y) = 2x2 + 8xy − 4y 2 .
Ayuda: Esta función de dos variables es una forma cuadrática, a saber
(
(x y)
2
4
4 −4
)(
x
y
)
.
Calcular sus dos autovectores ortonormales. Uno de ellos será el máximo, y el otro el mínimo.
14
Matemáticas.
PROBLEMAS. 6
1. Calcular los siguientes límites para n → ∞:
n6 + 3n + 1
(a) lim 5
n + 7n2 + 2
(b) lim
n2 − 1
n2 + n + 1
(c) lim
6n3 + 2n + 1
n3 + n2
n5 + 3n + 1
n6 + 2n2 + 1
(
)
1
1
1
(e) lim (n + 1) 2 − n 2 (n + 1/2) 2 .
(d) lim
2. Calcular lim nk para k > 0, k = 0, k < 0.
n→∞
3. Calcule los siguientes límites para n → ∞:
(a) lim
1
n + (−1)n
(b) lim (10n /n!)
(c) lim (5n + (−3)n )
(d) lim (2−n cos nπ).
4. Calcule los siguientes límites para n → ∞:
(a) lim
n
cos(1/n)
n+1
(b) lim (3n sen (2/n))
(c) lim
n−2
log n
3n + 5
log n
3−n2
cos nπ
(e) lim
n
(
)
1
(f) lim 1 +
an , con a > 0, 0 < a < 1, a = 1, a < 0.
n
(d) lim
15
5. Para b > 1 calcule los siguientes límites para n → ∞, indicando la indeterminación en cada
caso:
(
(a) lim b1/n
2
(
(b) lim b−n
2
(
)−n2
)(−1)n /n
(c) lim b−1/n
(
(d) lim bn
(
2
)n2
)−1/n
−n2
(e) lim b
)−1/n
(f) lim (b/n)n
(g) lim
1 3
n
3n2
(h) lim
(−1)n /(2n)
.
1/n
6. Calcule los siguientes límites:
(a) lim
(√
n→∞
n+
√
n−
√
)
n
(b) lim 21/n
n→∞
(c) lim (an + bn )1/n con a ≥ b > 0.
n→∞
7. Calcule los siguientes límites para n → ∞:
(
1
(a) lim 1 + p
n
)n
para p > 1
(b) lim(1 − 1/n)n
(
)n
2−n
(c) lim 1 +
n
(
)n
2n − 3
.
(d) lim
2n + 4
8. Calcule los límites superior e inferior, para n → ∞, de las siguientes sucesiones:
{
(a) n2 (1 + (−1)n )
{
}
}
(b) (−1)n n2 + n .
16
Matemáticas.
PROBLEMAS. 7
1. Dar el término general de las siguientes series:
(a) 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + · · ·
(b) 1/1! + 4/2! + 9/3! + · · ·
(c) −1/3 + 1/(3 + 3!) − 1/(9 + 4!) + 1/(27 + 5!) + · · ·
2. Sumar
(a)
∞
∑
n=1
1
n(n + 1)
Solución: Escribimos
r (
∑
1
1
−
n n+1
n=1
)
r
∑
1
1
1
1
=
−
. Para r > 1, Sr =
=
n(n + 1)
n
n+1
n(n
+
1)
n=1
=1−
1
. Como limr→∞ Sr = 1, se deduce que
r+1
∞
∑
n=1
(b)
∞
∑
n=1
(c)
∞
∑
n=1
(d)
∞
∑
n=1
1
= 1.
n(n + 1)
1
n(n + 2)
1
n(n + 1)(n + 2)
1
(2n + 1)(2n + 7)
3. Clasicar las siguientes series
(a)
∞
∑
n−1
n=1
(b)
(c)
∑∞
1√
n=1 n+ n
∞
∑
n=1
(d)
n2
∞
∑
n=1
1
√
n n
√
1
n(n + 1)
17
(e)
∞
∑
1.3.5 . . . (2n − 1)
2.4.6 . . . 2n
n=1
(f)
∞
∑
n=1
(g)
∞
∑
n=1
(h)
1
2.4.6 . . . 2n
1.3.5 . . . (2n − 1) 2n + 1
1
(2n + 1)!
∞
∑
n2
n=1
(i)
3n
)n2
∞ (
∑
n+1
n
n=1
(j)
1
2n + 1
∞
∑
/3n
an sen 2 (nα),
0<a<1
n=1
(k)
∞
∑
n=1
n
(2n + 1)!
∞
∑
n!
(l)
nn
n=1
∞
∑
1.3.5 . . . (2n − 1) 1
(m)
2.4.6 . . . 2n 5n
n=1
(n)
∞
∑
n=1
(o)
∞
∑
(2n
√
n=1
(p)
∞
∑
n=2
(q)
∞
∑
n=1
(r)
∞
∑
n=1
(s)
∞
∑
n=2
(t)
∞
∑
1
+ x)
n+
1
√
n+1
1
log n
1
n − 3/2
√
n
2n3 + 1
1
(log n)2
e−(n
2 +1)1/2
n=1
18
4. ¾Para qué valores de a y b es convergente
a a(a + 1) a(a + 1)(a + 2)
+
+
+ · · ·?
b
b(b + 1)
b(b + 1)(b + 2)
Solución: Aplicamos un criterio para series de términos positivos ya que a partir de un n
grande los términos de la serie mantienen un signo constante. El término general es an =
a(a + 1) . . . (a + n − 1)
a
a+n
. Luego n+1 =
. Este cociente tiende a 1 cuando n → ∞. Luego
b(b + 1) . . . (b + n − 1)
an
b+n
el (criterio de )D'Alembert no da una respuesta. Para aplicar el criterio de Raabe escribimos
a+n
n(b − a)
=
, que tiende a b − a cuando n → ∞. Sigue que la serie es
n 1−
b+n
b+n
convergente cuando b − a > 1 y divergente cuando b − a < 1 y a no es ni cero ni un
a
entero negativo. Si b − a = 1 el término general queda
y en este caso la serie resulta
b+n−1
divergente si a ̸= 0. Resumiendo, la serie es absolutamente convergente si a = 0 o un entero
negativo o bien b − a > 1, y divergente en todo otro caso. Hay que suponer que b no es
cero ni ningún entero negativo para que no se anule ningún denominador del término general.
5. Estudiar el carácter de la convergencia de las series
∞
∑
(−1)n
(a)
n=1
1
log(n + 1)
∞
∑
(b)
(−1)n nα enβ ,
n=1
Solución: Si
α y β reales
(
)1/n
β < 0, entonces lim nα enβ
= eβ < 1 y por el criterio de Cauchy la
n→∞
serie es absolutamente convergente. Si β > 0, entonces lim nα enβ = ∞ y la serie no
n→∞
cumple la condición necesaria de convergencia. Consideremos β = 0. Si α < −1,
la serie es absolutamente convergente. Si −1 ≤ α < 0, la serie es convergente (por el
criterio de Leibnitz) pero no absolutamente convergente. Por último, si α ≥ 0 no se
cumple la condición necesaria de convergencia.
∞
∑
n3
(c)
(−1)n+1 n .
2
n=1
19
Matemáticas.
PROBLEMAS. 8
1. Probar por la denición de límite que
(a)
(b)
lim 5 x = 5;
x→1
(c)
lim x2 = 9;
x→3
lim (x2 − 5x) = 6.
x→−1
2. Calcular
(a)
(k)
x4 − 2x + 3
;
x→2
5 − x2
3x2 − 2x
x3 − 8
x4 − 81
;
(c) lim
;
(d) lim 2
;
x→0 9x + 2
x→2 x − 2
x→3 x − 9
√
√
2x + 1
1+x− 1−x
2x − 3
;
(f) lim
;
(g) lim 2
;
(e) lim
2
x→0
x→0
x→1 x − 2x + 1
x
x
x−1
2x2 + x − 3
4x3 − 1
(h) lim 2
;
(i) lim 2
;
(j) lim
;
x→∞ x + 1
x→∞ 3x − 2x + 1
x→∞ x + 5
)
( 2
√ √
√
x − 1 x2 + 1
lim
−
;
(l)
lim x sen x;
(m)
lim
x( x + a − x).
x→∞
x→+∞
x→+∞
x+2
x−2
lim
(b)
lim
3. Demostrar que
1−x
(a) Si f (x) = ln
entonces f (x) + f (y) = f
1+x
(
x+y
1 + xy
)
.
Ayuda: Debe probarse que
1−
1−x
1−y
ln
+ ln
= ln
1+x
1+y
1+
x+y
1+xy
x+y
1+xy
.
Usar que ln(a) + ln(b) = ln(ab) y que el logaritmo es una función inyectiva.
√
(b) Si g(x) = ln(x + x2 − 1) entonces 2g(x) = g(2x2 − 1).
(c) Si h(x) =
1
entonces h(h(h(x))) = x.
1−x
4. Demostrar que
lim sen x y
x→+∞
lim sen
x→0
1
x
lim x sen
x→0
no existen. En cambio, probar que
1
= 0.
x
, . . ., que tienden a ∞.
Solución: Sean las sucesiones π, 2π, . . . , nπ, . . . y π2 , 3π2 , . . . , (2n−1)π
2
π
3π
Las sucesiones sen π, sen 2π, . . . , sen nπ, . . . y sen 2 , sen 2 , . . . , sen (2n−1)π
,...
tienden
2
obviamente a cero y a uno, respectivamente. Luego el límite para x → ∞ no puede existir.
Por lo tanto tampoco puede existir lim sen x1 para x → 0 ya que x1 → ∞ si x → 0. Por otro
lado, como sen x1 es una función acotada se concluye que limx→0 x sen x1 = 0.
20
5. Sabiendo que
sen x
= 1 calcular
x→0
x
lim
tg x
;
x→0 x
(a)
4sen 3x
;
x→0
7x
(d)
lim
sen 5x
;
x→0 sen 8x
lim
sen x − sen a
;
x→a
x−a
sen x
(h) lim+
x→0
|x|
(f)
lim
lim
ex − 1
= 1 calcular los siguientes límites:
x→0
x
lim
e−ax − e−bx
;
x→0
x
(a)
(c)
lim
sen (x − 1)
;
x→1
x−1
sen x
(g) lim−
;
x→0
|x|
(e)
6. Sabiendo que
sen 3x
;
x→0
x
(b)
lim
lim
sh x
;
x→0 x
(c)
1
;
x→1 (x − 1)2
(c)
(b)
lim
;
(d)
ex − esen x
.
x→0 x − sen x
1
;
x→1 1 − x2
(d)
π
lim e1/x sen .
x→0
x
lim
x→0
th ax
x
lim
7. Calcular
1
;
x→1 x − 1
(a)
(b)
lim
lim
lim
8. Sean dos funciones denidas en el mismo dominio. Si en un punto del dominio una de ellas
es continua y la otra discontinua probar que la suma es discontinua en ese punto. ¾Qué ocurre
si ambas son discontinuas? Analizar el mismo caso para el producto en lugar de la suma.
9. Estudiar la continuidad y clasicar el tipo de discontinuidad, en los puntos que corresponda,
para las funciones f : R 7→ R cuyas expresiones son las siguientes:
(a)
(b)
f (x) = [x] (parte entera de x).
{ x2 −1
si x ̸= −1
x+1
f (x) =
5
si x = −1
(c)
f (x) = [x] + [−x].
(d)
f (x) = x sig (sen x).
10. Para cada una de las siguientes expresiones determinar campo de denición, puntos de
discontinuidad, ceros e intervalos donde es positiva y negativa (para esto último usar el Teorema
de Bolzano):
(a) 2x + 3;
(b) 2x2 + 2x − 4;
(e) (x − 1)(x2 − 2x + 1);
(i)
x
;
2
x −1
(j)
√
x−
(f)
√
4 − x;
(m) e−x ;
2
(c) x2 − 2x + 1;
(d)
3
+ 2;
x−1
√
√
(k)
8 + x − 8 − x;
1
;
x−3
(g)
(n) ex − 1;
11. Utilizando el Teorema de Bolzano calcule el número
21
− x3 + 3x2 ;
(h)
x2
1
;
+1
(l) (1 − x2 )1/3 ;
(o) 1 + ln x.
√
5
2 con tres decimales exactos.
Matemáticas.
PROBLEMAS. 9
1. Calcular por denición las derivadas de
• y = x2
• y = 1/x2
en cualquier punto de su campo de denición.
Solución: Para la función f : R \ {0} 7→ R, f (x) =
2
2
limh→0 xhx−(x+h)
2 (x+h)2
=
−2xh−h2
limh→0 hx
2 (x+h)2
limh→0 x−2x−h
2 (x+h)2
=
se tiene que f ′ (x) = limh→0
= − x23 .
1
x2
1
− 12
(x+h)2
x
h
=
2. Calcular por denición las derivadas laterales, en los puntos que se indican, de las siguientes
funciones:
(a) |x| + |x − 2|, en 0 y 2
(b) 5x + |x − 1| + 3|x + 2|, en −2 y 1
(c) x|x| + 2, en 0.
3. Probar que f : R 7→ R no es derivable en el origen mientras que g : R 7→ R sí lo es, donde
{
f (x) =
y
{
g(x) =
x sen (1/x) si x ̸= 0
0
si x = 0
x2 sen (1/x) si x ̸= 0
0
si x = 0
4. Calcular la derivada de las siguientes funciones:
(a)
ln(sen x + cos x);
(e) x
1/x
;
(b)
√
ln cos 2x;
√
3x + a
(f) x √
;
2x + b
(c) e
(g) |sen x|x ;
3
sen x
√
;
(d) 2arctg
(h) |tg 3x|1/3 ;
ex
;
1 − ex
(i) (ln x)3 .
Solución de (g): Debido al valor absoluto la función y = |sen x|x será derivable en todo x que
no anule sen x, es decir, en todo x que no sea múltiplo entero de π . Como la función es una
potencia donde x está en la base y en el exponente, tomamos logaritmos: ln y = x ln |sen x|.
Derivando queda y ′ /y = ln |sen x| + x |sen1 x| sig (sen x) cos x. Luego
(
′
y (x) = |sen x|
x
)
x
ln |sen x| +
sig (sen x) cos x .
|sen x|
22
5. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las curvas dadas por
2x2 − 10x + 12 en x = 4;
(x2 − 1)2
en x = 2;
6. Verique que la función y = e−2x satisface la ecuación
5
x3 − x − 3 en x = −1.
2
y ′′ + 3y ′ + 2y = 0.
7. Para las siguientes funciones determinar extremos relativos, puntos de inexión, intervalos
de crecimiento y decrecimiento, concavidad, y representar sus grácos.
(a) 10 + 12x − 3x2 − 2x3
(b) 3x4 − 4x3 − 12x2
(c) a − b(x − c)1/3
(d) xex
(e)
x
− sen x.
2
8. Dos vértices de un rectángulo están sobre el eje x y los otros dos vértices están sobre las
rectas y = 2x y y = 30 − 3x. ¾Para qué valor de x será máxima su área?
9. Calcule los siguientes límites por la regla de L'Hospital:
sen ax
x→0 sen bx
(a) lim
tg 3x
x→π/2 tg x
(b) lim
ch x − cos x
x→0
x2
(c) lim
(d) lim
x→0
x
tg x
−1
x2
x(ex + 1) − 2(ex − 1)
x→0
x3
(e) lim
1 − (cos x)2
x→0
x2 sen x2
(f) lim
(g) lim
x→0
tg x − x
x − sen x
xx − x
.
x→1 ln x − x + 1
(h) lim
10∗ . Obtenga una raíz aproximada de la ecuación 8x − cos x − 2x2 = 0 utilizando los métodos
de bisección, posición falsa, secante y Newton.
23
Matemáticas.
PROBLEMAS. 10
1. Calcular las primitivas de las siguientes funciones:
(a) ax2 + bx + c
(b)
−x3 + x + 1
1 − x2
(c) x5/2 (6x2 − 3)
(d) x4 /5 + x + 1/x − 5/x4
(e) (tg x)2
(f)
1
.
(sen x cos x)2
2. Obtener la función f en los siguientes casos:
(a) f ′ (x) = 4x,
f (2) = 3
(b) f ′ (x) = 2/x1/2 ,
f (4) = 4
(c) f ′′ (x) = 2x2 − 5x + 2, f ′ (0) = 1, f (0) = 2.
Solución de (c): Como f ′′ (x) es la derivada de f ′ (x), sigue que f ′ (x) = 32 x3 − 52 x2 +2x+C1 .
La condición f ′ (0) = 1 determina que C1 = 1. Luego f (x) = 61 x4 − 56 x3 + x2 + x + C2 .
Como f (0) = 2 sigue que f (x) = 16 x4 − 56 x3 + x2 + x + 2.
3. Calcule las áreas limitadas por
(a) y = x2 /2,
x = 1,
x = 2 y el eje de las x
(b) y = 2 − x2 e y 3 = x2
(c) xy = 1,
x = 1,
x = 7 y el eje de las x
(d) la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1
Solución: Despejando y se deduce que la mitad del área viene dada por b
a
√
1−
x2
dx.
a2
−a
)
x2
x
Una primitiva de este integrando es
x 1 − 2 + a arcsen
. Aplicando la regla
a
a
de Barrow y multiplicando por dos sigue que el área total de la elipse es πab.
1
2
( √
∫
(e) y 2 = 8x y 2x − 3y + 8 = 0.
24
4. (a) Calcule el volumen del sólido de revolución engendrado por xy = 1, entre x = 1 y x = 10
(b) Calcule el volumen de un cono circular recto de altura h y base de radio r
(c) Calcule el volumen formado por rotación de la circunferencia
x2 + (y − b)2 = a2 ,
b > a,
alrededor del eje de las x (toro).
Solución: Se trata de una circunferencia centrada en (0, b) y de radio a. Como b > a, está
completamente situada sobre el eje de las x. Aplicamos la fórmula del volumen de un sólido de
revolución para la diferencia entre las semicircunferencias superior e inferior:
∫
a
π
(b +
√
∫
a2
−a
−
x2 )2 dx
−π
a
−a
(b −
√
∫
a2
−
x2 )2 dx
a
= 4πb
−a
√
a2 − x2 dx.
Observar que esta última integral es precisamente el área de un semicírculo de radio a, que es
πa2
. Luego el volumen buscado es 2π 2 a2 b.
2
5. Hallar el área del elipsoide de revolución engendrado por
y = (b/a)(a2 − x2 )1/2 , con b < a.
Solución: Según la fórmula del área de la supercie de revolución se debe calcular
√
∫ a√
2 x2
b
2πb
b2 x 2
2 − x2 +
a2 − x 2 1 + 2 2
dx
=
a
dx
a (a − x2 )
a −a
a2
−a
∫ √
∫ a√
2
2πb a
b
a2 − b 2 2
=
a2 − (1 − 2 )x2 dx = 2πb
1−
x dx.
a −a
a
a4
−a
√
Esta última integral se resuelve con la
sustitución cx = sen t, donde c = a2 − b2 /a2 . Una
√
2 x2
cx
primitiva del integrando es arcsen
+ x 1−c
. El área resulta ser igual a 2πb2 + 2πb
arcsen ca.
2c
2
c
2πb
a
∫
a
√
6. (a) Calcular la longitud del arco de parábola
abscisa 2
Solución:
Hay que calcular la√integral
√
y = x2 − 4 entre el vértice y el punto de
∫2√
1
x 1 + 4x2 + 14 sh −1 (2x) = 12 x 1 + 4x2 +
2
√
√
17 + 14 ln(4 + 17).
0
1
4
1 + 4x2 dx. Una primitiva del integrando es
√
ln(2x + 1 + 4x2 ). La longitud es
(b) Calcular la longitud del arco dado por
y = ch x, para a ≤ x ≤ b
(c) Calcule la longitud total de la hipocicloide
{
x = a cos3 t
y = a sen3 t,
0 ≤ t ≤ 2π .
Solución:
la longitud viene dada por
∫ 2π √ Aplicando la correspondiente fórmula,
∫ 2π
3a 0
cos4 t sen 2 t + sen 4 t cos2 tdt = 3a 0 | cos t sen t| dt. Como este integrando es una fun∫π
ción periódica de período π/2, la longitud es 12a 02 cos t sen t dt = 6a.
7. Usando la fórmula de Taylor, expresar un polinomio de segundo grado P (x) que satisfaga
P (0) = 2, P ′ (0) = P ′′ (0) = 6.
25
8. Obtener la fórmula del binomio de Newton aplicando la fórmula de Taylor a la función
f (x) = xn .
Solución: El polinomio de Taylor de xn desarrollado en x = a y (
de grado
n nos da el polinomio
)
x desarrollado en potencias de x − a, es decir,
n
n
x =
n
∑
n
i
an−i (x − a)i . Si ahora
i=0
)
n (
∑
n
sustituimos x por a + b queda (a + b)n =
an−i bi , que es la fórmula del binomio de
i
i=0
Newton.
9. Hallar el polinomio de Taylor de quinto grado en el punto
funciones:
x = 0 para las siguientes
(a) sen x
(b) ch x
(c) arcsen x
(d) ex
(e)
√
x+1
(f)
1
1+x
(g)
1
1 + x2
(h) ln(1 + x2 ).
10. Encuentre los primeros cinco términos no nulos del desarrollo de Taylor en
las funciones
∫ x
∫ x
e−t dt,
2
F (x) =
G(x) =
0
0
x = 0 para
sen t
dt.
t
Solución: El polinomio de Taylor desarrollado en 0 y de grado 4 de ex es
1+x+
x 2 x3 x4
+
+ .
2
6
24
Si sustituimos x por −t2 nos queda el polinomio de Taylor de e−t desarrollado en 0 y de grado
8:
4
6
8
2
1 − t2 +
t
t
t
− + .
2
6
24
Integrando este polinomio entre 0 y x obtenemos el polinomio de Taylor de F (x) desarrollado
en 0 y de grado 9:
x−
x9
x 3 x5 x7
+
−
+
.
3
10 42 216
Para la función G se procede análogamente, teniendo en cuenta que el integrando sent t ,
denido como 1 en t = 0, es también derivable en 0 y su polinomio de Taylor desarrollado en
cero se obtiene de dividir por t el polinomio de Taylor de sen t desarrollado en cero.
26
11∗ . Los siguientes datos (x, y) dan el número de viajeros y que suben al metro a la hora x en
una determinada estación: (8, 41), (9, 35), (10, 21), (11, 9), (12, 11), (13, 17), (14, 32).
(a) Calcule y represente el polinomio interpolador de grado 6 y utilícelo para dar una estimación del número de viajeros que suben al metro a las medias horas.
(b) Lo mismo pero usando ahora el spline interpolador lineal S1 .
12∗ . La solubilidad y del cloruro de amonio en el agua toma, a temperatura x, los valores
dados en la siguiente tabla (x, y): (10, 33), (20, 37), (30, 42), (40, 46), (50, 51), (60, 55). Calcule y
represente en un mismo gráco el spline interpolador lineal S1 y el spline interpolador cúbico
natural.
13∗ . Para n = 4 y n = 10 calcular y representar el polinomio interpolador de grado n de
1
n + 1 datos (x, y) obtenidos de la función f : [−5, 5] 7→ R, f (x) = 1+x
2 , para n + 1 valores
equidistantes de x. Calcular y representar también en ambos casos S2 , el spline interpolador
cuadrático con un nodo intermedio.
14∗ . Dar una estimación de la derivada de la función del ejercicio anterior utilizando los
interpoladores allí obtenidos.
∫
15∗ . Aproxime la integral 0π/4 e3x sen 2x dx mediante la regla del trapecio y la regla de Simpson
utilizando 5 nodos equidistantes.
∫
16. La fórmula de cuadratura 02 f (x) dx = c0 f (0) + c1 f (1) + c2 f (2) es exacta para polinomios
de grado menor o igual a 2. Determine c0 , c1 y c2 .
∫
5
1
17∗ . Aproxime la integral −5
dx mediante la regla del trapecio, la regla de Simpson y
1+x2
la fórmula de Newton-Cotes utilizando 11 nodos equidistantes. Usando el mismo número de
nodos aproxime ahora la integral mediante la fórmula de cuadratura de Gauss.
27
Matemáticas.
PROBLEMAS. 11
1. Representar geométricamente las inecuaciones siguientes:
a) y ≥ x; b) x2 − x > 0; c) y 2 − xy ≤ 0; d) xy + x2 ≤ x; e) x(x2 − 1) > 0.
2. Indicar los campos de existencia de las siguientes funciones:
a) z = (cos xy)1/2 ; b) z = ln(x + y 2 ); c) z = (1 − x2 − y 2 )1/2 ;
d) z = x2 + y 2 ; e) z =
ln(1−x2 −y 2 )
x2 −y 2
; f) u = ln(1 − x2 − y 2 − z 2 ).
3. Representar mediante curvas de nivel las funciones
a) z = x − y + 1; b) z = x2 − y 2 ; c) z = x/y ;
d) z = xy ; e) z = 6x2 + 3y 2 ; f) z = y 2 − 6x.
3. Determinar las ecuaciones de las supercies de nivel de la función
−y −z |
u = ln |1−x
.
x2 +y 2 +z 2
2
2
2
4. Calcular el límite y los límites sucesivos, en el origen, de las siguientes funciones:
a) z =
2
z = x2x+yy 2 .
x
x+y
; b)z =
x−y
x+y
; c)z =
xy+x+y
x−y
; d)z = x2 + y 2 ; e) z = x2 − y 2 ; f) z = xy ; g)
xy
x2 +y 2
; h)
Solución: En (a), (b), (c), (f) y (g) el límite no existe. En (d) y (e) el límite es cero. En (h)
2
2
escribimos x2x+yy 2 = x2x+y2 y . La fracción está acotada por 1 fuera del origen mientras que el
segundo factor tiende a cero. Luego el límite es cero.
x2
5. Probar que en un entorno del origen la función z = e x2 +y2 toma cualquier valor comprendido
entre 1 y e. Calcule los límites sucesivos.
Solución: La fracción del exponente vale cero para x = 0, y ̸= 0, y e0 = 1. Vale uno para y = 0,
x ̸= 0, y e1 = e. Luego limy→0 limx→0 z(x, y) = 1 y limx→0 limy→0 z(x, y) = e. Por lo tanto el
límite en el origen no existe.
6. La función f (x, y) = x4x+yy 2 , f (0, 0) = 0, tiene límite radial igual a cero en el origen. Probar
que no es continua en el origen.
2
Solución: La función se anula en x = 0. En y = ax, x ̸= 0, y a jo pero arbitrario, vale
ax3
= x2ax
, que tiende a cero cuando x → 0. Sin embargo, si y = x2 , x ̸= 0, la función
x4 +a2 x2
+a2
vale 1/2. Luego no existe el límite en el origen.
7. Probar que las funciones f (x, y) =
continuas en el origen.
xy
,
(x2 +y 2 )1/2
f (0, 0) = 0 y g(x, y) = y sen πx , f (0, 0) = 0, son
28
Solución: Escribimos f (x, y) = √
x
x2 + y 2
y . La fracción es una función acotada en valor
absoluto por 1 mientras que y → 0. Luego el producto tiende también a cero. Para la función
g se usa el mismo argumento.
8. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) z = yx−1 ; b) z = x3 y + arctg xy ; c) z = x + sen xy ;
d) z = ex ln y ; e) z = x3 y + arcsen x.
9. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) u = x2 y + yz − xz 2 ; b) u = xyz + ln xy ;
c)u = z arcsen xy ; d) u = (x2 + y 2 + z 2 )−1 .
10. Estudiar la continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en el origen de las siguientes
funciones:
a) f (x, y) =
xy
,
(x2 +y 2 )1/2
f (0, 0) = 0;
Respuesta: Es continua y derivable pero no diferenciable.
b) f (x, y) =
xy
,
x2 +y 2
f (0, 0) = 0;
Respuesta: No es continua aunque existen las dos derivadas parciales, con valor cero.
c) f (x, y) =
x3 −y 3
,
x2 +y 2
f (0, 0) = 0;
Respuesta: Es continua y derivable pero no diferenciable.
1
d) f (x, y) = (x + y)sen x+y
, f (x + y) = 0 si x + y = 0;
Respuesta: Es continua pero no derivable.
1
e) f (x, y) = (x + y)2 sen x+y
, f (x + y) = 0 si x + y = 0.
Solución: Es continua y las dos derivadas parciales se anulan en el origen. Veamos que es
diferenciable. Escribimos
√
√
f (x, y) = f (0, 0) + xfx (0, 0) + yfy (0, 0) + ϵ(x, y) x2 + y 2 = ϵ(x, y) x2 + y 2 .
(x + y)2
1
. La función seno es acotada mientras que el otro factor se
x+y
x2 + y 2
√
2xy
x2 + y 2 + 2xy
= x2 + y 2 + √
. Usando la primera parte del ejercicio 7 sigue
escribe √ 2
x + y2
x2 + y 2
que
lim ϵ(x, y) = 0.
Luego ϵ(x, y) = √
sen
x,y→0
11. Si f (x, y) =
xy(x2 − y 2 )
, f (0, 0) = 0, pruebe que fxy (0, 0) ̸= fyx (0, 0).
x2 + y 2
Solución: Las dos derivadas parciales se anulan en el origen porque la función es cero tanto en
29
x = 0 como en y = 0. Fuera del origen se tiene que
fx (x, y) =
(3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) − 2x2 y(x2 − y 2 )
.
(x2 + y 2 )2
Luego fx (0, y) = −y y fxy (0, y) = −1. En particular, fxy (0, 0) = −1. Por otro lado, fuera
del origen es
fy (x, y) =
(x3 − 3xy 2 )(x2 + y 2 ) − 2xy 2 (x2 − y 2 )
.
(x2 + y 2 )2
Luego fy (x, 0) = x y fyx (x, 0) = 1. En particular, fyx (0, 0) = 1.
12. a) Calcule la derivada direccional de la función z = x2 y + sen xy en el punto (1, π/2) para
un valor del ángulo α de 45 grados.
b) Lo mismo para la función z = x3 y + eyx en (1,1) para α = 30 grados.
c) Dado el paraboloide hiperbólico z = 2x2 − 3y 2 , halle en el punto (3,2,6) la pendiente
direccional máxima.
Ayuda: Para una función diferenciable f (x, y) la derivada direccional en (a, b) viene dada por
fx (a, b) cos α + fy (a, b) sen α.
d) Para la supercie dada por z = (x2 +yxy2 )1/2 halle en el origen las pendientes en cada
dirección y las direcciones en que son máximas.
Observación: Esta función no es diferenciable en el origen. Debe calcularse su derivada direccional por denición.
13. Calcular las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal de las siguientes supercies:
a) z = x2 + 2xy , en el punto (2,3,16);
b) z = cos(xy), en el punto (π/2, 2, −1);
c) z = 4x2 − 9y 2 , en el punto (x0 , y0 , z0 ).
Observación: La ecuación general del plano tangente es
z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ).
La ecuación de la recta normal es
t ∈ R.
x = x0 + fx (x0 , y0 )t, y = y0 + fy (x0 , y0 )t, z = z0 − t, con
14. Obtener las derivadas parciales de segundo orden de las funciones
f (x, y) =
ex − 2ey
z
y
f
(x,
y,
z)
=
xyarcsen
.
ex + 2ey
x
15. a) Calcule las derivadas primera y segunda de la función u = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 , si x =
cos t, y = sen t, z = t2 .
b) Calcule la primera derivada de z = arctg xy , donde x = sen (1 + t2 ), y = sen (1 − t2 ).
{
c) Compruebe que fx2 + fy2 = fr2 +
1 2
f
r2 φ
si
30
x = r cos φ
.
y = rsen φ
16. Hallar los máximos y mínimos de las siguientes funciones en los dominios indicados:
a) f (x, y) = 2x2 − 3y 2 − 2x en x2 + y 2 ≤ 1;
b) f (x, y) = 2x2 + y 2 + 2x en x2 + y 2 ≤ 1;
c) f (x, y) = 4xy − 2x2 − y 4 en |x| ≤ 2, |y| ≤ 2;
d) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy en |x| + |y| ≤ 5.
17. Estudiar la naturaleza de los puntos críticos de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = x2 − y 2 ; b) f (x, y) = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 ;
c) f (x, y) = 4x2 − 12xy + 9y 2 ; d) x4 − y 4 .
18. a) Hallar el máximo de f (x, y) = x2 + 12xy + 2y 2 entre los puntos (x, y) que satisfacen
4x2 + y 2 = 25.
x2
a2
b) Hallar el paralelepípedo rectángulo de mayor volumen inscrito en el elipsoide dado por
2
2
+ yb2 + zc2 = 1.
Respuesta: Se trata del paralelepípedo cuyo vértice en el octante positivo es
√
volumen es 8abc/ 27.
√1 (a, b, c)
3
. Su
19. a) Calcule el volumen limitado por z = x2 + y 2 , y = x2 y los planos y = 1, z = 0.
b) Volumen del sólido limitado por z = 0, el paraboloide z =
x2
a2
+ yb2 y el cilindro
2
x2
a2
+ yb2 = 1.
2
20. Verique que las integrales siguientes denen el volumen de un mismo sólido:
∫
4
∫
∫
1
(16−x2 ) 2
4
1
1
(x2 +y 2 ) 2
4
1
(16z 2 −x2 ) 2
0
0
∫
1
∫
4z
1
∫
4
dz dy dx,
dy dx dz,
0
0
∫
4
0
∫
1
∫
1
(16z 2 −y 2 ) 2
4
dx dz dy.
0
y
4
0
√
x2 + y 2
Respuesta: Se trata del volumen del cono de ecuación z =
, limitado por z = 1,
4
calculado con tres órdenes de integración distintos. El volumen es 16π/3.

 x+y =4
∫∫
3x + y = 4
21. a) Calcular T ex−y dx dy , siendo T el triángulo encerrado por las rectas

x + 3y = 4
b) Calcular
∫∫
y−x
e y+x dx dy , donde D es el triángulo de vértices (0,0),(0,1) y (1,0).
D
31
Matemáticas.
PROBLEMAS. 12
1. Vericar que las siguientes funciones son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales:
a) y = x2 + c
y ′ = 2x;
b) y = cx2
xy ′ = 2y ;
c) y 2 = e2x + c
yy ′ = e2x ;
d) y = cekx
y ′ = ky ;
e) y = c1 sen 2x + c2 cos 2x
y ′′ + 4y = 0;
f) y = c1 e2x + c2 e−2x
g) y = ex
2
∫x
0
y ′′ − 4y = 0;
y ′ = 2xy + 1.
e−t dt
2
2. Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y ′ = e3x − x;
b) xy ′ = 1;
e) (1 + x2 )y ′ = x;
h) y ′ = 2xy ;
c) y ′ = xex ;
f) (1 + x2 )y ′ = arctg x;
i) y ′ + y tg x = 0;
d) (1 + x)y ′ = x;
2
g) xyy ′ = y − 1;
j) y ln y − xy ′ = 0.
y′
1
= . Luego es de variables separadas. Integrando
y ln y
x
queda ln(ln y) = ln cx. Esto es, ln y = cx. Despejando y queda y = ecx .
Solución de (j): La ecuación se escribe
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) (x2 − 2y 2 ) + xyy ′ = 0;
b) x2 y ′ − 3xy − 2y 2 = 0;
c) x2 y ′ = 3(x2 + y 2 )arctg xy + xy ;
e) xy ′ = y + 2xe− x ;
f) (x − y) − (x + y)y ′ = 0;
y
g) xy ′ = 2x + 3y ;
d) xsen xy y ′ = ysen xy + x;
h) xy ′ = (x2 + y 2 )1/2 ;
i) x2 y ′ = y 2 + 2xy .
Solución de (i): Es una ecuación homogénea. Hacemos y = zx. Luego y ′ = z ′ x + z . La
ecuación queda x2 (z ′ x + z) = z 2 x2 + 2x2 z , es decir, z ′ x + z = z 2 + 2z . Queda de variables
1
z′
= . Integrando ambos términos de la igualdad sigue que
2
z +z
x
z
z
cx
cx2
ln
= ln cx, es decir,
= cx. Luego z =
, y nalmente y =
.
z+1
z+1
1 − cx
1 − cx
separadas escribiéndola como
4. Probar que el cambio z = ax + by + c transforma y ′ = f (ax + by + c) en una ecuación de
variables separadas. Aplicar este método para resolver
a) y ′ = (x + y)2 ;
b) y ′ = sen 2 (x − y + 1).
32
z′
= 1, que es una ecuación
a + bf (z)
z′
de variables separadas. Por ejemplo, en el caso (a) queda
= 1. Integrando sigue que
1 + z2
arctg z = x + C , es decir, z = tg (x + C). Finalmente, y = tg (x + C) − x.
Solución: Se tiene que z ′ = a + by ′ = a + bf (z). Luego
5. Determinar cuáles de las siguientes ecuaciones son exactas y resolver aquéllas que lo sean:
a) (x + y2 )y ′ + y = 0;
b) (sen tg y + 1) + cos xsec 2 yy ′ = 0;
c) (y − x3 ) + (x + y 3 )y ′ = 0;
d) (2y 2 − 4x + 5) = (4 − 2y + 4xy)y ′ ;
e) (y + y cos xy) + (x + cos xy)y ′ = 0;
f) cos x cos2 y + 2sen xsen y cos yy ′ = 0;
g) (sen xsen y − xey )y ′ = (ey + cos x cos y);
h) − y1 sen xy + yx2 sen xy y ′ = 0;
i) (1 + y) + (1 − x)y ′ = 0.
Ayuda: Si la ecuación se escribe P (x, y) + Q(x, y)y ′ = 0, es exacta si Py (x, y) = Qx (x, y).
En este caso existe una función F (x, y) tal que Fx (x, y) = P (x, y) y Fy (x, y) = Q(x, y). Por
ejemplo, la ecuación de (c) es exacta. Para calcular F (x, y), de la condición Fx (x, y) = y − x3
4
se obtiene que F (x, y) = yx − x4 + β(y). De la condición Fy (x, y) = Q(x, y) se deduce que
4
x + β ′ (y) = x + y 3 . Luego β(y) = y4 + c, donde c es una constante arbitraria. Finalmente,
4
4
la solución viene dada en la forma implícita F (x, y) = 0, en este caso, yx − x4 + y4 + c = 0,
que también puede escribirse 4yx − x4 + y 4 = C , donde C = −4c es igualmente una constante
arbitraria.
6. Resolver las siguientes ecuaciones lineales:
a) xy ′ − 3y = x4 ;
b) y ′ + y =
d) y ′ + y = 2xe−x + x2 ;
f) (2y − x3 ) = xy ′ ;
1
1+e2x
;
c) (1 + x2 )y ′ + 2xy = cotg x;
e) y ′ + y cotg x = 2xcosec x;
g) y − x + xy cotg x + xy ′ = 0;
h) y ′ − 2xy = 6xex ;
2
i) (x ln x)y ′ + y = 3x3 .
′
Ayuda: Si la
(∫ecuación se escribe) y + A(x)y = B(x), entonces la solución viene dada por
y = e−P (x)
B(x)eP (x) dx + C , donde P (x) es una primitiva de A(x). Por ejemplo, en
el caso (a) escribimos la ecuación como y ′ − 3y/x = x3 . Luego aquí es A(x) = −3/x
3
3
y B(x)
) que P (x) = −3 ln x = ln(1/x ). Por lo tanto la solución es y =
(∫ = x . Sigue
x3
x3
1
dx + C
x3
= x4 + Cx3 .
7. La ecuación y ′ + P (x)y = Q(x)y n , que se conoce como ecuación de Bernoulli, es lineal
cuando n = 0 o n = 1. Probar que se puede reducir a una ecuación lineal para cualquier otro
entero n por el cambio de variable z = y 1−n , y aplicar este método para resolver las siguientes
ecuaciones:
a) xy ′ + y = x4 y 3 ;
b) xy 2 y ′ + y 3 = x cos x;
33
c) xy ′ + y = xy 2 .
Solución: Se tiene que z ′ = (1 − n)y −n y ′ . Si dividimos ambos lados de la ecuación por y n nos
queda
y′
+ P (x)y 1−n = Q(x). Como y ′ /y n = z ′ /(1 − n) la ecuación se escribe
yn
z ′ + (1 − n)P (x)z = (1 − n)Q(x),
que es lineal en las variables z, z ′
y x.
8. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) yy ′′ + (y ′ )2 = 0;
b) xy ′′ = y ′ + (y ′ )2 ;
d) x2 y ′′ = 2xy ′ + (y ′ )2 ;
c) y ′′ − k 2 y = 0;
e) 2yy ′′ = 1 + (y ′ )2 ;
f) yy ′′ + (y ′ )2 = 4x.
Solución de (a): Como falta la variable x, hacemos y ′ = p(y) y la ecuación se transforma en
ypp′ + p2 = 0, es decir, yp′ = −p, que es de √
variables separadas. Su solución es p(y) = c1 /y , o
sea, y ′ y = c1 , que una vez resuelta da y = ± c1 x + c2 .
Solución de (b): Como falta la variable y , hacemos y ′ = z y la ecuación queda xz ′ = z + z 2 ,
que es de variables separadas. Su solución es z = c1 x/(c1 x − 1), donde c1 es una constante
positiva. Finalmente, la solución de y ′ = z es y = x + ln(c1cx−1)
+ c2 .
1
′
Solución de (f): Observar que yy ′′ + (y ′ )2 = (yy ′ )√
. Luego la ecuación queda yy ′ = 2x2 + c1 , que
es de variables separadas. Su solución es y = ± 43 x3 + 2c1 x + c2 .
9. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones, sabiendo que la correspondiente
función y1 es una solución particular:
a) y ′′ + y = 0, y1 = sen x;
b) y ′′ − y = 0, y1 = ex ;
c) x2 y ′′ + xy ′ − 4y = 0, y1 = x2 ;
d) (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + 2y = 0, y1 = x.
10. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones:
a) y ′′ + y ′ − 6y = 0;
b) y ′′ + 2y ′ + y = 0;
c) y ′′ + 8y = 0;
d) 2y ′′ − 4y ′ + 8y = 0;
e) y ′′ − 4y ′ + 4y = 0;
g) 2y ′′ + 2y ′ + 3y = 0;
h) 4y ′′ − 12y ′ + 9y = 0;
11. Resolver los siguientes problemas de valores iniciales:
a) y ′′ − 5y ′ + 6y = 0, y(1) = e2 , y ′ (1) = 3e2 ;
b) y ′′ − 6y ′ + 5y = 0, y(0) = 3e, y ′ (0) = 11;
c) y ′′ − 6y ′ + 9y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 5;
d) y ′′ + 4y ′ + 5y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0;
√
e) y ′′ + 4y ′ + 2y = 0, y(0) = −1, y ′ (0) = 2 + 3 2;
f) y ′′ + 8y ′ − 9y = 0, y(1) = 2, y ′ (1) = 0.
34
f) y ′′ − 9y ′ + 20y = 0;
i) y ′′ + y ′ = 0.
Ejemplos de ejercicios de examen
1. Sumar la serie
1
2
+ 13 +
1
22
+
1
32
+
1
23
+
1
33
+ · · ·.
2. Probar que si limn→∞ an = 0, entonces la sucesión a1 , −a2 , a3 , −a4 , a5 , −a6 , · · · también
tiende a cero.
3. Si a es un número positivo jo, pruebe que la serie
su suma.
∑∞
n=1 (2
+ a)−n es convergente y hallar
4. Demostrar por inducción que la suma de los primeros n números pares positivos es n(n + 1).
5. Determinar el carácter de la serie
∞
∑
(−1)n
n=1
6. Sumar la serie
n4
.
3n
+ 213 + 413 + · · ·.
∑
−n
7. Estudiar el carácter de la serie ∞
según el valor de a.
n=1 (1 + a)
1
2
+ 14 +
1
22
+
1
42
8. Pruebe por inducción, usando la igualdad 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n+1)
2
, que
(1 + 2 + 3 + . . . + n)2 = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 .
Como consecuencia,
[
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
2
3
3
3
3
]2
.
9. Hallar los valores de a, b y c para que la función f (x) = ax2 + bx + c tenga ceros en x1 = 0
y x2 = 5, y además la pendiente de la recta tangente en x0 = 2 sea 1.
10. Probar que la ecuación cos x − 3x = 0 tiene una única raíz real. Estimar esta raíz con un
error menor que 1/2.
11. Usando propiedades de funciones continuas, compruebe que la función f : [0, 3) 7→ R,
1
f (x) = x−3
, es una función continua. ¾Tiene mínimos? ¾Tiene máximos? ¾Por qué no se
contradice el teorema de Bolzano-Weierstrass?
12. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f : [−1, 1] 7→ R, f (x) = x13 si x ̸= 0,
f (0) = 1. Tiene ceros esta función? ¾Puede usar el teorema de Bolzano para contestar esta
pregunta?
13. Encontrar todos los valores de x para los que vale la desigualdad
2x2 + 1
≤ 0.
4 − x2
14. Calcular
√
√
lim ( n + 1 − n).
n→∞
15. Estudiar crecimiento, concavidad y dar una representación gráca de la función
f (x) =
x2 + 1
.
x−1
35
Observar que
x2 + 1
2
=x+1+
.
x−1
x−1
16. Hallar el área comprendida entre la curva y = 4x − x2 , el eje x y la recta tangente a la
curva en el punto (3, 3).
17. Hallar la longitud del arco de la parábola y = x2 entre su vértice y el punto (2, 4). Si
no puede calcular la correspondiente integral en forma exacta, determínela aproximadamente
reemplazando el integrando por su polinomio de Taylor de grado 2 desarrollado en x = 0.
18. Encuentre los cinco
∫ x primeros términos del polinomio de Taylor desarrollado en x = 0 para
la función F (x) =
sen t2 dt.
0
19. Hallar el rectángulo de área máxima inscrito en el triángulo de vértices (0, 0), (2, 2) y (8, 0).
20. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones para todos los valores de a y resolverlo, si es
posible, para a = 2.
x +3y −z = −2
2x +ay
=
0
x −2y +z =
3
21. Dar una base del subespacio de R4 determinado por la ecuación 2x1 − x2 + 4x4 = 0.
22. Dar una base del subespacio de R4 determinado por las ecuaciones
x1 − x2 + 3x4 = 0
x1 + x3 + 3x4 = 0.
23. Compruebe si la aplicación bilineal φ : R3 × R3 7→ R,
φ((x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 )) = 2x1 x2 + y1 y2 + 2z1 z2 + x1 y2 − x1 z2 + y1 x2 − y1 z2 − z1 x2 − z1 y2 ,
es un producto escalar en R3 . En caso armativo, encuentre una base ortogonal.
24. Dar un ejemplo concreto de producto escalar en R3 de manera que la base canónica no sea
ortogonal con respecto a este producto escalar.
25. Encontrar los autovalores de la matriz


0 −1 1
 −1
1 0 
1
0 1
Es diagonalizable?
26. Sabiendo que los autovalores de la matriz


5 4 2
M = 4 5 2 
2 2 2
son 1 y 10, encontrar una matriz P tal que P −1 M P sea diagonal.
27. Encontrar los máximos y mínimos de la función f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy .
36
28. Invertir el orden de integración en la integral
∫
∫∫
T
12x
dx
0
29. Calcule la integral
y − x = 0 y y + x = 2.
∫
4
3x2
f (x, y) dy .
ey−x dxdy , donde T es el triángulo limitado por las rectas y = 0,
30. Resuelva la ecuación diferencial y ′′ = 1 − y ′2 .
31. Encuentre la solución general de la ecuación y ′′ + 16y = 0 y halle la solución que satisface
y(0) = 1 e y ′ (0) = 8.
32. Encuentre la solución general de la ecuación xy + (x2 + y 2 )y ′ = 0.
37