Capitulo 5 Ejemplos

Ejemplos de problemas resueltos
#1 Carrera entre dos veleros sobre un lago de helado sin fricción
m2 = 2m1 y Fviento = cte. en dirección horizontal
Los dos veleros viajan la misma distancia s = ∆x
⇒ K1 = K 2 , porqué el trabajo es el mismo: ∆K = W = Fviento ∆x
r r
En la meta p = F ∆t , pero como m2 = 2m1 ⇒ ∆t2 > ∆t1
El impulso sobre el velero 2 debe ser más grande que sobre el velero 1, porque el tiene más
inercia ⇒ p2 > p1
Como K1 = K2 , podemos deducir la rapidez del velero 2:
1
2
m1v12 = 12 m2v22 =
1
2
( 2m1 ) v22 ⇒ v2 =
1
2 1
v
p2 m2 v2 2m1 12 v1
Comparando las cantidades de movimiento:
=
=
= 2
p1 m1v1
m1v1
1
#2 Patada sobre balón de fútbol
Balón fútbol con masa m = 0.40kg y rapidez v1x = −20
una rapidez v = 30
m
es pateada de modo que adquiere
s
m
a un ángulo 45o en un tiempo ∆t = 0.010s
s
Puesto que sen45o = cos45o ≈ 0.707
Velocidades antes: v1x = −20
m
y v1 y = 0
s
Velocidades después: v2 x = v cos45o = v2 y = v sen45o = 0.707⋅ 30
m
m
= 21.2
s
s

m 
m 
m
Impulso en x: J x = p2x − p1x = m ( v2x − v1x ) = 0.40kg  21.2 −  −20   = 16.5kg ⋅
s 
s 
s

m
m
Impulso en y: J y = p2 y − p1y = m ( v2 y − v1 y ) = 0.40kg  21.2 − 0 = 8.5kg ⋅
s
s


Las componentes de la fuerza media: ( Fmed ) x =
magnitud Fmed =
(1650N) + ( 850N )
2
2
Jy
Jx
= 1650N y ( Fmed ) y =
= 850N
∆t
∆t
= 1.9 ×103 N
850N 
o
y dirección θ = arctan 
 = 27
 1650N 
Observe que la velocidad final no tiene la misma dirección que la fuerza media. Esto
porque inicialmente el balón no estaba en el reposo ⇒ introduce un factor aleatorio en el
juego porque no se sabe exactamente en cual dirección se va ir el balón
2
#3 Choque en línea recta
Dos deslizadores se acercan sobre un riel de aire sin fricción ⇒ energía es conservada =
choque elástico
Después de chocar, B se aleja con velocidad vBf = +2.0
m
s
Cantidad de movimiento antes del choque:
m
m
m


Pxi = m Av Ai + mB vBi = ( 0.50kg )  2.0  + ( 0.30kg )  −2.0  = 0.40kg ⋅
s 
s 
s


Aplicando el principio de conservación de momento lineal, cantidad de movimiento después
del choque:
Pxf = m Av Af + m B v Bf = 0.40kg ⋅
m
s
⇒ v Af =
Pxf − mB vBf
mA
= −0.40
m
s
El cambio de cantidad de movimiento de las partículas:
m
m
∆PA = mA ( vAf − v Ai ) = −1.2kg ⋅
y ∆PB = +1.2kg ⋅
s
s
El cambio de cantidad de movimiento es igual y opuesto, pero no el cambio en velocidad:
∆v A = −2.4
m
m
y ∆vB = 4.0
s
s
La magnitud de la fuerza es la misma pero, por la segunda ley de Newton, la magnitud de
la aceleración es mayor para el cuerpo con menos masa o inercia
3
#4 Choque en plano horizontal
Dos trozos de hielos se choque
mA = 5.0kg , v Ai = 2.0
m
s
mB = 3.0kg , vBi = 0
Después del choque:
v Af = 1.0
m
en dirección α = 30o
s
Como no hay fuerza externa P = cte.
Pxi = Pxf y Pyi = Pyf
Por tanto en x: m Av Axi + mB vBxi = mA vAxf + mB vBxf
⇒ vBxf =
⇒ vBxf =
mAv Axi + mBv Bxi − mAv Axf
mB
mA
( vAxi − vAxf
mB
=
mAvAxi + 0 − mA vAxf
mB
)
Como cos30o ≈ 0.866
⇒ vBxf =
5.0kg 
m
m
m

 +2.0 − 1.0 0.866  = 1.89
3.0kg 
s
s
s

Igualmente en y: m Av Ayi + mB vByi = mA vAyf + mB vByf = 0
⇒ vByf = −
mA
5 m
5 1m
m

vAyf = −  1.0 sen30o  = − ⋅
; −0.83
mB
3
s
3 2 s
s

La magnitud vBf =
(1.89 m s ) + ( −0.83 m s )
Dirección: β = arctan
2
2
−0.83 ms
= −24o
m
1.89 s
4
= 2.1
m
s
#5 Deslizadores que no rebotan
mA vAi + mB vBi = ( mA + mB ) v f
m 
m

0.50kg ⋅ 2.0  +  0.30kg ⋅ −2.0 

m v + mB vBi 
m
s 
s 
⇒ v f = A Ai
=
= 0.5
mA + mB
0.50kg + 0.30kg
s
Los deslizadores se mueven juntos a la derecha.
Antes del choque:
2
m

K A = 12 m A v A2 = 12 ( 0.50kg )  2.0  = 1.0J
s 

2
m

K B = m v = ( 0.30kg )  −2.0  = 0.60J
s 

1
2
2
B B
1
2
⇒ Ki = 1.6J
Después del choque:
2
m

K f = ( m A + m B ) v = ( 0.50kg + 0.30kg )  0.50  = 0.10J
s 

1
2
Kf =
2
f
1
2
1
Ki
16
El trabajo: ∆K = K f − Ki = 0.10J − 1.60J = −
15
Ki
16
La mayoría parte de la energía se fue
5
#6 Choque inelástico de dos autos
Auto compacto mA = 1000kg , v A = 15
Auto de lujo mB = 2000kg , vB = 10
m
al norte
s
m
al este
s
Los dos autos después del choque quedan enganchados y se aleja del punto de impacto con el
ángulo θ - componentes de cantidad de movimiento
p x = pAx + pBx = m Av Ax + mB vBx = 0 + (2000kg) ⋅ (10
p y = pAy + pBy = m AvAy + mB vBy = (1000kg) ⋅ (15
m
m
) = 2.0 ×104 kg ⋅
s
s
m
m
) + 0 = 1.5 ×104 kg ⋅
s
s
r
m 
m
m

Magnitud p =  2.0 × 104 kg ⋅  + 1.5 ×104 kg ⋅  = 2.5 ×104 kg ⋅
s  
s 
s

2
Dirección θ = arctan
py
px
2
= 37 o
6
Tratamos el sistema como aislado. Vemos ahora si esto es justificado
Si mB = 2000kg , el peso w = mg = 20000N
Si supongamos un coeficiente de fricción µk = 0.5
La fuerza de fricción f = 10000N , esto es relativamente alto
Comparamos esta fuerza con las fuerzas inelásticas (internas) que paro el auto:
2
La energía cinética del coche B antes de la colisión:
1
m
( 2000kg ) ⋅  10  = 1.0 ×105 J
2
 s 
El trabajo para parar el coche es: W = −1.0 ×105 J
Si el coche se aplasta 0.2m, la fuerza promedia para hacer este trabajo es igual a:
W −1.0 ×105 J
F≈
=
= 5 ×105 N
∆s
0.2m
Esto es 50 × la fuerza de fricción entre el auto y el suelo ⇒ justifica tratar el sistema como
aislado
Si los autos no se desprenden: M = 3000kg
m
4
p 2.5 ×10 kg ⋅ s
m
⇒V =
=
= 8.3
M
3000kg
s
La energía cinética inicial:
La energía cinética final:
1
2
1
2
m Av 2A + 12 m B vB2 = 2.1× 105 J
MV 2 = 1.0 × 10 5 J
Más de la mitad de la energía cinética se convirtió en otras formas
7
#7Choque rectilíneo elástico
m Av Ai + mB vBi = mA vAf + mB vBf
0.4kg
m
= 0.5kg ⋅ v Af + 0.3kg ⋅ vBf
s
Usando relación entre velocidades relativas:
vBf − vAf = − ( v Bi − v Ai )
m
m
m

vBf − v Af = −  −2.0 − 2.0  = 4.0
s
s
s

Antes del choque la velocidad de B relativa a A hacia izquierda es −4.0
choque la velocidad de B relativa a A hacia derecha es 4.0
m
= 0.5kg ⋅ v Af + 0.3kg ⋅ vBf =
s
m

= 0.5kg ⋅ v Af + 0.3kg  4.0 + v Af
s

m
= 0.8kg ⋅ v Af + 1.2kg
s
m
−0.8kg
s = −1.0 m
=
0.8kg
s
m
, después del
s
m
s
⇒ 0.4kg
⇒ v Af
⇒ vBf = 4.0

=

m
m
+ v Af = +3.0
s
s
Ambos cuerpos invierten sus direcciones, esto es diferente a ej. 8.5, porque el choque aquí es
elástico
2
2
m
m
Por lo tanto, K f = 12 0.50kg  −1.0  + 12 0.30kg  3.0  = 1.6J o K f = Ki
s
s 


8
#8 Honda gravitatoria
Una sonda (objeto A) se aproxima de Saturno (objeto B)
mA = 825kg , v A = 10.4
km
km
y m B = 5.69 ×10 26 kg , vB = −9.6
s
s
Consideramos la interacción como una colisión elástica
Como la velocidad relativa es constante:
v Af − vBf = − ( v Ai − v Bi )
Considerando la diferencia de masa, podemos suponer vB = cte.
⇒ v Af = −v Ai + vBi + vBf = −10.4
km
km
km
km
− 9.6
− 9.6
= −29.6
s
s
s
s
Esto es aproximadamente 3 veces mayor
La energía cinética de la sonda aumenta por un factor 8 veces mayor
La razón porque K aumenta es que Saturno se esta moviendo – aquí viene el suplemente de
energía – como el satélite tiene menor masa, el gana más energía cinética en la interacción
elástica
9
#9 Dos hombres ligados por una cuerda sobre una superficie sin fricción
m1 = 60.0kg y m2 = 90.0kg , separados por d = 20m
Los dos empiezan a tirar sobre la cuerda (sin peso)
¿De cuantos m1 se mueve si m2 se mueve de 6m hacia el centro?
r
r
Como no hay fuerza externa P = 0 ⇒ vcm = 0
Si pongamos el origen al centro: x1i = 10m y x2i = −10m
⇒ xcm =
( 90.0kg )( −10.0m) + ( 60.0kg )( +10.0m ) = −2.0m
90.0kg + 60.0kg
A moverse 6m ⇒ x2 f = −4m
Como xcm =
⇒ x1 f =
x2 f m2 + x1 f m1
m2 + m1
xcm ( m2 + m1 ) − x2 f m2
m1
=
−2.0m (150.0kg ) − ( −4.0m ) 90.0kg
60.0kg
= +1.0m
Moví −9.0m
Si continúan a tirar, el hombre con el peso menor llegara al centro primero al centro de masa
10