Práctica 6

MATEMÁTICAS II
Grado en Ingeniería Civil
MATERIAL DOCENTE:
PRÁCTICA 6 CON MATHEMATICA
A.I. Garralda Guillem, V. Ramírez González y M. Ruiz Galán
PRÁCTICA 6: ESPACIOS VECTORIALES Y VECTORIALES
EUCLÍDEOS
INTRODUCCIÓN
El objetivo de esta práctica es utilizar algunas de las sentencias ya estudiadas en prácticas
anteriores y estudiar algunas nuevas para resolver diferentes problemas relativos a espacios vectoriales y espacios vectoriales euclídeos.
1. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
Comencemos con tres ejemplos en los que estudiamos la dependencia e independencia
lineal de un conjunto de vectores {v1 , v2 , ..., vr } en un espacio vectorial V.
Las coordenadas
respecto de una base B de V de los vectores v1 , v2 , ..., vr son muy útiles para ello, puesto que el
conjunto de vectores {v1 , v2 , ..., vr } es linealmente independiente si y sólo si, la matriz cuyas filas
son sus coordenadas respecto de B tiene rango r.
ü Ejemplo 1:
Consideramos en 3 los vectores (1,-1,1), (2,1,3) y (1,0,0) ¿Son linealmente independientes? ¿Por qué?
Considerando la base canónica de 3 , la matriz cuyas filas son las coordenadas de estos vectores
en dicha base es:
m1 = 881, −1, 1<, 82, 1, 3<, 81, 0, 0<<;
La sentencia RowReduce permite estudiar el rango de la matriz anterior:
MatrixForm@RowReduce@m1DD
1 0 0y
i
z
j
j
z
j
0 1 0z
z
j
z
j
z
j
0
0
1
{
k
Matematicas II_Practica 6
A.I. Garralda, V. Ramirez, M. Ruiz
Por tanto el rango es 3 y, en consecuencia, los vectores considerados son linealmente
independientes. De hecho {(1,-1,1), (2,1,3),(1,0,0)} es una base de 3 , puesto que es un conjunto
de tres vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión 3.
ü Ejemplo 2:
Estudia la dependencia o independencia lineal de
(2,0,2,2) de 4 .
los vectores (1,1,2,2), (0,1,1,1) y
Consideramos la base canónica de 4 , entonces la matriz cuyas filas son las coordenadas de estos
vectores en dicha base es:
m2 = 881, 1, 2, 2<, 80, 1, 1, 1<, 82, 0, 2, 2<<;
Calculamos ahora su rango con la sentencia RowReduce:
MatrixForm@RowReduce@m2DD
i1 0 1 1
j
j
j
0 1 1 1
j
j
j
k0 0 0 0
y
z
z
z
z
z
z
{
Por tanto el rango es 2 y, en consecuencia, los vectores (1,1,2,2), (0,1,1,1) y (2,0,2,2) son
linealmente dependientes.
ü Ejemplo 3:
Considera en 3 los vectores (1,2,4), (2,4,8) y (0,3,7). ¿Son linealmente independientes?
¿Por qué?
Considerando la base canónica de 3 , la matriz cuyas filas son las coordenadas de estos vectores
en dicha base es:
m3 = 881, 2, 4<, 82, 4, 8<, 80, 3, 7<<;
Calculamos su rango con la sentencia RowReduce:
MatrixForm@RowReduce@m3DD
1 0 − 23
i
j
j
j
j
7
j0 1
j
j
3
j
j
k0 0 0
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
Por tanto, el rango es 2 y los vectores (1,2,4), (2,4,8) y (0,3,7) son linealmente dependientes.
Obsérvese que la orden RowReduce puede cambiar el orden de las filas de la matriz de
partida y, por ello, no informa sobre cuáles son los vectores originales que son linealmente indepen-
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A.I. Garralda, V. Ramirez, M. Ruiz
dientes. En efecto, las dos primeras filas de la última matriz son linealmente independientes y, sin
embargo, las dos primeras filas de m3 no lo son al ser proporcionales claramente.
2. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL
Dadas dos bases en un espacio vectorial V de dimensión finita, B y B ' , la matriz de cambio
de base de B a B ' tiene por columnas a las coordenadas de los vectores de B en la base B '. A
continuación, consideramos tres ejemplos en los que calculamos con Mathematica matrices de
cambio de base.
ü Ejemplo 4:
Consideramos las bases de 3 siguientes:
B={(-1,0,1),(1,-1,0),(1,1,-1)} y Bc={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
a) ¿Cuál es la matriz de cambio de base de B a Bc ?
Puesto que la matriz de cambio de base de B a Bc tiene por columnas las coordenadas de
los vectores de B en Bc , es inmediato construir la matriz pedida. Basta ejecutar las siguientes
entradas:
matrizcambiodeBaBc = Transpose@88−1, 0, 1<, 81, −1, 0<, 81, 1, −1<<D
88−1, 1, 1<, 80, −1, 1<, 81, 0, −1<<
MatrixForm@matrizcambiodeBaBcD
−1 1
1
i
j
j
j
0 −1 1
j
j
j
0 −1
k 1
y
z
z
z
z
z
z
{
b) ¿Cuál es la matriz de cambio de base de Bc a B ?
La matriz pedida resulta ser la matriz inversa de la calculada en el apartado anterior, por ello,
procedemos como sigue:
matrizcambiodeBcaB = Inverse@matrizcambiodeBaBcD
881, 1, 2<, 81, 0, 1<, 81, 1, 1<<
MatrixForm@matrizcambiodeBcaBD
1 1 2y
i
j
z
z
j
j
z
j
j1 0 1z
z
j
z
1
1
1
{
k
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A.I. Garralda, V. Ramirez, M. Ruiz
ü Ejemplo 5:
Consideramos ahora las bases de 3 siguientes:
B1 ={(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)} y B2 ={(2,1,3),(0,1,0),(2,0,0)}.
a) ¿Cuál es la matriz de cambio de base de B1 a B2 ?
Podemos obtener la matriz de cambio de base de B1 a B2 como producto de dos matrices
de cambio de base. Más concretamente:
Matriz de cambio de base de B1 a B2 =
HMatriz de cambio de base de Bc a B2 L . HMatriz de cambio de base de B1 a Bc L
Teniendo en cuenta lo anterior, procedemos a implementar con Mathematica la resolución de
este apartado:
b1 = 881, 0, 1<, 80, 1, 1<, 81, 1, 0<<;
b2 = 882, 1, 3<, 80, 1, 0<, 82, 0, 0<<;
matrizcambiodeB1aB2 = Inverse@[email protected]@b1D
99
1
1
1
2
1
1
1
,
, 0=, 9− ,
, 1=, 9 , − ,
==
3
3
3
3
6
3
2
MatrixForm@matrizcambiodeB1aB2D
1
i
3
j
j
j
j
j
j − 13
j
j
j
j 1
k 6
1
3
2
3
− 13
0 y
z
z
z
z
1 z
z
z
z
z
1 z
2 {
b) Si v es el vector de 3 con coordenadas (2,3,4) en B1 ¿cuáles son las coordenadas de
v en B2 ?
Para responder a esta cuestión basta multiplicar la matriz obtenida en el apartado anterior por
el vector v escrito en coordenadas respecto de la base B1 ; en efecto:
v = 82, 3, 4<;
matrizcambiodeB1aB2.v
9
5
16
4
,
,
=
3
3
3
c) ¿Cuál es la matriz de cambio de base de B2 a B1 ?
Como ya hemos obtenido la matriz de cambio de base de B1 a B2 , para obtener la matriz de
cambio de base de B2 a B1 , basta calcular su inversa:
matrizcambiodeB2aB1 = Inverse@matrizcambiodeB1aB2D
992, −
1
1
1
, 1=, 91,
, −1=, 90,
, 1==
2
2
2
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A.I. Garralda, V. Ramirez, M. Ruiz
MatrixForm@matrizcambiodeB2aB1D
2 − 12
i
j
j
j
j
1
j
j1
j
2
j
j
j
1
k0
2
1 y
z
z
z
z
−1 z
z
z
z
z
z
1 {
Sin embargo, la matriz de cambio de base de B2 a B1 también podemos obtenerla directamente con la orden:
Inverse@[email protected]@b2D
992, −
1
1
1
, 1=, 91,
, −1=, 90,
, 1==
2
2
2
MatrixForm@%D
2 − 12
i
j
j
j
j
1
j1
j
j
2
j
j
j
1
0
k
2
1 y
z
z
z
z
z
−1 z
z
z
z
z
1 {
d) Si w es el vector de 3 con coordenadas (1,2,-4) en B2 ¿cuáles son las coordenadas
de w en B1 ?
w = 81, 2, −4<;
matrizcambiodeB2aB1.w
8−3, 6, −3<
ü Ejemplo 6:
Consideramos los conjuntos de vectores de 4 siguientes:
B1 ={(1,0,1,2),(3,1,1,4),(0,1,1,0),(4,6,-7,2)} y B2 ={(2,1,3,-2),(0,1,0,-4),(2,1,0,0),(1,2,3,-1)}.
a) ¿Son bases de 4 ?
Las matrices cuyas filas son las coordenadas de los vectores de
canónica de 4 , son respectivamente:
B1 y B2 en la base
b1 = 881, 0, 1, 2<, 83, 1, 1, 4<, 80, 1, 1, 0<, 84, 6, −7, 2<<;
b2 = 882, 1, 3, −2<, 80, 1, 0, −4<, 82, 1, 0, 0<, 81, 2, 3, −1<<;
Comprobamos su independencia lineal ejecutando:
Det@b1D
16
Det@b2D
−42
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Por tanto, los rangos de ambas matrices son 4 y, en consecuencia, ambos conjuntos de
vectores son linealmente independientes. Puesto que la dimensión de 4 es 4, podemos asegurar
que ambos conjuntos son bases de 4 .
b) ¿Cuál es la matriz de cambio de base de B1 a B2 ?
matrizcambiodeB1aB2 = Inverse@[email protected]@b1D
99
5
1
1
89
9
15
8
,−
,− ,−
=, 9−
,−
, 0,
=,
21
21
3
21
14
14
7
3
19
37
2
8
2
40
9
,
, 0,
=, 9
,
,
,
==
14
14
7
21
21
3
21
MatrixForm@matrizcambiodeB1aB2D
5
i
21
j
j
j
j
9
j
− 14
j
j
j
j
j 3
j
j
j
14
j
j
j
j 2
k 21
−
1
21
15
− 14
19
14
8
21
−
1
3
0
0
2
3
−
89
21
8
7
37
7
40
21
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
c) ¿Cuál es la matriz de cambio de base de B2 a B1 ?
matrizcambiodeB2aB1 = Inverse@matrizcambiodeB1aB2D
99−
101
73
47
101
51
31
25
51
,−
,−
,−
=, 9
,
,
,
=,
8
8
8
16
8
8
8
16
11
7
1
35
9
5
3
9
9
,
,
,
=, 9− , − , − , −
==
8
8
8
16
8
8
8
16
MatrixForm@matrizcambiodeB2aB1D
i − 101
8
j
j
j
j
51
j
j
j 8
j
j
j 11
j
j
j
8
j
j
j
j
9
k −8
−
73
8
31
8
7
8
− 58
−
47
8
25
8
1
8
− 38
−
101
16
51
16
35
16
9
− 16
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
d) Si v es el vector de 4 con coordenadas (1,5,-3,4) en B2 ¿cuales son las coordenadas
de v en B1 ?
v = 81, 5, −3, 4<;
matrizcambiodeB2aB1.v
9−
527
233
113
43
,
,
,−
=
8
8
8
8
3. SUBESPACIOS VECTORIALES
Para estudiar la dimensión de un subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores
en un espacio vectorial, basta analizar el rango de la matriz formada por las coordenadas de los
vectores en una base del espacio. De hecho, las filas no nulas de la matriz escalonada reducida
equivalente a la matriz así construída nos permiten obtener una base del subespacio en cuestión.
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A.I. Garralda, V. Ramirez, M. Ruiz
ü Ejemplo 7:
Consideramos en 4 el subespacio U generado por los vectores
{(1,2,-1,1), (0,2,4,6), (3,1,1,2), (2,3,-1,2)}.
Calculemos la dimensión de U y una base de dicho subespacio.
Para ello, escribamos la matriz cuyas filas son las coordenadas respecto de la base canónica
de los vectores que generan el subespacio U .
a = 881, 2, −1, 1<, 80, 2, 4, 6<, 83, 1, 1, 2<, 82, 3, −1, 2<<;
Reduciendo dicha matriz por filas, obtenemos la dimensión de U y una base de dicho
subespacio:
MatrixForm@RowReduce@aDD
1
i
j
j
j
0
j
j
j
j
j
j
0
j
j
k0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
Por tanto, la dimensión de U es 3 y una base de U es {(1,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}.
4. PRODUCTO ESCALAR EN UN ESPACIO VECTORIAL DE
DIMENSIÓN FINITA
El producto escalar usual de dos vectores de n se obtiene directamente con el producto matricial
de los mismos:
ü Ejemplo 8:
Consideramos las vectores de 3 siguientes: v1 =(1,-3,4) y v2 =(5,0,-1). El producto escalar de los
mismos se obtiene ejecutando la sentencia siguiente:
81, -3, 4<.85, 0, -1<
Si se conoce la matriz de Gram, G, de un determinado producto escalar en una base B de un espacio vectorial V, entonces el producto escalar de dos vectores se obtiene con el producto matricial
X t .G .Y , donde X e Y representan las coordenadas de ambos vectores en la base B.
ü Ejemplo 9:
Consideramos en P2 (polinomios de grado menor o igual que dos) el producto escalar dado por :
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A.I. Garralda, V. Ramirez, M. Ruiz
< p, q >= ‡ p Hx L q Hx L „ x
1
0
Obtenemos la matriz de Gram de dicho producto escalar en la base usual del espacio
B = 81, x, x^2<;
G = Table@Integrate@B@@iDD * B@@jDD, 8x, 0, 1<D, 8i, 1, 3<, 8j, 1, 3<D
991,
1
1
1
1
1
1
1
1
,
=, 9 ,
,
=, 9 ,
,
==
2
3
2
3
4
3
4
5
Consideramos ahora los polinomios p Hx L = 3 - 2 x + 5 x 2 y q Hx L = -2 + 4 x - 3 x 2 , su producto
escalar es:
83, -2, 5<.G.8-2, 4, -3<
−
7
2
El producto escalar anterior puede obtenerse también:
Integrate@H3 - 2 x + 5 x^2L * H-2 + 4 x - 3 x^ 2L, 8x, 0, 1<D
−
7
2
5. MÉTODO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT
Mathematica tiene implementada una sentencia directa (GramSchmidt) que proporciona, a
partir de una base de un subespacio de n una base ortogonal u ortonormal del mismo considerando el producto escalar usual. Para poder ejecutar esta sentencia es preciso cargar previamente
un paquete de Mathematica que no se carga directamente al abrir el programa. Para cargar el
paquete al que nos referimos basta ejecutar la sentencia siguiente:
<< LinearAlgebra`Orthogonalization`
ü Ejemplo 10:
Consideramos la base de 3 , B ={(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,1)}. Obtenemos a partir de ella una
base ortonormal por el método de Gram-Schmidt ejecutando la sentencia:
GramSchmidt@881, −1, 0<, 80, 1, −1<, 81, 0, 1<<D
1
1
1
1
2
1
1
1
99 è!!! , − è!!! , 0=, 9 è!!! , è!!! , − $%%%%%% =, 9 è!!! , è!!! , è!!! ==
3
2
2
6
6
3
3
3
Si deseamos una base ortogonal simplemente, ejecutamos la misma orden con la opción
Normalized->False:
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GramSchmidt@881, −1, 0<, 80, 1, −1<, 81, 0, 1<<, Normalized → FalseD
981, −1, 0<, 9
1
1
2
2
2
,
, −1=, 9 ,
,
==
2
2
3
3
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:
En 3 :
a) {(1,0,0),(1,1,0),(1,-2,0)}
b) {(2,0,1),(3,1,2),(1,1,1),(7,3,5)}
En 4 :
c) {(1,0,-3,7),(2,-4,1,0),(0,1,-2,0)}
d) {(1,2,3,5),(-1,2,3,6),(5,2,3,4),(4,6,7,-2)}
2. De entre los siguientes subconjuntos de 4 determina cuáles son bases de 4 :
a) {(1,2,3,5),(1,4,5,6),(5,7,8,9),(4,6,7,9)}
b) {(-3,-1,0,0),(0,1,1,-1),(5,2,1,7),(8,1,1,4)}
3. Consideremos en 3 los conjuntos de vectores:
B1 ={(1,1,1),(1,1,2),(1,2,3)}
B2 ={(2,1,3),(3,2,-5),(1,-1,1)}
a) Comprueba que son bases de 3 .
b) Calcula la matriz de cambio de base de B1 a B2 .
c) Calcula las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en B2 son (3,2,-2).
4. Obtén la dimensión y una base del subespacio vectorial de 4 generado por los vectores
{(1,1,1,1),(1,0,0,1),(0,1,1,1),(0,0,1,0)}
5. Calcula una base ortonormal y una base ortogonal de 3 a partir de cada una de las bases
siguientes:
B1 ={(1,1,1),(1,0,1),(-1,1,0)}
B2 =8H1, 1, 1L, H1, -1, 0L, H1, 0, -1L<
6. Consideramos en el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 2 el producto escalar
definido en el ejemplo 9. Calcula:
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a) la norma de los vectores p(x)=x+3 y q Hx L = x 2 .
b) el ángulo que determinan.
7. Calcula la parábola de ecuación y = ax2 + bx + c que mejor aproxima, en el sentido de los mínimos cuadrados, los datos consignados en la tabla
xi 1 2 0 3
yi 1 1 2 −2
Dibuja conjuntamente los datos y la parábola obtenida.
8. Considera el espacio vectorial C[0,p/2] con el producto escalar usual. En dicho espacio considera
el subespacio vectorial Y generado por las funciones {cos(x),sen(x),cos(2x), sen(2x)}.
a) l Calcula una base ortonormal de dicho subespacio.
b) Calcula la aproximación por mínimos cuadrados (proyección ortogonal), g(x), de la
función
sen H6 xL ‰x
f HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
x2
c) Dibuja conjuntamente las funciones f(x) y g(x).
Usa para calcular las integrales necesarias la orden NIntegrate.