TRANSFORMADA DE LAPLACE

Serie 1
TRANSFORMADA
DE LAPLACE
Definición
∞
L[ f (t )] ≡ F (s) = ∫ f (t ) e dt
−st
0
Relaciona funciones dependientes del tiempo con funciones dependientes de una
variable compleja s. Permite resolver ecuaciones diferenciales, convirtiéndolas en
ecuaciones algebraicas de sencilla resolución.
La F(s) no tiene ninguna información sobre el comportamiento de f(t) para t < 0. La
información que nos interesa se presenta para t = 0 ó t > 0.
Ejemplo: La transformada de f(t) = e-t, será:
[ ]= ∫
Le
−t
∞
0
−t
e e
− st
dt =
∫
∞
0
e
− ( s + 1 )t
− 1 − ( s +1 )t
dt =
e
s +1
∞
0
1
=
s +1
Generalmente no es necesario resolver la integral, porque las transformadas más usadas
aparecen en tablas.
Propiedades
L[af (t ) + bg (t )] = aL[ f (t )] + bL[g (t )]
L[ f (t − T )] = e −Ts L[ f (t )]
L−1 [aL( f (t )) + bL( g (t ))] = a[ f (t )] + b[g (t )]
L e − at f (t ) = F ( s + a )
 df (t ) 
L
= s F ( s ) − F (0)

 dt 
 t 
L  f ( ) = aF (as)
 a 
 d 2 f (t ) 
2
L
=
s
F ( s ) − sF (0) − F´(0)

2
 dt 
 s 
L  F ( ) = af (at )
 a 
L ∫

F (s )

f (t ) d t =
+

s
∫
]
−1
f (t ) d t
0
s
[
t
F (s )


L ∫ f (t ) d t =
 0

s
Teorema de la convolución
Sean F1(s), F2(s) y sus respectivas f1(t) y f2(t) conocidas.
Para conocer la transformada inversa del producto F1(s)F2(s) que no figura en tabla, se
puede aplicar el teorema de la convolución, que establece la siguiente relación:
t
L [F1 (s )F2 (s )] = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
−1
0
Transformada inversa
También se conoce como antitransformada.
1
L [ F ( s )] ≡ f (t ) =
2 jπ
−1
∫
c + j∞
F ( s ) e st ds
c − j∞
Ejemplo: La transformada inversa de 1/(s+1) será:
−1 
1 
1
=
L 
 s + 1 2 jπ
∫
c + j∞
c − j∞
1
e st ds = e − t
s +1
Igual que en la transformada directa, en la mayoría de los casos no es necesario resolver
las integrales, ya que las soluciones se encuentran en tablas.
Expansión en fracciones simples
Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función
en componentes más sencillos.
(s − c1 )(s − c 2 )L (s − c m )
Q (s ) q m s m + L + q1 s + q 0
F (s ) =
=
=
R (s )
(s − p 1 )(s − p 2 )L (s − p n )
rn s n + L + r1 s + r0
Condiciones:
• Grado de R(s) > Grado de Q(s)
• rn=1
Q (s)
a1
a2
a3
an
F (s ) =
=
+
+
+L +
R ( s ) s − p1 s − p 2 s − p 3
s − pn
R(s): Polinomio característico del sistema.
c1 ... cm: Ceros de la función.
p1 … pn: Polos de la ecuación característica.
a1 … an: Residuos de F(s). ai es el residuo en pi.
Ejemplo de expansión en fracciones simples
s +1
A
B
=
+
( s + 2 ) ( s + 3)
s+2
s+3
s +1
A ( s + 3 ) + B (s + 2 )
=
( s + 2 ) ( s + 3)
( s + 2 ) ( s + 3)
( A + B)s = s → A + B = 1
3 A + 2B =1
A = −1
Expandir en un término para cada
factor en el denominador.
Reescribir usando común
denominador.
Igualar los términos en s y las
constantes. Resolver.
B= 2
s +1
−1
2
+
=
( s + 2 ) ( s + 3) s + 2
s+3
Expresar cada término de tal
forma que puede aplicarse la
antitransformada de Laplace.
Resolución de ecuaciones diferenciales
Condiciones que debe cumplir la ecuación diferencial:
• Lineal.
• Invariable en el tiempo.
Pasos a seguir para resolver la ecuación diferencial:
• Convertir la ecuación diferencial en una ecuación en términos de Laplace.
• Despejar la variable dependiente.
• Hallar la transformada inversa.
0
1
n −1
dn

n
n −1 d
n−2 d
0 d
L  n f (t ) = s F (s ) − s
f (t ) − s
f (t ) − LL − s
f (t )
0
1
n −1
dt
dt
dt
 dt

t =0
t =0
t =0
Método para resolver EDO’s Lineales usando
Transformada de Laplace
sY(s) - y(0) =
F(s,Y)
Y(s) = H(s)
LaplacedeDomain
Campo
Laplace
Campo
temporal
Time Domain
dy/dt = f(t,y)
y(t) = h(t)
Ejemplo de resolución de una EDO
d2y
dy
+
6
+ 8 y = 2 y (0) = y ' (0) = 0
2
dt
dt
2
s Y (s) + 6s Y (s) + 8 Y (s) = 2 / s
2
Y (s) =
s ( s + 2) ( s + 4)
1
1
−1
Y (s) =
+
+
4s
2 ( s + 2)
4 ( s + 4)
1 e −2t
e −4t
y (t ) = −
+
4
2
4
EDO con condiciones iniciales
Aplicar transformada de Laplace
a cada término.
Resolver para Y(s)
Aplicar expansión en fracciones
simples
Aplicar antitrasformada de
Laplace a cada término.
Teorema del Valor Inicial
lim t →0 [ f (t )] = lim s →∞ [s F ( s )]
• Permite usar la transformada de Laplace de una función
para determinar el valor inicial de esa función.
Teorema del Valor Final
lim t →∞ [ f (t )] = lim s →0 [s F ( s )]
• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor final de estado
estacionario de esa función.
Ejemplo de aplicación de TVF y TVI
2
Y ( s) =
s ( s + 2) ( s + 4)
2 ( 0)
1
limt →∞ [ f (t )] =
=
( 0) ( 0 + 2) ( 0 + 4) 4
2 (∞ )
lim t → 0 [ f (t ) ] =
=0
(∞ ) (∞ + 2) (∞ + 4)
• Transformada de
Laplace de la función
• Aplicar TVF
• Aplicar TVI
Transformadas codificadas
xy.zwk
X: exponente de s que puede ser factoreado del numerador
Y: orden de s en el numerador
Z: exponente de s que puede ser factoreado del denominador
W: número de raíces reales del denominador (excepto 0)
K: pares de raíces complejas conjugadas del denominador
s
G (s) =
s ( s + 1) ( s + 2 )
11.120
2
s ( s + 4 ) ( s + 3)
00.120
G (s) =
Transformadas más usadas
Transformadas más usadas