Teoría Tema 1

Tema 1
La Transformada de Laplace
1.1. Introducción
Con lo que conocemos de Teoría de Circuitos, es
posible abordar y resolver los siguientes problemas:
„
1)
Circuitos resistivos: Leyes de Kirchoff ⇒ Sistemas de
ecuaciones lineales
2)
Circuitos R, L, C + respuesta natural + respuesta al escalón: Ec.
Diferenciales + Cond. Iniciales ⇒ Homogénea + Particular
3)
Régimen Permanente Sinusoidal: Dominio fasorial + Leyes de
Kirchhoff ⇒ Sistemas de ecuaciones lineales
Problemática:
„
‰
‰
2) permite resolver cualquier circuito, pero el desarrollo
analítico es complicado.
3) se basa en operaciones sencillas, pero sólo es aplicable
cuando las fuentes presentes en el circuito son sinusoidales
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.2
1.1. Introducción
Buscamos un método que:
„
‰
‰
Sea sencillo desde el punto de vista analítico.
Permita analizar circuitos alimentados con cualquier tipo de
fuente
„
Esta herramienta es la Transformada de Laplace
„
Ventajas de la Transformada de Laplace:
‰
‰
Transforma ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones
polinómicas
Introduce directamente los valores iniciales de las variables (V. I.)
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.3
1.2. La Transformada Bilateral de Laplace
La Transformada bilateral de Laplace se define como:
„
∞
L b {x(t )} = X b ( s ) =ˆ ∫ x(t ) ⋅ e − st dt ,
−∞
s ∈C
s = σ + jω
‰
En general:
‰
En general, X(s) es una función compleja:
X (s )
y
∠{X (s )}
∠{X (s )}
X (s )
∠{X ( s0 )}
σ
σ
X ( s0 )
ω
(σ 0 , ω0 ) = s0
ω
Tema 1: La Transformada de Laplace
(σ 0 , ω0 ) = s0
T1.4
1.2. La Transformada Bilateral de Laplace
Algunas consideraciones:
„
‰
‰
‰
‰
La integral es IMPROPIA ⇒ puede converger o no
La convergencia depende de Re s = σ
Región de Convergencia (ROC) ⇒ conjunto de valores de la variable
compleja ‘s’ para los que la integral que representa la TL converge
La ROC depende exclusivamente de σ = Re s : la ROC está
constituida por franjas paralelas al eje ‘jω’ en el plano complejo.
{}
{}
Im {s}
−a
ROC
Re {s}
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.5
1.2. La Transformada Bilateral de Laplace
Relación con la Transformada de Fourier de señales
continuas
„
∞
X b ( s ) = ∫ x(t ) ⋅ e
−∞
− st
∞
dt = ∫ x(t ) ⋅ e
− (σ + j ω ) t
−∞
s = σ + jω
∞
dt = ∫ x(t ) ⋅ e − jω t dt =F {x(t )}
−∞
Caso particular:
σ =0
s = jω
X b ( s ) s = jω = F {x(t )}
‰
Luego:
‰
De otra forma:
{
X b ( s ) = F x(t ) ⋅ e −σ t
}
La Transformada de Fourier es un caso particular de la Transformada de Laplace.
En concreto, resulta de evaluar la Transformada de Laplace en los puntos
Tema 1: La Transformada de Laplace
s = jω
T1.6
1.3. La Transformada Unilateral de Laplace
La Transformada unilateral de Laplace se define como:
„
∞
L {x(t )} = X ( s ) =ˆ ∫ − x(t ) ⋅ e − st dt
0
Consideraciones:
„
‰
‰
‰
‰
‰
La integral es IMPROPIA, esto es, puede converger o no
(no todas las señales tienen Transformada de Laplace; las que
manejamos en Teoría de Circuitos, sí van a tener)
El límite 0- aparece en la transf. unilateral: es decir, que señales iguales
para t ≥ 0 tendrán idéntica TL unilateral (pues lo que ocurra en t < 0
no influye)
Dos señales idénticas para t
general, distinta TL bilateral
Si una señal es nula para
≥ 0 tendrán la misma TL unilateral y, en
t < 0, sus TL unilateral y bilateral son idénticas
En análisis de circuitos nos interesa la TL unilateral, pues las señales de
las fuentes serán siempre finitas
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.7
1.3. La Transformada Unilateral de Laplace
Ejemplos:
„
La función ‘escalón’:
‰
u (t )
∞
0
0
− 1 − st
=
e
s
1
∞
0
x(t ) = u (t )
t
‰
∞
L {u (t )} = ∫ − u (t ) ⋅ e − st dt = ∫ e − st dt =
1
1
= − (0 − 1) =
s
s
L
J
X ( s) =
1
s
La función ‘impulso’:
∞
∞
0
0
L {δ (t )} = ∫ − δ (t ) ⋅ e − st dt = ∫ δ (t ) dt = 1
δ (t )
t
x(t ) = δ (t )
Tema 1: La Transformada de Laplace
L
J
X ( s) = 1
T1.8
1.3. La Transformada Unilateral de Laplace
Ejemplos (sigue):
„
La función ‘exponencial decreciente’:
‰
{ }= ∫
L {x(t )} = L e
x(t )
=
−a t
∞
0
−
e
−a t
1
e −( s + a ) t
− ( s + a)
⋅e
∞
0
− st
∞
dt = ∫ e −( s + a ) t dt =
0
=
1
1
(0 − 1) =
− ( s + a)
s+a
t
x(t ) = e
Tema 1: La Transformada de Laplace
−at
L
J
X (s) =
1
s+a
T1.9
1.3. La Transformada Unilateral de Laplace
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.10
1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
‰
Multiplicación por una constante
L
L
x(t )
‰
X (s )
k ⋅ x(t )
J
k ⋅ X (s )
Suma
x1 (t )
x2 (t )
‰
J
La TL es lineal
L
J
L
J
X 1 (s)
X 2 ( s)
Diferenciación
L
x(t )
J
X (s )
x1 (t ) + x2 (t )
L
J X 1 ( s) + X 2 ( s)
Una derivada se
transforma en un producto
⎧ dx(t ) ⎫
−
L⎨
⎬ = s ⋅ X ( s ) − x (0 )
⎩ dt ⎭
−
⎧ d n ) x(t ) ⎫ n
d n −1) x(0 − )
n −1
−
n − 2 d x (0 )
L⎨
− ... −
⎬ = s ⋅ X ( s ) − s x (0 ) − s
n
n −1
dt
dt
dt
⎩
⎭
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.11
1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
‰
Integración
L
x(t )
L
‰
{∫
∞
0−
J
Una integral se transforma en una división
X (s )
}
x(τ ) dτ =
X ( s)
s
Desplazamiento en el tiempo
L
x(t )
J
X (s )
x(t − a) ⋅ u (t − a )
‰
L
J
Un desplazamiento en el tiempo equivale a
multiplicar por una exponencial en frecuencia
e − a s ⋅ X ( s ), a > 0
Desplazamiento en el dominio de la frecuencia
L
Multiplicar por una exponencial en el tiempo
x(t )
J
e − a t ⋅ x(t )
X (s )
L
J
equivale a un desplazamiento en frecuencia
X ( s + a)
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.12
1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
‰
Escalado en el tiempo
L
J X (s)
⎛s⎞
L 1
x(a t ) J ⋅ X ⎜ ⎟,
a
a
x(t )
⎝ ⎠
‰
a>0
Diferenciación en el dominio de la frecuencia
L
J X (s)
L
d X (s)
t ⋅ x(t ) J −
ds
x(t )
t ⋅ x(t )
n
L
J
n)
d
X (s)
n
(− 1) ⋅
ds n
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.13
1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.14
1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
„
Ejemplo:
Calcular la Transformada de Laplace de
{
L {x(t )} = L t ⋅ e
2
−a t
}= ∫
∞
0
t ⋅e
−
2
−a t
⋅e
−s t
x(t ) = t 2 ⋅ e − a t
∞
dt = ∫ − t 2 ⋅ e −( s + a ) t dt ...
0
De forma alternativa, aplicando las propiedades:
x1 (t ) = e − a t
L
J
x(t ) = t ⋅ x1 (t )
2
1
X 1 (s) =
s+a
L
J
d 2 X 1 (s)
X ( s ) = (− 1) ⋅
=
2
ds
d ⎡ − 1 ⎤ 2 ( s + a)
2
= ⎢
=
=
2⎥
4
ds ⎣ ( s + a ) ⎦ ( s + a )
( s + a)3
2
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.15
1.5. Transformadas Racionales
Una transformada de Laplace es RACIONAL cuando se
puede expresar como el cociente de dos polinomios:
„
P ( s ) an ⋅ s n + an −1 ⋅ s n −1 + ... + a1 ⋅ s + a0
X (s) =
=
Q( s ) bm ⋅ s m + bm −1 ⋅ s m −1 + ... + b1 ⋅ s + b0
‰
Interés de las transformadas racionales: una clase de sistemas
LTI particularmente útil son aquellos cuyas entradas y salidas se
relacionan mediante ecuaciones diferenciales de coeficientes
constantes (filtros analógicos)
N
∑
k =0
‰
k)
d x(t )
=
ak ⋅
dt
M
∑
k =0
d k ) y (t )
bk ⋅
dt
TL de la derivadas ⇒ polinomios ⇒ transformadas racionales
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.16
1.5. Transformadas Racionales
Este es el problema que
queremos resolver ahora
1.5.1. La Transformada Inversa:
„
x(t )
‰
L
J
X (s )
X (s)
racional
L
-1
J
x(t )
Partimos de una transformada racional:
an ⋅ s n + an −1 ⋅ s n −1 + ... + a1 ⋅ s + a0
X (s) =
bm ⋅ s m + bm −1 ⋅ s m −1 + ... + b1 ⋅ s + b0
y dividimos entre bm (coeficiente de s = 1 )
m
an n an −1 n −1
a
a
⋅s +
⋅ s + ... + 1 ⋅ s + 0
b
bm
bm
bm P( s )
=
X ( s) = m
b
b
b
Q( s)
s m + m −1 ⋅ s m −1 + ... + 1 ⋅ s + 0
bm
bm
bm
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.17
1.5. Transformadas Racionales
Si grado{P(s)} ≥ grado{Q(s)} ⇒ Dividir, de forma que:
‰
X ( s) = M ( s) +
Encontrar las raíces de Q(s):
‰
‰
N (s)
Q( s)
p1 , p2 , ... , pr ≡
grado{N(s)} < grado{Q(s)}
{p }
•
‘r’ raíces:
•
La raíz ‘pk’ tendrá multiplicidad ‘Mk’
r
k k =1
Podemos escribir:
N (s)
=
Q( s)
donde:
r
Mk
∑∑
k =1 m =1
Akm
( s − pk ) m
• Akm: ‘residuos’
• pk: ‘polos’
⎫
⎧⎡ d M k − m ) ⎛ N ( s )
1
⎪
⎪
M k ⎞⎤
⎜
⎟
⋅
−
Akm =
(
s
p
)
⎨⎢ M k − m ⎜
⎬
⎥
k
⎟
( M k − m)! ⎪⎣ ds
⎝ Q( s)
⎠⎦ s = pk ⎪⎭
⎩
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.18
1.5. Transformadas Racionales
‰
La transformada inversa es:
-1⎧ N ( S ) ⎫
Mk
r
L ⎨
⎬=
⎩ Q( s) ⎭
∑∑
k =1 m =1
Akm
⋅ t m −1 ⋅ e pk t ⋅ u (t )
(m − 1)!
puesto que la transf. inversa de cada término es:
Akm
( s − pk ) m
‰
L
-1
J
Akm
⋅ t m −1 ⋅ e p k t ⋅ u (t )
( m − 1)!
En resumen:
L
{X ( s)} = L {M ( s)}+ L
-1
-1
-1⎧ N ( s ) ⎫
⎬
⎨
Q
(
s
)
⎭
⎩
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.19
1.5. Transformadas Racionales
‰
Y añadimos en nuestra tabla de transformadas, las siguientes:
1
1
L
m −1
−a t
x (t ) =
⋅ t ⋅ e ⋅ u (t ) J X ( s ) =
(s + a)m
( m − 1)!
δ (t )
d δ (t )
dt
L
J
L
J
1
s
d 2 δ (t ) L
2
s
J
dt 2
d n ) δ (t ) L
n
s
J
dt n
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.20
1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
2s 2 + 2s − 4 P( s)
X (s) =
=
2s + 6
Q( s)
„
‰
Simplificamos:
‰
Grado{P(s)}=2 ≥ Grado{Q(s)}=1 ⇒ Dividir
2s 2 + 2s − 4 s 2 + s − 2
X ( s) =
=
2s + 6
s+3
s2 + s − 2
− s 2 − 3s
s+3
s−2
= M (s)
− 2s − 2
+ 2s + 6
4
= N (s)
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.21
1.5. Transformadas Racionales
‰
Con lo que queda:
4
P( s)
N ( s)
X ( s) =
= M (s) +
= ( s − 2) +
Q( s)
Q( s)
s+3
‰
Cuya transf. inversa (aplicando propiedades) es:
x(t ) =
d δ (t )
− 2δ (t ) + 4 e −3t u (t )
dt
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.22
1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
2s + 12
P( s)
X (s) = 3
=
2
s +6s + 11s + 6 Q( s )
„
‰
Calculamos las raíces de Q(s):
Q( s ) = s 3 +6 s 2 + 11s + 6
Las raíces deben ser divisores del término independiente
−1
−2
−3
1
6
−1
1
5
−2
1
3
−3
1
0
11
6
−5 −6
6
0
−6
0
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.23
1.5. Transformadas Racionales
‰
Por consiguiente, resulta:
Q( s ) = s 3 +6 s 2 + 11s + 6 = ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3)
‰
De esta forma, tendremos:
A31
A11
A21
X ( s) =
+
+
s +1 s + 2 s + 3
‰
Siendo:
Ak mmultiplicidad
raíz
⎧⎪⎡
⎤
1
2 s + 12
⋅ ⎨⎢
⋅ ( s + 1)⎥
A11 =
(1 − 1)! ⎪⎩⎣ ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3)
⎦
⎫⎪ − 2 + 12
=5
⎬=
2
s = −1 ⎪
⎭
⎫⎪ − 4 + 12
⎧⎪⎡
⎤
1
2 s + 12
⋅ ⎨⎢
⋅ ( s + 2)⎥
A21 =
= −8
⎬=
(1 − 1)! ⎪⎩⎣ ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3)
−1
⎦ s = −2 ⎪⎭
⎧⎪⎡
⎫⎪ − 6 + 12
⎤
1
2 s + 12
A31 =
⋅⎨
⋅ ( s + 3)⎥
=3
⎬=
(1 − 1)! ⎩⎪⎢⎣ ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3)
2
⎦ s = −3 ⎭⎪
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.24
1.5. Transformadas Racionales
‰
Así, quedará:
5
8
3
X ( s) =
−
+
s +1 s + 2 s + 3
‰
Por lo que la transformada inversa resultará ser:
x(t ) = 5 e − t u (t ) − 8 e −2 t u (t ) + 3 e −3t u (t )
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.25
1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
180 s + 5400
P( s)
X (s) = 4
=
3
2
s + 11s +39 s + 45s Q( s )
„
‰
En Q(s) podemos sacar ‘s’ factor común:
Q( s ) = s ⋅ ( s 3 +11s 2 + 39s + 45)
‰
Hallamos las raíces
1
11
39
45
−3
− 3 − 24 − 45
1
8
15
0
−3
− 3 − 15
1
5
0
−5
−5
1
0
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.26
1.5. Transformadas Racionales
‰
En este caso, las raíces son:
⎧r1 = 0
⎪
⎨r2 = −3
⎪r = −5
⎩3
‰
:
M1 = 1
:
M2 = 2
:
M3 =1
De forma que queda:
Q( s ) = s ⋅ ( s 3 +11s 2 + 39 s + 45) = s ⋅ ( s + 3) 2 ⋅ ( s + 5)
‰
Es decir, que:
A31
A11
A21
A22
X ( s) =
+
+
+
2
s
s + 3 ( s + 3)
s+5
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.27
1.5. Transformadas Racionales
Siendo:
⎧⎪⎡ 180 s + 5400
⎤ ⎫⎪ 5400
1
⋅ ⎨⎢
⋅ s⎥ ⎬ =
A11 =
= 120
2
(1 − 1)! ⎪⎩⎣ s ⋅ ( s + 3) ⋅ ( s + 5) ⎦ s =0 ⎪⎭ 9.5
⎧⎪⎡ d ⎛ 180s + 5400
⎫⎪ ⎡ d ⎛ 180 s + 5400 ⎞⎤
⎤
1
2⎞
⋅ ⎨⎢ ⎜⎜
⋅ ( s + 3) ⎟⎟⎥
A21 =
⎟⎥
⎬=⎢ ⎜
2
2
(2 − 1)! ⎪⎣ ds ⎝ s ⋅ ( s + 3) ⋅ ( s + 5)
5
+
ds
s
s
⎠⎦
⎠⎦ s = −3 ⎪⎭ ⎣ ⎝
⎩
‰
180( s 2 + 5s ) − (180 s + 5400) ⋅ (2s + 5)
=
( s 2 + 5s ) 2
=
s =−3
=
s = −3
180(9 − 15) − (−540 + 5400) ⋅ (−6 + 5)
=
2
(9 − 15)
180 ⋅ (−6) + 4860 3780
=
= 105
36
36
⎧⎪⎡ 180 s + 5400
1
2⎤
⋅ ⎨⎢
⋅
+
A22 =
(
s
3
)
⎥
(2 − 2)! ⎪⎩⎣ s ⋅ ( s + 3) 2 ⋅ ( s + 5)
⎦
=
⎧⎪⎡ 180 s + 5400
⎤
1
⋅⎨
⋅ ( s + 5)⎥
A31 =
(1 − 1)! ⎪⎩⎢⎣ s ⋅ ( s + 3) 2 ⋅ ( s + 5)
⎦
⎫⎪ − 180 ⋅ 3 + 5400
= −810
⎬=
− 3 ⋅ (2)
s = −3 ⎪
⎭
⎫⎪ − 180 ⋅ 5 + 5400
= −225
⎬=
−
5
⋅
(
4
)
s = −5 ⎪
⎭
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.28
1.5. Transformadas Racionales
‰
Con lo que resulta:
120
105
810
225
X (s) =
+
−
−
2
s
( s + 3) ( s + 3)
( s + 5)
‰
Y la transformada inversa será:
x(t ) = 120 u (t ) + 105 e − 3t u (t ) − 810 t e −3t u (t ) − 225 e −5t u (t )
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.29
1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
40
P( s)
X ( s) = 2
=
2
( s + 4 s + 5)
Q( s)
„
‰
Las raíces serán:
Q( s ) = ( s 2 + 4 s + 5) 2
s + 4s + 5 = 0
2
‰
− 4 ± 16 − 20 − 4 ± − 4 − 4 ± j 2
=
=
= −2 ± j
⇒ s=
2
2
2
Por lo que tendremos que:
⎧r1 = −2 + j
⎨
⎩r2 = −2 − j
:
M1 = 2
:
M2 = 2
Q( s) = ( s + 2 − j ) 2 ⋅ ( s + 2 + j ) 2
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.30
1.5. Transformadas Racionales
‰
Por lo que:
A11
A12
A21
A22
X (s) =
+
+
+
2
s + 2 − j (s + 2 − j)
s + 2 + j (s + 2 + j)2
⎧⎡ d
1
⎪
A11 =
⋅ ⎨⎢
( 2 − 1)! ⎪ ⎣ ds
⎩
⎛
40
2 ⎞⎤
⎟⎟ ⎥
⎜⎜
(
s
2
j
)
⋅
+
−
2
2
(
s
2
j
)
(
s
2
j
)
+
−
⋅
+
+
⎠⎦
⎝
0 ⋅ ( s + 2 + j ) 2 − 40 ⋅ 2 ( s + 2 + j )
=
(s + 2 + j)4
=
s = −2+ j
⎫ d ⎛
40
⎪
⎜
=
⎬
ds ⎜⎝ ( s + 2 + j ) 2
⎪
s = −2 + j ⎭
⎞
⎟⎟
=
⎠ s= −2+ j
− 80 ⋅ ( − 2 + j + 2 + j ) − 160 j − 160 j
=
=
= − 10 j
(−2 + j + 2 + j ) 4
(2 j ) 4
16
⎧⎪⎡
1
40
2⎤
A12 =
s
j
(
2
)
⋅ ⎨⎢
⋅
+
−
⎥
(2 − 2)! ⎪⎣ ( s + 2 − j ) 2 ⋅ ( s + 2 + j ) 2
⎦
⎩
⎫⎪
40
40
40
=
=
= −10
⎬=
2
2
−
+
+
+
−
j
j
j
(
2
2
)
(
2
)
4
s = −2 + j ⎪
⎭
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.31
1.5. Transformadas Racionales
y:
⎧⎡ d
1
⎪
A21 =
⋅ ⎨⎢
( 2 − 1)! ⎪ ⎣ ds
⎩
=
⎤
⎛
40
2 ⎞
⎜⎜
⎟
(
s
2
j
)
⋅
+
+
2
2
⎟⎥
⎝ (s + 2 − j) ⋅ (s + 2 + j)
⎠⎦
− 40 ⋅ 2 ⋅ ( s + 2 − j )
(s + 2 − j)4
=
s = −2 − j
⎞
⎟⎟
=
⎠ s= −2− j
− 80
− 80 − 10
− 80 ⋅ ( − 2 − j + 2 − j ) − 80 ⋅ ( − 2 j )
=
=
=
=
= 10 j
(−2 − j + 2 − j ) 4
(−2 j ) 4
(−2 j )3
8j
j
⎧⎪⎡
1
40
2⎤
(
2
)
A22 =
s
j
⋅ ⎨⎢
⋅
+
+
⎥
(2 − 2)! ⎪⎣ ( s + 2 − j ) 2 ⋅ ( s + 2 + j ) 2
⎦
⎩
‰
⎫ d ⎛
40
⎪
⎜⎜
⎬=
ds ⎝ ( s + 2 − j ) 2
s = −2 − j ⎪
⎭
⎫⎪
40
40
40
=
=
= −10
⎬=
2
2
(
−
2
−
+
2
−
)
(
−
2
)
−
4
j
j
j
s = −2 − j ⎪
⎭
Así:
10
10 j
10
− 10 j
X ( s) =
−
+
−
2
(s + 2 − j) (s + 2 − j)
(s + 2 + j) (s + 2 + j)2
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.32
1.5. Transformadas Racionales
‰
De forma que la transformada inversa resulta ser:
x(t ) = −10 j ⋅ e( −2+ j ) t ⋅ u(t ) − 10 t ⋅ e( −2+ j ) t u(t ) + 10 j ⋅ e( −2− j ) t ⋅ u(t ) − 10 t ⋅ e( −2− j ) t u(t ) =
= − 10 j (e −2 t e j t − e −2 t e − j t ) ⋅ u(t ) − 10 ⋅ t ⋅ (e −2 t e j t + e −2 t e − j t ) ⋅ u(t ) =
= −10 j ⋅ e −2 t ⋅ (e j t − e − j t ) ⋅ u(t ) − 10 ⋅ t ⋅ e −2 t ⋅ (e j t + e − j t ) ⋅ u(t ) =
= −10 j ⋅ e −2 t ⋅ 2 j ⋅ sen(t ) ⋅ u(t ) − 10 ⋅ t ⋅ e −2 t ⋅ 2 ⋅ cos(t ) ⋅ u(t ) =
= 20 ⋅ e −2 t ⋅ sen(t ) ⋅ u(t ) − 20 ⋅ t ⋅ e −2 t ⋅ cos(t ) ⋅ u(t )
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.33
1.5. Transformadas Racionales
1.5.2. Diagrama de Ceros y Polos:
„
Una función racional se puede expresar como el cociente de dos
polinomios factorizados:
‰
(s − z )
∏
P(s)
X (s) =
=k⋅
Q( s)
∏ (s − p )
i
i
j
j
„
“zi”: ceros, raíces del polinomio del numerador
„
“pj”: polos, raíces del polinomio del denominador
Se representan en el plano complejo: “Diagramas de polos y ceros”
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.34
1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo:
s 2 + 6 s + 25
10 s 2 + 60 s + 250
X ( s) = 3
= 10 ⋅ 3
2
s + 8s + 15s
s + 8s 2 + 15s
„
‰
Ceros: raíces del numerador, s + 6 s + 25 = 0
2
− 6 ± 36 − 100 − 6 ± − 64 − 6 ± 8 j
s=
=
=
= −3 ± 4 j
2
2
2
z1 = −3 + 4 j
‰
z 2 = −3 − 4 j
Complejos conjugados (función real)
Polos: raíces del denominador, s 3 + 8s 2 + 15s = 0
s = 0;
s 2 + 8 s + 15 = 0
− 8 ± 64 − 60 − 8 ± 4 − 8 ± 2 ⎧ − 3
s=
=
=
=⎨
2
2
2
⎩− 5
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.35
1.5. Transformadas Racionales
‰
Con lo que tenemos finalmente:
z1 = −3 + 4 j
p1 = 0
‰
z 2 = −3 − 4 j
p2 = −3
p3 = −5
El diagrama de polos y ceros quedará:
Im{s}
-4
Los ceros indican los
puntos en que X ( s ) = 0
-3
-2
Re{s}
-1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
2
Los polos indican los
puntos en que X (s ) = ∞
Un sistema será estable
si sus polos están a la
izquierda del eje ‘jω’
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.36
1.6. Teoremas del valor inicial y final
„
Bajo las suposiciones:
‰
(i) Existen las TL de x (t ) y x′(t )
‰
‰
‰
„
(ii) Existen los límites de s ⋅ X (s )
(iii) x (t ) no contiene funciones impulso ni singularidades en el
origen
(iv) Los polos de X (s ) están estrictamente en la mitad
izquierda del plano ‘s’ complejo (salvo, a lo sumo, un polo de
orden ‘1’ en el origen)
Teorema del Valor Inicial
lim+ x(t ) = lim s ⋅ X ( s )
t →0
„
s →∞
Teorema del Valor Final
lim x(t ) = lim s ⋅ X ( s )
t →∞
s →0
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.37
1.6. Teoremas del valor inicial y final
Ejemplo:
„
96 s 2 + 1632 s + 5760 96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60)
X ( s) =
= 3
3
2
s + 14 s + 48s
s + 14 s 2 + 48s
‰
Ceros:
s + 17 s + 60 = 0 ⇒
2
‰
− 17 ± 289 − 240 − 17 ± 7 ⎧ z1 = −5
=
=⎨
s=
2
2
⎩ z 2 = −12
Polos:
s=0 ⇒
p1 = 0
s + 14 s + 48 = 0 ⇒
2
− 14 ± 196 − 192 − 14 ± 2 ⎧ p 2 = −6
=
=⎨
s=
2
2
⎩ p3 = − 8
A31
A11
A21
X ( s) =
+
+
s
s+6
s +8
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.38
1.6. Teoremas del valor inicial y final
‰
Resultando:
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60)
96 ⋅ 60
=
= 120
A11 =
( s + 6) ⋅ ( s + 8) s =0
48
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60)
96 ⋅ (36 − 17 ⋅ 6 + 60) − 576
=
=
= 48
A21 =
⋅
(
+
8
)
−
6
⋅
(
−
6
+
8
)
−
12
s s
s = −6
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60)
96 ⋅ (64 − 17 ⋅ 8 + 60)
=
= −72
A21 =
− 8 ⋅ (−8 + 6)
s ⋅ ( s + 6)
s = −8
‰
Por lo que:
x(t ) = 120 u (t ) + 48 e − 6t u (t ) − 72 e −8t u (t )
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.39
1.6. Teoremas del valor inicial y final
‰
De forma que podemos verificar que:
Valor inicial:
lim+ x(t ) = 120 + 48 − 72 = 96
t →0
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60)
lim s ⋅ X ( s ) = lim
= 96
2
s →∞
s →∞
s + 14 s + 48
Valor final:
lim x(t ) = 120
t →∞
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60)
lim s ⋅ X ( s ) = lim
= 120
2
s →0
s →0
s + 14 s + 48
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.40
1.6. Teoremas del valor inicial y final
Ejemplo:
X ( s) =
„
‰
s
s 2 + 25
Ceros:
z1 = 0
‰
Polos:
s + 25 = 0
2
‰
⇒
⎧ p1 = 5 j
s = −25 ⇒ s = ± j 5 ⇒ ⎨
⎩ p 2 = −5 j
2
Quedando:
A11
A21
X ( s) =
+
s −5 j s +5 j
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.41
1.6. Teoremas del valor inicial y final
‰
Con lo que:
s
A11 =
s+5j
A21 =
‰
s
s −5 j
s =5 j
5j
5j 1
=
=
=
5 j + 5 j 10 j 2
=
s = −5 j
−5 j 1
−5 j
=
=
− 5 j − 5 j − 10 j 2
Y, en consecuencia:
x(t ) =
1 5 jt
1
e u (t ) + e −5 j t u (t ) = cos(5t ) ⋅ u (t )
2
2
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.42
1.6. Teoremas del valor inicial y final
‰
Resultando que:
Valor inicial:
lim x(t ) = 1
t →0 +
s2
lim s ⋅ X ( s ) = lim 2
=1
s →∞
s →∞ s + 25
Valor final:
lim x(t ) = indeterminado
t →∞
s2
0
lim s ⋅ X ( s ) = lim 2
=
=0
s →0
s → 0 s + 25
25
En este caso, no se puede aplicar el th. del valor final
porque hay dos polos en el eje ‘jω’
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.43
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
„
a) Resistencia:
‰
„
Dominio temporal:
i(t)
R
v(t ) = R ⋅ i(t )
v(t)
„
Dominio de Laplace:
I(s)
R
V(s)
V ( s) = R ⋅ I ( s)
en el
Z R = R ⇒ Impedancia
dominio ‘s’
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.44
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
„
b) Bobina:
‰
„
Dominio temporal:
L
i(t)
I0
„
v(t ) = L ⋅
1 t
i (t ) = ⋅ ∫ v(τ ) dτ + I 0
L 0
v(t)
Dominio de Laplace:
I(s)
LI0
Ls
V ( s ) = L ⋅ (s I ( s ) − I 0 ) =
V(s)
Ls
I(s)
d i (t )
dt
= L s I ( s) − L I 0
1 V ( s) I 0
⋅
+
L s
s
Z L = L s ⇒ Impedancia en el
I ( s) =
I0 /s
V(s)
Tema 1: La Transformada de Laplace
dominio ‘s’
T1.45
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
„
c) Condensador:
‰
„
Dominio temporal:
C
i(t)
„
Dominio de Laplace:
I(s)
i (t ) = C ⋅
1 t
v(t ) = ⋅ ∫ i (τ ) dτ + V0
C 0
v(t)
1/Cs
V0 /s
I ( s ) = C ⋅ (s V ( s ) − V0 ) =
= C s V ( s ) − CV0
V(s)
1/Cs
I(s)
d v(t )
dt
1 I ( s ) V0
⋅
+
C s
s
1
ZC =
⇒ Impedancia en el
Cs
dominio ‘s’
V (s) =
CV0
V(s)
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.46
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
„
Corolario:
‰
„
„
Se utilizará una configuración u otra según las características
del circuito global.
La impedancia será aquel término que incluirá todo aquello
que relacione V(s) con I(s) en el dominio de Laplace, de modo
que: V(s) = Z · I(s)
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.47
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.2. Leyes de Kirchhoff en el dominio ‘s’
„
Puesto que la Transformada de Laplace es lineal,
podemos aplicar directamente las leyes de Kirchhoff:
‰
„
1ª Ley de Kirchhoff o Ley de las Corrientes:
∑ i(t ) = 0
⇒
nudo
„
∑ I (s) = 0
nudo
2ª Ley de Kirchhoff o Ley de las Tensiones:
∑ v(t ) = 0
malla
⇒
∑ V ( s) = 0
malla
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.48
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.3. Resolución de circuitos mediante la
transformada de Laplace
„
Procedimiento para usar la TL con circuitos:
‰
„
0) Calcular las condiciones iniciales: vC(0-), iL(0-) (tensión en C y corriente
en L)
„
1) Representar el circuito equivalente en el dominio de Laplace.
„
2) Aplicar métodos de resolución de circuitos.
„
3) Resolver: obtener V(s), I(s).
„
4) Calcular la transformada inversa.
„
5) Comprobar las condiciones iniciales y los valores finales
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.49
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
„
Vg(t) = 12·u(t) V
Ejemplo:
C
C= 1 F; R1 = 1 Ω; L = 1 H; R2 = 1 Ω
L
iL(t)
vg(t)
R1
Vc(0) = 4 V; iL(0)= 2 A
1/C·s = 1/s
R2
IL(s)
V0/s = 4/s
Vg(s) = 12/s
L·I0=2
1
Ia(s)
4 1
12
Malla A ⇒ + I a ( s ) − + I a ( s ) − I b ( s ) = 0
s s
s
8
⎛ 1⎞
I a ( s ) ⋅ ⎜1 + ⎟ − I b ( s ) =
s
⎝ s⎠
s +1
8
I a (s) ⋅
− I b ( s) =
s
s
⇒ I a ( s ) ⋅ ( s + 1) − I b ( s ) ⋅ s = 8 (1)
L·s = s
A
1
Ib(s)
B
Malla B ⇒ s ⋅ I b ( s ) − 2 + I b ( s ) + I b ( s ) − I a ( s ) = 0
− I a ( s ) + ( s + 2) ⋅ I b ( s ) = 2
⇒ I a ( s ) = ( s + 2) ⋅ I b ( s ) − 2
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.50
( 2)
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
„
Sustituyendo (2) en (1), queda:
[( s + 2) ⋅ I b (s) − 2]⋅ (s + 1) − s ⋅ I b ( s) = 8
(s ⋅ I b ( s) + 2 ⋅ I b ( s) − 2) ⋅ ( s + 1) − s ⋅ I b ( s) = 8
s 2 I b ( s) + 2s I b ( s) − 2s + s I b ( s) + 2 I b ( s) − 2 − s I b ( s) = 8
s 2 I b ( s ) + 2s I b ( s ) + 2 I b ( s ) = 2s + 10
2 s + 10
I b ( s) = 2
= I L (s)
s + 2s + 2
s 2 + 2s + 2 = 0 ⇒ s =
⎧ s = −1 + j
− 2± 4−8 − 2± 2 j
=
= −1 ± j = ⎨ 1
2
2
⎩ s 2 = −1 − j
A11
A21
I L ( s) =
+
s +1− j s +1+ j
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.51
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
‰
Con lo que:
A11 =
2 s + 10
s +1+ j
2 s + 10
A21 =
s +1− j
‰
s = −1+ j
− 2 + 2 j + 10 8 + 2 j 4 + j
=
=
= 1− 4 j
−1 + j +1 + j
2j
j
s = −1− j
− 2 − 2 j + 10 8 − 2 j 4 − j
=
=
=
= 1+ 4 j
−1− j +1− j
−2j
j
=
De forma que queda:
iL (t ) = (1 − 4 j ) ⋅ e −(1− j ) t ⋅ u(t ) + (1 + 4 j ) ⋅ e −(1+ j ) t ⋅ u(t ) =
= (e − t e j t − 4 j e− t e j t + e − t e − j t + 4 j e − t e − j t ) ⋅ u(t ) =
[
]
= e − t ⋅ 2 ⋅ cos(t ) − 4 j e − t ⋅ 2 j ⋅ sen(t ) ⋅ u(t ) =
[
]
= 2 ⋅ e − t cos(t ) + 4 e − t sen(t ) ⋅ u(t ) = 2 ⋅ e − t [cos(t ) + 4 sen(t )]⋅ u(t )
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.52
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
‰
Verificándose asimismo que:
Valor inicial:
lim+ iL (t ) = 2
t →0
2s 2 + 10 s
lim s ⋅ I L ( s ) = lim 2
=2
s →∞
s →∞ s + 2 s + 2
Valor final:
lim iL (t ) = 0
t →∞
2 s 2 + 10s
lim s ⋅ I L ( s ) = lim 2
=0
s →0
s →0 s + 2 s + 2
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.53
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
„
Ejemplo:
R1 = 20 Ω; L = 4 H; R2 = 100 Ω; I0 = 0 A
iL(t)
ig(t)
L
ig(t)
R2
0.2
R1
0
I1(s)
i g (t ) = 0.2 u(t ) − 0.2 u(t − 0.15)
I2(s)
IL(s)
Ig(s)
V1(s)
20
4s
t
0.15
I g ( s ) = 0 .2 ⋅
1
1
0 .2
− 0.2 ⋅ ⋅ e −0.15 s =
(1 − e −0.15 s )
s
s
s
100
En el nudo superior ⇒ − I g (s ) +
V1(s )
V (s )
+ 1
=0
4s + 20 100
⎡ 120 + 4s ⎤
100 ⋅ ( 4s + 20 )
V1(s ) ⋅ ⎢
=
I
(
s
)
⇒
V
(
s
)
=
I
(
s
)
⋅
1
g
⎥ g
120 + 4s
⎣100 ⋅ ( 4s + 20 ) ⎦
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.54
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
100
25
V1(s )
= I g (s ) ⋅
= I g (s ) ⋅
⇒
4s + 20
120 + 4s
30 + s
0.2
25
5
5
⋅ (1 − e −0.15 s ) ⋅
=
−
⋅ (1 − e −0.15 s )
I L (s ) =
30 + s s ⋅ (30 + s ) s ⋅ (30 + s )
s
I L (s ) =
IL (s ) = X 1(s ) − X 1(s ) ⋅ e −0.15 s
V. I.
i L (t ) = x1(t ) − x 1(t − 0.15)
5
A
A12
= 11 +
s ⋅ (30 + s )
s
s + 30
Polos : s = 0 s = −30
X 1( s ) =
A11 =
A12 =
5
1
=
30 + s s =0 6
5
1
=−
6
s s = −30
x1(t ) =
lim i L (t ) = 0
t →0 +
lim s ⋅ X (s ) = 0
s →∞
V. F.
lim i L (t ) = 0
t →∞
lim s ⋅ X (s ) =
s →0
5
5
−
⋅ e −0.15 s
30 + s 30 + s
=
s =0
1 1
− =0
6 6
1
1
1
1
⋅ u(t ) − ⋅ e −30 t ⋅ u(t ) − ⋅ u(t − 0.15 ) + ⋅ e −30 ( t −0.15 ) ⋅ u(t − 0.15)
6
6
6
6
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.55
1.8. La Función de Transferencia
La Función de Transferencia es el cociente, en el
dominio ‘s’, entre la salida (respuesta) y la entrada
(excitación); es decir, es el cociente entre la TL de la
señal de salida y la TL de la señal de entrada.
„
‰
‰
„
Excitación:
Respuesta:
L
e(t ) → E (s )
L
r ( t ) → R (s )
R (s )
H (s ) =
⇒
E (s )
Función de
Transferencia
H(s): Se supone que las condiciones iniciales son NULAS
(de forma que el circuito sea un sistema lineal e
invariante, LTI)
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.56
1.8. La Función de Transferencia
„
1.8.1. Relación con la respuesta en frecuencia:
La relación entre la función de transferencia y la respuesta en
frecuencia resulta ser:
H ( jω ) = H (s )
s = jω
•R, L, C, generadores
•Condiciones iniciales nulas
e(t )
E (s )
E ( jω )
Sistema LTI
h(t ) ⇒ respuesta al impulso
H ( s ) ⇒ función de transferencia
H ( jω ) ⇒ respuesta en frecuencia
Tema 1: La Transformada de Laplace
r (t )
R (s )
R( jω )
T1.57
1.8. La Función de Transferencia
‰
De forma que se cumple que:
r (t ) = e(t ) ∗ h(t )
R (s ) = E ( s ) ⋅ H (s )
R( jω ) = E ( jω ) ⋅ H ( jω )
H (s ) = L {h(t )}
H ( jω ) = F {h(t )}
H ( jω ) = H (s )
s = jω
• H ( jω ) sólo existe si el sistema es estable: polos a la izquierda del eje ‘jω’
• La localización de polos en ‘ω’ indica máximos en H ( jω )
• La localización de ceros sobre ‘ω’ indica mínimos en H ( jω )
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.58
1.8. La Función de Transferencia
‰
Así, si tenemos una función de transferencia con:
Ceros: z1=-3 (ω =0)
Polos: p1=-2+j (ω =1) y
p2=-2-j (ω =-1)
Im{s} = jω
H ( jω )
1
Re{s} = σ
-3
-2
1
-1
-1
ω
1
• Simetría par indica h(t) real, en el caso de los circuitos
-1
• Cuanto más cercanos estén los polos y los ceros al eje ‘jω’, más acentuados
serán, respectivamente, los máximos y los mínimos en H ( jω )
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.59
1.8. La Función de Transferencia
„
1.8.2. Tipos de Filtros
Paso Bajo
Paso Alto
H ( jω )
− ωc
H ( jω )
ωc (Frecuencia de corte) ω
ω
ωc
− ωc
Banda de paso
Banda Eliminada
Paso Banda
H ( jω )
H ( jω )
− ωc 2
− ωc1
ωc
1
ωc
ω
2
− ωc 2
− ωc1
ωc
1
ωc
ω
2
Banda eliminada
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.60
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
„
Ejemplo:
Suponiendo condiciones iniciales nulas, encontrar la
función de transferencia y la respuesta en frecuencia, y representar
el diagrama de polos y ceros, del siguiente circuito:
R1=1 kΩ
L=50 mH
C=1 μF
vg(t)
v0(t)
R2=250 Ω
Tema 1: La Transformada de Laplace
T1.61