Práctica 9 - Matemática II

UNGS – Matemática II
Práctica 9
1. Hallar las segundas derivadas parciales
∂2f ∂2f
∂2f
∂2f
,
,
y
para cada una de las funciones siguientes:
∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2
2xy
,
(x, y) 6= (0, 0)
(x2 + y 2 )2
1
b) f (x, y, z) = ez + + xe−y , x 6= 0
x
c) f (x, y) = cos(xy 2 )
a) f (x, y) =
2
d ) f (x, y) = e−xy + y 3 x4
1
e) f (x, y) =
2
cos x + e−y
2. Verificar que fxzw = fzwx para f (x, y, z, w) = exyz sen(xw)
3. Una función u = f (x, y) con segundas derivadas parciales continuas que satisfaga la ecuación de Laplace
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
se llama función armónica. Mostrar que la función u(x, y) = x3 − 3xy 2 es armónica
4. ¿Cuáles de las siguientes funciones son armónicas?
a)
f (x, y) = x2 − y 2
b)
f (x, y) = x2 + y 2
c)
f (x, y) = xy
d)
f (x, y) = y 3 + 3x2 y
5. Encontrar los puntos crı́ticos de las siguientes funciones y verificar que son puntos de ensilladura
a) f (x, y) = x2 − y 2
b) f (x, y) = xy
c) f (x, y) = x3 + y 3 − 3x
6. Sea f (x, y) = (y − 3x2 )(y − x2 ). Probar que
a) D(Hf (0, 0)) = 0
b) f tiene un mı́nimo relativo en (0, 0) sobre cada recta que pase por (0, 0)
c) (0, 0) es punto de ensilladura
7. Hallar los puntos crı́ticos de las siguientes funciones, y analizar cuáles son máximos, mı́nimos locales o puntos
de ensilladura
a) f (x, y) = x3 + 3x2 − 4xy + y 2
2
b) f (x, y) = e1+x
−y 2
c) f (x, y) = x2 + y 4
d ) f (x, y) = ex cos y
e) f (x, y) = −xy − 1/x − 1/y
f ) f (x, y) = y + x sen y
10
g) f (x, y) = 3x2 + 2xy + 2x + y 2 + y + 4
h) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y
i ) f (x, y) = (2x + 1 − y)2
j ) f (x, y) = xy(x + y + 6)
k ) f (x, y, z) = x3 + y 2 + xy + xz + yz + 4y + z − 3
l ) f (x, y, z) = 1/3x3 − x + 2 − y 2 + 2y − z 2 + 2z
m) f (x, y, z) = 6x2 + 5y 2 + 4z 2 + 3xy + 2xz + yz
8. Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los conjuntos dados
a) f (x, y) = 2x2 − xy + y 2 + 7x
2
A = {(x, y) ∈ IR2 : |x| ≤ 3, |y| ≤ 3}
en
2
b) f (x, y) = 2x + 4y − x − y − 3 en A = {(x, y) ∈ IR2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}
p
c) f (x, y) = x2 + y 2 en A = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 ≤ 1}
d ) f (x, y) = x4 + y 4 − x2 − y 2 + 1
e) f (x, y) = sen x + cos y
en
en
A = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 ≤ 1}
A = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π}
f ) Hallar los extremos absolutos de f (x, y) = xy − x2 − y 2 + 3x en el triángulo x + y ≤ 4, x, y ≥ 0.
9. Hallar el punto del plano 2x − y + 2z = 20 más cercano al origen.
10. Mostrar que la caja rectangular de volumen dado tiene superficie mı́nima cuando la caja es un cubo.
11. Mostrar que el paralelepı́pedo rectangular con área de superficie fija y volumen máximo es un cubo.
12. Escribir el número 120 como suma de tres números, no negativos y menores o iguales que 120, de modo que la
suma de los tres productos tomados de dos en dos, sea máxima.
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