Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Aplicaciones

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Aplicaciones
Karina Malla Buchhorsts
Departamento de Matemáticas ? UCN
marzo de 2013
Índice
1. Aplicaciones: Mecánica
2. Aplicaciones: razón de cambio
2.1. Mezclas . . . . . . . . . . .
2.2. Crecimiento y decrecimiento
2.3. Crecimiento de población . .
2.4. Enfriamento . . . . . . . . .
2
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1
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5
5
6
7
9
1.
Aplicaciones: Mecánica
Consideraremos en esta sección algunas aplicaciones de las Leyes de Newton, que nos permitirán aplicar nuestros
conocimientos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
La cantidad de movimiento es igual al producto de la masa del cuerpo por su velocidad, esto es, m(t)v(t). En la
mayorı́a de las aplicaciones la masa permanece constante, luego la cantidad de movimiento es mv(t). La mecánica clásica
trata del movimiento de objetos grandes comparados con un átomo y lento comparado con la velocidad de la luz.
Leyes de Newton
1. Cuando un cuerpo no está sujeto a ninguna fuerza externa, se mueve a velocidad constante.
2. Cuando un cuerpo está sujeto a una o más fuerzas externas, la razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad
de movimiento del cuerpo es igual a la suma vectorial de las fuerzas externas F que actúan sobre él. Es decir,
dx
d
(mv(t)) = F(t, x, )
dt
dt
(1)
dx
es su velocidad.
dt
donde x(t) es la posición del cuerpo en el instante t y
3. Cuando dos cuerpos actúan recı́procamente, la fuerza que el primero ejerce sobre el segundo es igual en magnitud,
pero de dirección opuesta, a la fuerza que el segundo cuerpo ejerce sobre el primero.
La segunda Ley de Newton, que se aplica en un marco de referencia en el que un cuerpo no perturbado se mueve a
velocidad constante, permite formular las ecuaciones del movimiento de un cuerpo. Si a = dv/dt es la aceleración del
cuerpo en el instante t, entonces la ecuación (1) es
ma = F
(2)
La ecuación (1) o (2) es una ecuación diferencial de primer orden en v siempre que la fuerza F no dependa de x. En
esta sección se usarán los sistemas de unidades: el sistema inglés, el sistema centı́metro-gramo-segundo (cgs) y el sistema
metro-kilógramo-segundo (mks). las diferentes unidades de los tres sistemas se presentan en la siguiente tabla:
x
fuerza
masa
distancia
tiempo
aceleración
Sistema inglés
libra
unidad de masa
pie
segundo
pie/seg 2
Sistema cgs
dina
gramo
centı́metro
segundo
cm/seg 2
Sistema mks
newton
kilógramo
metro
segundo
m/seg 2
Recordemos que la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la tierra sobre un cuerpo se llama peso del cuerpo y se
representa por w. Para un cuerpo en caı́da libre (sin resistencia del aire), la única fuerza que actúa sobre él es su peso, de
modo que ésta es la fuerza resultante. La aceleración es la debida a la gravedad, se representa por g y es aproximadamente
32 pies/s2 en el sistema inglés, 980 cm/s2 en el sistema cgs y 9,8 m/s2 en el sistema mks. La segunda ley de Newton
F = ma genera la relación w = mg, es decir
w
(3)
m=
g
Para la caı́da de un cuerpo no se conoce una ley general que exprese la resistencia R del aire. En algunos casos la magnitud
de la resistencia del aire es R = kv, mientras que en otros es R = kv 2 , donde la constante de proporcionalidad depende
de las circunstancias.
Para un cuerpo en movimiento rectilı́neo, es decir, en movimiento a lo largo de una recta L como se muestra en la
figura (), escogemos un punto de referencia fijo como el origen O, una dirección fija como positiva y una unidad de
distancia, entonces la coordenada x de la posición del cuerpo C a partir del origen O indica la distancia o desplazamiento
de C. La velocidad instantánea de C es v = dx/dt y la aceleración instantánea de C es
a=
dv dx
dv
dv
=
=v
dt
dx dt
dx
2
Las fuerzas, desplazamientos, velocidades y aceleraciones en el sentido positivo de L son cantidades positivas; mientras que las que están en sentido negativo son cantidades negativas. De esta forma la segunda ley de Newton ma = F para
el movimiento de C es una de las siguientes expresiones:
dv
dt
d2 x
m 2
dt
dv
mv
dx
m
=
F
(4)
=
F
(5)
=
F
(6)
donde F es la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo.
Para resolver un problema de mecánica u otra aplicación con ecuaciones diferenciales, es necesario tener en cuenta
dos etapas: una primera etapa de formulación de un modelo matemático que interprete la situación y una segunda de
resolución de la ecuación diferencial involucrada en el problema.
Ejemplo 1 Consideremos un objeto de masa m que cae bajo la influencia de la fuerza de gravedad y con una velocidad
inicial v0 dirigida hacia abajo. Si la fuerza de gravedad es constante y la resistencia del aire es proporcional a la
velocidad del ,objeto, determine la ecuación del movimiento del objeto.
Formulación del problema:
El movimiento del objeto es a lo largo de un eje vertical, sobre el cual se escoge como origen el punto donde el objeto
fue soltado y se denota con x(t) la distancia que el objeto a recorrido en el instante t, como se muestra en la siguiente
figura:
O
−2
−1
0
C
1
2
3
4
5
x
Las fuerzas que actúan sobre el objeto son: la fuerza de gravedad F1 = mg, donde g es la constante gravitacional cerca
de la tierra; la fuerza opuesta por la resistencia del aire F2 = kv(t) = kx(t), donde k es la constante de proporcionalidad.
Por lo tanto, la fuerza resultante que actúa sobre el objeto es
F = F1 + F2 = mg − kv(t).
Entonces, aplicando la segunda ley de Newton y considerando que la velocidad inicial es v0 , se obtiene el modelo matemático siguiente
dv
m
= mg − kv, v(0) = v0 .
(7)
dt
Solución. El modelo matemático (7) del problema planteado es un problema de valor inicial, con una ecuación diferencial
de primer orden en que corresponde a una ecuación de variables separables puesto que se puede escribir en la forma
m
dv = dt
mg − kv
integrando y considerando la condición inicial, se obtiene la solución
mg mg −kt/m
e
v(t) =
+ v0 −
k
k
(8)
La ecuación (8) nos da la velocidad del objeto en el instante t, si queremos conocer la distancia recorrida en un tiempo t,
integramos dx/dt = v(t) para obtener
Z
mg
m
mg −kt/m
e
x(t) = v(t)dt =
t−
v0 −
+C
k
k
k
y considerando la condicin x(0) = 0, resulta la constante
C=
mg m
v0 −
k
k
3
de donde se obtiene la ecuación del movimiento del objeto
mg
mg m
x(t) =
v0 −
(1 − e−kt/m )
t+
k
k
k
(9)
Observación 1 El Problema anterior se puede resolver para diferentes valores de las constante m, k y v0 . Además, se
puede responder a una variedad de preguntas sobre la caı́da de un objeto con resistencia del aire proporcional a su
velocidad. Por ejemplo, cuando t tiende a ∞ la velocidad (8) tiende a llamada velocidad lı́mite del objeto.
t=0
x(t)
F2=−kv(t)
t
F1=mg
Ejemplo 2 Un objeto cae desde el reposo hacia el mar. El peso del objeto es de 64 lb y la resistencia del aire igual a 1/2
de su velocidad v. Si 4 segundos después cae al agua y la resistencia de ésta es igual a 1/4 del cuadrado de la velocidad,
encuentre la velocidad del objeto:
1. En el aire y en el momento de tocar el agua.
2. En el agua.
Solución. Tal como el problema anterior, se toma el eje vertical positivo hacia abajo y elegimos el origen en el punto
en que comienza la caı́da. El problema tiene dos partes: a) Cuando el objeto está en el aire, y b) cuando el objeto está en
el agua.
1. Antes de caer al agua, las fuerzas que actúan sobre el objeto son: F1 = mg = 64 lbs, que actúa hacia abajo y, por
lo tanto, es positiva. F2 = 1/2v que actúa hacia arriba y, por lo tanto, es negativa, es decir, F2 = −1/2v.
Tomando g = 32, se tiene que m = 2 y de acuerdo a la segunda ley de Newton, con F = F1 + F2 , y la condición
inicial v(0) = 0, se obtiene el PVI
dv
1
2
= 64 − v,
v(0) = 0
(10)
dt
2
La solución de la ecuación diferencial de variables separables del PVI (10), es
1
− t
v(t) = 128 + C e 4
con la condición inicial v(0) = 0 obtenemos c = −128, luego la velocidad del objeto en el aire es


1
− t
v(t) = 128 1 − e 4  , 0 ≤ t ≤ 4
En particular, cuando t = 4, obtenemos
v(4) = 128(1 − e−1 ),
que es la velocidad en el instante en que el objeto toca el agua.
4
2. En el agua, las fuerzas que actúan sobre el objeto son: su peso F1 = 64 libras, que actúa hacia abajo, por lo tanto,
1
es positiva y F2 = − v 2 , que actúa hacia arriba, por lo tanto, es negativa. Considerando que en el instante t = 4 la
4
velocidad v(4) = 128(1 − e−1 ) es aproximadamente igual a 81, de la segunda ley de Newton, se tiene el PVI
2
dv
1
= 64 − v 2 ,
dt
4
v(4) = 81
(11)
La ecuacin diferencial del PVI (11), separando las variables, es
1
dv
= − dt
v 2 − 16
8
integrando, por fracciones parciales, se obtiene
v(t) =
16(1 + C e−4t
),
1 − C e−4t
1 ce Finalmente, haciendo uso de la condición inicial, obtenemos que la constante C es aproximadamente 0,8, por
lo tanto, la velocidad del objeto en el agua es
v(t) =
2.
16(1 + 0,8 e−4t
),
1 − 0,8 e−4t
Aplicaciones: razón de cambio
dx
representa la razón de cambio de
Si x(t) representa la magnitud de una cantidad presente en el tiempo t, entonces
dt
esa cantidad con respecto del tiempo. Consideraremos en esta sección algunas situaciones que corresponden a problemas
de razón de cambio, esto es: mezclas, crecimiento y decrecimiento, crecimientos de población enfriamiento.
2.1.
Mezclas
Supongamos que una sustancia S fluye hacia una cierta mezcla de un recipiente, con una cierta rapidez, y la mezcla
se mantiene uniforme por agitación. Además, la mezcla uniforme deberá salir del recipiente y pasar a otro. Se busca
determinar la cantidad de sustancia S presente en la mezcla en el tiempo t.
dx
Representaremos por x(t) a la cantidad de S en el tiempo t y ası́
corresponde a la razón de cambio de la cantidad
dt
de sustancia, de esta manera se tiene la ecuación
dx
= Rapidez de ENTRADA − Rapidez de SALIDA,
dt
(12)
que sirve como modelo para resolver los siguientes problemas.
Ejemplo 3 Un depósito contiene 50 galones de salmuera en el que hay disueltas 75 libras de sal. A partir de un instante
t = 0, comienza a fluir en él salmuera que contiene una libra de sal por galón, a una velocidad de 2 galones por minuto.
Simultáneamente la mezcla sale del depósito a razón de un galón por minuto.
1. ¿Qué cantidad de sal hay en el depósito en un tiempo t?.
2. ¿En qué instante habrá 125 libras de sal disueltas en el depósito?.
Solución
Sea x(t) la cantidad de sal presente en el depósito, como dijimos anteriormente, la rapidez de entrada es
ENTRADA = (2 gal/min)(1 lib/gal) = 2 lib/min.
Para encontrar la rapidez de salida, debemos considerar que siendo 50 galones la cantidad original de salmuera, t minutos
después aumenta a 50 + (2 − 1)t = 50 + t galones, por lo que la concentración en t minutos es
x(t)
lib/gal,
50 + t
5
en consecuencia, la rapidez de salida es
SALIDA = (1 gal/min)
x(t)
lib/gal
50 + (2 − 1)t
=
x(t)
lib/min.
50 + t
y por (12), tenemos la ecuación
dx
x(t)
=2−
dt
50 + t
como el depósito contenı́a originalmente 75 libras de sal, tenemos la condición inicial x(0) = 75, y con ello el modelo
matemático del problema es el
dx
x(t)
=2−
,
x(0) = 75
dt
50 + t
1. La ecuación diferencial del PVI, es decir
dx
x(t)
+
=2
dt
50 + t
es lineal, luego su solución se obtiene aplicando métodos adecuados, en consecuencia
x(t) = 50 + t +
c
50 + t
con c una constante arbitraria. Haciendo uso de la condición inicial, obtenemos c = 1250. De esta manera se tiene
que la cantidad de sal en un instante t cualquiera es
x(t) = 50 + t +
1250
50 + t
2. El depósito contendrá 125 libras de sal si x(t) = 125, luego se tiene la ecuación en t
125 = 50 + t +
1250
50 + t
Las posibles soluciones de esta ecuación son: t = 64,04 y t = −39,04, como t debe ser positivo, concluı́mos que
el depósito contiene 125 libras de sal al cabo de 64,04 minutos.
2.2.
Crecimiento y decrecimiento
Muchos fenómenos que involucran crecimiento o decrecimiento (descomposición) tienen como modelo matemático
al problema de valor inicial
dx
= kx(t),
x(t0 ) = x0
(13)
dt
Por ejemplo. En fı́sica (13) es un modelo para aproximar la cantidad restante de una substancia que se desintegra radiactivamente o para determinar la temperatura de un cuerpo que se enfrı́a; en biologı́a se observa que la rapidez con que
ciertas bacterias se multiplican es proporcional al número de bacterias presentes en un instante t, es decir, se puede utilizar
(13); finalmente, en quı́mica (13), sirve de modelo para describir la cantidad restante de una substancia durante ciertas
reacciones.
Ejemplo 4 La rapidez con la que se desintegran núcleos radiactivos es proporcional al número de núcleos que están
presentes en una muestra dada. La mitad del número original de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración
en un periodo de 1500 años.
1. ¿Qué porcentaje de núcleos radiactivos originales continuarán después de 4500 años?.
2. ¿En cuántos años quedará solamente un décimo del número original?.
Solución En primer lugar buscaremos un modelo matemático del problema. Si denotamos por x(t) a la cantidad de
dx
núcleos radiactivos presentes después de t años, entonces
representa la rapidez con la que se desintegran los núcleos.
dt
Dado que esta desintegración es proporcional a la cantidad presente, tenemos la ecuación
dx
= kx(t),
dt
6
dx
donde k es una constante de proporcionalidad. Como x es positiva y decreciente,
< 0, entonces la ecuación anterior
dt
se puede escribir en la forma
dx
= −kx(t),
dt
con k > 0. Si denotamos por x0 la cantidad inicialmente presente, entonces tenemos la condición inicial x(0) = x0 y con
ello tenernos que el modelo matemático del problema es el PVI, del tipo (13),
dx
= −kx(t),
dt
x(0) = x0
(14)
La ecuación del PVI (14) es de variables separables y lineal homogénea; aplicando las técnicas conocidas, por ejemplo (),
se obtiene
x(t) = c e−kt
y al aplicar la condición inicial se encuentra c = x0 , de donde la solución del PVI () es
x(t) = x0 e−kt
Para determinar la constante de proporcionalidad k utilizamos la condición dada en el problema x(1500) =
1
encuentra e−k = 21 1500 . Reemplazando e−k en la solución de la ecuación se tiene que
1
2 x0 ,
se
" 1 #t
1 1500
x(t) = x0
2
de manera que el número de núcleos radiactivos presentes en el tiempo t es
t
1500
1
x(t) = x0
2
1. Después de 4500 años quedarán x(4500) = 18 x0 núcleos radiactivos, o bien, 12.5 % de los núcleos originales.
2. Para saber en cuantos años quedará un décimo del número original de núcleos, hacemos x(t) =
1
=
10
1
10 x0 ,
de donde
t
1500
1
2
Resolviendo para t se obtiene
t = 1500
ln 10
ln 2
que es aproximadamente 4985 años.
2.3.
Crecimiento de población
Consideremos una población (humana, de bacterias, etc.) y representemos por x(t) a la cantidad de individuos en el
tiempo t. Si suponemos que la tasa de crecimiento es proporcional a la población presente, que la tasa de mortalidad es
cero y que en un tiempo t0 la población es x0 , entonces un modelo matemático para el problema es
dx
= kx(t),
dt
x(t0 ) = x0 ,
(15)
dx
donde k > 0 es la constante de proporcionalidad, que es positiva dado que la población x y su crecimiento
son
dt
positivos.
La ecuación diferencial del PVI (15) es lineal y de variables separables, luego es fácil de resolver. En efecto, su
solución es
x(t) = c ekt ,
y haciendo uso de la condicion inicial, obtenemos c = x0 ek(t−t0 ) de manera que la solución del PVI es
x(t) = x0 ek(t0 )
Esta ley de crecimiento de población, bastante aceptable para intervalos cortos de tiempo, se llama ley Maltusiana.
7
(16)
Ejemplo 5 Suponga que la población de una cierta comunidad se duplica cada 5 años y que crece como se describió anteriormente.
1. ¿Cuánto demorará en triplicarse?.
2. Si después de 3 años la población es de 10000 habitantes. ¿Cuál era la población original?
Solución.
Si la población original de la comunidad mencionada es x0 , entonces la condición inicial del problema es x(0) = x0
y el modelo matemático para la población es
dx
= kx(t),
dt
x(0) = x0
De acuerdo con (16) la solución a este PVI es x(t) = x0 ekt . Si la población se duplica en 5 años, entonces x(5) = 2x0 ,
es decir
2x0 = x0 e5k
de donde obtenemos la constante de proporcionalidad k =
ln 2
5
de manera que la población en un año t cualquiera es
x(t) = x0 e
ln 2
5 t
1. La población se triplica si x(t) = 3x0 , es decir si
x0 e
resolviendo para t, obtenemos t =
5 ln 3
ln 2
ln 2
5 t
= 3x0
= 7,9. Esto es, la población se triplica en 7,9 años.
2. Si en 3 años la población es de 10000 habitantes, entonces tenemos la condición x(3) = 10000. Reemplazando esta
condición en x(t), se tiene
3 ln 2
10000 = x0 e 5
de donde obtenemos x0 = 6597,539. Luego, la población original era de 6597 habitantes.
Una representación más realista del crecimiento de una población se logra con la ecuación diferencial
dx
= ax − bx2 ,
dt
(17)
donde a y b son constantes positivas. En la mayorı́a de los casos la constante b es muy pequeña comparada con a,
en consecuencia, para una población x suficientemente pequeña, el término ax predomina y ası́ la población crece
en forma muy rápida respecto del tiempo. Por otro lado, cuando x llega a ser suficientemente grande, predomina
el término −bx2 y se tiene una disminución de la rapidez de crecimiento. La ecuación (17) se llama ecuación
logı́stica de crecimiento. Es claro que esta ecuación es una ecuación diferencial de variables separables y también
una ecuación de Bernoulli, por lo que su resolución no trae mayores dificultades.
Ejemplo 6 Suponga que un estudiante portador de un virus regresa a un campus universitario aislado, que tiene 1000
estudiantes. Si la rapidez con que el virus se propaga es proporcional al producto del número de estudiantes contagiados
por los no contagiados y se observa que a los 4 dı́as hay 50 contagiados, entonces determine el número de estudiantes
contagiados a los 6 dı́as.
Solución.
Si denotamos por x(t) al número de alumnos contagiados con el virus, entonces 1000 − x corresponde a los no
contagiados y la rapidez con que el virus se propaga es dada por la ecuación
dx
= kx(1000 − x)
dt
y como el portador es uno, se tiene la condición inicial x(0) = 1. Luego, el modelo matemático del problema es
dx
= kx(1000 − x),
dt
8
x(0) = 1
Para resolver este PVI consideramos que la ecuación es de variables separables, separando las variables e integrando, se
obtiene
ln x − ln(1000x) = 1000tk + c,
de la condición inicial, con t = 0 y x = 1, obtenemos la solución
x(t) =
1000 e1000tk
999 + e1000tk
Para determinar la constante de proporcionalidad consideramos que x(4) = 50 y obtenemos k = 0,0009906. Finalmente,
reemplazando k en la solución se obtiene la función que indica el nḿero de contagiados en un tiempo t, esto es
x(t) =
1000 e0,9906k
999 + e9906k
El número de contagiados a los 6 dı́as es x(6) = 276 estudiantes.
2.4.
Enfriamento
La ley de Newton del enfriamiento dice que, en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que cambia la temperatura T (t) es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante M , del medio que
lo rodea. Es decir,
dT
= K(T − M )
(18)
dt
donde K es una constante de proporcionalidad.
Ejemplo 7 El plasma sanguı́neo se almacena a una temperatura de 40o y antes de ser usado debe estar a 90o de temperatura. Si se coloca el plasma dentro de un horno a 120o , demora 45 minutos en alcanzar los 90o . Suponga que la ley de
enfriamiento de Newton es aplicable y que la constante K de enfriamiento es independiente de la temperatura del horno.
¿Cuánto demorará el plasma en estar en condiciones de ser usado si la temperatura del horno es: 1) 100o y 2) 140o ?.
Solución Si el plasma se almacena a una temperatura de 40o , T (t) es la temperatura en un instante t y la temperatura
ambiental (en el horno) es M = 120o , entonces, de acuerdo con (18) el modelo matemático que rige el fenómeno es dado
por el PVI
dT
= K(T − 120),
T (0) = 40.
dt
La ecuación diferencial del PVI es de variables separables, pues se puede escribir en la forma
dT
= Kdt
T − 120
en consecuencia, integrando se obtiene ln |T − 120| = Kt + c y usando la condición inicial T (0) = 40, se obtiene la
constante c = ln 80, luego
ln |T − 120| = Kt + ln 80
El valor de la constante K es independiente de la temperatura dci horno, luego consideramos T (45) = 90 para obtener
K = −0,0218 y reemplazando en la expresión anterior se logra la solución del PVI
ln |T − 120| = −0,0218t + ln 80
De donde obtenemos que la temperatura del plasma a una temperatura ambiental M es
ln |T − M | = −0,0218t + ln 80
1. Si la temperatura del horno es 100o , entonces la temperatura del plasma en un instante t es dada por ln |T − 100| =
−0,0218t + ln 80.
Ahora, el plasma logra los 90o , si y sólo si, T (t) = 90, de donde ln |90−100| = −0,0218t+ln 80, luego t = 82,19.
Es decir, el plasma está en condiciones de ser usado a los 82,19 miriutos
2. Si la temperatura del horno es 140o , entonces la temperatura del plasma en un instante t es dada por ln |T − 140| =
−0,0218t + ln 80. Ahora, el plasma logra los 90, para ser usado, si y slo si ln |90 − 140| = −0,0218t + ln 80, de
donde se obtiene t = 31,79. Es decir, el plasma está en condiciones de ser usado a los 31,79 minutos.
9