Regla de Bayes

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considerado una versión final.
Alejandro D. Zylberberg <[email protected]>
Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004
Regla de Bayes
Consideremos un modelo como el que planteamos al estudiar la probabilidad total, en el
cual el espacio muestral estaba particionado y se quería calcular la probabilidad de un
suceso A contenido en ese espacio muestral.
Supongamos ahora que lo que sea desea no es la probabilidad del suceso A sino la
probabilidad de una de las partes, sabiendo que ocurrió A.
El lector podrá advertir que esto está íntimamente relacionado con lo que se dijo al
estudiar la probabilidad condicional: que cuando se aplica una condición, el nuevo
espacio muestral pasa a ser el suceso en el cual se cumple esa condición, y entonces las
probabilidades cambian porque ahora están referidas a un nuevo espacio muestral (si esto
no se entiende inmediatamente recomendamos repasar las secciones 1.4, 1.5 y 1.6)
Dijimos entonces que el espacio muestral E estaba particionado, y que se sabe que ocurrió
A, y entonces se desea calcular la probabilidad de cada parte (es decir, calcular las nuevas
probabilidades, referidas al espacio muestral A).
a priori
conocemos las probabilidades originales de
las partes, o sea las P(pi)
a posteriori
conocemos las probabilidades de las partes
sabiendo que ocurrió A, o sea las P(pi/A)
Si queremos calcular la probabilidad de la parte pi, sabiendo que ocurrió A, planteamos:
P  pi / A=
P  pi ∩ A
P  A
En el denominador usamos la fórmula de la probabilidad total, y nos queda:
P  pi / A =
P  pi ∩ A 
n
∑ P  pi ∩ A 
i=1
A continuación damos vuelta las dos intersecciones y aplicamos la definición de
probabilidad condicional, y queda:
P  pi ∩ A 
P  A∩ pi 
=
n
∑ P  pi ∩ A 
i=1
n
P  A/ pi  P  pi 
=
∑ P  A∩ pi 
i=1
n
∑ P  A/ pi  P  pi 
i=1
En conclusión:
P  pi / A =
P  A/ pi  P  pi 
n
∑ P  A/ pi  P  pi 
i=1
Lo cual se conoce como regla de Bayes ó fórmula de Bayes.
Observemos que se tienen como dato las probabilidades originales de las partes y la
probabilidad de que ocurra A dentro de cada parte, y lo que se obtiene es la probabilidad
de que ocurra una determinada parte sabiéndose que ocurrió A.
Ejemplo
En un determinado grupo de gente hay personas rubias, morochas y pelirrojas. El 60% de
la gente es morocha, el 30% rubia y el 10% pelirroja. El 50% de los rubios tiene ojos
claros, el 40% de los pelirrojos tiene ojos claros y el 25% de los morochos tiene ojos
claros. Si una persona elegida al azar tiene ojos claros, ¿cuál es la probabilidad de que sea
rubia?
Aplicamos la regla de Bayes:
P  pi / A =
P  A/ pi  P  pi 
n
∑ P  A/ pi  P  pi 
i=1
=
0,5 . 0,3
=0, 441
0, 25 . 0,60,5 . 0,30,4 . 0,1