Polinomios de Krawtchouk y aplicaciones

POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
(RICARDO PODESTÁ)
CURSO PARA ESTUDIANTES
LXI REUNIÓN ANUAL DE LA UMA
Tucumán, 21 de setiembre de 2011
Resumen. Introducimos una familia muy interesante de polinomios ortogonales
discretos {Kkn (x)}, llamados polinomios de Krawtchouk dando sus propiedades
básicas. Señalamos la estrecha relación que guardan estos polinomios con ciertos
problemas combinatorios (grafos y códigos entre otros) y mostramos que las soluciones a dichos problemas dependen de la existencia o no de raíces enteras de los
mismos. Al nal, indicamos como es que estos polinomios también son ubicuos en
algunos problemas de geometría espectral.
Índice
1. Introducción a los polinomios ortogonales
1.1. Propiedades básicas
1.2. Familias más conocidas
2. Polinomios de Krawtchouk
2.1. Denición y propiedades básicas
2.2. Ortogonalidad
2.3. Otras propiedades
3. Relación con problemas combinatorios
3.1. Algunos problemas combinatorios
3.2. La transformada de Radon en Zk2
4. Raíces enteras de polinomios de Krawtchouk
4.1. Existencia
4.2. Modularidad y no existencia
5. Aplicaciones a la geometría espectral
Referencias
Con la ayuda de CIEM-CONICET, SECyT-UNC, FaMAF (UNC) y UMA.
1
2
2
4
7
7
10
12
14
14
19
22
22
26
27
30
2
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
1.
Introducción a los polinomios ortogonales
1.1. Propiedades
básicas.
R
Sea µ una función no decreciente y, dada f una función real, sea f (x)dµ(x) la integral de Lebesgue asociada a µ. Sean a, b números
reales extendidos, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, y sea Pa,b el conjunto de las funciones polinómicas restringidas al intervalo (a, b).
Rb
Supongamos que a p(x)dµ(x) existe para todo p(x) ∈ Pa,b . Equivalentemente,
existen los momentos
Z b
xn w(x)dµ(x)
a
para todo n ∈ N0 . Recordemos que en el espacio de funciones tenemos el producto
Rb
interno (f, g) = a f (x)g(x)dµ(x). Del mismo modo, denimos el producto interno
con respecto a µ por
Z b
(f, g) =
f (x)g(x)dµ(x),
a
el cual resulta denido positivo si µ tiene un número innito de puntos de crecimiento
(saltos).
Lo más común es tomar µ(x) = w(x)dx, donde w(x) > 0 es una función positiva
denida en (a, b), y asumiremos esto de ahora en más.
Denición 1.1. Una sucesión {φn }Nn=0 , con N ≤ ∞, es una familia de polinomios
ortogonales si φn es un polinomio de grado n para cada n y cumplen
(1.1)
(φn , φm ) = hn δnm
para todo m 6= n, donde δ es la función delta de Kronecker.
En otras palabras, {φn } se obtiene de aplicar el proceso de ortogonalización de
Gram-Schmidt a {1, x, x2 , . . .} A veces se normaliza todo de modo que hn = 1 para
todo n, y en ese caso decimos que la familia es ortonormal.
Hablamos de polinomios ortogonales discretos cuando son ortogonales respecto a una medida discreta. Esta medida puede tener soporte nito, en cuyo caso
la familia es nita.
Dependiendo de la elección de la función peso w(x), existen muchas familias (clásicas) de polinomios ortogonales, los más conocidos son Jacobi, Laguerre, Hermite y
Tchebychev, entre otros.
Los polinomios ortogonales forman un área muy rica e interesante que aparecen
en muchas ramas de la matemática y tienen propiedades muy bonitas. Veremos,
por ejemplo, que toda familia de polinomios ortogonales satisface una relación de
recurrencia de 3 términos, la fórmula de Christoel-Darboux, los ceros de polinomios
contiguos de la familia entrelazan, y la fórmula de Rodrigues. Veamos esto en un
poco más de detalle (aunque por una cuestión de tiempo, sin demostraciones).
Todas estas propiedades mencionadas sirven para denir una familia dada. Incluso, hay muchas otras formas posibles: ecuaciones diferenciales, funciones complejas,
funciones generatrices, funciones hipergeométricas, funciones esféricas, etc.
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
3
Relación de recurrencia.
Teorema 1.2.
Sea {pn (x)} una familia de polinomios ortogonales. Entonces
pn+1 (x) = (An + xBn ) pn (x) − Cn pn−1 (x),
n ≥ 0,
donde ponemos p−1 (x) = 0. Aquí, An , Bn , Cn ∈ R con An−1 An Cn > 0, n ∈ N. Si el
An+1 hn+1
coeciente principal de pn (x) es kn > 0, entones An = kn+1
kn , Cn+1 = An
hn , y
A0
hn = An C1 C2 · · · Cn h0 , donde hn está denido en (1.1).
Cuando los polinomios son todos mónicos, podemos interpretar matricialmente
este resultado. Supongamos que {pn (x)} es una familia de polinomios ortogonales
que cumplen la relación de recurrencia de 3 términos siguiente
pn+1 (x) = (x − an ) pn (x) − bn pn−1 (x),
n ≥ 1.
Para cada n, consideremos las matrices tridiagonales cuadradas


a0 b1
 1 a11 ab22 b3

.. .. ..
. . .
An = 

1 an−2 bn−1
1 an−1


.

Calculando el determinante de xIn − An , desarrollando por la última la, se tiene
(ejercicio)
det(xIn − An ) = (x − an−1 ) pn−1 (x) − bn−1 pn−2 (x) = pn (x).
Luego, pn (x) es el polinomio característico de An .
Fórmula de Christoel-Darboux. La relación de recurrencia implica el siguiente resultado.
Teorema
1.3.
R
hn =
Sea {pn (x)} una familia de polinomios ortonormales, de modo que
= 1 para todo n. Entonces
b 2
a pn (x)w(x)dx
n
X
pk (x) pk (y) =
kn
kn+1
k=0
pn+1 (x) pn (y) − pn+1 (y) pn (x)
,
x−y
donde kn es el coeciente principal de pn (x).
Si y = x se tiene
n
X
p2k (x) =
kn
kn+1
p0n+1 (x) pn (x) − pn+1 (x) pn (x)0 .
k=0
En particular, p0n+1 (x) pn (x) − pn+1 (x) pn (x)0 > 0 para todo x.
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UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
Ceros.
Teorema 1.4.
[a, b]. Entonces
Sea {Pn (x)} una familia de polinomios ortogonales en el intervalo
(i) Pn (x) tiene n ceros simples en [a, b],
(ii) los ceros de Pn (x) y Pn+1 (x) se entrelazan y
(iii) si m < n, entre 2 ceros de Pm (x) hay un cero de Pn (x).
Es decir, si a ≤ x1,n < x2,n < · · · < xn,n ≤ b denotan los ceros de Pn (x) entonces
el teorema dice que
x1,n+1 < x1,n < x2,n+1 < · · · < xn,n+1 < xn,n < xn+1,n+1
y
xi,m < xk,n < xj,m
para 1 ≤ i, j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n y m < n.
1.2. Familias más conocidas.
Como dijimos tenemos los polinomios ortogonales
clásicos de Jacobi, de Laguerre y de Hermite, y como casos especiales, los polinomios
ultraesféricos, de Tchebychev y de Legendre. Los polinomios de Gegenbauer generalizan a los de Jacobi.
Por otra parte tenemos los polinomios de Wilson, que generalizan a los de Jacobi.
Estos incluyen muchos casos especiales, como los polinomios de Meixner-Pollaczek,
los polinomios de Hahn continuos y Hahn continuos duales además de los polinomios
clásicos. Los polinomios de Askey-Wilson introducen un parámetro q extra a los
polinomios de Wilson, llamados q -análogos.
En cuanto a polinomios ortogonales discretos, tenemos los polinomios de Racah,
que incluyen como casos especiales a los polinomios de Hahn y de Hahn duales,
quienes a su vez incluyen a los polinomios de Meixner, de Krawtchouk y de Charlier.
Precisamente estos polinomois de Krawtchouk son los que nos proponemos estudiar.
Fórmula de Rodrigues. Veamos como construir las familias clásicas, sobre (−1, 1),
(0, ∞) y (−∞, ∞), mediante un método conocido como la fórmula de Rodrigues.
Este método se basa en denir
1 d n
pn (x) =
{w(x)P (x)},
n = 0, 1, 2, . . .
w(x) dx
con w(x) sucientemente diferenciable y P (x) un polinomio. Se busca que pn (x) sea
un polinomio de grado n y que (pn (x), xk ) = 0 para todo k ≤ n. Con p1 (x) se tiene
una ecuación diferencial de grado 1 y al resolverla se determina la función peso w(x).
Se usan los polinomios P (x) = (1 − x2 )n para (−1, 1), P (x) = xn para (0, ∞) y
P (x) = 1 para (−∞, ∞).
(a ) Veamos primero el caso de un intervalo nito, que suponemos (−1, 1). Sea
1 d n
(1.2)
pn (x) =
{w(x)(1 − x2 )n },
n = 0, 1, 2, . . .
w(x) dx
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
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donde w(x) es sucientemente diferenciable. Esta familia satisface
Z 1
pn (x) xk w(x) dx = 0,
0 ≤ k < n,
(1.3)
−1
es decir, pn (x) es ortogonal a todo polinomio de grado < n. En efecto, sustituyendo
(1.3) en (1.2) e integrando por partes reiteradamente (ejercicio), tenemos
Z 1
d n
xk
(1.4)
{w(x)(1 − x2 )n } dx =
dx
−1
x=1
k
d n−j−1
X
2 n j
k−j
=
{w(x)(1 − x ) }
(−1) k(k − 1) · · · (k − j + 1)x
= 0.
dx
x=−1
j=0
Si elegimos w(x) de tal forma que pn (x) resulte un polinomio entonces es claro que
{pn (x)} formará una familia de polinomios ortogonales.
Consideremos la ecuación (1.2) en el caso n = 1, para ver que podemos decir de
w(x). Tenemos
p1 (x) =
w0 (x)
1
{w(x)(1 − x2 )}0 =
(1 − x2 ) − 2x.
w(x)
w(x)
Para que p1 (x) sea un polinomio de grado 1, debemos tener
w0 (x)
(1 − x2 ) − 2x = Ax + B.
w(x)
Resolviendo esta ecuación diferencial se tiene
(1.5)
w(x) = (1 − x)α (1 + x)β
donde α y β se pueden expresar en términos de A y B .
Para α, β > −1 las integrales en (1.3) existen para todo k < n y cada término
en (1.4) se anula. Más aún, cada pn (x) es un polinomio de grado n. Para ver esto
aplicamos la regla de Leibnitz
n d n
X
n
d k
d n−k
f (x)g(x) =
f (x)
g(x)
dx
k
dx
dx
k=0
a (1.2), con w(x) como en (1.5), tenemos (luego de unas cuentas)
n n−k
k
X
n
−α d
n+α
−β d
n+β
pn (x) =
(1 − x)
(1 − x)
(1 + x)
(1 + x)
.
k
dx
dx
k=0
Es claro que las expresiones entre corchetes son polinomios y que cada término de la
suma es un polinomio de grado n.
La fórmula (1.2) no determina una familia de polinomios unívocamente, ya que
los términos pueden ser multiplicados por una constante arbitraria κ.
Es común denir a los polinomios de Jacobi usando la constante κ = (−1)
2n n! , es
decir
d n
(−1)n
Pnα,β (x) = n (1 − x)α (1 + x)β
{(1 − x)α (1 + x)β (1 − x2 )n }.
2 n!
dx
n
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Para α = β = 0, se tienen los polinomios de Legendre
(−1)n d n
Pn (x) = n
(1 − x2 )n .
2 n! dx
Para α = β = − 21 , y otra constante, se tienen los polinomios de Tchebychev
d n
1
1
(−1)n 2n
Tn (x) =
(1 − x2 ) 2
(1 − x2 )n− 2 .
(2n)!
dx
Una generalización de los polinomios de arriba son los de Gegenbauer. Son casos
especiales de los polinomios de Jacobi dados por α = β = γ − 21 con γ > − 12 y otra
constante
d n
(−1)n (n+2γ−1)(n+2γ−2)···(2γ) 2 −γ+ 12
2 n+γ− 12
Cnγ (x) = n (n+γ−
(1
−
x
)
(1
−
x
)
.
1
3
1
)(n+γ− 2 )···(γ+ 2 )
2 n!
dx
2
(b ) En el caso del intervalo (0, ∞) tomamos
1 d n
(1.6)
pn (x) =
{w(x)xn },
w(x) dx
n = 0, 1, 2, . . .
Se puede ver que esta familia satisface (1.3). Para estudiar la naturaleza de w(x)
hacemos
w0 (x)x
1
{w(x)x}0 =
+1=B−x
p1 (x) =
w(x)
w(x)
(todo polinomio lineal puede ser llevado a esta forma en (0, ∞) via una transformación lineal adecuada). Resolviendo esta ecuación tenemos
w(x) = xα e−x ,
α > −1
y α en términos de B . Como antes podemos vericar que con esta elección de w(x)
las funciones pn (x) de (1.6) son polinomios de grado n.
Los polinomios de Laguerre se denen por
d n
1
Lαn (x) = x−α ex
e−x xn+α .
n!
dx
(c ) Por último, para el caso (−∞, ∞) consideremos
1 d n
pn (x) =
w(x),
n = 0, 1, 2, . . .
w(x) dx
Como antes, vemos que se cumple (1.3). De
p1 (x) =
w0 (x)
=x
w(x)
(todo polinomio lineal puede ser llevado a esta forma en (−∞, ∞) via una transformación lineal adecuada) tenemos
w(x) = e−x
Los polinomios de
2 /2
.
Hermite están dados por
Hn (x) = (−1)n e
x2
2
d n
2
e−x /2 .
dx
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
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Resumiendo, tenemos la siguiente tabla con las familias clásicas de polinomios
ortogonales.
Polinomios
notación función peso w(x)
parámetros
Jacobi
Pnα,β (x)
α, β > −1
Gegenbauer
(1 − x)α (1 + x)β
Cnγ (x)
1
x2 )γ− 2
(1 −
1
2, γ
α=β=γ−
intervalo
(−1, 1)
>
− 12
(−1, 1)
1
x2 )− 2
γ=0
(−1, 1)
γ=
1
2
(−1, 1)
Tchebychev
Tn (x)
Legendre
Pn (x)
1
Laguerre
Lαn (x)
xα e−x
α > −1
(0, ∞)
2
− x2
α, β > −1
(−∞, ∞)
Hermite
(1 −
Hn (x)
2.
e
Polinomios de Krawtchouk
Queremos estudiar una familia particular de polinomios ortogonales discretos.
2.1. Denición y propiedades básicas.
Polinomios de Krawtchouk binarios. Recordemos que si n, k ∈ N0 , el número nk
cuenta el cantidad
de formas de elegir k elementos
de un total de n. Por denición
n
. En general, para 0 ≤ k ≤ n, este
se tiene que n0 = nn = 1, n1 = n y nk = n−k
número esta dado por
n
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
=
∈ Z,
k
k!(n − k)!
k!
y se extiende la denición a todo n, k ∈ N0 poniendo 00 = 1 y nk = 0 si k > n.
Usando la fórmula de arriba, podemos generalizar el número combinatorio para todo
x ∈ R, k ∈ N0 , poniendo
x
x(x − 1) · · · (x − k + 1)
=
k
k!
x
x
para 1 ≤ k ≤ x y 0 = 1, k = 0 si k > x. Notar que, si pensamos a x como una
variable, xk es un polinomio en x de grado k .
Denición 2.1. Para 0 ≤ k
binario de orden n es
(2.1)
≤ n ∈ N0 , el k -ésimo
Kkn (x)
=
k
X
t=0
Notar que
Kkn (x)
x n−x
(−1)
.
t
k−t
t
∈ Q[x], es de grado k , y toma valores enteros en Z, es decir
Kkn (j) ∈ Z
para todo j ∈ Z.
polinomio de Krawtchouk
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UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
Estos polinomios llevan el nombre en honor al matemático ucraniano Mikhail
Kravcuk (18921942) quien los introdujo en 1929 en el trabajo Sur une généralisation
des polynomes d'Hermite, C. R. Acad. Sci., 189, No. 17, (620622). Una pequeña
biografía, muy interesante, de M. Kravcuk puede verse en la página web [12].
Existen expresiones alternativas para Kkn (x) dadas por
(2.2)
Kkn (x)
k
X
=
(−2)t
x
t
n−t
k−t
=
t=0
k
X
(−1)t 2k−t
n−x
k−t
n−k+t
t
.
t=0
Observar que, en (2.1), Kkn (x) es suma de términos de grado k = t + (k − t), mientras
que en (2.2), es suma de términos de grados distintos t = 0, 1, . . . , k .
Valores iniciales y coecientes. Es inmediato chequear que se tienen los siguientes
valores iniciales:
n
Kkn (1) = n−2k
Kkn (0) = nk ,
n
k ,
y similarmente
K0n (x) = 1,
K1n (x) = n − 2x.
Con un poco más de trabajo se obtienen
K2n (x) = 2x2 − 2nx +
n
2
(n − 2x)2 − n ,
K3n (x) = − 43 x3 + 2nx2 − (n2 − n + 23 )x + n3
= 16 (n − 2x) (n − 2x)2 − 3n + 2 .
=
1
2
Notar que parece que los Kkn (x) se pueden poner en términos de n − 2x y que, si
k es impar, entonces x = n2 es una raíz.
Se pueden
conocer algunos coecientes. Si Kkn (x) = ck xk + · · · + c0 , es claro que
n
c0 = k y además se tiene
ck =
(−2)k
k! ,
ck−1 =
(−2)k−1
(k−1)! n,
ck−2 =
(−2)k−2
2
6(k−2)! (3n
− 3n + 2k − 4).
Notar que ck , el coeciente principal de Kkn (x), no depende de n.
Ejemplo 2.2.
Para n = 3 la familia {Kk3 (x)} está dada por
K03 (x) = 1,
K13 (x) = −2x + 3,
K23 (x) = 2x2 − 6x + 3,
K33 (x) = − 43 x3 + 6x2 −
20
3 x
+ 1.
Chequear que se cumplen los valores iniciales y los coecientes. Es además instructivo
hacer el gráco de estos polinomios en [0, 3] y mirar las raíces.
Los polinomios de Krawtchouk satisfacen muchas propiedades interesantes. Veremos aquí la función generatriz, simetría en los parámetros y ortogonalidad (próxima
subsección).
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
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Función generatriz. Los polinomios de Krawtchouk tienen a (1 − z)x (1 + z)n−x como
función generatriz.
Proposición 2.3.
Para todo n ∈ N vale
∞
X
(2.3)
Kkn (x) z k = (1 − z)x (1 + z)n−x .
k=0
Demostración. Aplicaremos la fórmula de Taylor centrada en z = 0
f (z) =
∞
X
f (k) (0)
k=0
k!
z k = T0 f (z)
a las funciones f (z) = (1 −
y g(z) = (1 + z)n−x en C ∞ (R). Las derivadas son
0
x−1
0
f (z) = −x(1 − z) , g (z) = (n − x)(1 − z)n−x−1 , y en general
z)x
f (k) (z) = (−1)k x(x − 1) · · · (x − k + 1)(1 − z)x−k ,
g (k) (z) = (n − x)(n − x − 1) · · · (n − x − k + 1)(1 + z)n−x−k .
Luego,
T0 f (z) = 1 − xz +
x(x−1) 2
z
2
+ · · · + (−1)j x(x−1)···(x−j+1)
zj + · · · =
j!
∞
X
(−1)j
x
j
zj ,
j=0
T0 g(z) = 1 + (n − x)z + · · · +
(n−x)(n−x−1)···(n−x−`+1) `
z
`!
+ ··· =
∞
X
n−x
`
z`.
`=0
De este modo, usando la fórmula del binomio de Newton (x + y)n =
n
P
k=0
tenemos
x
(1 − z) (1 + z)
n−x
= f (z)g(z) = T0 f (z)T0 g(z) =
∞
X
(−1)j
x
j
n
k
n−x
`
xk y n−k ,
z j+`
j,`=0
=
∞
X


k=0

X
(−1)j xj
n−x
k−j
 zk =
j=0
donde usamos el cambio de variable k = j + `.
Observación 2.4.
∞
X
Kkn (x)z k ,
k=0
(i) Si j ∈ Z y 0 ≤ j ≤ n, entonces
∞
X
Kkn (j)z k = (1 − z)j (1 + z)n−j
k=0
es un polinomio de grado n, luego Kkn (j) = 0 para todo k > n. Esto dice que Kkn (x)
tiene innitos ceros y por lo tanto Kkn (x) = 0, para k > n.
(ii) Notar que podríamos haber denido a los polinomios de Kkn (x) a través de su
función generatriz mediante (2.3) y hubiéramos obtenido la expresión explícita (2.1).
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El resultado anterior permite generalizar y denir los polinomios q -arios de
Krawtchouk, donde q es cualquier entero ≥ 2, mediante la función generatriz
∞
X
Kkn,q (x) z k = (1 − z)x (1 + (q − 1)z)n−x .
k=0
En este caso se obtiene la expresión
k
X
Kkn,q (x) =
(−1)t (q − 1)k−t
x
t
n−x
k−t
.
t=0
Notar que Kkn,2 (x) = Kkn (x). En general Kkn,q (x) sirve para problemas en X = Znq .
Por simplicidad veremos las aplicaciones sólo en el caso binario, aunque la mayoría
(pero no todas) se adapta sin problemas en el caso general. En dichas aplicaciones
combinatorias nos interesaran los valores enteros Kkn (j) en j = 0, 1, . . . , n.
Simetría en los parámetros. Tenemos las siguientes relaciones de simetría en los parámetros de Kkn (x):
n
n
n
n
(2.4)
j ∈ Z≥0 .
j Kk (j) = k Kj (k),
Por otra parte,
(2.5) Kkn (n − x) =
k
X
(−1)t
n−x
t
x
k−t
= (−1)k
t=0
k
X
(−1)r xr
n−x
k−r
= (−1)k Kkn (x),
r=0
donde hicimos el cambio de variable r = k − t. Por último, de (2.4) y (2.5) se tiene
(2.6)
n
Kkn (j) = (−1)j Kn−k
(j),
j ∈ Z, 0 ≤ j ≤ n.
En efecto,
n
(j)
Kn−k
n
n−k
n
j
=
Kjn (n
− k) =
n
(−1)j n−k
n
j
n
n
j
j n−k
= (−1) n n Kkn (j).
j
k
n
impar entonces 2 es una raíz entera
Kjn (k)
Observar que (2.5) implica que si n es par y k
de Kkn (x), es decir
2m
K2k+1
(m) = 0
para todo m > 0, k ≥ 0. Estos serán llamados los ceros triviales.
2.2. Ortogonalidad.
milia ortogonal.
Proposición 2.5.
(2.7)
n
X
j=0
n
j
Veamos que los polinomios de Krawtchouk forman una fa-
Se tiene
Kkn (j)K`n (j)
=
δk` nk
n
2 ,
n
X
K`n (j)Kjn (k) = δ`k 2n ,
j=0
donde δ es la función de Kronecker.
En particular, para cada n ∈ N, la familia {Kkn (x)}nk=0 es un conjunto nito de
polinomios ortogonales discretos con respecto a la distribución binomial.
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
11
Demostración. Para ver la primer identidad hacemos
∞ X
n
X
k,`=0
n
j
Kkn (j)K`n (j) xk y `
=
j=0
n
X
n
j
∞
X
j=0
=
n
X
Kkn (j) xk
k=0
∞
X
K`n (j) y `
`=0
n
j
(1 − x)j (1 + x)n−j
n
j
j
n−j
(1 + xy) − (x + y) (1 + xy) + (x + y)
(1 − y)j (1 + y)n−j
j=0
=
n
X
j=0
=
n
2(1 + xy) = 2n (1 + xy)n ,
donde hemos usado el teorema del binomio de Newton. Por otra parte,
∞
n
X
X
n
k
n
n
(δk` nk 2n )xk y ` = 2n
k (xy) = 2 (1 + xy) ,
k,`=0
k=0
de donde, igualando las funciones generatrices, sale la igualdad buscada.
La segunda identidad sale directamente de aplicar (2.4) a la primera en (2.7).
A veces es útil agrandar la familia {Kkn (x)} agregando un polinomio de grado
n + 1. Denimos
n
2n+1 Y
n
(i − x).
(2.8)
Kn+1 (x) :=
(n + 1)!
i=0
Este es un polinomio de grado n + 1 que se anula en j = 0, 1, . . . , n. Luego, es claro
n (x) es ortogonal a todos los K n (x), k = 0, 1, . . . , n, ya que cumple (2.7)
que Kn+1
k
trivialmente.
Por ser polinomios ortogonales, los {Kkn (x)} satisfacen relaciones de recurrencia,
la fórmula de Christoel-Darboux, etc.
Relaciones de recurrencia. Existen muchas relaciones de recurrencia de 3 términos,
listamos a continuación 9 de ellas. Tenemos las 3 más conocidas
n
n
(x),
(k + 1)Kk+1
(x) = (n − 2x)Kkn (x) − (n − k + 1)Kk−1
(2.9)
(n − x)Kkn (x + 1) = (n − 2k)Kkn (x) − xKkn (x − 1),
(n − k + 1)Kkn+1 (x) = (3n − 2k − 2x + 1)Kkn (x) − 2(n − x)Kkn−1 (x),
donde la primera corresponde a la ortogonalidad de la familia, y estas adicionales
n
n
Kkn (x) = Kkn (x − 1) − Kk−1
(x) − Kk−1
(x − 1),
n−2
Kkn (x) = Kkn−2 (x − 1) − Kk−2
(x − 1),
n−1
Kkn (x) = Kkn−1 (x) + Kk−1
(x),
(2.10)
n−1
Kkn (x) = Kkn−1 (x − 1) − Kk−1
(x − 1),
n−1
(x − 1),
Kkn (x) = Kkn (x − 1) − 2Kk−1
n−2
Kkn (x) = Kkn (x − 2) − 4Kk−1
(x − 2).
12
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
n−1
Notar que la cuarta de estas relaciones, Kkn (x) = Kkn−1 (x − 1) − Kk−1
(x − 1), se
x−1
x−1
x
obtiene a partir de la identidad de Pascal, j = j + j−1 , pues
k
X
(−1)j xj
j=0
n−x
k−j
=
k
X
(−1)j x−1
j
(n−1)−(x−1)
k−j
k−1
X
+
j=0
Polinomio de Lloyd. El
(−1)j+1
x−1
j
(n−1)−(x−1)
.
k−j
j=1
polinomio de Lloyd se dene por
(2.11)
Lnk (x) :=
k
X
Kjn (x).
j=0
Usando la cuarta identidad en 2.10 y sumas telescópicas tenemos
Lnk (x) = K0n (x) + K1n (x) + K2n (x) + · · · + Kkn (x)
= 1+
k
X
n−1
Kjn−1 (x − 1) − Kj−1
(x − 1) = Kkn−1 (x − 1).
j=1
Veremos que este polinomio resulta muy útil en algunos problemas.
Fórmula de Christoel-Darboux. Las fórmulas del Teorema 1.3 toman la forma
n (x) K n (y) − K n (x) K n (y)
Kk+1
k+1
k
k
=
y−x
k
X
Kin (x)Kin (y)
,
n
n
k
2
k+1
i
i=0
y en el caso límite y = x
n
(x) (Kkn (x))0
Kk+1
−
n
(y))0
Kkn (x) (Kk+1
n
2 k
k+1
=
k
X
(Kin (x))2
.
n
i=0
i
Usando las relaciones de recurrencia, se prueba que
b(k−1)/2c
(Kkn (x))0
= −2
X
1
2i+1
n
(x).
Kk−1−2i
i=0
2.3. Otras propiedades.
Modularidad. Los polinomios de Krawtchouk satisfacen algunas relaciones de congruencias muy interesantes. Por ejemplo (ver [6]).
Si n ≥ k + 2m entonces
Kkn (x) ≡ Kkn (x + 2m )
mód 2m+1 .
Si q = pr con p primo y r ∈ Z≥0 entonces
n−q
Kkn (x) ≡ Kkn−q (x) + Kk−q
(x)
mód p,
n−q
Kkn (x) ≡ Kkn−q (x − q) − Kk−q
(x − q)
mód p,
Kkn (x) ≡ −Kkn (x − q) +
2Kkn−q (x
− q)
mód p.
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
13
Funciones hipergeométricas. Existe una representación
(2.12)
Kkn (x) = nk 2 F1 (−k, −x, −n; 2)
en términos de funciones hipergeométricas de tipo (2,1)
Z
∞
j
X
Γ(a + j) 1
(a)j (b)j z
(1 − zt)−a (1 − t)c−b−1 tb−1 dt,
2 F1 (a, b, c; z) :=
(c)j j! =
Γ(a)
0
j=0
donde (a)j es el símbolo de Pochhammer denido por
(a)j = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + j − 1) =
Γ(a + j)
.
Γ(a)
Notar que 2 F1 (a, b, c; z) es una función simétrica en a
y b. De (2.12) resulta la
n
k
relación de simetría (2.4) y usando que (−n)k = (−1) k k! además se tiene (2.2).
Fórmulas integrales. Los polinomios de Krawtchouk pueden obtenerse por integración de funciones complejas. Tenemos la fórmula integral
Z
2n−1 (−i)x 2π i( n −k)θ
e 2
cosn−x ( 2θ ) sinx ( 2θ )dθ,
Kkn (x) =
π
0
y la fórmula integral de Cauchy
Kkn (x)
=
(1 − z)x (1 + z)n−x
dz.
z k+1
I
1
2πi
Notar que el numerador del integrando (1 − z)x (1 + z)n−x es la función generatriz
de Kkn (x).
Relación con otros polinomios ortogonales. Es interesante ver como se relacionan
estos polinomios con otras familias de polinomios ortogonales.
• Polinomios de Hahn. Los Kkn (x) se obtienen como caso límite de los polinomios
de Hahn. En efecto, los polinomios de Hahn están dados por
k k+α+β+j k
X
x
j
j
(−1)j
Hkn (x, α, β) =
j+α n
j
j
j
j=0
y vale
Kkn (x) =
n
lı́m Hkn (x, 2t , 2t ).
k t→∞
• Polinomios de Hahn (2). Para α = β = −(n + 1) se tiene
k
k
n
n
X
j
k − k−1
n
n
n Kjn (x)Kk−j
Hk (x, −n − 1, −n − 1) =
(x).
n
2k
j k−j
j=0
• Polinomios de Jacobi (1). Los
se obtienen como valor de ciertos polinomios de Jacobi. Usando la fórmula explícita
Kkn (x)
Pkα,β (x) =
k
X
i=1
k+α
k−i
k+β
i
x−1 i x+1 k−i
2
2
14
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
y comparando se llega a
Kkn (x) = (−2)k Pkx−k,n−x−k (0).
• Polinomios de Jacobi (2). Una relación más general entre Kkn (x) y Pnα,β (x) surge
de observar que la función peso para los polinomio de Jacobi w(x) = (1 − x)α (1 + x)β
se parece mucho a la función generatriz de los polinomios de Krawtchouk.
La transformacion afín A(x) = 2x
n − 1 es un homeomorsmo de [0, n] sobre [−1, 1].
Luego K̃kn (x) = Kkn (A(x)) = Kkn ( 2x
n − 1) son ortogonales en [−1, 1] respecto de la
función peso W̃ (x) = W (A(x)).
Usando que
∞
X
2x
2x
k
−1
n
Kkn ( 2x
(1 + z)n− n +1
n − 1) z = (1 − z)
k=0
se tiene
2x
−1,n− 2x
+1
n
n
Pn
∞
o
d n n
X
k
2 n
n 2x
(1 − z )
Kk ( n − 1) z .
Kkn ( 2x
−1) z k dz
n
(−1)n
(x) =
2n n!
∞
P
k=0
k=0
Existen otras relaciones con los polinomios de Tchebychev discretos (proporcionales a los polinomios de Hahn con α = β = 0) y con los polinomios de Hermite, que
no mencionaremos.
3.
Relación con problemas combinatorios
Comencemos con una observación. Sea I = In = {1, 2, . . . , n} y sea J ⊂ I un
subconjunto con |J| = j . Denamos el número
X
(3.1)
Kk,j,n :=
(−1)|J∩K| .
K⊂I
|K|=k
Este número coincide con evaluar polinomios binarios de Krawtchouk en enteros.
Más precisamente, Kk,j,n = Kkn (j). En efecto,
Kk,j,n =
X
K⊂I
|K|=k
|J∩K|
(−1)
k
X
=
(−1)t
t=0
X
K⊂I, |K|=k
|J∩K|=t
k
X
n−j
t j
1=
(−1)
= Kkn (j) .
t
k−t
t=0
Esta observación es la que da una idea de porqué los polinomios de Kratwchouk
son tan ubicuos en algunos problemas combinatorios. Trabajaremos con polinomios
binarios, aunque existen aplicaciones de los polinomios q -arios también.
3.1. Algunos problemas combinatorios.
A continuación damos una lista de
problemas de naturaleza combinatoria, a saber: transformadas de Radon discreta,
teoría de grafos, teoría de códigos.
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
15
Consideraremos el espacio métrico X = (Zn2 , d) donde Zn2 es el espacio de n-uplas
binarias con la distancia de Hamming dada por
d(x, y) = #{1 ≤ i ≤ n : xi 6= yi },
x, y ∈ X,
es decir, d(x, y) es el número de coordenadas en que x e y dieren. Es fácil probar
que d es una distancia (ejercicio). El peso de x ∈ X es
ω(x) = #{1 ≤ i ≤ n : xi 6= 0} = d(x, 0).
Luego,
d(x, y) = ω(x − y).
(Tanto la distancia de Hamming, como el peso, se pueden denir en el espacio
X = Fnq , donde Fq es un cuerpo nito de q elementos, donde q es necesariamente
potencia de un primo p.)
En X tenemos las esferas y bolas de radio r, 0 ≤ r ≤ n, centradas en x ∈ X
S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r},
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} =
r
[
S(x, i)
i=0
unión disjunta. Es común poner Sk = S(0, k) y Bk = B(0, k).
Transformada de Radon. Sea X = (Zn2 , d), una función f : X → R y S ⊂ X . La
transformada de Radon de f en S es
X
X
f¯S (x) =
f (x + s) =
f (y).
s∈S
y∈x+S
¾Cuándo la aplicación ρS : f 7→ f¯S es 11?
Teoría de códigos. Un código q -ario de longitud n es un subconjunto C ⊂ Fnq . Si C
es un subespacio vectorial entonces decimos que es un código lineal. En este caso,
si dim C = k decimos que C es un [n, k]-código. Se dene la distancia mínima de C
por dC = mı́n{d(c, c0 ) : c, c0 ∈ C, c 6= c0 }, donde d es la distancia de Hamming. Un
código con distancia mínima d es (d − 1)-detector y t-corrector si d = 2t, 2t + 1.
Un código es perfecto si las bolas de Hamming centradas en palabras códigos
cubren todo el espacio sin intersección. Un código binario es un código sobre Z2
(q = 2). Luego, dado C binario, C es perfecto si
[
Zn2 =
B(c, t),
B(c, t) ∩ B(c0 , t) = ∅,
c∈C
d−1
2 )
y en este caso decimos que C es t-perfecto. En otras palabras, las bolas
(con t ≤
centradas en palabras códigos empaquetan el espacio. ¾Para que n y t existen
códigos binarios perfectos?
Un problema parecido al de los códigos perfectos, que lo generaliza, es el de los
cubrimientos. Un r-cubrimiento múltiple perfecto de radio t es un conjunto
C ⊂ X tal que las bolas B(c, t), c ∈ C , cubren todo el espacio con multiplicidad
exactamente r, es decir:
16
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
(i) Zn2 =
S
B(c, t),
c∈C
(ii) y cada x ∈ X está en exactamente r bolas B(c1 , t), . . . , B(cr , t).
Notar que un 1-cubrimiento de radio t es lo mismo que un código t-perfecto. ¾Para
que n, t y r existen tales cubrimientos perfectos?
Reconstrucción de grafos. Sea G = (V, E) un grafo con |V | = n. Para U ⊂ V , el
switching GU de G en U es el grafo obtenido a partir de G cambiando todos los
lados entre U y V r U por no-lados y los no-lados por lados (es decir, quitamos los
lados xy ∈ E con x ∈ U , y ∈ V r U , y dados x ∈ U , y ∈ V r U , si xy 6∈ E lo
agregamos).
El k -switching deck es el multiconjunto de grafos sin etiquetas
Dk (G) = {{GU : |U | = k}}.
Como GU = GV rU , podemos suponer que k ≤ n2 . ¾Está G unívocamente determinado por Dk (G), salvo isomorsmo? En caso armativo diremos que G es k reconstruible.
Por ejemplo, si
•
•
•
•
G=
entonces


•








D1 (G) = 








•
•
@
@
@
•
2 
 
 
 
 ,
 
 
2 



 

 


= D3 (G),

 

 




•
•
•
•
mientras que


•




D2 (G) = 




•
•
Q
QQ
•
4 
•
 
 ,
 
•
•
@
@
•
2 



 

 .



Notar que hay grafos no-reconstruibles: por ejemplo el grafo cíclico C4 no es
reconstruible pues




•








D1 (C4 ) = 








•
•
@
@
@
•
4













= D1 (∅4 ).







Similarmente, sea Γ = (V, E) un digrafo (grafo dirigido, o sea lados orientados).
Dado A ⊂ E , sea ΓA el grafo obtenido por reorientación de todos sus lados en A. El
k -reorientation deck es el multiconjunto de digrafos
Dk (Γ) = {{ΓA : |A| = k}}.
¾Determina Dk (Γ) unívocamente a Γ, salvo isomorsmo?
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
17
Recordemos los problemas considerados:
P1. transformada de Radon: Determinar cuando ρS : f → f¯S es 11.
P2. códigos perfectos: ¾Para que n y t existen códigos binarios t-perfectos?
P3. cubrimientos perfectos: ¾Para que n, t y r existen r-cubrimientos múltiples
t-perfectos?
P4. switching reconstruction: ¾qué grafos G son k -reconstruibles?
P5. reorientation reconstruction: ¾determina Dk (Γ) unívocamente a Γ, salvo isomorsmo?
Respuestas a estos problemas fueron dadas por Diaconis y Graham en 1985 (P1),
por Lloyd en 1957 (P2), por Cohen, Honkala, Litsyn y Mattson Jr. en 1995 (P3),
por Stanley en 1985 (P4) y por Krasikov y Litsyn en 1996 (P5). Notablemente, la
respuesta a todos los problemas considerados depende de la existencia o no de raíces
enteras de polinomios de Krawtchouk.
Por ejemplo, para códigos perfectos tenemos
Teorema 3.1 (Lloyd). Si C es un código binario perfecto t-corrector entonces el
polinomio de Lloyd
t
X
n
Lt (x) =
Kjn (x) = Ktn−1 (x − 1)
j=0
tiene t ceros enteros distintos en {1, 2, . . . , n}.
Con este resultado se completó la lista de códigos perfectos binarios t-correctores
de longitud n. En este caso no hay sorpresas, son los triviales, el de repetición, los
códigos binarios de Hamming y el código de Golay binario. Notar que todos son
lineales, luego de dimensión k .
código
notación
trivial
Zn2
n
n
k
d
t
n
1
0
3
1
Hamming
H2 (r)
Golay
G23
23
12
7
3
Repetición
R2 (n)
2t + 1
1
2t + 1
t
nulo
{0}
n
0
−
−
2r
−1
2r
−r−1
La situación para el caso general es más complicada. Sólo están clasicados los
códigos perfectos (lineales o no) sobre alfabetos de cardinal q potencia de un primo.
El caso arbitrario es un problema aun abierto.
Agrupamos los distintos resultados haciendo énfasis en las raíces enteras.
Teorema 3.2.
Sea Kkn (x) el k -ésimo polinomio de Krawtchouk de orden n. Entonces
P1. La transformada de Radon para S = Sk ⊂ Zn2 (resp. S = Bk ⊂ Zn+1
) es 11
2
⇔ Kkn (x) no tiene raíces enteras en [0, n] (resp. [−1, n − 1]).
18
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
P2. Si Kkn (x) tiene al menos una raíz x0 6∈ Z ⇒ no existen códigos binarios k perfectos en Zn+1
.
2
P3. Si Kkn (x) tiene menos de N raíces enteras ⇒ no existe ningún r-cubrimiento
múltiple perfecto de radio k , donde N es el menor entero tal que
k
X
n
j
≤r
j=0
N
X
n
j
.
j=0
P4. Si Kkn (x) no tiene raíces enteras pares ⇒ el grafo G = (V, E), con |V | = n,
es k -reconstruible.
P5. Si Kkn (x) no tiene raíces enteras ⇒ el grafo Γ = (V, E), con |E| = n, es
k -reconstruible.
Moraleja: ½hay que estudiar raíces enteras de Kkn (x)!
El resultado para grafos reconstruibles (P4) fue introducido y probado por Stanley
en 1985. Usando éste, Krasikov y Rodity en 1994 dieron el siguiente resultado.
Teorema 3.3.
Un grafo de n-vértices es k -reconstruible si
1. n − 2k = 0, 1, 3.
2. n − 2k = 2, 6, con n 6≡ 0 mod 4.
p
3. n − 2k = 4 y 2n − 2n(n + 2) 6∈ 8Z.
√
4. n − 2k = 5 y 3n − 1 + 5n2 + 10n − 11 6∈ 16Z.
Por lo visto, cuando se trabaja con Zn2 los polinomios binarios de Krawtchouk
pueden ser de utilidad. Los polinomios q -arios de Krawtchouk se usan para problemas
que involucran Znq .
Observación 3.4 (otros problemas ).
(i) En el contexto de los códigos lineales es de
importancia estudiar los enumeradores de peso de C . Una herramienta muy útil es
la famosa identidad de McWilliams, que relaciona el enumerador de peso de C con
el de su dual C ⊥ . Existen varias expresiones alternativas, una de las cuales está en
términos de los polinomios de Krawtchouk.
Si C es un [n, k]-código en Fnq , el código dual C ⊥ = {x ∈ Fnq : x · c = 0, c ∈ C} es un
[n, n − k]-código. Se dene la distribución de pesos de C como A0 , A1 , . . . , An donde
Ai (C) := #{c ∈ C : w(c) = i}.
El enumerador de peso de C es el polinomio WC (x) =
n
P
Ai (C)xi es decir, es la
i=0
función generatriz de la distribución de pesos de C . Equivalentemente, se tiene la
versión homogenea
n
X
WC (x, y) =
Ai (C) xi y n−i .
i=0
La identidad de McWilliams dice que
WC ⊥ (x, y) =
1
|C| WC
y − x, y + (q − 1)x
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
19
para todo código lineal q -ario C . Esta expresión se puede escribir equivalentemente
de la forma
n
X
1
A⊥
(C)
=
Aj (C) Kkn,q (j).
k
|C|
j=0
Además de la distribución de pesos, también se dene la distribución de distancias
de un código. En ese caso, los polinomios de Krawtchouk, también aparecen de forma
análoga a la vista.
(ii) Los polinomios de Krawtchouk también aparecen en el estudio de ciertos esquemas de asociación, en particular en el esquema binario de Hamming. Éste resulta
ser un esquema P -polinomial, es decir que en cierta forma está determinado por un
número nito de polinomios, y dichos polinomios resultan ser los Kkn (x).
(iii) Estos polinomios también aparecen en el ámbito de la geometría espectral de
variedades Riemannianas, lo cual veremos brevemente más adelante. En particular,
hemos usado estos polinomios para producir una familia grande de variedades (no
homeomorfas) que son isospectrales entre sí (o sea con igual espectro de autovalores).
Veamos en detalle el caso de la transformada de Radon.
3.2. La transformada de Radon en Zk2 .
Primero relacionaremos la transformada de Radon con la transformada de Fourier discreta. Sea X = (Zn2 , d). Recordemos
que dada una función f : X → R, la transformada de Fourier es
X
fˆ(x) =
(−1)x·y f (y)
y∈X
con inversa
f (y) =
1
2n
X
(−1)x·y fˆ(x).
x∈X
Además, si f y g son funciones de X en R, entonces se cumple (f\
+ g)(y) = fb(y)+b
g (y)
\
y (f ∗ g)(y) = fb(y) · gb(y) donde
X
(f ∗ g)(x) =
f (y) g(x − y)
y∈X
es la convolución de f por g .
Lema 3.5.
Sea X = Zn2 , f : X → R y S ⊂ X . Entonces, la aplicación f → f¯S es
1-1 ⇔ χ
bS (x) 6= 0 para todo x ∈ X , donde χS es la función característica de S .
La prueba de este hecho se basa en la simple observación de que
X
f¯S (y) =
f (y − s) = f ∗ χS (y)
s∈S
¯S (y) = fˆ(x) · χ̂S (x).
y por lo tanto fˆ
Nota: Observar que si |S| es impar entonces ρS es 11. En efecto, χ̂S 6= 0 pues
X
χ̂S (x) =
(−1)x·y
y∈S
20
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
es una suma impar de ±1's.
Nos preguntamos que pasa en el caso de las esferas S = Sk = {x ∈ X : ω(x) = k}
y las bolas S = Bk = {x ∈ X : ω(x) ≤ k}.
Lema 3.6.
Si x ∈ X y S ⊂ X entonces
(
Kkn (ω(x))
χ̂S (x) =
Kkn−1 (ω(x) − 1)
si S = Sk ,
si S = Bk .
Demostración. Sea S = Sk . Sea x, y ∈ X con ω(x) = j , ω(y) = k . Sean J = Jx =
{1 ≤ i ≤ n : xi = 1} ⊂ In y K = Ky = {1 ≤ i ≤ n : yi = 1} ⊂ In , luego |J| = j ,
|K| = k . Tenemos
X
X
(−1)|J∩K| = Kkn (j) = Kkn (ω(x))
χ̂S (x) =
(−1)x·y =
y∈X
ω(y)=k
K⊂In
|K|=k
por (3.1). Ahora, como Bk = S0 ∪ S1 ∪ · · · ∪ Sk y la unión es disjunta, es claro que
χBk = χS0 + χS1 + · · · + χSk y
χ̂Bk (x) =
k
X
χ̂Sr (x) =
r=0
k
X
Krn (ω(x)) = Kkn−1 (ω(x) − 1)
r=0
y el resultado sigue.
Notar que el polinomio de Lloyd, Lnk (x), que resuelve la clasicación de los códigos
binarios perfectos, aparece aquí nuevamente.
Combinando los Lemas 3.5 y 3.6 tenemos la respuesta para el problema P1.
Teorema 3.7
.
(Diaconis-Graham) La aplicación ρS con S = Sk
Kkn (x) no tiene raíces enteras en [0, n]. La aplicación ρS con S =
⇔ Kkn−1 (x) no tiene raíces enteras en [−1, n − 1].
⊂ Zn2 es 11 ⇔
Bk ⊂ Zn2 es 11
Demostración. Basta notar que si x recorre X , entonces ω(x) toma todos los valores
0, 1, . . . , n.
En particular, si Kkn (x) no tiene raíces enteras en [−1, n] entonces ρS es inversible
simultáneamente para S = Sk ⊂ Zn2 y S = Bk ⊂ Zn+1
.
2
Ejemplo 3.8.
K0n (x)
Veamos los casos más pequeños, 0 ≤ k ≤ 3.
P
= 1, luego ρS0 es 11 (sale directo de f¯S0 (x) =
f (x + s) = f (x)).
s∈S0
K1n (x) = n − 2x, por lo tanto ρS1 es 11 ⇔ n es impar.
K2n (x) = 12 (n − 2x)2 − n , luego ρS2 es 11 ⇔ n no es un cuadrado.
K3n (x) = 16 (n − 2x)[(n − 2x)2 ) − (3n − 2)], por lo que ρS3 es 11 ⇔ n es impar
y 3n − 2 no es un cuadrado.
En el caso en que ρS es 11 queda preguntarse si se puede dar una fórmula de
inversión. Dicha fórmula existe en el caso más sencillo en que S = S1 , B1 .
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
Proposición 3.9 ([2]).
guiente manera.
21
Las inversas de ρS para S = S1 , B1 están dadas de la si-
(i) Si S = S1 ⊂ Z2m+1
y f : Z2m+1
→ R con f¯S (x) =
2
2
f (y) entonces
P
y : d(x,y)=1
(3.2)
f (y) =
X
1
2m+1
βm
d(x,y)−1
2
f¯S (x)
x∈Z2m+1
2
d(x,y) impar
2·4···2k
donde βm (k) = (−1)k (2m−1)(2m−3)···(2m−2k+1)
.
2m
¯
(ii) Si S = B1 ⊂ Z2m
2 y f : Z2 → R con fS (x) =
P
f (y) entonces
y : d(x,y)≤1
(3.3)
f (y) =
1
2m+1
X
βm
d(x,y) 2
f¯S (x).
x∈Z2m
2
Usando transformada y antitransformada de Fourier, se puede mostrar que
X X (−1)x+z·y f¯S (z).
f (x) = 21n
χ̂
(y)
S
z
y
Si S = S1 , con n = 2m + 1, tenemos χ̂S1 (y) = K12m+1 (ω(y)) mientras que si
S = B1 , con n = 2m, entonces χ̂B1 (y) = K12m−1 (ω(y) − 1) = K12m+1 (ω(y)) pues
K1n (x) = n − 2x. Luego, podemos poner
(3.4)
f (x) =
1
2n
XX
z
y
(−1)x+z·y ¯
fS (z) ,
K12m+1 (ω(y))
para S = S1 , n = 2m + 1 o para S = B1 , n = 2m.
Ahora, comparando f (0) en (3.2), (3.3) y (3.4), llegamos a las siguientes fórmulas:

 22m+1 βm ( ω(z)−1 )
z·y
X
si ω(z) es impar,
(−1)
2m+1
2
=
K12m+1 (ω(y)) 
0
si ω(z) es par,
2m+1
y∈Z2
X
y∈Z2m
2
(−1)z·y
K12m+1 (ω(y))
=
ω(z)
22m
2m+1 βm (d 2 e),
donde z ∈ Z2m+1
y z ∈ Z2m
2 respectivamente.
2
De estas fórmulas se pueden obtener expresiones para la suma y sumas alternadas
de recíprocos de polinomios de Krawtchouk. En particular, en el caso n = 2m,
tomando z = 0, tenemos la expresión
2m
2m
2m
X
X
X
1
#Si
i
0=
=
2m (i) =
2m (i) .
K
K
K12m+1 (ω(y))
1
1
2m
i=0
i=0
y∈Z2
22
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
4.
Raíces enteras de polinomios de Krawtchouk
Como los {Kkn (x)} forman una familia de n + 1 polinomios ortogonales en [0, n]
sabemos que:
Kkn (x) tiene k ceros reales distintos en [0, n],
n
n
rk,1
< . . . < rk,k
,
n (x) se entrelazan, es decir
las raíces de Kkn (x) y Kk+1
n
n
n
n
rk+1,i
< rk,i
< rk+1,i+1
< . . . < rk,i+1
,
i = 1, . . . , n − 1
n , rn
todo (rk,i
k,i+1 ) contiene un entero.
Otras propiedades generales de los ceros de Kkn (x) son fácilmente obtenidas:
los ceros de Kkn (x) y Kkn+1 (x) entrelazan,
n (x) y K n+1 (x) entrelazan,
los ceros de Kk−1
k
los ceros de Kkn (x) son simétricos respecto de
n
2,
es decir
n
n
=n
+ rk,k+1−i
rk,i
n
−
o sea rk,k+1−i
n
2
=
n
2
n .
− rk,i
Buscamos raíces enteras de Kkn (x), lo cual equivale a resolver la ecuación
k
X
n−r
n
t r
Kk (r) =
(−1)
= 0,
r ∈ Z.
t
k−t
t=0
Recordemos que si n es par y k impar entonces
los ceros triviales.
n
2
es raíz entera de Kkn (x). Estos son
4.1. Existencia.
Órbitas. Supongamos que r es una raíz entera de Kkn (x). En ese caso, jugando con
las relaciones de simetría (2.4)(2.6), se pueden encontrar otros ceros enteros para
otros polinomios. En efecto,
Kkn (r) = 0 ⇔ Krn (k) = 0,
y
Kkn (n − r) = 0 ⇔ Kkn (r) = 0.
Si denotamos por (n, k, r) el hecho de que Kkn (r) = 0, entonces el conjunto estas
ternas es cerrado por el grupo G generado por las involuciones
τ : (n, k, r) → (n, r, k),
ρ : (n, k, r) → (n, k, n − r).
Veamos que G = hτ, ρi es no abeliano de orden 8. Claramente τ 2 = 1 = ρ2 , y
σ = ρτ : (n, k, r) → (n, k, r) → (n, k, n − r),
υ = τ ρ : (n, k, r) → (n, k, n − r) → (n, n − r, k),
lo que muestra que ρτ 6= τ ρ. Es fácil ver que σ 4 = 1 = υ 4 . De este modo G es
isomorfo al grupo de cuaterniones Q8 = hr, si, r4 = s4 = 1 y rsr−1 = s3 . Luego
basta dar representantes de las órbitas con 1 ≤ k ≤ x ≤ n2 .
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
23
Ejemplo 4.1.
Damos aquí los valores de Kkn (j), 0 ≤ j, k ≤ n, para n = 1, . . . , 9, y
miramos las órbitas de los ceros bajo la acción de G. Damos las matrices correspondientes K = (Kij ) con Kij = Kin (j).
1
Kk (j)
1
1
1
−1
1
4
Kk (j)
6
Kk (j)
1
1
1
2
Kk (j)
1
1
1
2
0
−2
1
−1
1
1
1
1
4
2
0
−2
−4
6
0
−2
0
6
4
−2
0
2
−4
1
−1
1
−1
1
1
1
1
1
1
5
Kk (j)
6
4
2
0
−2
−4
−6
15
5
−1
−3
−1
5
15
20
0
−4
0
4
0
−20
15
−5
−1
3
−1
−5
15
6
−4
2
0
2
4
−6
1
−1
1
−1
1
−1
1
8
Kk (j)
9
Kk (j)
3
Kk (j)
1
1
1
1
3
1
−1
−3
3
−1
−1
3
1
−1
1
−1
1
1
1
1
1
1
5
3
1
−1
−3
−5
10
2
−2
−2
2
10
10
−2
−2
2
2
−10
5
−3
1
1
−3
5
1
−1
1
−1
1
−1
7
Kk (j)
1
1
1
1
1
1
1
1
7
5
3
1
−1
−3
−5
−7
21
9
1
−3
−3
1
9
21
35
5
−5
−3
3
5
−5
−35
35
−5
−5
3
3
−5
−5
35
21
−9
1
3
−3
−1
9
−21
7
−5
3
−1
−1
3
−5
7
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
28
14
4
−2
−4
−2
4
14
28
56
14
−4
−6
0
6
4
−14
−56
70
0
−10
0
6
0
−10
0
70
56
−14
−4
6
0
−6
4
14
−56
28
−14
4
2
−4
2
4
−14
28
8
−6
4
−2
0
2
−4
6
−8
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
7
5
3
1
−1
−3
−5
−7
−9
36
20
8
0
−4
−4
0
8
20
36
84
28
0
−8
−4
4
8
0
−28
−84
126
14
−14
−6
6
6
−6
−14
14
126
126
−14
−14
6
6
−6
−6
14
14
−126
84
−28
0
8
−4
−4
8
0
−28
84
36
−20
8
0
−4
4
0
−8
20
−36
9
−7
5
−3
1
1
−3
5
−7
9
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
En negritas hemos marcado los ceros que representan a la órbita.
24
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
Familias innitas. Fijado k , buscamos (n, k, r) para innitos n.
Proposición 4.2 ([1]).
Para k = 1, 2, 3 tenemos las ternas de ceros siguientes
(a) (2h, 1, h), h ≥ 1.
(b) (h2 , 2, h(h−1)
), h ≥ 3.
2
(c) (3h2 + 3h +
3
2
± (h + 12 ), 3, h(3h±1)
), h ≥ 2. O sea
2
2 +2h+1
K33h
2 +4h+2
)=0
( h(3h−1)
2
K33h
( h(3h+1)
) = 0.
2
En (a) se obtienen ceros triviales. Notar que los números triangulares, th = h(h+1)
,
2
son ceros de polinomios de grado 2, y que los números pentagonales generalizados,
son ceros de polinomios de grado 3 (los números pentagonales son
p̃h = h(3h±1)
2
h(3h+1)
ph =
). Por ejemplo, tenemos los ceros
2
0 = K12 (1) = K14 (2) = K16 (3) = · · ·
0 = K92 (3) = K216 (6) = K225 (10) = · · ·
0 = K315 (5) = K334 (12) = · · ·
0 = K322 (7) = K341 (15) = · · ·
Existe una familia innita de ceros pares.
Teorema 4.3 ([1]).
Tenemos
8h+1
(4h − 1) = 0,
K2h
h ≥ 1.
Es decir, {(8h + 1, 2h, 4h − 1)} es una familia innta de ceros enteros de polinomios
de Krawtchouk de grado par.
Por ejemplo, tenemos las ternas (9, 2, 3), (17, 4, 7), (25, 6, 11), etcétera.
Lema 4.4 ([6]).
Sea n = 2k + t. Entonces
[t/2]
Kkn (2i) = 0
⇐⇒
X
(−1)j
k
i−j
t
2j
= 0,
t
2j+1
j=0
[(t−1)/2]
Kkn (2i + 1) = 0
⇐⇒
X
(−1)j
k
i−j
= 0,
j=0
Demostración. Usando la función generatriz (2.3) y la relación de simetría (2.4), se
puede ver que para encontrar ceros pares e impares de Kkn (x) uno debe encontrar
coecientes nulos con índices pares e impares, respectivamente, de
(1 − z)k (1 + z)n−k = (1 − z)k (1 + z)k+t = (1 − z 2 )k (1 + z)t .
El resultado sigue de calcular los coecientes en z 2h y z 2h+1 respectivamente.
Usando el lema, se tienen que los ceros enteros no-triviales se pueden encontrar a
partir de las siguientes ecuaciones
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
(a ) t = 3, r =
n−1
4
(raíces pares), r =
3n+1
4
25
(raíces impares),
(b ) t = 4, 8r2 − 8nr + n2 − 2n = 0 (raíces pares),
(c ) t = 5, 16r2 − 12nr + 4r + n2 − 4n + 3 = 0 (raíces pares), 16r2 − 20nr − 4r +
5n2 + 3 = 0 (raíces impares),
(d ) t = 6, 16r2 −16nr+n2 −6n+8 = 0 (raíces pares), 16r2 −16nr+3n2 −2n+8 = 0
(raíces impares),
(e ) t = 8, 8r2 − 8nr + n2 − 2n + 16 = 0 (raíces impares).
Para t > 3 se reducen a ecuaciones de Pell
x2 − ay 2 = 1.
Para otros valores de t se obtienen ceros triviales o ecuaciones diofánticas de grado
> 2.
Además de éstas, Habsieger y Stanton ([5]) dieron 5 familias innitas adicionales
de ceros de Kkn (x) para n = 2k + t con t = 3, 4, 5, 6, 8.
Observación 4.5.
8h+1
(2h) = 0 para las raíces pares
En el caso t = 3 se obtiene K4h−1
(que ya sabíamos del Teorema 4.3) y
8h+1
K4h−1
(6h + 1) = 0
para las impares.
Veamos esto. Por el Lema 4.4, r = 2h es raíz de Kkn (x) con n = 2k + 3 si y sólo si
0=
1
X
(−1)j
k
h−j
3
2j
=
k
h
−3
k
h−1
j=0
k
k
Pero h = 3 h−1
es equivalente a k −h+1 = 3h de donde k = 4h−1. Similarmente,
para r = 2h + 1.
Ceros esporádicos. Los ceros esporádicos son aquellos que no son ni los triviales,
ni están dados por los resultados de las subsección anterior (i.e. Proposición 4.2,
Teorema 4.3, etcétera). Hay muy pocos, 15 con n < 700 y sólo 25 con n ≤ 5000, con
1 ≤ k ≤ r ≤ n2 , como se ve en la siguiente lista
n 36
66
67
67
67
67
98
132
177
214
289
345
465
514
k
5
4
5
5
6
23
14
19
61
31
5
6
44
34
r
14
30
22
28
31
31
47
62
86
103
133
155
230
254
n
576
774
932
1029
1219
1219
1252
1251
3193
3362
4516
k
84
113
62
7
116
421
183
4
1103
492
661
r
286
383
463
496
607
607
622
715
1594
1679
2254
26
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
4.2. Modularidad y no existencia.
Veamos un criterio sencillo que sirve para
asegurar que Kkn (x) no tiene raíces enteras.
Proposición 4.6 ([1]). Si Kkn (r) = 0 con r ∈ Z ⇒ nk es par.
n−1
Demostración. Tenemos Kkn (x) − Kkn (x + 1) = 2Kk−1
(x), de (2.10), y luego
2
r−1
X
n−1
Kk−1
(j) =
j=0
r−1
X
Kkn (j) − Kkn (j + 1) = Kkn (0) − Kkn (r) =
n
k
,
j=0
de donde el resultado sigue.
Por ejemplo, Kk3 (x) no tiene raíces enteras. Como 52 = 5, 62 = 15, K25 (x) y
K26 (x) no tienen raíces enteras. En general, si n y k son grandes puede ser complicado
determinar si nk es par. Para ello usamos el teorema de Lucas.
Recordar que si p es un primo, dado a ∈ N tenemos el desarrollo p-ádico
X
a=
ap (i)pi ,
0 ≤ ap (i) ≤ p − 1.
i
Si a, b ∈ N y ap (i) ≥ bp (i) para todo i entonces escribimos a p b.
Teorema 4.7
(Lucas, 1878). Si n, k ∈ Z≥0 y p es primo entonces
Y
n
np (i)
≡
mód p.
k
kp (i)
i
En particular, nk es impar ⇔ n 2 k .
Corolario
4.8.
m
Kk2
Si n 2 k entonces Kkn (x) no tiene raíces enteras. En particular,
−1
(x) no tiene raíces enteras para ningún k = 0, 1, . . . , 2m − 1.
Demostración. La primera armación es obvia por la Proposición 4.6 y el teorema
de Lucas, la segunda sale de la identidad 1 + 2 + 22 + · · · + 2m−1 = 2m .
Como consecuencia, tenemos que
• todos los grafos con |V | = 2m − 1 son k -reconstruibles, y
m
m
• la aplicación ρS es 11 para S = Sk ⊂ Z22 −1 y para S = Bk ⊂ Z22 ,
para todo 0 ≤ k ≤ 2m − 1.
La condición de divisibilidad de la Proposición 4.6 vale en general para Kkn,q (x).
En el caso binario puede ser mejorada.
Proposición 4.9.
Si Kkn (r) = 0 con r ∈ Z≥0 ⇒
Kkn (r mod 2t ) ≡ 0
mód 2t+1
para todo t ≥ 1.
Para polinomios de Krawtchouk tenemos un análogo débil al Teorema de Lucas.
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
27
Proposición 4.10.
Sean n, k, x enteros no negativos y sean n = n` p` + · · · + n0 ,
k = kr + · · · + k0 y x = x` p` + · · · + x0 sus desarrollos p-ádicos. Si ni ≥ xi para
i = 0, . . . , r entonces
r
Y
Kkn (x) ≡
Kknii (xi ) mód p .
pr
i=0
5.
Aplicaciones a la geometría espectral
Variedades compactas planas. Una variedad compacta plana es una variedad Riemanniana con curvatura constante K = 0. Toda variedad compacta plana M es
isométrica a un cociente MΓ = Rn /Γ donde Γ ' π1 (M ) es un grupo de Bieberbach, es decir un subgrupo discreto, cocompacto y sin torsión de I(Rn ), el grupo de
isometrías de Rn .
Como I(Rn ) ' O(n) n Rn , todo elemento γ ∈ I(Rn ) se escribe unívocamente como
γ = BLb , con B ∈ O(n) y b ∈ Rn . Las traslaciones en Γ forman un subgrupo normal
abeliano maximal de índice nito LΛ , donde Λ es un retículo en Rn , B -estable para
todo BLb ∈ Γ. La restricción a Γ de la proyección canónica r : I(Rn ) → O(n), dada
por BLb 7→ B , es un homomorsmo con núcleo Λ y r(Γ) es un subgrupo nito de
O(n) isomorfo a F := Λ\Γ, la holonomía lineal de MΓ .
Nos interesarán las Zk2 -variedades, es decir variedades compactas planas con
grupo de holonomía isomorfo a Zk2 , 0 ≤ k ≤ n − 1, donde n es la dimensión. En
dimensión 2 hay 2 variedades compactas planas. El toro T 2 = R2 /Z2 y la botella de
Klein
0
K 2 = R2 /h( −1
Λ = Ze1 ⊕ Ze2 ,
0 1 )L 1 e2 , Le1 , Le2 i,
2
que es una Z2 -variedad. Esta es la Zk2 -variedad mas simple.
Espectro. Dada una variedad compacta y un operador diferencial D actuando en
M (o en un brado vectorial de M ), el espectro de M es un conjunto discreto de
autovalores reales {λi } que se acumulan solo en el innito, y cuyos autoespacios Hλi
son todos de dimensión nita. La dimensión de estos autoespacios es la multiplicidad
dλi del autovalor. En símbolos:
0 ≤ |λ1 | ≤ |λ2 | ≤ · · · ≤ |λn | % ∞,
dλi = dim Hλi < ∞.
El conjunto de estos autovalores contados con multiplicidad se denota
SpecD (M ) = {λ : Df = λf, f ∈ C ∞ (M )}.
Dos variedades compactas M, M 0 se dicen D-isospectrales si
SpecD (M ) = SpecD (M 0 ).
p-Laplacianos. (ver [11]) Sea ∆p el operador de Laplace actuando en p-formas diferenciales de MΓ , 0 ≤ p ≤ n. Los autovalores son de la forma 4π 2 µ con µ = kλk y
λ ∈ Λ. La multiplicidad dp,µ (Γ) del autovalor 4π 2 µ de ∆p actuando en MΓ está dada
por
X
trp (B) eµ,γ (Γ)
(5.1)
dp,µ (Γ) = |F1 |
γ=BLb ∈Λ\Γ
28
UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
donde
eµ,γ =
X
e−2πiv·b
v∈Λ∗µ
Bv=v
con Λ∗µ := {λ ∈ Λ∗ : kλk2 = µ}, Λ∗ el retículo dual de Λ, y trp es la traza de la
representación p-exterior τp : O(n) → GL(Λp (Rn )).
Notablemente, para Zk2 -variedades, las trazas trp (B) en (5.1) están dadas por
valores enteros de polinomios de Krawtchouk de grado p
(5.2)
trp (B) = Kpn (n − nB ),
donde nB := dim (Rn )B = dim ker(B − Id).
Ln Vp
(T (MΓ )) el brado exterior de una
Laplacianos en formas. (ver [9]) Sea
p=0
variedad compacta plana MΓ y sea ∆p el Laplaciano de Hodge actuando en p-formas.
El Laplaciano en formas es
(5.3)
∆f :=
n
X
∆p .
p=0
La multiplicidad del autovalor 4π 2 µ de ∆f está dado por
(5.4)
df,µ (Γ) =
n
X
dp,µ (Γ)
p=0
Claramente, ∆p -isospectralidad para todo p implica ∆f -isospectralidad, pero veremos que la recíproca no es cierta.
Kkn (x) e isospectralidad de Zk2 -variedades. De las tablas de valores que dimos en el
Ejemplo 4.1, vemos que si hacemos la suma de los valores Kkn (j) en cada columna
obtenemos 0 salvo en la primera en que obtenemos 2n . Este hecho es sugerido por la
siguiente observación, usando el polinomio de Lloyd (2.11). Tenemos
n
X
Kpn (j) = Lnn (j) = Knn−1 (j − 1).
p=0
El polinomio Knn−1 (x) es cero por denición o bien, si usamos la denición de (2.8),
tenemos que Knn−1 (j) = 0 para j = 0, . . . , n − 1. Aun así, esto no constituye una
prueba. Sin embargo, esto siempre vale.
Lema 5.1.
Si j ∈ N ∩ [0, n] vale
n
X
p=0
Kpn (j) = 2n δj,0 .
POLINOMIOS DE KRAWTCHOUK Y APLICACIONES
29
Demostración. Sólo hace falta hacer la cuenta,
n
X
Kpn (j)
=
p=0
p
n X
X
(−1)t jt
j
X
(−1)t
t=0
j
n X
X
=
j
t
(−1)t
j
t
(−1)t jt
n−j
p−t
p=0 t=0
(−1)t jt
t=0
j
P
n−j
p−t
p=0 t=0
=
ya que
n
X
n−j
p−t
=
j
X
!
2n−j = 2n δj,0
t=0
p=0
= 0.
Teorema 5.2 ([9]).
Si Γ es un grupo de Bieberbach con retículo de traslaciones Λ
y grupo de holonomía F ' Zk2 entonces, para cada µ ≥ 0, las multiplicidades del
autovalor 4π 2 µ para ∆f están dadas respectivamente por
df,µ (Γ) = 2n−k |Λ∗µ |.
Luego, si MΓ , MΓ0 son Zk2 -variedades con retículos de traslaciones Λ, Λ0 , entonces MΓ
y MΓ0 son isospectrales en formas si y sólo si Λ y Λ0 son isospectrales. En particular,
para cada Λ y k jos, todas las Zk2 -variedades cubiertas por el toro TΛ = Rn /Λ son
∆f -isospectrales.
Demostración. Tenemos Γ = hγ1 , . . . , γk , LΛ i, donde Λ es un retículo en Rn y γi =
Bi Lbi , Bi ∈ O(n), bi ∈ Rn , Bi Λ = Λ, Bi2 = Id, Bi Bj = Bj Bi para cada 1 ≤ i, j ≤ k .
Sabemos que trp (Bi ) = Kpn (n − nBi ) por (5.2). Luego, por (5.1), (5.2) y el hecho
que Kpn (0) = np , tenemos
n o
X
dp,µ (Γ) = 21k np |Λ∗µ | +
Kpn (n − nB ) eµ,γ (Γ)
γ∈Λ\Γ, γ6=Id
y, sumando sobre p, obtenemos
df,µ (Γ) = 2n−k |Λ∗µ | + 2−k
X
γ∈Λ\Γ, γ6=Id
n
X
Kpn (n − nB ) eµ,γ (Γ).
p=0
Luego, por Lema 5.1 tenemos que df,µ (Γ) = 2n−k |Λ∗µ |, pues n − nB = 0 si y sólo
si B = Id, como se quería ver.
Ejemplo 5.3 (Z2 -variedades de dim 3 ). Ilustramos el teorema en el caso no trivial más simple, n = 3,k = 1. Hay sólo tres Z2 -variedades en dimensión 3, salvo
difeomorsmo, M1 , M2 y M3 ,
En las tablas, damos las multiplicidades para ∆p , con 0 ≤ p ≤ 3, y para ∆F , de
los 2 autovalores no nulos más pequeños.
√
µ = 1 d0 d1 d2 d3 df
µ = 2 d0 d1 d2 d3 df
M1
2 8 10 4 24
M1
7 19 17 5 48
M2
2 10 10 2 24
M2
6 18 18 6 48
M3
3 9 9 3 24
M3
4 16 20 8 48
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UMA 2011, CURSO PARA ESTUDIANTES RICARDO PODESTÁ
Los valores muestran que las variedades no son p-isospectrales entre sí, para ningún 0 ≤ p ≤ 3. Sin embargo, vemos cómo todas las multiplicidades se balancean de
modo de obtener igual suma para cada autovalor.
Observación 5.4.
El fenómeno de promediación de las multiplicidades presente en
el Teorema 5.2, que surge al considerar ∆f , parece ser algo que sólo se aplica en el
caso de las Zk2 -variedades. El resultado no vale en general para holonomías distintas
a Zk2 .
De [9], sabemos que existe un par de Z4 -variedades orientables en dimensión 6,
MΓ , MΓ0 , que no son ∆f -isospectrales, aunque si resultan isospectrales en funciones
(o sea en 0-formas).
Observación 5.5. Usando las fórmulasVpara los caracteres χp , p = 0,V. . . , m − 1, y
p
2m ) de
(R2m )C , p = 0, . . . , m − 1, m
χ±
C
m de las representaciones irreducibles
± (R
SO(2n), en elementos del toro maximal T2m , obtenida en [10], se pueden conseguir
expresiones que involucran a los polinomios de Krawtchouk binarios.
Referencias
L. Chihara, D. Stanton, Zeros of generalized Krawtchouk polynomials. J. Approx. Theory 60:1,
(4357) 1990.
[2] P. Diaconis, R. L. Graham, The Radon transform on Zk2 . Pacic J. Math. 118:2, (323345)
1985.
[3] L. Habsieger, Integral zeroes of Krawtchouk polynomials. Codes and association schemes, 151
165, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., 56, Amer. Math. Soc., 2001.
[4] L. Habsieger, Integer zeros of q -Krawtchouk polynomials in classical combinatorics. Special
issue in honor of Dominique Foata's 65th birthday (Philadelphia, PA, 2000). Adv. in Appl.
Math. 27:2-3, (427437) 2001.
[5] L. Habsieger, D. Stanton, More zeros of Krawtchouk polynomials. Graphs Combin. 9:2, (163
172) 1993.
[6] I. Krasikov, S. Litsyn, On integral zeros of Krawtchouk polynomials. J. Combin. Theory Ser.
A 74:1, (7199) 1996.
[7] I. Krasikov, S. Litsyn, Survey of binary Krawtchouk polynomials. Codes and association schemes, 199211, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., 56, Amer. Math. Soc.,
2001.
[8] V. Levenshtein, Krawtchouk polynomials and universal bounds for codes and designs in Hamming spaces. IEEE Trans. Inform. Theory 41:5, (13031321) 1995.
[9] R. J. Miatello, R. A. Podestá, J. P. Rossetti, Zk2 -manifolds are isospectral on forms, Math.
Zeitschrift 258, (301317) 2008.
[10] R. J. Miatello, R. A. Podestá, Spectral theory of the Atiyah-Patodi-Singer operator on compact
at manifolds , Jour. Geom. Analysis, aceptado febrero 2011.
[11] R.J. Miatello, J.P. Rossetti, Flat manifolds isospectral on p-forms. Jour. Geom. Anal. 11,
(649667), 2001.
[12] V. Zelenkov, Krawtchouk polynomials web page http://orthpol.narod.ru/
[1 ]
Ricardo Podestá, FaMAF (UNC) CIEM (Conicet), Córdoba, Argentina.