Anexo C

Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
ANEXO C: Estimación del Orden de Error de Colocación TH
en una Dimensión
Sean û y ŵ i las aproximaciones de u y wi, respectivamente. Además, definimos
e( x) = u ( x) − uˆ ( x) y v i ( x) = wi ( x) − wˆ i ( x)
(C.1)
y observe que el soporte de v i(x), está contenido en (xi-1, xi+1). Además, esta función se
anula en xi-1, xi, y xi+1.
Teorema C.1: Sea vi definido por la Ec.(C.1). Entonces, existe una función
ε Ω ( x ) ∈ H 0 ( 0,1) , tal que
l
∫ε
Ω
(ξ ) wi (ξ )dξ =< K * uˆ, v i > + < f − g − j , vi >
(C.2)
0
y una constante genérica M>0, independiente de h e i, con la propiedad que
εΩ
∞
< Mh λ + 2 N
(C.3)
da

= 0 o N = G −1 = 1
0 si b +
Aquí, λ = 
dx
−1
en el resto de los casos
Demostración.- Este Teorema será demostrado a partir de una secuencia de lemas que
serán enunciados a continuación.
Para formular el primero, es necesario considerar la ecuación elíptica adjunta en una
dimensión escrita de la siguiente manera:
L * w = aˆ
d 2 w ˆ dw
ˆ =0
+b
+ cw
dx 2
dx
(C.4)
donde
da
aˆ = − a; bˆ = −(b + ); cˆ = c
dx
(C.5)
Sea w∈D, una función que satisface la Ec.(C.4) en un subintervalo ( xi −1 , xi ) , anulándose
fuera del mismo, y sujeta a las condiciones de frontera:
w( xi −1 ) = 0; y w( xi ) = 1;
168
(C.6)
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
Por otro lado, sea wˆ ( x) la aproximación polinomial de w , de grado G≥2, que satisface G-1
condiciones ortogonales de colocación en los puntos Gaussianos. Y definamos la función
residuo r(x) como
r ( x) ≡ L * w( x) − L * wˆ ( x) = − L * wˆ ( x)
(C.7)
Entonces,
Lema 1:- Existe una cota para la función hr ( x) , independiente de h e i =1,…,E. Además,
lo mismo se cumple para r ( x) cuando b +
da
≡ 0 ó G=2.
dx
Prueba:- Sea ξ dado por
ξ=
x − xi −1
xi − xi −1
(C.8)
Observe que ξ satisface las condiciones de frontera Ec.(C.6) . La expresión polinomial de
wˆ ( x) es:
G
wˆ ( x) ≡ ∑ Ajξ j
(C.9)
j =1
Los coeficientes A j (j=1,…,G) deben satisfacer las siguientes condiciones:


ξ j − 2 bˆ j −1
j
ˆ
 aj ( j − 1) 2 + jξ + cˆξ  Aj = 0
∑
h
h
j =1 


G
(C.10)
en G-1 puntos de colocación, y además
G
∑A
j =1
j
=1
(C.11)
debido a la segunda condición de frontera. De manera más explícita, la Ec.(C.10) se
expresa:


ξ j − 2 bˆ j −1
bˆ
j
ˆ
ˆ
−
+
+
+
+ cˆξ ) A1 = 0
aj
j
j
ξ
c
ξ
A
(
1)
(

 j
∑
2
h
h
h
j =2 



G
(C.12)
Usando la Ec.(C.11), resulta que
G
A1 = 1 − ∑ Aj
j =2
y por lo tanto
169
(C.13)
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión

ξ j − 2 bˆ
bˆ

j −1
j
ˆ
ˆ
−
+
−
+
−
+
+ cˆξ = 0
aj
j
j
ξ
c
ξ
ξ
A
(
1)
(
1)
(
)


∑
j
h2
h
h
j =2 


G
(C.14)
Observe que los coeficientes Aj (j=2,…,G) pueden ser determinados por la condición de
que la Ec. (C.14) sea satisfecha en G-1 puntos de colocación. Además, luego de multiplicar
por h2, se puede ver que
G
{
}
ˆ ( jξ j −1 − 1) + ch
ˆ + ch
ˆ ( j − 1)ξ j − 2 + bh
ˆ 2 (ξ j − ξ ) A j + bh
ˆ 2ξ
h 2 r ( x) ≡ ∑ aj
j =2
(C.15)
y por lo tanto en los puntos de colocación se debe cumplir que
∑ {ajˆ ( j − 1)ξ
G
j −2
j =2
}
ˆ ( jξ j −1 − 1) + ch
ˆ − ch
ˆ 2 (ξ j − ξ ) Aj = −bh
ˆ 2ξ
+ bh
(C.16)
La única solución de este sistema de ecuaciones cuando h=0, es A2=…=AG=0, en ese caso
A1=1. Entonces, usando este hecho, se puede mostrar que existe una constante genérica
M>0, independiente de h, tal que Aj < Mh , para j=2,…,G. Por lo tanto, la función
{
}
G
A
ˆ ( jξ j −1 − 1) + ch
ˆ ( j − 1)ξ j − 2 + bh
ˆ 2 (ξ j − ξ ) j + bˆ + ch
ˆ ξ
hr ( x) ≡ ∑ aj
h
j =2
(C.17)
esta acotada, ya que Aj h lo está , ∀j ≥ 2 .
Cuando G=2,
{
}
ˆ + h 2 cˆξ
h 2 r ( x) = 2aˆ + hbˆ(2ξ − 1) + h 2 cˆ(ξ 2 − ξ ) A2 + bh
(C.18)
y evaluando en el único punto de colocación (ξC=1/2), esto es:
{
}
2
h 2 r ( x) = 2aˆ * + hbˆ *(2ξ C − 1) + h 2 cˆ *(ξ C − ξ C ) A2 + bˆ * h + h 2 cˆ * ξ C = 0
(C.19)
donde â *, b̂ * and cˆ *, son los valores de aˆ , b̂ and ĉ , en el punto de colocación
respectivamente. Substrayendo esta última ecuación de la Ec. (C.18), se puede mostrar que
r(x) está acotada cuando a(x) es Lipschitz continua.
Finalmente, cuando bˆ ≡ 0 , se tiene:
G
ˆ ( j − 1)ξ j − 2 + ch
ˆ 2 (ξ j − ξ )} Aj + ch
ˆ 2ξ
h 2 r ( x) ≡ ∑ {aj
j =2
170
(C.20)
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
y se puede ver que Aj h 2 está acotada para j=2,…,G. Entonces,
G
ˆ ( j − 1)ξ j − 2 + ch
ˆ 2 (ξ j − ξ )}
r ( x) ≡ ∑ {aj
j =2
Aj
h2
+ cˆξ
(C.21)
resulta también acotada.
Recordando la definición de λ dada en el Teorema C.1, este Lema puede ser resumido
mediante la ecuación:
r ∞ = O ( hλ )
(C.22)
Lema 2:- Sea v i ≡ w i − wˆ i , entonces
< K * uˆ, v i > + < f − g − j , v i >= O(hλ + 2 N +1 )
Prueba:- Sea G i ( x, ξ ) la función de Green para cada intervalo
(C.23)
( xi −1 , xi ) ,
i=1,..,E, que
satisface la ecuación homogénea (C.4) y las condiciones de frontera
G i ( xi −1 , ξ ) = G i ( xi , ξ ) = 0
(C.24)
Se puede mostrar que existe una constante genérica M ′ ≥ 0 , tal que
G i ( x, ξ ) ≤ M ′h;
y
G i +1 ( x, ξ ) ≤ M ′h
dG i
( x, ξ ) ≤ M ′
dx
y
dG i +1
( x, ξ ) ≤ M ′
dx
(C.25)
Se define a r i ≡ L * v i y observe que el soporte de v i ≡ w i − wˆ i , así como de ri es el
subintervalo (xi-1, xi+1). Además vi se anula en los nodos
v i ( xi −1 ) = v i ( xi ) = vi ( xi +1 ) = 0
(C.26)
Usando las Ecs.(C.25) y el Lema 1, se puede mostrar que (ver [86], p.307)
v ( x) =
i
xi
∫ G ( x,ξ )r (ξ )dξ = O(h
i
i
λ +2 N +2
); para x ∈ ( xi −1 , xi )
(C.27)
xi −1
mientras que
x
i
i
dv i
dG
( x) = ∫
( x, ξ )r i (ξ )dξ = O(hλ + 2 N +1 ); para x ∈ ( xi −1 , xi )
dx
dx
xi −1
(C.28)
y se cumplen relaciones similares para x ∈ ( xi , xi +1 ) . Por lo tanto:
< f , v >=
i
xi +1
∫vf
i
Ω
dx = O(h λ + 2 N + 2 )
xi −1
171
(C.29)
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
< g , v i >= ul (a
dv i
dvi
) l − u0 ( a
)0 = O(hλ + 2 N +1 )
dx
dx
k = i +1
< j 0 , vi >= − ∑ jk0 (a
k = i −1
dv i
+ bvi ) k = O(h λ + 2 N +1 )
dx
(C.30)
(C.31)
k = i +1
< j1 , v i >= − ∑ jk1 vki = O(hλ + 2 N +1 )
(C.32)
k =i −1
< K 0 vi , uˆ >=
k = i +1 •
∑ uˆk [a
k = i −1
dv i
+ bv i ]k = O(h λ + 2 N +1 )
dx
(C.33)
y
•
k = i +1
duˆ i
< K 1v i , uˆ >= − ∑ (a
) k [v i ]k = 0
dx
k =i −1
(C.34)
Entonces
< K * uˆ, v i > + < f − g − j , v i >= O(hλ + 2 N +1 )
(C.35)
Lema 3:- Las funciones especializadas de peso wi, se pueden escribir en la siguiente forma:
wi ( x) = li ,i −1 ( x) + s i ( x); xi −1 < x < xi
(C.36)
wi ( x) = li ,i +1 ( x) + s i ( x); xi < x < xi +1
(C.37)
y
Aquí li ,i −1 ( x) =
x − xi −1
x − xi
, li ,i +1 ( x) =
y s i ( x) = li ,i −1 ( x) li ,i +1 ( x) Pi ( x ) , donde Pi ( x ) - es
xi − xi −1
xi −1 − xi
un polinomio de grado G-2 definido en el intervalo.
Entonces, existe un número M>0, tal que
si
∞
≤ Mh
(C.38)
Prueba:- En el intervalo (xi-1, x i), la función s i , satisface:
aˆ
d 2 s i ˆ ds i
bˆ
ˆ i = − − cˆli ,i −1
+b
+ cs
2
dx
dx
h
(C.39)
y
s i ( xi −1 ) = s i ( xi ) = 0
172
(C.40)
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
Por lo que
l
{
}
hs ( x) = − ∫ bˆ + hcˆli ,i −1 G i ( x, ξ )dξ ; para x ∈ ( xi −1 , xi )
(C.41)
h s i ( x) ≤ M ′ bˆ h 2 + M ′′ cˆ ∞ h3 ; para x ∈ ( xi −1 , xi )
(C.42)
i
0
y entonces
∞
donde M ′ y M ′′ , son constantes genéricas adecuadas. De manera análoga, relaciones
similares se cumplen para el intervalo
( xi , xi +1 ) ,
y por lo tanto, de ahí implica que se
cumpla el Lema 3.
Lema 4:- Existe un número M>0, independiente de h, tal que para cualquier sistema dado
de números qi (i=1,…,E-1), existe una función εΩ(x)∈H0(0,l) tal que para cada i=1,…,E-1,
se tiene que:
l
∫ε
Ω
( x) wi ( x)dx = q i
(C.43)
0
y
h εΩ
∞
i
≤ M max
Nq
(C.44)
i
Prueba:- Efectivamente, se puede ver que cuando existe una constante M>0, entonces
existen muchas funciones que pertenecen a H0(0,l) las cuales satisfacen la Ec. (C.43) y la
restricción (C.44). Entonces resulta suficiente para probar el Lema que se muestre una de
tales funciones. La notación siguiente será usada:
Dado cualquier par de funciones p,s∈H0(0,l):
l
( p, s ) = ∫ p(ξ ) s (ξ )dξ
(C.45)
0
l
( p, s )i = ∫ p(ξ ) s (ξ )dξ
(C.46)
0
~ i ( x) ∈
Entonces, para cada i=1,…,E, se introducen las siguientes funciones auxiliares w
H0(0,l), las cuales están definidas en el intervalo ( xi −1 , xi ) por:
173
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
w 1 ( x) = w1 ( x);
w E ( x) = 0;
(C.47)
y cuando i=2,…,E-1 por:
w i ( x) = wi ( x) + ρ i wi −1 ( x)
(C.48)
( wi −1 , wi )i
ρ = − i −1 i −1
( w , w )i
(C.49)
donde
i
~ i ( x) se anula idénticamente fuera del intervalo ( x , x ) .
En adición, para cada i=1,…,E, w
i −1
i
~ i es ( x , x ) , mientras que de wi es ( x , x ) .
Entonces, observe que el soporte de w
i −1
i
i −1
i +1
~ i , w i −1 ) = 0.
También, observe que ( w
i
Si se define
ε Ω ( x) = Ai w i ( x); xi −1 < x < xi
donde A i = µ i q i y µi =
(C.50)
1
.
( w , wi )i
i
No es difícil verificar que esta definición de εΩ(x) satisface la Eq.(C.2). En efecto, para
cada i=1,…,E-1:
∫
l
0
E
ε Ω ( x) wi ( x)dx = ∑ (ε Ω , wi ) j = (ε Ω , wi )i + (ε Ω , wi )i+1 =
j =1
i +1
i +1
A ( w , w )i + A ( w , w )i +1 = A ( w , w )i = q
i
i
i
i
i
i
i
(C.51)
i
En vista de la Ec.(C.50), está claro que
εΩ
∞
i
i
≤ (max
N µi )(max
N w )(max
Nq )
i
i
(C.52)
i
Usando el Lema 3 se puede ver que
i
max
N w
i
y
∞
≤ 1 + O ( h)
(C.53)
hµi = 4 + O ( h)
(C.54)
i
h ε Ω ≤ max
N q {4 + O(h)}
(C.55)
Por lo tanto
i
Quedando el lema demostrado.
174
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
De manera directa el Teorema C.1 queda demostrado si aplicamos en forma conjunta los
Lemas 2 y 4.
Sean û y ŵ i las aproximaciones de u y wi, respectivamente. Además, definimos
e( x) = u ( x) − uˆ ( x) y v i ( x) = wi ( x) − wˆ i ( x)
(C.56)
y observe que el soporte de v i(x), está contenido en (xi-1, xi+1). Además, esta función se
anula en xi-1, xi, y xi+1.
Se cumple según Ec.(¿) que
− < K * u , wi >=< f − g − j , wi >; ∀i = 1,..., E − 1
(C.57)
Por otra parte, una solución aproximada en las fronteras interiores, de acuerdo con la Ec.(¿),
satisface
− < K * uˆ , wˆ i >=< f − g − j , wˆ i >;
∀i = 1,..., E − 1
(C.58)
que se puede rescribir como
− < K * uˆ , wi > + < K * uˆ , v i >=< f − g − j , wˆ i >;
∀i = 1,..., E − 1
(C.59)
∀i = 1,..., E − 1
(C.60)
Restando la Ec.(C.59) de la Ec.(C.57), se obtiene:
− < K * e, wi >=< K * uˆ , v i > + < f − g − j , vi >;
Por el Teorema C.1, existe una función εΩ(x)∈H0(0,l) y una constante genérica M, tal que
εΩ
∞
< Mh λ + 2 N con la propiedad que, para todo i =1,…,E-1, se tiene:
l
∫ε
Ω
(ξ ) wi (ξ )dξ =< K * uˆ, v i > + < f − g − j , vi >
(C.61)
0
Aquí, λ=0 si b +
da
= 0 , o si G=2 (es decir, N=1), y λ=-1 en caso contrario. Usando esta
dx
función, se define la función eˆ( x) por:
l
eˆ ( x ) = ∫ G ( x, ξ )ε Ω (ξ ) dξ
(C.62)
0
donde G(x,ξ) es la función de Green para el problema de contorno Section 3, cuando los
valores en la frontera y las condiciones de salto se anulan. Con esta definición, eˆ( x)
satisface la ecuación diferencial
175
Anexo C
Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión
Leˆ( x) = ε Ω ( x);
(C.63)
eˆ ( 0 ) = eˆ (1) = 0;
(C.64)
junto con las condiciones de frontera
y las condiciones de continuidad
deˆ 
= 0;
 dx  i
[eˆ]i =  a
(C.65)
Por lo tanto, la Ec.(3.7) puede ser aplicada a eˆ , con g, j∈D*, igual a cero y
l
< f , w >≡ ∫ ε Ω (ξ ) w(ξ )dξ
(C.66)
0
Lo cual implica que
l
− < K * eˆ, w >= ∫ ε Ω (ξ ) wi (ξ )dξ ;
i
∀i = 1,..., E − 1
(C.67)
0
Usando éste resultado junto con las Ecs. (C.60) y (C.61), se puede ver que
− < K * eˆ, wi >= − < K * e, wi >;
∀i = 1,..., E − 1
(C.68)
Esto implica que
K * eˆ = K * e;
(C.69)
Ya que el sistema de funciones de peso {w1,…,w E-1}, es TH-completo. Y por lo tanto,
eˆ ( xi ) = e ( xi ) ;
(C.70)
Finalmente resulta que
l
e( xi ) = eˆ( xi ) = ∫ G ( xi , ξ )ε Ω (ξ ) dξ ≤
0
εΩ
(C.71)
l
∞
∫ G ( x , ξ ) dξ ≤ M ′ ε
i
Ω ∞
< M ′Mhλ + 2 N
0
En conclusión, se ha mostrado que el error de colocación TH, cuando las funciones de peso
son construidas aplicando colocación ortogonal en polinomios, es O(h2N) si
da
+b = 0 o
dx
N=1, y este es O(h2N-1) en caso contrario. Donde, N es el número de puntos de colocación
en cada subintervalo de la partición. Recuerde que el grado G del polinomio aproximante
está dado por G=N+1.
176