1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: y dx D x.ln x ln y/dy
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1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: y dx D x.ln x ln y/ dy; con x.1/ D 1 D: H Reescribimos la ED: x x x dx D .ln.x/ ln.y// D ln : y dy y y x Hacemos el cambio de variable u D , luego: y x D uy ) (1) dx du DuCy : dy dy Sustituyendo en (1): du du D u ln.u/ ) y D u ln.u/ dy dy Si separamos variables, hallamos: uCy du u ln.u/ Al integrar, encontramos: Con w D ln.u/ 1; dw D D u Z dy du ) y uŒln.u/ du uŒln.u/ 1 D Z 1 D u: dy : y dy : y du , obtenemos: u lnŒln.u/ De x.1/ D 1 concluimos que u D 1 D ln y C C: (2) x 1 D D 1. Por lo tanto: y 1 ln.u/ 1 D ln.1/ 1D 1 < 0: Así, de (2) se obtiene: ln.1 ln u/ D ln y C C: Para calcular C : ln.1 ln 1/ D ln 1 C C ) C D 0: Por lo tanto: ln.1 ln u/ D ln y ) 1 x Utilizamos u D : y ln u D y ) ln u D 1 x D ee y y ) x D eye y ) u D e1 y y D ee y : : Ésta es la solución particular de la ED. 201. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010
