Aproximación Polinomial de Funciones.

Aproximación Polinomial de Funciones.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
1
Introducción.
En estas notas se presentan los fundamentos de los polinomios como un espacio vectorial y algunos de los
métodos mas conocidos de interpolación de funciones mediante polinomios.
2
Polinomios Como Espacios Vectoriales.
En esta sección se mostrará como el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n constituye un espacio
vectorial.
Definición. Considere el conjunto de polinomios de coeficientes reales de una variable real, x, de grado
menor o igual que n.
Pn (n) = {P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 | an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ }
(1)
Además, si an = 0, el polinomio P (n) se dice que es de grado n.
Teorema. Considere el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n de variable real x, Pn (x),
junto con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar real. ∀ P (x), Q(x) ∈ Pn (x) y ∀λ ∈ P (x) + Q(x)
λ P (x)
= (an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ) + (bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 )
≡ (an + bn ) xn + (an−1 + bn−1 ) xn−1 + . . . + (a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + (a0 + b0 )
= λ (an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 )
(2)
≡ (λ an ) xn + (λ an−1 ) xn−1 + . . . + (λa2 ) x2 + (λ a1 ) x + (λ a0 )
(3)
El conjunto, Pn (x) junto con las operaciones de suma y multiplicación constituye un espacio vectorial.
Por lo tanto, todos los conceptos y propiedades de los espacios vectoriales tales como: Independencia lineal,
combinación lineal, subespacios, suma de subespacios, transformaciones lineales, etc. pueden aplicarse a los
polinomios de Pn (x). Además, puede probarse que la dimensión de este espacio vectorial es n + 1. Una de las
posibles bases, no necesariamente la mas adecuada para aproximación polinomial es {1, x, x2 , · · · , xn−1 , xn }.
Nota. Es importante notar que todos elementos de Pn (x) son funciones reales de una variable real x.
Estas funciones tienen la ventaja que la función no necesita un número infinito de datos para determinar su
comportamiento. Por ejemplo, para el polinomio
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
unicamente necesitamos almacenar el conjunto de valores {an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 } y podemos determinar cuando
vale P (x) para cualquier valor de x ∈ .
1
3
Interpolación Polinomial: Método Intuitivo.
En esta sección, se presenta el método intuitivo de aproximación polinomial. Secciones posteriores mostrarán
métodos mucho mas elaborados y con una fuerte fundamentación teórica para llevar a cabo la aproximación o
interpolación polinomial.
Definición del Problema. Suponga que se conocen los valores de una función f (x), para un conjunto de
puntos o red dados por G = {xi }, i = 0, 1, 2, . . . , n el único requisito es que
xi = xj
∀i, j = 0, 1, 2, . . . , n y
i = j.
Es decir se conocen los valores {f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )} y se desea determinar un polinomio P (x) que
satisfaga la condición
(4)
P (xi ) = f (xi ) ∀ i = 0, 1, 2, . . . , n.
El primer paso consiste en determinar el grado del polinomio P (x). Puesto que P (x) puede expresarse como
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 ,
(5)
es evidente que un polinomio de grado n tiene n + 1 parametros por determinar, de manera que si se desea
que el polinomio satisfaga las condiciones dadas por la ecuación (4), entonces el polinomio debe ser de grado n.
Además, el polinomio P (x) debe satisfacer las siguientes condiciones
P (x0 )
P (x1 )
= an xn0 + an−1 xn−1
+ · · · + a2 x20 + a1 x0 + a0 = f (x0 )
0
= an xn1 + an−1 xn−1
+ · · · + a2 x21 + a1 x1 + a0 = f (x1 )
1
··· = ···
= ···
n−1
n
2
P (xn−1 ) = an xn−1 + an−1 xn−1 + · · · + a2 xn−1 + a1 xn−1 + a0 = f (xn−1 )
P (xn )
= an xnn + an−1 xn−1
+ · · · + a2 x2n + a1 xn + a0 = f (xn )
n
Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
⎡
⎤
⎡
⎡
⎤
an
2
xn0
xn−1
·
·
·
x
x
1
f (x0 )
0
0
0
⎢
⎥
a
n−1
n−1
2
⎢
⎢
⎢ xn1
⎥
⎥
f
(x1 )
x
·
·
·
x
x
1
1
1
1
⎢
⎥⎢ . ⎥ ⎢
⎢ ..
..
..
..
..
..
.. ⎥ ⎢ .. ⎥ = ⎢
⎢
⎢ .
⎥ ⎢
.
.
.
.
.
. ⎥
⎢
⎥ ⎢ a2 ⎥ ⎢
n−1
2
⎢
⎥
⎣
⎣ xn
⎦
)
f
(x
x
·
·
·
x
x
1
n−1
n−1
n−1
n−1
n−1
⎣ a1 ⎦
2
f
(x
)
xnn
xn−1
·
·
·
x
x
1
n
n
n
n
a0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(6)
Si la matriz de coeficientes tiene rango n, la solución del sistema de ecuaciones es única.
4
Ejemplo 1.
Considere una función f (x) y una red o conjunto de puntos {x0 = 1, x1 = 3, x2 = 7, x3 = 9} tal que
f (x0 ) = f (1) = 0,
f (x1 ) = f (3) = −15,
De acuerdo al procedimiento indicado en
⎡ 3
x0 x20
⎢ x31 x21
⎢ 3
⎣ x2 x22
x33 x23
f (x2 ) = f (7) = −40,
f (x3 ) = f (9) = −20.
(7)
la sección anterior, es necesario resolver el sistema de ecuaciones
⎤ ⎡
⎤⎡
⎤
x0 1
f (x0 )
a3
⎥ ⎢
⎥
⎢
x1 1 ⎥
⎥ ⎢ a2 ⎥ = ⎢ f (x1 ) ⎥
(8)
⎦
⎦
⎣
⎣
x2 1
a1
f (x2 ) ⎦
f (x3 )
x3 1
a0
2
En forma numérica, el sistema de ecauciones está
⎡
1
1 1 1
⎢
⎢ 27 9 3 1
⎢
⎢
⎢ 343 49 7 1
⎣
729 81 9 1
dado por
⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤
0
⎥ a3
⎥⎢
⎢
⎥
⎥ ⎢ a2 ⎥
⎥ = ⎢ −15 ⎥
⎥⎣
⎥ a1 ⎦ ⎣ −40 ⎦
⎦
a0
−20
La solución del sistema de ecuaciones está dado por
5
− 155
a = 16
48
65
48
25
16
T
(9)
(10)
Por lo tanto, el polinomio está dado por
P (x) =
5
5 3 155 2 65
25
x −
x +
x+ .
16
48
48
16
(11)
Interpolación o Aproximación de Lagrange.
En esta sección, se mostrará el método de aproximación o interpolación de Lagrange para aproximar una función
arbitraria mediante un polinomio.
Definicion. El problema de aproximación polinomial. Dada una función f (x) de una variable real x
y dado un conjunto finito de puntos {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }, con n ≥ 1, y tal que
xi = xj
∀ i, j = 0, 1, 2, . . . , n, i = j.
Considere ahora los valores f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), . . ., f (xn ) de la función f (x). Determine el polinomio P (x) ∈
Pn (x) que satisface las condiciones
P (x0 ) = f (x0 )
P (x1 ) = f (x1 ) P (x2 ) = f (x2 )
···
P (xn ) = f (xn ).
(12)
A fı́n de encontrar la solución de este problema, se necesita el siguiente resultado.
Teorema I. Suponga que n ≥ 1. Entonces existen polinomios Lk (x) ∈ Pn (x), k = 0, 1, 2, . . . , n tales que
1 i=k
Lk (xi ) =
∀i, k = 0, 1, 2, . . . , n
(13)
0 i = k
Además, el polinomio
P (x) =
n
Li (x) f (xi )
(14)
i=0
satisface las condiciones, (12), ∀ i = 0, 1, . . . , n, simplemente determine las condiciones
P (xi ) =
k
Li (xi ) f (xi )
i=0
=
k
[L0 (xi ) f (xi ) + · · · + Li−1 (xi ) f (xi−1 ) + Li (xi ) f (xi ) + Li+1 (xi ) f (xi+1 ) + · · · + Ln (xn ) f (xn )]
i=0
=
k
[(0) f (xi ) + · · · + (0) f (xi−1 ) + (1) f (xi ) + (0) f (xi+1 ) + · · · + (0) f (xn )] = f (xi ).
i=0
3
(15)
Prueba: Para todo k, tal que 0 ≤ k ≤ n, Lk (x) necesita tener n ceros dados por xi , donde i = 0, 1, . . . , n,
con i = k. Por lo tanto
n
Lk (x) = Ck
(x − xi ),
(16)
i=0,i=k
donde Ck ∈ es una constante que se determina por la condición de que Lk (x) = 1, para x = xk . Por lo tanto,
1
Lk (xk )
= n
i=0,i=k (xk − xi )
i=0,i=k (xk − xi )
Ck = n
(17)
Sustituyendo la ecuación (17) en la ecuación (16), se tiene que
Lk (x) =
n
i=0,i=k
x − xi
.
xk − xi
(18)
Aun cuando la prueba anterior es unicamente válida para n ≥ 1, el resultado es también válido para n = 0.
En este caso se buscaria un polinomio P 0 (x) tal que para x = x0 , su valor sea f (x0 ). Puesto que los polinomios
de grado 0 son constantes, la solución inmediata es
P 0 (x) = f (x0 ).
Teorema de Interpolación de Lagrange. Suponga que n ≥ 1, y sea {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } un conjunto de
números reales, tales que
xi = xj ∀ i, j = 1, 2, . . . , n, i = j.
Sean f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), . . ., f (xn ) un conjunto de números reales. Entonces, existe un único polinomio
P (x) ∈ Pn (x) tal que
P (xi ) = f (xi ) ∀ i = 0, 1, . . . , n.
Prueba: La existencia del polinomio es inmediata a partir del Teorema I, el polinomio está dado por
⎡
⎤
n
n
n
x − xi ⎦
⎣
f (xi )
Li (x) f (xi ) =
(19)
P (x) =
x
k − xi
i=0
i=0
i=0,i=k
Para probar la unicidad del polinomio, suponga que existen dos polinomios P (x), Q(x) ∈ Pn (x) que satisfacen
las condiciones. Entonces, P (x)−Q(x) ∈ Pn (x); es decir, la resta de los polinomios también pertenece al espacio
de polinomios Pn (x). Sin embargo, el polinomio P (x) − Q(x) tiene n + 1 raices distintas pues
P (xi ) − Q(xi ) = f (xi ) − f (xi ) = 0,
∀ i = 0, 1, 2, . . . , n.
Sin embargo, ningún polinomio de grado n tiene n + 1 raices distintas a menos que
P (x) − Q(x) = 0,
∀ x ∈ .
Por lo tanto,
P (x) = Q(x)
De manera que los polinomios son iguales.
4
∀ x ∈ .
6
Ejemplo 1, Revisitado.
Considere una función f (x) y una red o conjunto de puntos {x0 = 1, x1 = 3, x2 = 7, x3 = 9} tal que
f (x0 ) = f (1) = 0,
f (x1 ) = f (3) = −15,
f (x2 ) = f (7) = −40,
f (x3 ) = f (9) = −20.
(20)
Siguiendo el procedimiento indicado en la sección anterior, se tiene que los polinomios Lk (x) están dados
por
• Primer polinomio.
L1 (x) = −
• Segundo polinomio.
L2 (x) =
1
(x − 1) (x − 7) (x − 9)
48
• Tercer polinomio.
L3 (x) = −
• Cuarto polinomio.
L4 (x) =
1
(x − 3) (x − 7) (x − 9)
96
1
(x − 1) (x − 3) (x − 9)
48
1
(x − 1) (x − 3) (x − 7)
96
Puede probarse que, para cada Li (x), i = 1, 2, 3, 4, se satisface que
Li (xk ) = 0
∀k = i,
and Li (xi ) = 1.
Finalmente, el polinomio P (x) ∈ P 3 (x) que satisface las condiciones de interpolación indicadas por la
ecuación (20), está dado por
25
5 3 155 2 65
x −
x +
x+ .
(21)
P (x) =
16
48
48
16
No debe estrañar que este polinomio resulte igual al encontrado en la sección 4, pues el polinomio satisface las
mismas condiciones requeridas en esa sección, además, la teorı́a desarrollada en la sección anterior indica que
el polinomio es único.
De nueva cuenta puede probarse que,
P (xi ) = f (xi ) ∀i = 1, 2, 3, 4.
La gráfica del polinomio se muestra en la figura 1.
5
4
x
0
1
2
3
4
5
6
7
0
−4
−8
−12
−16
−20
−24
−28
−32
−36
−40
Figure 1: Grafica de la Función Polinomial.
6
8
9
10