1 Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia

1
Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo:
y = x − 3 + x2
y = 3 − x2 + x
y = 2 x − 2x 2
Solución:
y = x − 3 + x2
Abierta hacia arriba
y = 3 − x2 + x
Abierta hacia abajo
y = 2x − 2 x 2
2
Abierta hacia abajo
2
Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola y = − x + 2x + 3 .
Solución:
El punto de corte con el eje de ordenadas es (3,0)
Los puntos de corte con el eje de abscisas, tienen como primeras coordenadas las soluciones de la ecuación
− x 2 + 2x + 3 = 0 , es decir, x = −1 y x = 3 .
Los puntos son (−1,0) y (3,0) .
3
2
Calcula el vértice y el eje de simetría de la parábola y = 3x − 6x + 1 .
Solución:
El vértice viene dado por:
V( x, y ) = (1,−2)
y el eje de simetría es la recta x = 1 .
4
2
Comprueba si los puntos (2, -1), (1, 3) y (-1, 3), pertenecen a la parábola y = 2x + 1 .
Solución:
2
Los puntos pertenecerán a y = 2x + 1 si verifican la ecuación.
(2, -1) no pertenece a la parábola, ya que −1 ≠ 2 ⋅ 4 + 1
2
(1, 3) sí pertenece a la parábola porque 3 = 2 ⋅ 1 + 1
2
(-1, 3) también pertenece a la parábola, ya que 3 = 2 ⋅ ( −1) + 1
5
2
Calcula la imagen mediante la parábola y = x + 1 de x = 2, x = −1 y x = −2 .
Solución:
2
La imagen de 2 mediante y = x + 1 es 5.
2
La imagen de -1 mediante y = x + 1 es 2.
2
La imagen de -2 mediante y = x + 1 es 5.
6
2
2
Calcula los puntos de las parábolas y = x − 4 e y = x + 2 , que cortan el eje de abscisas.
Solución:
Para la primera de las parábolas los puntos de corte con el eje de abscisas son (2, 0) y (-2,0).
2
La segunda parábola no corta el eje de abscisas, ya que la ecuación x + 2 = 0 , no tiene solución en los números
reales.
7
Dibuja, aproximadamente, la parábola que tiene (2,-1) como vértice y que pasa por el punto (4,1) y por su
simétrico con respecto del eje de simetría.
Solución:
8
2
Calcula los puntos de intersección de las rectas y = 3 e y = 1 con la parábola y = x + 1 .
Solución:
2
Los puntos de intersección de y = 3 con y = x + 1 son ( 2,3) y ( − 2,3)
2
El punto de intersección de y = 1 con y = x + 1 es (0,1)
9
Estudia el crecimiento y decrecimiento de la siguiente parábola y señala que ocurre en el punto (0, -4).
Solución:
(
)
( )
Esta curva es decreciente en el intervalo − ∞,0 , y creciente en el intervalo 0, ∞ .
El punto (0,−4) es el vértice y en él la parábola pasa de ser decreciente a ser creciente.
10 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones representan parábolas:
y= x −1
y = x2 + x − 1
y = − x2
y = 2x + 3
Solución:
y = x − 1 RECTA
y = x2 + x − 1
y = −x2
y = 2x + 3
11
PARÁBOLA
PARÁBOLA
RECTA
2
Calcula el vértice de la parábola y = x − 6x y observa cómo son entre sí los puntos (0,0) y (6,0)
pertenecientes a dicha parábola.
Solución:
El vértice de la parábola es:
V( x, y ) = (3,−9)
Por tanto, los puntos señalados son simétricos respecto del eje de simetría que es la recta x = 3 .
12 En un rectángulo, la base es el triple que su altura más tres metros. Calcula la función que nos da el área
del rectángulo en función de la longitud de su altura.
Solución:
A = 3 x 2 + 3 x , con x en metros.
13
2
Halla la ecuación de una parábola que interseque a y = − x + 4 en los puntos (2,0), (−2,0) y cuyo vértice esté
a la misma distancia del origen de coordenadas que el vértice de la parábola dada.
Solución:
2
El vértice de y = − x + 4 es el punto (0,4) que está a cuatro unidades de distancia del origen de coordenadas, por
tanto el vértice de la parábola pedida es (0,−4) y la ecuación será:
y = x2 − 4
14
2
Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola: y = x + 2x .
Solución:
Con el eje de abscisas (0, 0) y (-2, 0).
Con el eje de ordenadas (0,0).
15 Calcula la intersección con el eje de ordenadas de la parábola que contiene a los puntos(2, 1), (3, 0) y (0, 0).
Solución:
Los tres puntos deben cumplir la ecuación:
y = ax 2 + bx + c
Resolviendo el sistema obtenemos:
−1
3
a=
,b =
yc=0
2
2
Así la ecuación de la parábola que queríamos es:
−1 2 3
y=
x + x
2
2
La intersección con el eje de ordenadas de nuestra parábola es, por supuesto (0,0).
16
Representa la parábola y = (x + 1)(x + 3) .
Solución:
El vértice es el punto (-2, -1), y corta al eje de abscisas en -3 y -1.
17
2
Calcula los puntos de la parábola y = x − x − 2 que tienen ordenada nula.
Solución:
2
Los puntos cuya ordenada es nula son los que tienen por abscisas las soluciones de la ecuación x − x − 2 = 0 ,es
decir, x = 2 y x = −1 .
18
2
Calcula la ecuación de una recta horizontal que interseque a y = 2x + x − 1 en un solo punto.
Solución:
Tiene que ser una recta horizontal que pase por el vértice, es decir, una recta que pase por:
 −1 − 9
V( x, y ) = 
,

 4 8 
La recta pedida es:
−9
y=
8
19 Halla el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola y=(x+2)·(x− 4).
Solución:
Desarrollando la expresión: y = x2−2x−8
− b −( −2)
=
=1
2·1
El vértice es el punto de abscisa : 2·a
. Su segunda coordenada es: y = 12−2·1−8 = −9.
Por tanto, el vértice es el punto (1,−9)
Para calcular los puntos de corte con el eje OY se sustituye x por 0: y = (0+2)·(0−4) = −8. Es el punto (0,−8).
Los cortes con OX se obtienen sustituyendo y por 0: 0 = (x+2)·(x−4) ⇒ x=−2, x=4. Esos puntos son (−2,0) y (4,0)
20
−1 2
x +x
10
El hombre bala del circo describe una trayectoria parabólica dada por la ecuación
. ¿Cuál será
la altura máxima que alcance en dicha trayectoria?, ¿cuántos metros habrá recorrido cuando vuelva a tocar
el suelo?
y=
Solución:
El punto más alto es el vértice de la parábola, por tanto, la altura máxima será la ordenada del vértice que es 5 m,
es decir 2,5 metros. El alcance máximo será la ordenada distinta de cero de los puntos de corte de la parábola con
y = 0, es decir, 10 m.
21
Representa una parábola que pase por (−2,0) y (2,0) , con las ramas hacia arriba y cuyo vértice tiene como
ordenada −4 .
Solución:
22
2
Halla los puntos de intersección de la recta x − y + 1 = 0 y la parábola y = (x − 2) + 1 .
Solución:
Los puntos de intersección son las soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones, es decir (1,2) y (4, 5).
23
2
Sabemos que la parábola y = 2x + bx + c tiene como vértice (2,1) y que pasa por el punto (−1,0) ; averigua
b y c.
Solución:
Los dos puntos dados como dato, tienen que cumplir la ecuación de la parábola. Tenemos, por tanto, un sistema
de ecuaciones cuyas soluciones son:
−5
−11
b=
yc=
3
3
24 Calcula la ecuación de una parábola que pasa por los puntos (0, 0), (-1, 2) y (1, 2)
Solución:
La ecuación es:
y = 2x 2
25
2
2
Representa las parábolas y = 2x − 4 x + 5 e y = 2x + 4 x − 3 y calcula su intersección.
Solución:
Sólo tienen el punto (1,3) en común.
26 Escribe la ecuación de la parábola en cada uno de los casos siguientes:
a)Su vértice es (0,− 1) y tiene las ramas hacia arriba.
b)Su eje de simetría es x=2 y tiene las ramas hacia abajo.
Solución:
a)Como tiene las ramas hacia arriba, el coeficiente de x2 debe ser positivo. Una de las posibles soluciones es: y =
x2 − 1.
b)Como tiene las ramas hacia abajo, el coeficiente de x2 debe ser negativo y si su eje de simetría es x=2, el vértice
debe ser un punto con la primera coordenada igual a 2, por ejemplo (2,0). Una posible solución es:
y = − x2 + 4.
27 Calcula las ecuaciones de las parábolas que pasan por los puntos (2,3) y (−2,3) y cuya distancia del vértice
al origen de coordenadas es de cuatro unidades.
Solución:
La abscisa del vértice de cada una de ellas es 0, así que los vértices son (0,4) y (0,−4) .
Las ecuaciones son:
−1 2
7
y=
x + 4 y = x2 − 4
4
4
y
.
28 Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (1, -4) y pasa por (3, 0).
Solución:
Necesitamos un tercer punto para poder calcular la ecuación. La parábola es simétrica con respecto del eje x=1,
así que el punto simétrico de (3, 0) es (-1, 0). La ecuación es:
y = x 2 − 2x − 3
29
−1
x=
2
y
=
−
x
+
2
x
−
1
2
Halla los puntos de la parábola
, cuya abscisa es
Solución:
2
1
 1
 1
y = −  + 2  − 1 = −
4
2
2
30
2
Calcula cuáles son los puntos de intersección de la recta y = x − 2 y la parábola y = − x + 4 .
Solución:
Los puntos en común de estas dos funciones tienen que cumplir las dos ecuaciones, así, dichos puntos serán la
solución del sistema formado por las dos ecuaciones.
y = x − 2 
2
2
 ⇒ x − 2 = − x + 4 ⇒ x + x − 6 = 0 ⇒ x = 2,−3
2
y = − x + 4
Los puntos de intersección son (2, 0) y (-3, -5)
31 Calcula los puntos de intersección de las parábolas:
y = x2 − 2 e y = − x2 + 2
Solución:
Serán las soluciones del sistema de ecuaciones:
y = x 2 − 2 

y = − x 2 + 2
Los puntos son:
(
) (
2 ,0 y − 2,0
)
32 ¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (1, 3), (-1, 3) y el origen de coordenadas?
Solución:
La ecuación de la parábola pedida es:
y = 3x 2
33 Un balón describe una trayectoria parabólica. Queremos calcular la ecuación de dicha trayectoria y para
ello averiguamos los siguientes datos: el balón alcanza su altura máxima a los 10 m de ser lanzado y ésta
es de 15 m. Además vuelve a tocar el suelo a 25 m de distancia del punto desde donde se lanzó. Calcula la
ecuación de la trayectoria descrita por el balón.
Solución:
La ecuación pedida es la de una parábola que pasa por los puntos:
(0,0), (10,15 ) y (25,0)
Por tanto será:
−1 2 5
y=
x + x
10
2 .
34 Es posible que los puntos (0,2), (1, -1) y (2, -4), pertenezcan a la misma parábola.
Solución:
Estos tres puntos están alineados, pertenecen a la recta y = 2 − 3 x , por lo tanto no pueden pertenecer a la misma
parábola.
35
2
2
Cuál es el punto de intersección de y = x − 2 con el eje de simetría de y = − x + 2 y comprueba que es el
mismo que su vértice, ¿qué quiere decir esto?
Solución:
2
2
El eje de simetría de y = − x + 2 es x = 0 , así que el punto de intersección de y = x − 2 con este eje es el punto
(0,−2) ,
2
que a su vez es el vértice. Esto quiere decir, que x = 0 es también el eje de y = x − 2 .
36
Calcula la ecuación de una parábola cuyos puntos de intersección con la recta y = 2x − 1 tienen como
abscisas 1 y -1 y además pasa por el origen de coordenadas.
Solución:
Los puntos por los que pasa la parábola son (1, 1), (-1, -3) y (0,0), por tanto la ecuación de ésta será:
y = − x 2 + 2x
37
2
Calcular el vértice y el eje de simetría de y = ax + x ∀a ∈ R .
Solución:
El vértice será:
 − 1 − 1
V( x, y ) = 
,

 2a 4a 
y el eje:
−1
x=
, ∀a ∈ R − {0}
2a
38
2
Calcula el punto que pertenece a la parábola y = x − 2 y es simétrico al punto (-1, -1) con respecto del eje
de ordenadas.
Solución:
2
Esta parábola es igual que y = x , pero trasladada dos unidades hacia abajo; por tanto, es simétrica con respecto
al eje de ordenadas. El punto simétrico de (-1, -1) es el punto(1, -1).
39 ¿Cuál es la expresión que nos da el área de cualquier triángulo rectángulo isósceles en función de la
longitud de sus catetos?. ¿Qué tipo de función es?
Solución:
Si llamamos x a la longitud de los catetos, la función pedida será:
1
A = x2
2
Esta función es una parábola.
40
2
Calcula los puntos de intersección de la curva y = 2x − 1 con la bisectriz del segundo cuadrante.
Solución:
La bisectriz del segundo cuadrante tiene como ecuación y = − x
Por tanto los puntos pedidos serán las soluciones del sistema
y = −x


y = 2x 2 − 1
Los puntos son:
 1 1
 ,−  y ( −1,1)
 2 2
41 Halla el área del rectángulo cuya diagonal es la que tiene como extremos los puntos de intersección de la
2
parábola y = x y la bisectriz del primer cuadrante.
Solución:
Los puntos de intersección son (0, 0) y (1, 1), por tanto el rectángulo es en realidad un cuadrado de lado 1, con
área 1 unidad cuadrada.